Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 1.1 Om regneregler...................... 2 1.2 Forlæns, baglæns og ordet formel.......... 3 2 Regel 1: De neutrale elementer 4 3 Regel 2: Inverse elementer 6 4 Regel 3: De associative love 7 5 Regel 4: De kommutative love 7 6 Regel 5: Den distributive lov 8 7 Afledte regler 8 7.1 At gange med 0 og 1................... 8 7.2 At gange ind i parenteser og sætte uden for parentes 9 7.3 At hæve minusparenteser................ 9 7.4 Brøkregnereglerne.................... 10
Resumé I dette afsnit gennemgår vi de basale regler for omskrivninger af taludtryk. 1 Introduktion En stor del af gymnasiematematik handler om at nærstudere et eller andet regneudtryk 1, hvori der indgår kendte og ukendte talstørrelser samt nogle regneoperationer. Det foregår som regel ved at man omskriver udtrykket til noget som ser anderledes ud, men er præcis det samme. F.eks. er det forhåbentlig velkendt at udtrykket er det samme som x + x + x 3 x Det kan nogle gange være svært at følge med i de mange omskrivninger som foregår på tavlen, og man kan fristes til at føle at matematiklæreren opfinder en ny regel hver eneste gang. Den gode nyhed er: Det er overhovedet ikke rigtigt! Langt de fleste omskrivninger i gymnasiematematik (inklusive den ovennævnte) kan faktisk foretages ved at anvende en af de fem regneregler i dette dokument (enten forlæns eller baglæns). Den dårlige nyhed er: Livet ville være ekstremt besværligt hvis man skulle reducere alle omskrivninger til anvendelser af de fem regneregler i dette dokument. Nogle anvendelser af de fem regler i kombination bliver brugt så mange gange at man har givet dem deres eget navn. På den måde kan man nogle gange lave mange ting på en gang, og bare sige at vi f.eks. dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte. I det 1 Læs om udtryk her side 1
sidste afsnit samler jeg nogle af de mest brugte af den slags ekstraregler og beviser hvorfor de bare er en sammensætning af de fem første regler. Og når man definerer nye regneoperationer (såsom potensopløftninger) så kommer der naturligvis også nye regler, men disse regler er også bare en sammensætning af de fem første regler. Sagt med andre ord: De fem regler er så hamrende fundamentale at hvis ikke man kender dem alle fem (helst forfra, bagfra, udvendigt, indvendigt, i søvne og på tysk), så har man ikke en chance for at følge med i omskrivningerne når det går lidt stærkt. 1.1 Om regneregler Når man omskriver et regneudtryk hvori der indgår ukendte størrelser, skal man selvfølgelig passe på at man ikke omskriver det til noget helt andet. F.eks. må man gerne omskrive udtrykket x+x+x til 3 x fordi de to regneudtryk giver samme resultat, uanset hvad x måtte være. Omvendt må man ikke omskrive udtrykket: til udtrykket a + b x + y a x + b y fordi de to udtryk bestemt ikke giver det samme resultat, hvis f.eks. a = 1, b = 1, x = 1 og y = 1. (Regn selv efter!) Man må altså kun foretage lovlige omskrivninger, hvor man benytter en regneregel som er rigtig. I princippet skal enhver regneregel bevises før den må bruges, men de fem regneregler i dette dokument er en undtagelse. Det er fordi de er så fundamentale 2 at man ville være nødt til at fordybe sig meget grundigt i hvordan de reelle tal i første omgang er 2 Man kunne endda sige at de er aksiomer for de reelle tal. Altså regler som definerer hvad vi overhovedet mener med de reelle tal. Læs mere om aksiomer og de reelle tal her side 2
