Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold Introduktion Punkter 3 Delmængder 4 4 Linjer 5 5 Cirkler 6 Parabler 5 7 Hyperbler 7 8 Akseparallelle Ellipser 9
Resumé Dette er en meget kortfattet samling af de mest basale og anvendelige resultater fra analytisk plangeometri. Introduktion Vi gennemgår her de mest basale resultater fra den analytiske plangeometri. Dokumentet kan være godt at scanne igennem når man leder efter et stykke værktøj til at løse et konkret problem vedrørende punkter eller delmængder af det todimensionale koordinatsystem. Alle beviser og eksempler på anvendelse er gemt til andre dokumenter. Forudsætninger De eneste nødvendige forudsætninger for at forstå dette dokument er at du kender det todimensionale koordinatsystem og ved hvordan man beskriver delmængder af det. side
Punkter Sætning (Afstandsformlen). Hvis P og Q er to punkter i koordinatsystemet: og P = (x ; y ) Q = (x ; y ) så er afstanden mellem P og Q (se figur ) lig med: P Q = (x x ) + (y y ) Figur : Afstanden mellem to punkter. 3 (x ;y ) (x ;y ) -5-4 -3 - - 0 3 4 5 - - -3 side
Sætning (Midtpunkt mellem to punkter). Hvis P og Q er to punkter i koordinatsystemet: og P = (x ; y ) Q = (x ; y ) så er midtpunktet, M, af linjestykket P Q (se figur ) givet ved: ( x + x M = ; y ) + y Figur : Midtpunktet mellem to punkter. 3 (x ;y ) (x ;y ) M -3 - - 0 3 4 5 - side 3
3 Delmængder En delmængde af koordinatsystemet angives på formen: {(x; y) R } hvor er et udsagn som fortæller hvad et punkts koordinater x og y skal opfylde for at punktet ligger i mængden. Som regel består denne information af en ligning eller en ulighed hvori de (ukendte) koordinater x og y indgår. Man siger i så fald at ligningen (eller uligheden) beskriver delmængden. side 4
4 Linjer Sætning 3 (Linjens ligning). Hvis a og b er to givne reelle tal, så udgør delmængden: {(x; y) R y = a x + b} en ret linje (se figur 3) som ikke er lodret. Tallet a kaldes hældningskoefficienten for den rette linje. Omvendt kan alle rette linjer som ikke er lodrette beskrives ved en ligning af typen: y = ax + b Figur 3: En ret linje 4 3 (0;b) a -3 - - 0 3 - - side 5
Sætning 4 (Ret linje ud fra to punkter). Hvis P og Q er to punkter: og P = (x ; y ) Q = (x ; y ) hvor x x, så kan den rette linje gennem P og Q (se figur 4) beskrives ved ligningen y = a x + b hvor og a = y y x x b = y y y x x x Bemærkning Alternativt kan a og b bestemmes ved at løse de to ligninger med a og b som ukendte: y = a x + b og y = a x + b Dette er som regel nemmere i praksis. side 6
Figur 4: En linje bestemt ved to punkter. 3 (x ;y ) (x ;y ) -5-4 -3 - - 0 3 4 5 - - -3 side 7
Sætning 5 (Ret linje ud fra et punkt og en hældning). Hvis P er et punkt i koordinatsystemet: P = (x 0 ; y 0 ) og a er et reelt tal, så kan den rette linje gennem P med hældningskoefficient a (se figur 5) beskrives ved ligningen: y = y 0 + a (x x 0 ) eller omskrevet: y = ax + (y 0 ax 0 ) Figur 5: En linje bestemt ved et punkt og en hældningskoefficient. 3 a (x 0 ;y 0 ) -3 - - 0 3 - - -3 side 8
Sætning 6 (Stigningsvinkel). Hvis L er en ret linje med hældningskoefficient a, og v betegner vinklen (målt med fortegn) mellem L og en vandret linje (se figur 6), så er: tan(v) = a Figur 6: En linjes stigningsvinkel (se sætning 6). 4 3 v 5-4 -3 - - 0 3 4 5 - - -3 side 9
