EE Basis, foråret 2010 KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 1
Emner for idag Kondensatorer Spoler TidsaGængige kredsløb Universalformlen 2. ordens kredsløb Lidt Ll opgaverne to nye komponenter hvad gør vi? hvad sker der? Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 2
Vores udgangspunkt hidll HidLl har vi arbejdet med LdsuaGængige kredsløb TilsluVes en kilde vil strømme og spændinger i kredsløbet tage deres værdier og ellers forblive uændrede Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 3
Kondensatoren Som det var Llfældet for OPAMP en, så kommer en kondensator også i mange forskellige varianter Store som små Tykke som tynde Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 4
Kondensatoren Opbygget af to plader med en isolator imellem Der ophobes posilve ladninger på den ene side i [A] q [C] t t og negalve ladninger på den anden side En ladningsforskel betyder at vi opbygger en spændingsforskel Den Llførte energi fra strømgeneratoren oplagres i kondensatoren Δv [V] t Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 5
Kondensatoren - analogi FunkLonsprincippet illustreres bedst med en vandanalogi v p [m 3 /s] h [m] ΔP [N/m 2 ] t t t Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 6
Kondensatoren i [A] q [C] Δv [V] Strømgeneratoren er en ladningspumpe Strøm = ladningstransport per Ldsenhed i(t) = d q(t) q(t) = i(τ) dτ + q(0) dt o Spændingsforskellen er proporlonal C: Kapacitet med ladningsforskydningen v(t) = 1 C q(t) t t t t Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 7
Kondensatoren ProporLonalitetskonstanten, C, kaldes kondensatorens kapacitet [Farad = F = C/V] C agænger af pladernes areal, A, og afstanden, d, imellem dem, samt det isolerende materiale Typiske værdier for C ligger i mf - > pf området q(t) = i(t) = d dt q(t) t o i(τ) dτ + q(0) v(t) = 1 C q(t) Ohm s lov for en kondensator Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 8
Kondensatorens terminal- lov Eksempel på strømmen igennem en 5µF kondensator Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 9
Eksempel på RC- kredsløb KVL: Kondensatorligning: SæVes de to sammen fås en differenlalligning Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 10
Eksempel på RC- kredsløb Løsning af formen: Skal være LdsuaGængigt RC dv (t) C + v C (t) = V 2 dt for t > 0 (forkerte løsninger) Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 11
Eksempel på RC- kredsløb Den apagende eksponenlalfunklon: e - x 63% 37% t = τ t/τ Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 12
Eksempel på RC- kredsløb (antagelse) Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 13
Universalformlen Omskrevet tager universalformlen følgende form: v C (t) = V 2 + ( V 1 V 2 ) e t τ τ = RC Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 14 ( ) e t τ v C (t) = V ( ) + V (0) V( ) Øjebliksspændingen over kondensatoren er bestemt af begyndelsesbelngelsen, ladespændingen, samt ladelden
Spolen Ligesom de øvrige komponenter vi har set på, så kan også spoler findes i mange afskygninger Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 15
Spolen På sin vis kan man sige, at spolen er en omvendt kondensator Ringen består af et magnelserbart materiale En påtrykt strøm, i, i viklingen Ll venstre vil skabe et magnetelt, B, proporlonalt med strømmen En ændring i B vil inducere en spænding, v 2 (t), i viklingen Ll højre En ændring i B vil også inducere en spænding, v (t), i viklingen Ll venstre Resultat: Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 16
Spolen ProporLonalitetsfaktoren, L, kaldes spolens selvinduklon [Henry = H] L agænger af vindingstal, kernens dimensioner og kernematerialets egenskaber Typiske værdier for spolers selvinduktans ligger i området H - > nh Ohms lov for en spole Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 17
RCL- komponentligninger kan ikke ændres momentant! kan ikke ændres momentant! Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 18
Steady- state Med kondensatorer og spoler inde i billedet har vi introduceret LdsaGængighed Et RLC kredsløb er i steady- state når spændingen over kondensatorene og strømmen igennem spolerne ikke ændre sig Steady- state betyder i praksis, at kondensatorene alle er op- eller afladet Denne Llstand har vi typisk før en kontakt vippes og igen kort Ld eper kontakten er vippet Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 19
Eksempel på Steady- state I steady- state er kondensatoren opladet og alle tre 6 kω modstande er i serie v C (t) =12 6 6 + 6 + 6 = 4 t < 0 Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 20
Kontakter Ope vil vi gerne kunne skelne mellem Ldspunkter lige før og lige eper noget sker Det vil typisk være når en kontakt vippes Kontakter har stor betydning for kondensatorer og spoler Tiden lige før er 0 - : Tiden lige eper er 0 + : V(0 - ) = 7 V I(0 + ) = 3 A For en kondensator gælder alld at V(0 - ) = V(0 + ) For en spole gælder alld at I(0 - ) = I(0 + ) Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 21