defineret før man kunne lave et sådant bevis. Og det viser sig at være meget sværere end man skulle tro. 1.2 Forlæns, baglæns og ordet formel En omskrivningsregel som f.eks. 3 x + x + x = 3 x fortæller os at to udtryk (som muligvis ser meget forskellige ud) er ens. Altså at det ene udtryk frit kan erstattes af det andet. Det er vigtigt at huske at en sådan erstatning kan gå begge veje!. Nogle gange står man med udtrykket til venstre for lighedstegnet og har lyst til at bruge udtrykket til højre i stedet for. Og nogle gange er det lige omvendt! Hvis du synes at denne tanke er meget underlig, så er det sandsynligvis fordi du har fået et (forkert) indtryk af matematik. Nemlig at det handler om at sætte tal ind i en formel. Mange elever har en opfattelse af at ordet formel betyder en magisk trylleformular som fremskaffer det rigtige facit til en opgave, idet den fortæller hvordan en størrelse kan regnes ud. Hvis du har denne opfattelse, så prøv med følgende lille mentale øvelse: Hver eneste gang du ser et lighedstegn, f.eks. y = 3 x + 1 så skriv det ned på et stykke papir, omvendt! Altså i vores eksempel: 3 x + 1 = y og sig til dig selv: Der står nøjagtigt det samme! og så i øvrigt læse alle lighedstegn som et udsagn om at to objekter er ens, og ikke som en opskrift på hvordan en af dem kan regnes ud 3 Vi skal snart se at dette ikke er en regel i sig selv, men derimod en kombination af to af de fem regneregler i dette dokument. side 3
2 Regel 1: De neutrale elementer De to tal, 0 og 1, udgør de såkaldt neutrale elementer i de reelle tal. At være neutral vil sige at man ikke ændrer noget. Og det er præcis hvad 0 og 1 gør når man henholdsvist lægger 0 sammen med et andet tal, og når man ganger 1 med et andet tal. Det additivt neutrale element (nul) Tallet 0 er neutralt med hensyn til addition. Det betyder at hvis man lægger et tal sammen med nul, så får man det tal man startede med. Sagt med symboler: Regel 1A. For ethvert tal x, gælder: x + 0 = x Eksempel 1. Man bruger tit denne regel baglæns, idet man kan tillade sig at lægge nul til alle de steder man har lyst til, uden at det ændrer på udtrykket. Det kan være nyttigt hvis man f.eks. arbejder med ligninger af den generelle type 4 : y = ax + b hvor a og b er givne reelle tal. Hvis man så en dag møder ligningen: y = 5x så kan man komme i tvivl om hvorvidt den er af ovennævnte type. ( Der er jo ikke noget b. ) Men hvis man omskriver den til: y = 5x + 0 er det nemt at se at det er en ligning af den nævnte type. side 4
Det multiplikativt neutrale element (et) Tallet 1 er det neutrale element med hensyn til multiplikation. Det betyder at hvis man ganger et tal med 1, så får man det tal man startede med. Sagt med symboler: Regel 1B. For ethvert tal x, gælder: x 1 = x Eksempel 2. Ligesom med regel 1A kan regel 1B også være nyttig når man arbejder med rette linjer. Hvis man f.eks. har en ligning med ligningen: y = x + 7 Så kan det igen være svært at se hvad der spiller rollen som a i forhold til den generelle linjes ligning: y = ax + b Men regel 1B siger jo at vi gerne må skrive ligningen som: y = 1 x + 7 og nu er det nemt at se at der er tale om en linje med hældningskoefficient 1. side 5
3 Regel 2: Inverse elementer Ordet invers betyder omvendt. Og et tals inverse element skal man lige præcis tænke på som en slags spejlbillede eller ond tvilling. Den præcise betydning af at være omvendte afhænger af hvilken regneoperation man snakker om, og derfor har man både inverse elementer med hensyn til addition og med hensyn til multiplikation. Det additivt inverse element Ethvert tal har et spejlbillede i form af det samme tal med omvendt fortegn. Den operation hvor man erstatter et reelt tal med sit spejlbillede kaldes fortegnsskift, og hvis x er et reelt tal, så skrives dette spejlbillede som: x Bemærk at x sagtens kan være negativt. I så fald bliver x positivt. F.eks. er: ( 8) = 8 Det spejlbillede som fremkommer når man laver fortegnsskift på et reelt tal, x, kaldes det additivt inverse tal til x. Følgende regel forklarer hvorfor: Regel 2A. Til ethvert tal, x, findes der et additivt inverst tal, x, med den egenskab at: x + ( x) = 0 (Altså: Man får 0 når man lægger x sammen med sit additivt inverse tal.) Det multiplikativt inverse element Man kan også spejle et tal med hensyn til regneoperationen gange. Så handler det om at finde et spejlbillede som opfylder at når man ganger et tal med sit spejlbillede, så får man det multiplikativt neutrale element. side 6
