Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Lineære funktioner 4 3 Potensfunktioner 6 4 Potensielle udviklinger 8 5 Polynomielle funktioner 10 6 Harmoniske svingninger 12 7 Eksponentialfunktioner 14 8 Eksponentielle udviklinger 16 9 Logaritmer 18 10 Logistiske funktioner 20
Resumé Dette er en oversigt over nogle almindelige funktionsfamilier. 1 Introduktion Velkommen til MatBog s funktions zoologiske have! I dette afsnit har vi samlet en masse funktioner og organiseret dem i familer dvs. samlinger af funktioner der har samme udseende. Du kan forestille dig hver familie som en flok dyr af samme art, samlet i et bur i en zoologisk have. Vi vil stoppe ved hvert bur og gennemgå hvordan sådan nogle dyr kan se ud, hvad de har til fælles og hvad der adskiller dem fra andre dyr. Hver af familierne har en eller flere såkaldte frie parametre. Det nogle talstørrelser som svarer nogenlunde til DNA strengene i et dyr: Man kan vælge mere eller mindre frit hvad de skal være (hvis der er begrænsninger på hvad man må vælge, så er det oplyst), og alt efter hvad man vælger dem til, så får man en forskellig funktion fra den samme familie. Man siger at man fastlægger de frie parametre. Det er meget vigtigt at kende forskel på de frie parametre og funktionens variabel, som jo netop ikke skal fastægges. Funktionens variabel (som regel betegnet med bogstavet x ) er jo bare et symbol for noget som funktionen kan tages på, og det bliver kun brugt fordi det nu engang er nemmere at sige (om funktionen f) at: end det er at sige at: f(x) = x 2 f er den funktion som opløfter tal i anden potens. side 1
Forudsætninger: For at have glæde af dette dokument bør du have et godt kendskab til funktioner og den terminologi som bruges når man taler om funktioner 1. Specielt begreberne: grafer, definitions og værdimængde, monotoni, ekstremer og injektivitet. 1 Du kan finde en grundig introduktion til funktionsbegrebet her side 2
Et billede af en pingvin. Dette afsnit er en lille pause inden vi går i gang. Det har til formål at sikre at alle de følgende kapitler starter på et lige sidetal. side 3
2 Lineære funktioner Funktionsforskrift f(x) = a x + b Parametre a er et reelt tal, kaldet hældningskoefficienten eller bare hældningen. b er et reelt tal. Definitionsmængde Alle reelle tal Eksempler på grafer 14 12 10 8 6 4 2-2 2 4 6 8 10 12 14-4 -6 side 4
Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f(0) = b Hvis a 0 er Vm(f) = R Hvis a > 0 er f voksende Hvis a < 0 er f aftagende Hvis a = 0 er f konstant Hvis a 0 er f injektiv, og den inverse funktion til f er også en lineær funktion, givet ved: f 1 (x) = 1 a x b a side 5
3 Potensfunktioner Funktionsforskrift f(x) = x a Parametre a er et reelt tal, kaldet eksponenten eller bare potensen. Definitionsmængde For nemhedens skyld vedtages at Dm(f) =]0; [ selvom den for visse værdier af a kan gøres større. Eksempler på grafer 3 2 1 1 2 3 4 5 side 6
Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f(1) = 1 Hvis a 0 er Vm(f) =]0; [ Hvis a > 0 er f voksende Hvis a < 0 er f aftagende Hvis a 0 er f injektiv, og den inverse funktion til f er også en potensfunktion, givet ved: f 1 (x) = x 1 a side 7
4 Potensielle udviklinger Funktionsforskrift f(x) = b x a Parametre a er et reelt tal, kaldet eksponenten eller bare potensen. b er et positivt reelt tal. Definitionsmængde For nemhedens skyld vedtages at Dm(f) =]0; [ Eksempler på grafer 3 2 1 1 2 3 4 5 side 8
Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f(1) = b Hvis a 0 er Vm(f) =]0; [ Hvis a > 0 er f voksende Hvis a < 0 er f aftagende Hvis a 0 er f injektiv, og den inverse funktion til f er også en potensiel udvikling, givet ved: f 1 (x) = ( b 1 a ) x 1 a side 9
