Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 3 Lineær Beam Optik - betafunktion Wille kapitel 3.7 til og med 3.13 Repetition Betafunktion og betatron bevægelse Faserum Beam størrelse og emmitans Udregning af betafunktion Matchning af betafunktioner Cirkulære acceleratorer Eksempel (WinAgile) Repetition 1: Bevægelse i magnetfelt Bevægelse i (lineære) magnetfelter Hill s ligning R er afbøjningsradius i dipol magnet k er fokuseringsstyrken (af en Quadrupol) k negativ: horisontalt fokuserede k positiv: horisontalt defokuserede 1
Repetition 2: Matrix transformation For en partikel transformeres sted og vinkel gennem et element via en transfer matrix Repetition 3: Matricerne Matricer for udvalgte elementer PS: samme matricer som i optik (lasere) 2
Repetition 4: Mange elementer Bevægelse igennem række elementer Repetition 5: Dispersion Dispersion p x D( s) p Man indfører Δp/p som 3. element i matrix beskrivelsen Hvor m 11, m 12, m 21, og m 22 er de samme som før 3
Symboler Størrelse Wille (os) Ofte også brugt Afbøjning radius i magnet R ρ Vertikal koordinat z y Indtil nu: Enkelt partikel bevægelse Nu: partiklernes indhylningskurve Starter igen med Hill s ligning Sætter 1/R=0 og Δp/p=0 Betafunktion 1 Begrænser os til en dimension, dvs 4
Betafunktion 2 Hill s ligning: Hvis k konstant (og <0), så kender vi løsningen x=acos( k s+φ) Men k(s) er en funktion af s Test løsning: Amplituden og fasetilvæksten varierer som funktion af s Hill s ligning: Test løsning: Amplituden og fasetilvæksten varierer som funktion af s Indsættelse giver (1) (2) (2) har løsningen Betafunktion 3 som ved indsættelse i (1) giver som dog ikke har nogen analytisk løsning Variabel skift: og 2 A 5
Betafunktion 4 Løsningen til Hill s ligning bliver da Med β(s): Betafunktionen (enhed af meter) Beskriver hvordan den maksimale amplitude i bevægelsen afhænger af s, afhænger af det magnetiske layout Ψ(s): Fasetilvækst funktionen, afhænger af det magnetiske layout ε er en konstant, som bestemmer den maksimale amplitude (pt. for den enkelte partikel) ε kaldes emittansen, afhænger af partiklen φ er den enkelte partikels (individuelle) faseoffset Indhylningskurven er givet ved: Se nærmere på Betafunktion 5 - indhyldningskurve 6
Betatron Bølgelængde Lad os igen betragte betatron bevægelsen Analogt til en harmonisk bølge 2 y sin x kan man også tale om en (lokal) betatron bølgelængde λ b 2 1 ( s) b ( s) b (s) 2 Når beta er lille er bølgelængde kort og omvendt som det også ses på foregående figur 2 er fasetilvækstenper vejlængde b Betafunktion 6: emittansellipsen Position og vinkel af en partikel hvor Ved at isolere og, og bruge at cos 2 (Θ)+sin 2 (Θ)=1, samt introducerer fås Hvilket beskriver en ellipse i (x, x )-rum (faserummet) 7
Betafunktion 7: emittansellipsen α=0 => ellipsen er lodret/vandret (a, og g kaldes også Twiss eller Courant-Snyder parametre) Betafunktion 8: emittansellipsen Betafunktion Emittans Ellipse Arealet er bevaret 8
Emittansellipsen: Louville s teorem For konservative kræfter gælder at arealet af faserumsellipsen er bevaret Vi kan ændre formen, men aldrig arealet Gælder (strengt) for en enkelt partikel og (mestendels) for et ensemble af partikler. Der kan dog være ikke-konservative kræfter i en accelerator (partikelstød, køling). Mere om det senere. Beam størrelse og emittans Indtil nu har vi betragtet en enkelt partikel men i en rigtig stråle har vi mange partikler Disse vil (oftest) følge en Gauss-fordeling med givne spredninger σ x og σ z En partikel med position σ x vil have en emittans ε x,std givet ved x ( ) x, std s Denne emittans kalder vi strålens emittans (og benævnes oftest blot ε x ) Tilsvarende med ε z 9
Emittans Dimensionen for emittans er [længde]*[vinkel] med enheden m rad Ofte bruges mm mrad (millimeter milli-radian) samme som µmrad (10-6 mrad) eller nmrad (10-9 mrad) Bemærk, at mange (specielt for proton maskiner) ofte bruger begrebet emittans for arealet af faserumsellipsen Man vil da ofte skrive ε=5πµmrad Bemærk også at rad er dimensionsløs, så ved udregning af f.eks. en strålestørrelse forsvinder rad 1mrad 1m 1mm Acceptants Strålens størrelse vil variere rundt i maskinen ( β) Samtidig vil vakuumkammerets størrelse d variere Hvor er mindst, er der mindst plads Vi definere nu den transversale acceptants A som som er den største emittans en partikel kan have 10
