Arcus, I 13. marts 2008
I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) Arcus, I
I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : Arcus, x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) I Lad f være enentydig. Den omvendte funktion f er givet ved f 1 (a) = b () f (b) = a dvs. f 1 omgør, hvad f gør. 1 til f I
I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : Arcus, x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) I Lad f være enentydig. Den omvendte funktion f er givet ved dvs. f f 1 (a) = b () f (b) = a 1 omgør, hvad f gør. I Lad f være enentydig. Vi har for alle x: f 1 f (x) = x og f f 1 (x) = x. 1 til f I
I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) I Lad f være enentydig. Den omvendte funktion f er givet ved dvs. f f 1 (a) = b () f (b) = a 1 omgør, hvad f gør. 1 til f I Lad f være enentydig. Vi har for alle x: f 1 f (x) = x og f f 1 (x) = x. I Hvis f er di erentiabel i x 0 med f 0 (x 0 ) 6= 0, så er f 1 di erentiabel i y 0 = f (x 0 ) med f 1 0 (y0 ) = 1 f 0 (x 0 ) Arcus, I
I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) I Lad f være enentydig. Den omvendte funktion f er givet ved dvs. f f 1 (a) = b () f (b) = a 1 omgør, hvad f gør. 1 til f I Lad f være enentydig. Vi har for alle x: f 1 f (x) = x og f f 1 (x) = x. I Hvis f er di erentiabel i x 0 med f 0 (x 0 ) 6= 0, så er f 1 di erentiabel i y 0 = f (x 0 ) med f 1 0 (y0 ) = 1 f 0 (x 0 ) Arcus, I I Maple: arcsin, arccos og arctan, men se også nedenfor.
2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 Arcus, I
2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. Arcus, I
2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. I arcsin omgør, hvad Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b 2 2, i 2 Arcus, I
2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. I arcsin omgør, hvad Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b 2 2, i 2 I De nitionsmængden for arcsin er værdimængden for Sin, altså [ 1, 1]. Arcus, I
2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. I arcsin omgør, hvad Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b 2 2, i 2 I De nitionsmængden for arcsin er værdimængden for Sin, altså [ 1, 1]. I arcsin 1 = 2 da sin 2 = 1 og 2 2 2, Arcus, I
2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. I arcsin omgør, hvad Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b 2 2, i 2 I De nitionsmængden for arcsin er værdimængden for Sin, altså [ 1, 1]. I arcsin 1 = 2 da sin 2 = 1 og 2 2 2, I arcsin 0 = 0 da sin (0) = 0 og 0 2. 2, 2 Arcus, I
2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. I arcsin omgør, hvad Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b 2 2, i 2 I De nitionsmængden for arcsin er værdimængden for Sin, altså [ 1, 1]. I arcsin 1 = 2 da sin 2 = 1 og 2 2 2, I arcsin 0 = 0 da sin (0) = 0 og 0 2 2, I arcsin 1 2 = 6 da sin 6 = 1 2 og 6 2 2, Arcus, I
2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. I arcsin omgør, hvad Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b 2 2, i 2 I De nitionsmængden for arcsin er værdimængden for Sin, altså [ 1, 1]. I arcsin 1 = 2 da sin 2 = 1 og 2 2 2, I arcsin 0 = 0 da sin (0) = 0 og 0 2 2, I arcsin 1 2 = 6 da sin 6 = 1 2 og 6 2 2, I arcsin sin 3 2 = arcsin ( 1) = Arcus, I
I sin (arcsin x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. Arcus, I
I sin (arcsin x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. I arcsin (sin x) = x for alle x 2. 2, 2 Arcus, I
I sin (arcsin x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. I arcsin (sin x) = x for alle x 2. 2, 2 I arcsin er di erentiabel i ethvert x 2 ] d dx arcsin x = 1 p 1 x 2 1, 1[ med Arcus, I
I sin (arcsin x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. I arcsin (sin x) = x for alle x 2. 2, 2 I arcsin er di erentiabel i ethvert x 2 ] d dx arcsin x = 1 p 1 x 2 1, 1[ med I Bevis. Lad x 0 2 2, 2 og lad f = sin i den generelle sætning om di erentiabilitet. f 0 (x 0 ) = cos x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = sin x 0, så gælder Arcus, I f 1 0 (y0 ) = 1 = q1 (sin x 0 ) 2 1 f 0 (x 0 ) = 1 = cos x 0 1 q1 (sin x 0 ) 2 = 1 q 1 y0 2
I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] Arcus, I
I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. Arcus, I
I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. I arccos omgør, hvad Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b 2 [0, ] Arcus, I
I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. I arccos omgør, hvad Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b 2 [0, ] Arcus, I I De nitionsmængden for arccos er værdimængden for Cos, altså [ 1, 1].
