Lineær Beamoptik 3. Først lidt repetition fra sidste gang
|
|
- Katrine Iversen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lineær Beamoptik 3 Først lidt repetition fra sidste gang 1
2 2
3 3
4 Lineær beamoptik Tune Optiske resonanser Fejl i de optiske elementer Kromaticitet 4
5 Optisk resonans Vi snakker i dag kun om cirkulære acceleratorer. En optisk resonans kan opstå fordi beamet er udsat for en periodisk kraft. Beamet oscillerer om den optiske akse, og under visse betingelser kan beamets svingninger komme i resonans med ringens periodiske struktur, hvilket fører til opblæsning af beamets størrelse og evt til beamtab. I dag skal vi først se på de krav der stilles til maskinens optik for at undgå optisk resonans. Periodisk løsning til Hill s ligning Antag, at Dp/p = 0. Vi har så Hill s ligning: hvor længde som periode, altså: er en periodisk funktion med ringens, L er ringens længde. Løsningen blev fundet sidste gang: Men i en ring er betafunktionen b(s) jo periodisk, og med samme periode som K(s). Betatronfasen er central for resonant opførsel. 5
6 Q: Ringens tune Vi gentager lige og (3.125) og definerer Q som antallet af betatronoscillationer pr omløb i ringen, altså Q kaldes maskinens tune. Det er en maskinparameter, altså en konstant, og uafhængig af både position i ringen og beamparametre som emittans etc. De to planer, x og z, har hver deres tune, Q x og Q z. Ringens tune er bestemt af dens optik, altså f.eks. styrke og position af de fokuserende elementer. Omskrivning af transportmatricen Sidste gang fandt vi transportmatricen ud fra betafunktionen (3.164): I en periodisk struktur, dvs og kan vi med definitionen af Q nu skrive den som hvor, altså den vinkel der gennemløbes af Y pr omgang 6
7 Flere omskrivninger Med lidt omskrivning finder man Desuden ses det let, at men transformationen gennem ds kan jo skrives Ved at gange disse tre matricer sammen finder man et alternativt udtryk for og ved at sammenligne dette med udtrykket øverst på denne side finder man nogle nyttige relationer. Nye relationer Det nye udtryk vi finder for er Ved at sammenligne med det tidligere udtryk (3.209) ses at Disse relationer får vi brug for om lidt. 7
8 Floquet s transformation Når vi skal regne på partikelbevægelsen kompliceres det af, at tune ikke er heltallig, dvs at bevægelsen (via Y(s) ) ikke har samme periode som maskinen. Desuden er bevægelsen i faserummet en ellipse. Begge disse ting kan dog klares med en transformation til et nyt sæt variable. Dette gøres for at få et system det er simplere at regne i. Dvs. man har et system, transformerer til nye koordinater, regner, og transformerer tilbage igen. Vi indfører NB: f er IKKE det faseoffset der indgår i løsningen af Hill som jvf definitionen af Q ændrer sig med 2p per omgang Desuden erstatter vi x(s) med Efter en del regneri ( ), hvor vi bruger relationerne fra forrige slide, fås den transformerede bevægelsesligning: Dette er ligningen for en harmonisk oscillator. Løsning: a* cos( Qf( s) ) Optiske resonanser I lineær beamoptik har vi at Med en fejl i feltet ser det sådan ud: Den transformerede bevægelsesligning bliver nu ligningen for en harmonisk oscillator med en tvangskraft: 8
9 Integer stopband Løsningen er: Af nævneren i første led ses, at hvis Q går mod et helt tal, går løsningen mod uendelig, dvs der er ikke noget stabilt beam. Området tæt på en heltallig værdi af Q kaldes et Integer stopband, og er altid fatalt for beamet. Figuren til højre illustrerer hvorfor det går galt. Multipoludvikling af feltfejl Man kan finde et udtryk for ændringen af beamamplituden ved forskellige fejl i magnetstrukturen. Tidligere så vi på rækkeudviklingen af feltet der gav os de forskellige multipoler. På samme måde kan vi betragte feltfejl:! Fejl i bogen Nu kan vi se på, hvordan resonansforholdende er for hver enkelt type feltfejl (dvs. dipol, Q-pol, sextupol osv). Det gøres ved at finde udtryk for ændringen af amplitude pr omløb. Hvis denne ændring er forskellig fra 0, har vi en resonans. For dipolfejl finder vi at Q=p giver et sådant konstant voksende beam, som vi også så tidligere. Man kan vise ( ) at der knytter sig resonanser til alle led i rækkeudviklingen af feltet. 9
