Lineær beamoptik 1 1 Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.3) Koordinatsystem Indledning / overblik Rækkeudvikling af feltet Bevægelsesligningen Løsning af bevægelsesligningen Transfermatricer og partikelbaner Dispersion Momentum Compaction factor Koordinatsystem 2 Vi vil benytte et koordinatsystem der følger en ideel partikel, altså en partikel der bevæger sig på idealbanen. Vi antager, at partiklen hovedsagelig bevæger sig i s-retningen, så dens hastighed kan skrives v=(0,0,v s ), og at B-feltet kun har komponenter vinkelret på s, dvs B=(B x,b z,0). 1
Indledning/overblik 3 Ved design af en accelerator planlægger man hvordan den ideelle bane af partiklerne skal være. Denne bane kaldes idealbanen (the orbit i bogen). Idealbanen er sammensat af både lige og krumme strækninger. Partiklerne bliver holdt fast på idealbanen af dipolmagneter hvor banen ikke er en ret linie. En partikels opførsel er bestemt af dens position og impuls (x,z,s,p), dens vinkelafvigelse (x,z )=(dx/ds, dz/ds) samt impulsafvigelsen (Dp). Idealbanen vil kun følges af en ideel (teoretisk) partikel, i.e. en partikel med nominel impuls (Dp=0) og ideelle startbetingelser (x,x,z,z )=(0,0,0,0). I virkeligheden har partikler små afvigelser i position, vinkel og impuls. Desuden er de magnetiske elementer ikke perfekte. Derfor må man have fokuserende elementer der styrer partiklerne ind mod idealbanen, og dermed bevirker at de oscillerer om denne. Lineær beamoptik handler om at beskrive partiklernes bane i en sådan maskine. Vigtigt: I lineær beamoptik er der ingen kobling mellem x og z bevægelsen, og vi kan altså behandle dem separat. Bevægelse af en ladet partikel i et B-felt 4 Bevægelse i et B-felt: BR=p/e. (Magnetisk stivhed (Rigidity)) Denne ligning fandt vi sidste gang ved at sætte Lorentzkraften evb lig med centrifugalkraften pv/r I horisontalt plan: Rækkeudvikling af B z i omegnen af B z0 giver Med dette udtryk for B z (x) kan vi nu finde partikel med en afvigelse i x-retningen. 1 R( x, z, s) for en 2
Feltet som sum af multipoler 5 Da har vi altså Bevægelsen kan altså opdeles i en sum af bidrag fra multipoler, der hver især har en effekt på beamet. Betragter vi kun de to første led taler vi om lineær beamoptik. Multipoler 6 Enheder: 1/R: m -1, k: m -2, m: m -3, o: m -4... Rigtige felter, gradienter etc. fås ved at gange med stivheden, BR 3
Fokusering i feltet fra en kvadrupol 7 Denne kvadrupol er fokuserende i det horisontale, og defokuserende i det vertikale plan. Feltet øges lineært med afstanden fra centrum. Fokusering med kvadrupoler 8 Horisontalt Vertikalt Man benytter ofte flere q-poler efter hinanden. Herved fås fokusering i begge planer, da den fokuserende q-pol gennemløbes i størst afstand fra den optiske akse. 4
Sekstupol 9 Sekstupoler benyttes til korrektion af fokuseringsfejl i kvadrupoler på grund af impulsafvigelser, den såkaldte kromaticitet. Den vender vi tilbage til senere. Bevægelsesligningen (1) 10 Vi beskriver bevægelsen af en partikel i et koordinatsystem der følger idealbanen. Vort mål er at finde en differentialligning hvis løsning giver x(s) og z(s) når vi kender B x (s), B z (s) samt x,x,z og z i ét punkt, altså for én værdi af s. Det kræver dog en lille omvej. Vi starter: I områder med B-felt må koordinatsystemet roteres. Rotation med en vinkel j fører vektorene x 0A og s 0A over i vektorene x 0 og s 0. Transformationen kan skrives: Vi differentierer mht j, og ser let at: og 5
Bevægelsesligningen (2) 11 Nu kommer tiden ind i billedet. Vi kender de vinkelafledede af s og x, så den tidafledede af disse vektorer kan findes hvis vi kender vinkelens tidsafledede. Denne findes dog let, idet: og dermed Vi har altså nu (i xs planen): Dette var et vigtigt skridt, idet partiklens positionsvektor jo kan skrives: Vi kan nu finde første og anden tidsafledede af r (3.12). Disse indgår også i udtrykket for Lorentzkraften (via F og p), så nu får vi B-feltet med i ligningerne. Bevægelsesligningen (3) 12 Vi kan nu altså finde udtryk for og. (ligning 3.12) Men samtidig har vi jo Lorentzkraften som, hvis vi udnytter at, samt at B s er 0, giver os flg udtryk og Vi kan nu sætte de to udtryk for lig hinanden, og forenkle det ved kun at betragte x og z koordinaterne, idet feltets virkning på s-hastigheden kan negligeres. Endelig bruger vi, at p=mv. Ved hjælp af tegningen til højre ses, at 6