Regel 2B. Til ethvert tal, x 0, findes der et multiplikativt inverst tal, x 1, med den egenskab at: x (x 1 ) = 1 (Altså: Man får 1 når man ganger x med sit multiplikativt inverse tal.) 4 Regel 3: De associative love Regel 3A. Hvis x, y og z er tre tal, så er (x + y) + z = x + (y + z) Regel 3B. Hvis x, y og z er tre tal, så er (x y) z = x (y z) 5 Regel 4: De kommutative love Regel 4A. Hvis x og y er to tal, så er (x + y) = (y + x) Regel 4B. Hvis x og y er to tal, så er (x y) = (y x) side 7
6 Regel 5: Den distributive lov Den sidste regel er der kun en enkelt af. Til gengæld handler den (som den eneste) om begge regneoperationerne på samme tid. Regel 5. Hvis x, y og z er tre tal, så er x (y + z) = x y + x z 7 Afledte regler Nu er vi faktisk færdige 5 i den forstand at alle andre regneregler (og i øvrigt alle andre resultater om de reelle tal) er logiske konsekvenser af de ovennævnte regler. I dette afsnit vil jeg vise hvordan mange af de sædvanlige regler man har lært (og givet navne) bare er konsekvenser af de fem regler. 7.1 At gange med 0 og 1. Alle ved godt at når man ganger med nul, så giver resultatet altid nul. Men når dette ikke er taget med blandt de fem regler, så er det fordi det faktisk er en logisk konsekvens af de fem regler. Lad mig vise hvorfor: Sætning 1 (At gange med nul). For alle tal, x er x 0 = 0 5 Og så alligevel ikke helt. Det mangler en eneste regel, nemlig den såkaldte fuldstændighedsregel før vi har nok. side 8
Bevis. Ifølge regel 1A kan vi skrive: Derfor er: 0 = 0 + 0 x 0 = x (0 + 0) Men ifølge den distributive lov (regel 5) er dette lig med: x 0 = x (0 + 0) = x 0 + x 0 (1) Men hvad end x 0 måtte være, så har det ihvertfald et additivt invers tal, (x 0), (ifølge regel 2A) som opfylder at: x 0 + ( (x 0)) = 0 Hvis vi nu lægger dette tal til begge sider af lighedstegnet (1) så får vi: x 0 + ( (x 0)) = (x 0 + x 0) + ( (x 0)) (Bemærk parentesen på højre side, som markerer at dette egentlig var den gamle højreside som vi nu lægger noget ekstra til.) Men regel 3A siger at vi gerne må flytte parentesen på højre side af lighedstegnet, så der står: x 0 + ( (x 0)) = x 0 + (x 0 + ( (x 0))) Og hvis vi så bruger at x 0 lagt sammen med sin additivt inverse giver nul (regel 2A), så står der: 0 = x 0 + 0 Og til sidst kan vi bruge regel 1A igen til at lave højresiden om, så der står at: 0 = x 0 7.2 At gange ind i parenteser og sætte uden for parentes 7.3 At hæve minusparenteser side 9
Man skifter fortegn på en sum ved at skifte fortegn på alle leddene. Dvs. for alle reelle tal, x og y er: (x + y) = ( x) + ( y) Subtraktion Hvis du er den skeptiske type, så har du sikkert lagt mærke til at ikke en eneste af de fem regneregler nævner regneoperationen minus eller division med så meget som et ord. Det er fordi minus (også kendt som subtraktion ) i virkeligheden ikke er en selvstændig regneoperation. Den er derimod defineret som en sammensætning af addition og fortegnsskift: Definition 2. Hvis x og y er to reelle tal, så defineres differensen: x y til at være: x y = x + ( y) Altså y med omvendt fortegn, lagt sammen med x. At hæve en minusparentes Division 7.4 Brøkregnereglerne Brøkregnereglerne er faktisk også bare en anvendelse af den distributive lov. Hvis man f.eks. omskriver en brøk med flere led i tælleren: a + b + c d = a d + b d + c d side 10
så er det i virkeligheden fordi a + b + c d = (a + b + c) 1 d side 11