Lineær algebra for EIT4+ITC4/14

Lineær algebra for EIT4+ITC4/14 Opgaveløsninger MM1 Opgaver: Opgave 1.1 Beregn determinanten for matrixerne A og B. 8 9 ( ) 2 8 1 2 1 6 >< >= 9 ;4 3 6 1 2 B = 2 8 4 >: 7 1 > 6 ;2 14321HEb Opgave 1.2 Beregn vha. Gauss-Jordan-metoden den inverse matrix af A og B, så vidt, de eksisterer. Hvis de ikke eksisterer, så forklar hvorfor. ( ) 3 ;1 1 ;15 6 ;5 5 ;2 2 Opgave 1.3 Find rangen af A, B og C. ;1 3 B = 3 ;9 8 9 2 8 >< >= 9 ;4 B = >: 7 1 > 6 ;2 3 ;7 5 ;36 84 ;6 C = ( 5 2 ) 3 ;1 7 9 Opgave 1.4 Løs ligningssystemet vha. Gauss-elimination og bagefter vha. Cramers formel. ;x + 3y ; 2z = 7 3x + 3z = ;3 2x + y + 2z = ;1 Opgave 1.5 Løs ligningssystemet vha. Gauss-elimination og bagefter vha. Cramers formel. 2x + 5y + 3z = 1 ;x + 2y + z = 2 x + y + z = Opgave 1.7 Beregn strømmen igennem R 3. Plusretningen er tilhøjre på figuren. Opstil kredsløbsligninmgerne vha. Kirchoffs maskeligninger og løs ligningssystemet fx vha. gaussisk elimination. Generatorer og modstande har følgende værdier: V 1 =1V R 1 =1 R 3 =3 R 5 =5 V 2 =2V R 2 =2 R 4 =4 R 1 R 2 V 1 + + V 2 R 4 R 3 R 5

2 MAT4- Liner algebra MM11 Opgave 11.1 % MOPG111.M % MAT4 for E4+D4/28 % Lsning til opgave 11.1 % 842HEb echo on clear % Vi finder determinanten vha. Gaussisk elimination % A=[1..2 1.6 3..6 1.2 2..8.4] 1..2 1.6 3..6 1.2 2..8.4 % Pivotering til echelonform A(2,:)= A(2,:)- A(1,:)*A(2,1)/A(1,1) 1..2 1.6. -3.6 2..8.4 % Byt 2 og 3 C=A(2,:) C =. -3.6 A(2,:)=A(3,:) 1..2 1.6 2..8.4 2..8.4 A(3,:)=C 1..2 1.6 2..8.4. -3.6 A(2,:)= A(2,:)- A(1,:)*A(2,1)/A(1,1)

21 1..2 1.6.4-2.8. -3.6 % Vi har lavet 1 bytning Determ= A(1,1)*A(2,2)*A(3,3)*(-1) Determ = 1.44 % % Sprgsmal b % Vi finder determinanten vha. Gaussisk elimination % clear C B=[2 8 9-4 7 1 6-2] B = 2 8 9-4 7 1 6-2 % Pivotering til echelonform B(2,:)= B(2,:)- B(1,:)*B(2,1)/B(1,1) B = 2 8-4 7 1 6-2 B(4,:)= B(4,:) - B(3,:)*B(4,3)/B(3,3) B = 2. 8. -4. 7. 1. -2.8571 % Frdig! % Vi har lavet bytninger Determ= B(1,1)*B(2,2)*B(3,3)*B(4,4) Determ = 16 %-----(FINI MOPG111.M)----- Opgave 11.2

22 mopg112a % MOPG112A.M % MAT4 for E4+D4/28 % Lsning til opgave 11.2 (A) % 842HEb echo on clear % Invertering ved Gauss-Jordan metoden % A=[3-1 1 1-15 6-5 1 5-2 2 1] 3-1 1 1-15 6-5 1 5-2 2 1 B=[ ] % Pivotering til echelonform A(2,:)= A(2,:)- A(1,:)*A(2,1)/A(1,1) 3-1 1 1 1 5 1 5-2 2 1 A(3,:)= A(3,:)- A(1,:)*A(3,1)/A(1,1) 3. -1. 1. 1. 1. 5. 1. -.3333.3333-1.6667 1. A(3,:)= A(3,:)- A(2,:)*A(3,2)/A(2,2) 3. -1. 1. 1. 1. 5. 1..3333..3333 1. % Normering A(1,:)= A(1,:)/A(1,1) 1. -.3333.3333.3333 1. 5. 1..3333..3333 1. A(2,:)= A(2,:)/A(2,2)

