Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger mod eksponentialfunktionen Calculus 2-2006 Uge 49.1-1
Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 Calculus 2-2006 Uge 49.1-2
Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 Calculus 2-2006 Uge 49.1-2
Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4 Calculus 2-2006 Uge 49.1-2
Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4 (a + b) k = k n=0 ( ) k n a k n b n, Calculus 2-2006 Uge 49.1-2
Binomialformler [S] 8.8 The binomial series hvor ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) 1 2 3... n (n faktorer i tælleren, nedstigende fra k n faktorer i nævneren, opstigende fra 1). Calculus 2-2006 Uge 49.1-3
Binomialformler [S] 8.8 The binomial series hvor ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) 1 2 3... n (n faktorer i tælleren, nedstigende fra k n faktorer i nævneren, opstigende fra 1). ( ) 4 = 4 3 2 1 2 = 12 2 = 6 Calculus 2-2006 Uge 49.1-3
Binomialformler ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) 1 2 3... n giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. [S] 8.8 The binomial series Calculus 2-2006 Uge 49.1-4
Binomialformler ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) 1 2 3... n [S] 8.8 The binomial series giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. ( ) 1.6 1.6 0.6 ( 0.4) = = 0.384 = 0.064 3 1 2 3 6 Calculus 2-2006 Uge 49.1-4
Binomialformler ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) 1 2 3... n [S] 8.8 The binomial series giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. ( ) 1.6 1.6 0.6 ( 0.4) = = 0.384 = 0.064 3 1 2 3 6 Hvis k er et positivt helt tal, så ( ) k = 1 og 0 ( ) k k = 1 Calculus 2-2006 Uge 49.1-4
Binomialformler [S] 8.8 The binomial series Hvis k er positivt helt tal, så ( ) ( ) k k (a + b) k =a k + ka k 1 b + a k 2 b 2 + a k 3 b 3 +... 2 3 ( ) k... + a 2 b k 2 + kab k 1 + b k k 2 Calculus 2-2006 Uge 49.1-5
Binomialformler [S] 8.8 The binomial series Hvis k er positivt helt tal, så ( ) ( ) k k (a + b) k =a k + ka k 1 b + a k 2 b 2 + a k 3 b 3 +... 2 3 ( ) k... + a 2 b k 2 + kab k 1 + b k k 2 Specielt (sæt a = 1 og b = x) ( ) k (1 + x) k = 1 + k x + x 2 + 2 ( ) k x 3 +... + x k 3 Calculus 2-2006 Uge 49.1-5
Maclaurin række for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series For vilkårlig k f(x) = (1 + x) k f (x) = k(1 + x) k 1 f (x) = k(k 1)(1 + x) k 2 f (x) = k(k 1)(k 2)(1 + x) k 3 Calculus 2-2006 Uge 49.1-6
Maclaurin række for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series For vilkårlig k f(x) = (1 + x) k f (x) = k(1 + x) k 1 f (x) = k(k 1)(1 + x) k 2 f (x) = k(k 1)(k 2)(1 + x) k 3 f(0) = 1 f (0) = k f (0) = k(k 1) f (0) = k(k 1)(k 2) Calculus 2-2006 Uge 49.1-6
Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series f (n) (x) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) Calculus 2-2006 Uge 49.1-7
Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series f (n) (x) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) Koefficienter i Maclaurin rækken: c n = f(n) (0) n! = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n! = ( ) k n Calculus 2-2006 Uge 49.1-7
Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series f (n) (x) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) Koefficienter i Maclaurin rækken: c n = f(n) (0) n! = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n! = ( ) k n Maclaurinrække for (1 + x) k kaldes binomialrækken, [S] 8.8. Calculus 2-2006 Uge 49.1-7
Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x 3 +... 2 3 Calculus 2-2006 Uge 49.1-8
Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x 3 +... 2 3 Ex. 1: Maclaurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 Calculus 2-2006 Uge 49.1-8
Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x 3 +... 2 3 Ex. 1: Maclaurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 ikke at forveksle med (jvf. Ex. 1 i [S] 6.6.) 1 1 + x 2 = 1 x2 + x 4 x 6 +... Calculus 2-2006 Uge 49.1-8
Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 Binomialrække med k = 2. (Konvergensradius 1) ( ) ( ) 2 2 = 1, = 2, 0 1 ( ) 2 2 ( ) 2 3 = ( 2)( 3) 2! = ( 2)( 3)( 4) 3! = 3 = 4 Calculus 2-2006 Uge 49.1-9
Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series altså begynder rækken: 1 2x + 3x 2 4x 3 +... Calculus 2-2006 Uge 49.1-10
Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series altså begynder rækken: 1 2x + 3x 2 4x 3 +... F.eks. (med x = 0.1) (1.1) 2 = 1 0.2 + 0.03 0.004 +... Calculus 2-2006 Uge 49.1-10
Taylor-polynomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) (x a) }{{ 1! } T 1 (x) + f (a) (x a) 2 2! }{{} T 2 (x) + f (a) (x a) 3 3! } {{ } T 3 (x) +... Calculus 2-2006 Uge 49.1-11
Taylor-polynomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) (x a) }{{ 1! } T 1 (x) + f (a) (x a) 2 2! }{{} T 2 (x) + f (a) (x a) 3 3! } {{ } T 3 (x) T 1 (x) er den lineære approximation til f i a; +... Calculus 2-2006 Uge 49.1-11
Taylor-polynomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) (x a) }{{ 1! } T 1 (x) + f (a) (x a) 2 2! }{{} T 2 (x) + f (a) (x a) 3 3! } {{ } T 3 (x) T 1 (x) er den lineære approximation til f i a; T 2 (x) kaldes det approximerende 2.grads polynomium, eller Taylor-polynomiet af grad 2 for f i a. +... Calculus 2-2006 Uge 49.1-11
Taylor-polynomier [S] 8.8 The binomial series T 1 (x) = f(a) + f (a) (x a) 1! Calculus 2-2006 Uge 49.1-12
Taylor-polynomier [S] 8.8 The binomial series T 1 (x) = f(a) + f (a) (x a) 1! T 2 (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a) 2! (x a) 2 Calculus 2-2006 Uge 49.1-12
Taylor-polynomier [S] 8.8 The binomial series T 1 (x) = f(a) + f (a) (x a) 1! T 2 (x) = f(a) + f (a) 1! T 3 (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a) 2! (x a) + f (a) 2! (x a) 2 (x a) 2 + f (a) (x a) 3 3! Calculus 2-2006 Uge 49.1-12
Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. Calculus 2-2006 Uge 49.1-13
Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. f(x) = x 1 3 ;f(8) = 8 1 3 = 2 Calculus 2-2006 Uge 49.1-13
Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. f(x) = x 1 3 ;f(8) = 8 1 3 = 2 f (x) = 1 3 x 2 3 ;f (8) = 1 12 Calculus 2-2006 Uge 49.1-13
Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. f(x) = x 1 3 ;f(8) = 8 1 3 = 2 f (x) = 1 3 x 2 3 ;f (8) = 1 12 f (x) = 2 9 x 5 3 ;f (8) = 1 144 Calculus 2-2006 Uge 49.1-13
Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 - fortsat T 2 (x) = f(8) + f (8) 1! (x 8) + f (8) (x 8) 2 2! Calculus 2-2006 Uge 49.1-14
Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 - fortsat T 2 (x) = f(8) + f (8) 1! = 2 + 1/12 1! (x 8) + f (8) (x 8) 2 2! (x 8) + 1/144 (x 8) 2 2! Calculus 2-2006 Uge 49.1-14
Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 - fortsat T 2 (x) = f(8) + f (8) 1! = 2 + 1/12 1! (x 8) + f (8) (x 8) 2 2! (x 8) + 1/144 (x 8) 2 2! = 2 + 1 1 (x 8) (x 8)2 12 288 Calculus 2-2006 Uge 49.1-14
Restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære approximation T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Calculus 2-2006 Uge 49.1-15
Restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære approximation T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Hvis f (k) (a) f(x) = (x a) k k! så er R n (x) = k=0 k=n+1 f (k) (a) (x a) k k! Calculus 2-2006 Uge 49.1-15
Restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære approximation T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Hvis f (k) (a) f(x) = (x a) k k! så er R n (x) = k=0 k=n+1 f (k) (a) (x a) k k! - men det siger ikke noget om hvor stor den er Calculus 2-2006 Uge 49.1-15
Taylor s restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series 9 Sætning Hvis f (n+1) (x) M for alle x med x a d, så for alle med x a d. R n (x) M (x a) n+1 (n + 1)! Calculus 2-2006 Uge 49.1-16
Taylor s restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series 9 Sætning Hvis f (n+1) (x) M for alle x med x a d, så for alle med x a d. R n (x) M (x a) n+1 (n + 1)! Sammenlign udtrykket i vurderingen med det næste led i Taylor-rækken, som jo er f (n+1) (a) (x a)n+1 (n + 1)! Calculus 2-2006 Uge 49.1-16
Hvor god er den lineære approximation? [S] 8.7 Taylor and Mac... f(x) T 1 (x) M 2! x a 2 hvor f (x) M for all x i det berørte interval om a. Calculus 2-2006 Uge 49.1-17