10 Resonanser og multipoler Optiske resonanser og de multipoler de skyldes: Man skal huske, at selv om der ikke er f.eks. sextu- og octupoler i en ring kan feltfejl i dipoler og kvadrupoler sagtens give anledning til højere ordens multipoler. Der er således altid resonans, når m*q=p, hvor m og p er heltal. Resonansbetingelsen Husk, at der er to tuneværdier, nemlig en i hvert plan: Q x og Q z I lineær beamoptik er de to tunes uafhængige, men da ikke-lineære multipoler (sextu-, octupoler etc) kobler x og z bevægelsen, dvs. z-bevægelsen afhænger af x og omvendt. Vi kan således få koblede resonanser, så vores generelle betingelse for resonans kommer til at være Summen m + n kaldes resonansens orden. Vi skal altså ved at vælge vores optik rigtigt finde et arbejdspunkt for maskinen hvor ovenstående ligning ikke er opfyldt. Da resonansers virkning falder hurtigt med ordenen forsøger man normalt at undgå resonanser op til femte orden. 10
11 Tunediagrammet Resonansbetingelsen for tunes i de to planer kan med fordel tegnes i et tunediagram som vist til højre. Her vist resonanser op til tredie orden. De lodrette og vandrette linier er resonanser i hhv x og z, mens alle de skrå linier er koblede resonanser. Arbejdspunktet bør vælges i et tomt område af diagrammet. ASTRID tunediagram op til 4. orden 11
12 Feltfejl og optik Antag, at en dipol har en feltfejl DB over en strækning af længde l. Vinkelændringen er da Vi forenkler sagen ved at betragte vinkelændringen som hidrørende fra en infinitesimal kort strækning. En sådan pludselig vinkelændring kaldes et kick. Betragt en ideel partikel med (x,x )=(0,0) og derfor e=0 der gennemløber et kick. Efter kicket er vektoren (x,x )=(0,Dx ). Denne ændring fører til betatronoscillationer, og vi har nu Bemærk at emittansforøgelsen er proportional med betafunktionens størrelse på kickets plads. Kick og betafunktion På figuren herunder ses effekten af et kick på steder, hvor betafunktionen er hhv. stor og lille. Det er klart, at kicket har størst effekt hvor b(s) er stor 12
13 Effekten af dipolfejl Efter mange omløb opnås en stabil situation. Lige efter kicket har vi vektoren dvs at lige før må vi have Transportmatricen for en hel omgang ringen må føre efter over i før, altså Eller grafisk: Effekten af et kick - løsningen Vi kender M rev. Den fandt vi i Vi betragter nu en fuld omgang i maskinen, og kan jo så udnytte at fasetilvæksten Y=2pQ samt at b og a funktionerne har ringens periode. Så får man Sættes denne matrix ind i ligningen fås to ligninger med to ubekendte (3.258), der har løsningen Bemærk, at x er proportional med beta, samt at løsningen går mod uendelig når Q nærmer sig et heltal, som vi så tidligere. 13
14 Korrektion af kicks Der er generelt mange sådanne småfejl i en ring, der alle giver anledning til små vinkelændringer, og dermed orbitændringer i begge planer. Disse må korrigeres med korrektionsdipoler, der bør anbringes, hvor betafunktionen er stor for at få mest effekt. I visse situationer er man interesseret i at lave et kontrolleret kick (injektion, ekstraktion mere herom senere) Igen anbringes disse kickere i høj-beta områder. Til højre ses ASTRID latticefunktioner. Høj-beta for H,V er nær Q F,Q D. Kvadrupolfejl: orbitafvigelser Vi vil se på kvadrupolfejl der skyldes dårlig oplining, altså sådan at feltet ikke er nul på orbit. Dette kan påvirke både x- og z-bevægelsen, idet hvor g er q-polens gradient. Afbøjningen i de to planer bliver Dette giver anledning til afvigelser fra orbit, som er proportionale med opliningsfejlens størrelse samt med betafunktionens størrelse på q-polens plads, ganske som vi fandt det med dipolfejl. Værre er det nok, at gradientfejl i kvadrupoler giver anledning til ændring i betafunktion og tune. Det vil vi se lidt mere på. 14
