STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen p(x) givet som: x (antal cylindere) 4 6 8 P X (x) 0.5 0.3 0. Prisen h(x) (i 1000 kr.) for at få en bil tunet antages at kunne skrives som: h ( x) = 0 + 3x + 0.5x Spørgsmål 1 (5 %) Bestem antal forventede cylindere for en bil, der skal tunes. Spørgsmål (5 %) Bestem variansen af antal cylindere for en bil, der skal tunes. Spørgsmål 3 (10 %) Bestem den forventede pris for at få en bil tunet. OPGAVE I løbet af 003 måtte et firma have servicebesøg til deres laserprintere 0 gange. 8 gange var det til deres ikke farveprintere og 1 gange var det til farveprintere. Man vælger at udtage 5 af disse servicebesøg tilfældigt til en evaluering. Spørgsmål 1 (15 %) Bestem sandsynligheden for at ud af de 5 tilfældige udvalgte servicebesøg var til en farveprinter. OPGAVE 3 Antag at X og Y er uafhængige standard normalfordelte stokastiske variable. Spørgsmål 1 (10 %) Bestem sandsynlighederne P(3X+4Y>0) og P(X-Y>1). Side 1 af 6
OPGAVE 4 Der betragtes en Pareto fordelt stokastisk variabel X med fordelingsfunktion: b x F( x) = 1, x 0 a hvor a og b er en konstanter. Spørgsmål 1 (10 %) Antag at a er givet. Bestem en estimator for b ved at benytte Maximum Likelihood metoden. OPGAVE 5 Følgende materialestyrker i MPa for en ny fiberarmeret beton er fundet ved forsøg: 73.5 71. 75. 68.9 74.1 77.9 7.3 Spørgsmål 1 (5 %) Bestem middelværdi og sample spredning af ovennævnte forsøgsværdier. Spørgsmål (10 %) Idet der benyttes en Kolmogorov-Smirnov test, ønskes undersøgt om materialestyrkerne kan antages Normalfordelte ved et signifikansniveau på 95%. Spørgsmål 3 (5 %) Bestem et dobbeltsidet 95 % konfidensinterval for middelværdien af materialestyrken. Spørgsmål 4 (5 %) Spredningen på materialestyrken regnes lig 3 MPa. Erfaring fra lignende fiberarmerede materialer viser, at og at middelværdien kan antages Normalfordelt med forventningsværdi lig 70 MPa og en spredning på 5 MPa. Benyt ovenstående forsøgsdata til at bestemme opdaterede (posterior) estimater for forventningsværdi og spredning af materialestyrkens forventningsværdi. Bestem ligeledes et 95% konfidensinterval for middelværdien, idet de opdaterede estimater for forventningsværdi og spredning benyttes. Side af 6
OPGAVE 6 For vejstrækninger med ens trafikforhold og længde er der observeret gennemsnitligt antal biler pr. døgn, x og antal uheld pr. år, y, se nedenstående tabel. x 9 900 13 100 14 800 15 600 16 800 17 600 19 800 y 6. 7.9 10. 9. 11.3 13.3 14.8 Spørgsmål 1 (5 %) Bestem sample korrelationskoefficienten mellem x og y. Kommenter resultatet. Spørgsmål (5 %) Bestem ved lineær regression en sammenhæng mellem antal uheld pr. år og antal biler pr. døgn. Skitser resultatet sammen med de observerede data. Spørgsmål 3 (10 %) En ny vejstrækning med samme længde som anvendt ovenfor og med en forventet daglig trafik på 000 biler planlægges. Bestem et 95% konfideninterval for antal uheld det første år. Side 3 af 6
LØSNING OPGAVE 1 Spørgsmål 1 Idet den stokastiske variabel X er diskret, kan det forventede antal biler beregnes som: µ = xp X (x) = 4*0.5 + 6*0.3 + 8*0. = 5.4 Spørgsmål Variansen bliver: σ = ( x µ ) P (x) = (4 5.4) X *0.5 + (6 5.4) *0.3 + (8 5.4) *0. =.44 Spørgsmål 3 Prisen for at få en bil tunet angives ved den stokastiske variabel Y, der har forventningsværdien: µ = E[ Y] = E[ h( x)] = ypy (y) = h(4) *0.5 + h(6) *0.3 + h(8)*0. = 40*0.5 + 56*0.3 + 76*0. = 5 OPGAVE Spørgsmål 1 Der benyttes en hypergeometrisk fordeling. Hermed bliver sandsynligheden for at ud af de 5 tilfældige udvalgte servicebesøg var til en farverprinter: P X D N D 1 0 1 5 ( ) x n x x = = = 0.38 N 0 n 5 OPGAVE 3 Spørgsmål 1 Z = 3X+4Y er normalfordelt, da hhv. X og Y er standard normalfordelt. Z har forventningsværdien µ og variansenσ Z : Z µ Z = 3 *0 + 4*0 = 0 σ Z = 3 *1+ 4 *1 = 5 Side 4 af 6
Hermed bliver P(3X+4Y>0), når man ved at en normalfordeling er symmetrisk og forventningsværdien : P ( 3X + 4Y > 0) = P( Z > 0) = 0.5 Z = X-Y er normalfordelt, da hhv. X og Y er standard normalfordelt. Z har forventningsværdien µ Z og variansenσ Z : µ Z = 0 0 = 0 σ Z = 1 *1+ 1 *1 = Hermed bliver P(X-Y>1) : 1 0 P ( X Y > 1) = P( Z > 1) = 1 Φ = 1 Φ = ( 0.71) = 1 0.76 0. 4 Side 5 af 6
Side 6 af 6