Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Transkript

1 Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer 35 Række- og søjleoperationer 35 Trappematricer 37 3 Lineære ligningssystemer 4 4 Lineære ligningssystemer og lineære afbildninger 5 5 Operationsmatricer 53 6 Regulære matricer Matrixinversion 57 3 Determinanter 65 3 Determinant af -matrix 65 3 Determinant af 3 3-matrix Permutationer Determinant af n n-matrix 7 35 Cramers formler Determinant og invers matrix Udvikling af determinant 8 4 Vektorrum 85 4 Definition af vektorrum; eksempler 85 4 Lineære afbildninger; isomorfi Endeligdimensionale vektorrum; basis Underrum Lineær afhængighed; lineær uafhængighed 46 Udtyndingsalgoritmen; udvidelsesalgoritmen 4 47 Rang; dimensionssætningen 7 5 Vektorrum og matricer 3 5 Koordinattransformationer 3 v

2 Indhold 5 Lineære afbildninger og matricer 7 53 Lineære afbildninger og koordinattransformationer 54 Determinant af endomorfi 6 Diagonalisering af matricer 3 6 Diagonaliserbare matricer; egenværdier og egenvektorer 3 6 Betydningen af rodmultipliciteterne 3 63 Betydningen af egenværdimultipliciteterne Potensopløftning af matricer; anvendelser 38 7 Vektorrum med skalarprodukt 43 7 Skalarprodukt; Gram-Schmidt ortogonalisering 43 7 Ortogonale matricer 5 73 Ortogonalkomplement og ortogonalprojektion 5 74 Diagonalisering af reelle symmetriske matricer Kvadratiske former Diagonalisering af normale matricer 63 A Appendiks 65 A Mængder 65 A Afbildninger 65 A3 Komplekse tal 67 B Det græske alfabet 7 B Hjemmeopgaver 73 C Øvelsesopgaver 83 D Blandede opgaver vi

3 Lineære afbildninger og matricer I dette kapitel introducerer og studerer vi reelle og komplekse n-dimensionale rum, samt såkaldte lineære afbildninger mellem sådanne rum Det viser sig at de lineære afbildninger kan repræsenteres ved rektangulære talskemaer : såkaldte matricer Både talskemaerne og de n-dimensionale rum kommer til at spille en central rolle i hele bogen Talrummene R n, C n De naturlige tal betegnes med N, de reelle tal betegnes med R og de komplekse tal betegnes med C (jvf A Lad F være enten R eller C og lad n være et naturligt tal Mængden af alle n-talsæt x (x,, x n, hvor x,, x n ligger i F, betegnes med F n Vi kalder også x for en vektor i F n Tallene x,, x n kaldes koordinaterne for vektoren x Det er ofte bekvemt at skrive x (x,, x n som en n-talsøjle x x Denne dobbelttydige skrivemåde er kendt fra regning ( med (koordinater for vektorer x i planen, der jo betegnes både med feks (x, y og y For en vektor x n x x i F n og et tal λ F defineres vektoren λx ( x multipliceret med λ ved x n λx λx λx n

4 Lineære afbildninger og matricer Med x betegner vi vektoren ( x, altså For to vektorer x x x n x x n y x, y i F n defineres vektoren x + y ( summen af x og y ved y n x + y x + y x n + y n Med x y betegner vi vektoren x + ( y, altså x y x y x n y n Med disse definitioner af x og x y opnås, at vi kan regne med minustegn på sædvanlig måde u + v v u u v v u Figur : Regneregler for vektorer i R Et udtryk af formen λx + µy kaldes en linearkombination af x og y

5 Talrummene R n, C n Eksempel Hvis vektorerne x og y i R 4 er givet ved er x + y 3 4 x , y Nulvektoren o i F n defineres ved o En vektor x F n, der ikke er nulvektoren, kaldes en egentlig vektor Vi har nu defineret to operationer på vektorer i F n, nemlig multiplikation af en vektor med et tal (skalarmultiplikation og dannelse af to vektorers sum (addition Om disse operationer gælder følgende regneregler, der i tilfældet n er bekendte fra regning med (koordinater for vektorer i planen Sætning (Regneregler for vektorer i F n For vilkårlige vektorer x, y, z i F n og vilkårlige tal λ, µ i F gælder: V: (x + y + z x + (y + z V: x + o x V3: x + ( x o V4: x + y y + x V5: λ(x + y λx + λy V6: (λ + µx λx + µx V7: (λµx λ(µx V8: x x 3

6 Lineære afbildninger og matricer Bevis Disse regneregler følger let af de tilsvarende regneregler for de reelle og komplekse tal Vi nøjes med et par eksempler Lad x x n y x, y, z være vektorer i F n Der gælder da: x + y z x + y + z (x + y + z + x n + y n z n x n + y n + z n og x y + z x + y + z x + (y + z + y n + z n x n + y n + z n x n Heraf ses, at (x+ y+z x+(y+z, altså er V opfyldt For feks at indse, at V5 er opfyldt skriver vi x + y λ(x + y λx + λy λ(x + y λ x n + y n λ(x n + y n λx n + λy n og y n z z n λx λy λx + λy λx + λy +, λx n λy n λx n + λy n hvoraf gyldigheden af V5 aflæses De øvrige regneregler bevises efter et tilsvarende mønster Den fælles værdi af (x+ y+ z og x+(y+ z (regneregel V betegnes x+ y+ z Den fælles værdi af (λµx og λ(µx (regneregel V7 betegnes λµx Eksempel 3 Hvis vektorerne x, y, z er givet ved 3 3 x, y 5, z 4 er x + y 3z

7 Talrummene R n, C n For to vektorer i F n defineres skalarproduktet x y ved x x n y x, y y n x y x y + + x n y n, også betegnet n j x j y j Her henviser y til den komplekse konjugerede af y (Jvf A3 (Så hvis y R er y y Om skalarproduktet gælder følgende regneregler, der i tilfældet n F R er bekendte fra regning med skalarprodukt af vektorer i planen Sætning 4 (Regneregler for skalarprodukt For vilkårlige vektorer x, y, z i F n og vilkårlige tal λ F gælder: S: (x + y z x z + y z S: (λx y λ(x y S3: x y y x S4: x x S5: x x x o Bemærk at hvis F R siger S3 blot at x y y x Bevis Regnereglerne S, S og S3 følger let af de tilsvarende regneregler for de reelle/komplekse tal Vi nøjes derfor med et enkelt eksempel Lad x x n y x, y, z være vektorer i F n Der gælder da: x + y z (x + y z x n + y n z n og y n z z n (x + y z + + (x n + y n z n x z + y z + + x n z n + y n z n x z + y z (x z + + x n z n + (y z + + y n z n x z + y z + + x n z n + y n z n 5

8 Lineære afbildninger og matricer Heraf ses, at (x + y z x z + y z, altså er S opfyldt Beviset for regnereglerne S og S3 følger et tilsvarende mønster Gyldigheden af S4 og S5 følger umiddelbart af, at x x x x + + x n x n samt at der for alle x F gælder xx med lighedstegn netop hvis x For en vektor x F n defineres længden af vektoren x som tallet x x x Denne definition giver mening da x x (S4 Vi bemærker, at x netop hvis x o, og at λx λ x for λ F, x F n To vektorer x og y i F n siges at være ortogonale, hvis x y Eksempel 5 Hvis x, y i R 3 er givet ved er x 3 6, y 7 x y 7 + ( ( og x + ( , y ( Eksempel 6 Hvis x, y i C er givet ved ( x i (, y i + i er og x y ( i + ( i ( i 3i x + ( i ( + i, y i ( i + ( + i( i 6 6

9 Talrummene R n, C n Vektorerne e,, e j j,, e n kaldes standard enhedsvektorerne i F n Der gælder, at e i og e i e j for i j (Overvej! e 3 e e e e Figur : Standardenhedsvektorer i R og R 3 Hvis er en vektor i F n gælder, at x x x n x x e + + x n e n, og at x j x e j 7

10 Lineære afbildninger og matricer Matricer En matrix er et rektangulært talskema af formen a a a n a a a n A a m a m a mn hvor a i j ligger i F Hvis F R kaldes A en reel matrix og hvis F C kaldes A en kompleks matrix Den i te række i A, der også betegnes A [i, ], er (a i a in, og den j te søjle i A, der også betegnes A [, j], er a j a m j Tallet a i j står i den i te række og den j te søjle og betegnes også A [i, j] Det kaldes den i j te indgang Matricen A har m rækker og n søjler, og består således af mn tal fra F Vi kalder også A for en m n-matrix Vi kan opfatte A som opbygget af n m-talsøjler, og omtaler a a a m,, a n som matricens søjlevektorer Den j te søjlevektor er a j a j a m j En matrix, hvori alle elementer er lig kaldes en nulmatrix Nulmatricer betegnes eller m,n Eksempel En 3 -matrix ser således ud a a a a a 3 a 3 a n a mn Ordet matrix bøjes på følgende måde: en matrix, matricen, flere matricer, alle matricerne 8

11 Matricer Eksempel Matricen ( har to rækker og fem søjler, og er altså en reel 5-matrix Her er A [, ] ( 4 7 3, ( A [,], A [,4] 8 5 I stedet for at opskrive matricen A i et skema bruges også den kortere skrivemåde A (a i j i m, j n Som en forkortelse af dette udtryk skriver vi ofte kun A (a i j m,n og fremhæver, at dette sidste udtryk altså er ensbetydende med En n n matrix a a n A a m a mn a a n a n a nn kaldes også en kvadratisk matrix I en kvadratisk matrix siges a i j at stå i diagonalen dersom i j, og uden for diagonalen dersom i j En kvadratisk matrix, hvori alle elementer uden for diagonalen er lig kaldes en diagonalmatrix En diagonalmatrix hvori alle diagonalelementer er lig kaldes en enhedsmatrix Enhedsmatricer betegnes E eller E n,n, dersom man ønsker at fremhæve række- og søjleantal Enhedsmatricer har altså formen E Det ses, at den j te søjlevektor i E netop er den j te standard enhedsvektor i F n 9

12 Lineære afbildninger og matricer Eksempel 3 De følgende matricer er eksempler på diagonalmatricer: 3, 5 + 7i, Den sidste af disse matricer er en enhedsmatrix En kvadratisk matrix a a n A a n a nn kaldes en nedre trekantsmatrix hhv øvre trekantsmatrix dersom a i j for alle i og j med i < j hhv i > j En nedre trekantsmatrix hhv øvre trekantsmatrix er altså en matrix af formen a a a a n a a, hhv a a n a n a n a nn a nn Eksempel 4 De følgende matricer er eksempler på nedre trekantsmatricer: 3 3, 5,, 4 3 og de følgende matricer er eksempler på øvre trekantsmatricer: 3 + i 3, 5, 3 En m -matrix har formen a a m eller blot a a m og kaldes en søjlematrix, og en n-matrix har formen (a a n eller blot (a a n

13 Matricer og kaldes en rækkematrix Det ses, at vi nu har to måder på hvilken vi kan navngive en n-talsøjle nemlig x x x n, x og X x n I første tilfælde kalder vi søjlen for en vektor, og i andet tilfælde kalder vi søjlen for en (søjle-matrix Det er bekvemt at have disse to muligheder for navngivning af en søjle; det afhænger af sammenhængen hvilken man bruger, men vi vil i øvrigt ikke skelne skarpt mellem de to muligheder På samme måde som vi taler om en matrices søjlevektorer, taler vi om en matrices søjlematricer Matricerne x x n E,, E n kaldes for standard enhedssøjlematricerne Er der givet en m n-matrix A og en m p-matrix B kan man danne en m (n + p- matrix C ud fra A og B s søjler ved at opskrive B s søjler efter A s søjler Matricen C kaldes en blokmatrix med blokkene A og B og man skriver C (A B Tilsvarende kan man slå flere matricer sammen og opnå blokmatricer af formen ( A A A n Er specielt A,, A n søjlematricer med m elementer, er ( A A A n en m n-matrix, hvis j te søjlematrix er A j Er tilsvarende a,, a n vektorer i F m kan disse opfattes som søjlematricer, og vi benytter da også betegnelsen A ( a a n for den m n-matrix A, hvis j te søjlevektor er a j

14 Lineære afbildninger og matricer Eksempel 5 Hvis er og hvis er a A 3 ( A B, a og B ( a a a 3 a 4, a ,,, a , 3 Lineære afbildninger Lad a a a n a a a n A a m a m a mn være en m n-matrix med indgange i F, som vi minder om er enten R eller C Til A knyttes en afbildning f : F n F m ved fastsættelsen x a x + + a n x n f x n a m x + + a mn x n Definition 3 En afbildning f : F n F m, der på denne måde er knyttet til en m n- matrix A, kaldes lineær Hvis F R omtales afbildningen til tider som reelt lineær og hvis F C omtales den som komplekst lineær

15 3 Lineære afbildninger Eksempel 3 En lineær afbildning f : F F 3 har formen f ( x x a x + a x a x + a x a 3 x + a 3 x Eksempel 33 Afbildningen f : R 5 R givet ved f x x x 3 x 4 x 5 ( er lineær, idet den er givet ved matricen ( x + 4x 3 7x 4 + 3x 5 5x + 5x + 8x 4 + x Eksempel 34 En fabrik fremstiller to varer X og X under anvendelse af tre råvarer Y, Y og Y 3 Hvis der dagligt fremstilles x enheder af X og x enheder af X siger vi, at fabrikkens produktionssæt er (x, x Hvis fabrikken dagligt forbruger y enheder af Y, y enheder af Y og y 3 enheder af Y 3 siger vi, at fabrikkens forbrugssæt er (y, y, y 3 Om den pågældende produktion gælder, at og produktion af en enhed af X kræver produktion af en enhed af X kræver 3 enheder af Y enheder af Y enhed af Y 3 5 enheder af Y 5 enheder af Y 3 enheder af Y 3 Der er da følgende sammenhæng mellem forbrugssæt og produktionssæt: y 3x + 5x y x + 5x y 3 x + 3x 3

16 Lineære afbildninger og matricer Lader vi f : R R 3 betegne den afbildning, der til et produktionssæt (x, x knytter det tilsvarende forbrugssæt (y, y, y 3 ser vi, at f ( x x y y y 3 3x + 5x x + 5x x + 3x og dermed, at f er en lineær afbildning givet ved 3 -matricen Til en given m n-matrix A (a i j m,n med indgange i F knytter vi altså en lineær afbildning f : F n F m Vi ser at Med andre ord har vi: f a a a m,, f, a n a n a mn Sætning 35 (Søjlereglen Den j te søjlevektor i A er lig med billedet ved f af den j te standard enhedsvektor Af denne sætning fås umiddelbart: Sætning 36 En lineær afbildning f : F n F m er knyttet til netop én m n-matrix A Eksempel 37 Lad afbildningen f : R R være givet ved f ( ( x x + y y x y Vi vil undersøge, om denne afbildning er lineær Er f lineær, må den tilhørende matrix ifølge søjlereglen være ( A 4

17 3 Lineære afbildninger Men den til A hørende lineære afbildning g : R R er så g ( x y ( x + y x y Det ses umiddelbart, at afbildningerne f og g er forskellige, og derfor er f ikke lineær Idet a j betegner den j te søjlevektor i A kan Sætning 35 udtrykkes: For en vektor a j a j a m j f (e j a j, j n x x i R n finder vi så følgende udtryk for f (x: x a x + + a n x n f x n a m x + + a mn x n altså x x n a x a n x n + + a m x a mn x n a a m + + x n f (x x a + + x n a n a n a mn Eksempel 38 Den lineære afbildning f fra Eksempel kan skrives f x x x 3 x 4 x 5 ( x 5 + x ( 5 ( ( x 3 + x 4 8, + x 5 ( 3 5

18 Lineære afbildninger og matricer Den identiske afbildning på F n, dvs den afbildning e : F n F n for hvilken e(x x for alle x F n, er lineær, idet den er givet ved n n-enhedsmatricen E Den næste sætning viser at man lige så godt kunne have defineret begrebet lineær afbildning på en anden måde Man kunne nemlig have valgt at lade L og L nedenfor være definitionen af hvad det vil sige at en afbildning er lineær Bemærk at en sådan definition ikke ville henvise til begrebet matrix Sætning 39 Lad f : F n F m være en lineær afbildning Da gælder L: f (λx λf (x for alle x F n, λ F L: f (x + y f (x + f (y for alle x, y F n Hvis omvendt f : F n F m er en afbildning, så L og L er opfyldt, da er f en lineær afbildning Bevis Antag først, at f er lineær, og lad A være den tilhørende m n-matrix Idet a,, a n betegner søjlevektorerne i A gælder for en vilkårlig vektor i F n, at x x x n f (x x a + + x n a n Men da gælder λx λx λx n f (λx λx a + + λx n a n λ(x a + + x n a n λf (x Dette viser, at L er opfyldt For at vise at L er opfyldt bemærker vi, at der for vilkårlige vektorer x x n y x, y y n 6

19 3 Lineære afbildninger gælder, at og derfor er x + y x + y, x n + y n f (x + y (x + y a + + (x n + y n a n x a + y a + + x n a n + y n a n (x a + + x n a n + (y a + + y n a n f (x + f (y Dette viser, at L er opfyldt Antag nu omvendt at f : F n F m er en afbildning, så L og L er opfyldt Sæt a j f (e j, lad A være m n-matricen A ( a a n, og lad g : F n F m være den lineære afbildning, der er knyttet til A Der gælder g(x x a + + x n a n x f (e + + x n f (e n f (x e + + f (x n e n (her benyttes L f (x e + + x n e n (her benyttes L f (x Dette viser, at afbildningen f er lig med afbildningen g, og dermed at f er lineær Se figur 3 for en grafisk illustration af Sætning 39 Vi slutter med følgende Sætning 3 Hvis f : F n F m er en lineær afbildning knyttet til matricen A (a i j m,n gælder, at a i j f (e j e i, i m, j n Bevis Hvis a j er den j te søjlevektor i A gælder (overvej, at a j a m j a i j a j e i Men da a j f (e j ifølge søjlereglen fås heraf, at a i j f (e j e i 7

20 Lineære afbildninger og matricer f f (x f (x x x + y f (x + y f (x + f (y x y f (x f (y Figur 3: Sætning 39 En lineær afbildning f : R R opfylder at f (λx λf (x og f (x + y f (x + f (y for alle x, y R og λ R 4 Matrix algebra Vi vil nu definere 3 regneoperationer for matricer: multiplikation med skalar, addition og multiplikation For defineres a a n A (a i j a m a mn λa λa n λa (λa i j, λa m λa mn dvs en skalar ganges med en matrix ved at gange hver indgang med den pågældende skalar For a a n b b n A, B, a m a mn b m b mn 8