15 Kvadrupolfejl: Tuneskift Vi antager, at fejlen har en størrelse så ændring i gradient er lille i forhold til gradientens størrelse. Det samme gælder jo så også for k. Vi har samme matrix for en hel omgang som før: Vi antager at fejlen svarer til en tynd q-pol, og kan altså skrive dens matrix som Vi får så for hele ringen med fejlen indregnet: Som man kan se, ændrer denne matrix ringens fokusering Kvadrupolfejl: Tuneskift Vi kan imidlertid også udtrykke tuneskiftet ved at erstatte Q med Q+dQ i den upertuberede matrix. Med c=2p(q+dq) fås Man udnytter nu en algebraisk sammenhæng, nemlig at lignende (similar) matricer har samme spor (trace) (og samme sum af egenværdier m.m.) De repræsenterer den samme lineære transformation fra en basis til en anden. Sætter vi nu finder vi at, eller ved at integrere gennem q-polen: Udtrykket gælder kun for små q-pol fejl. Igen: Er beta stor er effekten større. Til sidst skal vi kort se på ændringerne i betafunktionen ved en q-pol fejl. 15
16 Kvadrupolfejl: Beta Vi har stadig transportmatricen for en hel omgang Vi kan skrive med Pertubationen indføres som vi kan nu finde m 12 i denne matrix (med m 12 kan vi jvf. M rev finde beta) Samtidig kan vi regne højresiden ud, udtrykt ved a og b elementerne samt Dkds Kvadrupolfejl: Beta Denne lighed giver efter en del regneri ( ) Heraf ses (igen, igen..) at Q heltallig er fatal, samt at effekten af en fejl er størst i et område med stor betafunktion. Igen gælder løsningen kun for små fejl, men med den kvalitet optiske elementer kan fremstilles og oplines ER fejlene små. Numeriske værktøjsmaskiner, stabile forsyninger samt lasertrackere til oplining gør, at lille fejl tilnærmelsen i alt det foregående er meget realistisk. 16
17 Kromaticitet 1 Nu vil vi se på partikler med impulsafvigelse Dp. Vi antager at Dp<<p 0. Dette er realistisk, idet Dp/p 0 typisk er <10-3. Disse partikler har en afvigende bane, som vi så i forbindelse med begrebet dispersion. Denne effekt skyldtes forskellig afbøjning i dipoler. I kvadrupoler er der imidlertid også en effekt af impulsafvigelse. En partikel med p=p0+dp ser kvadrupolstyrken En impulsafvigelse har altså samme effekt som en kvadrupolfejl af størrelsen Kromaticitet 2 Vi har lige regnet ud, at en kvadrupolfejl giver anledning til et tuneskift af størrelsen Partiklen ændrer ikke nævneværdigt impuls under een omgang i ringen, dvs. at partiklen ser samme Dk i alle ringens kvadrupoler. Vi må derfor integrere over dem alle: De dimensionsløse størrelser x x x z kaldes ringens kromaticitet og giver forholdet mellem tuneskift i de to planer og impulsafvigelsen. At en partikel med impulsafvigelse får et tuneskift, og altså en anden fokusering, har givet parameteren dens navn. Croma (græsk) betyder jo farve, og kromaticitet antyder, at forskellige farver (impulser) fokuserer forskelligt, analogt med klassisk optik 17
18 Kromaticitet 3 I lagerringe benyttes ofte stærk fokusering, sammenlagt fokuserende. Derfor bliver kromaticiteten som regel negativ. (k<0) En negativ kromaticitet fører til kollektive instabiliteter (head-tail), så vi må korrigere kromaticiteten til en positiv værdi. Da effekten skyldes ændret fokusering af partikler med afvigende impuls, er det oplagt at sætte ind med en korrektion på et sted i ringen hvor partikler med forskellig impuls er rumligt adskilt. Her er det godt at huske på dispersion: En partikel med impulsafvigelse Dp/p har en afvigende x-position i forhold til en partikel med Dp/p=0 netop hvor den horisontale dispersion er forskellig fra 0: Et sådant sted ville være det rigtige til et element, hvis fokusering afhænger af x, altså at k er proportional med x, i modsætning til q-poler, hvor gradienten og dermed k jo er uafhængig af x. Her kommer sekstupoler ind i billedet. Kromaticitet og sekstupoler 1 Som vi så i starten af kapitel 3 er en sekstupol karakteriseret ved sin styrke: Dvs vi kan skrive dens fokusering som funktion af x: k sext =mx eller, for en partikel på en dispersiv bane: Effekten af en sekstupol er illustreret her til venstre. Sekstupolen er altså fokuserende for x>0 og defokuserende for x<0. På denne måde korrigeres fokuseringen af partikler med impulsafvigelse, som vist på tegningen 18
