Mine matematik noter C

Transkript

1 Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006

2

3 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition: Ensvinklede trekanter 13 Definition: Ligedannede trekanter...14 Sætninger om ligedannede og ensvinklede trekanter...16 Kendte sætninger om geometri...27 Euklids Elementer...28 Definition: Parallelle rette linier...30 Definition: Midtnormal...31 Sætning: Omskreven cirkel...31 Definition: Vinkelhalveringslinje.32 Sætning: Indskreven cirkel...32 Definition: Højde...33 Definition: Median...33 Definition: Nabovinkler og Topvinkler...35 Sætning: Topvinkler...35 Definition: Ensliggende vinkler...35 Definition: Parallelle rette linier...36 Sætning: Parallelle linjer og ensliggende vinkler...37 Sætning: Trekantens vinkelsum...38 Sætning: Pythagoras...39 Sætning: Trekantens areal...41 Trigonometri...43 Definition: Standardtrekant...44 Definition af sinus-funktionen: sin(v)...46 Definition af cosinus-funktionen: cos(v)...47 Sætning: sin(v)...49 Sætning: cos(v)...51 Definition af tangens-funktionen: tan(v)...54 Sætning: tan(v)...55 Pythagoras og andre sætninger...58 Pythagoras sætning...59 Sætning: Pythagoras og standardtrekanten...64 Sætning: Afstande i planet...65 Sætning: Afstande i rummet...68 Sinusrelationerne...69 Cosinusrelationerne...72

4

5 Geometri Detalje fra Matematiker Johannes Meyers kort over Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648)

6

7 Om geometri Geometri er et sammensat ord af græsk oprindelse. Ge betyder "jord" og metri er afledt af et græsk ord for "måler". Geometri er altså læren om opmåling af jord. Geometri, som ordet bruges idag, er også læren om figurer: enten i rummet (rumgeometri) eller i planet (plangeometri) eller på en kugleoverflade (sfærisk geometri). Når vi i dag anvender ord af græsk oprindelse, skyldes det arven fra gamle græske matematikere, der levede for ca år siden; blandt de mest kendte er Euklid og Pythagoras. Behovet dengang som nu var at kunne beskrive grænsen mellem din jordlod og min jordlod og i en større målestok at kunne tegne kort over store områder som vejledning for den søfarende. Kortene var ikke altid lige gode: Det ældste danmarkskort stammer således fra ca. år 200 efter vor tidsregnings begyndelse og opmålingerne skylder vi Ptolemæus, en astronom og geograf fra Alexandria. Men der skal megen god vilje til at kunne genkende vort land på kortet. Jeg har medtaget Johannes Meyers lille kort over Aaberaa (Apenrade) fra Meyer er én af Danmarkshistoriens store korttegnere. Som man kan se, underskriver han sig Matematiker, hvilket minder os om om sammenhængen mellem det praktiske arbejde, der udføres af landinspektører og landmålere og korttegnere, og det teoretiske, der udføres af matematikere. På Johannes Meyers tid var opmåling af hele Danmark ved hjælp af triangulering knap begyndt. Triangulering vil sige, at landområdet inddeles i store trekanter, hvor trekanternes hjørner stedbestemmes meget nøjagtigt. Men først langt senere i 1764 startede Bugge 1 en opmåling, hvor hele landet blev delt ind i trekanter. Teknikken var: Bugge startede med en omhyggelig opmåling af én side i den første trekant (basislinjen). Derefter målte han vinklen i et trekantshjørne, hvor basislinjen er det ene vinkelben og sigtelinjen mod trekantens 3. punkt er det andet ben. Denne vinkelmåling blev gentaget i det andet trekantshjørne på basislinjen. Så kunne alle sider og vinkler bestemmes i denne første 1 Kilde:

8 trekant. Fra de beregnede sider i trekanten kunne man arbejde sig videre og opmåle nye trekanter udelukkende ved at bestemme vinkler. Således blev hele Danmark dækket af et net af trekanter, der kunne bruges til korrekt placering af de kort, der dækkede et mindre område. Det er bl.a. dele af teknikken vedrørende disse trekantsberegninger, der skal omtales i det følgende. Tinghøj Rundetårn Brøndbye Høi 1.:Triangulering (Bugges første trekanter) Basislinjen er den blå (omhygggeligt opmålte) linje fra Tinghøj til Brøndbye Høj. Alle øvrige (sorte) afstande er beregnet ved hjælp af vinklerne og basislinjen. Fra de nye punkter arbejdes der videre på trekantsnettet over Ballerup, Ølstykke... til det fjerne Jylland. 8

9 Navne Vi starter gennemgangen af geometrien med at præcisere, hvorledes vi bruger ordene. Sådanne præciseringer kaldes definitioner. For at gøre det, må vi gribe til tidligere definerede begreber. Men der må nødvendigvis være en første definition, hvor forklaringen ikke kan benytte andre definitioner, men kun det almindelige sprog. De vigtigste definitioner er fremhævet som lige herunder: Definition: Trekanten En trekant er en figur begrænset af 3 rette linjer.2 2.: Trekanten På figuren er trekanten navngivet ABC eller ΔABC, hvor hvert (stort) bogstav svarer til et skæringspunkt for to af linierne. Skæringspunkterne kaldes hjørner eller vinkelspidser. 2 Jævnfør Euklids definition 19, som definerer figurer begrænset af rette linjer, herunder trekanter. Euklids geometri omtales nærmere i et senere kapitel. 9

10 Det vil sige: A, B og C er punkter. En af linierne går gennem punkterne A og B. Liniestykket AB kaldes siden c, fordi den side ligger over for C. Den kaldes også: den modstående side. (Det er den blå side.) Hvis vi vil fortælle, hvor lange siderne er, kan vi gøre det med eller uden måleenheder. På et kort vil vi typisk sige: Afstanden fra et sted til et andet er a = 2,5 km. I en matematikopgave er der ofte ingen måleenhed opgivet, men blot (for eksempel) a = 4. a har altså en dobbelt betydning: Sommetider er a en betegnelse for siden og sommetider er a en betegnelse for sidens længde. Fordi a går fra B til C kan man også skrive: a = BC = 4 (eller hvor lang a nu er.) Her er tallet a, BC og 4 det samme, nemlig sidens længde. C er en vinkelspids. Forestil dig, at du sidder i punktet C og har placeret dine ben på trekantens sider. Dit højre ben er placeret på den grønne side, dit venstre ben er placeret på den røde side. Derfor kaldes halvlinien fra C gennem den grønne side for vinkel C's højre ben. Vi vil skrive, hvor stor vinkel C er. I figurer, hvor der indgår flere end 3 punkter, er der tit brug for at præcisere, hvad der er vinkelspids og hvad der er vinklens ben. Derfor bruges to skrivemåder: C = 125 eller ΑCB = 125. Den første bruges, hvor der ikke er tvivl, den anden bruges for at præcisere, at C (midterste bogstav) er vinkelspidsen, de to andre punkter er punkter på hver sit vinkelben. Bemærk, at vinkelspidsen svarer altid til det midterste bogstav. Vinkler mellem 0 og 90 kaldes spidse, vinkler på præcis 90 kaldes rette og vinkler på mellem 90 og 180 kaldes stumpe. 3.: Vinkeltyper Trekanter deles op i tre typer: 10