21 4 Matrix algebra hvor A og B begge er m n matricer, defineres a + b a n + b n A + B (a i j + b i j, a m + b m a mn + b mn dvs to matricer af samme størrelse lægges sammen ved at lægge de enkelte indgange sammen parvis For a a p b b n A, B a m a mp, b p b pn hvor A er en m p-matrix, og B er en p n-matrix, defineres C A B, som den m n- matrix for hvilken eller anderledes udtrykt c i j c c n C c m c mn, c i j a i b j + + a ip b p j, i m, j n, p a ik b k j k A[i, ] B[, j], i m, j n Se også figur 4 for en grafisk illustration af matrixmultiplikation Bemærk, at for at produktet A B skal være defineret skal antallet af søjler i A være lig med antallet af rækker i B Eksempel 4 Hvis ( 3 A 4 ( 4, B 3, er ( 3A ( 8, B 4 6 (, 3A + B

22 Lineære afbildninger og matricer B : p rækker n søjler a i b j a ik b k j b b j b n b k b k j b kn b p b p j b pn a ip b p j a a k a p a i a ik a ip a m a mk a mp c c j c n c i c i j c in c m c m j c mn A : m rækker p søjler C A B : m rækker n søjler Figur 4: Matrixmultiplikation Eksempel 4 Hvis a a ( A a a b b og B b a 3 a b 3 er en 3 -matrix hhv -matrix er a b + a b a b + a b A B a b + a b a b + a b a 3 b + a 3 b a 3 b + a 3 b Eksempel 43 Vi udregner et produkt af en 3-matrix og en 3 4-matrix Den resulterende matrix bliver en 4-matrix ( ( 8 3 6

23 4 Matrix algebra Eksempel 44 ( ( ( ( ( ( Sætning 45 For matrixregning gælder følgende regneregler: M: (A + B + C A + (B + C M: A + A M3: A + ( A M4: A + B B + A M5: λ(a + B λa + λb M6: (λ + µa λa + µa M7: (λµa λ(µa M8: A A M9: λ(a B (λa B A (λb M: A (B + C A B + A C M: (A + B C A C + B C M: (A B C A (B C Her er nulmatricen, og A ( A den matrix, der fremgår af A ved at skifte fortegn for alle elementer i A Sidstnævnte matrix kaldes A s modsatte matrix Bemærk, at det er et krav, at operationerne i M-M skal være definerede, det vil sige at de relevante matricer har passende størrelser Reglerne bevirker, at man stort set kan regne med matricer som med tal, men med to betydningsfulde forskelle Man kan ikke umiddelbart dividere med en matrix, og der gælder normalt ikke A B B A

24 Lineære afbildninger og matricer hvilket ses af Eksempel 44 Faktorernes orden er altså ikke ligegyldig for matrixmultiplikation Derimod kan man udelade parenteser ved produkt af 3 eller flere matricer, hvilket er en konsekvens af den vigtige regel M, den såkaldte associative regel for matrixmultiplikation Bevis De første regneregler er alle simple at vise For at vise M indfører vi elementære matricer I j,k, hvor der er på plads ( j, k og ellers En vilkårlig m n-matrix A kan derfor skrives A j,k a jk I j,k, hvor alle de indgående elementære matricer er m n Der gælder åbenbart for elementære matricer (der kan multipliceres I j,k I m,n δ km I j,n, hvor δ km { k m ellers (δ km defineret på denne måde kaldes ofte Kroneckers delta Det følger nu, at ( (A B C a jk I j,k b mn I m,n c rs I r,s j,k m,n r,s j,k m,n r,s A (B C ( a jk I j,k bmn I m,n crs I r,s a jk b mn c rs I j,k j,k j,k m,n r,s og derfor er (A B C A (B C, såfremt ( ( I j,k I m,n I r,s I j,k I m,n I r,s Af reglen for produkt af elementære matricer følger, at a jk b mn c rs (I j,k I m,n I ( I j,k I m,n I r,s δ km I j,ni r,s δ km δ nr I j,s, I I I j,kδ nr I m,s δ nr I j,ki m,s δ nr δ km I j,s, j,k ( m,n I r,s ( I m,n I r,s r,s,, og det viser det ønskede

25 4 Matrix algebra Lad f : F n F m være en lineær afbildning knyttet til m n-matricen a a n A a m a mn Der gælder da x a x + + a n x n f a m x + + a mn x n Hvis vi skriver vektorer i F n som søjlematricer x n x X kan ( udtrykkes ved hjælp af matrix multiplikation på følgende måde: x n f (X A X, ( eller mere udførligt x a a n x f x n a m a mn x n Vi skal nu se, at matrix multiplikation hænger nøje sammen med sammensætning af lineære afbildninger Først et eksempel: Eksempel 46 Lad de lineære afbildninger f : R R 3 hhv g : R R være givet ved matricerne ( A, hhv B 3 3 Vi vil beregne den sammensatte afbildning h f g : R R 3 Der gælder ( ( ( ( x x x x + x h f g f (g f x x x x + x (x + x ( x + x 4x x (x + x + ( x + x 4x + x 3 (x + x + 3 ( x + x 3x + 6x Vi ser altså at den sammensatte afbildning h f g er lineær, og at den er givet ved 3 -matricen 4 C

26 Lineære afbildninger og matricer Ved udregning ses, at C A B Sætning 47 Lad f : F p F m og g : F n F p være lineære afbildninger Den sammensatte afbildning h f g : F n F m er da ligeledes lineær Hvis f svarer til m p- matricen A og g svarer til p n-matricen B, da svarer h f g til m n-matricen C A B Bevis Da f : Y A Y, g : X B X er f g : X A (B X (A B X, idet vi benytter den associative regel for matrixprodukt Men heraf følger, at f g er den lineære afbildning, der svarer til matricen A B Sætning 48 Idet A er en m n-matrix gælder E m,m A A E n,n A Bevis Dette ses ved en simpel udregning, men følger også umiddelbart ved at opfatte A og E m,m hhv E n,n som matricer for lineære afbildninger For en n n-matrix A og et naturligt tal k defineres den k te potens af A k af A ved Specielt bemærkes, at A A A k A A (k faktorer Vi bemærker igen, at matrixproduktet ikke er kommutativt, idet der for to n n- matricer A og B i almindelighed gælder, at A B B A For diagonalmatricer er matrixmultiplikation særlig overskuelig Hvis A λ og B µ er λ n µ A B λ λ n µ n µ n 4

27 4 Matrix algebra Eksempel 49 Vi ser igen på fabrikken fra Eksempel 34 Råvarerne Y, Y og Y 3 fremstilles af fabrikken selv ud fra to andre råvarer Z og Z Om denne produktion gælder, at { enhed af Z produktion af en enhed af Y kræver, enhed af Z og og produktion af en enhed af Y kræver produktion af en enhed af Y 3 kræver { 4 enheder af Z 3 enheder af Z, { enheder af Z enheder af Z Ved denne produktion beskrives den fremstillede mængde af varerne Y, Y og Y 3 ved produktionssættet (y, y, y 3 og den hertil forbrugte mængde af Z og Z beskrives ved forbrugssættet (z, z Mellem disse to sæt gælder følgende sammenhæng: z y + 4y + y 3 z y + 3y Hvis g : R 3 R betegner den afbildning, der til sættet (y, y, y 3 knytter det tilhørende sæt (z, z, ser vi, at y ( ( g y z y + 4y + y 3, z y y + 3y 3 og dermed, at g er en lineær afbildning knyttet til 3-matricen ( 4 3 Idet vi stadig benytter betegnelserne fra Eksempel 34 ser vi, at den sammensatte afbildning g f : R R knytter produktionssættet (x, x for varerne X og X til forbrugssættet (z, z for råvarerne Z og Z Ifølge Sætning 47 er den sammensatte afbildning g f lineær, og den er knyttet til produktmatricen Heraf sluttes ( 4 3 ( z z ( 55 9 ( 55 9 ( x, x 5

28 Lineære afbildninger og matricer eller z x + 55x z 9x + x 5 Invers matrix Vi skal i dette afsnit se hvornår vi kan give mening til division med en matrix Vi ser først på den omvendte til en bijektiv lineær afbildning Der gælder: Sætning 5 Lad f : F n F n være en bijektiv lineær afbildning Den omvendte afbildning f : F n F n er ligeledes lineær Bevis Vi viser, at f opfylder L og L fra Sætning 39 Først L: Lad λ F og y F n, og sæt x f (y, hvoraf y f (x Der gælder så f (λy f (λf (x f (f (λx λx λf (y, altså gælder L Dernæst L: Lad y, y F n, og sæt x f (y, x f (y, hvoraf y f (x, y f (x Der gælder f (y + y f (f (x + f (x f (f (x + x x + x f (y + f (y, altså gælder L Undervejs har vi adskillige gange benyttet at f er lineær Definition 5 En n n-matrix A kaldes regulær (eller invertibel, hvis den tilhørende lineære afbildning f : F n F n er bijektiv I givet fald kaldes den til f hørende n n- matrix for den inverse til A og betegnes A Eksempel 53 Vi betragter afbildningen f : R 3 R 3 givet ved x x + x 3 f x x + x x 3 x x 3 Denne afbildning er lineær, idet den er givet ved matricen A At f er bijektiv vil sige, at ligningen f (x y har netop en løsning x R 3 for hvert y R 3 I koordinater betyder denne ligning x + x 3 y x + x y x x 3 y 3 6

29 5 Invers matrix Ved addition af første og sidste ligning efterfulgt af division med ses, at x (y + y 3, der ved indsættelse i første og anden ligning giver x y + y y 3 x 3 y y 3 Det ses heraf (samt ved at gøre prøve, at der for hvert y R 3 findes netop et x R 3 så y f (x, altså er f bijektiv og dermed er matricen A regulær Af de fundne udtryk for x, x, x 3 ses, at y x f : y x y 3 x 3 Den tilhørende matrix A kan herefter nedskrives: A y + y 3 y + y y 3 y y 3 Det bemærkes, at vi senere vil finde mere effektive metoder til at afgøre om en kvadratisk matrix er regulær, og i givet fald finde dens inverse Sætning 54 Der gælder følgende: ( Enhedsmatricen E er regulær, og E E ( Hvis A er regulær, er A regulær, og (A A (3 Hvis A er regulær er A A A A E (4 Hvis A og B er regulære, da er A B regulær, og (A B B A 7

30 Lineære afbildninger og matricer Bevis ( følger umiddelbart af, at den identiske afbildning er bijektiv, og har sig selv til invers ( følger af, at hvis en afbildning f er bijektiv, da er f bijektiv, og (f f (3 følger af, at hvis f er en bijektiv afbildning, da er f f og f f begge lig med den identiske afbildning (4 følger af, at hvis afbildningerne f og g er bijektive, da er f g bijektive, og (f g g f, jvf A for en nærmere omtale af disse ting Lad os herefter se på hvornår diagonalmatricer er regulære Lad A λ være en diagonalmatrix Den til A hørende lineære afbildning er λ n x λ x f x n λ n x n Det ses umiddelbart, at f er bijektiv netop når tallene λ,,λ n alle er forskellige fra, og i givet fald er den omvendte afbildning givet ved f Af dette slutter vi umiddelbart følgende: y λ y y n λ n y n Sætning 55 En diagonalmatrix λ λ n er regulær netop når alle diagonalelementerne er forskellige fra nul I givet fald er λ λ λ n For en n n-matrix A har vi defineret den k te potens for hvert naturligt tal k Hvis A er regulær definerer vi for hvert naturligt tal k den negative potens A k ved A k (A k, λ n 8

31 6 Transponeret og adjungeret matrix og vi sætter endvidere A E Herved har vi opnået, at A k er defineret for alle hele tal k Det er ikke svært at se, at A k A k A k +k for alle hele tal k, k Vi slutter med en nyttig sætning, som vi senere (Sætning 66 skal bevise en forbedret udgave af Sætning 56 Hvis A og B er n n-matricer, således at A B E og B A E, da er A (og B regulær, og A B (og B A Bevis Lad f, g : F n F n være de lineære afbildninger der hører til A, hhv B Da er f g id F n og g f id F n, hvoraf fås (A, at f (og g er bijektiv, og f g (og g f Dette viser, at A er regulær, og A B 6 Transponeret og adjungeret matrix For en given m n-matrix a a n A a m a mn definerer vi den transponerede matrix A t som den n m-matrix hvorom det gælder, at Vi har altså a A t a m a n a nm a i j a ji, i n, j m a a m A t a n a mn 9

32 Lineære afbildninger og matricer Matricen A t opstår ud fra A ved at skrive første række i A som første søjle i A t, anden række i A som anden søjle i A t, osv Der gælder derfor A t [i, j] A [ j, i] Vi definerer desuden den adjungerede matrix A ved A A t 3 Bemærk at hvis A er reel er A t A Eksempel 6 Hvis A er 3 -matricen er A t givet ved 3-matricen a a A a a a 3 a 3 ( A t a a a 3 a a a 3 og A givet ved 3-matricen ( A a a a 3 a a a 3 Eksempel 6 Hvis ( A er Hvis A t X er en søjlematrix, er X t rækkematricen givet ved x x n X t (x x n 3 Den konjugerede matrix B af en matrix B er den matrix man får ved at komplekst konjugere alle indgangene i B For en reel matrix gælder der dermed at B B Bemærk også at (B t (B t 3

33 6 Transponeret og adjungeret matrix Hvis x x n y X, Y er to søjlematricer, er skalarproduktet af vektorerne x X og y Y givet ved x y X t Y Om transponering og adjungering af matricer gælder: Sætning 63 For en vilkårlig m n matrix A gælder y n (A t t A (A A Bevis Dette følger af udregningen (A t t [i, j] A t [ j, i] A [i, j] (A [i, j] A [ j, i] A [i, j] A [i, j] Sætning 64 Idet A og B er vilkårlige m p- hhv p n-matricer gælder (A B t B t A t (A B B A Bevis Dette følger af udregningerne (A B t [i, j] (A B [ j, i] A [ j, ] B [, i], (B t A t [i, j] B t [i, ] A t [, j] B [, i] A [ j, ] A [ j, ] B [, i] samt at C D C D for vilkårlige m p- hhv p n-matricer C, D Sætning 65 Hvis A er en regulær n n-matrix, da er den transponerede (adjungerede A t (A ligeledes regulær, og der gælder (A t (A t, (A (A 3

34 Lineære afbildninger og matricer Bevis Idet fås af Sætning 64 at A A E og A A E A t (A t (A A t E t E og (A t A t (A A t E t E Herefter følger resultatet af Sætning 56 Påstanden for A følger på samme måde Definition 66 Lad f : F n F m være en lineær afbildning hørende til m n-matricen A Ved den transponerede lineære afbildning til f forstås den lineære afbildning f t : F m F n, der hører til den transponerede matrix A t Ved den adjungerede lineære afbildning (eller den konjugerede transponerede lineære afbildning til f forstås den lineære afbildning f : F m F n, der hører til den adjungerede matrix A Om adjungeret lineær afbildning mellem F n og F m gælder følgende vigtige sætning: Sætning 67 Lad f : F n F m være en lineær afbildning Der gælder da f (x y x f (y ( for alle vektorer x F n og alle vektorer y F m Er endvidere g : F m F n en afbildning for hvilken f (x y x g(y ( for alle vektorer x F n og alle vektorer y F m, da er g f Bevis Idet vi skriver vektorerne x og y som søjlematricer X og Y fås f (x y (A X t Y (X t A t Y X t (A t Y x f (y Dette viser at ( er opfyldt Antag at g : F m F n er en lineær afbildning, der opfylder ( for alle vektorer x F n og alle vektorer y F m Da er f (x y f (x y x g(y x f (y x (g(y f (y for alle vektorer x F n og alle vektorer y F m Specielt for x g(y f (y fås g(y f (y, hvoraf g(y f (y for alle y F m, og det viser, at g f En matrix A (a i j m,n kaldes symmetrisk, hvis A t A Dette er ensbetydende med at m n, og a i j a ji for alle i, j n En lineær afbildning f kaldes symmetrisk hvis den tilhørende matrix er symmetrisk Dette er ensbetydende med at f t f 3

35 6 Transponeret og adjungeret matrix En matrix A (a i j m,n kaldes hermitisk, hvis A A Dette er ensbetydende med at m n, og a i j a ji for alle i, j n En lineær afbildning f kaldes selvadjungeret hvis den tilhørende matrix er hermitisk Dette er ensbetydende med at f f Eksempel 68 Følgende matricer er symmetriske (, Eksempel 69 Følgende matricer er hermitiske ( i, i 3, 3 + i 4i 3 i 3 4i 4, Af Sætning 67 fås umiddelbart Sætning 6 For en selvadjungeret lineær afbildning f : F n F n gælder f (x y x f (y for alle vektorer x F n og alle vektorer y F n 33

36

37 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer I dette kapitel skal vi se hvordan man ved at manipulere med matricer får et meget kraftfuldt værktøj til at løse lineære ligningssystemer Vi skal udvikle en teknik hvor man helt maskinelt kan afgøre om m lineære ligninger med n ubekendte har løsninger, og i givet fald finde dem Række- og søjleoperationer En given m n-matrix a a n A a m a mn kan omformes til en ny m n-matrix ved hjælp af de såkaldte række- og søjleoperationer Vi ser først på rækkeoperationer Af sådanne er der tre typer, nemlig Type M: Multiplikation af en række med et tal c Type B: Ombytning af to rækker Type S: Addition af et multiplum af en række til en anden række (Her hentyder M til multiplikation, B til byt og S til sum Eksempel Vi viser nu eksempler på de tre typer rækkeoperationer, og demonstrerer samtidig hvorledes rækkeoperationer angives Først multipliceres første række i den nedenfor givne matrix med, dernæst ombyttes første og anden række og endelig adderes den anden række multipliceret med til første række: ( 4 ( 3 3 ( ( 3 R 3 35

38 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Eksempel To (eller flere operationer, der ikke influerer på hinanden (dvs er ombyttelige kan udføres i samme skridt: 3 R R 5 9 Til hver rækkeoperation svarer en omvendt rækkeoperation: Den omvendte til den rækkeoperation, der består i at multiplicere den række med en konstant c, er den rækkeoperation, der består i at multiplicere samme række med c Den rækkeoperation, der består i at ombytte to rækker, har sig selv til omvendt rækkeoperation Den omvendte til den rækkeoperation, der består i at multiplicere en række med en konstant c og addere den til en anden række, er den rækkeoperation, der består i at multiplicere den samme række med c og addere den til samme anden række Hvis man udfører en rækkeoperation på en matrix, og på den fremkomne matrix dernæst udfører den omvendte rækkeoperation, kommer man tilbage til den oprindelige matrix Eksempel 3 Vi udfører de omvendte til de i Eksempel udførte rækkeoperationer, og kommer herved tilbage til den oprindelige matrix: ( ( 3 +R 3 ( ( Tilsvarende er der tre typer søjleoperationer, nemlig Type M: Multiplikation af en søjle med et tal c Type B: Ombytning af to søjler Type S: Addition af et multiplum af en søjle til en anden søjle Eksempel 4 Vi viser nu eksempler på de tre typer søjleoperationer, og demonstrerer samtidig hvorledes søjleoperationer angives: ( ( ( ( S 36

