gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge det foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden brug kræver forfatterens skriftlige tilladelse (gud@ruc.dk). 1 Parablen C-niveau Under gruppen af potensfunktioner findes en særskilt undergruppe, som kan optræde flerleddet og med positive heltallige potenser, p ε Z+, som kaldes polynomierne. Den grafiske form for et 0.grads polynomium (k x 0 )vil være en vandret ret linje, kontantfunktionen. Den grafiske form for et 1.grads polynomium (a x 1 + b x 0 ) vil være en ret linje, med hældningen lig 1.grads koefficienten. Den grafiske form for et.grads polynomium (a x + b x 1 +c x 0 )vil være en parabel. Illustration 1: Eksempel på en parabel. Funktionen er angivet. Det matematiske udtryk vil være på formen: y = ax bx c eksempelvis: y = x x 4 Her angiver bogstaverne a, b og c en koefficient der er ganget på hhv..grads-, 1.grads og 0.gradsleddet, da polynomiet ligeledes kan skrives som: parabel_c.odt Side 1 /6 Jakob Gudmandsen: 09-1-05
y = a x b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 For alle parabler på denne form, gælder at definitionsmængden Dm(f) = ]- ; [ og værdimængden er fra toppunktets y-værdi til ±. De tre parametre a, b, og c giver hhv. følgende resultat på parablens form: a angiver hvor stejl parablen er: jo større a-koefficient jo stejlere er kurven og vice versa. Er a positiv vender parablen opad, med toppunktet som den nedre grænse for værdimængden, og er a negativ vender parablen nedad, med toppunktet som den øvre grænse for værdimængden. b angiver i princippet parablens hældning i det punkt hvor parablen skærer.aksen (yaksen). Desuden er den et resultat af 1.gradsproduktet ved multiplikation mellem to toleddede størrelser c er den værdi, hvor grafen skærer.aksen. 1.0.1 Tolkning af koefficienterne Som nævnt herover gør a-koefficienten sig gældende med fortegn og størrelse, ift. om parablen vender opad eller nedad, ligesom dens stignings størrelse. Her tages udgangspunkt i den trivielle parabel y = x : Den trivielle parabel har toppunkt og nulpunkt i Origo. 1.gradskoefficienten medfører en forskydning på skrå ved den rette linje y = bx, som i princippet lægges til.gradsleddet. Dvs. at fortegn og størrelse af b-koefficienten angiver den skrå retning, som parablen er forskudt fra Origo /.aksen (herunder b=). Illustration : Den trivielle parabel, tillagt hhv. 1. og 0.gradsled 0.gradsleddet medfører en simpel parallelforskydning i lodret plan, da alle polynomiets værdier tillægges c-værdien. parabel_c.odt Side /6 Jakob Gudmandsen: 09-1-05
1.1 Fixpunkter Der er umiddelbart op til fire interessante fixpunkter på grafen for.gradspolynomiet, hvoraf mindst to er generelle: 1.1.1 Skæring med.aksen: x = 0 Som nævnt herover angiver c-koefficienten hvilken værdi på.aksen, som parablen skærer denne i. På eksemplet på Illustration 1 er c-værdien lig -4, hvilket tydeligt kan ses ved dennes skæring af.aksen i y = -4. Dvs. at vi har et punkt i (x,y) = (0,c). 1.1. Skæring med 1.aksen: Nulpunkter y = 0 De punkter hvor grafen skærer 1.aksen (x-aksen) har det til fælles, at y-værdien er lig 0: y = 0 ax bx c = 0 x = b± d a hvor d = b c De(n) x-værdi(er) der findes herved kaldes ligeledes polynomiets rødder. Koefficienten d kaldes diskriminanten, som er et udtryk for flere forhold ved parablen: for d > 0 kan der findes rødder, illustreret ved at parablen skærer 1.aksen gange for d = 0 kan der findes 1 rod, illustreret ved at parablen kun rører 1.aksen og derved er rodens x-værdi den samme som toppunktets x-værdi for d < 0 kan der ikke findes rødder, bl.a. da det ikke er muligt at tage kvadratroden af et negativt tal. Dette betyder, at grafen for.gradspolynomiet ikke når ned/op til 1.aksen, hvorved en opadgående parabel med positiv a-koefficient vil udelukkende have positive funktionsværdier og en parabel med negativ a-koefficient vil udelukkende have negative funktionsværdier. For eksemplet på Illustration 1 fås der: d = 4 4 = 36 x = ± 36 = { x = 1 x = Dvs. at grafen skærer 1.aksen i x = -1 og x =, hvilket harmonerer fint med grafen. Det er altså ikke alle parabler, som har et eller to nulpunkter. parabel_c.odt Side 3 /6 Jakob Gudmandsen: 09-1-05
1.1.3 Bevis for nulpunktsformlen (ikke kernestof på C-niveau) Alle punkter på 1.aksen har.koordinaten lig nul, y = 0). Herunder er beregningen markeret til højre: ax bx c=0 x bx c=0 b x bx c b =b c x bx b =b c Udtrykket til højre for lighedstegnet er nu lig definitionen for diskriminanten, ligesom der kan benyttes kvadratet af en toleddet størrelse på udtrykket til venstre for lighedstegnet: d =b c ax b = ax ax b b Herved kan udtrykket reduceres til: Herved fås der: ax b =d ax b=± d x= b± d a ax= b± d Her skal opmærksomheden henledes på diskriminantens fortegn og størrelse, da der ikke kan tages kvadratroden af negative tal (ingen løsninger), kvadratroden af 0 (nul) er lig 0 (en løsning) og kvadratroden af et positivt tal vil give løsninger til både + d og - d (to løsninger). 1.1.4 Toppunkt Toppunktet kan findes ved, at indsætte koefficienterne i flg. ligning: x, y = b a ; d Eksemplet på Illustration 1 har koefficienterne a =, b = - og c = -4, hvilket medfører: x, y = 36 ; 4 = 1 ; 9 0,5 ; 4,5 Dette er toppunktets koordinater i x,y-planet, hvilket harmonerer fint med grafen på Illustration 1. Bevis for toppunktsformlen findes i mange udgaver, hvoraf det mest udbredte er på baggrund parabel_c.odt Side 4 /6 Jakob Gudmandsen: 09-1-05
af symmetribetragtninger (se vejledning derom andetsteds), hvor det kan konstateres, at toppunktes x-værdi må ligge præcis midt i mellem de to rødders x-værdier. 1.1.5 Bevis for toppunkt udfra symmetribetragtninger (ikke kernestof på C-nievau) Der tages udgangspunkt i en parabel med to rødder (nulpunkter), dvs. med diskriminanten større end 0. Resultatet er gældende for alle parabler, også dem med en eller ingen rødder, hvor der så skal ændres på.gradspolynomiets konstant-led (c), således at det er muligt at finde to punkter, som har fælles y-værdi. Funktionen for.gradspolynomiet er på formen: y = ax bx c...hvor rødderne kan findes som beskrevet i afsnit 1.1. Skæring med 1.aksen: Nulpunkter y = 0. For at beregne koordinaterne til parablens toppunkt, benyttes her symmetri-betragtninger, da parablen er symmetrisk om en lodret akse, som skærer parablen i netop toppunktet - symmetriaksen. Illustration 3: Parabel for.gradspolynomium med to rødder Det vil sige at toppunktets x-værdi må ligge præcis midt i mellem parablens to rødder. Jfr. illustrationen herover har toppunktet koordinaterne (xt;yt) og må afstanden mellem den ene rod og toppunktets x-værdi være: x 1 x t = x 1 x = x 1 x 1 x = x 1 x 1 x parabel_c.odt Side 5 /6 Jakob Gudmandsen: 09-1-05
Da afstanden mellem de to rødder er x x1 kan udsagnet udtrykkes ved: = x 1 x x 1 = x 1 x Ved indsættelse af nulpunkternes (røddernes) værdier fås: x t b d a = = b d a b d b d = b = b a Dette stemmer fint overens med formelsamlingens udtryk for toppunktets x-værdi. Da y = f(x) kan vi med værdien for x-koordinatet nu finde y-koordinatet med indsættelse i udtrykket for.gradspolynomiet: y t = ax t bx t c = a b a b b a c = b b a c = b c = b b c, b c = d = d Hermed er det vist, at parablens toppunkt ligger i punktet: T p : x t ; y t = b a ; d parabel_c.odt Side 6 /6 Jakob Gudmandsen: 09-1-05