11 spidsvinklede, hvor alle vinkler er spidse retvinklede, hvor en af vinklerne er ret og stumpvinklede, hvor en af vinklerne er stump. 4.: En trekant (?) Øvelse: Trekantens navne i ΔABC Peg på b Er b < a? Er C < B? Er C < BAC? Hvilken vinkel er stump i ΔABC ovenover? Hvilken farve har vinkel A's højre ben? Er a = A? Hvilken vinkel er ret? Ensvinklede og ligedannede trekanter Definition: Ensvinklede trekanter To trekanter kaldes ensvinklede, når der for hver vinkel i den ene findes en lige så stor vinkel i den anden. Øvelse: Ensvinklede trekanter Du skal vælge en af vinklerne i den røde trekant; marker den med en bue (det er en del af en cirkel fra vinkelben til vinkelben tæt ved vinkelspidsen.) Mål vinklen med vinkelmåler. Find en vinkel i den blå trekant, der er lige så stor. Marker også den 11

12 med en bue. 5.: Ensvinklede trekanter Vælg så den næste vinkel i den røde trekant; marker den med to buer og find den tilsvarende i den blå trekant, som får samme markering. Til sidst skal du kontrollere, at de to sidste vinkler i hver sin trekant er ens. Hvis det er rigtigt, har du vist, at definitionen er opfyldt: de to trekanter er ensvinklede. Du og din sidemand laver hver sin trekant (størrelse: ½ 1 A4ark) og aftaler i forvejen, hvor store 2 af vinklerne skal være. Bagefter sammenlignes tegningerne. Hvad bemærker I? Definition: Ligedannede trekanter To trekanter kaldes ligedannede, når der findes et tal k, så vi kan beregne sidelængderne i den anden trekant som k gange sidelængderne af de tilsvarende sider i den første trekant. 12

13 Den anden trekant er altså en forstørrelse eller formindskelse af den første. k kaldes skalafaktoren eller forstørrelsesfaktoren. 6.: Ligedannede trekanter Er den blå side kendt, findes den tilsvarende røde ved at multiplicere (gange) med k. Er den røde side kendt, findes den tilsvarende blå ved at dividere (dele) med k. Hvis k>1 (som her) fås mål i en forstørret trekant, hvis k<1 fås mål i en formindsket trekant. Bemærk: når der her står ka er der et usynligt (underforstået) gangetegn mellem k og a. 13

14 Sætninger om ligedannede og ensvinklede trekanter 2 trekanter, der er ensvinklede, er også ligedannede. Omvendt gælder også: 2 trekanter, der er ligedannede, er også ensvinklede. Sætningerne bevises3 ikke, men i den følgende øvelse tester vi på tilfældigt valgte eksempler, om de er rigtige. Men: fordi vi ikke kan kontrollere alle mulige trekanter, kan vi ikke være sikre på, om der findes eksempler på, at sætningen ikke passer! Øvelse: Find skalafaktor Tegn en tilfældigt valgt trekant. Størrelse: Ca. ½ A4-ark. Tegn en ny trekant med de samme vinkler. Mål begge trekanters sider og udfyld skemaet herunder med sidernes længder. (Bemærk: I enhver trekant ligger den største side overfor den største vinkel.) Beregn skalafaktoren 3 gange. Hver gang skal du benytte formlen: k = (sidelængde i ny) / (sidelængde i første) 3 Et bevis er en overbevisende argumentation for, at en påstand er rigtig. Senere vil du møde eksempler på matematiske beviser. 14

15 Største Mellemste Mindste Første trekant Ny trekant Skalafaktor Tabel 1. Hvordan har du vist, at den første sætning er rigtig i dit eksempel? Gentag øvelsen nogle gange. Sommetider er den første den største, sommetider er den første den mindste trekant. Øvelse: Tegn ligedannede trekanter Tegn en tilfældigt valgt trekant. Størrelse: Ca. ½ A4-ark. Tegn en ny trekant, der er ligedannet med den første, idet du benytter skalafaktoren 2. Mål begge trekanters vinkler, og udfyld skemaet herunder med vinklernes størrelser. Bemærk: I enhver trekant ligger den største vinkel overfor den største side. Største Mellemste Mindste Første trekant Ny trekant Tabel 2. Hvordan har du vist, at den anden sætning er rigtig i dit eksempel? Gentag øvelsen nogle gange med andre skalafaktorer. Vælg også skalafaktor 0 < k < 1. Hvilken rolle spiller det, om du drejer (roterer) trekanten? 15

16 Øvelse: Flagstangen En solskinsdag står du i skolegården ved siden af flagstangen. Du skal finde flagstangens højde. Tegn først en skitse af de to ensvinklede trekanter, hvor du (i den geometriske model) er en side i den ene og flagstangen en side i den anden. Begrund, hvorfor de er ensvinklede. Foretag nødvendige målinger; noter resultaterne. Beregn flagstangens højde. Begrund, hvorfor din metode er rigtig. Gør præcist rede for, hvad du har gjort af antagelser om den virkelighed, som din tegning er en model af. Hvis nogle af dine antagelser strider mod virkeligheden, skal du fortælle, hvilken betydning det får for beregningen af flagstangens højde. Hvad ville du gøre, hvis skolen ikke skinnede? Projekt: Maalebordsblade 4 Undersøg5 hvordan (og hvorfor) man fra omkring 1800 tegnede kort af typen Maalebordsblade. Prøv eventuelt at tegne dele af egne kort med samme teknik gerne i en forenklet form.6 Projektets produkt (arbejdsresultatet) kan være et eller flere af følgende: 4 Et matematikprojekt eller et projekt i samarbejde med et eller flere fag som geografi, historie med flere. 5 Benyt din lærers litteraturhenvisninger, biblioteket samt Internettet (for eksempel og 6 For at forstå princippet i konstruktionen og for at tegne dele af et kort, behøver man blot et stykke papir (A3-format), en blyant, en lineal, et målebånd, 1-2 borde og et vaterpas. 16

17 Kort Rapport Præsentation Foredrag Hjemmeside Samos Et eksempel på en ingeniørbedrift i antikken, der kunne udføres med hjælp fra teorien om ensvinklede og ligedannede trekanter. Samos er en græsk ø, der ligger meget tæt på det land, der i dag er Tyrkiet. Mellem 600 og 500 år før vor tidsregning blev der gravet en tunnel gennem bjerget Castro. Tunnelen var lidt over 1 km lang og havde et tværmål på 2m x 2m. Tunnelen skulle bruges til at skaffe vand fra en kilde på den ene side af bjerget til befolkningen på den anden side af bjerget. Eftertiden kan se, at tunnelen består af to halve tunneler, der midt i bjerget næsten rammer hinanden præcist. Det fantastiske er, at de rammer hinanden! De to gravehold har begge holdt en næsten perfekt retning, så de kunne mødes på midten. Spørgsmålet er: hvordan gjorde de det? Selve gravearbejdet er selvfølgelig det samme ligemeget om man graver to halve eller en hel tunnel. Men materialet skal jo også ud og med to halve tunneler skal intet bæres mere end gennem et halvt bjerg. Der findes ingen samtidig beretning om, hvorledes Eupalinos, som stod for arbejdet, beregnede retningerne og ledede arbejdet. Så enhver fortælling er mere eller mindre begavet gætteri: Således gættede også en begavet ingeniør ca. 600 år senere, hvorledes konstruktionen blev gennemført. Hans navn var Hero.7 Hans forklaring 7 Det interessante er, at Hero i sin forklaring blot bruger den teori, du lige har lært. 17

