Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter, osv.). Imellem de to poler på et batteri er der en spændingsforskel =Δ ϕ, så hvis batteriets to poler forbindes til hver sin ende af en leder (f.eks. en ledning), vil batteriet skabe en potentialgradient og dermed et elektrisk felt E = ϕ, som beskrevet i EM2 s. 2. Den pågældende leder er hermed ikke længere i statisk ligevægt. E + Den elektriske strøm gennem en flade er defineret som den rate, hvormed ladning passerer fladen: ΔQ dq C I lim =, I A Δ t 0 t dt =. (7.1) Δ s Når man taler om elektrisk strøm i en ledning, er den pågældende flade underforstået et tværsnit af ledningen. Strømmen regnes positiv i samme retning som E-feltet, så positive ladningsbærere bevæger sig i strømmens retning, mens negative (f.eks. elektroner 1 ) bevæger sig imod strømmens retning 2. 1 Elektroner er blot ét eksempel på ladningsbærere, der kan give anledning til elektrisk strøm. I en elektrisk ledning bæres strømmen af frie elektroner, men i en vandig opløsning indeholdende frie ioner (en elektrolyt ) bæres strømmen af disse ioner (f.eks. Na + og Cl i en vandig opløsning af bordsalt).
Elektromagnetisme 7 Side 2 af 12 Dynamisk ligevægt: Elektronerne i en ledning ligger ikke stille, selvom batteriet ikke er tilsluttet, men bevæger sig hid og did, mens de støder ind i hinanden og i iongitteret, idet denne termiske bevægelse er et udtryk for lederens temperatur. Når batteriet tilsluttes, skaber det påtrykte E-felt en foretrukken bevægelsesretning, sådan at der opstår en driftsbevægelse og dermed en elektrisk strøm. Jo større fart, elektronerne bevæger sig med, jo flere sammenstød oplever de, så ved en eller anden driftshastighed v opstår der en dynamisk ligevægt mellem accelerationen forårsaget af E- feltet og opbremsningerne forårsaget af sammenstødene. 3 E v I dette kursus behandles kun ledningsstrømme i ledere, som udadtil er elektrisk neutrale, i modsætning til konvektionsstrømme 4 i ledere med nettoladning. 2 Bemærk, at ladningsbærerne uanset fortegn bidrager til en strøm i samme retning. 3 Fremover vil ladningsbæreres hastighed v underforstået være deres driftshastighed. 4 Eks. elektriske strømme i opladede tordenskyer.
Elektromagnetisme 7 Side 3 af 12 Strømtæthed, som defineret i udtryk (7.1), siger ikke noget om ladningstransportens variation henover den pågældende flade, så i det flg. udledes et udtryk for den lokale ladningstransport. da er et arealelement i et strømførende medium med ladningsbærere kendetegnet ved ladningen q, driftshastigheden v og antalstæthed ρ N ΔN dn =, 5 (7.2) ΔV ΔV dv ( r ) lim 0 hvor ΔN er antallet af ladningsbærere i rumfanget ΔV. E dl = vdt θ ˆn v da Den frie ladning dq, der i løbet af dv tidsrummet dt bliver transporteret gennem da, er givet ved ladningen indeholdt i dv : dq = qdn = qρndv = qρndl cos θ da = qρndl da n = q vdt da n = qρ dt v nˆ da. N ( ˆ) ρn ( ) ( ˆ) Ladningsbærerne bidrager således med flg. strøm gennem da: di = qρ v nˆ da, (7.3) N og hvis der er flere typer ladningsbærere: di = q v n da. (7.4) ( iρni i) ˆ i
Elektromagnetisme 7 Side 4 af 12 Den elektriske strøm gennem en vilkårlig flade S er således givet ved I q v = ρ n d A, (7.5) ( i Ni i) ˆ S i som under indførelse af strømtæthedsvektoren C A J ( r) qiρ Nivi, J = =, (7.6) 2 2 ms m i kan skrives I = J nˆ da. (7.7) S Så strømmen gennem en vilkårlig flade S er altså givet ved strømtæthedsfluxen gennem S. 6 Kontinuitetsligningen: Betragt strømmen ind i en lukket flade S: I J n ˆ da = = J dv. (7.8) S Da ladning hverken kan skabes eller destrueres, er strømmen af ladning ind i S lig ladningstilvæksten i V: dq d ρ I = = ρ dv = dv dt dt V V t V. (7.9) Så fra udtryk (7.8) og (7.9) fås, idet V er vilkårlig: ρ + J = 0. (7.10) t Denne kontinuitetsligning, ifølge hvilken ladningsophobningen i et punkt er lig antallet af strømtæthedsfeltlinier, der netto set tilflyder punktet, er således en direkte konsekvens af ladningsbevarelsen. 7 5 Bemærk, at denne definition er helt analog til udtryk (1.3). 6 J nˆ angiver således strømmen i retningen givet ved ˆn. 7 Samme kontinuitetsligning, blot for masse i stedet for ladning, finder anvendelse inden for fluid dynamik til beskrivelse af væskestrømninger, idet første led således er nul for usammenpresselige væsker.