19 Kromaticitet og sekstupoler 2 På tegningen af sekstupolens geometri ses, at den er en dipol hvis styrke er nul på aksen, men som tiltager i samme retning uanset på hvilken side af x-aksen man er på. Effekten af impulsafvigelse består altså af to dele: Dels en impulsafhængig ændring af k i kvadrupoler, dels en impulsafhængig fokusering/defokusering i sekstupoler. Dp k k p D 0 Dp md p Den totale kromaticitet bliver så: k sext NB: fejl i bogen i Dk og k sext Med sekstupoler med passende placering (D>0) og styrke kan man altså kompensere så negativ kromaticitet kan undgås. I praksis justerer man til en lille positiv værdi, for at undgå at små ændringer skulle kunne give en negativ kromaticitet. Dynamisk apertur 1 Det ikke-lineære felt i sekstupoler kan desværre føre til uharmoniske betatronoscillationer, altså tuneændringer. Selv partikler med nominel impuls, men stor betatronamplitude får jo det ikke-lineære felt at føle, og kan derved få en afbøjning der fører til tab. Dette kaldes kaotisk partikeldynamik og kan, som andre problemer med kaotisk opførsel, ikke behandles analytisk. Altså må vi bruge numeriske metoder, i dette tilfælde udregning af partikelbaner over mange omgange, particle tracking. Man starter med at definere en partikels startvektor: Koordinaterne i X 0 vælges tilfældigt indenfor acceptansellipsen. Ringen kan repræsenteres ved et antal transportmatricer, adskilt af sextupoler, som vist på næste side. 19
20 Dynamisk apertur 2 Vi tager først turen gennem M 1 : Derefter sekstupolen, hvis B-felt på partiklens plads er Med en sekstupollængde på l fås så og dermed Sådan fortsættes gennem hele maskinen. Dynamisk apertur 3 Nu kan vi lade partiklen cirkulere et stort antal omgange, ofte mange tusinde. Et eksempel på tracking i en ring hhv uden og med sekstupoler: Til højre ses, at sekstupoler kan reducere det stabile område i faserummet. Partikler med for stor amplitude kan gå tabt, som illustreret. Ofte vælger man x,z og holder x,z på 0,0. De x,z værdier for hvilke partiklerne overlever et meget stort antal omløb definerer den dynamiske apertur. 20
21 Dynamisk apertur 4 Det er vigtigt for ringens stabilitet at have en stor dynamisk apertur. Denne må udregnes med ovennævnte metode. Vores eksempelring fra sidste gang havde ingen sextupoler. Kromaticiteten bliver da negativ i begge planer. Kromaticiteten kan rettes til +1 i begge planer med sekstupoler. To er i princippet nok, men en jævn fordeling rundt i ringen er bedre. Bemærk: SD og SF sidder i nærheden af hhv. QD og OF Dynamisk apertur 4 Herunder er vist dynamisk apertur for vores eksempel med hhv. to og mange sekstupoler. Den mekaniske apertur er også angivet. 21
22 Til sidst Lidt WinAgile eksempler. 22
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 4b, uge 6/08, mandag d. 4/2 16:15-17:00 Kapitel 6 i Wilson: Imperfections and multipoles. Cirkeldiagrammet Closed-orbit distortions Orbitkorrektion
Læs mereLineær beamoptik 1. Koordinatsystem
Lineær beamoptik 1 1 Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.3) Koordinatsystem Indledning / overblik Rækkeudvikling af feltet Bevægelsesligningen Løsning af bevægelsesligningen Transfermatricer og
Læs mereForelæsning 11a: Resumé. Energi og impuls
Forelæsning 11a: Resumé Resumé over de indledende forelæsninger Overblik og sammenhæng 1 Energi og impuls Einstein: E 0 =m 0 c 2 Total energi, E = E 0 +E k,hvor E k er kinetisk energi v β = c γ = 1 1 β
Læs mereEnergi og impuls. v c. 1 g. Forelæsning 13a: Resumé. Hvilemasse: Einstein: E 0 =m 0 c 2 Total energi: E = E 0 +E k, hvor E k er kinetisk energi
Forelæsning 13a: Resumé Resumé over de indledende forelæsninger Overblik og sammenhæng 1 Energi og impuls Hvilemasse: Einstein: E 0 =m 0 c 2 Total energi: E = E 0 +E k, hvor E k er kinetisk energi v c
Læs mereLineær beamoptik 1. Vi starter med en meget kort repetition fra sidste gang. Derefter: Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.
Lineær beamoptik 1 1 Vi starter med en meget kort repetition fra sidste gang Derefter: Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.3) Indledning / overblik Koordinatsystem Rækkeudvikling af feltet Bevægelsesligningen
Læs mereBevægelse i (lineære) magnetfelter
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 3 Lineær Beam Optik - betafunktion Wille kapitel 3.7 til og med 3.13 Repetition Betafunktion og betatron bevægelse Faserum Beam størrelse og emmitans
Læs mereModerne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 Transverse motion, Lattices
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 Transverse motion, Lattices Optiske elementer: Styring og fokusering. Bevægelsesligningen og dens løsning. Stabilitet. Typiske latticekonfigurationer.