39 Trappematricer Trappematricer I sidste afsnit så vi hvordan man kan ændre på en matrix ved hjælp af rækkeoperationer I dette afsnit skal vi klargøre hvilken ændret form af matricen vi dermed prøver at opnå Lad A (a i j m,n være en m n-matrix Definition Matricen A kaldes en trin- matrix, hvis den har formen a A, hvor a, og hvor betyder, at der på de pågældende pladser kan stå vilkårlige tal Tallet a kaldes da for matricens første trin Positionen (i, j for første trin i en trin- matrix er (, j for j n Matricen A, der fremkommer af A ved at slette første række kaldes restmatricen for trin- matricen A Hvis restmatricen A også er en trin- matrix kaldes A for en trin- matrix I givet fald kaldes første trin i A for andet trin i A Positionen (i, j for andet trin i en trin- matrix er (, j for j < j n Restmatricen A for trin- matricen A kaldes også restmatricen for trin- matricen A Tilsvarende defineres trin-3, trin-4, matricer Matricen A kaldes en trappematrix, hvis den er en trin-d matrix for et d,,3,, og hvis den tilsvarende restmatrix enten er tom (dvs uden elementer eller en nulmatrix Hvis A er en trappematrix kaldes tallene j < < j d for trinpositionerne for A Vi definerer nulmatricen til at være en trappematrix Eksempel Følgende matricer er trin- matricer Første trin er indrammet Det ses, at j, hhv j De tilhørende restmatricer er ,,

40 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Eksempel 3 Følgende matricer er trin- matricer Trinnene er indrammet Det ses, at j og j 3, hhv j og j , Eksempel 4 Følgende matricer er (trin-3 hhv trin-4 trappematricer Trinnene er indrammet Det ses, at j, j 3 og j 3 6, hhv j, j 4, j 3 5 og j , For at afgøre om en given matrix er en trin- matrix opsøger man altså første søjle, a der ikke er nulsøjlen Har denne søjle formen er matricen en trin- matrix Man kan så danne restmatricen, og undersøge om den er en trin- matrix Er dette tilfældet kan man fortsætte, og ender man til sidst med en nulmatrix eller den tomme matrix, er den givne matrix en trappematrix Nedenstående Sætning 8 siger, at enhver matrix ved hjælp af rækkeoperationer kan omformes til en trappematrix Vi giver først et par eksempler på, at det er tilfældet Som det vil fremgå af det følgende, er man normalt interesseret i, at trinnene i en trappematrix har værdien, og det kan man naturligvis altid opnå (ved hjælp af rækkeoperationer af Type M Eksempel 5 En matrix omdannes til en (trin- trappematrix ved hjælp af rækkeoperationer: 38

41 Trappematricer R +R Eksempel 6 En matrix omdannes til en (trin-4 trappematrix ved hjælp af rækkeoperationer: R R R 3 8 3R 3 Eksempel 7 Vi omformer en kompleks matrix til en trin- trappematrix i + i + i + i + i i ir i i R +ir i som er på trappeform 39

42 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Sætning 8 Enhver m n-matrix kan ved hjælp af rækkeoperationer omformes til en trappematrix Beviset nedenfor viser desuden at en reel matrix kan omformes til en reel trappematrix For en ikke reel matrix kan man ikke på forhånd afgøre om en tilhørende trappematrix bliver reel eller ej I Eksempel 7 ovenfor er den trappereducerede reel, men dette gælder ikke for alle ikke-reelle matricer Bevis Lad A (a i j m,n være den givne matrix Vi kan antage, at A ikke er nulmatricen Lad j være det mindste tal, så den j te søjle ikke er nulsøjlen Vi sørger først for, at a j, ved om nødvendigt at foretage en rækkeombytning Det kan lade sig gøre, da den j te søjle ikke er nul Dernæst skaffer vi nuller under a j ved at addere række multipliceret med a j a til række, række multipliceret med a 3 j j a til 3 række etc j På denne måde bliver A omdannet til en trin- matrix Idet rækkeoperationer, der ikke involverer række, i en trin- matrix ikke ødelægger, at matricen er en trin- matrix, kan vi nu behandle restmatricen A på samme måde, og når herved frem til en trin- matrix Således fortsættes, indtil restmatricen enten er tom eller en nulmatrix, og den fremkomne matrix er en trappematrix For at omdanne en given matrix til en trappematrix opsøges altså den første søjle forskellig fra nul, og ved hjælp af rækkeoperationer omdannes matricen til en matrix, der har nuller i denne søjle, undtagen på første plads Herved er fremkommet en trin- matrix Restmatricen behandles nu på samme måde, og fortsættes på den måde fremkommer til sidst en trappematrix Bemærk, at antallet d af trin i en m n-matrix trappematrix naturligvis altid er mindre end eller lig med både række- og søjleantallet Der gælder, at m d netop hvis sidste række ikke er en nulrække, og d n netop hvis der om trinpositionerne gælder, at j, j,, j d n d Definition 9 En reduceret trappematrix er en trappematrix, således at trinnene alle har værdien, og således, at der er nuller ikke blot under, men også over trinnene Sætning Enhver m n-matrix kan ved hjælp af rækkeoperationer omformes til en reduceret trappematrix Bevis Det drejer sig om at vise, at en trappematrix kan omformes til en reduceret trappematrix (Sætning 8 Først skaffes -taller i trinnene ved rækkeoperationer af type M Dernæst begynder vi bagfra, idet der først skaffes nuller over sidste trin 4

43 3 Lineære ligningssystemer ved hjælp af rækkeoperationer af Type S Dette influerer ikke på de søjler, der står til venstre for den søjle, der indeholder sidste trin, og de rækker der står under den række, der indeholder sidste trin Herefter fortsættes på samme måde med næstsidste trin, og vi ender til slut med en reduceret trappematrix Eksempel Matricen fra Eksempel 5 videreomformes til en reduceret trappematrix: 4 5 4R Eksempel Matricen fra Eksempel 6 videreomformes til en reduceret trappematrix: +R 4 +R 4 R 4 +R R 3 R 3 3 Lineære ligningssystemer Vi skal nu se hvordan vi kan formulere lineære ligningssystemer ved hjælp af matricer, og hvordan man kan bruge række-operationer til at finde løsninger til ligningssystemet hvis sådanne løsninger findes Et lineært ligningssystem med m ligninger og n ubekendte er et antal ligninger på formen a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b a m x + a m x + + a mn x n b m En løsning til ligningssystemet er et talsæt (x, x,, x n, som tilfredsstiller alle ligningssystemets ligninger Mængden af alle løsninger kaldes løsningsmængden Hvis alle b i -erne er lig med kaldes ligningssystemet homogent, ellers kaldes det inhomogent ligningssystem Et homogent ligningssystem har altid løsningen (x,, x n (,, 4

44 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Eksempel 3 Ligningssystemet x 3x + x 3 x + x x 3, 3x + x + x 3 3 der består af 3 ligninger med 3 ubekendte, er inhomogent Det tilhørende homogene ligningssystem er Matricen x 3x + x 3 x + x x 3 3x + x + x 3 a a a n a a a n A a m a m a mn kaldes for ligningssystemets koefficientmatrix Tilføjes søjlematricen b B der kaldes ligningssystemets konstantsøjle efter sidste søjle i A, fås ligningssystemets totalmatrix b m, a a a n b C, a m a m a mn b m der er en m (n + -matrix Bemærk, at C kan skrives som blokmatricen ( C A B Det er klart, at enhver m (n + -matrix C kan opfattes som totalmatrix for et lineært ligningssystem med m ligninger og n ubekendte Eksempel 3 Totalmatricen for det inhomogene ligningssystem fra Eksempel 3 er

45 3 Lineære ligningssystemer Af hensyn til overskueligheden er der her sat en skillelinie mellem ligningssystemets koefficientmatrix og dets konstantsøjle Sætter vi ser vi, at ligningssystemet kan skrives x X x n, A X B Sætning 33 Hvis det om totalmatricerne for to lineære ligningssystemer gælder, at den ene fremgår af den anden ved udførelse af rækkeoperationer, da har de to lineære ligningssystemer samme løsningsmængde Bevis Vi illustrerer sætningen på et ligningssystem bestående af 3 ligninger med 4 ubekendte Vi skriver totalmatricen under ligningssystemet: a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 b a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 b a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 + a 34 x 4 b 3 a a a 3 a 4 b a a a 3 a 4 b a 3 a 3 a 33 a 34 b 3 ( Hvis vi udfører en rækkeoperation af type M på totalmatricen, feks multiplicerer vi tredie række med c, får vi følgende ligningssystem og totalmatrix a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 3 b a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 3 b ca 3 x + ca 3 x + ca 33 x 3 + ca 34 x 3 cb 3 a a a 3 a 4 b a a a 3 a 4 b ca 3 ca 3 ca 33 ca 34 cb 3 ( Det er klart, at de to ligningssystemer ( og ( har samme løsningsmængde; ligningen ( fremkommer jo fra ligningen ( ved multiplikation af tredie ligning med c 43

46 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Hvis vi udfører en rækkeoperation af type B på totalmatricen, svarer det til at to af ligningerne ombyttes, og det ændrer naturligvis ikke på løsningsmængden Hvis vi udfører en rækkeoperation af type S på totalmatricen, feks multiplicerer vi tredie række med c og adderer den til første række, får vi følgende ligningssystem og totalmatrix (a + ca 3 x + (a + ca 3 x + (a 3 + ca 33 x 3 + (a 4 + ca 34 x 4 b + cb 3 a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 b a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 + a 34 x 4 b 3 ( a + ca 3 a + ca 3 a 3 + ca 33 a 4 + ca 34 b + cb 3 a a a 3 a 4 b a 3 a 3 a 33 a 34 b 3 Igen er det klart, at en løsning til ligningen ( også er løsning til ligningen ( ; den sidste ligning i ( er jo blot multipliceret med c og adderet til den første ligning Omvendt er en løsning til ( også løsning til (, idet ( jo fremkommer fra ( ved at multiplicere tredie ligning med c og trække den fra første ligning Vi vil nu give en række eksempler på, hvorledes man ved hjælp af Sætning 33 på behændig måde kan løse lineære ligningssystemer Fremgangsmåden er, at man omdanner det givne lineære ligningssystems totalmatrix til en trappematrix Eksempel 34 Vi vil bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem x 3x + x 3 x + x x 3 3x + x + x 3 3 Vi opskriver totalmatricen for ligningssystemet, og omdanner denne til en trappematrix ved hjælp af rækkeoperationer: R R 3 +5R

47 3 Lineære ligningssystemer Vi opskriver herefter ligningssystemet, der har den herved fremkomne matrix til totalmatrix: x x + x 3 x + x 3 3 x 3 4 Heraf aflæses, at x 3 4 Dette indsættes så i den anden ligning, og vi finder x 4 3, hvoraf x, og indsættes så endelig i den første ligning fås x 4, hvoraf x 3 Vi slutter altså, at ligningssystemet har netop en løsning, nemlig (x, x, x 3 (3,, 4 Eksempel 35 Vi vil bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem x x 5x 3 3 x + 3x + 8x 3 4 x + 6x + 4x 3 Vi opskriver totalmatricen for ligningssystemet, og omdanner denne til en trappematrix ved hjælp af rækkeoperationer: R 6 4 +R 4 4 +R Vi opskriver så ligningssystemet, der har den herved fremkomne matrix til totalmatrix: x + x + 5x 3 3 x + x 3 Her har vi kun nedskrevet ligningerne, der kommer fra de to første rækker; den sidste række giver jo ligningen, og den kan vi derfor se bort fra Det ses, at for hvert valg af en værdi t af x 3 har systemet en løsning (x, x, x 3, nemlig x x 3 t og x 3 x 5x 3 3 ( t 5t t Løsningsmængden er altså x x x 3 t t t t R Vi siger, at løsningsmængden er beskrevet ved en parameterfremstilling med parameter t Bemærk, at en løsning også kan skrives x x + t x 3 45

48 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Eksempel 36 Vi vil bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem x x 5x 3 3 x + 3x + 8x 3 4 x + 6x + 4x 3 5 Dette ligningssystem har samme koefficientmatrix som ligningssystemet i Eksempel 35, men konstantsøjlen er en anden Vi opskriver igen totalmatricen for ligningssystemet, og omdanner denne til en trappematrix ved hjælp af de samme rækkeoperationer som i Eksempel 35: R +R R Vi opskriver så ligningssystemet, der har den herved fremkomne matrix til totalmatrix: x + x + 5x 3 3 x + x 3 5 Da den sidste ligning aldrig er opfyldt, idet venstresiden altid er, har ligningssystemet ingen løsninger Eksempel 37 Vi vil bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem 4x 6y + z x 3y + z Vi opskriver totalmatricen for ligningssystemet, og omdanner denne til en trappematrix: ( 4 6 ( ( R Vi opskriver så ligningssystemet, der har den herved fremkomne matrix til totalmatrix: x 3y + z Sætter vi her z t og y s fås x 3s + t, hvoraf x + 3 s t Der gælder altså, at der for hvert valg af en værdi t af z og en værdi af s af y findes en løsning (x, y, z, nemlig x + 3 s t y s z t + s + t 3 46

49 3 Lineære ligningssystemer Vi siger, at løsningsmængden er beskrevet ved en parameterfremstilling med parametrene (s, t Eksempel 38 Vi vil bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem x 3 x 4 + 8x 5 3 x x + 3x 3 + x 4 + x 5 3x 6x + x 3 + 6x 4 + 5x 5 7 Vi opskriver totalmatricen for ligningssystemet og omdanner denne til en trappematrix ved hjælp af rækkeoperationer: R R Vi opskriver så ligningssystemet, der har den herved fremkomne matrix til totalmatrix: x x + 3x 3 + x 4 + x 5 x 3 + x 5 3 x 4 4x 5 7 Sætter vi her x 5 t, ses at x t og x 3 3 t Sætter vi videre x t ses, at x t +3( 3 t +(7+4t +t, hvoraf x 5+t 3t Der gælder altså, at der for hvert valg af en værdi t af x 5 og en værdi t af x findes en løsning (x, x, x 3, x 4, x 5, nemlig x x x 3 x 4 x t 3t t 3 t 7 + 4t t t + t Det ses, at løsningsmængden er beskrevet ved en parameterfremstilling med parametrene (t, t

50 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Den i eksemplerne illustrerede metode, der består i at omdanne totalmatricen for et givet lineært ligningssystem til en trappematrix, og hermed opnå et simplere ligningssystem, der har de samme løsninger som det oprindelige, kaldes Gauss-elimination Af og til går man videre og benytter Gauss-Jordan elimination, der består i at omdanne totalmatricen til en reduceret trappematrix Herved opnår man, at løsningsmængden umiddelbart kan opskrives Når man alligevel normalt foretrækker at nøjes med Gausselimination hænger det sammen med, at det samlede skrive- og regnearbejde i reglen er mindre end når der benyttes Gauss-Jordan elimination Eliminationsmetoderne er opkaldt efter den store tyske matematiker CF Gauss ( , og den tyske geodæt W Jordan ( Eksempel 39 Vi ser på ligningssystemet i Eksempel 34 Dets totalmatrix blev i nævnte eksempel omformet til en trappematrix Vi går nu videre og omformer det til en reduceret trappematrix: 3 4 R 3 R 3 Det hertil hørende ligningssystem er 4 x 3 x, x 3 4 +R 3 4 der netop angiver løsningen Eksempel 3 Vi ser på ligningssystemet i Eksempel 38 Dets totalmatrix blev i nævnte eksempel omformet til en trappematrix Vi går nu videre og omformer den til en reduceret trappematrix: R Det hertil hørende ligningssystem nedskrives: x x + 3x 5 5 x 3 + x 5 3 x 4 4x 5 7 3R 48

51 3 Lineære ligningssystemer Indsættes heri x t, x 5 t fås hvoraf vi finder, som ovenfor x t + 3t 5 x 3 + t 3 x 4 4t 7 x x x 3 x 4 x t 3t t 3 t 7 + 4t t, Vi kan opsummere den beskrevne løsningsmetode for lineære ligningssystemer på følgende måde: Lad A være en m n-matrix og B er en søjlematrix, Opskrift 3 (Løsning af lineære ligningssystemer A X B ( Opskriv blokmatricen C A B Omdan ved hjælp af rækkeoperationer C til en trappematrix ( C A B 3 Hvis der er trin i sidste søjle af C er der ingen løsninger 4 Hvis der ikke er trin i sidste søjle og antallet af trin i C er lig antallet af søjler i A er der en entydig løsning som findes ved baglæns substitution (jvf Eksempel 34 5 Hvis der ikke er trin i sidste søjle og antallet af trin i C er mindre end antal søjler i A er der uendeligt mange løsninger Disse findes ved at sættes de variable x j, hvor j ikke er en af trinpositionerne j,, j d lig med parametrene t,, t n d, og dernæst ved baglæns substitution udtrykkes de variable x j,, x jd svarende til trinpositioner, ved parametrene t,, t n d (jvf Eksempel 35, 38 Hvis ligningssystemet har løsninger vil alle trinpositioner i trappematricen svare til variable Disse variable kalder vi de ledende variable Hvis der er variable, der ikke 49

52 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer svarer til trinpositioner kaldes de frie variable Det er de frie variable, der udtrykkes ved parametre i løsningsprocessen Sætning 3 Lad A være en m n-matrix, og antag at A ved hjælp af rækkeoperationer er omdannet til en trappematrix A med d trin Der gælder da: ( Hvis m > d findes der en søjle B, så ligningssystemet A X B ingen løsninger har ( Hvis n > d har ligningen A X en løsningsmængde givet ved parameterfremstilling med n d parametre, og ligningen har altså uendeligt mange løsninger (3 Hvis m n d har ligningssystemet A X B netop en løsning for hvert valg af B Bevis (: Hvis m > d sætter vi B e d+, hvor e d+ er den (d + te standard enhedsvektor Ligningssystemet A X B har da ingen løsninger, idet totalmatricen C ( A B er en trappematrix, der har sidste trin i sidste søjle Udfører vi nu på C de omvendte til rækkeoperationer, der førte A over i A, vil C blive overført i en matrix ( C A B, og det ligningssystem A X B, der har C til totalmatrix, har da heller ingen løsninger Dette viser, at ( gælder ( og (3: Dette følger umiddelbart af ovenstående opsummering af løsningsmetoden for lineære ligningssystemer Eksempel 33 Vi betragter 3 3-matricen (jvf Eksempel 35 og 36 A Denne omdannes ved hjælp af rækkeoperationer til en trappematrix: R +R R 5 5