23 1. -.3333.3333.3333 1. 5. 1..3333..3333 1. A(3,:)= A(3,:)/A(3,3) 1. -.3333.3333.3333 1. 5. 1. 1.. 1. 3. % Jordan eliminering til reduceret echelonform A(1,:)= A(1,:) - A(3,:)*A(1,3)/A(3,3) 1. -.3333.3333 -.3333-1. 1. 5. 1. 1.. 1. 3. A(1,:)= A(1,:) - A(2,:)*A(1,2)/A(2,2) 1. 2. -1. 1. 5. 1. 1.. 1. 3. % Dannelse af den inverterede matrix, B B(:,1)= A(:,4) B = 2. 5.. B(:,2)= A(:,5) B = 2. 5. 1.. 1. B(:,3)= A(:,6) B = 2. -1. 5. 1.. 1. 3. % Test inv(b)

24 ans = 3. -1. 1. -15. 6. -5. 5. -2. 2. %-----(FINI MOPG112A.M)----- mopg112b % MOPG112B.M % MAT4 for E4+D4/28 % Lsning til opgave 11.2 (B) % 842HEb echo on clear % Invertering ved Gauss-Jordan metoden % A=[2 8 1 9-4 1 7 1 1 6-2 1] 2 8 1 9-4 1 7 1 1 6-2 1 B=[ ] B = % Pivotering til echelonform A(2,:)= A(2,:)- A(1,:)*A(2,1)/A(1,1) Columns 1 through 7 2. 8. 1. -4. -4.5 1. 7. 1. 1. 6. -2. Column 8 1. A(3,:)= A(3,:)- A(1,:)*A(3,1)/A(1,1)

25 Columns 1 through 7 2. 8. 1. -4. -4.5 1. 7. 1. 1. 6. -2. Column 8 1. A(4,:)= A(4,:)- A(3,:)*A(4,3)/A(3,3) Columns 1 through 7 2. 8. 1. -4. -4.5 1. 7. 1. 1. -2.8571 -.8571 Column 8 1. % Normering A(1,:)= A(1,:)/A(1,1) Columns 1 through 7 1. 4..5-4. -4.5 1. 7. 1. 1. -2.8571 -.8571 Column 8 1. A(2,:)= A(2,:)/A(2,2)

26 Columns 1 through 7 1. 4..5 1..1125 -.25 7. 1. 1. -2.8571 -.8571 Column 8 1. A(3,:)= A(3,:)/A(3,3) Columns 1 through 7 1. 4..5 1..1125 -.25 1..1429.1429-2.8571 -.8571 Column 8 1. A(4,:)= A(4,:)/A(4,4) Columns 1 through 7 1. 4..5 1..1125 -.25 1..1429.1429 1..3 Column 8 -.35 % Jordan eliminering til reduceret echelonform A(3,:)= A(3,:) - A(4,:)*A(3,4)/A(4,4)

27 Columns 1 through 7 1. 4..5 1..1125 -.25 1..1 1..3 Column 8.5 -.35 A(1,:)= A(1,:) - A(2,:)*A(1,2)/A(2,2) Columns 1 through 7 1..5.1 1..1125 -.25 1..1 1..3 Column 8.5 -.35 % Dannelse af den inverterede matrix, B B(:,1)= A(:,5) B =.5.1125 B(:,2)= A(:,6) B =.5.1.1125 -.25 B(:,3)= A(:,7) B =

28.5.1.1125 -.25.1.3 B(:,4)= A(:,8) B =.5.1.1125 -.25.1.5.3 -.35 % Test inv(b) ans = 2. 8. 9. -4. 7. 1. 6. -2. %-----(FINI MOPG112B.M)----- Opgave 11.3 mopg113 % MOPG113.M % MAT4 for E4+D4/28 % Lsning til opgave 11.3 % 842HEb echo on clear % Vi finder rangen vha. gaussisk elimination % A=[ 5 2 3-1 7 9 ] 5 2 3-1 7 9 % % Vi starter med at bytte rkke 1 og 3 C= A(1,:) C = 5 2 A(1,:)= A(3,:)

29 7 9 3-1 7 9 A(3,:)=C 7 9 3-1 5 2 % Pivotering A(2,:)= A(2,:)- A(1,:)*A(2,1)/A(1,1) 7. 9. -3.8571-1. 5. 2. A(3,:)= A(3,:)- A(2,:)*A(3,2)/A(2,2) 7. 9. -3.8571-1..737 % Normering (ikke ndvendig) A(1,:)= A(1,:)/A(1,1) 1. 1.2857-3.8571-1..737 A(2,:)= A(2,:)/A(2,2) 1. 1.2857 1..2593.737 A(3,:)= A(3,:)/A(3,3) 1. 1.2857 1..2593 1. % %-----(FINI MOPG113.M)-----