5 Polynomielle funktioner Funktionsforskrift f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n n = a i x i i=0 Parametre n er et naturligt tal, kaldet graden af f. a 0, a 1,... a n er reelle tal, kaldet koefficienterne i polynomiet. Bemærk at den sidste koefficient, a n, ikke må være nul. Definitionsmængde Alle reelle tal. Eksempler på grafer 12 9 6 3-2 -1 0 1 2 3 4 5-3 side 10
Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f har mellem 0 og n nulpunkter (hvis n 1). f har mellem 1 og n monotoniintervaller (hvis n 1). f har mellem 0 og n 1 lokale ekstremumssteder (hvis n 1). Hvis n er ulige har f ingen globale ekstremer, og Vm(f) = R. Hvis n er lige og a n < 0, så har f en global maksimumsværdi, M, og Vm(f) =] ; M]. Hvis n er lige og a n > 0, så har f en global minimumsværdi, m, og Vm(f) = [m; [ side 11
6 Harmoniske svingninger Funktionsforskrift f(x) = A sin(ω x + ϕ) + k Parametre A er et positivt reelt tal, kaldet amplituden ω er et positivt reelt tal, kaldet vinkelfrekvensen ϕ er et reelt tal, kaldet faseforskydningen k er et reelt tal, kaldet offset værdien eller middelværdien Definitionsmængde Alle reelle tal. Eksempler på grafer 9 6 3-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 side 12
Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier Vm(f) = [k A; k + A] Funktionsværdien til x = ϕ giver altid k ω Funktionsværdierne gentager sig med en periode, T, hvor T = 2π ω f har uendeligt mange globale minimumssteder og maksimumssteder. Mellem ekstremumsstederne er f monoton. side 13
7 Eksponentialfunktioner Funktionsforskrift f(x) = a x Parametre a er et positivt reelt tal, kaldet grundtallet. Definitionsmængde Alle reelle tal. Eksempler på grafer 6 5 4 3 2 1-3 -2-1 1 2 3 side 14
Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f(0) = 1 og f(1) = a Hvis a 1 er Vm(f) =]0; [ Hvis a > 1 er f voksende Hvis a < 1 er f aftagende Hvis a er lig med Eulers tal: e 2,71828183 så kaldes f den naturlige eksponentialfunktion, og den er karakteriseret ved at grafens hældning i punktet (0; 1) er 1. For alle reelle tal, x og y, gælder regnereglen: f(x + y) = f(x) f(y) side 15
8 Eksponentielle udviklinger Funktionsforskrift f(x) = b a x Parametre a er et positivt reelt tal, kaldet grundtallet eller i forbindelse med renteudviklinger: fremskrivningsfaktoren b er et positivt reelt tal, kaldet startværdien eller i forbindelse med renteudviklinger: hovedstolen. Definitionsmængde Alle reelle tal. Eksempler på grafer 6 5 4 3 2 1-3 -2-1 1 2 3 4 5 side 16
Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f(0) = b Hvis a > 1 så defineres den såkaldte fordoblingskonstant ved: T 2 = log(2) log(a) (hvor log betegner en valgfri logaritmefunktion). Den opfylder for alle reelle tal, x, at: f(x + T 2 ) = 2 f(x) Hvis a < 1 så defineres den såkaldte halveringskonstant tilsvarende ved: T 1 = log ( ) 1 2 2 log(a) side 17
9 Logaritmer Funktionsforskrift f(x) = log a (x) (Den kan ikke opskrives ved hjælp af sædvanlige regneoperationer.) Parametre a er et positivt tal som er forskelligt fra 1, kaldet grundtallet Definitionsmængde Dm(f) =]0; [ Eksempler på grafer 3 2 1-1 2 4 6 8 10 12 14-2 -3 side 18
Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f(1) = 0 og f(a) = 1 Hvis a > 1 er f voksende Hvis a < 1 er f aftagende f er den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtal a. Det betyder at: f(a x ) = x og a f(x) = x f opfylder de vigtige logaritmeregneregler: f(x y) = f(x) + f(y) og f(x y ) = y f(x) side 19
10 Logistiske funktioner Funktionsforskrift f(x) = M 1 + k e α x Parametre M er et positivt reelt tal, kaldet den øvre grænse eller i nogle sammenhænge populationen k er et positivt reelt tal, kaldet integrationskonstanten α er et positivt reelt tal, kaldet proportionalitetsfaktoren eller i nogle sammenhænge udbredelseshastigheden Definitionsmængde Alle reelle tal. Eksempler på grafer 10 5-2 -1 1 2 3 4 5-5 side 20
Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier Vm(f) =]0; M[ f er voksende f opfylder differentialligningen: f (x) = α M f(x) (M f(x)) side 21