53 3 Lineære ligningssystemer Idet antallet af trin er mindre end antallet af rækker i matricen findes ifølge Sætning 3 en søjle B b b b 3, så ligningen A X B ingen løsninger har Vi vil finde en sådan søjle B Ligningssystemet, der har totalmatricen 5 har ingen løsninger Vi udfører nu de omvendte rækkeoperationer på denne matrix R R R Ligningssystemet, der har denne matrix til totalmatrix, har heller ingen løsninger Som søjlen B kan vi da bruge Eksempel 34 Vi betragter det lineære ligningssystem Koefficientmatricen er givet ved ix + x x + ( + ix x + x i i + i Vi omformer totalmatricen til en trappematrix i + i i + i i + i i i + i i i i 5

54 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Det tilsvarende ligningssystem er x + ( + ix ( ix Bemærk, at her er både x og x ledende variable, da de svarer til trinpositioner i trappematricen Da der ikke er frie variable, er der ikke brug for parametre og derfor er der højst en løsning I dette tilfælde er der præcis en løsning og den er x i + i 5, x ( + ix 3i 5 Sætning 35 Lad A være en m n-matrix, og antag at A ved hjælp af rækkeoperationer er omdannet til en trappematrix A med d trin Der gælder da: ( Hvis ligningssystemet A X B har mindst en løsning for hvert valg af B, da er d m ( Hvis ligningssystemet A X kun har en løsning (nemlig, da er d n (3 Hvis ligningssystemet A X B har netop en løsning for hvert valg af B, da er d m n Bevis ( og ( følger umiddelbart af ( og ( i den foregående sætning (3 følger af ( og ( 4 Lineære ligningssystemer og lineære afbildninger Vi skal nu drage nogle konklusioner om lineære afbildninger på baggrund af den viden om lineære ligningssystemer vi har opnået i afsnit 3 Lad A være en m n-matrix Et lineært ligningssystem med A som koefficientmatrix har formen A X B, hvor B er en given søjlematrix, og det drejer sig om at finde de søjler X, der tilfredsstiller ligningen Lader vi så f : F n F m være den lineære afbildning der hører til A, og skriver vi x X, b B lyder ligningen f (x b ( ( 5

55 5 Operationsmatricer At ligningen ( har en løsning for hvert valg af B betyder derfor, at f er surjektiv, og at ligningen ( har højst en løsning for hvert valg af B betyder at f er injektiv Endelig er f bijektiv når ligningen ( har netop en løsning for hvert valg af B Om injektivitet af lineære afbildninger gælder følgende Sætning 4 En lineær afbildning f : F n F m er injektiv netop når ligningen f (x o kun har løsningen x o Bevis For en lineær afbildning gælder altid, at f (o o Hvis f er injektiv er det derfor klart, at f (x o medfører at x o Antag omvendt at f (x o medfører at x o Hvis x og x er løsninger til ligningen f (x b, gælder at f (x b f (x, hvoraf o f (x f (x f (x x Men så er x x o ifølge forudsætningen, og dermed er x x Vi har hermed vist, at f er injektiv Bemærk, at vi undervejs benyttede at f er lineær Sætning 4 Lad f : F n F m være en lineær afbildning Der gælder ( Hvis f er surjektiv er m n ( Hvis f er injektiv er m n (3 Hvis f er bijektiv er m n Bevis Lad A være den m n-matrix der er knyttet til f Vi omdanner A til en trappematrix A med d trin (: Hvis f er surjektiv følger det af Sætning 35, at m d n (: Hvis f er injektiv følger det af Sætning 35, at n d m (3: Hvis f er bijektiv er den surjektiv og injektiv, hvoraf m n ( d ifølge ( og ( 5 Operationsmatricer I dette afsnit vil vi definere de såkaldte operationsmatricer, som viser sig nyttige når vi skal finde den inverse til en regulær matrix Definition 5 Ved en operationsmatrix forstås en matrix, der fremkommer ud fra enhedsmatricen ved udførelse af en rækkeoperation Svarende til de tre typer rækkeoperationer er der tre typer operationsmatricer ( Type M: Matricerne M i(c(c, der fremkommer ud fra enhedsmatricen ved multiplikation af i te række med c De tilsvarende rækkeoperationer betegnes M i (c 53

56 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer ( Type B: Matricerne B i j(i j, der fremkommer ud fra enhedsmatricen ved ombytning af i te og j te række (i j De tilsvarende rækkeoperationer betegnes B i j (3 Type S: Matricerne S i j(c(i j, der fremkommer ud fra enhedsmatricen ved addition af j te række multipliceret med c til i te række De tilsvarende rækkeoperationer betegnes S i j (c Disse matricer er alle n n matricer for et eller andet n Det vil fremgå af sammenhængen hvilket n der i en given situation er tale om Eksempel 5 Betragter vi 4 4-matricer er feks c M (c, B 4, c S 4(c Operationsmatricerne kan på simpel måde udtrykkes ved de i afsnit 4 indførte elementære matricer: M i(c E + (c I i,i, B i j E I i,i I j, j + I i, j + I j,i, S i j(c E + ci i, j Sætning 53 Lad A være en m n-matrix Hvis A ved rækkeoperationen P (som er M i (c, B i j eller S i j (c omdannes til B P(A, da er B P A, hvor P er den til P svarende operationsmatrix (som er m m 54

57 5 Operationsmatricer Bevis Da I r,s A a s a sn r, hvor I r,s er en m m-matrix, udregner man umiddelbart, at M i(ca A + (c a i a in i M i (c(a, B i j A A a i a in i a j a jn j + a j a jn i + a i a in j B i j (A, S i j(ca A + c a j a jn i S i j (c(a Sætning 54 Lad A være en m n-matrix Hvis A ved successive rækkeoperationer P,, P k omdannes til B, da er B P k P A, hvor P,, P k er de tilsvarende operationsmatricer (alle m m Bevis Gentagen anvendelse af Sætning 53 Sætning 55 Operationsmatricerne er regulære, og ( M i(c M i ( c, 55

58 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer ( B i j B i j, (3 S i j(c S i j( c Bevis Enhver m n-matrix A omdannes ved hver af operationerne M i ( c Mi (c og M i (c M i ( c til A Ifølge Sætning 54 er derfor A P A P A, hvor P M i ( c M i(c, P M i(cm i ( c Da A P A P A for enhver m n-matrix A (specielt A E m,m, og P, P er uafhængige af A, er P P E m,m Altså er M i ( c M i(c M i(cm i ( c E m,m, og ( følger derfor af Sætning 56 Tilsvarende vises ( og (3 Vi skal kort omtale søjleoperationer og de dertil svarende operationsmatricer Sætning 56 Idet M i (c s, B s i j, S i j(c s betegner de tre typer af søjleoperationer (altså feks S i j (c s den søjleoperation, der består i til i te søjle i A at addere j te søjle i A multipliceret med c gælder: ( Matricen, der fås ud fra enhedsmatricen ved at anvende M i (c s, er M i(c t M i(c ( Matricen, der fås ud fra enhedsmatricen ved at anvende B s i j er B t i j B i j (3 Matricen, der fås ud fra enhedsmatricen ved at anvende S i j (c s er S i j(c t S ji(c Bevis Lad P s være en vilkårlig søjleoperation og P den tilsvarende rækkeoperation Da er P s (E P(E t t P(E t P t, hvor P er operationsmatricen (jvf Definition 5 der svarer til rækkeoperationen P Sætning 57 Lad A være en m n-matrix Hvis A ved successive søjleoperationer Q,,Q k omdannes til B, da er B A Q Q k, hvor Q,,Q k er de tilsvarende operationsmatricer i henhold til Sætning 56 (alle n n Bevis Vi lader P,, P k være de tilsvarende rækkeoperationer Ifølge Sætning 53 vil successive rækkeoperationer P,, P k omdanne A t til B t, hvor B t P k P A t Q k Q t t A t (A Q Q k t Altså er B A Q Q k 56

59 6 Regulære matricer Matrixinversion Eksempel 58 Matricen A ( omdannes ved rækkeoperationerne P S (, P S ( til ( 6 B Dette stemmer med at ( ( P P A S ( S ( A ( 5 ( ( 4 B 5 7 Tilsvarende omdannes A ved søjleoperationerne Q S 3 ( s, Q S ( s til Dette stemmer med at ( C 3 A Q Q A S 3( S ( ( ( C 6 Regulære matricer Matrixinversion Vi har i afsnit 4 set, at hvis f : F n F m er en bijektiv, lineær afbildning, da er m n (Her finder vi forklaringen på, at vi i afsnit 5 kun betragtede bijektive, lineære afbildninger fra F n til F n og ikke fra F n til F m for m n Vi skal i dette afsnit se på hvordan man afgør om en given lineær afbildning f : F n F n er bijektiv, eller, ækvivalent hermed, om en given n n-matrix er regulær (jvf afsnit 5 Desuden skal vi se på, hvorledes man finder den inverse til en regulær matrix 57

60 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Sætning 6 At en n n-matrix A er regulær betyder, at ligningen A X Y har netop en løsning X for hvert valg af søjle Y Bevis Lad f være den til A hørende lineære afbildning At A er regulær betyder ifølge definitionen, at f er bijektiv Men at f er bijektiv betyder at ligningen f (x y har netop en løsning x for hvert valg af y Men hvis x X og y Y betyder f (x y netop at A X Y Bemærk, at hvis A er regulær, da er den entydigt bestemte løsning X til ligningen A X Y givet ved X A Y ; thi A X A (A Y (A A Y E Y Y Sætning 6 Hvis A og A er n n-matricer, og A fremgår af A ved udførelse af rækkeoperationer, da er A regulær netop når A er regulær Bevis Da A fremgår af A ved k rækkeoperationer, er A P k P A P A, hvor P,, P k er operationsmatricer Da en operationsmatrix er regulær ifølge Sætning 55, er også P P k P regulær ifølge Sætning 54 At A og A er samtidigt regulære følger derfor af Sætning 54 Sætning 63 En n n-trappematrix er regulær netop hvis den har n trin Bevis Det følger umiddelbart af afsnit 3 (Sætning 3 og 35 Sætning 64 En n n-matrix er regulær netop når den ved udførelse af rækkeoperationer kan overføres i enhedsmatricen Bevis Hvis den givne matrix kan overføres i enhedsmatricen er den regulær ifølge Sætning 6 Hvis omvendt den givne matrix antages regulær, kan den overføres i en trappematrix, der ifølge Sætning 6 og Sætning 63 må have n trin Men det ses umiddelbart at hvis man omdanner en sådan trappematrix til en reduceret trappematrix, da når man netop frem til enhedsmatricen 58

61 6 Regulære matricer Matrixinversion Sætning 65 Lad f : F n F n være en lineær afbildning Følgende betingelser er ækvivalente: ( f er bijektiv, ( f er surjektiv (3 f er injektiv Bevis Lad A være matricen knyttet til f Vi omformer A til en trappematrix med d trin Det fremgår af Sætning 3 og 35 at de tre betingelser (, ( og (3 alle er ensbetydende med, at d n Hermed er sætningen vist Vi udnytter nu Sætning 65 til at vise følgende skærpelse af Sætning 56: Sætning 66 Lad A og B være n n-matricer og antag, at A B E Da er A (og B regulær, og A B (og B A Bevis Lad f og g være de lineære afbildninger der hører til A hhv B Der gælder da, at f g id R n hvoraf vi slutter, at f er surjektiv Men da er f bijektiv ifølge Sætning 65 og dermed er A regulær Sætning 67 Hvis A og B er n n-matricer således at A B er regulær, da er A (og B regulær Bevis Idet E A B (A B A (B (A B slutter vi af Sætning 66, at A er regulær Vi vil beskrive hvordan man i praksis kan bestemme den inverse A til en regulær matrix A Ifølge Sætning 64 findes rækkeoperationer og tilhørende operationsmatricer P,, P k, så at P A P k P A E Anvendes disse rækkeoperationer på blokmatricen (A E, omdannes den til (P A P E (E A, hvoraf A kan aflæses Tilsvarende kan man finde søjleoperationer og tilhørende operationsmatricer Q,,Q l, så at A Q A Q Q l E Anvendes disse søjleoperationer på blokmatricen (A E, omdannes den til (A Q E Q (E A, hvoraf A ligeledes kan aflæses 59

62 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Det er på sin plads at advare mod at sammenblande række- og søjleoperationer ved denne metode Antag, at der er rækkeoperationer og tilsvarende operationsmatricer P,, P k samt søjleoperationer og tilsvarende operationsmatricer Q,,Q l, så at P A Q P k P A Q Q l E Anvendes disse operationer på blokmatricen (A E, omdannes den til (P A Q (E P Q Her er P A Q (E P Q aflæser vi P Q E, hvorfor A P Q (Q, som i almindelighed ikke er Q P, altså A Q P A Vi opsummerer metoden med rækkeoperationer som en opskrift: P E Q P, men i matricen Opskrift 68 (Find den inverse til en n n matrix A : Opskriv totalmatricen (A E Omskriv til reduceret trappeform (A B 3 Hvis A E er A regulær og B A 4 Hvis A E er A ikke regulær Eksempel 69 Lad os igen se på matricen A fra Eksempel 53 Først omdanner vi A til en trappematrix A R R der er en trappematrix med 3 trin Vi ser altså påny, at A er regulær Vi vil så finde den inverse: Vi opskriver blokmatricen (A E, og omdanner den ved hjælp af rækkeoperationer til matricen (E A : R R, 6

63 6 Regulære matricer Matrixinversion Heraf aflæses, at R 3 +R 3 A i overensstemmelse hvad vi fandt tidligere Vi ser så på det lineære ligningssystem x + x 3 x + x x x 3 3, Dette kan naturligvis løses ved som sædvanligt at omdanne dets totalmatrix til en trappematrix Men bemærker vi at koefficientmatricen netop er den givne matrix A kan vi med vores kendskab til A umiddelbart skrive løsningen ned: x x A x Eksempel 6 Vi ser på matricen 4 3 A 5 6 3, 3 5 og vi vil undersøge om den er regulær, og i givet fald finde dens inverse Vi går direkte løs på at finde den inverse; hvis den alligevel ikke findes viser det sig under vejs (ved at vi når frem til en trappematrix med mindre end 3 trin: R R R 3R R 5R 6

64 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer 7 9 Heraf aflæses, at A er regulær og +R A Eksempel 6 Vi vil undersøge om matricen er regulær Vi omdanner den til en trappematrix ved hjælp af rækkeoperationer: R 4R R R 5R R 3 4 Dette er en 4 4-matrix med 3 trin; en sådan er ikke regulær, og dermed er den oprindelige matrix heller ikke regulær Antag, at A er en regulær n n-matrix og antag, at der er givet en n p-matrix B Vi ønsker at finde en n p-matrix X således at A X B Det ses umiddelbart, at der findes netop en sådan matrix X, nemlig X A B 6

65 6 Regulære matricer Matrixinversion Eksempel 6 Vi ønsker at undersøge om nedenstående matrix er regulær og i givet fald finde den inverse A i i i Vi opstiller matricen (A E og rækkereducerer til trappeform: i i i i + i i + i i i i 5 5 i 5 5 i i i i 5 5 i Heraf aflæses at A er regulær og at i i i A 5 5 i i i i 5 5 i 63

66

67 3 Determinanter I dette afsnit skal vi behandle de såkaldte determinanter Determinanten af en kvadratisk matrix A er et tal det(a med en masse gode egenskaber: det viser sig feks at vi alene udfra dette tal kan afgøre om matricen er regulær Definitionen kræver en smule tilvænning idet den gør brug af de såkaldte permutationer Vi motiverer den givne definition ved først at gennemgå den for og 3 3 matricer En alternativ fremgangsmåde som bruges af flere lærerbøger kunne være at lade den formel vi finder i Sætning 36 være definitionen af determinanten Desværre ville mange af de gode egenskaber ved determinanten i så fald blive vanskeligere at bevise, og vi undlader derfor at gøre dette Når man i konkrete tilfælde skal udregne en determinant for en matrix er det dog snarere denne formel som bruges 3 Determinant af -matrix For en -matrix ( a a A a a defineres determinanten af A som tallet det A a a a a For determinanten af A benyttes også betegnelserne A og a a a a 3 Determinant af 3 3-matrix For en 3 3-matrix a a a 3 A a a a 3 a 3 a 3 a 33 65

68 3 Determinanter ( 3 A ( det A ( 3 Figur 3: Den numeriske værdi af determinanten af en -matrix er arealet af parallelogrammet udspændt af vektorerne, som udgør søjlerne i matricen Tilsvarende resultater gælder i højere dimensioner defineres determinanten det A af A som tallet det A a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a a 3 a 3 a a a 33 Det er en simpel huskeregel for hvordan man udregner determinanten af en sådan 3 3-matrix: Vi gentager de to første søjler efter de tre sidste søjler og tegner 6 pile på følgende måde: a a a 3 a a a a a 3 a a a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 Vi ganger nu de tre matrixelementer på hver af de nordvestgående pile og forsyner dem med fortegn + og dernæst ganger vi de tre matrixelementer på hver af de nordøstgående pile og forsyner dem med fortegn Dermed bliver determinanten givet ved udtrykket ovenfor Denne huskeregel kaldes pilereglen For determinanten af A benyttes også betegnelserne A og a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a Permutationer Med henblik på definition af determinanten af en vilkårlig n n-matrix, får vi brug for teorien om permutationer Permutation betyder ombytning og vi skal lave en matema- 66

69 33 Permutationer Figur 3: Den numeriske værdi af determinanten af en 3 3-matrix er volumenet af det parallelepipedum som udspændes af vektorerne, der udgør søjlerne i matricen Sammenlign med figur 3 Tilsvarende resultater gælder i højere dimensioner tisk teori for noget meget velkendt og konkret Hvis man har et endeligt antal ordnede objekter (feks en CD-samling ordnet efter udgivelsesdato hvad kan vi så sige om de mulige omarrangeringer af disse objekter (At lade den nyeste og næstnyeste CD bytte plads på hylden og lade de øvrige stå er feks en af de simpleste permutationer af CD-samlingen Definition 33 Ved en permutation (af tallene,, n forstås en bijektiv afbildning af mængden {,, n} på sig selv Mængden af samtlige permutationer af tallene,, n betegnes S n Hvis σ : {,, n} {,, n} er en permutation, angiver vi σ på følgende måde: ( n σ, hvor j j j j i σ(i n Da σ er bijektiv, er tallene j, j,, j n en omordning af tallene,,, n Eksempel 33 Først angives en permutation σ med n 3 og dernæst angives en permutation τ med n 6: σ ( 3, τ 3 ( Idet den omvendte til en bijektiv afbildning igen er en bijektiv afbildning ses, at hvis σ er en permutation, da er også σ en permutation 67