3 Opgave 11.4 mopg114 % MOPG114.M % MAT4 for E4+D4/28 % Lsning til opgave 11.4 % 842HEb echo on clear % Lsning ved gaussisk elimination % Totalmatrixen opskrives A=[-1 3-2 7 3 3-3 2 1 2-1] -1 3-2 7 3 3-3 2 1 2-1 % Pivotering A(2,:)= A(2,:)- A(1,:)*A(2,1)/A(1,1) -1 3-2 7 9-3 18 2 1 2-1 A(3,:)= A(3,:)- A(1,:)*A(3,1)/A(1,1) -1 3-2 7 9-3 18 7-2 13 A(3,:)= A(3,:)- A(2,:)*A(3,2)/A(2,2) -1. 3. -2. 7. 9. -3. 18..3333-1. % Normering (ikke ndvendig) A(1,:)= A(1,:)/A(1,1) 1. -3. 2. -7. 9. -3. 18..3333-1. A(2,:)= A(2,:)/A(2,2)

31 1. -3. 2. -7. 1. -.3333 2..3333-1. A(3,:)= A(3,:)/A(3,3) 1. -3. 2. -7. 1. -.3333 2. 1. -3. % Tilbagesubstituering z= A(3,4)/A(3,3) z = -3. y= (A(2,4)-z*A(2,3)) y = 1. x= (A(1,4)-z*A(1,3)-y*A(1,2)) x = 2. % % Lsning ved Cramers formel % % Koefficientmatrixen opskrives A=[-1 3-2 3 3 2 1 2 ] -1 3-2 3 3 2 1 2 B=[7-3 -1] B = 7-3 -1 Dx= A Dx =

32-1 3-2 3 3 2 1 2 Dx(:,1)= B Dx = 7 3-2 -3 3-1 1 2 det(a) ans = -3 det(dx) ans = -6 x= det(dx)/det(a) x = 2 Dy= A Dy = -1 3-2 3 3 2 1 2 Dy(:,2)= B Dy = -1 7-2 3-3 3 2-1 2 det(dy) ans = -3 y=det(dy)/det(a) y =

33 1 Dz=A Dz = -1 3-2 3 3 2 1 2 Dz(:,3)= B Dz = -1 3 7 3-3 2 1-1 det(dz) ans = 9 z= det(dz)/det(a) z = -3 %-----(FINI MOPG114.M)----- Opgave 11.5 mopg115 % MOPG115.M % MAT4 for E4+D4/28 % Lsning til opgave 11.5 % 842HEb echo on % Lsning ved gaussisk elimination % Totalmatrixen opskrives A=[2 5 3 1-1 2 1 2 1 1 1 ] 2 5 3 1-1 2 1 2 1 1 1 % Pivotering A(2,:)= A(2,:)- A(1,:)*A(2,1)/A(1,1) 2. 5. 3. 1. 4.5 2.5 2.5

34 1. 1. 1. A(3,:)= A(3,:)- A(1,:)*A(3,1)/A(1,1) 2. 5. 3. 1. 4.5 2.5 2.5-1.5 -.5 -.5 A(3,:)= A(3,:)- A(2,:)*A(3,2)/A(2,2) 2. 5. 3. 1. 4.5 2.5 2.5.3333.3333 % Normering (ikke ndvendig) A(1,:)= A(1,:)/A(1,1) 1. 2.5 1.5.5 4.5 2.5 2.5.3333.3333 A(2,:)= A(2,:)/A(2,2) 1. 2.5 1.5.5 1..5556.5556.3333.3333 A(3,:)= A(3,:)/A(3,3) 1. 2.5 1.5.5 1..5556.5556 1. 1. % Tilbagesubstituering z= A(3,4)/A(3,3) z = 1 y= (A(2,4)-z*A(2,3)) y =

35 x= (A(1,4)-z*A(1,3)-y*A(1,2)) x = -1 % % Lsning ved Cramers formel % % Koefficientmatrixen opskrives A=[2 5 3-1 2 1 1 1 1] 2 5 3-1 2 1 1 1 1 B=[1 2 ] B = 1 2 Dx= A Dx = 2 5 3-1 2 1 1 1 1 Dx(:,1)=B Dx = 1 5 3 2 2 1 1 1 det(a) ans = 3 det(dx) ans = -3 x= det(dx)/det(a)

36 x = -1 Dy= A Dy = 2 5 3-1 2 1 1 1 1 Dy(:,2)= B Dy = 2 1 3-1 2 1 1 1 det(dy) ans = y=det(dy)/det(a) y = Dz=A Dz = 2 5 3-1 2 1 1 1 1 Dz(:,3)= B Dz = 2 5 1-1 2 2 1 1 det(dz) ans = 3 z= det(dz)/det(a)