18 stod ubestridt i næsten 2000 år. Der er dog problemer med at forklare, at graveholdene ramte hinanden så godt, hvis man holder sig til Heros forklaring.8 Men vi vil se på princippet i Heros forklaring: Ifølge Hero går man rundt om bjerget i rette vinkler (og i samme højde.) Derved kan man beregne 2 af sidelængderne i en retvinklet trekant, hvor tunnelen udgør den 3. side. Tilføj de to kateter på principskitsen! For at bevæge sig rundt om bjerget i samme højde, må man skifte retning forholdsvis mange gange. I gennemgangen her forenkles det til nogle få knæk, hvilket er nok til at illustrere princippet. Det er også nødvendigt at have en7.: Principskitse med Samos, Castro og tunnel metode, så man kan markere den samme højde på turen rundt om bjerget. Vi har givet bjerget, kilden og udløbet. (Se næste skitse) Det ene problem er at grave i den rigtige retning. Det andet problem er at sørge for, at udløbet er placeret i samme højde som (eller en anelse lavere end) kilden. Vi starter ved kilden A og går væk fra den i en vilkårlig retning og kommer til til B. Vi markerer punktet i samme højde og måler afstanden fra kilden, for eksempel 100 m. Derfra drejer vi præcis 90 til venstre, går 800 m til C, drejer i en ret vinkel og går 1000 m mod D, drejer igen i en ret vinkel mod E og går 1400 m til F, hvor efter der 8 Se for eksempel Tom M. Apostols overvejelser på 18

19 drejes i en ret vinkel mod G 100 m væk. Skriv målene på tegningen. 8.: En mulig rute fra kilden A til udløb G De to blå firkanter og den store hvide firkant er rektangler; derfor er deres modstående sider lige lange og man får nemt: HG = CD - AB - EG = 1000 m 100 m 100 m = 800 m AH = DB - CB = 1400 m 800 m = 600 m 19

20 Nu kan vi tegne en formindsket udgave af ΔAHG ved at benytte skalafaktoren og lave en trekant, der er ligedannet med trekanten i bjerget. Det betyder, at AGH kan findes i den lille trekant. Forlænges AG som ret linje til F, ses at EGF = AGH, fordi de er topvinkler. Denne vinkel bruges til at finde retningen FG. Og denne retning er svaret på ingeniørens problem: nu kan han få sit ene gravehold til at grave i den rigtige retning. På nøjagtig samme måde kan han finde retningen på den anden side af bjerget for det andet gravehold. Da det er vigtigt, at de rette vinkler afsættes meget præcist, kunne man benytte et langt reb, der er delt i 3 længder: 5 længdeenheder, 4 længdeenheder og 3 længdeenheder. Strammes det ud vil det være en retvinklet trekant; jævnfør senere sætningen: Omvendt Pythagoras. Dette havde længe været gængs viden. Alternativt kunne man konstruere vinklen med en passer. Højden kunne kontrolleres med en form for vaterpas; dermed kunne man opstille 2 sigtepæle med en (næsten) vandret sigtelinje og få placeret en ny 3. pæl 100 m eller 800 m væk i den samme højde. Øvelse: Gengiv argumenterne i Samos-eksemplet Du skal lave en række tegninger og i stikordsform anføre de argumenter, der fører frem til at man kan finde den retning ind i bjerget, der leder mod kilden henholdsvis udløbet. Øvelse: skøn over unøjagtighed Tegningen viser til venstre de to pæle, som benyttes til at finde sigtelinjen. På grund af en lille fejl sigtes 1mm for lavt langs den røde linje, hvor den grønne linje viser den rigtige retning. (Tegningens størrelsesfor-hold er ikke rigtige, for at gøre den nemmere at aflæse.) 9.: 3 pæle og sigtelinjer Hvor stor er fejlen (angivet med blåt) ude ved den tredje pæl? 20

21 Øvelse: Trekanter, der ligner hinanden 9 10.: 2 trekanter På tegningen ovenover er der en blå og en rød trekant. Trekanterne er ligedannede. Det en stiplede linjestykke er en forstørrelse af det andet. De stiplede linjestykker er parallelle. Hvorfor er alle linjestykkerne parallelle parvis? Tegn en tilsvarende figur med to ligedannede trekanter og forbind hjørnerne som her. Har de tre forbindelseslinjer igen et fælles skæringspunkt (på tegningen er det S)? Kan du finde en forklaring på observationen? 10 På tegningen næste side er der tre trekanter, som alle er parvis ligedannede. Der kan dannes tre par: blå-rød blå-grøn rød-grøn For hvert par finder vi et skæringspunkt (S, S' og S''). På tegningen ser de tre punkter (altså S, S' og S'') ud til at ligge på en ret linje! De to sidste punkter S' og S'' er fundet uden at tegne den sidste linje. Kontroller for dem begge at den også ville gå igennem henholdsvis S' og S''. 9 Inspireret af Dr. Friedrich Reidt: Die Elemente der Mathematik, Berlin Nu er det ikke helt nemt... 21

22 Er det en tilfældighed at de tre skæringspunkter ligger på en ret linje? Prøv at lav din egen tegning med lidt andre trekanter. 11.: 3 Trekanter 22 Kan du give en forklaring på dine observationer? (Svært)

23 Kendte sætninger om geometri Middelalderligt billede af Euklid (Kilde:

24 Euklids Elementer Euklid var en græsk matematiker, der levede fra ca. 325 til 265 før vor tidsregning. Hans arbejde er en systematisk fremstilling af matematikken baseret på: En definition af begreber som punkter, rette linier, figurer med videre. 5 grundlæggende sætninger (postulater, forudsætninger eller aksiomer) Givet 2 punkter kan der tegnes et ret linjestyke mellem dem. Et linjestykke kan forlænges til en ret linje. En cirkel er givet ved centrum og radius. Alle rette vinkler er lige store. 2 linjer, der skæres af en 3. linje, vil skære hinanden, hvis de indre vinklers (v og w på figur 10) sum ikke er 180. (Euklids parallelaksiom) Disse suppleres af yderligere 5 sætninger (grundsætninger, aksiomer): Størrelser, der begge er lig med en tredje, er lige store. Hvis der lægges lige meget til lige store størrelser, fås lige store størrelser. Hvis der trækkes lige meget fra lige store størrelser, fås lige store størrelser. Størrelser, der kan dække hinanden, er ens. Det hele er større end en del. Ved hjælp af ovenstående beviser Euklid for en lang række sætninger. Denne metode er det deduktive princip. Tekst 1.: Euklids elementer Noter til Teksten: Euklids elementer, se: 11, 12, Kilder: Fri gengivelse baseret på bl.a. Euklids Elementer, Gyldendal 1897 og 12 Hvad Euklids 2 gange 5 antagelser skal oversættes til, er oversættere og forfattere ikke enige om; jeg har her i parentes noteret nogle af de anvendte oversættelser. 13 Størrelserne, der omtales, kan for eksempel være linjestykker, vinkler og arealer. 24

25 Euklids betydning Du har sikkert hørt, at man kan bevise et eller andet. Det Euklid præciserer i de første 3 punkter (fra tekst 1 i rammen ovenover) er, hvorledes hans matematiske univers ser ud. Deri er der ingen beviser. Men det er grundlaget for at man kan bevise noget. De enkle forudsætninger, han går ud fra, er selvfølgelig inspireret af det, han kan opfatte med sine sanser. Og han går ud fra de allermest enkle forudsætninger og medtager ikke mere end nødvendigt for at opbygge den ideverden, som matematikken er. Mange af de sætninger, Euklid beviser, kan føres langt tilbage mere end 1000 år før Euklid og til andre kulturer end den græske. Men det er Euklids fortjeneste, at han dels samler al den viden, der er i hans bøger, og dels viser, hvorledes man ud fra indlysende simple forudsætninger kan argumentere for og bevise sætninger: både sætninger, som man erfaringsmæssigt vidste, var rigtige og sætninger, som var knapt så indlysende. Metoden med at finde mange eksempler på en regel og derfra generalisere kaldes induktion. Euklids metode kaldes deduktion Den geometri, der her omtales er euklidisk plangeometri som omtalt i hans første bøger 14 (I VI). Det vil sige, at for det første er geometrien her begrænset til det 2dimensionale rum, for det andet begrænset af Euklids antagelser. Specielt det ovenfor citerede 5. postulat har givet anledning til mange overvejelser i tidens løb: Nogle overvejelser er gået på, om det var et nødvendigt postulat, eller om det kunne bevises ved hjælp af Euklids øvrige antagelser? Andre overvejelser er gået på, om postulatet var nødvendigt, eller om man 12.: Euklids 5. aksiom kunne skabe en geometri uden dette 14 Oldtiden kendte ikke bøger i vor forstand; bøgerne var håndskrevet på papirruller. En sådan bog svarer nok snarere til et kapitel i moderne forstand, men der er tradition for at bruge ordet bog. 25

