Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes. Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z af z x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y og imaginær del v(x, y givet ved a u(x, y x x +y og v(x, y y x +y b u(x, y e y sinh x og v(x, y e y cosh x a Det ses, at f(z u(x, y + iv(x, y kan skrives på formen x x + y i y x + y z zz /z. Denne funktion er analytisk i hele den komplekse plan, bortset fra i den simple pol i origo. b Fra Cauchy-Riemann ser vi, at kun er lig hvis y 0. Samtidig ser vi, at er lig x u(x, y e y cosh x y v(x, y e y cosh x, y u(x, y e y sinh x x v(x, y e y sinh x, i hele den komplekse plan. Dvs. Cauchy-Riemann betingelserne er opfyldt for den reelle akse, dvs. hvor y 0. Opgave Find alle singulariteter og bestem ordenen af eventuelle poler for følgende udtryk a b z 6z + 8 ( ( 4 3 e z Side af 6
a z 6z + 8 ( ( 4 ( ( 4 3 ( ( 4 3 ( 4 Dvs. der er en pol af anden orden i z 4.(Det kan bemærkes, at singulariteten i z er hævelig. b Der er simple poler for z ik, hvor k er et heltal forskelligt fra 0. Det interessante punkt er z 0, e z ( k0 zk /k! z (z k zk /k! z Hvis vi nu benytter den geometriske række på den første brøk, så opnår man (z k zk /k! z z ( + k zk /k! z z ( + O( z. Dette udtryk går mod 0 for z 0. Udtrykket har derfor ingen singularitet for z 0 (men derimod en hævelig singularitet. Opgave 3 Find Laurantrækkerne omkring punkterne z 0 for funktionerne a b a cosh ( f(z f(z exp ( + exp ( z ( cosh (, hvor z 0 sin z (, hvor z 0 ( ( k ( k! k0 ( k ( k. k! I de to summer er det kun de lige led som overlever, dvs. den Laurant-rækker bliver ( cosh ( exp ( + exp ( z ( k. ( ( (k! k0 k0 b Funktionen har en simpel pol i z /, dvs. f(z ( sin z cos( / ( ( ( k ( k! k0 k Side af 6
Opgave 4 Benyt et passende valg af kurveintegraler i den komplekse plan til at udregne integralet (x + (x + 9 dx Integranden har simple poler i x ±i og i x ±3i. Samtidig ser vi at x (x + (x 0, for x + 9 Dvs. vi kan lukke integrationsvejen langs en halvcirkel i den øvre plan og beregne integralet fra residuerne i z i og z 3i. ( (x + (x dx i + 9 6i 48i Opgave 5 Udregn følgende integrale ved kontourintegration i den komplekse plan dθ 0 3 + 4 cos θ Vi benytter den sædvanlige substitution for cos θ. dz 3 z+/z + iz i 3 4 6 z 3 + z + 6 dz Man nder nu følgende rødder for andengrads polynomiet i nævneren, α / 3 og α 3 og bemærker at kun den første ligger inden for enhedscirklen, derfor fås dz ires(z α i i 3 6 ( α ( α i 4 Opgave 6 Beregn integralet ( z sin z dz langs en cirkel i den komplekse plan med radius r og centrum i z /. Side 3 af 6
Man ser, at integranden har singulariteter inden for integrationsvejen i punkterne z 0 og i z. Singulariteten i z 0 er en pol af anden orden og har residuet ( z ( ( (3z 3 z sin z (sin z + z cos z d Res(z 0 lim z 0 dz z sin z lim z 0 z sin z z ( z sin z Ved hjælp af L'Hospital regel (tæller og nævner går begge til nul fås at residuet Res(z 0 Singulariteten i z er en simpel pol, og derfor ( ( ( Res(z lim ( ( ( lim z 0 z sin z z 0 z sin( z Dvs. Opgave 7 ( dz i z sin z Benyt Laplace-transformationen til at løse følgende system af dierentialligninger for x(t med startbetingelsen (x 0, y 0 (, 0. ẋ 4x y ẏ x + y Efter at have benyttet Laplace-transformationen på begge ligninger fås Fra den sidste af de to ligninger får vi, sˆx x 0 4ˆx ŷ sŷ y 0 ˆx + ŷ ŷ ˆx s Vi indsætter nu dette i den første af de to ligninger, og får sˆx + 4ˆx Side 4 af 6 ˆx s
Hvilket igen giver, at ˆx (s s 5s + 6 (s (s (s 3 I Bromwich integralet benytter vi nu, at der er simple poler i s og s 3, og får x(t e t + 4e 3t Opgave 8 Benyt Laplace-transformationen til at løse følgende dierentialligning for y(t y (t + 4y (t + 4y(t e t med startbetingelserne y(0 0 og y (0 0. Den Laplace-transformerede ligning med startbetingelserne indsat har formen Denne ligning giver Vi nder residuet i den simple pol og i polen af anden orden s ŷ + 4sŷ + 4ŷ s + ŷ (s + (s + Res(s e t Res(s ( + te t Dvs. løsningen bliver y(t e t ( + te t Opgave 9 Vis at følgende integrale antager den givne værdi ved hjælp af kontourintegration i den komplekse plan x /3 0 x + dx 3 Du vil muligvis få brug for en af følgende værdier cos(/6 3/ og sin(/6 /. Side 5 af 6
Vi lægger opskæringslinien langs den postive reelle akse, og får derved (udfører integralet langs de to sider af opskæringslinien og langs en cirkel i uendelig, som ikke bidrager til integrationen 0 Hvilket giver Hvilket igen giver 0 x /3 0 x + dx + (xe i /3 x + dx i(res(z i + Res(z i ( e i/3 x /3 0 x + dx (ei/6 e i/ x /3 x + dx (ei/6 e i/ ( e i/3 sin(/6 sin(/6 cos(/6 3 Side 6 af 6