Hvor god er den lineære approximation? [S] 8.7 Taylor and Mac... f(x) T 1 (x) M 2! x a 2 hvor f (x) M for all x i det berørte interval om a. Eksempel. Lad f(x) = sinx. Da f(0) = 0 og f (0) = cos(0) = 1, er den lineære approximation til sin i a = 0 givet ved T 1 (x) = 0 + 1 x = x Calculus 2-2006 Uge 49.1-17
Hvor god er den lineære approximation? [S] 8.7 Taylor and Mac... f(x) T 1 (x) M 2! x a 2 hvor f (x) M for all x i det berørte interval om a. Eksempel. Lad f(x) = sinx. Da f(0) = 0 og f (0) = cos(0) = 1, er den lineære approximation til sin i a = 0 givet ved T 1 (x) = 0 + 1 x = x Da f (x) = sin(x) er numerisk 1 for alle x, har vi for alle x fejlvurderingen R 1 (x) 1 2! x2 Calculus 2-2006 Uge 49.1-17
Taylors restled som itereret integral [S] 8.7 Taylor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F(x) = F(a) + x a F (s) ds; Calculus 2-2006 Uge 49.1-18
Taylors restled som itereret integral [S] 8.7 Taylor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F(x) = F(a) + anvend på F = f f(x) = f(a) + x a x a F (s) ds; f (s) ds Calculus 2-2006 Uge 49.1-18
Taylors restled som itereret integral [S] 8.7 Taylor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F(x) = F(a) + anvend på F = f f(x) = f(a) + x a x a F (s) ds; f (s) ds anvend på F = f inden under integraltegnet: = f(a) + x a (f (a) + s a f (t) dt) ds Calculus 2-2006 Uge 49.1-18
Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series = f(a) + x a (f (a) + s a f (t) dt) ds Calculus 2-2006 Uge 49.1-19
Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series = f(a) + x a (f (a) + s a f (t) dt) ds = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. Calculus 2-2006 Uge 49.1-19
Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series f(x) = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. Calculus 2-2006 Uge 49.1-20
Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series f(x) = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. De to første led er Taylor-polynomiet T 1 (x) for f, og det sidste led er derfor en formel for restleddet R 1 (x). Calculus 2-2006 Uge 49.1-20
Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Vi kan genkende dette itererede integral som et udtryk for (plus/minus) dobbeltintegralet af f (t) over trekanten D i (s, t)-planen, afgrænset af t = a (vandret linie), s = x (lodret linie) og linien s = t Calculus 2-2006 Uge 49.1-21
Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Vi kan genkende dette itererede integral som et udtryk for (plus/minus) dobbeltintegralet af f (t) over trekanten D i (s, t)-planen, afgrænset af t = a (vandret linie), s = x (lodret linie) og linien s = t Trekanten D har areal 1 (x 2! a)2. Da f (t) M for alle punkter i D, er 1 2! (x a)2 M = M (x a)2 2! D Calculus 2-2006 Uge 49.1-21
Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! +... + xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. Calculus 2-2006 Uge 49.1-22
Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! +... + xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder T n (x) e x for n? Calculus 2-2006 Uge 49.1-22
Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! +... + xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder T n (x) e x for n? For hvilke x gælder R n (x) 0 for n? Calculus 2-2006 Uge 49.1-22
Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! +... + xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder T n (x) e x for n? For hvilke x gælder R n (x) 0 for n? For alle x! THI: Calculus 2-2006 Uge 49.1-22
Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er f (n+1) (x) = e x e d Calculus 2-2006 Uge 49.1-23
Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Calculus 2-2006 Uge 49.1-23
Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 (n+1)! 0 for n. Calculus 2-2006 Uge 49.1-23
Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 0 for n. (n+1)! Altså R n (x) 0 for n Calculus 2-2006 Uge 49.1-23
Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 0 for n. (n+1)! Altså R n (x) 0 for n Altså T n (x) f(x) = e x for n. Calculus 2-2006 Uge 49.1-23