Elektromagnetisme 7 Side 5 af 12 Jævnstrøm: En elektrisk strøm kaldes en jævnstrøm, hvis der ikke finder nogen ladningsophobning sted. Ifølge kontinuitetsligningen kan dette udtrykkes ρ = 0 J = 0. (7.11) t
Elektromagnetisme 7 Side 6 af 12 Ohms lov Den simplest tænkelige sammenhæng mellem den elektriske strøm i et homogent medium og det elektriske felt, som giver anledning til strømmen, er J = ge, (7.12) hvor ledningsevnen g, g A =, er en positiv materialekonstant. Jo større Vm ledningsevne, jo større elektrisk strøm vil et givet elektrisk felt give anledning til. dtryk (7.12) indebærer flg.: 1. Der går kun en strøm, hvis der er et E-felt. 2. Strømmen er i E-feltets retning. Dette gælder kun for isotrope medier 8. 3. Strømtætheden i et punkt afhænger kun af det elektriske felt i samme punkt. 4. Strømtætheden J er proportional med E -feltstyrken 9. Medier, som opfylder ovenstående, kaldes ohmske, idet udtryk (7.12) er kendt som Ohms lov. Endvidere indføres resistiviteten eller den specifikke modstand 1 Vm V η, m, g η = Ω Ω. (7.13) A A 8 Generelt er ledningsevnen en tensor g. 9 Generelt afhænger ledningsevnen af feltstyrken: kan tilnærmes g( E) g(0). 2 dg 1 d g 2 = + + 2 de E 0 2 de = E = 0 ge ( ) g(0) E E +, som for små feltstyrker
Elektromagnetisme 7 Side 7 af 12 Betragt en ohmsk ledning med længde l l og tværsnitareal A, hvorover der er A påtrykt en spændingsforskel og + S ˆn dermed et elektrisk felt. z Da E-felter opstår og ender på ladninger, og da ledningen er udadtil elektrisk neutral, er E-feltet konstant gennem ledningen 10, E r sådan at = El. ( ) = Ezˆ l = E dr = Ez dzz = Edz + l ( ˆ ) ( ˆ ) 0, (7.14) Strømmen igennem et tværsnit S er således givet ved I = J nˆ da= ge nˆ da= g Ezˆ zˆ da= gea S S S A = g, l 0 (7.15) (7.16) sådan at 1 l l = I = η I. (7.17) ga A Spændingen over ledningen er således proportional med strømmen igennem den med proportionalitetskonstanten l R η, R A =Ω (7.18) kaldet resistansen eller modstanden af den pågældende ledning. Ved kombination af udtryk (7.17) og (7.18) fås den velkendte Ohms lov for en ledning: = RI. (7.19) 10 Idet der ses bort fra randeffekter.
Elektromagnetisme 7 Side 8 af 12 I en ikke-ohmsk ledning afhænger η, og dermed R, af strømmen: ( ) RI d. (7.20) di Effekt: Den effekt, hvormed Coulombkraften udfører arbejde på en punktladning q, er givet ved den rate, hvormed arbejdet udføres: q ΔW dw FC dr ΡC () t lim = = Δ t 0 Δt dt dt = F v = qe v = q Ev. C (7.21) Ved at sammenholde udtryk (7.12) og (7.14) ses, at strømtætheden er konstant i en ledning, sådan at ifølge udtryk (7.7): I J = n ˆ da = Jz ˆ z ˆ da S = JA. S (7.22) For Coulombkraftens effekt i en ohmsk ledning fås således det velkendte resultat C N Ρ = eev = NeEv = ρ AleEv = eρ vael = JA i= 1 = I = RI 2 2 =, R hvor N er antallet af elektroner, og hvor udtryk (7.6) er anvendt. N N (7.23)
Elektromagnetisme 7 Side 9 af 12 Elektromotorisk kraft Betragt et batteri, der driver et elektrisk kredsløb; f.eks. et 9V batteri, der driver en pære. Den spænding, som batteriet leverer, afhænger af den strøm, der trækkes fra batteriet: = (). I (7.24) I + Den simplest mulige forskrift for er hvor polspændingen 11 (pæren + ledninger). () I = RI i, (7.25) emf () I er spændingsfaldet 12 over den ydre del af kredsløbet 13 Ri I er det ohmske spændingsfald over batteriets indre modstand. den elektromotoriske kraft 14 emf er spændingsfaldet over såvel den ydre som den indre del af kredsløbet (pæren + ledninger + batteriets indre modstand). dtryk (7.25) svarer således til = + total ydre indre emf = + i. RI (7.26) Et batteri er således kendetegnet ved såvel sin elektromotoriske kraft indre modstand R i. emf som sin 11 Applied voltage. 12 Det samme som spændingstilvækst (potentialtilvækst) men med modsat fortegn. 13 Bemærk, at begrebet kredsløb ikke medtager batteriets kemi-del. Var der tale om et egentligt kredsløb i bogstavelig forstand, ville spændingsfaldene i sagens natur være nul. 14 Open circuit voltage (i dette tilfælde de 9V).
Elektromagnetisme 7 Side 10 af 12 Hvis modstanden i den ydre del af kredsløbet betegnes R y, bliver strømmen i kredsløbet R I = RI y emf i : I emf = R + R i y, (7.27) som for Ri R kan tilnærmes ved det velkendte resultat y I = emf R = y R. (7.28) Bemærk, at en alternativ og ækvivalent gengivelse af ovenstående kredsløb fås ved at tegne den indre modstand eksplicit og udskifte polspændingen med den elektromotoriske kraft: I emf R i
Elektromagnetisme 7 Side 11 af 12 Kirchhoffs love For jævnstrømme gælder flg. to Kirchhoff-love. Kirchhoffs 1. lov: Nettostrømmen er nul i ethvert forgreningspunkt. I 2 Kirchhoff 1 følger umiddelbart af den manglende ophobning af ladning i forbindelse med jævnstrømme. 15 I 1 I? > 0 I1 I2 I = 0: I = I1 I2 < 0. = 0 15 Bemærk, at Kirchhoff 1 kan bruges som argument for, at strømmen er den samme overalt i en ledning.
Elektromagnetisme 7 Side 12 af 12 Kirchhoffs 2. lov: Summen af spændingsfaldene er nul i enhver lukket gren af et kredsløb. Kirchhoff 2 følger umiddelbart af, at det elektrostatiske potential er veldefineret. 3 2 + 1 2 + 1 = 0. 2 3 4 = 0. Vha. de to Kirchhoff-love er det således muligt at opstille det nødvendige antal ligninger 16 for at løse en givet veldefineret problemstilling; f.eks. Givet elektromotoriske kræfter og modstande, bestem da strømmene i kredsløbet. 16 Én ligning for hver af de n ubekendte, sådan at der kan opstilles et lineært ligningssystem i form af en n n matrixligning.