Formelsamling Noter til MatF 1

Formelsamling Noter til MatF 1 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird...o let s look at the bird and see what it s doing that s what counts. I learned very early the difference between knowing the name of something and knowing something. Richard P. Feynman Benyttede bøger: Mathematical Methods For Physics And Engineering, 3 rd Edition, K. F. Riley, M. P. Hobson,. J. Bence. Introduction To Electrodynamics, 3 rd Edition, David J. Griffiths. Kapitelnumrene i denne formelsamling svarer til de benyttede kapitler i Mathematical Methods For Physics And Engineering. ammensat af Kristoffer tensbo-midt 7. april 2007

INDHOLD Indhold 4 eries And Limits 4 4.1 Definitioner.................................... 4 4.2 ummer...................................... 4 4.3 Tests........................................ 4 4.3.1 Indledende test.............................. 4 4.3.2 ammenligningstest........................... 4 4.3.3 D Alemberts forholdstest......................... 5 4.3.4 Forholdssammenligningstesten...................... 5 4.3.5 Kvotienttesten.............................. 5 4.3.6 Integraltesten............................... 5 4.3.7 auchy s rodtest............................. 5 4.3.8 ekslende rækker............................. 6 4.4 Regneregler for rækker.............................. 6 4.5 Potensrækker................................... 6 4.6 Taylor-rækker................................... 6 10 ector alculus 7 10.1 Koordinatsystemer................................ 7 10.1.1 ylindriske polære koordinater..................... 7 10.1.2 færiske polære koordinater....................... 8 10.2 ektoroperatorer virkende på summer og produkter.............. 8 10.3 Kombinationer af grad, div og curl....................... 9 11 Line, surface and volume integrals 9 11.1 Linjeintegraler................................... 9 11.2 Green s teorem i et plan............................. 10 11.3 Konservative felter og potentialer........................ 10 11.4 Overfladeintegraler................................ 11 11.5 olumenintegraler................................ 11 11.6 Divergensteorem og relaterede teoremer.................... 11 11.7 toke s teorem og relaterede teoremer..................... 12 12 Fourier series 12 12.1 Dirichlet-betingelserne.............................. 12 12.2 Fourier-koefficienterne.............................. 12 13 Integral transforms 13 13.1 Fourier-transformationer............................. 13 13.2 Dirac δ-funktionen................................ 13 20 Partial differential equations: general and particular solutions 14 20.1 igtige partielle differentialligninger...................... 14 20.2 Løsningsmetoder................................. 14 20.2.1 Førsteordens-differentialligninger.................... 14 20.2.2 Andenordens-differentialligninger.................... 14 20.2.3 Inhomogene ligninger........................... 15 ide 2 af 20

INDHOLD 21 PDE: eparation of variables and other methods 15 21.1 eparation af de variable............................. 15 21.2 uperposition................................... 16 21.3 Greens-funktioner................................. 16 21.3.1 Dirichlet-problemer............................ 16 22 Dirac Delta Function 17 22.1 En dimension................................... 17 22.2 Tre dimensioner.................................. 18 23 Diverse definitioner 18 24 Gode formler 18 Indeks 20 ide 3 af 20

4 eries And Limits 4 eries And Limits 4.1 Definitioner. 117, s. 124. Aritmetisk række: Forskellen mellem efterfølgende led er konstant: N 1 N = a + (a + d) + (a + 2d) + + (a + (N 1)d) = (a + nd) Geometrisk række: Forholdet mellem efterfølgende led er konstant: N = a + ar + ar 2 + + ar N 1 = N 1 Aritmetico-geometrisk række: Kombineret artimetisk og geometrisk række: N 1 N = a + (a + d)r + (a + 2d)r 2 + + (a + (N 1)d)r N 1 = (a + nd)r n Absolut konvergent: Både u n og u n konvergerer. u n vil derfor være absolut konvergent, hvis den udelukkende består af positive, reelle tal og konvergerer. Betinget konvergent: u n divergerer, mens u n konvergerer. 4.2 ummer n=0 ar n n=0 n=0. 119.. 120. N n=1 N n=1 1 n(n + 1) = N N + 1 N 1 n(n + 2) = 3 ( 1 4 12 N + 2 + 1 ) N + 1 n=1 1 n(n + 1)(n + 2) = 1 ( 1 4 12 N + 2 + 1 ) N + 1 4.3 Tests 4.3.1 Indledende test. 125. Det er nødvendigt, men ikke nok, at u n går mod 0 for n gående mod uendelig, dvs.: 4.3.2 ammenligningstest lim u n = 0 n. 125. Meget vigtig! Givet to rækker, u n og v n. Det vides, at v n konvergerer. Hvis hvert u n er mindre eller lig hvert v n for alle n større end et fastsat tal N, vil u n også konvergere. Altså: Hvis v n konvergerer, og så vil u n også konvergere. u n < v n for n > N ide 4 af 20

