BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper Opskriv formlen for sekanthældningen. Indsæt den konkrete funktionstype i formlen Reducer dvs. flyt rundt med de enkelte led, indtil det bliver pænt Tag grænseværdien af sekanthældningen, dvs. lad Δ x 5. Beviset er færdigt og afsluttes med et QED Afsnit 5 den lineære funktion Lad Da er f ( ax + b f '( a Beviset følger fuldstændigt den før nævnte algoritme. Lad os prøve. Først skulle vi bruge formlen for sekantens hældning - f ( x + ) f ( Så skulle vi sætte den konkrete funktionstype ind. Her er f ( ax + b og f ( x + ) x + ) + b. Det sidste led kan godt volde problemer, men husk, at det der står inde i parentesen efter f, er det x der skal sættes ind på x s plads i regneforskriften for f. Ved f ( x + ) hedder x et altså x +. Det skal så ganges med a og derefter lægger vi b til, altså a ( x + ) + b. f ( x + ) f ( x + ) + b ( ax + b) Så skulle vi reducere lidt. I det her tilfælde ganger vi a ind i den første parentes og hæver den anden minus parentes. x + ) + b ( ax + b) ax + a + b ax b Nu kan vi reducere yderligere, så vi er stadigvæk i gang med punkt i algoritmen ax + a + b ax b a a
f ( x + ) f ( Til sidst dividerede vi ud i tæller og nævner. Vi har nu fundet ud af at a, hvis f( er en funktion af typen f( ax + b. Nu er vi kommet til det afgørende punkt. Vi skal lade gå imod nul og se hvad der så sker. a? for Men dette er jo meget simpelt, fordi slet ikke indgår i udtrykket. Derfor er grænseværdien af sekantens hældning i dette tilfælde blot a. Dvs. lim f ( x + ) f ( 5. f '( a, når f( ax + b. Og det var lige præcis det vi ville vise, og vi kan skrive QED. Afsnit 6 andengradsfunktionen Lad Da er f ( ax + bx + c f '( ax + b BEVIS Beviset forløber ligesom beviset for differentiation af den lineære funktion. Vi kan referere til vores algoritme igen! Hjælp til beviset Først skulle vi bruge formlen for sekantens hældning- I beviset skal vi bruge kvadratet på en to- leddet størrelse. (a + b) a + b +ab Eller hvis den hedder (x + x + ( + x x f ( x + ) f ( Så skulle vi sætte den konkrete funktionstype ind. Her er f ( ax + bx + cog f ( x + ) x + ) + b( x + ) + c. Det sidste led er præcis som før. Ved f ( x + ) hedder x et altså igen x +. x +. skal så sættes i anden og ganges med a. og derefter lægger vi b gange x +. til og til sidst lægger vi c til.. f ( x + ) f ( x + ) + b( x + ) + c ( ax + bx + c) Så skal der reduceres og først udregnes kvadratet på den to-leddede størrelse, b ganges ind i parentesen og så hæves minusparentesen. f ( x + ) f ( x + ( ) + + bx + b + c ax bx c Vi reducerer videre. a ganges ind i den store parentes og flere led kan forkortes ud de går ud med
hinanden. f ( x + ) f ( ) + ax + b Vi bemærker nu, at der står på alle led på i tæller og nævner, så det kan forkortes ud. f ( x + ) f ( ) + ax + b 5. a + ax + b Så er vi klar til at lade gå imod nul, altså til at tage grænseværdien af sekanthældningen, så det bliver til den afledte funktion. 6. a + ax + b + ax + b ax + b for Det første led a er det eneste der afhænger af nul. Så tilbage bliver kun ax+b. f x x f x Dvs f x lim ( + Δ ) ( ) '( ) ax + b, når f(ax +bx+c. Så QED Afsnit 8 polynomier Sum og differens Δ x. Men det går imod nul da jo nærmer sig Lad f og g være to differentiable funktioner, så differentieres deres sum f( og deres differens k( f( - g( på følgende måde: h '( f '( + g'( k'( f '( g'( Bevis. Vi beviser kun sum altså hvor f( Unknown Field Code Changed Først skulle vi bruge formlen for sekantens hældning x + ) Så skulle vi sætte den konkrete funktionstype ind. Her indser vi, at når h ( f ( x + ) f ( x + ) x + ) Dvs. at. x + ) ( f ( x + ) x + )) ( f ( ) Nu skal vi reducere, dette svarer her til at hæve parenteserne. Den første er en plus parentes og kan hæves uden videre, men den anden er en minus parentes, og så skal vi huske at skifte fortegn på leddene i parentesen!
x + ) f ( x + ) x + ) f ( Nu samler vi f for sig og g for sig x + ) ( f ( x + ) f ( ) + ( g( x + ) ) Den sidste brøk er egentlig summen af to brøker med en fællesnævner. Nu går vi så modsat af hvad vi plejer at gøre. Vi deler simpelthen op i den to brøker. 5. x + ) f ( x + ) f ( g( x + ) + Vi ved, at hvis vi nu lader bliver venstresiden til h '(. Lad os se hvad der sker med højre siden når f ( x + ) f ( g( x + ) 6. +? når Første brøk er sekanthældningen for funktionen f. Så det bliver til sekanthældningen for g, så det bliver til g'. Alt i alt får vi altså at f ' når. Anden brøk er 7. h '( f '( + g'( Hvilket var det ønskede resultat så QED Beviset for differens kører fuldstændig på samme vis. Den eneste forskel er at der dukker nogle minusser frem her og der. Differentiation af funktion gange konstant Lad f være en differentiabel funktion og k et vilkårligt tal, k f ( h'( k f '( Bevis Beviset følger fuldstændig samme fremgangsmåde som de tidligere beviser for regnereglerne. Bevis Først skulle vi bruge formlen for sekantens hældning - x + )
Så skulle vi sætte den konkrete funktionstype ind. Her indser vi, at når k f ( x + ) k f ( x + ) Dvs. at. x + ) k f ( x + k f ( Nu skal vi reducere, her kan vi sætte k udenfor en parentes, fordi k er ganget på begge f leddene. x + ) k ( f ( x + ) f ( ) Nu sætter vi k ud foran brøken x + ) ( f ( x + ) f ( ) k Så er vi klar til at tage grænseværdien, så vi får den afledte funktion. Vi ved, at hvis vi nu lader bliver venstresiden til h '(. Lad os se hvad der sker med højre siden når ( f ( x + ) f ( ) 5. k? når k afhænger ikke af Δ x, så k bliver blot ganget på grænseværdien af brøken. Brøken er sekanthældningen for f(. Så det bliver til f ' når. Alt i alt får vi altså at 6. h' ( k f '( Hvilket var det ønskede resultat så QED