I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. I arccos omgør, hvad Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b 2 [0, ] Arcus, I I De nitionsmængden for arccos er værdimængden for Cos, altså [ 1, 1]. I arccos 1 = 0 da cos 0 = 1 og 0 2 [0, ].
I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. I arccos omgør, hvad Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b 2 [0, ] Arcus, I I De nitionsmængden for arccos er værdimængden for Cos, altså [ 1, 1]. I arccos 1 = 0 da cos 0 = 1 og 0 2 [0, ]. I arccos 0 = 2 da cos 2 = 0 og 2 2 [0, ].
I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. I arccos omgør, hvad Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b 2 [0, ] Arcus, I I De nitionsmængden for arccos er værdimængden for Cos, altså [ 1, 1]. I arccos 1 = 0 da cos 0 = 1 og 0 2 [0, ]. 2 I arccos 0 = 2 da cos I arccos 1 2 = 3 da cos 3 = 0 og 2 2 [0, ]. = 1 2 [0, ]. 2 og 3
I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. I arccos omgør, hvad Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b 2 [0, ] Arcus, I I De nitionsmængden for arccos er værdimængden for Cos, altså [ 1, 1]. I arccos 1 = 0 da cos 0 = 1 og 0 2 [0, ]. I arccos 0 = 2 da cos 2 = 0 og 2 2 [0, ]. I arccos 1 2 = 3 da cos 3 = 1 2 og 3 2 [0, ]. I arccos cos 3 2 = arccos (0) =
I cos (arccos x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. Arcus, I
I cos (arccos x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. I arccos (cos x) = x for alle x 2 [0, ]. Arcus, I
I cos (arccos x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. I arccos (cos x) = x for alle x 2 [0, ]. I arccos er di erentiabel i ethvert x 2 ] 1, 1[ med d dx arccos x = 1 p 1 x 2 Arcus, I
I cos (arccos x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. I arccos (cos x) = x for alle x 2 [0, ]. I arccos er di erentiabel i ethvert x 2 ] 1, 1[ med d dx arccos x = 1 p 1 x 2 I Bevis. Lad x 0 2 ]0, [ og lad f = cos i den generelle sætning om di erentiabilitet. f 0 (x 0 ) = sin x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = cos x 0, så gælder Arcus, I f 1 0 (y0 ) = 1 = q1 (cos x 0 ) 2 1 f 0 (x 0 ) = 1 = sin x 0 1 = q1 (sin x 0 ) 2 1 q 1 y0 2
I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, Arcus, I
I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. Arcus, I
I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. I arctan omgør, hvad Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b 2 2, h 2 Arcus, I
I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. I arctan omgør, hvad Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b 2 2, h 2 I De nitionsmængden for arctan er værdimængden for Tan, altså R. Arcus, I
I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. I arctan omgør, hvad Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b 2 2, h 2 I De nitionsmængden for arctan er værdimængden for Tan, altså R. I arctan 1 = 4 da tan 4 = 1 og 4 2 2, Arcus, I
I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. I arctan omgør, hvad Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b 2 2, h 2 I De nitionsmængden for arctan er værdimængden for Tan, altså R. I arctan 1 = 4 da tan 4 = 1 og 4 2 2, I arctan 0 = 0 da tan 0 = 0 og 0 2. 2, 2 Arcus, I
I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. I arctan omgør, hvad Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b 2 2, h 2 I De nitionsmængden for arctan er værdimængden for Tan, altså R. I arctan 1 = 4 da tan 4 = 1 og 4 2 2, I arctan 0 = 0 da tan 0 = 0 og 0 2 2, I arctan p 3 = 3 da tan p 3 = 3 og 3 2 2, Arcus, I