70 3 Determinanter Eksempel 333 Den omvendte til permutationen σ ( er permutationen σ ( Idet sammensætning af bijektive afbildninger igen giver en bijektiv afbildning ses, at hvis σ og τ er permutationer i S n, da er også σ τ en permutation i S n Ved udregning af σ τ skal man (jvf A først udføre permutationen τ og dernæst σ Eksempel 334 Den sammensatte permutation af permutationerne σ ( og τ ( er permutationen σ τ ( Den identiske afbildning af {,, n} på sig selv kaldes den identiske permutation eller enhedspermutationen, og betegnes e Den er givet ved skemaet e ( n n Definition 335 Lad der være givet en permutation σ af {,, n} Et talpar (i, j, hvor i < j n, siges at svare til en inversion i σ, hvis σ(i > σ( j Antallet af inversioner kaldes I(σ Hvis I(σ er lige kaldes σ for en lige permutation, og hvis I(σ er ulige kaldes σ for en ulige permutation Definition 336 Fortegnet sign σ for en permutation σ er tallet +, hvis σ er en lige permutation, og tallet, hvis σ er en ulige permutation Altså er sign σ ( I(σ Eksempel 337 Vi betragter permutationen σ ( Vi ser, at talparrene (,4, (,5, (,4, (,5, (3,4, (3,5 og (4,5 svarer til inversioner, altså er I(σ 7, og dermed er σ ulige, og sign σ 68

71 33 Permutationer Definition 338 Ved en naboombytning forstås en permutation af formen σ ( i i + n ; i + i n med andre ord er σ(k k for alle k i, k i +, medens σ(i i + og σ(i + i For naboombytninger benytter vi også betegnelsen [ ] i i + σ i + i Det ses umiddelbart, at hvis σ er en naboombytning, da er I(σ, og dermed at σ er en ulige permutation Endvidere er σ σ e, hvoraf σ σ Sætning 339 Enhver permutation σ fremkommer ved sammensætning af et antal naboombytninger ( n Bevis Lad være en given permutation Lad i være tallet så σ(i j j j i n, n [ ] i i + og lad τ være naboombytningen Da er i + i ( i i + n σ τ j j i+ n j n På denne måde har vi opnået en ny permutation σ σ τ, hvor n (i anden række er rykket en plads til højre Således fortsættes indtil vi efter n i skridt har opnået en permutation σ n i σ τ τ n i således at σ n i (n n Herefter fortsættes med at bringe n på plads, dernæst n etc indtil vi har fundet naboombytninger τ,τ,,τ p således at σ τ τ p e Men så er σ τ p τ τ p τ Eksempel 33 Vi ser på permutationen σ fra Eksempel 333, og omdanner den skridt for skridt til enhedspermutationen ved multiplikation fra højre med naboom- 69

72 3 Determinanter skrivninger: ( [ ] ( [ ] ( [ ] ( [ ] ( [ ] ( [ ] ( [ ] ( [ ] ( Heraf sluttes, at [ ] 3 σ 3 [ ] [ ] [ ] 3 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Sætning 33 Hvis permutationen σ er sammensat af p naboombytninger, da er sign σ ( p ; med andre ord, σ er lige hvis p er lige, og σ er ulige hvis p er ulige ( [ ] n i i + Bevis Hvis σ og hvis τ er naboombytningen er σ τ j j n i + i ( i i + n Heraf fremgår I(σ τ I(σ±; men heraf følger, at sign j j i+ j i j n (σ τ sign σ Er nu σ τ p τ sammensat af p naboombytninger, er σ τ τ p e, og ved gentagen anvendelse af bevisets indledende bemærkninger fås sign e sign (σ τ τ p sign(σ τ τ p ( p sign σ, hvoraf sign σ ( p Dette viser sætningen Sætning 33 Lad [ ] i j σ, i j, j i være en transposition, dvs en permutation i S n, der ombytter tal i, j {,,, n}, og lader de øvrige urørte Da er sign σ Bevis For en transposition med j i + eller j i følger dette af Sætning 33 (med p For en vilkårlig transposition henvises til øvelsesopgave 6 Sætning 333 Hvis σ og τ er permutationer er sign (σ τ sign σ sign τ 7

73 34 Determinant af n n-matrix Bevis Skriv σ σ p σ som en sammensætning af naboombytninger, og skriv τ τ q τ ligeså; da er sign σ ( p og sign τ ( q Men σ τ σ p σ τ q τ, hvoraf sign (σ τ ( p+q ( p ( q sign σ sign τ Sætning 334 Hvis σ er en permutation, da er sign σ sign (σ Bevis Da sign e sign(σ σ sign σ sign(σ følger sætningen Sætning 335 Afbildningen σ σ er en bijektiv afbildning af S n For ethvert (fast τ S n er afbildningen σ τ σ en bijektiv afbildning af S n For n er der lige mange ( n! lige og ulige permutationer i S n Bevis Da S n er en endelig mængde, er det tilstrækkeligt at vise, at afbildningerne σ σ og σ τ σ er injektive Dette følger af at σ σ σ (σ (σ σ, τ σ τ σ σ e σ (τ τ σ τ (τ σ τ (τ σ (τ τ σ e σ σ Antag n, og lad σ,,σ p være de lige permutationer i S n og σ p+,,σ n være de ulige permutationer i S n Lad τ være en (fast ulige permutation i S n, feks en transposition Da er τ σ,,τ σ p alle ulige permutationer, τ σ p+,,τ σ n alle lige permutationer ifølge Sætning 333 Men det medfører netop, at der må være lige mange lige og ulige permutationer i S n 34 Determinant af n n-matrix Udstyret med teorien om permutationer fra forrige afsnit kan vi nu definere determinanten for en vilkårlig kvadratisk matrix Til enhver n n-matrix A knyttes et bestemt tal, determinanten af A, der betegnes det A eller A Definition 34 Determinanten af n n-matricen A (a i j n,n defineres som det A σ S n sign σ a σ( a σ( a nσ(n For n og n 3 genfindes determinanten som den er defineret i afsnit 3 og 3 7

74 3 Determinanter Sætning 34 For en vilkårlig n n-matrix A gælder, at det A det A t Bevis Vi skriver A (a i j n,n og A t (a i j n,n, og der gælder så a i j a ji For simpelheds skyld antager vi nu, at n 3 Det generelle tilfælde behandles efter samme mønster Determinanten af A er givet ved det A σ S 3 sign σ a σ( a σ( a 3σ(3 Ordner vi nu faktorerne i produktet a σ( a σ( a 3σ(3 efter andet indeks i stedet for efter første indeks, fås a σ( a σ( a 3σ(3 a σ ( a σ ( a σ (33 a σ ( a σ (3 a 3σ (3, og da sign σ sign (σ, finder vi så det A σ S 3 sign (σ a σ ( a σ ( a 3σ (3 Idet nu σ σ er en bijektiv afbildning af S 3 på sig selv, (jvf Sætning 335 finder vi endelig det A Hermed er sætningen vist σ S 3 sign σ a σ( a σ( a 3σ(3 det A Vi skal nu se, hvad der sker med determinanten for en matrix når vi udfører rækkeoperationer på matricen Ved hjælp af Sætning 34 udleder vi tilsvarende resultater for søjleoperationer t Sætning 343 Lad A være en n n-matrix Antag, at B er en matrix der er dannet ud fra A ved ( multiplikation af en række (søjle i A med et tal c; da er detb c det A ; ( ombytning af rækker (søjler; da er detb det A ; (3 addition af et multiplum af en række (søjle til en anden række (søjle; da er detb det A 7

75 34 Determinant af n n-matrix Bevis Vi skriver A (a i j n,n og B (b i j n,n Vi illustrerer beviset på en 3 3-matrix Det generelle tilfælde behandles efter samme mønster (: Hvis feks den anden række i A multipliceres med c gælder for j 3 at b j ca j medens b i j a i j for i Men så er detb σ S 3 sign σ b σ( b σ( b 3σ(3 σ S 3 sign σ a σ( ca σ( a 3σ(3 c σ S 3 sign σ a σ( a σ( a 3σ(3 c det A (: Vi ser på ombytning af to søjler Hvis feks anden og tredie søjle ombyttes gælder for i 3 at b i a i, b i a i3 og b i3 a i, altså at b i j a iτ( j, hvor τ er naboombytningen τ Men så er ( 3 3 detb sign σ b σ( b σ( b 3σ(3 σ S 3 sign σ a τ σ( a τ σ( a 3τ σ(3 σ S 3 sign (τ σa τ σ( a τ σ( a 3τ σ(3 σ S 3 sign σ a σ( a σ( a 3σ(3 det A, σ S 3 idet afbildningen σ τ σ er en bijektiv afbildning af S 3 på sig selv, jvf Sætning 335 (3: Antag nu, at den tredie række er multipliceret med c og adderet til den anden række Da gælder for j 3, at b j a j, b j a j + ca 3 j og b 3 j a 3 j, og dermed detb sign σ b σ( b σ( b 3σ(3 σ S 3 sign σ a σ( (a σ( + ca 3σ( a 3σ(3 σ S 3 sign σ a σ( a σ( a 3σ(3 + c sign σ a σ( a 3σ( a 3σ(3 σ S 3 σ S 3 hvor det A + c detc, a a a 3 C a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a 33 Der gælder imidlertid detc detc, da C fremgår af sig selv ved ombytning af to rækker; men så er detc, og dermed er detb det A 73

76 3 Determinanter Sætning 344 Lad A være en øvre (nedre trekantsmatrix (specielt en diagonalmatrix; determinanten for A er lig med produktet af diagonalelementerne Bevis Antag feks at A (a i j n,n er en nedre trekantsmatrix Da er a i j for i < j Hvis så σ er en permutation i S n, der ikke er den identiske permutation, findes der i n, så i < σ(i; men det betyder, at produktet a σ( a nσ(n er nul, thi det indeholder faktoren a iσ(i Konklusionen er, at det eneste led i summen det A σ S n sign σa σ( a nσ(n, der eventuelt ikke er nul, kommer fra den identiske permutation; altså er det A a a nn Resultatet for en øvre trekantsmatrix følger nu af Sætning 34 Sætning 345 Lad A være en n n-matrix af formen a a a n A B, hvor B er en (n (n -matrix Da er det A a detb Bevis Ved hjælp af rækkeoperationer af type S overfører vi B til en øvre trekantsmatrix B Vi udfører så de samme rækkeoperationer på A, hvorved A overføres i en øvre trekantsmatrix a a a n A B Idet rækkeoperationer af type S ikke ændrer determinanten skal vi blot vise, at det A a detb Men det er klart ifølge Sætning 344 Eksempel 346 Vi beregner determinanten R 5 3 R R 74

77 34 Determinant af n n-matrix R Vi har undervejs anvendt Sætning 343 og ( 8 4 Sætning 347 Lad A være en n n-matrix Da er A regulær netop hvis det A Bevis Matricen A kan ved hjælp af rækkeoperationer overføres i en trappematrix B, og der gælder (det A detb ifølge Sætning 343 Men der gælder også at (A regulær B regulær ifølge Sætning 6 Vi kan derfor nøjes med at se på tilfældet, hvor A er en trappematrix Men en kvadratisk trappematrix er specielt en øvre trekantsmatrix, og derfor er dens determinant lig med produktet af diagonalelementerne Men dette produkt er forskellig fra nul netop hvis alle diagonalelementer er forskellige fra nul, der netop er betingelsen for at en øvre trekantsmatrix er regulær Sætning 348 Lad A og B være n n-matricer Der gælder det(a B det A detb Bevis Antag først, at A er en operationsmatrix Det ses da umiddelbart ved hjælp af Sætning 343, at identiteten er opfyldt Antag dernæst, at A ikke er regulær Da er A B heller ikke regulær ifølge Sætning 67, og dermed er højreside og venstreside i identiteten begge lig med nul Antag så endelig, at A er regulær Da kan A skrives som et produkt af operationsmatricer A P P k, og under anvendelse af første del af beviset fås så det A det P det(p P k det P det P k, og det(a B det(p P kb det(p det(p P kb det P det P k detb det A detb Hermed er sætningen vist Sætning 349 For en regulær matrix A gælder, at det(a det A Bevis Da A A E, er det A det(a det E ifølge den foregående sætning Heraf fremgår sætningen 75

78 3 Determinanter 35 Cramers formler I dette afsnit skal vi se at vi i særlige tilfælde kan løse et lineært ligningssystem ved at udregne en række determinanter Vi ser på et lineært ligningssystem bestående af n ligninger med n ubekendte a x + + a n x n b ( a n x + + a nn x n b n Idet A betegner ligningssystemets koefficientmatrix kan ( skrives A x x n b b n ( Vi antager nu, at A er regulær Ligningssystemet har da netop en løsning, nemlig x x n b A Vi vil finde en formel for x j, j,, n Med henblik herpå bemærker vi, at x a a n a b a n x j (3 a n a nn a x n n b n a nn Af Sætning 345 (anvendt j gange og Sætning 344 fås x x j x j x j x n j j b n j 76

79 35 Cramers formler Af Sætning 348 fås så, at determinanten af venstresiden i (3 er lig med det A x j, og dermed er hvoraf a b a n det A x j a n b n a nn a b a n a n b n a nn x j, j,, n, a a n a n a nn hvor altså b erne er skrevet i den j te søjle Disse udtryk for x,, x n kaldes Cramers formler, efter den schweiziske matematiker G Cramer (74-75 For n lyder ligningssystemet j a x + a x b a x + a x b, og Cramers formler giver de velkendte udtryk b a a b b a a b x a, x a a a a a a a For n 3 lyder ligningssystemet a x + a x + a 3 x 3 b a x + a x + a 3 x 3 b, a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 b 3 og Cramers formler giver b a a 3 a b a 3 a a b b a a 3 a b a 3 a a b b 3 a 3 a 33 a 3 b 3 a 33 a 3 a 3 b 3 x, x, x 3 a a a 3 a a a 3 a a a 3 a a a 3 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a 33 77

80 3 Determinanter Eksempel 35 Vi betragter ligningssystemet x x + 3x 3 x + x + x 3 x + x Determinanten for koefficientmatricen er 3 Ligningssystemet kan altså løses ved hjælp af Cramers formler; vi finder x x x , 6, 6 36 Determinant og invers matrix Vi skal i dette afsnit udlede en formel for den inverse til en regulær matrix Lad A (a i j n,n være en n n-matrix Ved komplementet til a i j forstås tallet A i j a a n a n a nn j i 78

81 36 Determinant og invers matrix A i j er altså determinanten af matricen, der fremkommer af A ved at skrive på pladsen (i, j og på de øvrige pladser i i te række og j te søjle For hvert i, j n defineres matricen A i j som matricen der fremkommer af A ved at slette i te række og j te søjle Sætning 36 Der gælder A i j ( i+ j det A i j Bevis Ved (i rækkeombytninger efterfulgt af ( j søjleombytninger overføres matricen a a n i a n a nn j i matricen Men så er A i j A i j ( i ( j A ( i+ j det A i j i j ifølge Sætning 343 og Sætning 345 Hermed er sætningen vist Sætning 36 For enhver n n-matrix A gælder det A a i A i + + a in A in, a j A i + + a jn A in, j i Bevis Af definitionen på determinant det A sign σ a σ( a nσ(n σ S n 79

82 3 Determinanter fremgår, at det A a i A i + + a i j A i j + + a in A in, (4 hvor A i,, A in ikke afhænger af elementerne i i te række af A Ændrer vi A, således at a i a i, j a i, j+ a i,n, a i j, fås derfor A i j a a n a n a nn i a a j a n a n a n j a nn i A i j j j idet overensstemmelsen mellem de determinanter fremgår ved n rækkeoperationer Den første formel følger derfor af (4 Ændrer vi derimod A, således at i te række i A erstattes af j te række i A, fås a i a n a j a jn i a j A i + + a jn A in a ja i + + a jn A in, a j a jn j a n a nn idet en n n-matrix med ens rækker har determinant, og vi benytter det tidligere viste resultat A i j A i j Sætning 363 For komplementmatricen hørende til en n n-matrix A gælder A A n K(A A n A nn A K(A t (det A E 8

83 36 Determinant og invers matrix Bevis Af Sætning 36 fås A K(A t [i, j] A [i, ] K(A t [, j] A [i, ] K(A [ j, ] og det viser påstanden a i A j + + a in A jn { det A for j i for j i, Sætning 364 For en regulær matrix A gælder A [i, j] A ( i+ j det A ji ji, det A det A dvs den inverse matrix til A er givet ved formlen A det A K(A t Bevis Når A er regulær viser Sætning 363, at A K(A t E det A Af Sætning 66 følger heraf, at A det A K(A t Eksempel 365 Vi betragter matricen A Vi udregner det A, og dermed er A regulær Vi udregner så det A, det A, det A 3 det A, det A, det A 3 det A 3, det A 3, det A 33, hvoraf (idet fortegnsfaktorerne ( i+ j skal huskes A 8

84 3 Determinanter 37 Udvikling af determinant I dette afsnit skal vi udlede den formel som oftest bruges når man i praksis skal udregne determinanten af en matrix Sætning 37 Lad A være en n n-matrix Da gælder for hvert i n, at det A a i A i + + a in A in ( i+ a i det A i + + ( i+n a in det A in, det A a i A i + + a ni A ni ( +i a i det A i + + ( n+i a ni det A ni Bevis Den første formel blev vist i Sætning 36, og den alternative version følger af Sætning 36 Den anden formel fås af den første formel anvendt på A t, idet vi benytter, at det A det A t (jvf Sætning 34 Disse formler kaldes for udviklingen af det A efter i te række hhv i te søjle Vi har på denne måde udtrykt det A ved determinanter af lavere orden For i fås specielt det A a det A a det A + + ( n+ a n det A n det A a det A a det A + + ( n+ a n det A n Normalt vil man vælge at udvikle efter rækker eller søjler med mange nuller Eventuelt må man først ved række- eller søjleoperationer skaffe nuller (jvf Eksempel 373 Eksempel 37 Vi beregner en determinant ved udvikling efter første række: ( ( ( ( ( + 3( Til sammenligning giver udvikling efter række: 3 ( ( ( ( ( 3( +3 6 (( 3(

85 37 Udvikling af determinant Eksempel 373 Vi beregner en determinant ved først at udføre rækkeoperationer, og dernæst udvikle efter første søjle 5 4 5R R R Bemærk, at Sætning 345, der blev benyttet på afgørende måde ved udledning af tidligere sætninger, er et specialtilfælde af Sætning 37 (udvikling efter søjle Vi afslutter kapitlet med at summere nogle af de vigtigste teknikker til udregning af determinanten af en n n matrix: Opskrift 374 (Beregning af det(a Når man i praksis skal udregne det(a gør man ofte brug af følgende teknikker: Lav rækkeoperationer på A for at lave flere er i en række Ved hver skridt holdes øje med hvad den pågældende rækkeoperation gør ved det(a (Sætning 343 Udregn determinanten af resultatet fra ( ved brug af udviklingsformen efter en række eller søjle med mange er (Theorem 37 I praksis er det ofte en smagssag hvordan man vil balancere mellem de ovenstående teknikker Man kan altid lave rækkeoperationer indtil matricen er på reduceret trappeform hvorefter determinanten kan aflæses som produktet at diagonalindgangene Det vil imidlertid ofte være mere tidskrævende at lave den fulde rækkereduktion end at bruge udviklingsformen på en tilpas reduceret matrix 83