4.3 Tests 4.3.3 D Alemberts forholdstest. 126. Meget vigtig! Betragt en række u n. Beregn ( ) un+1 ρ = lim n Hvis: ρ < 1: rækken konvergerer. ρ > 1: rækken divergerer. ρ = 1: testen kan ikke sige noget her! 4.3.4 Forholdssammenligningstesten. 127. Givet to rækker, u n og v n. Det vides, at v n konvergerer. Hvis u n u n+1 u n v n+1 v n for alle n større end et fastsat tal N, vil u n også konvergere. Hvis u n+1 v n+1 u n v n for tilpas store n, og v n divergerer, vil u n også divergere. 4.3.5 Kvotienttesten. 127. Givet to rækker, u n og v n, definér ρ = lim n ( un Hvis: ρ 0, men er endelig, vil både u n og v n enten konvergere eller divergere. ρ = 0 og v n konvergerer, da vil u n også konvergere. ρ = og v n divergerer, da vil u n også divergere. 4.3.6 Integraltesten. 128. Givet en række u n, bestem integralet og grænsen v n ) lim N N u n dx Eksisterer grænsen, vil u n konvergere, ellers divergerer den. 4.3.7 auchy s rodtest. 129. Givet en række u n, definér ρ < 1: u n konvergerer. ρ > 1: u n divergerer. ρ = 1: Testen kan ikke sige noget. ρ = lim n (u n) 1/n ide 5 af 20

4.4 Regneregler for rækker 4.3.8 ekslende rækker. 130. For en given række u n kan en vekslende række skrives som ( 1) n+1 u n = u 1 u 2 + u 3 u 4 + u 5... n=1 for alle u n 0. Rækken konvergerer, hvis 1. u n 0 for n. 2. u n < u n 1 for alle n > N, hvor N er et endeligt (og næsten vilkårligt) tal. 4.4 Regneregler for rækker. 131. Nogle simple regneregler: 1. Hvis u n = er ku n = k for enhver konstant k. 2. Hvis u n = og v n = T er (u n + v n ) = + T. 3. Hvis u n = er a + u n = a +. 4. Hvis de uendelige rækker u n og v n begge er absolut konvergente vil w n, hvor w n = u 1 v n + u 2 v n 1 + + u n v 1, også være konvergent. Hvis u n = og v n = T er w n = T. 5. Generelt: Differentiation eller integration af hvert led i en række vil ikke resultere i en ny række med de samme konvergens-egenskaber! 4.5 Potensrækker. 132. Potensrækker på formen P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + konvergerer absolut hvis ρ = lim a n+1 n x a n = x lim a n+1 n a n < 1 Potensrækken vil derfor konvergere for x = 1 lim a n+1 a n n γ Husk: Undersøg P(γ) og P( γ) for at se, om rækken også konvergerer i endepunkterne. 4.6 Taylor-rækker. 138. En funktion f(x) kan approximeres omkring et punkt x = a med en Taylor-række på formen hvor f(x) = f(a) + (x a)f (a) + (x a)2 f (a) + + 2! R n (x) = (x a)n f (n) (ξ) n! (x a)n 1 f (n 1) (a) + R n (x) (n 1)! hvor ξ ligger i intervallet [a,x]. Dette er restleddet, men ikke noget vi har lært at bestemme! ide 6 af 20