I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. I arctan omgør, hvad Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b 2 2, h 2 I De nitionsmængden for arctan er værdimængden for Tan, altså R. I arctan 1 = 4 da tan 4 = 1 og 4 2 2, I arctan 0 = 0 da tan 0 = 0 og 0 2 2, I arctan p 3 = 3 da tan p 3 = 3 og 3 2 2, I arctan tan 3 4 = arctan ( 1) = 4. Arcus, I
I I tan (arctan x) = x for alle x 2 R. Arcus, I
I I tan (arctan x) = x for alle x 2 R. I arctan (tan x) = x for alle x 2 2, Arcus, I
I I tan (arctan x) = x for alle x 2 R. I arctan (tan x) = x for alle x 2 2, I arctan er di erentiabel i ethvert x 2 R med d dx arctan x = 1 1 + x 2 Arcus, I
I I tan (arctan x) = x for alle x 2 R. I arctan (tan x) = x for alle x 2 2, I arctan er di erentiabel i ethvert x 2 R med d dx arctan x = 1 1 + x 2 I Bevis. Lad x 0 2 2, 2 og lad f = tan i den generelle sætning om di erentiabilitet. f 0 (x 0 ) = 1 + tan 2 x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = tan x 0, så gælder Arcus, I f 1 0 (y0 ) = 1 f 0 (x 0 ) = 1 1 + tan 2 x 0 = 1 1 + y 2 0
I I tan (arctan x) = x for alle x 2 R. I arctan (tan x) = x for alle x 2 2, I arctan er di erentiabel i ethvert x 2 R med d dx arctan x = 1 1 + x 2 I Bevis. Lad x 0 2 2, 2 og lad f = tan i den generelle sætning om di erentiabilitet. f 0 (x 0 ) = 1 + tan 2 x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = tan x 0, så gælder Arcus, I f 1 0 (y0 ) = 1 f 0 (x 0 ) = 1 1 + tan 2 x 0 = 1 1 + y 2 0 I Maple.
I Sinus hyperbolsk de neres således sinh x = 1 2 ex e x Arcus, I
I Sinus hyperbolsk de neres således sinh x = 1 2 ex e x I Cosinus hyperbolsk de neres således cosh x = 1 2 ex + e x Arcus, I
I Sinus hyperbolsk de neres således sinh x = 1 2 ex e x I Cosinus hyperbolsk de neres således cosh x = 1 2 ex + e x I Begge er de nerede og di erentiable overalt med d d sinh x = cosh x, dx cosh x = sinh x dx Arcus, I
I Sinus hyperbolsk de neres således sinh x = 1 2 ex e x I Cosinus hyperbolsk de neres således cosh x = 1 2 ex + e x I Begge er de nerede og di erentiable overalt med d d sinh x = cosh x, dx cosh x = sinh x dx Arcus, I I Hyperbolsk idiotformel: cosh 2 x sinh 2 x = 1. Bevis: (cosh x) 2 (sinh x) 2 1 = 2 ex + e x 2 1 2 ex e x 2 = 1 4 e2x + 2 + e 2x 1 4 e2x 2 + e 2x = 1
I Tangens hyperbolsk de neres således tanh x = sinh x cosh x Arcus, I
I Tangens hyperbolsk de neres således tanh x = sinh x cosh x I sinh er voksende og derfor enentydig. Den har en invers: arsinh. Arcus, I
I Tangens hyperbolsk de neres således tanh x = sinh x cosh x I sinh er voksende og derfor enentydig. Den har en invers: arsinh. I Det kan vises, at for alle x 2 R: arsinh x = ln x + p x 2 + 1 Arcus, I
I Tangens hyperbolsk de neres således tanh x = sinh x cosh x I sinh er voksende og derfor enentydig. Den har en invers: arsinh. I Det kan vises, at for alle x 2 R: arsinh x = ln x + p x 2 + 1 I cosh er ikke enentydig, men restriktionen til [0, [ er. Den omvendte hertil er arcosh. Arcus, I
I Tangens hyperbolsk de neres således tanh x = sinh x cosh x I sinh er voksende og derfor enentydig. Den har en invers: arsinh. I Det kan vises, at for alle x 2 R: arsinh x = ln x + p x 2 + 1 I cosh er ikke enentydig, men restriktionen til [0, [ er. Den omvendte hertil er arcosh. I Det kan vises, at for alle x 1: arcosh x = ln x + p x 2 1 Arcus, I
I Tangens hyperbolsk de neres således tanh x = sinh x cosh x I sinh er voksende og derfor enentydig. Den har en invers: arsinh. I Det kan vises, at for alle x 2 R: arsinh x = ln x + p x 2 + 1 I cosh er ikke enentydig, men restriktionen til [0, [ er. Den omvendte hertil er arcosh. I Det kan vises, at for alle x 1: arcosh x = ln x + p x 2 1 Arcus, I I For mere se Maple.