Læs mereBevægelse i (lineære) magnetfelter
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 4 Lineær Beam Optik - betafunktion Wille kapitel 3.7 til og med 3.13 Repetition Betafunktion og betatron bevægelse Faserum Beam størrelse og emmitans
Læs mereForelæsning 7a. Ikke-linariteter Multipoler (specielt sekstupoler) Andenordens resonans Tredjeordens resonans Langsom ekstraktion
Moderne acceleratorers fsik og anvendelse Forelæsning 7a Ikke-linariteter og Instabiliteter Ikke-linariteter Multipoler (specielt sekstupoler Andenordens resonans Tredjeordens resonans Langsom ekstraktion
Læs mereSynkrotron accelerator facilitet
Orbit bumps, Injektion/Ekstraktion, orbit korrektion og transfer beamlines Wille: kapitel 3.15.1, 3.18 og 4 og 10.4.2 Orbit bumps: 1, 2, 3 og 4 bumpers Injektion og ekstraktions elementer Septa, kickers
Læs mereKlassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet
Klassisk kaos Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer
Læs mereManipulationer af banen
Orbit bumps, Injektion/Ekstraktion, orbit korrektion og beamlines Wille: kapitel 3.18 og 4 og 10.4.2 Orbit bumps: 1,2,3 og 4 bumpers Injektion og ekstraktions elementer Septa, kickers og bumpers Magnetiske,
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereForelæsning 11a/b NH. Repetition af centrale begreber Mere WinAgile Acceleratorer udenfor sundhedsvæsenet
Forelæsning 11a/b NH Repetition af centrale begreber Mere WinAgile Acceleratorer udenfor sundhedsvæsenet Energi og impuls Einstein: E 0 =m 0 c 2 Total energi, E = E 0 +T, hvor T er kinetisk energi β =
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereModerne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 8b Diagnostik. Diagnostik er en accelerators øjne og ører
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 8b Diagnostik Diagnostik er en accelerators øjne og ører En accelerator er ikke bedre end dens diagnostik Diagnostik findes i mange varianter og afskygning
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereKlassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet
Klassisk kaos 11.1 Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereLongitudinal dynamik: Indledning. Vi betragter her synkrotroner En synkrotron vil have en (el. flere) RF-kaviteter til acceleration
Moderne acceleratorers ysik og anvendelse 5 Forelæsning 9a Longitudinal Dynamik Longitudinal dynamik (synkrotroner) Energitilvækst Bundter og Buckets Transitionsenergien Synkrotron bevægelse Longitudinal
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereModerne acceleratorers fysik og anvendelse 2015 Forelæsning 9b Diagnostik. Diagnostik er en accelerators øjne og ører
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse 2015 Forelæsning 9b Diagnostik Diagnostik er en accelerators øjne og ører En accelerator er ikke bedre end dens diagnostik Diagnostik findes i mange varianter
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereModerne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 7b Diagnostik
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 7b Diagnostik Diagnostik er en accelerators øjne og ører En accelerator er ikke bedre end dens diagnostik Diagnostik findes i mange varianter og afskygning
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution HF & VUC Nordsjælland Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereDen ideelle operationsforstærker.
ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereHeisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1
Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Werner Heisenberg (1901-76) viste i 1927, at partiklers bølgenatur har den vidtrækkende konsekvens, at det ikke på samme tid lader sig gøre, at fastlægge
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA03
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2017-forår 2018 Institution Videndjurs, Grenaa Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereMatematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Læs mereLøsninger til øvelser i kapitel 1
Øvelse 1.1 Øvelse 1. Øvelse 1.3 Afspil animationerne og forklar med dine egne ord, hvad du ser. a) Afspil lydfilerne og forklar med dine egne ord, hvad du hører. Frekvenserne fordobles for hver oktav.
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereKinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:
K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereC R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen
Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereHans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder. Resumé
Hans Harhoff Andersen 20072394 25. juni 2010 Projekt i numeriske metoder Resumé Ved hjælp af en finite difference approksimation og dertilhørende diskretisering af akserne konstrueres matricer for Schrödingerligningen.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereNewtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen
Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution Kruses Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela N.
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereLaserkøling af lagrede ionstråler
Laserkøling af lagrede ionstråler Niels Kjærgaard og Niels Madsen, IFA, Århus Universitet Jørgen S. Nielsen, ISA, Århus Universitet Introduktion a) b) γ I ASTRID studeres dynamikken for kolde lagrede ionstråler.
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mere