10 ector alculus 10 ector alculus. 348. Gradienten af et skalarfelt defineres som grad φ = φ = i φ x + j φ y + k φ z. 352. Divergensen af et vektorfelt defineres som diva = a = a x x + a y y + a z z. 353. Rotationen (curl) af et vektorfelt er defineret som i j k curla = a = x y z a x a y a z. 352-353. olenoidal: a = 0 Irrotational: a = 0 10.1 Koordinatsystemer 10.1.1 ylindriske polære koordinater. 357. Generelt: r = ρcos φi + ρsin φj + zk ê ρ = r = cos φi + sin φj ρ ê φ = 1 r = sin φi + cos φj ρ φ ê z = r z = k hvor 0 ρ <, 0 φ 2π, < z <. Enhedsvektorene: Bemærk: i = cos φê ρ sin φê φ j = sin φê ρ + cos φê φ k = ê z dr = dρê ρ + ρdφê φ + dz ê z d = ρdρdφdz Overfladeelementet kan ikke udtrykkes generelt. e sfæriske koordinater nedenfor. ide 7 af 20

10.2 ektoroperatorer virkende på summer og produkter 10.1.2 færiske polære koordinater. 361. Generelt: r = r sin θ cos φi + r sin θ sin φj + r cos θk ê r = sin θ cos φi + sinθ sinφj + cos θk ê θ = cos θ cos φi + cos θ sin φj sin θk ê φ = sin φi + cos φj hvor 0 r <, 0 φ 2π, 0 θ π. Enhedsvektorene: Bemærk: i = sin θ cos φê r + cos θ cos φê θ sin φê φ j = sin θ sin φê r + cos θ sinφê φ + cos φê φ k = cos θê r sin θ ê θ dr = drê r + r dθê θ + r sin θ dφê φ d = r 2 sin θ dr dθ dφ Overfladeelementet kan ikke udtrykkes generelt. F.eks. for en kugle er r konstant, dvs. d = dr θ dr φ ê r = r 2 sin θ dθ dφê r, mens hvis overfladen ligger i xy-planet, hvor θ er konstant, har vi d = dr r dr φ ê θ = r dr dφê θ. 10.2 ektoroperatorer virkende på summer og produkter. 354. I kartesiske koordinater: (φ + ψ) = φ + ψ (a + b) = a + b (a + b) = a + b (φψ) = φ ψ + ψ φ (a b) = a ( b) + b ( a) + (a )b + (b )a (φa) = φ a + a φ (a b) = b ( a) a ( b) (φa) = φ a + φ a (a b) = a( b) b( a) + (b )a (a )b hvor φ og ψ er skalarfelter og a og b er vektorfelter.. 360. I polære koordinater: Φ = Φ ρ êρ + 1 Φ + Φ ρ φêφ z êz a = 1 ρ ρ (ρa ρ) + 1 a φ ρ φ + a z z a = 1 ê ρ ρê φ ê z ρ ρ φ z a ρ ρa φ a z 2 Φ = 1 ( ρ Φ ) + 1 2 Φ ρ ρ ρ ρ 2 φ 2 + 2 Φ z 2 ide 8 af 20

10.3 Kombinationer af grad, div og curl hvor Φ er et skalarfelt og a er et vektorfelt.. 362. I sfæriske koordinater: Φ = Φ r êr + 1 Φ r θ êθ + 1 Φ r sin θ φêφ a = 1 r 2 r (r2 a r ) + 1 r sin θ θ (sin(θ)a θ) + 1 r sinθ a = 1 r 2 sin θ 2 Φ = 1 r 2 r ê r rê θ r sin θê φ r θ φ a r ra θ r sin(θ)a φ ( ) r 2 Φ 1 + r r 2 sinθ θ 10.3 Kombinationer af grad, div og curl. 356. Formlerne er i kartesiske koordinater. curl grad φ = φ = 0 div curla = ( a) = 0 ( sin θ Φ θ ) + a φ φ div grad φ = φ = 2 φ = 2 φ x 2 + 2 φ y 2 + 2 φ z 2 grad diva = ( a) ( 2 ) a x = x 2 + 2 a y x y + 2 a z i x z ( 2 a x + y x + 2 a y y 2 + 2 a z y z ( 2 a x + z x + 2 a y z y + 2 a z z 2 ) j ) k curl curla = ( a) = ( a) 2 a 11 Line, surface and volume integrals 11.1 Linjeintegraler. 377. Generelle former: φdr a dr a dr 1 2 Φ r 2 sin 2 θ φ 2. 378. Integralerne kan beregnes som: φdr = i φ(x,y,z)dx + j φ(x,y,z)dy + k φ(x,y,z)dz a dr = a x dx + a y dy + a z dz a r = i (a y dz a z dy) + j (a z dx a x dz) + k (a x dy a y dx) ide 9 af 20

