MathSoft Mathcad 8 Professional vejledning og opgaver

MathSoft Mathcad 8 Professional vejledning og opgaver 09-07-99 M Copyright ENGBERG a/s

INDHOLDSFORTEGNELSE Lidt om Mathcad 8... 3 2 Hjælp... 6 3 Lighedstegn... 8 4 Indledende regninger... 9 5 Formatering... 4 6 Variable... 8 7 Funktioner... 20 8 Graftegning... 23 9 Mere om grafer... 28 0 Løsning af ligninger... 38 Uligheder... 42 2 Ligningssystemer... 43 3 Symbolske regninger... 45 4 Differentialregning... 48 5 Integralregning... 52 6 Sandsynlighedsregning... 56 7 Vektorer... 59 8 Matricer... 6 9 Komplekse tal... 64 20 Regression... 66 2 Skrivning af tekst... 70 22 Flytning af data... 73 23 Udskrivning... 77 24 Opgaver... 79 Stikordsregister... 40

FORORD Noterne dækker i det store og hele pensum på gymnasiets matematiske linje. Der er dog én væsentlig udeladelse, nemlig differentialligninger. Mathcad er ganske stærk til at løse differentialligninger, men det sker på numerisk form. Når man på A-niveau separerer en første ordens ligning, skal det derimod ske symbolsk og med hensyntagen til de relevante intervaller på både x-aksen og y- aksen. Af hensyn til både den høje opgave og det valgfrie forløb i 3.g er medtaget emnerne Matricer og Komplekse tal. Desuden er der i opgavesamlingen mange opgaver, der rækker ud over pensum. En del af disse opgaver er lagt eksperimentelt an, og kan måske give eleverne idéer til den høje opgave og til det valgfrie forløb. Mathcads største værdi i undervisningen er sikkert netop dette: at gøre erfaringer ved matematiske eksperimenter; se f.eks. opgaverne om Taylorrækker. Vejledningen er ikke til lænestolen, men skal læses foran computeren med Mathcad åbnet. Samtlige eksempler, både i vejledningen og i opgavesamlingen, bør indtastes; ellers kommer metoderne ikke til at sidde i fingrene. Det anbefales at gemme Mathcad-dokumentet med jævne mellemrum. Torben Rosenquist Aabenraa Gymnasium og HF, juni 999 Kommentarer og forslag til disse noter modtages gerne på e-mail Torben.Rosenquist@skolekom.dk 2

LIDT OM MATHCAD 8 Skærmbilledet i MathCad minder meget om en tekstbehandler som f.eks. Word. Det består af skrivefeltet samt fem linjer titellinjen med dokumentets navn menulinjen standardlinjen (værktøjslinje) formateringslinjen (værktøjslinje) matematiklinjen (værktøjslinje) statuslinjen (nederst) Matematiklinjen Math, der er en såkaldt flydende værktøjslinje, ses her trukket over i venstre kant af vinduet. Du kan vise/skjule værktøjslinjerne ved at vælge menupunktet View/Toolbars. Statuslinjen vises/skjules via menupunktet View/Status Bar. På figuren ovenfor ses også paletterne Graph og Arithmetic med en række knapper til forskellige formål. Når du klikker et sted i skrivefeltet, ses et rødt kryds; her vil dine indtastninger blive placeret. Denne korte skrivemåde for en menu og en undermenu bruges overalt i det følgende. 3

Du kalder et nyt dokument frem ved at klikke på knappen New på standardlinjen Du kan klippe og klistre ligninger og tekst v.h.a. knapperne Cut (klip) Copy (kopiér) Paste (sæt ind) Iøvrigt kan du genkende knapperne Open (åbn), Save (gem) og Print (udskriv). INDSTILLINGER Ved normal brug af Mathcad bør Math/Automatic Calculation være slået til. Når man arbejder med meget beregningstunge opgaver, kan det undertiden være en fordel midlertidigt at slå den automatiske beregning fra. Det ses på statuslinjen om den automatiske beregning (AUTO) er valgt. SYSTEMKRAV Ifølge tekstfilen MathSoft\Mathcad8 Professional\doc\Relnotes kræves der Pentium 90-based IBM or compatible computer. CD-ROM drive. Windows 95 or higher or Windows NT 4.0 or higher. At least 6 megabytes of memory. 32 is recommended. At least 80 megabytes of disk space for the typical (default) installation. At least 30 megabytes of disk space is required for a minimal installation. VGA or higher graphics card and monitor required. Super VGA recommended. 256 color display required. Higher than 256 color display recommended. Web Library, Web browsing, and Collaboratory features require a direct Internet connection or Internet access through a service provider. Standard Web browsing in Mathcad and the on-line help requires components from Microsoft Internet Explorer 3.02 or higher (these components are installed automatically if they are needed). Excel component in Mathcad and MathConnex requires Excel for Windows 95 version 7.0 or higher. MATLAB component requires MATLAB Professional version 4.2c or higher or MATLAB Student version 5 or higher. Axum component requires Axum 5.0c (dated 5/8/97) or higher. The S-PLUS component requires S-PLUS 4.5 or higher. 4