Bevægelsesligningen (4) 13 Efter lidt regnerier med ovenstående tilnærmelser finder man Så skal vi se på impulsen: Vi antager, at partiklens impuls kun afviger lidt fra den ideelle partikels impuls, dvs p = p 0 + Dp. Vi har da, at 1 p p 0 1 1 1 Dp p D 0 1 p p Fra rækkeudviklingen af feltet har vi at 0 1 Dp 1 p0 p0 Da både x, z, og Dp/p er små, ser vi bort fra alle produkter af dem. Så ender vi med: Endelig har vi den søgte bevægelsesligning. og Den kaldes også Hill s ligning, og er den centrale ligning i lineær beamoptik Løsninger til Hill s ligning: Forudsætninger 14 Vi betragter kun horisontal bevægelse, da horisontal og vertikal bevægelse er uafhængige af hinanden (i lineær beamoptik). Vi benytter den tilnærmelse, at felter (udtrykt ved 1/R og k) er konstante gennem et magnetisk element, og falder brat til nul ved enderne (hard-edge model). Vi antager foreløbig, at der ikke er nogen impulsspredning (Dp = 0). Vi vil kun betragte separate multipoler (ingen combined function magneter). Vi vælger den konvention for kvadrupoler, at k<0 i en horisontalt fokuserende kvadrupol, og k>0 i en defokuserende. Vi vil starte med at finde udtryk for bevægelsen i ét element af gangen. 7
Hyperbolske funktioner 15 Løsninger til Hill s ligning: Kvadrupoler 1 16 Da der ikke er noget dipolfelt er R uendelig, og altså 1/R=0, Hill s ligning er så: x (s) kx(s) = 0 Vi starter med en horisontalt defokuserende kvadrupol, og har altså k>0. Ligningen kan løses analytisk. Den generelle løsning er: Konstanterne A og B er bestemt af startbetingelserne, dvs af x 0 og x 0, altså hhv. position og vinkel med s ved indgangen til magneten. Da sinh(0)=0 og cosh(0)=1 fås ved at sætte s=0 at A x0 og B Vi har altså følgende ligning for banens forløb i en defokuserende kvadrupol: x0 k 8
Løsninger til Hill s ligning: Kvadrupoler 2 17 Det er praktisk at skrive løsningen i matrixnotation: hvor Som det ses af forløbet af sinh og cosh funktionenerne stemmer løsningen meget godt overens med vore forventninger til banen i et defokuserende element. En partikelbane vil altid blive bøjet væk fra aksen. Løsninger til Hill s ligning: Kvadrupoler 3 18 Ganske tilsvarende finder vi for en fokuserende kvadrupol (k<0): med Her er bevægelsen oscillerende om den ideelle bane, svarende til bevægelsen af en kugle der triller i en tagrende: 9
19 Kvadrupoler: Fokallængde (ikke nævnt i lærebogen) Sammenlign med en samlelinse: Hvis lys rammer linsen i afstanden x fra den optiske akse, er vinkelændringen q x/f, hvor f er linsens fokallængde. For en fokuserende kvadrupol med længde s får vi, med x 0 =1, x 0 =0 at 1 x( s) cos( k s) sin( k s) 1 cos( k s) k x ( s) 0 k sin( k s) k sin( k s) cos( k s) Dvs, at vinkelændringens størrelse er k sin( k s) Da sin(x)~x for små værdier af x, bliver vinkelændringen - k s for lille værdi af s, dvs en tynd kvadrupol. Sammenlign nu med ligningen for fokallængde i en optisk linse med x=1 : Vi har da: 1/f = -ks, og altså at fokallængden er f=-1/ks. Produktet ks kaldes også den integrerede gradient. Vi så før, at to kvadrupolmagneter med modsat fortegn af k vil fokusere i begge planer. Det gælder dog kun, hvis deres indbyrdes afstand er mindre end f. Løsninger til Hill s ligning: Dipol 20 Hill s ligning: Løsningen ligner den for k<0, altså En dipol fokuserer altså i det horisontale plan. Det er dog en svag fokusering. I en typisk kvadrupol er k~5 m -2, mens R i en dipol sjældent er under et par meter, svarende til k<0.25m -2. De første synkrotroner der blev bygget havde kun svag fokusering, og dermed et meget stort beam. 10
Løsninger til Hill s ligning: Driftstrækning 21 For en strækning uden B-felter bliver matricen Bemærk, at for alle de løsninger vi har fundet gælder, at det(m)=1. Når en afbildning har en determinant på 1, betyder det at skalaforholdet er 1, dvs at arealer er bevaret. Det kommer vi til at høre mere om. Dipol: kantfokusering 22 I en sektormagnet er polenderne vinkelret på orbit. I en rektangulær magnet er polenderne parallelle, dvs der er en vinkel mellem orbit og polkanten. Dette giver en horisontal defokusering af beamet. Afbøjningen i vinkel som funktion af x 0 bliver tan( ) D x0 R Vertikalt: Af figuren til venstre ses, at der sker en vertikal fokusering i randfeltet på en rektangulær dipol. Man kan vise, at afbøjningen i vinkel som funktion af z 0 bliver tan( ) D z0 R Kantfokusering fungerer altså præcis som en defokuserende kvadrupol. Mere om det senere i denne forelæsning 11