11.2 Green s teorem i et plan 11.2 Green s teorem i et plan. 384. Givet to funktioner, P(x,y) og Q(x,y), hvis afledede er entydigt bestemt og endelige i og på randen i et simply connected område R i xy-planet, så kan linjeintegralet skrives som et dobbeltintegral over området: ( Q (P dx + Qdy) = x P ) dxdy y Der gælder endvidere, at linjeintegralet er 0 hvis og kun hvis R P y = Q x 11.3 Konservative felter og potentialer. 387. Gælder for linjeintegraler af typen a dr. Linjeintegralet vil være uafhængigt af vejen. ektorfeltet a, som har kontinuerte partielt afledte, er konservativt hvis og kun hvis ethvert af de følgende punkter er opfyldt: 1. Integralet B A a dr, hvor A og B ligger i R, er uafhængigt af vejen fra A til B. Altså vil a dr = 0 omkring ethvert lukket loop i R. 2. Der eksisterer en funktion Φ sådan a = Φ. 3. a = 0. 4. a dr er et eksakt differentiale (dvs. det kan integreres, s. 155). Ethvert punkt medfører de andre! Eksempel 11.1 (Bestemmelse af Φ fra punkt 2) Givet et vektorfelt F = 2xyi + (x 2 + z 2 )j + 2zyk Fra definitionen ved vi: Φ = F Dette integreres nu én koordinat ad gangen: Φ x Φ y Φ z = 2xy x 2 + z 2 2zy Φ x = 2xy Φ = x2 y + f(y,z) Φ y = x2 + z 2 Φ = y(x 2 + z 2 ) + g(x,z) Φ z = 2zy Φ = z2 y + h(x,y) i kan nu sammenligne og se, at f(y,z) = z 2 y, g(x,z) = 0, da der ikke er noget, der udelukkende afhænger af x og z, og h(x,y) = x 2 y. Begge disse funktioner optræder to gange i udregningen ovenfor, men det betyder bare, at vi ved to udregninger har fundet det samme udtryk det skal derfor ikke gentages! Den endelige løsning bliver da: Φ = x 2 y + yz 2 = y(x 2 + z 2 ) ide 10 af 20

11.4 Overfladeintegraler 11.4 Overfladeintegraler. 389. Generelle former: φd φd a d a d Eks. på udregning: s. 26 i Griffiths Introduction to Electrodynamics.. 393. ektorarealer af overflader. = d Overfladeintegralet bestemmes som ovenfor.. 394. ektorarealet af enhver åben overflade med omkredsen : = 1 r dr 2 hvor r er afstanden fra origo til (se figuren s. 394). 11.5 olumenintegraler. 396. Generelle former: Løses på følgende måde: a d = i φd a d a x d + j a y d + k a z d 11.6 Divergensteorem og relaterede teoremer. 401. Divergensteoremet: (kaldes også Green s teorem eller Gauss teorem) a d = a d. 403. Green s teoremer: φ ψ d = = (φ ψ ψ φ) d = (φ ψ)d [φ 2 ψ + ( φ) ( ψ)]d (φ 2 ψ ψ 2 φ)d φ og ψ er skalarfunktioner i et volumen omkranset af overfladen.. 403. Relaterede teoremer: φd = φd bd = d b hvor φ er et skalarfelt, og b er et vektorfelt. (Første teorem) (Andet teorem) ide 11 af 20

11.7 toke s teorem og relaterede teoremer 11.7 toke s teorem og relaterede teoremer. 406. toke s teorem:. 407. Relaterede teoremer: ( a) d = d φ = (d ) b = hvor φ er et skalarfelt og b er et vektorfelt. 12 Fourier series 12.1 Dirichlet-betingelserne a dr φdr dr b. 415. Før en funktion f(x) kan beskrives ved en Fourier-række, skal den opfylde Dirichletbetingelserne: 1. f(x) skal være periodisk. (Man kan evt. udvide en funktion, så den bliver periodisk). 2. f(x) skal være begrænset og kontinuert. (Et endeligt antal endelige diskontinuiteter er dog tilladt). 3. f(x) skal have et endeligt antal minima og maxima i én periode. 4. Integralet af f(x) over en periode skal konvergere.. 417. En Fourier-række skrives på formen f(x) = a 0 2 + [ ( ) ( )] 2πrx 2πrx a r cos + b r sin L L r=1 hvor a 0, a r og b r er Fourier-koefficienter, mens L er perioden. Bemærk: Fourier-rækker af ulige funktioner indeholder kun sin-delen, mens Fourier-rækker af lige funktioner kun indeholder cos-delen! 12.2 Fourier-koefficienterne. 417. Fourier-koefficienterne bestemmes som: a r = 2 x0 +L ( 2πrx f(x)cos L x o L b r = 2 x0 +L ( 2πrx f(x)sin L L a 0 bestemmes ved at sætte r = 0 i a r : x o a 0 = 2 L x0 +L x o f(x)dx ) dx ) dx ide 12 af 20

13 Integral transforms 13 Integral transforms 13.1 Fourier-transformationer. 435. En Fourier-transformation af funktionen f(t) bestemmes ved f(ω) = 1 2π f(t)e iωt dt hvor ω = 2π/T, hvor T er perioden. Den inverse bestemmes som 13.2 Dirac δ-funktionen. 439. For Dirac δ-funktionen gælder: f(t) = 1 2π f(t)e iωt dω δ(t) = 0 for t 0 Men mest fundamentalt: f(t)δ(t a)dt = f(a) forudsat at punktet t = a ligger i integrationsintervallet. Dette betyder også, at δ(t a)dt = 1 igen forudsat at integrationsintervallet indeholder t = a. Desuden: Den afledede: I flere dimensioner (her i tre):. 441. olumenintegral: ed integration fås Heaviside-funktionen: δ(t) = δ( t) δ(at) = 1 a δ(t) tδ(t) = 0 f(t)δ (t)dt = f (0) δ(r r 0 ) = δ(x x 0 )δ(y y 0 )δ(z z 0 ) { q hvis r0 ligger i kδ(r r 0 )d = 0 ellers H (t) = δ(t), H(t) = { 1 for t > 0 0 for t < 0. 442. Relation til Fourier-rækker: δ-funktionen kan beregnes som: δ(t u) = 1 2π e iω(t u) dω ide 13 af 20

20 Partial differential equations: general and particular solutions 20 Partial differential equations: general and particular solutions. 685. Homogen ligning: Hvis u(x,y) er en løsning, så er λu(x,y) for enhver konstant λ også en løsning. 20.1 igtige partielle differentialligninger 20.2 Løsningsmetoder 20.2.1 Førsteordens-differentialligninger. 683. Givet en ligning på formen 1. Opstil ligningen 2 u = 1 2 u c 2 t 2 (Bølgeligningen, s. 676) κ 2 u = u t (Diffutionsligningen, s. 678) 2 u = 0 (Laplace ligning, s. 679) 2 u = ρ(r) (Poissons ligning, s. 679) A(x,y) u x + B(x,y) u y = 0 dx A(x,y) = dy B(x, y) 2. Integrér og isolér konstanten c fra integrationen. 3. Bestem nu p = c, hvor c er en smart udgave af c, f.eks. c, 1 2 c, c osv. afhængig af, hvordan ligningen fra før får den smarteste form. Man må bare gætte sig til den gode løsning! Har man f.eks. c = (x+y+1) 2 vil det være bedst, at sige p = c = x+y+1. 4. Den generelle løsning er nu blot: u(x, y) = f(p) kal løsningen bestemmes med begyndelsesbetingelser, skal f(p) bestemmes, så det kommer til at passe. Løsningen kunne f.eks. være f(p) = p, f(p) = 1/p, f(p) = 2p 4 osv. 20.2.2 Andenordens-differentialligninger. 688. Givet en ligning på formen 1. Bestem λ 1 og λ 2, hvor A 2 u x 2 + B 2 u x y + 2 u y 2 = 0 λ = B ± B 2 4A 2 2. Den generelle løsning bliver da: u(x,y) = f(x + λ 1 y) + g(x + λ 2 y). ide 14 af 20