For improved appearance and full functionality of on-line Help, installation of Internet Explorer 4.0 or higher is recommended. See the next section for more details. A graphics card that supports OpenGL graphics will make complicated 3D graphs draw more quickly. INDHOLD The Mathcad CD contains the following: The installation program for Mathcad, MathConnex, and associated on-line Help and Resource Center files. Run SETUP.EXE from the root folder (see Section 3 below). Adobe Acrobat Reader 3.0 installation program (\DOC\AR302.EXE). Mathcad User's Guide, Mathcad Reference Manual, and MathConnex User s Guide files in Adobe Acrobat format (requires Adobe Acrobat Reader 3.0 or Exchange 3.0, or higher). Look in the \DOC folder. Creating a User DLL in Adobe Acrobat format (requires Adobe Acrobat Reader 3.0 or Exchange 3.0, or higher). It describes how to create Mathcad functions using C or C++. Look in the \DOC\MATHCAD USERS GUIDE folder. Internet Explorer 5.0. IE 4.0 or higher is recommended for optimal appearance and functionality of the on-line Help. To install IE 5.0, run Ie5Setup.EXE in the \IE folder on the CD. In order to have improved on-line Help, the IE icon does not need to appear on your desktop, nor does IE need to be your default browser. Practical Statistics electronic book. To install it, run SETUP.EXE in the \PRACTICAL STATISTICS folder on the CD. (Note: In Mathcad 8 Professional Academic, this book is on the Math bonus CD.) DANSK/NORSK DISTRIBUTØR ENGBERG a/s Nordre Jernbanevej 3C Postboks 94 3400 Hillerød telefon: 48 25 7 77 telefax: 48 24 08 47 e-mail: info@engberg.dk internet: www.engberg.dk 2 HJÆLP 5

Mathcad er udstyret med så mange hjælpemuligheder, at man kan blive ganske forvirret. Lad os se lidt på de to hovedveje til hjælp. Klik på knappen Resourse Center på standardlinjen En del opslag kræver, at PC en er koblet til Internettet; prøv f.eks. med Getting Started En introduktion til Mathcads muligheder. Advanced Topics Her kan den rutinerede bruger af Mathcad finde mange gode idéer. QuickSheets En virkelig god samling opskrifter på matematiske fremgangsmåder i Mathcad. 6

Reference Tables Indeholder tabeller over fysiske og kemiske konstanter samt matematiske formler. mathsoft.com Dette er et link til producenten MathSofts hjemmeside. Her kan man hente tilføjelser og rettelser til Mathcad 8 Professional (servicepacks og patches). Klik på knappen Help på standardlinjen Contents En systemetisk samling af emner og underemner med korte forklaringer. Index Her kan man søge i en komplet liste over begreber og nøgleord i Mathcad. 7

3 LIGHEDSTEGN Mathcad anvender seks forskellige lighedstegn. Deres betydning vil blive forklaret på rette sted, men lad os alligevel give en samlet oversigt her. Klik på matematiklinjen (Math) på knappen med det besværlige navn Evaluation and Boolean Toolbar Paletten Evaluation indeholder seks knapper med lighedstegn sædvanligt lighedstegn på tastaturet dynamisk lighedstegn; skriv kolon på tastaturet globalt lighedstegn (tilde ) 2 symbolsk lighedstegn (Ctrl og punktum) udvidet symbolsk lighedstegn (Ctrl og Shift og punktum) fedt lighedstegn (Ctrl og +) Når du med markøren peger på en knap, dukker en lille gul kasse op. Dette er det såkaldte Tooltips, som fortæller hvad knappen hedder og eventuelt angiver en genvejstast. Men da de amerikanske tastaturer ikke ser helt ud som de danske, kan du ikke altid stole på genvejen. F.eks. viser Tooltips, at det fede lighedstegn har genvejen Ctrl og =. På dansk skal man faktisk vælge Ctrl og +. 2 Denne genvej virker på en ret specielt måde, idet symbolet ikke indsættes med det samme. Lad os f.eks. skrive ORIGIN. Start med at skrive ORIGIN, tast så (tasten Alt Gr plus tasten med ) og skriv til slut. 8