86

87 4 Vektorrum I dette kapitel skal vi introducere og undersøge abstrakte vektorrum Som det vil fremgå af definitionen nedenfor er disse motiveret af de strukturelle egenskaber ved F n : Vi tager simpelthen regnereglerne for F n og lader dem udgøre definitionen af abstrakte vektorrum Dette gør os i stand til at studere objekter forskellige fra F n som har de samme strukturelle egenskaber som F n Når vi har defineret hvad vi mener med et abstrakt vektorrum begynder vi at studere lineære afbildninger mellem abstrakte vektorrum, og det viser sig at vi bedre kan forstå F n ved at tænke abstrakt om det Ved første gennemsyn kan den mere abstrakte tilgang synes vanskeligere Det er naturligt Men i virkeligheden er det stik modsat Det abstrakte synspunkt fjerner alt unødig information som kan forstyrre overblikket, og mange argumenter og overvejelser bliver lettere når man først har vænnet sig til at tænke om matrixafbildninger mellem F n og F m som eksempler på lineære afbildninger mellem endeligdimensionale abstrakte vektorrum 4 Definition af vektorrum; eksempler Lad V være en mængde, hvori der er givet to operationer, nemlig multiplikation af et element med en skalar og dannelse af to elementers sum; dette betyder, at der til et tal λ F og et element x V er knyttet et nyt element λx V kaldet x multipliceret med λ, og til to elementer x, y V er der knyttet et nyt element x + y V kaldet summen af x og y Definition 4 (Regneregler i et vektorrum Mængden V udstyret med de to givne operationer siges at være et vektorrum, hvis følgende regneregler er opfyldt: For vilkårlige vektorer x, y, z i V og vilkårlige tal λ,µ i F gælder V: (x + y + z x + (y + z V: x + o x V3: x + ( x o V4: x + y y + x V5: λ(x + y λx + λy V6: (λ + µx λx + µx 85

88 4 Vektorrum V7: (λµx λ(µx V8: x x Elementerne i et vektorrum kaldes også for vektorer Regnereglen V skal forstås således, at der findes en vektor o, kaldet nulvektoren, så V er opfyldt Det ses let, at der kun findes en nulvektor i et vektorrum Regnereglen V3 skal forstås således, at der for hver vektor x V findes en vektor y V så x + y o Det ses let, at der kun findes et sådant element y Dette element kaldes så x Det ses let, at x ( x og at x o for alle vektorer i vektorrummet V For to vektorer x, y sættes x y x+( y Det ses let, at hvis x + y z er x z y Vi indfører betegnelsen F {} Dette er et eksempel på et vektorrum, der kun indeholder et element, nemlig nulvektoren o Vi siger at V er defineret over F, eller at V er et F-vektorrum Hvis F R kalder vi også V et reelt vektorrum, og hvis F C kaldes V et komplekst vektorrum Når der i det følgende optræder flere vektorrum samtidigt vil de alle være F-vektorrum for samme F De er altså alle enten reelle vektorrum eller komplekse vektorrum Eksempel 4 Talrummet F n, n,,, er et vektorrum over F Dette følger af Sætning Bemærk udseendet af o og x Overvej at mængden C n desuden er et vektorrum over R men at R n ikke er et vektorrum over C hvis n > Eksempel 43 Med M m,n (F betegnes mængden af alle m n-matricer med indgange i F Med de i afsnit 4 indførte matrixoperationer multiplikation med skalar og addition, er M m,n (F et vektorrum over F, jvf regnereglerne M-M8 i Sætning 45 Eksempel 44 Lad Pol (F betegne mængden af polynomier i én variabel med koefficenter i F, dvs funktioner p af formen p(x a + a x + a x + + a n x n, x F, hvor a, a, a,, a n F, og n N Vi udstyrer Pol (F med sædvanlig addition og med sædvanlig multiplikation med skalarer Herved bliver Pol (F et vektorrum med nulpolynomiet som nulvektor Hvis feks p og q er polynomierne givet ved p(x 3 x + x 4 5x 6, q(x x + x 6 + x 7, er p + q givet ved (p + q(x 3 + x 4 3x 6 + x 7 For addition of scalarmultiplikation af et andet sæt polynomier se figur 4 86

89 4 Lineære afbildninger; isomorfi (A f (B f + g g f f x x Figur 4: (A Polynomierne f (x x og ( f (x f (x (x (B Polynomierne f (x x, g(x x + og (f + g(x f (x + g(x x + x + 4 Lineære afbildninger; isomorfi Lad U og V være vektorrum Definition 4 Ved en lineær afbildning f fra U til V forstås en afbildning f : U V, så L: f (λx λf (x for alle x U, λ F L: f (x + y f (x + f (y for alle x, y U En lineær afbildning kaldes også for en homomorfi Tilsammen kaldes L og L for linearitetsbetingelserne Hvis U F n og V F m, ses, at der er overensstemmelse med vores tidligere betegnelser (Sætning 39 Bemærk, at vi for U F n og V F m har to måder på hvilken vi kan udtrykke at en afbildning f : U V er lineær, nemlig dels at f er givet ved en matrix, og dels at f opfylder linearitetsbetingelserne L og L Hvis U og V er vilkårlige vektorrum kan vi ikke umiddelbart definere linearitet af en afbildning f : U V ved hjælp af matricer, men må benytte L og L Det ses let, at der for en lineær afbildning f : U V gælder, at f (o o Lad U,V og W være vektorrum Sætning 4 Hvis f : W V og g : U W er lineære afbildninger, da er den sammensatte afbildning f g : U V ligeledes lineær Bevis Det vises uden komplikationer, at f g opfylder L og L, når f og g gør det 87

90 4 Vektorrum Lad V være et vektorrum Vi vil et øjeblik se på lineære afbildninger f : F n V Idet vi sætter a j f (e j, j,, n hvor e,, e n er standard enhedsvektorerne i F n, får vi for en vektor at altså x x x n f (x f (x e + + x n e n x e + + x n e n, x f (e + + x n f (e n x a + + x n a n, f (x x a + + x n a n Hvis V F m genfinder vi udtrykket fra afsnit 3, og i dette tilfælde er a j den j te søjlevektor for matricen A hørende til f ( Sætning 43 Lad a,, a n være vektorer i vektorrummet V Afbildningen f : F n V givet ved f x x n x a + + x n a n er lineær, og alle lineære afbildninger f : F n V har denne form Der gælder a j f (e j Bevis Hvis f er lineær har vi ovenfor set, at f har formen (, og det er klart, at a j f (e j Antag nu omvendt, at a,, a n er givne vektorer i V, og definer afbildningen f : F n V ved formlen ( Det eftervises så umiddelbart, at f opfylder L og L, og dermed er f lineær Lad U og V være vektorrum Definition 44 En bijektiv lineær afbildning f : U V kaldes for en isomorfi fra U til V To vektorrum U og V kaldes isomorfe, hvis der findes en isomorfi fra U til V Sætning 45 Lad U, V og W være vektorrum ( Den identiske afbildning id U : U U er en isomorfi ( Hvis f : U V er en isomorfi, er f : V U en isomorfi 88

91 43 Endeligdimensionale vektorrum; basis (3 Hvis f : W V og g : U W er isomorfier, er f g : U V en isomorfi Bevis (: Den identiske afbildning er oplagt lineær og bijektiv, altså en isomorfi (: Hvis f : U V er bijektiv, er f : V U bijektiv At yderligere f er lineær, hvis f er det, ses ved at vise, at f opfylder L og L; dette gøres på nøjagtigt samme måde som i beviset for Sætning 5 (3: Hvis f : W V og g : U W er isomorfier, da er f g bijektiv og lineær, da sammensætning af to bijektive afbildninger igen er bijektiv (A, og da sammensætning af to lineære afbildninger igen er lineær (Sætning 4 43 Endeligdimensionale vektorrum; basis I dette afsnit skal vi definere og undersøge hvad det vil sige at et abstrakt vektorrum er endeligdimensionalt, og for endeligdimensionale rum definere dimensionen af rummet For at definition skal være meningsfyldt får vi brug for følgende sætning: Sætning 43 Hvis F m er isomorft med F n, da er m n Bevis Hvis f : F n F m er bijektiv og lineær, da er m n ifølge Sætning 4 Definition 43 Et vektorrum V kaldes endeligdimensionalt, hvis det er isomorft med et talrum F n, n,,, Dimensionen dimv defineres i givet fald til n Bemærk, at hvis et vektorrum er isomorft med F m og med F n, da er F m og F n isomorfe ifølge Sætning 45, og dermed er m n ifølge Sætning 43 Dimensionen dimv af et endeligdimensionalt vektorrum er derfor veldefineret Bemærk også, at hvis dim V, da er V {o} Lad V være et vektorrum Definition 433 Et ordnet sæt af vektorer a,, a n i V kaldes en (ordnet basis for V, hvis hver vektor a i V på netop en måde kan skrives på formen a x a + + x n a n, hvor x, x,, x n F Vi benævner også en basis ved A (a, a n Det er værd at bemærke at der er en asymmetrisk sammenhæng mellem de reelle og de komplekse vektorrum Et reelt vektorrum (som fx R behøver ikke at kunne at sættet er ordnet betyder at vi har udstyret det med en rækkefølge, så det giver mening at tale om den første element, element, osv 89

92 4 Vektorrum a a a a x x a x a + a + a x a Figur 4: Vektorerne a og a udgør en basis A (a, a for R Det samme gør A (a, a Enhver vektor x R kan skrives på præcis en måde som en linearkombination af a og a og på præcis en måde som en linearkombination af a og a opfattes som et komplekst vektorrum Man kan nemlig ikke altid give mening til at gange en vektor med et komplekst tal Men et komplekst vektorrum (som fx C kan altid opfattes som et reelt vektorrum ved bare at opfatte multiplikation med skalar som defineret kun på de reelle tal Så gælder der: Hvis A (v,, v n er en basis for et komplekst vektorrum V så er B (v,, v n, iv,, iv n en basis for V opfattet som et reelt vektorrum (Overvej! Antag, at A (a,, a n er en basis i V Skrives en vektor a V på formen a x a + + x n a n kaldes tallene x,, x n for koordinaterne for vektoren a med hensyn til basen a,, a n ; tilsvarende taler vi om koordinatsættet (x,, x n og koordinatsøjlen x x n for a Vi benævner koordinatsøjlen for vektoren a med hensyn til A ved A [a] I situationen herover har vi altså x A [a] x n Bemærk, at a j s koordinatsøjle med hensyn til A er standardenhedsvektoren e j, altså at A [a j ] e j for j,, n Vi viser nedenfor (Sætning 435 at afbildningen a A [a] er en isomorfi eftersom det er den omvendte afbildning til den der i Sætning 435 vises at være en isomorfi 9

93 43 Endeligdimensionale vektorrum; basis Lad e,, e n være standardenhedsvektorerne i F n Idet det gælder x x e + + x n e n ses, at (e,, e n er en basis for det n-dimensionale vektorrum F n Denne basis kaldes for den naturlige basis i F n Koordinatsøjlen for vektoren x x med hensyn til den naturlige basis er vektoren x selv Eksempel 434 Vektorrummet M m,n af m n-matricer er et mn-dimensionalt vektorrum I specialtilfældet m, n 3 ses, at en isomorfi f : F 6 M,3 er givet ved x f : x 6 x n x n, ( x x x 3 x 4 x 5 x 6 Tilsvarende opskrives let en isomorfi fra F mn til M m,n for vilkårlige m og n En basis for M,3 er givet ved ( ( ( a, a, a 3, ( ( ( a 4, a 5, a 6 I M m,n udgør de elementære matricer I i, j, i m, j n en basis Sætning 435 Lad a,, a n være et sæt af vektorer i vektorrummet V Den lineære afbildning f : F n V givet ved er en isomorfi netop når a,, a n er en basis f x x n x a + + x n a n Bevis At f er en isomorfi betyder, at f er bijektiv, altså, at der for hver vektor a V findes netop en vektor x F n, så f (x a Men det betyder netop, at a, a n er en basis 9

94 4 Vektorrum Sætning 436 Et vektorrum V {o} har en basis netop hvis det er endeligdimensionalt I givet fald indeholder enhver basis for V netop dimv elementer Bevis Antag, at V er endeligdimensionalt med dimv n Der findes da en isomorfi f : F n V, og denne har formen f x x n x a + + x n a n ifølge Sætning 43 Men da f er en isomorfi, er a,, a n en basis ifølge Sætning 435 Hvis omvendt a,, a n er en basis for V, er den lineære afbildning givet ved formlen ( en isomorfi også ifølge Sætning 435, og dermed er V isomorft med F n, og dermed endeligdimensionalt med dim V n Sætning 437 Et (ordnet sæt a,, a n af n vektorer i F n er en basis netop hvis n n- matricen A ( a a n er regulær Bevis Sættet a,, a n er en basis netop når den lineære afbildning f : F n F n givet ved f x x n x a + + x n a n er bijektiv Men f er den lineære afbildning givet ved matricen A, og f er bijektiv netop når A er regulær Eksempel 438 I F 3 er der givet vektorerne a 3, a 8, a Vi ønsker at undersøge om a, a, a 3 er en basis i R 3 Vi opskriver matricen A 3 8 7, 7 9 ( ( 9

95 44 Underrum og finder, at det A Matricen A er altså regulær, og dermed er a, a, a 3 en basis Der er så yderligere givet vektoren 4 a 3 Vi ønsker at finde koordinaterne for a med hensyn til basen a, a, a 3 Vi skal altså løse ligningen a x a + x a + x 3 a 3, altså ligningen x x 7 9 x 3 3 Dette gøres på sædvanlig måde, og man finder at det søgte koordinatsæt er (x, x, x 3 (5,,3 44 Underrum Vi skal i dette afsnit studere vektorrum som ligger inden i andre vektorrum De såkaldte underrum Mere præcist: Lad V være et vektorrum Definition 44 En ikke-tom delmængde U V kaldes for et underrum hvis følgende to betingelser er opfyldt U: Hvis x U og λ F gælder λx U U: Hvis x, y U gælder x + y U Bemærk, at hvis U er et underrum er o U; hvis nemlig x er et element i U er ifølge U også vektoren x o et element i U Vi udtrykker U og U ved at sige, at et underrum er stabilt ved vektorrumsoperationerne I et underrum U af vektorrummet V gælder naturligvis regnereglerne V-V8 (Definition 4, så U er i sig selv et vektorrum Vi kan derfor specielt tale om, at et underrum kan have endelig dimension, og i givet fald om dets dimension samt om baser herfor Bemærk specielt, at {o} og V begge er underrum i vektorrummet V Disse to underrum kaldes trivielle Eksempel 44 I F 3 betragtes mængden x N x x + x + x 3 x 3 93

96 4 Vektorrum Det verificeres let at U og U er opfyldt for N, og dermed at N er et underrum Derimod er mængden x M x x + x + x 3 x 3 ikke et underrum; faktisk er hverken U eller U opfyldt for M, idet feks x M medens x M og y M medens x + y M U v Figur 43: For hver vektor v R er U {tv t R} et underrum Alle underrum af R (pånær det trivielle underrum R har denne form w U u V v Figur 44: For hver vektor w R 3 er V {tw t R} et underrum af R 3 For hvert par af vektorer u, v R 3 er U {su + tv s, t R} et underrum af R 3 Alle underrum af R 3 (pånær det trivielle underrum R 3 har en af disse to former 94

97 44 Underrum Definition 443 Lad V være et vektorrum, og lad a,, a n være et sæt af vektorer i V En vektor a af formen a λ a + + λ n a n, hvor λ,,λ n F, siges at være en linearkombination af vektorerne a,, a n Bemærk, at et sæt af vektorer a,, a n i vektorrummet V er en basis netop når enhver vektor a V på entydig måde kan skrives som linearkombination af a,, a n Eksempel 444 I F 3 er der givet vektorerne a 3 og a Idet 3 5 3a a 3, ses, at er en linearkombination af a og a Vi betragter så vektoren 4 a k hvor k F Vi ønsker at undersøge, for hvilke værdier af k vektoren a er en linearkombination af a, a Det drejer sig altså om at finde x, x så altså så x 3, a x a + x a, + x 5 hvilket igen betyder, at vi skal løse ligningssystemet 3 ( x x 5 Dette gøres på sædvanlig måde, og man finder at dette ligningssystem kan løses netop når k 8 For denne værdi af k er løsningen (x, x (, For k 8 er a altså ikke en linearkombination af vektorerne a og a For k 8 er derimod a a + a 5 k k, 95

98 4 Vektorrum Sætning 445 Lad M være en ikke-tom delmængde af V Mængden af alle linearkombinationer af vektorer i M udgør et underrum i V Det kaldes det af M frembragte underrum, og betegnes span M Bevis Hvis a λ a + + λ n a n, hvor λ,,λ n F og a,, a n M, gælder for λ F at λa λλ a + + λλ n a n, der er i span M; dette viser, at span M opfylder U Antag så, at a λ a + + λ n a n, og b µ b + + µ m b m, hvor λ,,λ n F og a,, a n M, µ,,µ m F og b,, b m M; da er a + b λ a + + λ n a n + µ b + + µ m b m, der er i span M; dette viser at U er opfyldt Hermed er vist, at span M er et underrum Hvis U er et underrum i vektorrummet V, og M er en delmængde af U ses det let, at span M U Endvidere ses let, at M er et underrum netop hvis span M M Lad U og V være vektorrum, og lad f : U V være en lineær afbildning Definition 446 Ved kernen ker f for f forstås mængden Ved billedet f (U for f forstås mængden ker f {x U f (x o} f (U {y V y f (x for et x U} Sætning 447 Kernen ker f for den lineære afbildning f : U V er et underrum i U Ligeledes er billedet f (U af U ved f et underrum i V 96

99 44 Underrum U span{a, a } x U a a Figur 45: Sætning 445 To vektorer a, a R 3 og underrummet U span{a, a }, der består af alle linearkombinationer af a og a Bevis Først ser vi på kernen K ker f Hvis x K og λ F er f (λx λf (x λo o; dette viser, at U er opfyldt Hvis x, y K er f (x + y f (x + f (y o + o o; dette viser, at U er opfyldt Hermed er vist, at K er et underrum Dernæst ser vi på f (U Hvis λ F og y f (U findes x U så y f (x, og dermed er λy λf (x f (λx f (U; dette viser, at U er opfyldt Hvis y, y f (U findes x, x U, så f (x y og f (x y, og dermed er y + y f (x + f (x f (x +x f (U; dette viser, at U er opfyldt Hermed er vist, at f (U er et underrum Sætning 448 Den lineære afbildning f : U V er injektiv netop når ker f {o} Bevis Dette bevises nøjagtigt som Sætning 4 Lad f : R n R m være en lineær afbildning, og lad A (a i j m,n være den tilhørende matrix Idet x a a n x f, x n a m a mn x n 97

100 4 Vektorrum U f V ker f x o Figur 46: Stiliseret diagram af kernen for en lineær afbildning f : U V f U V x f (U f (x Figur 47: Stiliseret diagram af billedet for en lineær afbildning f : U V ses, at kernen for f netop er løsningsmængden til ligningssystemet a a n x a m a mn Hvis a,, a n er søjlevektorerne i A, er f x x n hvoraf ses, at f (U span {a,, a n } x n x a + + x n a n, Eksempel 449 En lineær afbildning f : R 5 R 3 er givet ved matricen 8 A Vi vil bestemme kernen K ker f for f Vi skal altså løse ligningssystemet A X, hvor X R 5 Dette gøres på sædvanlig måde, og vi finder at løsningsmængden beskrives ved 98

101 44 Underrum f (R f e f (e e ker f f (e { ( ker f t } t R { ( f (R t } t R Figur 48: Kerne ( og billede for den lineære afbildning f : R R give ved matricen A Se også figur 46 og 47 4 parameterfremstillingen x x x 3 x 4 x 5 Hermed har vi fundet K Sætter vi t 3t t t t + t 4t t a og a , t, t R, 99

102 4 Vektorrum ses, at enhver vektor x i K kan skrives på netop en måde på formen x t a +t a, altså er a, a en basis for K 45 Lineær afhængighed; lineær uafhængighed Lad V være et vektorrum Definition 45 Et sæt af vektorer a,, a n i V kaldes lineært uafhængigt, hvis ligningen x a + + x n a n o kun har løsningen (x,, x n (,, Hvis sættet ikke er lineært uafhængigt kaldes det lineært afhængigt Bemærk, at en basis for V (eller for et underrum heraf består af lineært uafhængige vektorer Eksempel 45 I R 4 er der givet vektorerne 3 a, a 3 4, a Vi vil undersøge om sættet a, a, a 3 er lineært uafhængigt Vi skal løse ligningen x a + x a + x 3 a 3 o, altså ligningssystemet 3 x 3 8 x 4 7 x 5 3 Dette gøres på sædvanlig måde, og man finder at der kun er løsningen (x, x, x 3 (,, Det givne sæt er altså lineært uafhængigt Sætning 453 Et sæt a,, a n af vektorer i vektorrummet V er lineært afhængigt netop hvis en af sættets vektorer kan skrives som linearkombination af de øvrige Bevis Antag, at en af sættets vektorer, feks a n, kan skrives som linearkombination af de øvrige Der findes da x,, x n F så a n x a + + x n a n ;

103 45 Lineær afhængighed; lineær uafhængighed (A (B a b 3 a b b Figur 49: Lineært uafhængighed (A Vektorsættet a, a er lineært uafhængigt (B Vektorsættet b, b, b 3 er lineært afhængigt idet b + b b 3 men så er x a + + x n a n a n o, og dette viser, at sættet er lineært afhængigt Antag omvendt, at sættet er lineært afhængigt Da findes et sæt (x,, x n (,,, så x a + + x n a n o Ikke alle tallene x,, x n kan være nul Hvis feks x n får vi a n x x n a + + x n x n a n, og altså er a n en linearkombination af de øvrige Eksempel 454 I F 3 er der givet vektorerne a, a, a 3 Det ses umiddelbart, at a 3 a a, og dermed er det givne sæt af vektorer lineært afhængigt Et sæt bestående af en vektor a er lineært uafhængigt netop hvis a Et sæt bestående af to vektorer a, a er lineært uafhængigt netop hvis de to vektorer ikke er proportionale

104 4 Vektorrum Sætning 455 Et sæt af vektorer a,, a n i vektorrummet V er lineært uafhængigt netop hvis den lineære afbildning f : F n V givet ved er injektiv f x x n x a + + x n a n Bevis Løsningsmængden for ligningen x a + +x n a n o er netop kernen ker f for f Derfor gælder, at sættet a,, a n er lineært uafhængigt netop hvis ker f {o}; men det er tilfældet netop hvis f er injektiv (Sætning 448 Sætning 456 Et sæt af vektorer a,, a n i vektorrummet V er lineært uafhængigt netop hvis det udgør en basis for span {a,, a n } Bevis Sæt U span {a,, a n } Det er klart, at hvis sættet a,, a n er en basis i U, da er det lineært uafhængigt Antag så, at sættet er lineært uafhængigt Da er den lineære afbildning f : F n U givet ved f x x n x a + + x n a n injektiv; da f ifølge definitionen af U er surjektiv, er f bijektiv og altså en isomorfi Men så er a,, a n en basis i U (Sætning 435 Sætning 457 Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum, og lad a,, a n være et sæt af lineært uafhængige vektorer i V Der gælder da, at n dimv, og a,, a n er en basis netop når n dimv Bevis Sæt m dimv, og lad ϕ : F m V være en isomorfi Lad f : F n V være den lineære afbildning givet ved f x x n x a + + x n a n Denne afbildning er injektiv, da a,, a n er lineært uafhængige Men så er afbildningen ϕ f : F n F m også injektiv, hvorfor n m (Sætning 4 Videre gælder, at ϕ f er bijektiv netop når n m (jvf Sætningerne 3, 35( og 4, og da ϕ f er bijektiv netop når f er det, er sætningen vist

105 45 Lineær afhængighed; lineær uafhængighed Sætning 458 Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum, og lad a,, a n være et sæt af vektorer i V, der frembringer V Der gælder da, at n dimv, og a,, a n er en basis netop når n dimv Bevis Sæt m dimv, og lad ϕ : F m V være en isomorfi Lad f : F n V være den lineære afbildning givet ved f x x n x a + + x n a n Denne afbildning er surjektiv, da a,, a n frembringer V Men så er afbildningen ϕ f : F n F m også surjektiv, hvorfor n m (Sætning 4 Videre gælder, at ϕ f er bijektiv når n m, og da ϕ f er bijektiv netop når f er det, er sætningen vist Sætning 459 Lad a,, a n være et sæt af lineært uafhængige vektorer i vektorrummet V, og lad a n+ være yderligere en vektor i V Da er a n+ span {a,, a n } netop hvis sættet a,, a n, a n+ er lineært afhængigt Bevis Antag, at sættet a,, a n+ er lineært afhængigt Da findes et talsæt (x,, x n, x n+ (,,, så x a + + x n a n + x n+ a n+ o Hvis x n+, er x a + + x n a n o, og dermed er (x,, x n (,,, da a,, a n er lineært uafhængige Men det giver modstrid; altså gælder, at x n+, og dermed er a n+ x a x n a n x n+ x n+ Heraf ses, at a n+ span {a,, a n } Hvis omvendt a n+ span {a,, a n } er det klart, at sættet a,, a n, a n+ er lineært afhængigt Hermed er sætningen vist Definition 45 Lad M være en delmængde af vektorrummet V Ved et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M forstås et sæt af lineært uafhængige vektorer a,, a n M, der ikke kan udvides til et større lineært uafhængigt sæt a,, a n, a n+ M Eksempel 45 Vi betragter delmængden M {a, a, a 3, a 4 } F 3, hvor a, a 4, a 3, a 4 3

106 4 Vektorrum Idet a 3 o ikke kan være indeholdt i et lineært uafhængigt sæt af vektorer må et lineært uafhængigt delsæt af M være indeholdt i {a, a, a 4 } Idet a og a er lineært afhængige kan disse ikke samtidigt være indeholdt i et lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M Derfor er der to maksimalt lineært uafhængige delsæt af M, nemlig {a, a 4 } og {a, a 4 } Sætning 45 Lad M være en delmængde af det endeligdimensionale vektorrum V Ethvert lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M (specielt det tomme sæt kan udvides til et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M Bevis Lad a,, a p være det givne sæt af lineært uafhængige vektorer fra M Hvis ikke allerede dette sæt selv er maksimalt, findes der en vektor a p+ M, således at også sættet a,, a p, a p+ er lineært uafhængigt; hvis heller ikke dette sæt er maksimalt tilføjes på samme måde endnu en vektor etc Til sidst når vi frem til et maksimalt lineært uafhængigt sæt, da et lineært uafhængigt sæt af vektorer fra V højst kan indeholde dim V lineært uafhængige vektorer (Sætning 457 Sætning 453 Lad M være en delmængde af det endeligdimensionale vektorrum V Ethvert maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M er en basis for span M Bevis Lad a,, a n være et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M, og a M Idet sættet a,, a n, a ikke er lineært uafhængigt, altså lineært afhængigt, er a span {a,, a n } ifølge Sætning 459 Hermed har vi vist, at M span {a,, a n }; men så er span M span {a,, a n }, altså er span {a,, a n } span M, og det viser, at a,, a n er en basis for span M (Sætning 456 Sætning 454 Et underrum U af et endeligdimensionalt vektorrum V er endeligdimensionalt og dimu dimv Bevis Et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra det givne underrum U er en basis for span U U Sætning 455 Et lineært uafhængigt sæt af vektorer i det endeligdimensionale vektorrum V kan udvides til en basis for V Bevis Det følger af Sætning Udtyndingsalgoritmen; udvidelsesalgoritmen Lad a,, a n være et sæt af vektorer i et endeligdimensionalt vektorrum Der findes da et delsæt af a,, a n, der er en basis for span {a,, a n } (nemlig et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer i {a,, a n } ifølge Sætning 453 Vi skal nu se på hvorledes man i praksis finder et sådant delsæt i tilfældet V F m 4

107 46 Udtyndingsalgoritmen; udvidelsesalgoritmen Lad a,, a n være et sæt af vektorer fra F m Vi opskriver matricen A der har a,, a n til søjlevektorer: A ( a a n Udfører vi nu rækkeoperationer på A, så der herved fremkommer en ny matrix gælder, at delsættet a j,, a jd A ( a a n, svarende til søjlenumrene j,, j d i matricen A er lineært uafhængigt netop når delsættet a j,, a j svarende til de samme søjlenumre i d matricen A, er lineært uafhængigt; thi ligningen har samme løsningsmængde som ligningen x a j + + x d a jd o x a j + + x d a j d o, og dermed har de specielt samtidigt løsningsmængden (x,, x d (,, Omdanner vi specielt A til en trappematrix A ses, at hvis vi vælger j,, j d til at være trinpositionerne i A, da er a j,, a j en basis for span {a d,, a n }, altså et maksimalt lineært uafhængigt delsæt af a,, a n Men så er a j,, a jd et maksimalt lineært uafhængigt delsæt af a,, a n, altså en basis for span {a,, a n } Den angivne metode til at finde et delsæt af a,, a n, der udgør en basis for span {a,, a n }, kalder vi her for udtyndingsalgoritmen Vi summerer den som følger: Opskrift 46 (Udtyndingsalgoritmen Lad a,, a n være et sæt vektorer i F m Lav matricen A ( a a a n som har de givne vektorer som søjler Rækkereducer A til trappeform B 3 Vælg de søjler i A hvor de tilsvarende søjler i den trappereducerede B har trin De valgte søjler (udstyret med en ordning udgør nu en basis for rummet udspændt af a,, a n, dvs for span{a,, a n } 5

108 4 Vektorrum Eksempel 46 I F 4 er der givet vektorerne 3 a, a 4 3, a 9 3 5, a , a Vi vil finde en basis for underrummet frembragt af disse vektorer ved hjælp af udtyndingsalgoritmen Vi opskriver matricen, der har de givne vektorer til søjlevektorer: Denne omdannes ved hjælp af rækkeoperationer til en trappematrix: Det ses heraf, at a, a, a 4 er en basis for span {a,, a 5 } Ønsker vi at udtrykke vektorerne a 3 og a 5 som linearkombination af den fundne basis, er det bekvemt at gå videre og omdanne den fundne trappematrix til en reduceret trappematrix: Heraf aflæses umiddelbart, at a 3 7a 3a og a 5 39a + 3a 7a 4 Lad a,, a n være et lineært uafhængigt sæt af vektorer i et endeligdimensionalt vektorrum Dette sæt kan udvides til en basis for V (Sætning 455 Vi skal nu se på, hvorledes man i praksis finder en sådan udvidelse i tilfældet V F m : Vi opskriver vektorsættet a,, a n, e,, e m, hvor e j betegner den j te standardenhedsvektor Dette sæt frembringer V, da allerede vektorerne e,, e m gør det Udtyndingsalgoritmen anvendt på sættet a,, a n, e,, e m giver derfor en basis for V, hvis første elementer er a,, a n, altså den søgte udvidelse af det lineært uafhængige sæt a,, a n til en basis for V Vi kalder her denne procedure for udvidelsesalgoritmen Vi opsummerer igen i en opskrift 6

109 47 Rang; dimensionssætningen Opskrift 463 (Udvidelsesalgoritmen Lad a,, a n F m være et lineært uafhængigt sæt Lav matricen A (a a a n E som har de givne vektorer som de første søjler og standardvektorerne som de efterfølgende søjler Rækkereducer A til trappeform B 3 Vælg de søjler i A hvor de tilsvarende søjler i den trappereducerede B har trin De valgte søjler (udstyret med en ordning er en basis for F m som indeholder vektorerne a,, a n Eksempel 464 I F 4 er der givet vektorerne a, a 3 Disse ses let at være lineært uafhængige Vi vil udvide sættet a, a til en basis for F 4 Vi opskriver matricen 3, og omdanner denne til en trappematrix 4 7 Heraf aflæses, at a, a, e, e 3 er en basis for F 4 47 Rang; dimensionssætningen Lad U og V være endeligdimensionale vektorrum Definition 47 Ved rangen rgf af en lineær afbildning f : U V forstås dimensionen af billedrummet f (U, altså rgf dim f (U 7

110 4 Vektorrum Definition 47 Ved rangen rga af en m n-matrix A forstås rangen af den til A hørende lineære afbildning f : F n F m Hvis A er en m n-matrix med søjlevektorer a,, a n og f : F n F m den til A hørende lineære afbildning gælder, at f (U span {a,, a n }, idet jo Altså er f og dermed har vi (Sætning 453: x x n Sætning 473 Rangen af m n-matricen x a + + x n a n, rga dim( span {a,, a n }, A ( a a n er lig med antallet af vektorer i et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra {a,, a n } Det ses umiddelbart, at hvis A er en trappematrix, da er rangen af A lig med antallet af trin i A Eksempel 474 Matricen er en trappematrix med 3 trin, og dens rang er altså 3 Sætning 475 Rangen af en matrix ændres ikke ved udførelse af række- og søjleoperationer Bevis Hvis A ( a a n og A ( a a n, og A fremgår af A ved udførelse af søjleoperationer, er span {a,, a n } span {a,, a n }, og dermed er rga rga Hvis A fremgår af A ved udførelse af rækkeoperationer, har vi i indledningen af afsnit 46 set, at et delsæt a j,, a jd af {a,, a n } er lineært uafhængigt netop hvis delsættet a j,, a j af a d, a n er lineært uafhængigt Heraf fås, at rga rga (Sætning 473 8

111 47 Rang; dimensionssætningen Eksempel 476 Vi betragter matricen A Denne omformes ved hjælp af rækkeoperationer til trappematricen A da rga 3 er dermed også rga ; Lad U og V være endeligdimensionale vektorrum Sætning 477 (Dimensionssætningen For en lineær afbildning f : U V gælder rgf + dim(ker f dimu Bevis Idet U hhv V er isomorft med F n hhv F m ses, at vi kan nøjes med at se på tilfældet, hvor f : F n F m er den lineære afbildning knyttet til matricen A Vi omdanner A ved hjælp af rækkeoperationer til trappematricen A med d trin Der gælder, at ker f x X A X x n x X A X, x n og dette er et underrum af dimension n d (jvf kapitel Endvidere er rgf rga rga d, så rgf + dim(ker f d + (n d n dimf n Dette viser sætningen Eksempel 478 Vi betragter matricen A fra Eksempel 476 Vi så, at rga 3 Vi vil nu bestemme kernen for den lineære afbildning f : F 5 F 4 hørende til A Vi omdanner 9

112 4 Vektorrum A til trappematricen vi skal så løse ligningssystemet ; x + x + x 3 + 3x 4 + x 5 x 3x 3 + 5x 4 4x 5 x 4 7x 5 Vi indfører parametrene t x 3 og t x 5 og får x 4 7t, x 3t 3t, x 7t +39t, altså x 7t + 39t 7 39 x 3t 3t 3 3 x 3 t t + t x 4 7t 7 x 5 t Det ses heraf, at en basis for ker f er a, a, hvor 7 3 a og a Hermed har vi verificeret at rgf + dim(ker f dimf Sætning 479 For en m n-matrix A gælder, at A har samme rang som den transponerede A t, altså rga rga t Læg mærke til at dette bestemt ikke er et oplagt resultat Det følger at dimensionen af rummet udspændt af søjlerne for en matrix er lig dimensionen af rummet udspændt af rækkerne Bevis Sætningen ses umiddelbart at gælde, hvis A er en trappematrix (brug Sætning 473; rangen er antallet af trin Hvis A er en vilkårlig matrix, omdannes A til trappematricen A ved hjælp af rækkeoperationer; udføres så på A t de analoge søjleoperationer fremkommer matricen (A t Men så har vi rga rga rg(a t rga t

113 47 Rang; dimensionssætningen Bemærk specielt følgende konsekvens af dimensionssætningen: Sætning 47 For en lineær afbildning f : U V, hvor dimu dimv, er følgende tre udsagn ækvivalente: ( f er surjektiv ( f er injektiv (3 f er bijektiv Dette følger også af Sætningerne 3, 35 og 4

114

115 5 Vektorrum og matricer I forrige kapitel så vi at et endeligdimensionalt vektorrum har en basis I dette kapitel skal vi blandt andet se hvordan man skifter mellem forskellige baser og hvordan lineære afbildninger mellem vektorrum relaterer til matrix-afbildninger mellem vektorrum på formen F n 5 Koordinattransformationer Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum med dimv n, og lad A (a,, a n være en basis i V Den lineære afbildning ϕ : F n V givet ved x ϕ x n x a + + x n a n er da en isomorfi, den såkaldte koordinatafbildning Antag nu, at A (a,, a n er en anden basis i V Denne anden basis giver da også anledning til en isomorfi ϕ : F n V givet ved ϕ x x n x a + + x n a n Lad så v være en vektor i V, og antag at v har koordinaterne A (a,, a n ( den gamle basis, og koordinaterne x x n x x n med hensyn til basen med hensyn til basen A (a,, a n ( den nye basis Vi skal se på sammenhængen mellem de to koordinatsæt x x n og x x n 3