21 PDE: eparation of variables and other methods Eksempel 20.1 (Løsning v. begyndelsesbetingelser) Den generelle løsning er bestemt til u(x,y) = f(x y) + g(x 3y) = f(p 1 ) + g(p 2 ). Begyndelsesbetingelser: ➀ u(x,0) = sin x, ➁ u(x,y) y = 3 y=0 Først bestemmes ➁: u(x, y) y = 3 y=0 Fra ➀ fås: Herfra fås: Og ( f(p1 ) dp 1 p 1 dy + g(p ) 2) dp 2 = 3 p 2 dy y=0 f(p 1 ) ( 1) + g(p 2) ( 3) = 3 x x f (x) 3g (x) = 3 u(x,0) = sin x f(x) + g(x) = sin x f (x) + g (x) = cos x f (x) = 3 3g (x) 3 3g (x) + g (x) = cos x g(x) = 1 (3x sin x) + k 2 f(x) + 1 2 (3x sin x) + k = sin x f(x) = 3 2 sinx 3 2 x k Disse beregninger ville også gælde, hvis vi substituerede x med p! Derfor fås for f(p 1 ) og g(p 2 ) løsningen u(x,y) = 3 2 sin(x y) 3 2 (x y) k + 1 (3(x 3y) sin(x 3y)) + k 2 = 3 2 sin(x y) 1 sin(x 3y) 3y 2 20.2.3 Inhomogene ligninger 1. Løs først den homogene ligning, dvs. hvor differentialligningen er lig 0. 2. Gæt nu et integral, dvs. gæt en løsning u(x,y) som opfylder den opgivne ligning. Eksempel: Er den opgivne ligning y u x x u y = 3x vil det gættede integral være u(x,y) = 3y. 3. Den generelle løsning fås ved at lægge det gættede integral til løsningen til den homogene ligning. 21 PDE: eparation of variables and other methods 21.1 eparation af de variable. 714. Eks. på løsning af ligningen 2 u x 2 + 2 u y 2 + 2 u z 2 = 1 2 u c 2 t 2 ide 15 af 20

21.2 uperposition 1. Antag løsningen u(x, y, z, t) = X(x)Y (y)z(z)t(t). 2. ubstituér ind i den opgivne ligning og få: X X + Y Y + Z Z = 1 T c 2 T 3. For at ligningen kan være opfyldt, må hvert led være en konstant, da leddene afhænger af forskellige variable og derfor umuligt kan være lig hinanden, medmindre de alle er konstanter. æt derfor lig en konstant: X X = λ2 1 Y Y = λ2 2 For en PDE af første orden sætter man bare leddene lig en simpel konstant c. 4. Løsningen kan nu være: ➀ X(x) = Aexp(iλ 1 x) + B exp( iλ 1 x) ➁ X(x) = cos(λ 1 x) + D sin(λ 1 x) Hvilken, der er mest hensigtsmæssig, vil fremgå af den stillede opgave (f.eks. vil en opgave med svingninger nok skulle beskrives med ➁). 21.2 uperposition. 717-718. Hvis en PDE er lineær (som Laplace, chrödingers, diffusions- og bølgeligningen), kan samtlige løsninger beskrives ved en superposition. F.eks. kunne man få en løsning mens den fuldstændige løsning ville være X(x) = Acos(λx) + B sin(λx) X(x) = n A n cos(λ n x) + B n sin(λ n x) 21.3 Greens-funktioner. 755. Greens-funktionen for Poissons ligning ( 2 u(r) = ρ(r)) i et volumen med overflade opfylder hvor r 0 ligger i. 2 G(r,r 0 ) = δ(r r 0 ) 21.3.1 Dirichlet-problemer. 756. Et Dirichlet-problem kræver, at løsningen u(r) til Poissons ligning har en bestemt værdi på overflade, dvs. u(r) = f(r) på, hvor f er en given funktion. Dette kaldes også Dirichlet-begyndelsesbetingelser.. 758. Løsningsmetoden til Poissons ligning i området under Dirichlet-begyndelsesbetingelser på overfladen : ide 16 af 20

