Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme en partikels sted og dens impuls nøjagtigt. I matematikken kan det formuleres som at man ikke på samme tid kan lokalisere både en funktion og dens Fourier transformation. Jeg giver et forholdsvist enkelt bevis for Heisenbergs usikkerhedsrelation for Fourier transformationen, og diskuterer andre versioner af Heisenbergs usikkerhedsrelation, f.eks. for funktioner på en cirkel (dvs. periodiske funktioner) og deres Fourier rækker. / 17 Hvorfor? 1 Fordi jeg synes det er interessant! (og del af min egen forskning) Det er forholdsvist simpelt (og noget de fleste kender). 3 Synergi mellem matematik og fysik. 4 (mange) Forskellige beviser / fremgangsmåder for samme resultat. 5 Specielt: abstrakt tilgang giver mere forståelse og overblik (og lettere bevis?) - kan generaliseres. 3 / 17 Funktionsrum L 1 (R): målelige funktioner på R som er integrable, dvs. f (x) dx <. L (R): målelige funktioner på R som er kvadratisk integrable, dvs. f (x) dx <. L (R) er et Hilbert rum! C c (R): differentiable funktioner med kompakt støtte (dvs. f (x) = 0 udenfor en lukket og begrnset mængde). S(R): Schwartz funktioner, dvs. differentiable funktioner som aftager hurtigere end ethvert polynomium. 4 / 17
Fourier transformationen Lad f L 1 (R) (eller f C c (R) eller f S(R),...) Definition af Fourier transformationen 1 f (y) = f (x)e ixy dx, π Inversionsformel Lad f S(R). Så gælder (y R). f (x) = 1 π f (y)e ixy dy, (x R). Transformation af differentiation... Lad f S(R). Ved at bruge partiel integration fås f (y) = iy f (y). 5 / 17 Fourier transformationen kan udvides til L (R), og Plancherel formel Lad f, g L (R). Så gælder L -normen f givet ved Plancherel formlen giver så f (x)g(x) dx = f (y)ĝ(y) dy. ( 1/ f = f (x) dx). f = f. 6 / 17 Vigtige funktioner Gauss funktion / Normalfordelingsfunktion f (x) = C exp ( (x µ) σ ). Lad µ = 0 og σ = 1, da fås den 0 te Hermite funktion h 0 (x) = e x /, som opfylder ĥ 0 = h 0. 7 / 17 lidt harmonisk analyse Hvis f er defineret på et begrænset interval... Paley Wiener sætningen (1934) giver bl. a. Antag at f har kompakt støtte, så kan f ikke have kompakt støtte (da f er en holomorf funktion). (tid og frekvens kan ikke begge være begrænsede) Hvis f og f begge går meget hurtigt mod nul i uendeligt... Hardys Usikkerhedsprincip (1933) Antag f (x) Ce α x og f (y) Ce β y, hvor C, α, β er positive konstanter. Så er f = 0 hvis αβ > 1 4. (Hvis αβ = 1 4, er f (x) = Ce αx. Kan reformuleres v.h.a. varmekernen) 8 / 17
Heisenbergs usikkerhedsrelation (centreret) Lad f L (R). Så gælder eller, eller, x f (x) dx y f (y) dy 1 ( f (x) dx), 4 xf y f 1 f, xf f 1 f. Miinimum antages (!) af Gauss funktioner (som opfylder differential ligningen f (x) = kxf (x)). 9 / 17 Bevis Beviset er ikke så svært... Lad f C c (R). Så gælder = (fra Cauchy Schwartz) x f (x) dx y f (y) dy x f (x) dx f (x) dx ( ) xf (x)f (x) dx (og da real delen er mindre end normen...) ( 1 x(f (x)f (x) + f (x)f (x))dx ) 10 / 17 (produktreglen) (partiel integration) = 1 4 (da f () = f ( ) = 0) = 1 ( x(f (x)f (x)) dx 4 ) ( ) [x f (x) ] f (x) dx = 1 ( f (x) dx). 4 Vedr. minimum, husk da at Cauchy Schwartz uligheden bliver en lighed præcis når de to funktioner er proportionale. 11 / 17 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Lad f L (R), og lad a, b R. Så gælder (x a) f (x) dx b) (y f (y) dy 1 4 ( f (x) dx). Hvis xf (x) og y f (y) er i L (R), gælder ligheden for funktioner af typen hvor c, d R. f (x) = ce ibt e dt, 1 / 17
Periodiske funktioner Lad f være en π-periodisk funktion. Vi vil betragte f som en funktion på intervallet ] π, π] eller på cirklen S 1. Fourier koefficienter f (k) = 1 π π π f (x)e ikx dx, (k Z). Fourierrækker f (x) k Z f (k)e ikx. Hvor er et lighedstegn (evt. punktvist) hvis f er en pæn funktion. 13 / 17 Lad f være pæn, og antag f (θ 0 ) = 0. Så gælder (θ θ 0 )f f 1 f. Bevis: Kan antage θ 0 = π, dvs. f ( π) = f (π) = 0. Nu kan gammelt bevis genbruges. Problem: ikke fysisk... Og hvad med konstante funktioner? Breitenbergers usikkerhedsrelationer Lad f være pæn, og a, b R. Så gælder ( ) (e iθ d a)f dθ b f 1 4π π π e iθ f (θ) dθ. Specielt kan højresiden være nul! (når f (θ) = ce ikθ, k Z) Venstresiden kan forøvrigt også være nul... 14 / 17 Abstrakt Set-up H: Hilbert rum med indre produkt, og =, 1/. A, B: lineære operatorer med domæner D(A), D(B). [A, B] := AB BA, med domæne D(AB) D(BA). Forventet værdi af A m.h.t. f D(A): τ A (f ) := Af, f f, f, Standard afvigelsen, eller variancen, af A m.h.t. f D(A): σ A (f ) := Af τ A (f )f = min (A a)f. a C Bemærk at τ A (f )f er den ortogonale projektion af Af på f. Bemærk at Af, f R hvis A er selvadjungeret. (og at observable i kvantemekanikken svarer til selvadjungerede operatorer på Hilbertrum) 15 / 17 En operator ulighed Antag A, B symmetriske eller normale operatorer på H, da er (A a)f (B b)f σ A (f )σ B (f ) 1 [A, B]f, f, for alle 0 f D(AB) D(BA), og alle a, b C. Med smarte valg af H, og operatorerne A, B, kan vi genfinde de klassiske resultater... Eksempel (Heisenberg usikkerhedsprincip) H = L (R), Af (x) = xf (x) og Bf (x) = if (x). Eksempel (Breitenburger usikkerhedsprincip) H = L ( π, π), Af (x) = e ix f (x) og Bf (x) = if (x). 16 / 17
Sammenhæng mellem de to... Bernstein rummet BR = L ([ R, R]). (eller f L (R) så f R f ) hvor δ (0, 1]. A δ f (x) = f (x) f (x δ) δ (f B R, x R), Bf (x) = xf (x) (f Ḃ R, x R). Som før fås (A δ a)f (B b)f 1 f ( δ), f, for 0 f ḂR, og alle a, b. δ 0 giver Heisenbergs usikkerhedsprincip (A δ d dx ) δ = 1 og R = π giver Breitenburgers usikkerhedsprincip. 17 / 17