4 INDLEDENDE REGNINGER Operatorer Mathcad anvender de sædvanlige regneoperatorer på tastaturet + - / ^ altså: addition, subtraktion, multiplikation, division og potensopløftning. Regnetegn I et udtryk som f.eks. 2a + 3b bør gangetegnet altid skrives: 2 a + 3 b. Resultatet vises som 2 a + 3 b. Vær forsigtig med at benytte tasten Space (mellemrum) ved indskrivningen af matematiske udtryk; ellers kan Mathcad opfatte det indtastede som en tekst. Som i alle engelsksprogede programmer benytter Mathcad punktum som decimalseparator; et komma giver koks! Som nævnt i kapitel 3 anvendes der i Mathcad seks forskellige slags lighedstegn; ved almindelige beregninger benyttes det sædvanlige = fra tastaturet. eks. Vi starter med at udregne tallet 2 + 3 4. Når du skriver 2+ omgives det indtastede af en rektangulær matematikboks Det lille sorte rektangel er den såkaldte pladsholder, som dukker op hver gang du har indtastet en operator. De to blå linjer er redigeringslinjerne 3. Skriv 3 Skriv * Skriv 4 Skriv = Pladsholderen yderst til højre er reserveret til eventuelle enheder. Den forsvinder sammen med matematikboksen, når du taster Retur eller klikker et sted udenfor. 3 På engelsk benyttes betegnelserne math region, placeholder og editing lines. Sig til, hvis du kan finde bedre oversættelser til dansk. 9

eks. Lad os dernæst beregne tallet (2 + 3) 4 Skriv 2+ Skriv 3 og placér redigeringslinjerne om 2 + 3, f.eks. ved at taste Space (mellemrum) Skriv * Skriv 4 Skriv = Afslut ved at taste Retur eller ved at klikke med musen udenfor matematikboksen eks. Lad os til slut beregne tallene 3 2 + (venstre søjle) og 2 + 3 4 4 (højre søjle) Læg nøje mærke til placeringen af redigeringslinjerne 0

Konstanter Grundtallet for den naturlige logaritme skrives v.h.a. bogstavet e på tastaturet. Det gode tal π benyttes så ofte, at du bør lære genvejen: Ctrl og Skift og p. Sletning 4 Du kan slette en enkelt ligning ved med musen at trække en stiplet ramme om ligningen, og klikke på knappen Cut (klip). Du kan slette to eller flere ligninger ved at trække en stiplet ramme omkring ligningerne, og trykke på tasten Delete (slet). Du kan alternativt holde tasten Ctrl (control) nede, mens du klikker på ligningerne én ad gangen; tast så Delete. 4 Man kan desværre ikke som i en sædvanlig tekstbehandler fortryde en sletning ved at klikke på knappen Undo eller ved at vælge Edit/Undo. I det hele taget er der mange situationer, hvor Undo er afkoblet. Det er lidt ærgerligt, men måske kommer det med i den næste version af Mathcad?

eks. Redigering Man har ofte brug for at rette i det indskrevne. Nedenfor ses nogle få eksempler. Iøvrigt henvises der til on-line hjælpen; klik på knappen Help og vælg på fanebladet Contents punktet Equations/Equation editing. I udtrykket nedenfor vil vi erstatte + med Placér redigeringslinjerne som vist, enten v.h.a. musen eller v.h.a. piletasterne Tast Backspace (tilbage) for at fjerne + Tast Tast Retur eks. Vi har glemt parenteser omkring 6 + 3 Placér redigeringslinjerne således Tast ( Flyt redigeringslinjerne Tast ) Tast Retur 2

eks. Vi fjerner parenteserne Placér redigeringslinjerne Fjern begge parenteser ved at taste Backspace. Bemærk, at Mathcad ikke tager hensyn til, at der faktisk er tale om en minusparentes! Tast Retur Fejl Hvis du begår en matematisk ulovlighed, giver Mathcad en fejlmeddelelse Ret fejlen og tast Retur. Det er som bekendt strengt forbudt at uddrage kvadratroden af et negativt tal. Forsøger du på en lommeregner, kommer der en fejlmelding. Men Mathcad giver 5 Der er tale om et såkaldt komplekst tal og altså ikke noget reelt tal. Hvis du kun kender de reelle tal, er det stadig er grim fejl at uddrage kvadratroden af et negativt tal. 5 Kvadratrodssymbolet er omtalt i kapitel 7. 3