Steady- state eksemplet igen t < 0 v C (t) = 4V v C (0 ) = 4V i C (0 ) = 0A t = 0 + v C (0 + ) = v C (0 ) = 4V i C (0 + ) = 4V 6kΩ = 0.67mA i C (0 ) Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 22
Steady- state eksemplet igen Men hvad sker der med v C (t) når Lden, t, går mod uendelig!?! Universalformlen Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 23
Universalformlen Vi antager følgende: 1. Vi har et kredsløb med én kondensator, én kontakt og et antal modstande 2. Spændingen over kondensatoren er kendt for Lden t = 0 + 3. Kredsløbet er i steady- state et stykke Ld eper kontakten er vippet (typisk 5τ eper) 4. Kontakten vippes Ll Lden t = 0 Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 24
Universalformlen For alle 1. ordens kredsløb gælder universalformlen for både strøm og spænding x(t) = x( ) + ( x(0 + ) x( ) ) e t τ her kan x(t) være både strøm og spænding i både en spole og en kondensator!!! Det meget viglgt med 0 + når der regnes på strømme i kondensatorer og spændinger over spoler Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 25
Universalformlen Eksempel på anvendelse af universalformlen Bestem v C (t) for t > 0. Kredsløbet er i steady- state Løsningen består af fire skridt: 1. Find v C (0 + ) 2. Find v C ( ) 3. Find τ = RC 4. Benyt universalformlen Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 26
Universalformlen Eksempel på anvendelse af universalformlen Skridt 1: Steady- state for t < 0 Ingen strøm gennem kondensatoren Ingen strøm gennem modstanden i serie med kondensatoren Spændingsfald på 0 V over modstand Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 27
Universalformlen Eksempel på anvendelse af universalformlen Skridt 1: Spændingsfald på 0 V over modstand v C (0 ) =12V = v C (0 + ) Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 28
Universalformlen Eksempel på anvendelse af universalformlen Skridt 2: Til Lden uendelig er kredsløbet aver i steady- state Strømmen gennem kondensatoren er lig nul v C ( ) = 0V Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 29
Universalformlen Eksempel på anvendelse af universalformlen Skridt 3: τ = RC = (2 + 2 + 2) 10 3 Ω 100 10 F = 0.6s R C Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 30
Universalformlen Eksempel på anvendelse af universalformlen Skridt 4: x(t) = x( ) + ( x(0 + ) x( ) ) e t τ v C (t) = 0 + ( 12 0) e t 0.6 =12 e t 0.6 Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 31
Tavleopgave 1 Kredsløbet er i steady- state Ll Lden t < 0 Bestem v C (t) for t > 0 v C (0 + ) = v C (0 ) = v C ( ) = τ = RC = 10V 2V 16kΩ 200µF = 3.2s v C (t) =10V ( 2V 10V )e t 3.2s =10 8e t 3.2s Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 32
2. ordens kredsløb HidLl har vi kun set på kredsløb der indeholder ét dynamiskt element Kredsløb der indeholder to dynamiske elementer kræver noget mere arbejde Som eksempel Find v(t), som også kaldes det unforced / natural response Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 33
2. ordens kredsløb i(t) = C d v(t) dt v(t) R + 1 L t v(τ)dτ + C dv(t) dt = i s (t) Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 34
2. ordens kredsløb v(t) R + 1 L 1 R dv(t) dt t v(τ)dτ + C dv(t) = i s (t) dt + v(t) L + C d 2 v(t) = di (t) s dt 2 dt En lille omskrivning lever opgaven lidt d 2 v(t) dv(t) + 2ξω dt 2 0 + ω 2 0 v(t) = 0 dt 1 i s (t) = 0 ω 0 = LC ξ = 1 1 2 R 2 C Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 35
2. ordens kredsløb d 2 v(t) dt 2 + 2ξω 0 dv(t) dt + ω 0 2 v(t) = 0 Vi gæver på en løsning på formen v(t)=ke st s 2 Ke st + 2ξω 0 ske st + ω 0 2 Ke st = 0 s 2 + 2ξω 0 s + ω 0 2 = 0 s = 2ξω 0 ± 4ξ 2 ω 0 2 4ω 0 2 2 s 1 = ξω 0 + ω 0 ξ 2 1 s 2 = ξω 0 ω 0 ξ 2 1 Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 36
2. ordens kredsløb Terminologi t v(t) ω 0 ζ s 1, s 2 s Ld naturlig respons knækfrekvens dæmpningsfaktor de naturlige frekvenser Laplace- variablen Det er alt sammen noget vi vender Llbage Ll gennem forløbet af KRT & EKDS Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 37
2. ordens kredsløb Tilfælde 1: ζ > 1 De to rødder, s 1 og s 2, er reelle og forskellige. Løsningen bliver: posilv! v(t) = K 1 e ξω 0 ω 0 ξ 2 1 t + K2 e ξω 0 +ω 0 ξ 2 1 t Den naturlige respons siges at være overdæmpet, hvilket vil sige ingen svingninger Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 38
2. ordens kredsløb Tilfælde 2: ζ = 1 De to rødder, s 1 og s 2, er reelle og ens. Løsningen bliver: v(t) = K 1 e ω 0 t + K 2 e ω 0 t Den naturlige respons siges at være krilsk dæmpet, Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 39
2. ordens kredsløb Tilfælde 2: ζ < 1 De to rødder, s 1 og s 2, er komplekse og forskellige. Løsningen bliver (jf. Eulers formel): ( ( ) + A 2 sin( ω 0 t 1 ξ 2 )) v(t) = e ξω 0 t A 1 cos ω 0 t 1 ξ 2 Den naturlige respons siges at være underdæmpet, dvs. vi oplever svingninger Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 40
Lidt Ll opgaverne I skal regne en masse på spoler og kondensatorer Noget med at se på kontakter og steady- state situaloner Lidt med 2. orden systemer Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 41