Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 ) Omvendt kan vi sige, at når summen af kvadraterne af 2 sider er lig med kvadratet af den sidste side, så har vi en retvinklet trekant. Når vi så kun har informationer om sidernes længde, kan vi med Pythagoras sætning hurtigt finde ud af, om trekanten er retvinklet. Pythagoras sætning er en stor hjælp til at beregne sidelængder. Når vi kigger på følgende 2 ensvinklede trekanter, kan vi opdage følgende: I den lille trekant er forholdet af kateten med længde 4 og hypotenusen 4 / 5. I den store trekant er forholdet af samme sider 8 / 10, som forkortet med 2 er intet andet end 4 / 5. Det samme gælder den anden katedes forhold til hypotenusen og katedernes forhold til hinanden. Forholdene er altid de samme, så det er uafhængig af om trekanten er forstørret op eller formindsket ned. Forholdene af en trekants tre sider til hinanden er derfor kun afhængig af trekantens vinkler. Når vi ser på kongruenssætningen kan vi se begrundelsen hertil. Med en vinkel og de to hosliggende sider kan enstydig konstrueres en trekant den sidste sides længde er her afhængig af vinklens størrelse Med en side og de to hosliggende vinkler kan man enstydig konstrueres en trekant. Afhængig af vinklernes størrelse kan de sidste sider tegnes indtil de skæres i punkt B
Flere matematikerne, som fx Al-Battani und Abu'l Wafa i året 900, beskæftigede sig med forhold af siderne og med vinklerne i en trekant. De forholde fik navne: Cosinus Sinus Tangens er forholdet fra b og c er forholdet fra a og c er forholdet fra a og b Disse forholde (cos A, sin A eller tan A) kunne vi indsætte i forskellige, ret komplicerede funktioner der giver os vinklens gradtal, meeen i dag har alle lommeregner disse funktioner integreret, så man bare bliver nødt til at indtaste tallet. Nedenfor kan ses nogle resultater Bemærk: de to vinkler der kan beregnes giver altid 90 o grad (den sidste vinkel, den rette vinkel, er jo 90 o grad og trekanten har kun 180 o grader) Dvs. når man har sinus, er cosinus det der komplementerer gradsummen op på 90 o grader. ( Her kommer navnet fra complementi sinus = cosinus.) Cosinus Sinus Tangens
Med denne viden behøver vi nu ikke mere at tegne og måle, men kan beregne sider og vinkler i en retvinklet trekant. Desværre er ikke alle trekanter retvinklet. Men som vi jo ved, kan vi dele et trekant med højden i to retvinklede trekanter. Nu kan vi sige Og på grund af at højden h er den samme, så kan man vidst sige, at : Når vi sætter højden ikke fra B til b, men fra A til a, for vi Så i det hele gælder :
Det vi nu fandt ud af kaldes for sinus relationen. Med sinusrelationen kan vi også bestemme arealet af en trekant, som jo er ½ * h * grundlinje. Vi har her grundlinjen b og højden enten defineret med c* sin(a) eller a* sin(c). Når højden ville gå fra A til a, ville vi få grundlinje a og h defineret med c * sin (B) Vi kan derfor beregne arealet med ½ * (højde = c*sin(a)) * (grundlinje = b) Forkortet og lidt omstillet siges arealet af en trekant kan beregnes med: Areal (Trekant) = ½ * b*c* sin (A) = ½ * a * c * sin (B) = ½ * a * b * sin (C) Eksempel: Når vi tager det samme trekant som i eksemplet før, kan vi benytte = ½ * a * b * sin (C) Side a kender vi og sin (C) kan vi beregne med lommeregner. Men vi mangler linje b for at finde arealet. Men sinusrelationen siger jo : omstillet er det og vinkel B kan vi hurtigt beregne med 180 30 55 = 95 o. Så arealet er : ½ * 6 * ( ) * sin (55 o ) = ca. 29, 36
Prøv på at beholde tallene i lommeregneren (med gemfunktion ) for at få det nøjagtigste tal som muligt ( sinusværdierne kan have 117 decimaler ) Sinusrelationen er altså rigtigt nyttigt, men dog er der et lille manko. Man kan kun komme i gang med den, når man har en vinkel og dens modstående side (højden)! Når man har en vinkel og den hosliggende side, hjælper sinusrelationen ikke meget. Her benytter vi derfor cosinusrelationen. Her er et kort bevis til relationerne Cosinusrelationer er Gennem omstilling af ligninger får man mulighed til at beregne vinkler: