Diskret delta hedging af optionsporteføljer. Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G Aalborg Universitet

Diskret delta hedging af optionsporteføljer Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G3-110 Aalborg Universitet

Aalborg University Department of Mathematics Frederik Bajers Vej 7G, DK-90 Aalborg Ø, Denmark Phone +45 99409940, Fax +45 9815819 grubbe@math.aau.dk www.math.aau.dk The content of this work is freely available. It may only be copied (with references) with the written permission of the authors.

Abstract This project focuses on financial hedging of option portfolios using hedging strategies and the Black-Scholes model. In chapter 1 a financial background of option theory is established to prepare the reader for the remaining chapters. Basic options strategies are introduced to illustrate how to guard the investor from unexpected price fluctuations. A simple binomial model is discussed to familiarize the reader with the topic of option pricing. The subsequent problem formulation takes its basis in the Black-Scholes formula and its implication in general hedging of option portfolios. Chapter 3 concerns with the Black-Scholes model. At first Markov and Wiener processes are introduced along with Itôs lemma in order to get a sound mathematical foundation for the more complex Black-Scholes model. As the model has certain assumptions and limitation these are discussed. When hedging using the Black-Scholes model the investor will hedge on certain parametres which are described in chapter 4. The mathematical background for these is derived and the financial implications are discussed. As option volatility is of high interest for an investor, the so-called volatility smile is shortly introduced in chapter 5 and it is described how investors use this information to rate options. Chapter 6 is the pivotal point of this project. Here an actual hedging model is established and it is described how discrete hedging is performed in practice. Furthermore an improved delta parameter is developed, in order to minimize hedging error and the effect is shown through empirical examples. These results are summarized in chapter 7. Throughout the project it is emphasized that the Black-Scholes model has multiple shortcomings and therefore improvements of the Black-Scholes assumptions are suggested in chapter 8. In addition it is suggested how to improve the model s reliability and realism, and which similar models can contribute to a better hedge. Keywords: Black-Scholes model, option pricing theory, the greeks, volatility surface, delta hedging.

Forord Denne P4-rapport er udarbejdet i perioden fra d. 1/-011 frem til d. 7/05-011 af gruppe G3-110 på Instituttet for Matematiske Fag, Matematik-Økonomi ved Aalborg Universitet. Det overordnede tema for dette semester er Matematisk modellering i finansiering og investering. I rapporten anvendes kildehenvisninger med Harvard-metoden, som har udseendet [Efternavn, år, evt. sidetal]. Sidst i rapporten findes en uddybende litteraturliste. Tabeller, figurer, definitioner og sætninger mv. er alle fortløbende nummereret efter hvilket kapitel og afsnit de er placeret i. Eksempelvis angiver sætning 4.3. sætning, kapitel 4, afsnit 3. Alle beviser sluttes med og eksempler afsluttes med. Projektet er frit tilgængeligt for download på www.projekter.aau.dk. Vi vil gerne rette en tak til vores vejleder Lasse Bork for præcis og kompetent vejledning. Aalborg d. 7. maj 011. Troels Otte Andersen Nicoline Pagter Bach Anette Berg Julie Brandt Thomas Hvolby Morten Sørensen iii

Indhold Forord iii Indledning 1 1 Optioner 3 1.1 Grundlæggende optionsteori.............................. 3 1. Put-call pariteten.................................... 7 1.3 Prisfastsættelse af optioner.............................. 7 1.4 Optionsstrategier.................................... 10 1.5 Positioner........................................ 1 Problemformulering 13.1 Afgrænsning....................................... 13 3 Black-Scholes modellen 15 3.1 Markov processer.................................... 15 3. Wiener processer.................................... 15 3.3 Geometrisk Wiener proces............................... 17 3.4 Itôs lemma....................................... 18 3.5 Black-Scholes ligningen................................. 18 3.6 Black-Scholes formlen................................. 1 4 The Greeks 5 4.1 Delta........................................... 5 4. Gamma......................................... 7 4.3 Theta.......................................... 8 4.4 Vega........................................... 9 4.5 Rho........................................... 31 4.6 Opsummering...................................... 3 5 Volatilitet 35 5.1 Implied volatility og volatility smile.......................... 35 6 Hedging 39 6.1 Delta hedging...................................... 39 6. Gamma hedging.................................... 40 6.3 Diskret hedging..................................... 41 7 Konklusion 47 v

vi INDHOLD 8 Perspektivering 49 Litteratur 49 A Replikerende portefølje 53 B Microsoft option data 55 C Taylor-rækkeudvikling 57

Indledning Investeringsteori er de seneste år blevet et område, der har fået særdeles stor opmærksomhed. Den teoretiske baggrund for emnet er vokset enormt; dels pga. udbredelsen af internettet og dels pga. stadigt større og flere internationale investeringer. Udviklingen har bredt sig ud i alle større finansielle virksomheder, og ikke mindst til mange individuelle investorer. Penge har altid været af stor betydning for mennesket, og tiltag for at maksimere sin pengemængde hænger uløseligt sammen med risikoen for at miste; denne sammenhæng medvirker til forskellige investeringsprofiler. Nogle investeringsprofiler er mere aggresive end andre, og dette indebærer, at nogle investorer ikke vil løbe en risiko og derfor vil forsøge at risikoafdække sine investeringer, mens andre tænker mere på et stort afkast og derfor er villig til at løbe en større risiko for at opnå dette. Globaliseringen har imidlertid resulteret i en større international handel og handel i fremmed valuta, hvilket har medvirket til en større efterspørgsel på derivater som f.eks. optioner. Optioner er et vigtigt finansielt derivat, idet de giver en investor mulighed for at købe eller sælge aktiver til en aftalt pris på et aftalt fremtidigt tidspunkt. Ligeledes kan der med optioner styres et stort antal aktiver for forholdsvis små beløb, hvilket giver mulighed for store afkast sammenlignet med markedsafkastet. Hvis der f.eks. efter købet af en option opstår prisstigninger på det underliggende aktiv, vil optionen kunne sikre, at aktivet enten kan sælges eller købes til den aftalte pris, alt efter hvilken slags option der er tale om. På denne måde er det f.eks. muligt at købe et aktiv til en pris, der ligger under markedsprisen, eller at sælge et aktiv for en pris der er højere end markedsprisen. Når optioner anvendes korrekt, kan det give en investor et af de bedste grundlag for at skabe afkast. Optioner giver mulighed for at investere udfra en forventning til markedet, hvad enten investoren forventer en stigning eller et fald i markedet. Det er muligt, at optionen giver et afkast, hvis priserne på markedet bevæger sig i overensstemmelse med investorens forventninger. For mange virksomheder er risikostyring en af de væsentligste opgaver, idet ændringer i valutakurser, renter etc. kan have afgørende betydning for virksomhedernes afkast på investeringer. Det ses derfor i stadigt større grad, at virksomheder sikrer sig mod mulige tab ved at hedge. Grundlaget for hedging er at risikoafdække og dermed minimere mulige tab. Der kan hedges på flere forskellige finansielle produkter f.eks. aktier, swaps, optioner, futures mm. At hedge kan sammenlignes med at forsikre sig f.eks. mod indbrud og skader. En investor kan anvende flere forskellige strategier til hedging, alt efter hvilke forventninger han har til markedet. Disse strategier har det fælles mål at mindske sandsynlighed for tab. Som det vil vise sig, er det vanskeligt at prisfastsætte optioner, da det kræver avancerede matematiske modeller så som Black-Scholes formlen. Prisfastsættelse af optioner får i dag stor opmærksomhed inden for finansverdenen, hvilket gør problemet utroligt samtidsrelevant. Projektet behandler derfor hedging af optionsporteføljer, da det gør det muligt at risikosikre investeringer mod eventuelle tab. 1

Kapitel 1 Optioner Da priser fastsættes efter udbud- og efterspørgselsprincippet, er det altid usikkert, hvordan priser udvikler sig; dette gælder for alt fra fødevarer og flybilletter til finansielle aktiver. Denne usikkerhed i priserne har skabt behov for futures og optioner, som giver mulighed for at købe eller sælge aktiver på et fremtidigt tidspunkt, til en fastlagt pris. I dette kapitel introduceres optioner som et finansielt derivat, herunder hvilke anvendelsesmuligheder der findes, og kort om hvordan optioner prisfastsættes. Litteratur [Hull, 005, kap. 9, 10 og 15], [Luenberger, 1998, kap. 11, 1 og 13] og [Wilmott, 1998, kap. ]. 1.1 Grundlæggende optionsteori En option er et finansielt derivat, der giver rettighed, men ikke pligt, til at købe eller sælge et aktiv til en given strike price til en på forhånd aftalt udløbsdato. Optionens underliggende aktiv kan være et værdipapir, renter, valuta, råstoffer etc. I afsnit 1.1.1 forklares notationerne der anvendes i dette projekt [Luenberger, 1998]. 1.1.1 Begreber og notationer Der findes grundlæggende to typer optioner. En call option giver rettigheden til at købe et givet aktiv til en aftalt strike price. En put option giver derimod ret til at sælge et givet aktiv til en aftalt strike price. I så fald handlen kun kan finde sted ved udløbsdatoen, kaldes den en europæisk option. Kan handlen derimod finde sted under hele optionens løbetid, kaldes den en amerikansk option. Optionens løbetid Optionens længde betegnes T. Et givet tidspunkt i optionens løbetid betegnes t, således at optionen starter ved t = 0, udløber ved t = T og den resterende tid ved tidspunkt t er T t. Spot price er det underliggende aktivs værdi, hvilken altid er positiv. Spot price på tidspunkt t betegnes S t, og dermed er S 0 spot price ved optionens start, og S T spot price ved udløb. Strike price er den pris optionen giver rettighed til at købe eller sælge et aktiv til. Notationen ændrer sig ikke, hvad enten det er call eller put optioner, men betegnes altid som K. Optionens værdi til tidspunkt t med spot price S t betegnes C(S t, t) = C t for en call option og P (S t, t) = P t for en put option. Optionsprisen ved start betegnes C 0 hhv. P 0, og C T hhv. P T ved udløb. Efter optionens udløb er optionen værdiløs. Dette uddybes i afsnit 1.1.3. 3

4 KAPITEL 1. OPTIONER Optionens præmie er den pris, køber betaler for optionen. Det antages, at optionens pris er lig med optionens værdi til det tidspunkt, hvor den handles. Derfor gælder det, at hvis optionen købes ved tidspunkt t = 0, så er præmien C 0 for en call og P 0 for en put option. Køberen af en call option håber, at aktivets pris stiger, da han i så fald har rettigheden til at købe aktivet til underkurs. Modsat håber sælgeren af en call option, at aktivets pris falder, således at optionen ikke bliver udøvet, og han dermed opnår gevinst i form af optionspræmien. Måden, hvorpå handel med optioner differentierer sig fra generel handel med aktiver, er ved, at selve aktivet ikke nødvendigvis ejes af nogen af parterne i optionens løbetid. Hvis optionen udøves, købes aktivet således kort forinden i markedet og sælges til den anden part i optionen, som derefter igen sælger i markedet. Derfor afhænger afkastet af optionen af det underliggende aktivs værdi. Handel med optioner indeholder derfor en stor risiko, hvis prisen på aktivet ændrer sig markant. Der findes altid to sider af en option. Køberen har den lange position, og sælgeren har den korte position. Generelt kan der antages fire forskellige positioner; lang call, lang put, kort call og kort put. 1.1. Typer af optioner Lang call En investor, som forventer, at et aktivs spot price vil stige, kan drage fordel af at købe en lang call option, hvilket giver mulighed for at købe aktivet på et aftalt tidspunkt til en aftalt pris. Dette giver et maksimalt tab på optionens præmie, mens profitten teoretisk set er ubegrænset. Dette giver følgende scenarier ved optionens udløb: [S T > K] Optionen udøves, da aktivet købes billigere end dets markedsværdi og derfor med det samme kan sælges i markedet til en højere pris. [S T > K + C 0 ] Profit for investoren. Profitten er da lig med S T K C 0. [S T < K] Optionen udøves ikke, og investoren taber optionens præmie, C 0. Profit/tab på en lang call option er illustreret i figur 1.1(a). Lang put Hvis investoren forventer et fald i aktivets spot price, kan det være rentabelt at købe en put option, da der er mulighed for at sælge aktivet på et aftalt tidspunkt til en aftalt pris. Ligesom ved lang call er det maksimale tab optionens præmie, mens profitten teoretisk kan være lig med K P 0, hvis S T = 0. Der er følgende tre scenarier ved optionens udløb: [S T < K] Optionen udøves, da aktivet sælges til mere, end det er værd i markedet. [S T + P 0 < K] Profit for investoren på K S T P 0. [S T > K] Optionen udøves ikke, og investoren taber optionens præmie, P 0. Profit/tab på en lang put option er illustreret i figur 1.1(b). Kort call En anden mulighed for investoren, som forventer et fald i aktivets spot price, er at skrive eller sælge en call option, også kaldet at gå kort i en call option. Denne type option kan tvinge investoren til at sælge aktivet til en aftalt pris på et aftalt tidspunkt. Den korte position er mere risikabel end den lange, da den maksimale profit er optionens præmie, mens det mulige tab er ubegrænset. Den korte call option har følgende scenarier ved udløb: [S T > K] Optionen udøves. [S T > K + C 0 ] Optionen udøves, og der er tab for investoren på S T K C 0. [S T < K] Optionen udøves ikke, investoren får en profit på C 0. Profit/tab på en kort call option er illustreret i figur 1.1(c).

1.1. GRUNDLÆGGENDE OPTIONSTEORI 5 Kort put Et alternativ for investoren, som forventer en stigning i aktivets spot price, er at skrive eller sælge en put option. Dermed kan investoren ved optionens udløb blive tvunget til at købe aktivet til en lavere pris end dets markedsværdi. Igen er den korte position den mest risikable, da optionens præmie P 0 er den maksimale profit, mens tabet teoretisk kan være K P 0, hvis S T = 0. Der er følgende muligheder ved optionens udløb: [S T < K] Optionen udøves. [S T + P 0 < K] Optionen udøves, og der er tab for investoren på K S T P 0. [S T > K] Optionen udøves ikke, og investoren får en profit på P 0. Profit/tab på en lang put option er illustreret i figur 1.1(d). C P 0 K S 0 K S (a) Lang call option. (b) Lang put option. C P 0 K S 0 K S (c) Kort call option. (d) Kort put option. Figur 1.1: Typer af optioner. 1.1.3 Optionens værdi Lemma 1.1.1 [Luenberger, 1998] Lad K være strike price og S være spot price på en option. Call optionens værdi C og put optionens værdi P er da C(S, T ) = max{0, S K} hhv. P (S, T ) = max{0, K S}. Bevis Hvis S < K, er værdien på en call option lig 0, fordi optionen ikke udøves. Hvis derimod S > K, har optionen en værdi, da man kan købe aktivet til K og sælge det på det frie marked til S. Fortjenesten er da S K og er dermed værdien af optionen. Lignende argumenter kan bruges til at bestemme prisen på en put option. Lemma 1.1.1 er gældende for både amerikanske og europæiske optioner.

6 KAPITEL 1. OPTIONER Call optionen siges at være i pengene, på pengene eller ude af pengene afhængig af, om hhv. S > K, S = K eller S < K. Prisen på optionen varierer over tid og afspejler i call optionens tilfælde sandsynligheden for, at S er i pengene ved udløb. Put optioner har den modsatte terminologi, således at den er i pengene, når S < K, ude af pengene når S > K og på pengene når S = K. Da amerikanske optioner kan udøves på ethvert tidspunkt inden udløbsdatoen, har de en værdi i hele tidsperioden. Dette er også tilfældet for europæiske optioner, idet de besidder en potentiel værdi, selvom de ikke kan udøves før udløb. Funktionen for optionens værdi er således en kurve, som tilnærmer sig funktionerne i figur 1.1. Hvis der er en lang løbetid, vil funktionen bevæge sig længere væk fra funktionerne, som vist i figur 1., idet usikkerheden ved det underliggende aktivs ændring i værdi gør sandsynligheden for at komme i pengene større. For både europæiske og amerikanske optioner gælder det, at optionen aldrig kan blive mere værd end det underliggende aktiv, C S. Hvis dette forhold ikke eksisterede, ville der forekomme arbitragemuligheder. Arbitrage betegner muligheden for at få et afkast uden risiko. Hvis en vare handles på forskellige markeder, hvor der er fri bevægelighed imellem, vil prisen på begge markeder blive ens. I modsat fald, hvis ikke prisen på begge markeder er ens, vil denne mulighed for at købe billigt på ét marked og sælge dyrt på et andet blive kaldt arbitrage. C t < t 0 t 1 < t 0 t 0 < T T = t 0 K S Figur 1.: Call option med forskellig løbetid. 1.1.4 Risikofrie rente Den rente, man kan få i markedet uden at have nogen risiko, kaldes den risikofrie rente. Den risikofrie rente repræsenterer den rente, en investor vil forvente fra en helt risikofri investering over en given periode. I realiteten eksisterer der ingen risikofrie aktiver, men da korte statsobligationer anses for at have minimal risiko, anvendes renten fra disse i praksis som den risikofrie rente. Den risikofrie rente anvendes i konstruktionen af en replikerende portefølje. Replikerende portefølje En option kan duplikeres ved at konstruere en portefølje af det underliggende aktiv og et risikofrit aktiv lånt til den risikofrie rente. Denne portefølje kaldes en replikerende portefølje eller en syntetisk option. Den replikerende porteføljes værdi og en mængde af det underliggende aktiv for porteføljen skal matche optionens, og da spot price er dynamisk, skal mængden af det underliggende aktiv og det risikofrie aktiv rebalanceres kontinuert. Mængderne af det underliggende og det risikofrie aktiv samt værdien af den replikerende portefølje kan udregnes som vist i appendiks A. Den udregnede værdi for hver uge i løbetiden bliver tilnærmelsesvist lig med optionsværdien, men kan for hver udregning variere lidt derfra. Afvigelser i værdien kan bl.a. skyldes, at den estimerede volatilitet ikke stemmer helt overens med den faktiske volatilitet.

1.. PUT-CALL PARITETEN 7 Arbitrageprincippet indebærer, at værdien af den replikerende portefølje og optionen skal være ens. Denne lighed skal være opfyldt, for at der ikke foreligger arbitragemuligheder. En replikerende portefølje vil blive anvendt i beviset for Black-Scholes ligningen i afsnit 3.5. 1. Put-call pariteten For europæiske optioner er der en teoretisk sammenhæng mellem priserne på de tilsvarende put og call optioner. Forholdet findes ved at bemærke, at en kombination af en put option, en call option og et risikofrit lån har et afkast identisk med det underliggende aktiv. Antag, at en investor køber en europæisk call og sælger en europæisk put option. De har en samlet værdi ved udløb på max{s(t ) K, 0} max{k S(T ), 0} = S(T ) K. Dette afkast er ækvivalent med afkastet af købet af det underliggende aktiv og et beløb K. Dette beløb K kan sikres på udløbstidspunktet ved at købe et risikofrit aktiv med rente r på tidspunkt 0 med en værdi, der kan bestemmes ved at tilbagediskontere med den risikofrie rente. Værdien af de to cashflows må derfor være ækvivalente. Dette beviser følgende sætning [Wilmott, 1998]. Sætning 1..1 Lad C og P være priserne på hhv. en europæisk call og europæisk put option, begge med en strike price K og defineret på det samme aktiv med prisen S t. Fra put-call pariteten fås C P = S(t) Ke r(t t). 1..1 1.3 Prisfastsættelse af optioner En af de mest fundamentale udfordringer i arbejdet med optioner, fremkommer ifm. prisfastsættelse af en option. Det er med andre ord svært at sætte en pris på rettigheden til at købe et aktiv på et fremtidigt tidspunkt til en fastlagt pris, da det ikke vides, hvor meget rettigheden er værd ved udløb. Samtidig forsøger investorer og spekulanter at vurdere, hvorvidt prisen på optionen er høj eller lav. Der findes flere forskellige modeller til at beregne en teoretisk værdi af en option, som, sammenlignet med den reelle pris, kan beskrive rentabiliteten. Modellerne adskiller sig både i kompleksitet, realisme og i hvilke antagelser de gør sig om markedet. 1.3.1 Grænser for optionspriser I dette afsnit udledes de øvre og nedre grænser for optionspriser. Da optionen giver ret til at købe eller sælge et aktiv, kan værdien af optionen aldrig blive mere værd end aktivet selv. Hvis dette var tilfældet, ville der opstå arbitrage muligheder, hvilket bliver antaget ikke er tilstedeværende [Hull, 005]. Øvre grænser Som ovenfor nævnt er optionsprisen begrænset af spot prisen på det underliggende aktiv. For call optioner gælder, at C S 0, og for put optioner gælder at P K. Da optionen ikke kan være mere værd ved udløb på en europæisk option, gælder at nutidsværdien af optionen heller ikke kan være mere værd. P Ke rt.

8 KAPITEL 1. OPTIONER Nedre grænser for calls Antag, at der holdes en portefølje A med en europæisk call option i et aktiv, der ikke betaler dividende, og en mængde penge, der, hvis investeret i et risikofrit aktiv, har en nutidsværdi på Ke rt. Fra lemma 1.1.1 vides det, at værdien af call optionen er max{s T K, 0}, og porteføljens værdi er derfor max{s T, K}. En anden portefølje B består af ét aktiv, af samme type som optionen blev købt i. Denne portefølje har en værdi af S T ved udløb. Derfor vides det, at A er mindst ligeså meget værd som B, og at C + Ke rt S 0. Call optionens værdi kan aldrig blive negativ, hvilket betyder, at C max{s 0 Ke rt, 0}. Nedre grænser for puts Antag igen, at der holdes to porteføljer, hvor aktivet ikke betaler dividende. D består af en europæisk put option og ét aktiv, og E består af en mængde penge svarende til Ke rt. Hvis S T < K udøves optionen, mens aktivets værdi falder, så værdien af D er K. Hvis S T > K, er optionen værdiløs, og D har en værdi på S T, og værdien af D er derfor max{s T, K}. Hvis pengene i portefølje E investeres i det risikofrie aktiv, har E værdien K ved udløb. Ved fravær af arbitrage gælder, at P + S 0 Ke rt. Yderligere gælder der, at put optionens værdi heller ikke kan blive negativ, så 1.3. Den binomiale model P max{ke rt S 0, 0}. Binomialmodellen er en simpel matematisk model til prisfastsættelse af et finansielt aktiv. Den udgør et grundlag for udledning af Black-Scholes modellen og vil derfor blive kort introduceret. Modellen tager udgangspunkt i, at spot price S 0 er kendt. Det antages, at prisen herefter opfører sig som en random walk 1 indtil udløb. { u op u > 1 d ned 0 < d < 1 Prisen i næste periode er derfor enten us eller ds, og sandsynligheden for disse muligheder er p hhv. 1 p. Prisudviklingen kan illustreres som et binomialtræ, som er vist i figur 1.3. Idet prisen aldrig bliver negativ, er det muligt at betragte ln S. µ defineres til at være den forventede årlige vækst µ = E [ln(s T /S 0 )], hvor S T er prisen ved udløb, S 0 er begyndelsesprisen og E [ ] betegner den forventede værdi. Ligeledes defineres den årlige volatilitet σ vha. variansen σ = Var [ln(s T /S 0 )]. 1 En random walk kan sammenlignes med en række møntkast. For hvert kast går personen frem, og afhængig af udfaldet går personen til højre eller venstre.

1.3. PRISFASTSÆTTELSE AF OPTIONER 9 Figur 1.3: Binomialtræ [Hull, 005, p 394]. Hvis t antager en lille værdi, kan parametrene p, u og d i den binomiale model bestemmes til [Luenberger, 1998] p = 1 + 1 ( µ ) t, σ u = e σ t, d = e σ t. Bemærkning Selvom modellen kan virke simpel, vil der ved en tilstrækkelig lille værdi af t være mulighed for at antage uendelig mange værdier. Og ved at lade skridtlængden gå mod nul, fremkommer en kontinuert model, som beskrevet i næste kapitel. Grunden til, at den forventede vækst µ og volatilitet σ blev betragtet logaritmisk, skyldes en generel enighed på baggrund af empiriske observationer, om at afkastet på finansielle aktiver udvikler sig lognormalfordelt, foruden en svag afvigelse med de karakteristiske fede haler. Det vil sige, at der er større sandsynlighed for at få afkast i positioner længere væk fra middelværdien, når den empiriske fordeling benyttes, end der er, når den lognormale fordeling benyttes. Ydermere er der også større sandsynlighed for afkast i positioner i nærheden af middelværdien ved den empiriske fordeling. 1.3.3 Additive og multiplikative modeller Der findes tilsvarende diskrete modeller, heriblandt additive modeller, der er defineret ved S(k + 1) = as(k) + u(k), for k = 0, 1,..., N, S(k) er spot price, a er en konstant, og u(k) erne er stokastiske variable. I modsætning til binomial modellen er størrelsen, hvormed prisen ændrer sig til næste tidspunkt, ikke kendt, til gengæld er stigningen eller faldet bestemt ved en sandsynlighed. En tredje meget anvendt simpel model er den multiplikative model givet ved, S(k + 1) = u(k)s(k), for k = 0, 1,..., N 1. Her er u(k) erne igen uafhængige stokastiske variable. Den multiplikative model har den egenskab, at hvis den naturlige logaritme anvendes, fremkommer ln S(k + 1) = ln S(k) + ln u(k).

10 KAPITEL 1. OPTIONER Derfor er den multiplikative model en additiv model med hensyn til den logaritmiske pris. Det følger derfor, at hvis u(k) erne er lognormalfordelte, er ln u(k) erne normalfordelte. Itereres over S(k) fås S(k) = u(k 1)u(k ) u(0)s(0), hvilket giver anledning til at bruge den naturlige logaritme k 1 ln S(k) = ln S(0) + ln u(i). Da ln u(i) er normalfordelt, vil summen af normalfordelte variable også være normalfordelt. ln S(0) er konstant, så derfor vil ln S(k) være normalfordelt. Modellerne introducerer sandsynlighedsregning ifm. prisfunktioner på en simpel måde, og modellerne kan derfor udvides ad denne vej. Alene kan disse modeller med forbehold anvendes i praksis til prisfastsættelse, men modellerne danner mest af alt en grundlag for kapitel 3. 1.4 Optionsstrategier Når der handles med optioner, kan der anvendes forskellige strategier for at risikoafdække sit afkast. Strategiernes formål er at øge sandsynligheden for at opnå et afkast og mindske sandsynligheden for tab. Hvilken strategi, der bør anvendes, afhænger af forventningerne til det underliggende aktivs spot price ved optionens udløb. Alle strategier i dette afsnit forklares ud fra handel med call optioner. Strategierne kan ligeledes bruges til handel med put optioner, men i så fald vil illustrationerne se anderledes ud. 1.4.1 Butterfly spread Et butterfly spread anvendes, når en investor ikke forventer store udsving i spot price i den kommende periode. Strategien er, at købe to call optioner og sælge to call optioner. Strike price på de to call optioner, der købes, er forskellige, hvor den ene K 1 er relativ lav, og den anden K 3 er relativ høj. Strike price på de to optioner, der sælges, K, vælges generelt til at ligge tæt på den nuværende spot price, således at K 1 < K < K 3. Denne strategi er nyttig, hvis det forventes, at det underliggende aktivs pris ved udløb vil være i nærheden af K, idet det maksimale afkast opnås, hvis S = K. De stiplede linjer i figur 1.4 viser afkast for hvert K, og den markerede sorte linje viser det samlede afkast. Det ses her, at hvis K 3 < S T eller S T < K 1, vil investoren udelukkende tabe på foretagendet [Luenberger, 1998]. i=0 K 1 K 3 K S T Figur 1.4: Butterfly spread.

1.4. OPTIONSSTRATEGIER 11 1.4. Bull spread Bull spread er en strategi, der anvendes, hvis det forventes, at spot price vil stige i løbet af perioden. Strategien er at købe en call option med en strike price K 1 og sælge en call option for det samme underliggende aktiv med en større strike price K. Begge optioner skal have den sammme udløbsdag. Strategien er vist i figur 1.5. De stiplede linjer illustrerer afkastet for hver af de to optioner, mens den markerede sorte linje viser det samlede afkast. Det ses ud fra figur 1.5, at der opnås et maksimalt afkast, hvis S T K. Dette skyldes, at begge optioner i så fald vil blive udøvet. Investoren vil da tjene mere på den købte call option, fordi K 1 < K, end han vil tabe på den solgte. Dermed vil dette tilfælde altid føre til gevinst for investoren. Omvendt, hvis S T K 1, vil investoren opnå tab. Tabet opstår, fordi ingen af optionerne i tilfældet, hvor S T K 1, vil blive udøvet. Så mister investoren præmien på den købte call option og tjener præmien på den solgte. Men da den købte præmie er større end den solgte, fordi K 1 < K, vil dette altid medføre et tab. K 1 K S T Figur 1.5: Bull spread. Ved at benytte en bull spread strategi opgiver investoren muligheden for at få et uendeligt højt afkast på sin option. Dette sker, fordi muligheden for afkast begrænses ved også at sælge en call option. Til gengæld opnås der en nedre grænse for, hvor stort et muligt tab maksimalt kan blive [Hull, 005]. 1.4.3 Bear spread Denne strategi anvendes, hvis det forventes, at spot price vil falde. Et bear spread kan konstrueres ved at sælge en call option med strike price K 1 og købe en call option med en højere strike price K. Denne strategi er illustreret i figur 1.6, hvor de stiplede linjer viser afkast for hver af optionerne, og den markerede sorte linje viser det samlede afkast. Det ses ud fra figuren, at der opnås maksimalt afkast, hvis S T K 1. Denne profit opnås, fordi begge call optioner ikke vil blive udøvet. Investoren mister da præmien på den købte call option, men opnår en større gevinst i præmien for den solgte call option, da K 1 < K, og dette vil altid føre til profit for investoren. Modsat opnås der størst tab, hvis S T K. Denne strategi har, ligesom ved bull spread, en øvre grænse for profit og en nedre grænse for tab [Hull, 005]. K 1 K S T Figur 1.6: Bear spread.

1 KAPITEL 1. OPTIONER 1.4.4 Afrunding Der findes generelt mange andre optionsstrategier. Fælles for strategierne er, at de stræber efter at minimere risikoen for tab og øge sandsynligheden for afkast. Det kan i visse tilfælde være fordelagtigt at kombinere strategierne f.eks. et bull call spread, som har strike price K 1 og K, med et bear put spread med de samme to strike prices; denne kombination kaldes et box spread. Andre spreads opnås ved køb og salg af put og call optioner med forskellige eller samme strike price og forskellige eller samme udløbstidspunkt. Som tidligere nævnt afhænger valget af strategier af forventningerne til markedet eller optionen. 1.5 Positioner Når der investeres i optioner kan investoren have enten en risikoavers profil eller en aggressiv profil. Ens risikoafdækning eller position kan beskrives som enten naked eller covered. Naked position Der antages, at en investor sælger en call option. Hvis investoren ikke gør noget for at mindske risiko for tab, kaldes det at antage en naked position. Denne position giver gevinst for investoren, hvis spot price er under strike price efter udløbsdatoen, da køberen af call optionen ikke udøver, og investoren dermed beholder både aktivet og præmien. Hvis derimod spot price er højere end strike price, og optionen udøves, vil investoren risikere at miste penge, alt efter hvor meget spot price overstiger strike price. Covered position Der antages igen, at en investor sælger en call option. Investoren har som alternativ til naked position mulighed for at antage en covered position, for at risikoafdække sin portefølje. Denne strategi går ud på at købe samme antal aktiver som call optionen, på samme tidspunkt som optionen bliver solgt. Denne strategi kaldes buy-write, og på denne måde hedges salget af call optionen. Strategien vil gå godt for investoren, hvis optionen bliver udøvet. Hvis optionen ikke bliver udøvet, fordi spot price falder og bliver lavere end strike price, vil investoren opleve underskud. For at opnå en covered position er der flere forskellige metoder til at hedge sin portefølje, hvor delta hedging og gamma hedging er blandt de mest anvendte, som vil blive beskrevet i kapitel 6.

Kapitel Problemformulering Kapitel 1 har givet en grundlæggende optionsteori og beskrevet, hvordan optioner kan prisfastsættes. Det burde således nu være klart, hvorfor optioner udgør et vigtigt redskab til styring af store porteføljer og dermed også hedging af disse. Dette leder til følgende problemformulering: Hvordan kan en optionsportefølje ud fra Black-Scholes formlen hedges i diskret tid, og hvilken indflydelse har fast volatilitet på Black-Scholes modellen?.1 Afgrænsning Indledningsvist er grundlæggende optionsteori og prisfastsættelse af optioner blevet beskrevet for at danne et forståelsesgrundlag. Fra dette punkt behandles udelukkende europæiske optioner uden dividendebetaling, da Black-Scholes modellen sætter denne begrænsning. Projektet vil tage udgangspunkt i Black-Scholes modellen, hvorfor denne udledes i kapitel 3 vha. forskellige processer, der anvendes inden for finansiel matematik. Black-Scholes formlen indeholder fem parametre, som kan varieres, så i kapitel 4 vil Black-Scholes modellens følsomhed overfor disse parametre blive udledt. Ifm. hedging er det netop disse parametre der kan hedges på. Hedging er i sig selv et utroligt bredt emne. I den forbindelse afgrænses projektet derfor til at beskæftige sig med kontinuert hedging, som anvendes til Black-Scholes modellen, og diskret delta hedging, som uddybes i kapitel 6. Dette gøres af hensyn til at tre af parametrene i Black- Scholes modellen der kan hedges på, antages at være bestemte. Det gælder løbetiden, volatilitet og den risikofrie rente. Gammas afhængighed af delta gør, at når der efterfølgende opstilles en konkret model for diskret hedging, fokuseres der udelukkende på parametren delta, som samtidig er den mest anvendte i praksis. Andre store emner som eksempelvis statisk hedging udelukkes af hensyn til projektets omfang. Da optionspriser ændrer sig hele tiden i takt med investorernes forventninger og med det underliggende aktivs pris, kan historisk optionsdata være vanskeligt at fremskaffe. I flere eksempler tages der derfor udgangspunkt i et øjebliksbillede og lader den fremtidige udvikling være simuleret. Inden hedging vil volatiliteten, som beskriver en uregelmæssighed i Black-Scholes modellen vha. volatility smile og volatility surface, blive beskrevet. Dette gøres for at skabe et overblik over modellens anvendelighed og samtidig af hensyn til mulighederne for at udvide modellen. Dette kunne være ved at benytte stokastisk volatilitet eller inkludere en tidsvariabel, men dette er uden for målene for dette projekt. 13

Kapitel 3 Black-Scholes modellen De amerikanske økonomer Fischer Black og Myron Scholes udviklede i 1973 Black-Scholes modellen til matematisk beskrivelse af europæiske optioner. De modtog senere i 1997 Nobelprisen i Økonomi for værket. Modellen er grundlaget for, hvordan optioner i dag prisfastsættes. For at forstå modellen, er det vigtigt først at danne sig et matematisk grundlag herfor. Black-Scholes partielle differentialligning er baseret på Itôs lemma, hvilket vil blive udledt, ved at betragte flere forskellige processer, som bliver anvendt inden for finansiel matematik. Herefter vil Black-Scholes formel til prisfastsættelse af optioner blive udledt. Litteratur [Hull, 005, kap. 1, 13 og 14], [Hull, 011] [Luenberger, 1998, kap. 11 og 13], [Olofsson, 005, kap. ] og [Wilmott, 1998, kap. 19]. 3.1 Markov processer En Markov proces er en stokastisk proces, der opfylder den egenskab, at det kun er tilstanden i dag, der kan anvendes til bestemmelse af tilstanden i morgen. Alt historik omkring en markov proces foruden den sidste tilstand er i den forbindelse irrelevant. Markov egenskaben på aktiekurser er derfor konsistent med den svage form af et effektivt marked; dvs. at det ikke er muligt at anvende historisk data til at beregne den fremtidige kurs. Det er derfor ikke muligt at skabe et afkast over gennemsnittet ved at udnytte en længerevarende trend på aktiekurser, da denne ikke eksisterer, og på den måde kan aktiekurser opfattes som en random walk. Det er den store konkurrence om afkast på børserne, der resulterer i et svagt effektivt marked, da mange investorer vil presse prisen op, hvis en trend bliver opdaget. Dette vil ændre trenden, hvilket generelt betyder, at prisen derfor allerede indeholder alle informationer om tidligere udvikling og derfor ikke kan bevæge sig yderligere, kun pga. historik [Hull, 005]. 3. Wiener processer Wiener processen er en speciel type Markov proces med drift på 0 og varians på 1. Denne simple Wiener proces er en kontinuert stokastisk proces. Definition 3..1 En additiv proces z(t) er en Wiener proces, hvis følgende egenskaber er opfyldt: 1. For ethvert s < t er størrelsen z(t) z(s) en standardiseret normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi 0 og varians t s.. For ethvert 0 t 1 < t t 3 < t 4 er de stokastiske variable z(t ) z(t 1 ) og z(t 4 ) z(t 3 ) ukorrelerede. 3. P (z(t 0 ) = 0) = 1. 15

16 KAPITEL 3. BLACK-SCHOLES MODELLEN Hvis ændringen af z(t) betragtes over en længere periode T, kan dette skrives som z(t ) z(0). Det kan opfattes som summen af små ændringer N af længden t, hvilket gør, at z kan opfattes som z = N ɛ i t, i=1 3..1 hvor ɛ i N (0, 1). Når t 0, bruges notationen dz = adt for at indikere, at z = a t. Når der refereres til dz som en Wiener proces, betyder det derfor, at den har egenskaberne fra definition 3..1. Som det ses ud fra 3..1, er z proportional med t. Det betyder, at når t er lille, bliver t meget stor. Ud fra denne egenskab følger, at det forventede antal gange, processen z er lig med en værdi y, er uendeligt for ethvert tidsinterval t. 3..1 Generaliserede Wiener processer Den simple Wiener proces har en drift på 0 og en varians på 1. En drift på 0 betyder, at forventningen til en fremtidig værdi t + n er den nuværende værdi. En varians på 1 betyder, at z over et tidsinterval T højest kan være lig med T. Definition 3.. En generaliseret Wiener proces for en variabel x er givet ved hvor a og b er konstanter. dx = adt + bdz, Definition 3.. indikerer, at x har en drift på a. Hvis der ses bort fra det andet led bdz, haves at dx/dt = a. Integreret med hensyn til t fås x = x 0 + at, hvor x 0 er værdien til t = 0. Leddet dz er en Wiener proces, som har en volatilitet på 1, og derfor følger det, at Std [b] = b. Når t 0, fås det fra definition 3..1 og 3.., at x = a t + bɛ t, hvor ɛ N (0, 1). Det ses, at en generaliseret Wiener proces har en forventet drift a og varians b. I figur 3.1 er der simuleret en generaliseret Wiener proces, sammenfattet med Wiener processen. Itô processer En speciel type generaliseret Wiener proces med variabel drift og varians a og b er kendt som en Itô-proces. Definition 3..3 En Itô proces er en generaliseret Wiener proces givet ved dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz. Det ses ud fra definition 3..3, at den forventede drift og varians er afhængige af tiden t. Når t 0, er x = a(x, t) t + b(x, t)ɛ t.

3.3. GEOMETRISK WIENER PROCES 17 Figur 3.1: Wiener proces når t 0 [Hull, 005, p. 68]. 3.3 Geometrisk Wiener proces En generaliseret Wiener proces beskriver tilnærmelsesvis opførslen for en aktiekurs, hvor der er konstant forventet drift og konstant varians. Imidlertid er det klart, at afkastet på en aktie ikke er ens, når aktiekursen eksempelvis er 10, og når den er 1000. En konstant forventet drift er derfor utilstrækkelig til beskrivelse af en aktiekurs udvikling, men den forventede drift afhænger også af aktiekursen. Det vil sige, at S = µs t. For t 0 ds = µsdt. Ved at integrere udtrykket over tid fra 0 til T fås S T = S 0 e µt, hvor S 0 og S T er aktiekurser til forskellige tidspunkter. Processen er kontinuert, og aktiekursen vokser med en rate på µ pr. tidsenhed. En anden utilstrækkelig antagelse er, at variansen er konstant. Samme argument som med driften er gældende her; at volatiliteten er proportional med aktiekursen, og derfor opnås ds = µsdt + σsdz, 3.3.1 hvor µ er aktiekursens forventede afkast, og σ er aktiekursens annualiserede volatilitet. Volitilitet udtrykker, hvor meget prisen på et aktiv varierer over tid. Jo mere aktivets værdi ændres, jo højere er volatiliteten. Denne proces er en geometrisk Wiener proces, hvilket er et hovedresultat inden for modeller af aktiekursers opførsel. Dette resultat fremkommer også ved at betragte en multiplikativ model, hvor skridtlængden går mod nul, hvilket ikke uddybes yderligere.

18 KAPITEL 3. BLACK-SCHOLES MODELLEN 3.4 Itôs lemma I dette afsnit udledes et af de vigtigste resultater inden for funktioner af stokastiske variable, kaldet Itô s lemma. Lemma 3.4.1 (Itôs lemma) Antag, at variablen x følger en Itô proces dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz, 3.4.1 hvor z er en Wiener proces, og væksten a og variansen b er funktioner af x og t. Funktionen F (x, t) opfylder da ligningen ( F df = x a + F t + 1 ) F x b dt + F x bdz, hvor z er den samme Wiener proces som i 3.4.1. Det følger derfor, at F er en Itô proces med driften F x a + F t + 1 F x b, og variansen ( ) F b. x Hvis der betragtes en geometrisk Wiener proces 3.3.1, og Itô s lemma anvendes, fås ( F F df = µs + S t + 1 ) F S σ S dt + F S σsdz. 3.4. Dette resultat anvendes til udledning af Black-Scholes ligningen. 3.5 Black-Scholes ligningen Lad S være prisen på et underliggende aktiv, hvor prisen er reguleret af en geometrisk Wiener proces z. S er beskrevet ved ds = µsdt + σsdz, 3.5.1 hvor t er tiden. Antag yderligere, at der findes et risikofrit aktiv med rente r. Værdien B på dette risikofrie aktiv opfylder db = rbdt. 3.5. Modellen bygger på antagelsen, at prisændringerne på det underliggende aktiv kan beskrives som en Itô proces. Sætning 3.5.1 (Black-Scholes ligningen) [Luenberger, 1998] Antag, at prisen på et underliggende aktiv er reguleret af 3.5.1 og renten r. Optionen af dette aktiv har prisen f(s, t), hvilket opfylder den partielle differentialligning f t + f S rs + 1 f S σ S = rf. 3.5.3

3.5. BLACK-SCHOLES LIGNINGEN 19 Bevis Til beviset benyttes Itôs lemma på den geometriske Wiener proces. Fra 3.4. gælder, at ( f f df = µs + S t + 1 ) f S σ S dt + f S σsdz. 3.5.4 Der ønskes at definere en funktion, G(t), som udtrykker den totale værdi af en replikerende portefølje af det underliggende aktiv S og et risikofrit aktiv B. Til hvert tidspunkt t vælges en mængde x t af S og en mængde y t af B. Den totale værdi G(t) af den replikerende portefølje kan da udtrykkes ved G(t) = x t S(t) + y t B(t). Det antages, at der i Black-Scholes ligningen ikke optræder arbitrage. Ingen-arbitrage princippet indebærer, at værdien af den replikerende portefølje G(t) og værdien af optionen f(s, t) skal være ens, for at der ikke kan opstå mulighed for arbitrage. Derfor er ideen at vælge mængderne x t og y t, så G(t) = f(s, t). Ved hjælp af 3.5.1 udvides den afledte af G fra dg = x t ds + y t db, til dg = x t (µsdt + σsdz) + y t rbdt = (x t µs + y t rb)dt + x t σsdz. 3.5.5 For at opnå G(t) = f(s, t), matches koefficienterne for 3.5.4 med koefficienterne for 3.5.5, hvilket giver x t = f S. 3.5.6 Hvis G = f er f(s, t) = f S S + y tb, y t = 1 ( f(s, t) S f ) 3.5.7. B S Ved at substituere 3.5.6 og 3.5.7 ind i 3.5.5 fås ( f dg = S µs + 1 ( f(s, t) S f ) ) rb dt + f B S S σsdz. 3.5.8 Ovenstående koefficienter matches med koefficienterne i 3.5.4 og der fås f S µs + 1 B ( f(s, t) S f S ) rb = f t + f S µs + 1 f S σ S rf(s, t) f f Sr = S t + 1 f S σ S rf = f t + f S rs + 1 f S σ S, hvilket slutter beviset for Black-Scholes partielle differentialligning. Black-Scholes ligning kan betragtes på to måder. Den første måde at betragte ligningen på er, at den etablerer en egenskab, der altid skal overholdes for at undgå arbitragemuligheder. Lad f(s, t) være en vilkårlig funktion, som bestemmer prisen på et aktiv. Da funktionen er vilkårlig, kan den bestemmes således, at Black-Scholes ligningen ikke er opfyldt. Hvis ikke ligningen er opfyldt, vil der forekomme arbitragemuligheder, og det vil være muligt at tjene penge risikofrit. Derfor udgør ligningen en egenskab, som altid skal holde for en options prisfunktion. En anden måde at betragte ligningen på er, at den kan blive brugt til at finde prisfunktionen til forskellige optioner.

0 KAPITEL 3. BLACK-SCHOLES MODELLEN 3.5.1 Black-Scholes antagelser Black-Scholes modellen er nu blevet udledt, men hidtil er modellens antagelser ikke blevet beskrevet. Delta hedging Følgende udledning er en specificering af beviset for Black-Scholes ligningen. Det vides, at værdien af en call eller put option er bestemt ud fra flere forskellige parametre, så som værdien af det underliggende aktiv, tid til udløb, volatiliteten, driften, den risikofrie rente og strike price. Værdien af en option benævnes ved f(s, t, σ, µ, r, K, T ). Handel med call eller put optioner afhænger af forventningerne til markedet. Hvis det underliggende aktiv stiger i værdi, stiger prisen på en call option, og prisen falder på en put option. Dette svarer til en positiv hhv. negativ korrelation mellem det underliggende aktiv og en call hhv. en put option, hvilket ønskes at blive udnyttet i en portefølje bestående af optioner og det underliggende aktiv. Værdien af porteføljen er givet ved Π = V (S, t) S, hvor V (S, t) er værdien af optionerne. Her anvendes en konstant kvantitet til at betegne mængden holdt i det underliggende aktiv. kan enten være positiv eller negativ for hhv. korte og lange positioner, afhængig af om optionerne er put eller call, for at skabe negativ korrelation. Det antages, at det underliggende aktiv følger en lognormal random walk Ændringen i porteføljeværdien er givet ved Fra Itô s lemma følger det, at dv = V t Ved at substituere i 3.5.9 fås ds = µsdt + σsdz. dπ = dv ds. dt + V S ds + 1 σ S V S dt. dπ = V V dt + t S ds + 1 σ S V dt ds. S 3.5.9 3.5.10 I Black-Scholes modellen antages det, at investorer ønsker at reducere deres risiko i porteføljen dvs. at hedge deres porteføljer. Dette opnås ved at konstruere en portefølje, hvor aktiverne indbyrdes har negativ korrelation, således at når ét aktiv falder i værdi, stiger et andet. I 3.5.10 optræder både stokastiske og deterministiske led, og for at hedge forsøges at reducere det stokastiske led til 0. I teorien kan -værdien vælges ved ( ) V S ds = V S. 3.5.11 I Black-Scholes er det antaget, at der hedges kontinuert, således at porteføljen altid er deltaneutral. Dette er imidlertidig umuligt i praksis, hvilket derfor gør antagelsen urealistisk. Denne form for hedging vil senere blive uddybet i kapitel 6.

3.6. BLACK-SCHOLES FORMLEN 1 Ingen arbitrage En anden vigtig antagelse for Black-Scholes modellen er, at der ikke optræder arbitrage, altså er der ikke mulighed for at opnå et risikofrit afkast højere end den risikofrie rente, hvilket stammer fra vores startantagelse 3.5.. For en delta hedget portefølje givet ved 3.5.10 haves ( V dπ = t + 1 ) σ S V S dt. Denne ændring er risikofri og kan ikke være højere end den risikofrie rente. Derfor må der være opfyldt, at dπ = rπdt. Det antages yderligere, at den risikofrie rente er en kendt funktion af tiden. Ingen transaktionsomkostninger Transaktionsomkostninger besværliggør dynamisk hedging, da disse giver begrænsninger i forbindelse med hyppigheden af rebalancering. Dette skyldes, at afkastet ved rebalancering ved små ændringer udlignes af transaktionsomkostninger. Transaktionsomkostninger gør antagelsen om en kontinuert delta hedget portefølje yderligere urealistisk. Ingen dividende Dette er endnu en simplificerende antagelse i de enkelte tilfælde, hvor der bliver udbetalt dividende for aktier. I rapporten antages derfor, at aktiverne ikke betaler dividender. Fast volatilitet Det antages ydermere i Black-Scholes modellen, at volatiliteten er fast. Dette er dog i praksis ikke tilfældet. Dette emne vil blive behandlet i kapitel 5. 3.6 Black-Scholes formlen I dette afsnit udledes Black-Scholes formlen til prisfastsættelse af europæiske optioner. Sætning 3.6.1 vil blive bevist og derefter brugt til beviset for Black-Scholes formlen. Sætning 3.6.1 [Hull, 005] Lad V være en lognormalfordelt variabel, og lad standardafvigelsen ln V være w. Så er den forventede pris på en europæisk call option E [max{v K, 0}] = E [V ]N (d 1 ) KN (d ), hvor d 1 = E [V ]/K + w / w og d = E [V ]/K w /. w Bevis Lad g(v ) være tæthedsfunktion for V. Så fås E [max{v K, 0}] = K (V K)g(V )dv, 3.6.1 hvor V er lognormalfordelt og ln V er normalfordelt [Olofsson, 005]. Middelværdien m af ln V er defineret ved m = ln(e [V ]) w, 3.6. hvor w er standardafvigelsen og E [ ] betegner den forventede værdi [Hull, 011]. Der defineres en ny variabel Q = ln V m, w

KAPITEL 3. BLACK-SCHOLES MODELLEN hvor Q N (0, 1). Tæthedsfunktionen for Q defineres som h(q) = 1 ( ) Q exp π [Olofsson, 005]. Ved at indsætte udtrykket for Q og V i 3.6.1 fås E [max{v K, 0}] = (e Qw+m K)h(Q)dQ (ln K m)/w = e Qw+m h(q)dq K h(q)dq. (ln K m)/w (ln K m)/w Ved hjælp af 3.6.3 fås e Qw+m h(q) = 1 ( Q ) + Qw + m exp π = 1 ( (Q w) + m + w ) exp π ( ) = em+w / (Q w) exp π ( ) m + w = exp h(q w). Da bliver 3.6.4 til 3.6.3 3.6.4 ( ) m + w E [max{v K, 0}] = exp (ln K m)/w h(q w)dq K (ln K m)/w h(q)dq. 3.6.5 N (x) defineres som sandsynligheden for, at en variabel med middelværdi 0 og varians 1 er mindre end x. Derved bliver det første integrale i 3.6.5 [Olofsson, 005] ( ) ( ) ln K m ln K + m 1 N w = N + w. w w Ved at substituere med m fra 3.6. fås ( ln(e [V ]/K) + w ) / N = N (d 1 ). w Tilsvarende udregning gøres for det andet integrale 3.6.5 ( ) ( ) ln K m ln K + m 1 N = N. w w Ved at substituere med m fra 3.6. fås ( ln(e [V ]/K) w ) / N = N (d ). w

3.6. BLACK-SCHOLES FORMLEN 3 Nu substitueres med N (d 1 ) og N (d ) i 3.6.5 ( ) m + w E [max{v K, 0}] = exp N (d 1 ) KN (d ). ( ) Da E [V ] = exp m+w, fås hovedresultatet E [max{v K, 0}] = E [V ]N (d 1 ) KN (d ). Hermed er hovedresultatet bevist og vil nu blive brugt til at bevise Black-Scholes formlen. Sætning 3.6. (Black-Scholes formlen) [Hull, 005] Prisen på en europæisk call option C(S, t) kan bestemmes ved C(S, t) = SN (d 1 ) Ke r(t t) N (d ). Den tilsvarende put options pris udtrykkes ved P (S, t) = Ke r(t t) S + C(S, t) = (1 N (d )) Ke r(t t) S (1 N (d 1 )), 3.6.6 3.6.7 hvor S er spot price, T t er tid til udløb, K er strike price, r er rente, σ er volatilitet, N er normalfordelingen og d 1 = ln(s/k) + (r + σ /)(T t) σ og d = d 1 σ T t, T t N (x) = 1 x ( ) y exp dy. π Bevis Prisen for en europæisk call option er givet ved C = e rt E [max{s T K, 0}], 3.6.8 hvor E [ ] betegner den forventede værdi i den risikoneutrale verden. Da stock price S T er lognormalfordelt, er den forventede værdi til tiden T givet ved E [S T ] = S 0 e rt, og standardafvigelsen er σ T [Olofsson, 005]. Ved at indsætte sætning 3.6.1 i ligning 3.6.8 fås C = e rt (E [S T ]N (d 1 ) KN (d )) hvor og = e rt (S 0 e rt N (d 1 ) KN (d )) = S 0 N (d 1 ) Ke rt N (d ). d 1 = ln(e [S T ])/K + σ T/ σ T d = ln(e [S T ])/K) σ T/ σ T = ln(s 0/K) + (r + σ /)T σ T = ln(s 0/K) + (r σ /)T σ T.