Udregning af betafunktionen Antag at vi kender betafunktionen et givet sted s 0 Wille viser nu at betafunktionen på stedet s 1 er givet ved hvor M er transfermatrixen fra s 0 til s 1 Wille viser også den alternative form Brug af computer programmer (WinAgile, MAD, MatLab Acc. Toolbox) Betafunktionen omkring en waist (symmetri punkt) Vælg et symmetripunkt med betafunktion β*, og α*=0 Så har vi altså To ellipser for s=0 * / 2 * 1 11
Transfermatricen fra de optiske funktioner Det er ret let at vise (Wille kap 3.11) at har man de optiske værdier (β, α, og faseskiftet Ψ) i to punkter s, og s 0, så kan man udregne transfermatricen mellem de to punkter ud fra Matching 1 Ofte har man en transportlinie, hvor de optiske funktioner er givet ved indgang og udgang Opgaven er da at vælge de optiske elementers styrke (k) og position så transportlinien transformere de optiske funktioner på den ønskede måde 12
Matching 2 Der er generelt ingen analytisk løsning på matchingen Derfor gæt og iterer Wille angiver en metode hvor man ved hjælp af afledte kommer tættere på en løsning Én dimensional Også for n-dimensional Alternativt kan man bruge least-squares-metoder Brug for computere Normalt indbygget i lattice programmer (WinAgile) Periodisk løsning i cirkulær accelerator 1 Lad os nu betragte en cirkulær accelerator Vi har da den periodiske betingelse, L er omkredsen Dvs. Eller eksplicit hvor rev 13
Periodisk løsning i cirkulær accelerator 2 kan løses (selv om det ikke er let) og resultatet er rev Dvs. ud fra transfermatricen kan vi udregne betafunktionen (og dermed alt andet) Da β skal være reel (og positiv) må det gælde at Ved brug af det(m)=1 (Wille 3.73) kan det vises at være det samme som Tr( M rev ) m11 m22 2 Hvilket altså er en nødvendig betingelse for stabilitet Bemærk trykfejl i lign. 3.182 Periodisk løsning i cirkulær accelerator 3 Tilsvarende fås for dispersionen Som giver 14
Periodisk løsning i cirkulær accelerator 4 Hvis vi igen finder transfermatricen fra de optiske værdier og benytter at for en hel omgang er β=β 0, α=α 0, og sætter μ=ψ (fasetilvæksten for en hel omgang), får vi M rev cos a sin 2 1a sin Heraf ses også let at sin cos a sin Tr( M rev ) 2cos 2 For et symmetripunkt er α= 0 og vi får M rev cos 1 sin sin cos Tune: Q=μ/2π antal svingninger per omgang Symmetri punkter For et symmetri punkt er de afledte nul, dvs. Det gør udregning af betaværdier lidt simplere og vi får et par yderlige betingelser for stabilt lattice 15
Middelradius For en cirkulær accelerator (ring) definere man ringens middelradius R m som (engelsk mean radius ) R m L 2 hvor L er ringens omkreds Det er et begreb der ofte (mest) benyttes for de store ringe (LHC, SPS, ), som jo på grund af de høje energier (små afbøjninger) får mange dipoler, så ringens form tilnærmelsesvis er cirkulær. Pas på med ikke at forveksle en rings middelradius med afbøjningsradius i ringens dipoler. Man vil ofte se R brugt som middelradius og så ρ som afbøjningsradius Betafunktion (β(s)): Beskriver ALT Giver formen af partikelbevægelsens indhylningskurve Beamstørrelse: (s) Udregnes ud fra transfermatricerne (vha. computer) Emittans (ε): Faserumsareal (på nær π) Bestemmer amplituden af indhylningskurven Dispersion (D(s)): Proportionaliteten mellem positionsskift og impulsafvigelse Positionsskift: Ingeniør -formler Stivhed: Opsummering p x D( s) p p[ GeV / c] B[ Tm] B[ T] R[ m] 0.2998Q[ e] Fokuseringsstyrke: k[ m 2 0.2998Q[ e] g[ T / m] g[ T / m] ] p[ Gev / m] B[ Tm] 16
ASTRID lattice Beam envelope og Beam envelope = er konstant, men =(s) Ti omgange i ASTRID. I løbet af mange omgange udfyldes hele arealet indenfor beam envelope. Bemærk sammenhængen mellem og. Rækkefølge: Rød, pink, sort, grøn, sort, 17
FODO lattice Bemærk at β x er stor ved QF og lille ved QD Dispersion Revisited: Gravitationel analogi Hvorfor falder partiklerne ikke nedenud af maskinen pga. tyngdekraften? Beamet kommer til at ligge lidt under aksen, og får en større afbøjning opad i F-qpolerne Afbøjning: ( lbq ) z klz, hvor Bρ er stivheden B 18
Dispersion Revisited 2 En partikel med lav impuls afbøjes mere i en magnet Der vil blive dannet en ny lukket bane, som er forskudt. Forskydningen er givet ud fra dispersionsfunktionen D(s) (enhed meter) p x D s) p ( D~1-10 m, p/p~10-4 -10-3 x~1 mm Demonstration WinAgile: Eksempel 3.13.3 (s. 98) 19