22 Dirac Delta Function 1. Til det ene punkt δ(r r 0 ) i lægges billedpunkter uden for : N q n δ(r r n ) med r n er uden for n=1 hvor positionerne r n og vægtene q n bestemmes i trin 3. 2. Da alle billedpunkterne ligger uden for, vil den fundamentale løsning F(r,r o ) opfylde Laplace ligning inde i. Der lægges derfor den fundamentale løsning F(r,r 0 ) svarende til hvert billedpunkt til det tilsvarende punkt inde i og derved få Greensfunktionen N G(r,r 0 ) = F(r,r 0 ) + q n F(r,r n ) 3. Justér nu positionerne r n og vægtene q n af billedpunkterne så de opgivne begyndelsesbetingelser bliver opfyldt på. For en Dirichlet-Greens-funktion kræves at G(r,r 0 ) = 0 for r på. 4. Løsningen til Poissons ligning under Dirichlet-begyndelsesbetingelsen u(r) = f(r) på er da givet som hvor G(r,r 0) n retning. u(r 0 ) = 22 Dirac Delta Function n=1 G(r,r 0 )ρ(r)d (r) + f(r) G(r,r 0) d(r) n = G(r,r 0 ) ˆn, dvs. ændringen i Greens-funktionen i normalvektorens Fra Griffiths Introduction to Electrodynamics. 22.1 En dimension Definitioner: For en kontinuert funktion f: δ(x) = δ(x)dx = 1 f(x)δ(x) = f(0)δ(x) f(x)δ(x)dx = f(0) { 0 hvis x 0 hvis x = 0 δ(x)dx = f(0) Forskydes Dirac-delta-funktionen ad førsteaksen til a fås: { 0 hvis x a δ(x a) = hvis x = a δ(x a)dx = 1 f(x)δ(x a) = f(a)δ(x a) f(x)δ(x a)dx = f(a) ide 17 af 20

22.2 Tre dimensioner Bemærk: Dirac-funktionens nulpunkt (i dette tilfælde a) skal indeholdes i integralets grænser! ar a = 2 kunne man f.eks. vælge grænserne 0 til 3, men ikke 0 til 1! Egenskaber: 22.2 Tre dimensioner Generelt: δ(kx) = 1 k δ(x) δ( x) = δ(x) δ 3 (r) = δ(x)δ(y)δ(z) Husk: r xi + yj + zk. δ 3 (r) er 0 alle steder pånær (0,0,0). δ 3 (r)d = δ(x)δ(y)δ(z)dxdy dz = 1 hele R 3 Endvidere: 23 Diverse definitioner hele R 3 f(r)δ 3 (r a)d = f(a) Lige funktion: ymmetrisk omkring y-aksen, f.eks. cos. Ulige funktion: ymmetrisk omkring (0,0), f.eks. sin. Dette svarer til en 180 drejning omkring (0, 0). Regneregler: lige lige = lige ulige ulige = lige lige ulige = ulige En lige funktion har den egenskab, at a a [lige]dx = 2 a 0 [lige]dx, idet den jo er symmetrisk omkring y-aksen. 24 Gode formler Krydsprodukt: kalar-tripel-produkt: A B = A (B ) = i j k A x A y A z B x B y B z A x A y A z B x B y B z x y z ide 18 af 20

24 Gode formler Partiel integration: f(x)g(x)dx = F(x) g(x) F(x) g (x)dx (Uden grænser) b a f(x)g(x)dx = [F(x) g(x)] b a b a F(x) g (x)dx (Med grænser) Eulers formel: e iωt = cos ωt + isin ωt ide 19 af 20

Indeks absolut konvergent, 4 aritmetico-geometrisk, 4 aritmetisk række, 4 betinget konvergent, 4 auchy s rodtest, 5 curl, 7, 9 D Alemberts forholdstest, 5 Dirac-delta-funktionen fra Griffiths, 17 fra Mathematical Methods..., 13 volumenintegral, 13 Dirichlet-begyndelsesbetingelser, 16 Dirichlet-betingelser, 12 Dirichlet-problemer, 16 div, 9 divergens, 7 divergensteorem, 11 forholdssammenligningstest, 5 Fourier-rækker, 12 Fourier-transformationer, 13 potentiale, 10 regneregler for rækker, 6 rotation, 7 sammenligningstest, 4 separation af de variable, 15 sfæriske koordinater, 8 solenoidal, 7 toke s teorem, 12 superposition, 16 Taylor-rækker, 6 ulige funktion, 18 vekslende rækker, 6 vektorarealer, 11 vektoroperatorer kartesiske koordinater, 8 polære koordinater, 8 sfæriske koordinater, 9 volumenintegraler, 11 Gauss teorem, 11 geometrisk række, 4 grad, 9 gradient, 7 Green s teorem, 11 i et plan, 10 Greens-funktioner, 16 Heaviside-funktion, 13 homogen ligning, 14 inhomogene ligninger, 15 integraltest, 5 irrotational, 7 konservativt felt, 10 kvotienttest, 5 lige funktion, 18 linjeintegraler, 9 overfladeintegraler, 11 partielle differentialligninger, 14 polære koordinater, 7 potensrækker, 6 20