37 z = 1 %-----(FINI MOPG115.M)----- Opgave 11.6 mopg116 % MOPG116.M % MAT4 for E4+D4/28 % Lsning til opgave 11.6 % 842HEb echo on clear A=[.25.75.5.5 1.66.34 ].25.75.5.5 1..66.34 P=[.17.32.3.21] P =.17.32.3.21 A'*P ans =.1386.225.1989.46 A^2 ans =.125.875.33.25.17.25.66.34.165.495.34 % Lsning ved at oplfte til en hj potens % Sjlerne i den transponerede A er lsningen (A^5)' ans =

38.2336.2336.2336.2336.1168.1168.1168.1168.2956.2956.2956.2956.354.354.354.354 % % Lsning vha. Gaussisk elimination % Udvidelse til totalmatrix clear A A=[.25.75.5.5 1.66.34 1].25.75.5.5 1..66.34 1. % A transponeres A= A'.66.25.5.75.34.5 1. 1. % Indsttelse af egenvrdien 1 % Derved fas den karakteristiske matrix A(1,1)=A(1,1)-1 A(2,2)=A(2,2)-1 A(3,3)=A(3,3)-1 A(4,4)=A(4,4)-1 % % Vi fjerner en ligning og indstter tilstandsbetingelsen % Den nederste ligning vlges arbitrrt og fjernes A(4,1)=1 A(4,2)=1 A(4,3)=1 A(4,4)=1 A(4,5)=1 A -1..66.25 -.5.75-1..34 1. 1. 1. 1. 1. % Pivotering A(2,:)= A(2,:)- A(1,:)*A(2,1)/A(1,1) -1..66 -.5.165.75-1..34

39 1. 1. 1. 1. 1. A(3,:)= A(3,:)- A(1,:)*A(3,1)/A(1,1) -1..66 -.5.165-1..835 1. 1. 1. 1. 1. A(4,:)= A(4,:)- A(1,:)*A(4,1)/A(1,1) -1..66 -.5.165-1..835 1. 1. 1.66 1. A(4,:)= A(4,:)- A(2,:)*A(4,2)/A(2,2) -1..66 -.5.165-1..835 1. 1.99 1. A(4,:)= A(4,:)- A(3,:)*A(4,3)/A(3,3) -1..66 -.5.165-1..835 2.825 1. % Normering A(1,:)= A(1,:)/A(1,1) 1. -.66 -.5.165-1..835 2.825 1. A(2,:)= A(2,:)/A(2,2) 1. -.66 1. -.33-1..835 2.825 1.

4 A(3,:)= A(3,:)/A(3,3) 1. -.66 1. -.33 1. -.835 2.825 1. A(4,:)= A(4,:)/A(4,4) 1. -.66 1. -.33 1. -.835 1..354 % Tilbagesubstituering x4= A(4,5)/A(4,4) x4 =.354 x3= -x4*a(3,4)/a(3,3) x3 =.2956 x2= -x4*a(2,4)/a(2,2) x2 =.1168 x1= -x4*a(1,4)/a(1,1) x1 =.2336 %-----(FINI MOPG116.M)----- Opgave 11.7 mopg117 % MOPG117.M % MAT4 for E4+D4/28 % Lsning til opgave 11.7 % Ny opgave % 846HEb echo on clear % Lsning ved gaussisk elimination

41 % Totalmatrixen opskrives A=[5-4 1 5-3 -2-4 -3 12 ] 5-4 1 5-3 -2-4 -3 12 % Vi starter med at ombytte rkke 2 og 3 C= A(2,:) A(2,:)=A(3,:) A(3,:)=C 5-4 1-4 -3 12 5-3 -2 % Pivotering A(2,:)= A(2,:)- A(1,:)*A(2,1)/A(1,1) 5. -4. 1. -3. 8.8.8 5. -3. -2. A(3,:)= A(3,:)- A(2,:)*A(3,2)/A(2,2) 5. -4. 1. -3. 8.8.8 11.6667 -.6667 % Normering (ikke ndvendig) A(1,:)= A(1,:)/A(1,1) 1. -.8.2-3. 8.8.8 11.6667 -.6667 A(2,:)= A(2,:)/A(2,2) 1. -.8.2 1. -2.9333 -.2667 11.6667 -.6667 A(3,:)= A(3,:)/A(3,3)

42 1. -.8.2 1. -2.9333 -.2667 1. -.571 % Tilbagesubstituering I3= A(3,4)/A(3,3) I3 = -.571 I2= (A(2,4)-I3*A(2,3)) I2 = -.4343 I1= (A(1,4)-I3*A(1,3)-I2*A(1,2)) I1 =.1543 % Omskrives til ma I1=I1*1E3 I1 = 154.2857 I2=I2*1E3 I2 = -434.2857 I3=I3*1E3 I3 = -57.1429 % Strmmen igennem R3 (plusretningen er som I2-pilen) % enheden er ma IR3= I2-I3 IR3 = -377.1429 % %-----(FINI MOPG117.M)-----