26 postulat? Og endelig i det 19. århundrede lykkedes det nogle matematikere at beskrive en geometri, der ikke benyttede det 5. postulat. 15 Euklids matematik har været glimrende til at beskrive den fysiske verden ja så god, at man til tider har taget det for sandheden om verden. Men alle matematiske beskrivelser er kun modeller og man kan ikke tale om, at de er sande, men snarere om de er brugbare, praktiske eller nøjagtige nok. Fra folkeskolen16 kender du en lang række begreber og sætninger. Nogle få af dem de allervigtigste - vil jeg gentage herunder. De er alle dele af Euklids geometri. Definition: Parallelle rette linier To rette linjer (i planen) er parallele, hvis de Note: Linjerne er ubegrænsede i begge retninger : Parallelle linjer 15 Se for eksempel hjemmesiden om ikke-euklidisk geometri: 16 Se for eksempel formelsamlingen i 17 Linjer er ubegrænsede, når det tegnede endepunkt ikke er markeret med et særligt mærke som: lille tværstreg, udfyldt cirkel eller ikke udfyldt cirkel. Halvlinjer er begrænset til den ene side, men ike til den anden. Linjestykker som siderne i en 26

27 Definition: Midtnormal En midtnormal til et linjestykke AB er en linje, der går gennem AB's midtpunkt M og som står vinkelret på AB. 14.: Midtnormalen Øvelse: Midtnormaler Tegn en tilfældig trekant: ΔABC Tegn eller konstruer midtnormalerne til to af siderne. Midtnormalernes skæringspunkt skal du kalde O; det skal være centrum for en cirkel med radius r = OA. Tegn denne cirkel. Bemærker du noget specielt? Sætning: Omskreven cirkel Hver af de tre sider i en trekant har en midtnormal. Midtnormalerne skærer hinanden i centrum for den omskrevne cirkel. trekant eller linjestykket fra A til B går fra punkt til punkt. Fremgår det ikke af sammenhængen, benyttes i geometri de små tværstreger til at markere endepunkter. 27

28 Figuren til højre viser et eksempel på en tilfældigt valgt trekant, trekantens midtnormaler og den omskrevne cirkel. Cirklens periferi (omkreds) går gennem trekantens hjørner og har centrum, hvor de tre røde midtnormaler skærer hinanden. Øvelse: Omskreven cirkel Tegn en tilfældig trekant og tegn eller konstruer den omskrevne cirkel. Definition: Vinkelhalveringslinje 15.: Trekantens omskrevne cirkel Den linje, der halverer vinklen, kaldes vinkelhalveringslinjen. 16.: Vinkelhalveringslinje Sætning: Indskreven cirkel Hver af de tre vinkler i en trekant har en vinkelhalveringslinie. Vinkelhalveringslinierne skærer hinanden i centrum for den indskrevne cirkel. 28

29 Figuren til højre viser et eksempel på en tilfældigt valgt trekant, trekantens vinkelhalveringslinjer og den indskrevne cirkel. Cirklens periferi (omkreds) tangerer (dvs. berører) trekantens sider og har centrum, hvor de tre røde vinkelhalveringslinjer skærer hinanden. 17.: Indskreven cirkel Øvelse: Indskreven cirkel Tegn en tilfældig trekant og tegn eller konstruer den indskrevne cirkel. Definition: Højde Højden i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids til den modstående side (eller linjen gennem den modstående side.) Højden står vinkelret på linjen gennem den modstående side. 18.: Trekantens højde Definition: Median 19.: Trekantens median Medianen i en trekant er liniestykket fra en vinkelspids (et hjørne) til midtpunktet af den modstående side. 29

30 Øvelse: Median Tegn en tilfældig trekant; den bør fylde det meste af et A4-ark. Tegn eller konstruer dens tre medianer Kontroller om de skærer hinanden i et punkt Beregn hele trekantens areal (i cm2) 18 Beregn også arealerne af hver af de små trekanter, der dannes inden i den store trekant. Hvad bemærker du? Sprogbrug I en trekant er der 3 midtnormaler, 3 vinkelhalveringslinier, 3 højder og 3 medianer. Vi giver dem navne efter faste regler for at være præcise og undgå misforståelser og forvekslinger. De er alle linjestykker eller linjer: derfor benyttes altid små bogstaver. Højder skal du kalde h; går højden fra B til siden b kalder du den hb Vinkelhalverinslinjer kalder du v; deler den vinkel A, kalder du den va Medianer kalder du m; går medianen fra Q til q kalder du den mq Midtnormaler kalder du n; er det midtnormalen til siden c i trekanten, kalder du den nc 18 Arealformlen er: T = ½ h g (se nærmere sidst i kapitlet.) 30

31 Definition: Nabovinkler og Topvinkler Når 2 linier skærer hinanden er der 4 vinkler; har de et vinkelben fælles, kaldes de nabovinkler, har de ikke vinkelben fælles, kaldes de topvinkler. (På figuren er v og u nabovinkler, v og w er topvinkler.) 20.:Navne på vinkler Sætning: Topvinkler Topvinkler er lige store. Øvelse: Bevis sætningen Definition: Ensliggende vinkler To rette linjer, der skæres af en tredie danner 8 vinkler. 2 af disse vinkler er ensliggende, hvis de har samme vinkelben på den skærende linie. Et eksempel er v og w ( som begge har venstre ben på den skærende linje.). 21.: Vinkler ved skærende linje 31

32 Definition: Parallelle rette linier To rette linjer (i planen) er parallele, hvis de ikke skærer hinanden. Note: Linjerne er ubegrænsede i begge retninger. 22.: Parallelle linjer Sætning: Parallelle linjer og ensliggende vinkler Hvis to rette linjer, der skæres af en tredie har et par ensliggende vinkler, der er lige store, er de parallelle. Omvendt gælder også: Hvis to rette linjer er parallelle og de skæres af en tredje, så vil de ensliggende vinkler være lige store. 23.: Både ikke parallelle og parallelle linjer Øvelse: Overblik over sætningen 32 Tegn et 2x2 skema med søjleoverskrift: parallel og ikke parallel, rækkerne svarer så til lige store vinkler hhv. ikke lige store.