Matrixformulering: 4-vektor format 23 Vi kan behandle både x,x,z og z på een gang ved at introducere Herunder er et par eksempler på 4x4 transfermatricer: (Bemærk: ingen xz kobling: masser af nuller!) Én transfermatrix for hele acceleratoren. 24 Nu da vi kan beskrive beamet ved ind- og udgang af et element kan vi finde én matrix der beskriver hele systemet ved at gange matricerne for de enkelte elementer sammen. Et eksempel: 12
Eksempel: Rektangulær magnet: 25 Hvis magnetens længde er l og radius af orbit i magneten er R, bliver de to kantvinkler Antag at l<<r. Da har vi Med får vi nu Med l 2 /2R 2 ~ 0 får vi Sammenlign nu dette med udtrykket for en sektormagnet (midterste matrix i udtrykket ovenfor). Bemærk: Den horisontale fokusering er blevet vertikal. Impulsafvigelse: Dispersion (1) 26 Jvf. Hill s ligning har impulsafvigelse (Dp<>0) kun betydning hvis 1/R<>0, dvs at partiklen bevæger sig i et dipolfelt. I et dipolfelt får vi så den inhomogene differentialligning Vi ønsker nu at finde partikelbanen, x(s), der hører til en givet impulsafvigelse. Det er praktisk at finde denne bane for en bestemt afvigelse, Dp/p=1. Denne bane vil vi kalde D(s). Den er altså løsning til Kender vi nemlig D(s), kan vi let finde baneafvigelsen for en vilkårlig impulsafvigelse ved at gange med impulsafvigelsen, altså x D (s)=d(s)*dp/p 13
Impulsafvigelse: Dispersion (2) 27 Vi gentager ligningen for D: Dette er en inhomogen differentialligning. Standardmetode til løsning: Find løsning til den homogene ligning (højreside 0), find én løsning til den inhomogene ligning og addér de to. Vi fandt tidligere den generelle løsning til den homogene ligning da vi så på løsning af Hill s ligning for en dipol. Da nu konstanten D p =R er løsning til den inhomogene ligning har vi altså den generelle løsning: Impulsafvigelse: Dispersion (3) 28 Konstanterne A og B bestemmes af startbetingelserne D(0)=D 0 og D (0)=D 0. De bliver og Så har vi udtrykket for dispersionsfunktionen: Eller på matrixform i H-planen (3x3 matrix p.g. af konstantleddet) : En partikel med impulsafvigelse har altså positionen Hvor x(s) er banen uden impulsafvigelse 14
Dispersion: ASTRID2 29 Flere matricer (1) 30 Da partikler med afvigende impuls altså følger en dispersiv bane må vi udvide vores tidligere 2x2 matrice i det horisontale plan. Fokusering afhænger også af partiklens impulsafvigelse (kromaticitet), men det vil vi foreløbig se bort fra. Vi vender senere tilbage til det. I det horisontale plan kan vi altså finde partikelbanen ved hjælp af: For kvadrupoler, driftstrækninger og kantfokusering bliver M Her er de 4 elementer øverst til venstre de 2x2 matrixelementer vi allerede har fundet. Nullerne angiver, at impulsafvigelse ikke ændrer noget. I dipoler ser det dog anderledes ud som vi så på forrige slide. 15
Flere matricer (2) 31 For en dipol fandt vi 3x3 matricen i horisontalt plan: Vi kan nu udvide matrixformalismen til begge planer. Transformationen bliver da: Flere matricer (3) Igen har vi, at for alle elementer undtagen dipoler har vi 5x5 matricer der er sammensat af de velkendte 2x2 matrixelementer: 32 For en dipol finder vi derimod (jvf. 3.103) De to led i kolonne 5 øverst viser effekten af dispersionen på den horisontale bevægelse. I vertikalt plan er dipolen en driftstrækning. Nu har vi altså værktøjet til at finde partikelbaner i en vilkårlig struktur inklusiv indflydelse af impulsafvigelse. 16
Momentum Compaction Factor (1) 33 Vi har set, hvordan en partikel med impulsafvigelse følger en dispersiv bane der afviger fra den bane partikler uden impulsafvigelse følger. I en cirkulær maskine fører det til, at banelængden L og dermed omløbstiden bliver en smule anderledes. Omløbstiden er vigtig for fasefokusering (kommer senere), og vi er derfor interesserede i at kende denne forøgelse af banelængde. Vi definerer derfor en momentum compaction factor, : Det at en bane er dispersiv gør kun en forskel i dipoler. Her vil banelængden være Dp>0 Momentum Compaction Factor (2) 34 Vi kan finde banelængden ved at integrere hele ringen rundt: Da det første integral jo er den ikke-dispersive banelængde, har vi altså at forøgelsen på grund af dispersion bliver: Da momentum compaction factor er defineret som har vi: 17