5 FORMATERING Antal decimaler Mathcad regner internt med 6 cifre, men viser som standard resultatet med 3 decimaler Ønsker du f.eks. resultatet med 6 decimaler, skal du dobbeltklikke på ligningen. I dialogboksen skriver du 6 i feltet Precision: Displayed precision Hvis du afkrydser i feltet Set as default (vælg som standard), bliver samtlige beregninger på arket vist med 6 decimaler. Eksponentiel notation Hvis et beregnet tal enten er tilpas stort eller tilpas lille (dvs. tæt på 0), skrives det i eksponentiel notation. 999 = 999. 000 = 0. 3 = 0.0 00 = 0 9.900. 3 Du kan vælge normal notation ved at dobbeltklikke på ligningen og i dialogboksen (se figuren ovenfor) vælge en større værdi af Tolerance: Exponential threshold. 4

Flytning Du kan flytte en ligning ved at klikke på den. Når du så peger på matematikboksens ramme, forvandles markøren til en sort hånd Nu kan du trække ligningen til det ønskede sted. Du kan på samme måde flytte en markeret gruppe ligninger. Endnu et fif til at placere ligninger i forhold til hinanden Placér det røde kryds mellem de to ligninger og tast Retur én eller flere gange. Du kan på samme måde gøre afstanden mindre ved at placere krydset og taste Delete. Justering Du kan justere to eller flere udtryk enten vandret eller lodret v.h.a. knapperne Align Across (vandret) Align Down (lodret) Vi justerer følgende to ligninger vandret ved at markere ligningerne med stiplede linjer Markeringen sker enten ved at trække med musen hen over ligningerne eller ved at holde tasten Ctrl nede og derpå klikke på ligningerne én ad gangen. Klik så på knappen Align Across Vi kan på samme måde justerere lodret v.h.a. knappen Align Down 5

Valg af skriftstil 6 Skriv udtrykket 2 x+ 7 9 y og klik på variablen x Du kan på formateringslinjen se, at der er tale om en variabel (Variables), skrevet med standardskriften Times New Roman i størrelse 0 Vælg nu skriften Arial i størrelse 6 og skrevet med kursiv I (Italic) Klik dernæst på et tal. På formateringslinjen aflæses, at der er tale om en konstant (Constant), igen skrevet med standardskriften Times New Roman i størrelse 0. Prøv at ændre til størrelse 20 og skrevet med fed B (Bold) Faktisk er det noget pjank med alle disse smarte valg af skriftstil. Det kan dog være praktisk at ændre skriftstørrelsen, alt afhængig af øjnenes alder og af skærmopløsningen. En ændring af skriftstilen er global, dvs. at samtlige variable og konstanter i dokumentet bliver ændret. Det er dog muligt at foretage lokale ændringer. Skriv igen og vælg menuen Format/Equation 6 Mathcad anvender betegnelsen skriftstil (Math styles) for det samlede valg af: skrifttype, skriftstørrelse, udseende (fed, kursiv, understreget) og farve i ligninger. 6

Lad os konstruere en skriftstil, der er specielt velegnet til vektorer og matricer (se kapitlerne 7 og 8). Vælg i rullegardinet Style Name: User Skriv Vektor i feltet New Style Name. Klik på knappen Modify. Vælg Typografi: fed kursiv. Klik to gange på knappen OK. Nu står variablen x skrevet med fed kursiv, mens variablen y er uændret. Klik dernæst på variablen y, vælg menuen Format/Equation, vælg Style Name: Vektor og klik på knappen OK. 7

6 VARIABLE Sædvanlig variabel Betragt et udtryk med to variable a og b 2 a+ b a b a b + b + Vi vil beregne værdien af udtrykket for a = 7 og b = 4. En variabel skrives v.h.a. det dynamiske lighedstegn := (kolon plus lighedstegn), men du kan nøjes med kolon. Skriv a:7 og b:4 og afslut hver gang med at taste Retur Skriv så udtrykket ovenfor og afslut med et sædvanligt lighedstegn samt Retur Prøv at ændre på værdierne af a og b ; resultatet opdateres øjeblikkeligt. Områdevariabel Den såkaldte områdevariabel bruges, når en variabel skal gennemløbe en række værdier med lige stor afstand. Lad som eksempel beregne tallet x 2 for x = 0,, 0,2, 0,3,...,,9, 2. Mathcad skal kun kende de to første og det sidste tal, altså startværdien 0,, skridtlængden 0,2 0, og slutværdien 2. Skriv x:0.,0.2;2 og tast Retur Nu skal vi beregne tabeller over tallene x og x 2. Skriv først x=, klik et andet sted i skrivefeltet og skriv her x^2=. 8

Bemærk, at ikke alle værdierne kan ses i tabellen. Det klares ved at klikke på tabellen og derpå trække nedad i det nederste, midterste håndtag 7. Man kan alternativt rulle ned gennem tabellen. Skridtlængden kan udelades, hvis den har standardværdien ; skriv f.eks. x:3;2 7 Tabellen rykker desværre samtidig nedad! 9

7 FUNKTIONER Egne funktioner Vi vil bestemme funktionsværdien f () 5 for tredjegradspolynomiet 3 f ( x) = x 2x 5 En funktionsforskrift skrives v.h.a. det dynamiske lighedstegn := mens en beregning sker v.h.a. det sædvanlige lighedstegn =. Skriv f(x):x^3 2 x 5 og f(5)= Bemærk, at beregningsudtrykket f(5)= skal placeres til højre for eller under funktionsforskriften. Og så et eksempel, hvor en kompliceret funktion tabellægges Funktionsværdierne er formateret med 5 decimaler. Dobbeltklik på tabellen og skriv 5 i feltet Precision: Displayed precision. Indbyggede funktioner Lad os se på nogle af de grundlæggende funktioner. Husk altid at skrive parenteser omkring variablen som i f.eks. sin( x) og log( x) Først de trigonometriske funktioner, hvor der som standard anvendes radianmål. Skriv sin(2)= Hvis du ønsker at regne i gradmål, skal du skrive vinklen som 2deg 20

Mathcad kan naturligvis også finde x når det f.eks. vides, at sin x = 0,7. Men hvad hedder den omvendte funktion til sinus på engelsk? Du kan undersøge sagen ved klikke på knappen Insert Function (indsæt funktion) på standardlinjen Vælg Function Category: Trigonometric og rul ned gennem listen Function Name. Navnet asin ser lovende ud, og den korte forklaring i feltet nederst viser, at det er den ønskede funktion. Klik på knappen Insert. Skriv så 0.7 i pladsholderen og tast lighedstegn Resultatet angives i grader, hvis du skriver deg i den tomme pladsholder 2

Du kan også vælge en række standardfunktioner ved at klikke på knappen Arithmetic Toolbar på den matematiske værktøjslinje På paletten Arithmetic findes knappen Square Root (kvadratrod) Alternativ kunne vi beregne Paletten rummer også tegnet for den n te rod Roduddragning og potensopløftning af negative tal giver ikke samme resultat Forklaringen på dette sære resultat kræver kendskab til komplekse tal. 8 GRAFTEGNING 22

Vi vil tegne grafen for en funktion af én variabel i et sædvanligt koordinatsystem. Og vi vælger igen tredjegradspolynomiet 3 f ( x) = x 2x 5 Vi ønsker specielt at finde antallet af rødder (der er, 2 eller 3 rødder) og deres omtrentlige værdi. Skriv forskriften v.h.a. det dynamiske lighedstegn og klik et sted til højre for eller under forskriften (det røde kryds). På den matematiske værktøjslinje klikker du på knappen Graph Toolbar Når du på paletten Graph klikker på knappen X-Y Plot, tegnes der ved det røde kryds en figur med to pladsholdere ved det indre rektangel og tre håndtag ved det ydre rektangel 23

Skriv x i pladsholderen ved x-aksen og f(x) i pladsholderen ved y-aksen Grafen tegnes, når du taster Retur (eller klikker udenfor figuren) Grafen er som standard omgivet af et rektangel med aksetal, men det ville være bedre med et par sædvanlige koordinatakser. Dobbeltklik i diagrammet og vælg på fanebladet X-Y Axes indstillingen Axes Style: Crossed 24

Nu skal diagrammet gøres større. Klik på diagrammet og placér markøren på højre håndtag på det yderste rektangel. Markøren forvandles til en dobbeltpil, som du trækker mod højre. Placér eventuelt markøren (den sorte hånd) på det ydre rektangel og flyt diagrammet til et passende sted på arket. Mathcad tegner som standard på intervallet 0 x 0. For at finde antallet af rødder i polynomiet, skal tegneintervallet indskrænkes; lad os vælge 2 x 3. Et tegneprogram kan kun tegne linjestykker. Men er linjestykkerne tilpas korte, bliver grafen smukt jævn. Vi skal oplyse Mathcad om, hvilke støttepunkter, der fastlægger linjestykkerne; lad os f.eks vælge 2,0,,9,,8,,7,..., 2,8, 2,9, 3,0 Af disse mange tal skal Mathcad blot kende de to første og det sidste. Definér derfor områdevariablen x ved på arket at skrive x: 2,.9;3 25

Nu ses det tydeligt, at polynomiet har netop én rod (hvorfor?); og værdien er cirka 2,. Koordinater Det er muligt at aflæse koordinaterne til udvalgte punkter i et diagram. Klik med højre museknap på diagrammet, vælg Trace og afkryds i dialogboksen ved Track Data Points Når du klikker i diagrammet, viser der sig to stiplede linjer, som skærer hinanden i et punkt på grafen. Hvis du trækker i én af linjerne med musen, flytter skæringspunktet sig langs grafen; og du kan aflæse punktets koordinater i dialogboksen. Du kan med fordel flytte skæringspunktet v.h.a. piletasterne. Synes du, at skæringspunktet bevæger sig i for store ryk, skal du blot formindske skridtlængden som f.eks. Hvad sker der, hvis afkrydsningen ved Track Data Points fjernes? 26

Zoom Det er muligt at zoome ind på særligt interessante dele af grafen. Klik med højre museknap på diagrammet og vælg Zoom Træk nu med musen en stiplet kasse omkring det ønskede område og klik på knappen Zoom. Gentag eventuelt proceduren. Polynomiets rod er åbenbart en smule mindre end 2,. Du kan gendanne diagrammets oprindelige størrelse ved at klikke på knappen Full View. 27

9 MERE OM GRAFER Flere grafer Vi vil i samme koordinatsystem tegne graferne for funktionerne f og g givet ved f ( x) = sin x, 6 x 6 gx ( ) = cos x, 6 x 6 altså to funktioner med samme definitionsmængde. Skriv På paletten Graph klikker du på knappen X-Y Plot. Skriv så x i den nederste pladsholder og f(x),g(x) i pladsholderen til venstre og tast Retur. Gør diagrammet større og tegn normale akser, helt som beskrevet i forrige kapitel. Vi vil nu skabe lidt plads omkring de to grafer, bl.a. fordi sinusgrafen på uheldig måde er blevet afskåret øverst. I diagrammet ses fire pladsholdere med tallene 6, 6, og ; klik i pladsholderne og skriv i stedet tallene 6,5, 6,5,,2 og,2 28

Dobbeltklik på diagrammet og vælg fanebladet Traces, hvor udseendet af de to grafer kan ændres. Grafen for f kaldes trace, mens trace 2 er grafen for g. Vælg de viste indstillinger for trace 2. Prøv at eksperimentere med de forskellige indstillinger. Prøv at afkrydse ved Hide Arguments. Prøv at fjerne afkrydsningen ved Hide Legend. 29

Gaffelfunktion Vi vil tegne grafen for funktionen f givet ved forskriften 3x+, 3 x f ( x) = 2 x + 0, < x 4 Vælg to forskellige navne for den uafhængige variable og skriv 8 f.eks. Klik så på knappen X-Y Plot på paletten Graph og skriv x,x2 og f(x),f2(x2) i de to pladsholdere Vi kan også tegne en åben cirkel i punktet (,9). Skriv på arket x3: og tilføj,x3 og,f2(x3) i de to pladsholdere ved akserne. Til slut skal punktet (trace 3) formateres mht. farve og symbol. Parameterfremstilling Når en cirkel ruller langs en ret linje, vil et fast punkt på cirklen gennemløbe en kurve, en såkaldt cykloide. Kurven beskrives v.h.a. en parameterfremstilling x = a( t sin t) y = a( cos t), t R Kurven er periodisk med perioden 2π, og vi vil tegne fem af disse perioder. 8 Det er her nødvendigt at vælge to forskellige funktionsnavne f og f 2 ; men bemærk, at der faktisk kun er tale om én funktion f. 30

Vælg a = og skriv Klik dernæst på knappen X-Y Plot på paletten Graph og skriv x(t) og y(t) i de to pladsholdere Igen afskæres den øverste del af kurven, hvad du kan kontrollere ved at dobbeltklikke på diagrammet og i dialogboksen vælge Axes Style: None. Lad os derfor skabe lidt luft omkring kurven. Dertil skal du blot ændre tallene i de fire pladsholdere ved akserne; nogle forslag x-aksen: venstre pladsholder 0 ; skriv 2 højre pladsholder 3.46 y-aksen: nederste pladsholder 0 ; skriv 0.5 øverste pladsholder 2 ; skriv 2.5 3

Nu er det væsentlig lettere at overskue den smukke cykloide Punktdiagram På et amerikansk gymnasium udvalgte man på tilfældig måde 0 elever fra en stor gruppe, der var til eksamen i både algebra og fysik. Tabellen viser det antal point, som eleverne fik i de to fag algebra 75 80 93 65 87 7 98 68 84 77 fysik 82 78 86 72 9 80 95 72 89 74 Er der er en sammenhæng mellem præstationen i de to fag? Er det sådan, at jo bedre man er til algebra, jo bedre er man også til fysik? For at kunne overskue sagen, vil vi tegne datamaterialet som 0 punkter i et koordinatsystem med algebrapointene på x-aksen og fysikpointene på y-aksen. Vælg menuen Insert/Component/Input Table. Nu indsættes en tabel, der minder om et regneark Giv tabellen et navn som f.eks. data. Skriv data i den tomme pladsholder, klik på tabellen og udvid ved at trække nedad i det midterste håndtag nederst. Nu skal du indskrive algebrapointene i venstre søjle og fysikpointene i højre søjle. Når du taster Retur, flyttes markeringen til næste celle, helt som i et regneark. Du kan slette en hel række ved at klikke (med venstre museknap) på en celle i rækken klikke med højre museknap på cellen vælge menuen Delete Cells vælge Delete: Entire Row 32

Mathcad nummererer som standard søjlerne 0,, 2,... regnet fra venstre. Vi kalder de to søjler for algebra og fysik og skriver Den trekantede eksponentsymbol skrives ved at klikke på knappen Matrix Column (søjlematrix) på paletten Matrix Tegn nu diagrammet ved at klikke på knappen X-Y Plot på paletten Graph og skriv algebra hhv. og fysik i de to pladsholdere ved akserne. Det ligner jo et moderne maleri! Sagen er den, at de ti punkter er forbundet med linjestykker på kryds og tværs; vi skal blot fjerne linjestykkerne. 33

Start med at gøre diagrammet større. Dobbeltklik på diagrammet og vælg normale akser på fanebladet X-Y Axes. Vælg på fanebladet Traces disse indstillinger for den røde graf Der er en tydelig, voksende sammenhæng mellem resultaterne i algebra og fysik. Vi vender tilbage til dette eksempel i kapitel 20 om regression. Funktion af to variable Betragt en funktion f af to variable som f.eks. 2 2 f ( x, y) = x y Grafen for en sådan funktion er en flade i rummet, her en såkaldt saddel. Vi lader både x og y løbe fra 3 til 3 i skridt på 0,2. Det er lidt kompliceret, da der af én eller anden grund skal anvendes variable med indeks (indekset er det lille tal forneden). Lad os f.eks. skrive den indicerede variabel a 0 = 5; start med 34

Klik så på knappen Subscript (indeks) på paletten Arithmetic Nu ses et symbol med en pladsholder til indekset 9 Skriv 0 i pladsholderen, skriv : 5 og tast Retur Skriv nu følgende, idet navnene m og n for indices samt størrelsen M er tilfældigt valgt Det er let at se, at både x og y løber fra 3 til 3 i skridt på 0,2 x = 3 + 0, 2 0 = 3 og x = 3 + 0, 2 30 = 3 0 30 9 Selv om udenadslæring er meget umoderne (ja næsten ulovligt) i vore dage, kan det alligevel anbefales at lære genvejen [ for indeks. 35

Placér det røde kryds et passende sted på skrivefladen og klik på knappen Surface Plot på paletten Graph Der tegnes nu et rumligt koordinatsystem med en pladsholder nederst; her skriver du M Bemærk, at det er m-værdierne og n-værdierne, der afsættes på x-aksen og y- aksen. Men det er de faktiske funktionsværdier, der afsættes på z-aksen. Nu kommer det snedige: du kan dreje kurven ved med musen at trække forskellige steder inden for rammen; prøv at eksperimentere! 36