33 Begrund hvilke kombinationer der er mulige hhv. umulige. Øvelse: Vinkelmålinger Tegn 2 parallelle linjer og en tredje, der skærer disse. Du skal måle alle 8 vinkler og skrive resultaterne op. Sæt ens buemærke i lige store vinkler. Stemmer målingerne med sætningen om parallelle linjer og ensliggende vinkler? Sætning: Trekantens vinkelsum Summen af vinklerne i en trekant er : Trekantens vinkelsum Øvelse: Bevis sætningen Benyt tegningen (og sætningerne ovenover.) 33

34 Sætning: Pythagoras 19 Kvadratet20 på hypotenusen21 er lig med summen af kateternes22 kvadrater. Alternative formuleringer: hypotenusen2 = katete12 + katete22 eller c2 = a2 + b2 Beviset udskydes til næste kapitel : Pythagoras sætning Eksempel: Find hypotenusen I den retvinklede trekant har kateterne længderne 3 og 6. Beregn længden af hypotenusen. 19 Pythagoras (fra Samos) levede i det 6. århundrede FVT, og selv om han har lagt navn til sætningen, var den kendt lang tid før ham. Frimærket viser et vigtigt eksempel på sætningen. Hvad går eksemplet ud på? Kan du i øvrigt gætte, hvad der står i den græske tekst? 20 Hvis du har en side med længden 10 er kvadratet 102 ( = 100); det svarer til arealet af det kvadrat, der kan tegnes på siden med længden Hypotenusen er navnet på den længste side i en retvinklet trekant. 22 En katete er en af de to korte sider i den retvinklede trekant. 23 Der er i øvrigt ikke tale om et bevis; der findes en meget lang række af beviser for denne (måske mest kendte) sætning. Prøv at søge på Internettet med søgeordene bevis og Pythagoras eller hop direkte til 34

35 Løsning: Da trekanten er retvinklet, kan Pythagoras (sætning) bruges: k12 + k22 = h2 Heri indsættes de kendte tal: = h = h2 45 = h2 26.: Find hypotenusen... h = 6,70 = 6,7 (idet der kan ses bort fra den negative løsning) Hypotenusen = 6,7 Eksempel: Find den manglende katete I den retvinklede trekant har den ene katete længden 2 og hypotenusen længden 5. Beregn længden af den manglende katete. Løsning: Da trekanten er retvinklet, kan Pythagoras (sætning) bruges: 27.: Find den anden katete... k12 + k22 = h2 Heri indsættes de kendte tal: 22 + k22 = k22 = 25 35

36 k22 = 21 k2 = 4,58 =4,6 (idet der kan ses bort fra den negative løsning) Den anden katete = 4,6 Øvelser: Anvendelse af Pythagoras sætning I det følgende betegner ABC en retvinklet trekant, hvor vinkel C er ret. Find (om muligt ;-) den manglende side, når det oplyses:24 1. at a = 5 og b = at b = 17 og a = at c = 8 og b = 7 4. at c = 5 og a =4,5 5. at b = 22 og c = at c = 10 og a = 12 Sætning: Trekantens areal Hvis grundlinien har længden g og højden længden h, er trekantens areal T = ½ h g 28 Arealet af en trekant.: Bemærk: at enhver af trekantens sider kan være grundlinie. Grundlinien behøver ikke at være vandret. 24 Ved løsning af en geometriopgave laver du så vidt muligt en tegning; tegn så præcist som muligt. Kontroller din beregning ved at måle på tegningen. 36

37

38 Trigonometri Vinkel v sin(v) 0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 Vinkel v sin(v) 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 Vinkel v sin(v) 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998 1,0000

39 Trigonometri er måling i og med trekanter. Det er læren om forholdet mellem og beregningen af siderne og vinklerne i en trekant.25 Oprindelsen er græsk. Tri svarer til tre, gon til side eller kant og metri til måling. Grundlaget er standardtrekanter med hypotenusen 1. I disse kendes sammenhængen mellem vinkler og sider det er det tabellen på kapitlets forside viser. Ved at forstørre eller formindske standardtrekanter kan vi finde målene i en hvilken som helst retvinklet trekant. Det er den teknik, der beskrives i dette kapitel. Definition: Standardtrekant En standardtrekant er en retvinklet trekant, hvor hypotenusen har længden 1 (= én.) Bemærk: Hvor stor denne måleenhed skal være er underordnet. Meter, fod, cm eller noget vi selv finder på at kalde én det er ligegyldigt. Men når længden er bestemt, 29.: Standardtrekant måles alt med denne enhed. Øvelse: Standardtrekant Tegn 5 (ret forskellige) retvinklede trekanter, som dog alle har en hypotenuse på 10 cm. Vi bruger denne længde på 10 cm som måleenhed; hypotenusen har altså længden én (=1). De 10 cm vælges kun fordi det er et nemt tal at regne med. Det kunne være 30 cm eller 2 meter 25 Gyldendals Fremmedordbog 39

40 30.: Modstående katete i forhold til en spids vinkel Mål nu en spids vinkel og den modstående katetes længde i hver trekant. Eksempel: Lad kateten for eksempel være 5 cm; da 5 cm er halvdelen af 10 cm har vi målt kateten til 0,5. Var kateten 3,6 cm svarer det til en katete på 3,6/10 = 0,36. Du udfylder nu en tabel som nedenstående med resultaterne fra dine 5 tegninger. Trekant nr Spids vinkel Katetens længde i cm Katete / hypotenuse Tabel 3. Den spidse vinkel måles med vinkelmåler; katetens længde måles med lineal. Husk at omregne katetens længde som en brøk af hypotenusens længde. (Se ovenfor) 40

41 Prøv at tegne én ekstra trekant med samme vinkler som din første trekant, men med en dobbelt så stor hypotenuse. Mål igen kateten og lav beregningen: katete / hypotenuse, Hvorfor får du næsten det samme som før? Sammenlign din tabel med sinustabellen på første side i kapitlet. Definition af sinus-funktionen: sin(v) Når v er en vinkel mellem 0 og 90, er sin(v) længden af den modstående katete i en standardtrekant med den spidse vinkel v. Af øvelsen fremgik det, at det er ligemeget, hvor stor hypotenusen er. Dens længde benyttes blot som enhed.26 Fuldstændig tilsvarende kan man definere cosinus: 31: Hosliggende katete i forhold til en spids vinkel 26 Der er her lavet en metode, så du for hver eneste vinkel mellem 0 og 90 kan finde et tal (mellem 0 og 1). Hver gang du eller andre benytter samme vinkel, får I samme resultat. Vi siger, at vi har defineret en funktion (se senere om Funktioner.) I dette tilfælde kaldes funktionen sinus-funktionen. sin(35 ) er tallet metoden giver, når man benytter vinklen 35. sin(v) er ikke et bestemt tal. v er en joker eller en pladsholder. v skal erstattes med et bestemt tal: så afleverer sinusfunktionen ét bestemt svar et tal. Det tal kalder vi: funktionsværdien. 41

42 Definition af cosinus-funktionen: cos(v) Når v er en vinkel mellem 0 og 90, er cos(v) længden af den hosliggende katete i en standardtrekant med den spidse vinkel v. Øvelse Aflæsning i sinustabel Udfyld tabellerne herunder. Benyt i begge tilfælde sinustabellen fra kapitlets forside. I den første tabel er den spidse vinkel kendt; du skal finde sin(v) fra sinustabellen. sin(v) er en længde Omvendt i den anden tabel. Her startes med sinusværdien, og ved at benytte sinustabellen omvendt, det vil sige læse fra højre kolonne til venstre kolonne, findes det gradtal, der svarer til sinusværdien. v er et vinkelmål. Alle tabelopslagene kontrolleres med lommeregneren. Sæt for OK! Se nedenfor hvordan. Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,7547 0,78 0,18 0,98 0,88 0,0088 0,1045 0,01219 I stedet for at benytte tabellen kan du bruge lommeregneren: 42

43 Tast Lommeregner viser27 sin sin( 30 sin(30 ) sin(30) = 0,5 Tast Lommeregner viser [2] eller [inv] sin sin-1( 0,7547 sin-1(0,7547 ) sin-1(0,7547) = 48,99 (= 49,0 ) Anvendelse af sinus Sinusfunktionen anvendes (her) til beregninger i retvinklede trekanter. I en retvinklet trekant optræder vinklerne A, B og C samt siderne a, b og c. De kan naturligvis have andre navne som P, Q og R osv. Ligeledes behøver de ikke at have navne. Derfor er det praktisk at lære regler og metoder uden bestemte navne, men konsekvent benytte katete og hypotenuse. 27 Beskrivelsen dækker bl.a. lommeregneren TI-30. Andre typer kan afvige mere eller mindre fra beskrivelsen. 43

44 Sætning: sin(v) I enhver retvinklet trekant gælder det: er v en af de spidse vinkler, er modstående katete=hypotenusen sin v eller sin v = modstående katete hypotenusen 28 Bevis Vi har givet ABC. C er ret A er en tilfældigt valgt spids vinkel Vi tegner en standardtrekant A B C hvor C er ret og A = A. 32.: ABC som en forstørrelse af en standardtrekant På grund af 180 -gradersreglen er B og B også lige store; dvs. at trekanterne er ensvinklede. 28 Hvis den spidse vinkel er A og hypotenusen hedder c, bliver formlen her som anført i formelsamlingen: sin(a) = a/c. Formelsamlingens formler gælder dog kun, hvis trekanten navngives ABC med C som den rette vinkel. 44

45 Da trekanterne er ensvinklede er de også ligedannede; dvs. at der findes en skalafaktor k. I standardtrekanten har hypotenusen længden 1 (=én); i ABC bruges hypotenusen også som navn for længden. Der gælder så: 1 k = hypotenusen k = hypotenusen I standardtrekanten er B C = sin(a ) = sin(a); i ABC er modstående katete en forstørrelse af standardtrekantens katete. Forstørrelsesfaktoren er hypotenusen. Derfor: modstående katete=hypotenusen sin v Ved division på begge sider af lighedstegnet med hypotenusen fås: sin v = modstående katete hypotenusen QED 45

46 Sætning: cos(v) I enhver retvinklet trekant gælder det: er v en af de spidse vinkler, er hosliggende katete=hypotenusen cos v eller cos v = hosliggende katete hypotenusen 29 Bevis Beviset forløber helt som beviset for sinus-reglen. Øvelse: Bevis for cosinus-sætningen Nedskriv beviset punkt for punkt. Overblik over opgavetyper (retvinklede trekanter) a. 2 kendte sider; benyt Pythagoras sætning for at finde den sidste side. b. Kendt spids vinkel og hypotenuse; brug sinusreglen til beregning af den modstående katete. Brug cosinusreglen til beregning af den hosliggende katete. c. Kendt spids vinkel og katete; enten er kateten den modstående 29 Hvis den spidse vinkel er A og hypotenusen hedder c, bliver formlen her som anført i formelsamlingen: sin(a) = a/c. Formelsamlingens formler gælder dog kun, hvis trekanten navngives ABC med C som den rette vinkel. 46

47 eller også beregnes den manglende vinkel med reglen om vinkelsummen i en trekant. I begge tilfælde kendes så en vinkel og den modstående katete. Du får en ligning af typen (hyp = hypotenusen): sin(30 ) = 5/hyp som løses: gang med hyp på begge sider af = sin(30 )*hyp=5 divider med sin(30 ) på begge sider af = hyp = 5/sin(30 ) udregning af højre side hyp = 10 d. Kendt katete og hypotenuse; kateten er modstående i forhold til en af de spidse vinkler. Denne beregnes. 47 Du får en ligning af typen: sin(a) =4,3 / 5,0 som løses: udregn højre side sin(a) = 0,86 find 0,86 i sinustabellen og aflæs den tilsvarende vinkel A = 59,3 afrund til ønsket nøjagtighed A = 59 Bemærk: Sinustabellen benyttes til at finde en vinkel med en bestemt sinusværdi (her 0,86.) Da sinusværdierne vokser, når vinklen vokser i intervallet fra 0 til 90, findes der kun én spids vinkel med en bestemt sinusværdi. Derfor er vi sikre på, hvor stor vinklen er. Når en tabel kan læses bagfra eller omvendt, siger vi, at vi bruger den omvendte funktion. Denne har sit eget navn: sin-1. Den findes også på din lommeregner på eller over samme tast som sin -tasten.

48 Øvelse: Trekantsberegninger 1. I ABC er C ret, c=12 og A = 30. a. Lav en skitse som påbegyndt her; skriv navne på og sæt alle opgivne mål på.30 b. Beregn a c. Beregn b d. Beregn b på en anden 33.: Skitse til øvelse 1 måde! 2. I ABC er C ret, c = 24 og A = 30. a. Beregn a b. Beregn b 3. I ABC er C ret, c = 8,5 og B = 53. a. Beregn a b. Beregn b 4. I trekant PQR er R ret, hypotenusen er 8,5 og Q = 53. a. Beregn q b. Beregn p 5. I en retvinklet trekant er en af vinklerne 38 og den modstående katete = 4,5. a. Beregn længden af hypotenusen b. Beregn længden af den sidste katete 6. En retvinklet trekant har kateter med længderne 6 og 8. Beregn hypotenusen og de spidse vinkler 7. En retvinklet trekant har en hypotenuse med længden 13 og en 30 Enhver geometriopgave bør indledes med en skitse. 48

49 katete med længden 12. Beregn de manglende størrelser 8. I en retvinklet trekant har hypotenusen længden 11 og kateterne hhv. 7 og 8 a. Beregn begge de spidse vinkler med sinusreglen b. Beregn de manglende vinkler c. Beregn vinkelsummen i trekanten d. Kommenter udregningen 9. Du kan selv lave alle de opgaver du vil: Du skal kende en side og vide, at der er en ret vinkel. Så skal du have en oplysning mere, men hvilken er ligegyldig. a. Tegn den valgte figur. Benyt de kendte oplysninger til at beregne resten. Mål på figuren, om du har regnet rigtigt. Definition af tangens-funktionen: tan(v) v er en spids vinkel i en retvinklet trekant. tan v = sin v cos v De størrelser af v, vi indtil videre benytter, er vinkler større end 0 og mindre end 90 hvilket gælder for alle tre introducerede funktioner. Senere udvides funktionernes definitionsmængde, så også andre vinkler kan benyttes. 49

50 Sætning: tan(v) I enhver retvinklet trekant gælder det, at er v en af de spidse vinkler, er tan v = modstående katete hosliggende katete 32 Bevis tan v = sin v hypotenusen sin v modstående katete = = cos v hypotenusen cos v hosliggende katete Det første = følger af definitionen på tan(v) Det andet er rigtigt, fordi man kan forlænge en brøk med ethvert tal (forskelligt fra 0.) - her hypotenusen. Det sidste følger af sætningerne om sin(v) og cos(v). Øvelse: Blandede trekantsberegninger 1. I ABC er C ret, b=10 og A =70?. Beregn a. 2. I ABC er C ret, a=12 og A =37?. Beregn b. 3. I ABC er C ret, a=12 og b = 4. Hvor stor er A?. 4. I ABC er C ret, a=12 og b = 4. Hvor stor er c?. 5. I ABC er Α ret, a=12 og b = 4. Hvor stor er C?. 32 Hvis den spidse vinkel er A og modstående katete a, hosliggende katete b, bliver formlen her som anført i formelsamlingen: tan(a) = a/b. Formelsamlingens formler gælder dog kun, hvis trekanten navngives ABC med C som den rette vinkel. 50

