To ligninger i to ubekendte

Transkript

1 Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus Uge To ubekendte grafisk [LA] 5 Lineære ligningssystemer Figur y 2x y 1 (1, 1) skæringspunkt 1 x x + y 2 To ligninger i to ubekendte Calculus Uge

2 3 ligninger 4 ubekendte Eksempel (Rækkereduktion) 3x 1 2x 2 4x 3 3x x 1 + 5x x x x 1 + 5x x x 4 34 Calculus Uge Eliminer en ubekendt Eksempel - fortsat 2x 1 + 5x x x x 2 + 8x x 4 18 Calculus Uge

3 Eliminer endnu en Eksempel - fortsat 3x 2 + 8x x x 3 3x 4 6 Calculus Uge En ubekendt er fri Eksempel - fortsat Heraf 2x 3 3x 4 6 x x 2 4 x 2 4 2x 3 6x 4 2 9x 4 x x 2 + 2x 3 + 3x 4 4 3x 4 Calculus Uge

4 Brug matrixform Eksempel - fortsat Løsning x x 2 4 x 2 2 9x 4 x 1 4 3x 4 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 4 3x 4 2 9x x 2 4 x x Calculus Uge Eliminations strategi Definition Rœkkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Addition af et multiplum af en ligning til en anden 1. Bevarer løsningsmængden. 2. Bringer ligningssystemet på rœkke-echelon form (trappeform). 3. Løsningsmængden kan opskrives ved baglæns substitution. Calculus Uge

5 Skalpellen frem, fjern ubekendte Eksempel 3x 1 2x 2 4x 3 3x x 1 + 5x x x x 1 + 5x x x 4 34 Calculus Uge Skær videre Eksempel - fortsat 2x 1 + 5x x x x 2 + 6x x 4 18 Calculus Uge

6 Videre Eksempel - fortsat 3x 2 + 6x x x 4 6 Calculus Uge Afslut bagfra Eksempel - fortsat 3x 4 6 Heraf x 4 2 x 2 4 2x 3 6x x 3 x x 2 + 2x 3 + 3x 4 2 Calculus Uge

7 En fri tre bundne Eksempel - fortsat Løsning x 4 2 x x 3 x 1 2 På matrix form x 1 x 2 x 3 x x 3 x x Calculus Uge Rækkeoperationer reduceret matrix Definition Rœkkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Multiplikation af række med tal 0 Addition af et multiplum af en række til en anden Bringer matricen på (reduceret) rœkke-echelon form (trappeform), 1 på pivot indgange 0 0 1?? 0?? ?? Calculus Uge

8 Strategi på matrix form Observation Fra et lineært ligningssystem tilordnes en augmenteret matrix Ax b (A b) Rækkeoperationer på et ligningssystem svarer til rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Det reducerede ligningssystem opskrives fra den reducerede matrix. Calculus Uge Strategi på matrix form Eksempel - igen 3x 1 2x 2 4x 3 3x x 1 + 5x x x Calculus Uge

9 Øvelse gør mester Eksempel - igen fortsat Calculus Uge Atter øvelse Eksempel - igen fortsat Calculus Uge

10 Afslut elegant Eksempel - igen fortsat Det reducerede ligningssystem x 1 2 x 2 + 2x 3 16 x Calculus Uge En fri tre bundne Eksempel - igen fortsat Løsning x 4 2 x x 3 x 1 2 På matrix form x 1 x 2 x 3 x x 3 x x hvor x 3 vælges frit. Calculus Uge

11 Enten-eller Enten-eller-princip (22) En kvadratisk matrix kan ved rækkeoperationer enten føres over i identitetsmatricen eller føres over i en matrix med en nulrække nederst Bevis Matricen på reduceret trappeform 1? Calculus Uge Struktur er sagen Sætning 9 Et homogent ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end ligninger, har altid uendelig mange løsninger. Bevis Koefficientmatricen har flere søjler end rækker. Den reducerede matrix har mindst 1 pivotfri søjle. Altså er der parametre i løsningen. Calculus Uge

12 Test ligningssystem Test Et homogent lineært ligningssystem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: (a) Altid højst 1 løsning. (b) Altid uendelig mange løsninger. (c) Undertiden ingen løsninger. (d) Mindst 1 løsning. Afkryds de to rigtige: Løsning Sætning 9 sikrer uendelig mange løsninger. (a) (b) (c) (d) Calculus Uge En sjov variation Eksempel 4 Løs matrixligningen ( ) ( ) 2 1 x 11 x x 21 x 22 Skrives som ligningssystemet ( ) x 11 + x x x x 12 + x x x 22 1 Calculus Uge

13 Det er rigtig sjovt , ( ) ( ) x 11 x x 21 x Calculus Uge Operationer og multiplikation [LA] 7 Rækkeoperations-matricer Sætning Rœkkeoperationer på en m n-matrix fremkommer ved Udfør rœkkeoperationen på m m-enhedsmatricen og få en rækkeoperationsmatrix Venstre multiplicer den oprindelige matrix med den fremkomne rækkeoperationsmatrix Calculus Uge

14 Smart overbevisende [LA] 7 Rækkeoperations-matricer Ombytning af to rækker ( ) ( ) 0 1 a 11 a a 21 a 22 ( ) a 21 a 22 a 11 a 12 Multiplikation af række med tal r 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 a 11 a 12 a 11 a 12 0 r a 21 a 22 ra 21 ra 22 Addition af et multiplum af en række til en anden ( ) ( ) ( ) 1 r a 11 a 12 a 11 + ra 21 a 12 + ra a 21 a 22 a 21 a 22 Calculus Uge Ensidig invers er tosidig [LA] 7 Rækkeoperations-matricer Sætning 10 Lad A, B vœre kvadratiske matricer af samme størelse. Så gœlder AB I BA I En højre invers er også en venstre invers. Bevis Hvis AB I har alle ligningssystemer Ax b en løsning x Bb. Den reducerede form af A kan da ikke have en 0-række og er derfor enhedsmatricen I. Altså findes en matrix C så CA I. Til slut er C C(AB) (CA)B B. Calculus Uge

15 Invers ved operationer [LA] 7 Rækkeoperations-matricer Sætning En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis dens reducerede form er enhedsmatricen I. I så fald er den augmenterede matrix (A I) (I A 1 ) Den inverse matrix beregnes ved rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Calculus Uge Invers 2x2-matrix Eksempel 4 Løs matrixligningen, i.e. beregn invers, ( ) ( ) 2 1 x 11 x x 21 x 22 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) Calculus Uge

16 Invers 2x2-matrix Eksempel 4 - fortsat Rækkereduktionen ( ) ( ) giver den inverse ( ) 1 ( ) Calculus Uge Invers 2x2-matrix Eksempel 4 - forsat Gør prøve ( ) 1 ( ) Udregn ( ) ( ) ( ) Calculus Uge