Nu forstår du måske, hvorfor grafen kaldes en saddel? Du kan formatere grafen og koordinatsystemet ved at dobbeltklikke i diagrammet. Prøv at vælge følgende indstillinger på fanebladet Appearance Indstillingen Line Options: No Lines er også interessant. Du kan fjerne koordinatsystemet ved på fanebladet General at vælge Axes Style: None. Du kan fjerne rammen ved at klikke i diagrammet med højre museknap og derpå fjerne afkrydsningen ved Border. Iøvrigt er der så mange muligheder for formatering, at det er håbløst at gennemgå dem her; prøv dig frem! Du kan få vejledning ved at klikke på knappen Hjælp nederst til højre på fanebladet. Du kan også finde et udvalg af flotte og komplicerede eksempler ved at klikke på knappen Resource Center på standardlinjen. Vælg her enten Advanced Topics og Creating 3D Graphs eller Quick Sheets og Graphing and Visualization. 37

0 LØSNING AF LIGNINGER Vi så i kapitel 8, at tredjegradspolynomiet 3 f ( x) = x 2x 5 har netop ét nulpunkt, og værdien blev aflæst til cirka 2,. Vi vil her beregne dette nulpunkt v.h.a. forskellige snedige metoder.. metode Når du på en lommeregner skal finde nulpunkter, skal du ofte selv levere et startgæt; Mathcad virker på samme måde. Definér funktionen og skriv så x:2 og løsning:root(f(x),x) og løsning= Dette stemmer nydeligt med det grafiske resultat. Og resultatet ser imponerende præcist ud, men kan vi stole på samtlige cifre? Vi kan undersøge sagen ved at beregne funktionsværdien af den fundne løsning. Skriv f(løsning)= Funktionsværdien er næsten nul, men altså ikke helt. Det er muligt at komme tættere på nul, men det kræver lidt forklaring. Når Mathcad (og visse lommeregnere) finder nulpunkter, beregnes der en række værdier x, x2,! som nærmer sig mere og mere til den korrekte værdi. Men regneprocessen skal jo stoppe på et tidspunkt, og i Mathcad sker det som standard første gang to x-værdier adskiller sig mindre end 0,00. Er dette f.eks. opfyldt for x8 x7 < 0, 00 leverer Mathcad altså tallet x 8 som resultat. 38

Tallet 0,00 er den såkaldte tolerance, som du selv kan ændre. Hvis tolerancen f.eks. ønskes nedsat til 0 0 skriver du blot TOL:0^ 0 på selve arket Sammenlign med værdien ovenfor! Prøv at eksperimentere med forskellige værdier af tolerancen TOL. 2. metode Den ovenfor beskrevne metode kan benyttes med alle typer funktioner. Mathcad har imidlertid en meget snedig nulpunktsmetode, specielt beregnet på polynomier (med grad på højest 99). Det generelle polynomium af n te grad har formen n n f ( x) = a x + a x +! + a x+ a n n 0 Det givne tredjegradspolynomium har koefficienterne a =, a = 2 og a = 5 3 0 idet vi kun medtager de koefficienter, der er forskellige fra nul. Skriv de tre koefficienter (indeks har genvejen [ ) samt polyroots(a)= Polynomiet har altså den reelle rod 2,095 (samt to komplekse rødder, som du ikke skal bekymre dig om). Vi formaterer rødderne med det maksimale antal decimaler 39

Bemærk, at den reelle rod af én eller anden grund ikke har helt samme værdi som ved den første metode. Lad os kontrollere ved at beregne funktionsværdien. Træk markøren hen over tallet, så det bliver sort og klik på knappen Copy på standardlinjen. Skriv f( ) og kopiér tallet over i den tomme pladsholder ved at klikke på knappen Paste Resultatet er altså ikke helt så godt som ved den første metode! Og desværre har tolerancen TOL ingen virkning ved en beregning med funktionen polyroots. 3. metode Denne metode er ganske imponerende, idet rødderne beregnes eksakt. Metoden virker dog ikke ved alle ligninger! Du får her brug for et par knapper på paletten Evaluation Skriv ligningen f ( x) = 0 med det fede lighedstegn, vælg det udvidede symbolske lighedstegn ν, skriv solve,x i pladsholderen 0 og tast Retur fx ( ) x 3 2x. 5 3. 6 540 2. 929 3 4 540 2. 929 fx ( ) 0 solve, x 3. 2 540 2. 929 3 2 540 2. 929. 2 i. 3. 3. 6 540 2. 929 3 4 540 2. 929 3. 2 540 2. 929 3 2 540 2. 929. 2 i. 3. 3. 6 540 2. 929 3 4 540 2. 929 0 solve er et såkaldt symbolsk nøgleord. 40