51 Øvelse: La Tour Eiffel Du er et sted i Paris. Du kan se La Tour Eiffel 33 på en afstand, hvor vinklen mellem gaden og tårnets spids er 13. På grund af måleusikkerheden kan det næsten være ethvert tal mellem 12.og 14. Hvor langt er du fra tårnet? Hvis du tager hensyn til usikkerheden: Hvor langt er du i hvert fald fra tårnet Og hvad kan afstanden højst være til tårnet? Kan der være forhold, som ikke er omtalt, der tilføjer yderligere usikkerhed til dit skøn over afstanden? Øvelse: Én sinusdefinition? Ved definitionen af sinus og cosinus valgte vi en tilfældig standardtrekant som grundlag for definitionen. Hvis man vælger 2 forskellige standardtrekanter, får man så to forskellige sinusfunktioner? 33 Tårnets højde er 317,3 m 51

52

53 Pythagoras og andre sætninger

54 Pythagoras sætning Summen af kateternes kvadrater i en retvinklet trekant er lig med kvadratet på hypotenusen.34 Bevis 34.: En retvinklet trekant og alle sidernes kvadrater Det vi vil vise er som denne tegning er udformet at arealerne af den 34 Det skriver vi ofte k12 + k22 = h2 eller a2 + b2 = c2 54

55 blå og den røde firkant i alt svarer til den grønne firkants areal. Der findes et utal af beviser; nogle er rent geometriske andre benytter også algebra35. En udmærket oversigt findes for eksempel på hjemmesiden som også er inspirationen til nedenstående: 1. Vi har en tilfældigt valgt retvinklet trekant (hvid flade i figur 32) og tegnet kvadraterne på hver side (med hver sin farve). Hvis sidelængden på en katete er a, er arealet af det tilsvarende kvadrat a2. 35.: Kateternes kvadrater 2. Vi placerer de to kateters kvadrater (figur 33) i forlængelse af hinanden; begge har en side på den samme linie l. Har trekantens kateter længderne a og b bliver figurens samlede bredde a+b. Den kombinerede figur har arealet: summen af kateternes kvadrater. 3. To trekanter tegnes ovenpå figuren (figur 34) således, at kvadraternes yderste rette vinkel bliver ret vinkel i hver sin trekant. For hver trekant gælder endvidere: 1. Hele kvadratets lodrette side er den ene katete svarende til en af kateterne i den oprindelige trekant. 35 Elementær algebra kan meget groft oversættes til bogstavregning : Der er tale om algebra, når vi arbejder med ligninger (og et ukendt x), eller når vi formulerer regneregler med a og b, som a+b = b+a eller (a+b)2 = a2 +2ab + b2. 55

56 2. Den anden katete ligger på l. 36.:Kvadraterne delvist dækket af kopier af den retvinklede trekant 3. Den anden katete som ligger på linjen l får en længde, så den nye trekant får samme kateter som den oprindelige trekant. 4. De to trekantssider på l har en samlet længde på a+b; det havde kvadraterne på linjen l også. Derfor har de to trekanters et fælles punkt som vinkelspids på l. 5. Da den oprindelige trekant og de nye har to sider og den mellemliggende vinkel fælles, er de kongruente (det vil sige, at de kan dække hinanden.) Derfor er også hypotenuserne ens. 37.: Højre (hvide) trekant drejes Nu drejes begge hvide trekanter (figur 37). Først den ene... og så den anden. Resultatet

57 er, at der er opstået en ny figur (figur 36) bestående af resterne af de to små kvadrater og de to hvide trekanter. De grå områder (hvor de hvide trekanter lå) tæller ikke med. Det ses let, at den nye figur har det samme areal som de to kateters kvadrater hvis der ikke er overlapning. Lad os vise, at figuren er et kvadrat med den oprindelige hypotenuse som side: 38.: Det ligner et kvadrat? 5. Vi har allerede tidligere bemærket, at på linien l stødte de to trekanter sammen i et punkt, som altså er et hjørne i den nye figur. De to punkter, de to trekanter blev drejet om er ligeledes hjørner i den nye figur. Endelig er der et fjerde punkt, hvor de hvide trekanters spidser tilsyneladende falder sammen. Da de drejede hvide trekanter har vandrette kateter, hvis længde svarer til kvadraterne lige nedenunder, ligger deres lodrette kateter på samme linje nemlig forlængelsen af skillelinjen mellem kvadraterne. Vurderes afstanden fra den drejede trekants øverste spidse vinkel til linjen l ses, at afstanden = a+b (summen 57

58 af kateterne) lige meget hvilken trekantspids der ses på. De to vinkelspidser falder altså sammen og figuren er en firkant. 6. Alle firkantens sider har samme længde som den oprindelige hypotenuse. 7. Mellem hypotenusen i den grå trekant og hypotenusen i den tilsvarende hvide er der 90 - på grund af drejningen. Derfor er to af firkantens vinkler rette. Ses på firkantens nederste vinkel, kan man se at den er en lige vinkel (180 ) fratrukket de to spidse vinkler i de to grå trekanter. De to vinkler er de samme som de to spidse vinkler i den oprindelige trekant; summen af to spidse vinkler i retvinklet trekant er altid = 90 (ifølge reglen om vinkelsummen i en trekant). Derfor er firkantens nederste vinkel 90. Endelig er den sidste vinkel i firkanten også ret på grund af, at vinkelsummen i en firkant er Firkanten (figuren) er altså et kvadrat med den oprindelige hypotenuse som side. 9. Og dette kvadrat har samme areal som summen de to kateters kvadrater. QED Øvelse: Bevis Pythagoras sætning 58 Hvad er hovedideen i beviset? Skriv A, B, C og a, b, c på den første trekant. Lad C være den rette vinkel. Brug også betegnelserne v = A og u = Β. Hvis a=4 og b=3: Hvad er så summen af kateternes kvadrater? Skriv bogstaver for figurernes sidelængder og vinkler efterhånden som du kender dem. Lav en pil fra bogstavet på figuren til begrundelsen i teksten.

59 I bevisets punkt 3 forklares, hvordan de to hvide trekanter indtegnes. Kan du forklare, hvorfor de lige præcis passer ind? Lav en stor model i pap eller papir med udklippede hvide trekanter. Brug den til demonstration af gangen i beviset. Hvorfor er beviset ikke færdigt, når trekanterne er drejet? Se kun på tegningerne: Skriv så bevisets argumenter ned punkt for punkt. Sammenlign dine punkter med min tekst. Ret evt. dine punkter. Forstå dem. Lær dem udenad. Sætning: Pythagoras og standardtrekanten For alle vinkler mellem 0 og 90 gælder: sin2(v) +cos2(v) = 1. Bevis Tag en vilkårlig retvinlet trekant med hypotenusen 1 og med en spids vinkel v. Ifølge definitionen på sinus og cosinus er længderne af den modstående katete sin(v) og af den hosliggende katete cos(v). Dette indsættes i Pythagoras (sætning). Sætningen følger umiddelbart. QED Sætning: Afstande i planet Vi kender to punkter i det almindelige retvinklede koordinatsystem: P(x1; y1) og Q(x2; y2). Så er afstanden mellem punkterne: 59