Sætning 7 (Ortogonale linjer). Hvis L og M er to rette linjer med hældningskoefficienter henholdsvis a og c, så er L og M ortogonale (se figur 7) hvis og kun hvis a c = Figur 7: To ortogonale linjer (se sætning 7) 4 3 L 5-4 -3 - - 0 3 4 5 - - M -3 side 0
Sætning 8 (Afstand fra punkt til linje). Hvis L er en linje, givet ved en ligning af typen: og y = ax + b P = (x 0 ; y 0 ) er et punkt i koordinatsystemet, så kan den vinkelrette afstand (se figur 8) fra P til L udregnes som: Dist(P, L) = ax 0 + b y 0 + a Figur 8: Afstand fra et punkt til en linje (se sætning 8) 3 P 5-4 -3 - - 3 4 5 - L - -3 side
5 Cirkler Sætning 9 (Cirklens ligning). Hvis a, b og r er tre reelle tal, hvor r > 0, så udgør delmængden: {(x; y) R (x a) + (y b) = r } en cirkel med centrum i punktet (a; b) og radius r (se figur 9). Omvendt kan alle cirkler i koordinatsystemet beskrives ved en ligning af typen: (x a) + (y b) = r side
Figur 9: En cirkel bestemt ved centrum og radius 5 4 3 r (a;b) - - 0 3 4 5 - - Som et eksempel på hvordan de fleste af ovennævnte sætninger kan arbejde sammen, nævner vi følgende: Sætning 0 (Bestemmelse af cirkel ud fra tre punkter). Hvis P, Q og R er tre punkter i koordinatsystemet, som ikke ligger på den samme rette linje, så findes der præcis én cirkel som går gennem P. Q og R. Denne cirkel kan bestemmes efter følgende fremgangsmåde: side 3
. Find midtpunktet mellem P og Q (sætning ).. Beregn hældningen af linjen gennem P og Q (sætning 4). 3. Beregn hældningen af den linje som er vinkelret på linjen gennem P og Q (sætning 7). 4. Opskriv en ligning for den linje som går gennem midtpunktet mellem P og Q og har den hældning som er bestemt i punkt 3 (sætning 5). 5. Gentag punkt 4 med punkterne Q og R i stedet for P og Q. 6. Find skæringspunktet mellem de to linjer. Dette er centrum for den ønskede cirkel. 7. Cirklens radius er lig med afstanden fra centrum til et hvilkårligt af de tre punkter. side 4
Øvelse. Find en ligning for den cirkel som indeholder punkterne: A = (; 7) og B = (7; ) C = ( 3; 9) 6 Parabler Sætning (Parablens ligning). Hvis a, b og c er tre reelle tal, hvor a 0, så udgør delmængden: {(x; y) R y = a x + b x + c} en såkaldt parabel (se figur 0), som skærer y-aksen i punktet (0; c) og som har toppunkt i punktet (x t ; y t ), hvor og x t = b a y t = b 4ac 4a side 5
Figur 0: En parabel med toppunkt og skæringspunkt med y- aksen indtegnet 4 3 (0;c) - 0 3 - - -3 (x t ;y t ) side 6
7 Hyperbler Sætning 3. Hvis a er et reelt tal, så udgør delmængden: {(x; y) R x y = a} en såkaldt hyperbel (se figur ) som går igennem punkterne og (; a) (a; ) (bemærk at hvis a = så er de to punkter ens) side 7
Figur : En hyperbel 5 4 3 (;a) (a;) -5-4 -3 - - 0 3 4 5 - - -3-4 -5 side 8
8 Akseparallelle Ellipser Sætning 4 (Ellipsens ligning). Hvis a, b, p, q er fire reelle tal, hvor p > 0 og q > 0, så udgør delmængden: ( ) ( x a y b (x; y) R + p q ) = en ellipse med centrum i punktet (a; b) og vandret afstand p fra centrum til ellipsen og lodret afstand q fra centrum til ellipsen (se figur ). Figur : En ellipse 5 4 3 q (a;b) p -4-3 - - 0 3 4 5 - side 9