k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6

Transkript

1 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus Uge Binomilformler ( + b) 2 = b + b 2 ( + b) 3 = b + 3 b 2 + b 3 ( + b) 4 = b b b 3 + b 4 ( + b) k = k n=0 k n b n, n Clculus Uge

2 Binomilformler hvor = n k(k 1)(k 2)... (k n + 1) n (n fktorer i tælleren, nedstigende fr k n fktorer i nævneren, opstigende fr 1). ( ) 4 = = 12 2 = 6 Clculus Uge Binomilformler = n k(k 1)(k 2)... (k n + 1) n giver mening selv om k ikke er et positivt helt tl. ( ) ( 0.4) = = = Hvis k er et positivt helt tl, så = 1 og 0 = 1 k Clculus Uge

3 Binomilformler Hvis k er positivt helt tl, så ( + b) k = k + k k 1 b + k 2 b Specielt (sæt = 1 og b = x) (1 + x) k = 1 + k x + 2 b k 2 + kb k 1 + b k k 2 x k 3 b x x k 3 Clculus Uge Mclurin række for f(x) = (1 + x) k For vilkårlig k f(x) = (1 + x) k f (x) = k(1 + x) k 1 f (x) = k(k 1)(1 + x) k 2 f (x) = k(k 1)(k 2)(1 + x) k 3 f(0) = 1 f (0) = k f (0) = k(k 1) f (0) = k(k 1)(k 2) Clculus Uge

4 Mclurinrække for f(x) = (1 + x) k f (n) (x) = k(k 1)(k 2)... (k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)... (k n + 1) Koefficienter i Mclurin rækken: c n = f (n) (0) n! = k(k 1)(k 2)... (k n + 1) n! = n Mclurinrække for (1 + x) k kldes binomilrækken, [S] 8.8. Clculus Uge Binomilrækken Mclurin rækken for (1 + x) k = binomilrækken hørende til tllet k ser ltså sådn ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x Ex. 1: Mclurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 ikke t forveksle med (jvf. Ex. 1 i [S] 6.6.) x 2 = 1 x2 + x 4 x Clculus Uge

5 Binomilrækken Mclurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 Binomilrække med k = 2. (Konvergensrdius 1) ( ) ( ) 2 2 = 1, = 2, 0 1 ( ) 2 2 ( ) 2 3 = ( 2)( 3) = ( 2)( 3)( 4) 3! = 3 = 4 Clculus Uge Binomilrækken ltså begynder rækken: 1 2x + 3x 2 4x F.eks. (med x = 0.1) (1.1) 2 = Clculus Uge

6 Tylor-polynomier (centrum ) f() + f () (x ) }{{ 1! } T 1 (x) + f () (x ) 2 }{{} T 2 (x) + f () (x ) 3 3! } {{ } T 3 (x) T 1 (x) er den lineære pproximtion til f i ; T 2 (x) kldes det pproximerende 2.grds polynomium, eller Tylor-polynomiet f grd 2 for f i Clculus Uge Tylor-polynomier T 1 (x) = f() + f () (x ) 1! T 2 (x) = f() + f () 1! T 3 (x) = f() + f () 1! (x ) + f () (x ) + f () (x ) 2 (x ) 2 + f () (x ) 3 3! Clculus Uge

7 Kubikrod [S] 8.9 Applictions of Tylor polynomils Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x grds polynomium. i omegnen f = 8 med et f(x) = x 1 3 ; f(8) = = 2 f (x) = 1 3 x 2 3 ; f (8) = 1 12 f (x) = 2 9 x 5 3 ; f (8) = Clculus Uge Kubikrod [S] 8.9 Applictions of Tylor polynomils Eksempel 1 - fortst T 2 (x) = f(8) + f (8) 1! = 2 + 1/12 1! (x 8) + f (8) (x 8) 2 (x 8) + 1/144 (x 8) 2 = (x 8) (x 8) Clculus Uge

8 Restled [S] 8.7 Tylor nd Mclurin series Hvor god en pproximtion til f(x) er Tylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære pproximtion T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Hvis f (k) () f(x) = (x ) k k! så er R n (x) = k=0 k=n+1 f (k) () (x ) k k! - men det siger ikke noget om hvor stor den er Clculus Uge Tylor s restled [S] 8.7 Tylor nd Mclurin series 9 Sætning Hvis f (n+1) (x) M for lle x med x d, så for lle med x d. R n (x) M (x ) n+1 (n + 1)! Smmenlign udtrykket i vurderingen med det næste led i Tylor-rækken, som jo er f (n+1) () (x )n+1 (n + 1)! Clculus Uge

9 Hvor god er den lineære pproximtion? [S] 8.7 Tylor nd Mc... f(x) T 1 (x) M x 2 hvor f (x) M for ll x i det berørte intervl om. Eksempel. Ld f(x) = sin x. D f(0) = 0 og f (0) = cos(0) = 1, er den lineære pproximtion til sin i = 0 givet ved T 1 (x) = x = x D f (x) = sin(x) er numerisk 1 for lle x, hr vi for lle x fejlvurderingen R 1 (x) 1 x2 Clculus Uge Tylors restled som itereret integrl [S] 8.7 Tylor nd Mc... Hovedsætning i Clculus: F (x) = F () + nvend på F = f f(x) = f() + x x F (s) ds; f (s) ds nvend på F = f inden under integrltegnet: = f() + x (f () + s f (t) dt) ds Clculus Uge

10 Tylors restled [S] 8.7 Tylor nd Mclurin series = f() + x (f () + = f() + (x )f () + s x s f (t) dt) ds f (t) dt ds. Clculus Uge Tylors restled [S] 8.7 Tylor nd Mclurin series f(x) = f() + (x )f () + x s f (t) dt ds. De to første led er Tylor-polynomiet T 1 (x) for f, og det sidste led er derfor en formel for restleddet R 1 (x). Clculus Uge

11 Tylors restled [S] 8.7 Tylor nd Mclurin series Vi kn genkende dette itererede integrl som et udtryk for (plus/minus) dobbeltintegrlet f f (t) over treknten D i (s, t)-plnen, fgrænset f t = (vndret linie), s = x (lodret linie) og linien s = t Treknten D hr rel 1 (x )2. D f (t) M for lle punkter i D, er 1 (x )2 M = M (x )2 D Clculus Uge Eksponentilrækken konvergerer mod eksponentilfunktionen [S] 8.7 Tylor... Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x xn n! er fsnits-summen i eksponentilrækken. For hvilke x gælder For hvilke x gælder For lle x! THI: T n (x) e x for n? R n (x) 0 for n? Clculus Uge

12 Eksponentilrækken [S] 8.7 Tylor nd Mclurin series tg et d x. I intervllet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 0 for n. (n+1)! Altså R n (x) 0 for n Altså T n (x) f(x) = e x for n. Clculus Uge