60 PQ = x x y y Eksempel: Afstand fra P(2;9) til Q(8;5) For at beregne afstanden mellem P og Q tegnes den retvinklede trekant PHQ således, at PH er parallel med y-aksen og HQ er parallel med x-aksen. H får så koordinaterne (2 ; 5). Hvorfor? Afstanden mellem H og Q er 82=6 eller 2-8=6 Illustration 39.: Tilsvarende få at afstanden mellem P og H er 5-9=4 eller 9-5=4. Nu benyttes (den almindelige) Pythagoras' sætning: k12 + k22 = h2 Vi kender ikke k1, men ved at den er enten +6 eller -6. Da (+6)2 =(-6)2 = 36 ses, at det er ligemeget om man finder katetens længde eller den modsatte værdi. Vi kan trække x-værdierne fra hinanden uden at bekymre os om fortegnet. Tilsvarende gælder for den anden katete. Ved indsætning i Pythagoras sætning fås: 60

61 =h =h 2 52=h h= 52=7,21=7,2 Det ses nemt, at havde vi benyttet sætningen ovenover, var beregningerne nøjagtigt de samme. Bevis for afstandsformlen Øvelse 3-4 Bevis sætningen, idet det forløber som eksemplets beregning, men der benyttes P(x1; y1) og Q(x2; y2) i stedet for taleksemplet. Eksempel på afstande i rummet Et punkt i rummet er bestemt ved 3 koordinater sammenlignet med 2 for planet. Der er tilføjet en z-akse, så vi kan angive, hvor højt oppe et punkt er. Opgaven er: Find afstanden mellem punkterne P(5;7;13). og Q(8;9;11). Se figuren næste side. De lodrette linier fra punkterne skærer xyplanet i P'(5;7;0) og Q'(8;9;0). Hvis vi kun arbejdede i xy-planet ville vi derfor bruge koordinaterne (5;7) og (8;9) og kunne beregne afstanden mellem disse to som ovenfor. Altså er: (5-8)2 + (7-9)2 = P'Q' 2 Nu tegnes hjælpetegningen til højre, som 40.: Lodret snit 61

62 ligger i et plan udspændt af de to lodrette linjer gennem hhv. P og P' samt Q og Q'. Linjestykket P''Q tegnes parallelt med P'Q' og har den samme længde. Linjestykket PP'' har en længde svarende til differensen mellem punkternes z-værdier. Ved at anvende Pythagoras på trekant PQP'', fås P''Q 2 + PP'' 2 = PQ 2 P'Q' 2 + PP'' 2 = PQ 2 (5-8)2 + (7-9)2 +(13-11) = PQ 2 PQ = : Perspektivtegning af rummet Det kan vises generelt, at: Sætning: Afstande i rummet Afstanden mellem punkterne P(x1; y1; z1) og Q(x2; y2; z2) er: PQ = x x y y z z Øvelse Afstandsberegninger i rummet 62 Hvad er afstanden mellem punkterne P(-3 ; 8) og Q(12 ; -12)?

63 Hvad er afstanden mellem punkterne P(5 ; -3 ; 8) og Q(0; 12 ; -12)? Jan Person skal flytte til udlandet og vil gerne medtage et arvestykke: en gardinstang på 5,75 m. Kan den være i en container med indre mål 4,3 m; 2,9 m og 2,5 m? Hvor høj er en pyramide, hvis grundflade er et kvadrat med siden 100 m, og hvis sider er 4 ens ligesidede trekanter (hvor trekantens side er 160 m)? En sendemast på 60 m stabiliseres blandt andet med en stålwire, der udspændes mellem et punkt midt i masten 10 m fra toppen og en betonblok beliggende 40 m mod syd og 75 m mod øst. På grund af terrænet ligger betonblokken 12 m under sendemastens fod. Hvor lang skulle wiren være, hvis den var en ret linie? Hvad er vinklen mellem en lodret linie og wiren? Kommentar Ved beviserne for sinusrelationerne og cosinusrelationerne kendes alle sider og alle vinkler i trekanten; ikke som en bestemt størrelse men for eksempel som a (sidelængden) og A (vinkelstørrelsen.) Ved benyttelsen af formlerne må nogle af størrelserne være kendte tal; disse kan så indsættes i formlen. Herved fås en ligning, som evt. kan løses Dette forhold er typisk for alle formler. 37 Beviserne gennemføres som om H ligger på siden AB. Dette er ikke en nødvendig forudsætning. Beviserne kan gennemføres stort set uændret, selvom dette ikke er tilfældet. 63

64 Sinusrelationerne I en vilkårlig trekant ABC gælder: a b c = = sin A sin B sin C Bevis 38 I den gule retvinklede ΔACH er hypotenusen b; i forhold til vinkel A er h den modstående katete. Derfor gælder: h = b * sin(a) Tilsvarende fås for Δ BCH, at hypotenusen er 42.: Opdeling af én trekant i a og i forhold til vinkel B er h igen den to retvinklede trekanter modstående katete. Derfor fås: h = a * sin(b) Derfor gælder den første ligning; heraf fås sinusrelationerne som vist herunder: 38 Sinus- og cosimusdefinitionerne udvides, således at definitionerne gælder for alle vinkler i alle tænkelige trekanter og ikke kun spidse vinkler som hidtil: sin(90) = 1 og hvis 90<v<180 er sin(v) = sin(180-v). cos(90) = 0 og hvis 90<v<180 er cos(v) = - cos(180-v) 64

65 a sin B =b sin A Divider begge sider med sin(a) sin B a sin B b sin A = sin A sin B sin A sin B Forkort brøkerne sin(a) henholdsvis sin(b) a b = sin A sin B... På nøjagtig samme måde kan det vises (ved at dele trekanten med en anden højde), at a c = sin A sin C og derfor er a b c = = sin A sin B sin C QED Eksempel 3-6 Beregning med sinusrelationer I ABC er A= 75 ; a = 5 og c = 4. Beregn manglende sider og vinkler. Svar: Sinusrelationerne gælder i enhver trekant, derfor gælder: 65

66 a c = sin A sin C Ved indsætning fås: 5 4 = sin 75 sin C 5 sin C 4 sin C = sin 75 sin C 4 sin 75 sin C = 5 C = 50,60 = 50,6 39 Derefter kan B beregnes med reglen om vinkelsummen i en trekant; Β = ,6 75 = 54,4 Den sidste side fås ved at anvende sinusrelationerne en gang til: a b = sin A sin B Ved indsætning fås: 5 b = sin 75 sin 54,4 5 sin 54,4 =b sin Der er normalt to løsninger mellem 0 og 180 ; hvis v er løsning er 180 -v også en løsning. Dog skal det også gælde, at overfor den største side ligger den største vinkel. Men da a > c og A= 75 < ,6 = 129,4, kan C ikke være 129,4 66

67 b = 4,20 = 4,2 Øvelse Trekantsberegninger med sinusrelationer I ABC er B= 68 og C = 59 ; c = 5. Beregn de manglende sider og vinkler. 40 I ABC er B= 68 og b = 8 og c = 10. Beregn de manglende sider og vinkler. Tegn en vilkårlig trekant og mål 3 af størrelserne heraf 1 eller 2 sider og mindst en vinkel overfor en kendt side. Beregn de manglende størrelser. Kontroller at de beregnede mål stemmer overens med tegningen. Dog: hvis der er to løsninger, kan kun den ene passe med tegningen ;-) Cosinusrelationerne Udvidet Pythagoras I den gule retvinklede Δ ACH er hypotenusen b; i forhold til vinkel A er CH den modstående katete. h = CH Derfor gælder: *** h = b sin(a) Tilsvarende er AH den hosliggende katete, hvorfor: AH = b cos(a) Og: AH + HB = AB ; længden af HB kaldes k; derfor er *** 43.: Opdeling af én trekant i to retvinklede trekanter k = c b cos(a) Nu benyttes Pythagoras på den hvide Δ BHC: 40 Det kan være en god ide at tegne trekanterne med passer og lineal. 67