116 5 Vektorrum og matricer Idet gælder, at ϕ x v ϕ x x n x x n ϕ ϕ x n Sætter vi τ ϕ ϕ : F n F n er τ en isomorfi Men så er τ jo givet ved en regulær matrix, som vi skriver A T A, og der gælder hvor vi har sat (Se afsnit 43 x x n A [v] A T A A [v], (5 x A [v] og A [v] x n Denne relation er illustreret i diagrammet nedenfor Diagrammet skal læses på den måde, at man får samme svar uafhængig af, hvilken rute man tager i diagrammet A T A F n A U F n A Matricen A T A omregner altså fra koordinater i basen A (den gamle basis til koordinater i basen A (den nye basis Den kaldes for koordinattransformationsmatricen (også kaldet basisskiftmatricen for overgang fra basen A til basen A Bemærk at notationen for koordinattransformationsmatricen er valgt så de to A -fodtegn i (5 altid skal stå ved siden af hinanden Lad os overveje hvordan vi, givet baser A og A, kan finde den tilhørende koordinattransformationsmatrix Bruger vi feks v a j ved vi at A [a j ] e j og derfor siger formlen (5 at j te søjle i matricen A T A er lig med A [a j ] Altså er den j te søjle i A T A koordinatsøjlen for vektoren a j med hensyn til den nye basis Af (5 fås, at A [v] A T A A [v] x x n 4

117 5 Koordinattransformationer hvoraf ses, at A T A er koordinattransformationsmatricen for overgang fra basen A til basen A, dvs den j te søjle i A T A er koordinatsøjlen for vektoren a j mht basen A Alt i alt har vi vist: Sætning 5 Hvis A [v] hhv A [v] er koordinatsøjlen for vektoren v V med hensyn til den gamle basis A hhv nye basis A, er A [v] A T A A [v] hvor A T A er den regulære n n-matrix, hvis søjlevektorer er koordinatsøjler for vektorerne i den gamle basis med hensyn til den nye basis Endvidere er søjlevektorerne i A T lig med koordinatsøjlerne for vektorerne i den nye basis med hensyn til den A gamle basis Bemærk følgende vigtige specialtilfælde: Hvis A (a,, a n er en basis i F n, og E (e,, e n betegner den naturlige basis i F n er koordinattransformationsmatricen for overgang fra A til E ifølge Sætning 5 lig med matricen A ( a a n ; koordinattransformationsmatricen for overgang fra E til A er derfor lig med matricen A Bemærk også at hvis A [v] A T A A [v] hvor A T A er regulær så er ( A T A A [v] A [v] Det følger at A T A ( A T A Altså er koordinattransformationsmatricen fra basis A til A den inverse af koordinattransformationsmatricen fra A til A Eksempel 5 I R er givet basen A med basiselementer ( a 3 ( 4, a, og basen A med basiselementer ( ( a, a Vi vil finde koordinattransformationsmatricen A T A A (a, a Idet for overgang fra A (a, a til a a + a, a a + 3a, 5

118 5 Vektorrum og matricer er ( A T A 3 Koordinattransformationsmatricen for overgang fra A til A er A T ( 3 A a a a a Figur 5: Vektorerne a og a udgør en basis for R Det samme gør vektorerne a og a Bemærk, at a a + a og a a + 3a Vi slutter afsnittet af med at skitsere en effektiv metode til hvordan man i praksis kan finde koordinattransformationsmatricen A T A når V F n Hvis A (a, a n er den gamle basis og A (a, a n den nye, skal vi ifølge Sætning 5 finde koordinatvektorerne for basiselementerne i A med hensyn til basen A, dvs for j,, n skal vi løse ligningssystemet A x a j hvor A er n n matricen der har basisvektorerne fra A som søjler Ifølge afsnit 3 kan vi løse dette ved at danne blokmatricen (A a j, dernæst ved rækkeoperationer omdanne denne til reduceret trappeform, og til sidst lave baglænssubstitution i det resulterende ligningssystem Men ifølge Sætning 437 og 64 kan A trappereduceres til ( identitetsmatricen Blokmatricen (A a j kan derfor reduceres til E A [a j ] Kombineret med Sætning 5 giver det følgende opskrift: Opskrift 53 (Finde koordinattransformationsmatricer i F n Lad A (a, a n være den gamle basis og A (a, a n den nye 6

119 5 Lineære afbildninger og matricer Dan n n blokmatricen (a a n a a n der har de ordnede basiselementer fra A og A som søjler Find den reducerede trappematrix af blokmatricen fra Denne er da på formen (E B Da er B A T A 5 Lineære afbildninger og matricer Lad U og V være endeligdimensionale vektorrum med dimu n, dimv m Lad A (a,, a n være en basis i U og lad B (b,, b m være en basis i V, og lad ϕ : F n U og ψ : F m V være de tilsvarende koordinatafbildninger, altså x ϕ x n y ψ y m x a + + x n a n, y b + + y m b m For en given lineær afbildning f : U V definerer vi afbildningen α : R n R m ved diagrammet: R n α ϕ U f vi sætter altså R m ψ V α ψ f ϕ Vi ser, at α : F n F m er lineær, altså er den givet ved en m n-matrix som vi skriver B[f ] A Hvis A [x] betegner koordinatsøjlen for vektoren x med hensyn til basen A, og B [y] betegner koordinaterne for vektoren y f (x med hensyn til basen B kan vi nedskrive 7

120 5 Vektorrum og matricer følgende diagram A [x] α ϕ x f ; Med andre ord har vi altså α A [x] ψ f ϕ B[y] ψ Denne relation er illustreret i diagrammet nedenfor F n x x n y ψ f (x ψ (y B [y], B[f ] A A [x] B [f (x] B [y] (5 A U B[f ] A f V B Formel (5 understreger igen nyttigheden af notationen med at angive baserne som fodtegn: De to A er skal stå ved siden af hinanden Indsætter vi i (5 for A [x] den j te enhedssøjle e j, indser vi at B [f (x] er den j te søjle i B [f ] A Men e j A [a j ], altså er den j te søjle i B [f ] A koordinatsøjlen for vektoren f (a j med hensyn til basen B Matricen B [f ] A siges at repræsentere f i baserne A,B Alt i alt har vi vist den generelle søjleregel: F m Sætning 5 Hvis A [x] hhv B [f (x] er koordinatsøjlerne for vektoren x hhv y f (x, er B[f (x] B [f ] A A [x], hvor B [f ] A er den m n-matrix, hvis søjlevektorer er koordinatsøjlerne for vektorerne f (a,, f (a n med hensyn til basen B Bemærkning Lad U være et n-dimensionalt vektorrum med gammel basis A og ny basis A, og lad A T A være koordinattransformationsmatricen for overgang fra gammel til ny basis Da er A T A også den matrix der repræsenterer den identiske afbildning id U : U U i baserne A, A Altså er A T A A [id U ] A Bemærkning Lad U, V, W være endeligdimensionale vektorrum af dimension n, m, p med baser A, B, C Lad f : W V og g : U W være lineære afbildninger, og antag 8

121 5 Lineære afbildninger og matricer at f ved de givne baser i W og V repræsenteres ved m p-matricen B [f ] C, og at g ved de givne baser i U og W repræsenteres ved p n-matricen C [g] A Da vil den lineære afbildning f g : U V være repræsenteret ved m n-matricen B[f g] A B [f ] C C [g] A (53 ved de givne baser i U og V Sammenlign med Sætning 47 og beviset for denne, som overføres uændret til den mere generelle situation Eksempel 5 I det todimensionale vektorrum U er der givet basen A (a, a og i det tredimensionale vektorrum V er der givet basen B (b, b, b 3 Om den lineære afbildning f : U V vides, at f (a b b, f (a b + b b 3 I de givne baser repræsenteres f så ved matricen B[f ] A Vi vil feks beregne billedet af vektoren x a + a ved f Idet (y, y, y 3 betegner koordinaterne for y f (x fås y y y 3 ( Dette stemmer med at f (x f ( a + a f (a + f (a b + b + b + b b 3 b + b b 3 Hvis f : V V er en lineær afbildning fra et vektorrum ind i sig selv, og hvis der er givet en basis A (a,, a n i V taler vi om at f er repræsenteret ved en matrix i basen A Det er da underforstået, at basen A anvendes i V både når V anvendes som definitionsmængde for f og som dispositionsmængde for f, dvs at den relevante matrix er A [f ] A I tilfældet hvor U F n og U F m kan vi argumentere på samme måde som for Opskrift 53, og får ved hjælp af Sætning 5: Opskrift 53 (Finde matrixrepr for f : F n F m mht givne baser Antag A (a, a n er en basis for F n og at B (b, b m er en basis for F m 9

122 5 Vektorrum og matricer Dan m (n + m blokmatricen (b b m f (a f (a n Find den reducerede trappematrix af blokmatricen fra Denne er da på formen (E B Da er B B [f ] A matrixrepræsentationen af f med hensyn til baserne A og B 53 Lineære afbildninger og koordinattransformationer Vi vil nu overveje hvordan matricen, der repræsenterer f ændrer sig ved koordinatskift Lad U og V være endeligdimensionale vektorrum med dimu n, dimv m Lad A hhv B være baser ( de gamle i U hhv V Vi tænker os nu, at der i U hhv V er givet andre baser ( de nye A hhv B Vi lader A T A hhv B T B betegne koordinattransformationsmatricerne for overgang fra basen A til basen A hhv fra basen B til basen B Sætning 53 Hvis den lineære afbildning f : U V er repræsenteret ved matricen B[f ] A hhv B [f ] A i de gamle baser hhv de nye baser, er B [f ] A B T B B[f ] A A T A Bevis Vi har diagrammet U f, B[f ] A V A id U, A T A B idv, B T B U f, B [f ] A V A B Ifølge bemærkningerne til Sætning 5 er f id V f : U V repræsenteret ved B T B B [f ] A, og f f id U : U V er repræsenteret ved B [f ] A A T A, i begge tilfælde mht basen A

123 53 Lineære afbildninger og koordinattransformationer i U og basen B i V Derfor er B T B B [f ] A B [f ] A A T A B [f ] A eller B T B B [f ] A A T Bemærk følgende vigtige specialtilfælde af Sætning 53: Lad f : V V være en lineær afbildning og lad der i V være givet en gammel basis A og en ny basis A Da gælder ifølge Sætning 53, at A [f ] A A T A A [f ] A A T A A Eksempel 53 I det tredimensionale vektorrum U er der givet baserne A (a, a, a 3 og A (a, a, a 3, hvor a a a, a a + a + 3a 3 a 3 a + a a 3, og i det todimensionale vektorrum V er der givet baserne B (b, b og B (b, b, hvor b 5b b, b b + b En lineær afbildning f : U V repræsenteres i baserne A,B (de gamle ved matricen ( 3 B[f ] A Vi vil finde den matrix B [f ] A, der repræsenterer f i baserne A,B (de nye Vi aflæser umiddelbart vha Sætning 5, at koordinattransformationsmatricerne A T A hhv B T B for overgang fra gamle til nye baser opfylder, at Idet B [f ] A B T BB [f ] A A T A A T A ( B T B udregner vi ( B T B ( B T B (, 5 og vi finder så ( ( 3 B [f ] A 5 3 Bemærk, at det er unødvendigt at udregne A T A (

124 5 Vektorrum og matricer 54 Determinant af endomorfi Lad V være et vektorrum En lineær afbildning f af V ind i sig selv kaldes også for en endomorfi Antag nu, at vektorrummet V er endeligdimensionalt, og at A (a,, a n er en basis for V Definition 54 Ved determinanten det f af endomorfien f : V V forstås determinanten det A [f ] A af den matrix A [f ] A, der repræsenterer f i den givne basis Den netop givne definition af det f afhænger ikke af den valgte basis Er nemlig A en ny basis, og er A T A koordinattransformationsmatricen for overgang fra basen A til basen A, og repræsenteres f i den nye basis ved matricen A [f ] A, er A [f ] A A T A A [f ] A A T A ifølge Sætning 53 Men så er det( A [f ] A det( A T A A [f ] A A T A det( A T A det( A [f ] A det( A T A det( A T A det( A [f ] A (det A T A det( A [f ] A, hvor vi har anvendt Sætning 348 og Sætning 349 Sætning 54 Den lineære afbildning f : V V er bijektiv netop når det(f Bevis Vælg en basis a,, a n i V, og lad f være repræsenteret ved matricen A i denne basis Da er f bijektiv netop når A er regulær, dvs netop når det f det A Hvis A er en n n-matrix, og f : F n F n den tilhørende lineære afbildning (endomorfi, repræsenteres f ved A i den naturlige basis, og dermed er det f det A

125 6 Diagonalisering af matricer Dette kapitel introducerer de vigtige begreber: Egenværdier og egenvektorer En egenvektor for en lineær afbildning er en vektor hvorpå afbildningen virker særligt pænt Vi udvikler metoder der i visse tilfælde finder en basis for det underliggende rum bestående af egenvektorer Dette gør den lineære afbildning særligt simpel, og nem at arbejde med 6 Diagonaliserbare matricer; egenværdier og egenvektorer Lad f : F n F n være en lineær afbildning hørende til n n-matricen A Dersom A er en diagonalmatrix, altså A λ hvor alle elementerne i A uden for diagonalen er lig med nul, er virkningen af f særlig simpel, idet nemlig λ n, x λ x f x n λ n x n Hvis nu V er et endeligdimensionalt vektorrum, og f : V V er en lineær afbildning (endomorfi af V er vi derfor interesserede i at finde en basis (a,, a n for V, således at f i denne basis repræsenteres af en diagonalmatrix Herved får vi et særligt godt overblik over virkningen af f Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum Definition 6 En lineær afbildning f : V V kaldes diagonaliserbar, hvis der findes en basis (a,, a n således at f i denne basis repræsenteres af en diagonalmatrix Hvis f : V V er diagonaliserbar, og a,, a n er en basis for V i hvilken f repræ- 3

126 6 Diagonalisering af matricer senteres af en diagonalmatrix D λ λ n, gælder, at f (a λ a,, f (a n λ n a n Der gælder med andre ord, at f (a j er proportional med a j, og proportionalitetsfaktoren er λ j Definition 6 Ved en egenvektor for den lineære afbildning f : V V forstås en vektor x V, så x o og så f (x er proportional med x Proportionalitetsfaktoren kaldes den til egenvektoren x hørende egenværdi At x er egenvektor for f med tilhørende egenværdi λ betyder altså, at Med disse betegnelser fås så: x o og f (x λx Sætning 63 Den lineære afbildning f : V V er diagonaliserbar netop hvis der findes en basis for V bestående af egenvektorer for f Vi indfører nu yderligere nogle betegnelser Lad f : V V være en lineær afbildning Definition 64 Ved egenrummet V λ hørende til λ F forstås underrummet V λ {x f (x λx}, og ved egenværdimultipliciteten em λ hørende til λ F forstås tallet em λ dimv λ Lad e : V V betegne den identiske afbildning e : x x; denne er klart lineær For hvert λ F lader vi f λe betegne den lineære afbildning af V ind i sig selv defineret ved, at (f λe(x f (x λe(x f (x λx Med denne betegnelse har vi Sætning 65 For λ F gælder Egenværdimultipliciteten kaldet også den geometriske multiplicitet 4

127 6 Diagonaliserbare matricer; egenværdier og egenvektorer ( V λ ker(f λe ( em λ + rg(f λe dimv Bevis Idet f (x λx f (x λx o x ker(f λe ses, at ( er opfyldt Af dimensionssætningen (Sætning 477 fås, at rg(f λe + dimker(f λe dimv, hvoraf em λ + rg(f λe dimv, og hermed er ( vist Sætning 66 Lad λ F Da er følgende betingelser ensbetydende ( λ er egenværdi for f ( V λ {o} (3 em λ > (4 f λe er ikke bijektiv (5 det(f λe Bevis Der gælder λ egenværdi V λ {o} dimv λ > em λ >, og det(f λe f λe ikke bijektiv ker(f λe {o} V λ {o} Hermed er sætningen vist Definition 67 Det karakteristiske polynomium P f hørende til den lineære afbildning f : V V defineres ved P f (λ det(f λe Nedenfor gøres rede for, at P f faktisk er et polynomium Af Sætning 66 fremgår umiddelbart: Sætning 68 Egenværdierne for den lineære afbildning f : V V er netop F-rødderne i det karakteristiske polynomium P f (λ Hvis A er en n n-matrix med indgange i F og f : F n F n den tilhørende lineære afbildning, taler vi i det følgende om egenværdier for A, egenvektorer for A, det karakteristiske polynomium P A for A, om at A er diagonaliserbar etc Hermed menes naturligvis de tilsvarende begreber defineret som ovenfor for f Specielt er P A (λ det(a λe 5

128 6 Diagonalisering af matricer Bemærk at det hermed følger direkte af Definition 34 at P A (λ er et polynomium med koefficienter i F og af grad præcist n (Overvej! Endvidere er egenrummet V λ givet ved V λ {X F n (A λe X }, og der gælder em λ + rg(a λe n Vi kan nu forklare hvorfor det karakteristiske polynomium for en endomorfi faktisk er et polynomium: Hvis f : V V er en endomorfi, og (a,, a n er en basis for V, og hvis f repræsenteres ved matricen A i basen (a,, a n, da er P f (λ det(a λe P A (λ (se afsnit 54, og det fremgår heraf, at P f (λ er et polynomium i λ For matricer kan vi derfor finde egenværdier på følgende måde: Opskrift 69 (Find egenvektorer for en matrix Lad A være en matrix med indgange i F Vi finder da egenværdier og egenvektorer for A på følgende måde Beregn det karakteristiske polynomium P A (λ det(a λe Find F-rødderne til P A (λ Disse er egenværdierne 3 For hver egenværdi λ find den fuldstændige løsning til ligningssystemet (A λ E x o De fundne løsninger (fraregnet o-løsningen er præcist egenvektorerne hørende til egenværdien λ Eksempel 6 En lineær afbildning f : R R er givet ved matricen ( Vi vil finde egenværdierne og de tilhørende egenvektorer for f Først opskrives det karakteristiske polynomium P f (λ P A (λ det(a λe ( 5 λ 7 det (5 λ( 4 λ + 4 λ λ 6, 4 λ 6

129 6 Diagonaliserbare matricer; egenværdier og egenvektorer og rødderne i ligningen P f (λ findes; rødderne er λ 3 og λ Vi finder så egenvektorerne hørende til λ : Vi skal løse ligningen (A λe X Vi opskriver matricen ( A λe A + E 7 7 ; denne matrix omformes ved hjælp af rækkeoperationer til trappematricen (, hvoraf aflæses, at en basis for egenrummet V er ( Vi finder dernæst egenvektorerne hørende til λ 3 Vi opskriver ( A λe A 3E 7 7 der ved hjælp af rækkeoperationer omformes til trappematricen ( 7, hvoraf aflæses, at en basis for egenrummet V 3 er ( 7, Vi vil nu et øjeblik se specielt på lineære afbildninger fra F n til F n Sætning 6 En n n-matrix A med indgange i F er diagonaliserbar netop hvis der findes en regulær n n-matrix S med indgange i F, så D S A S er en diagonalmatrix I givet fald er den j te søjle i S en egenvektor for A med tilhørende egenværdi lig med det j te diagonalelement i D 7

130 6 Diagonalisering af matricer f (y 3y y f (x x ( x ( 7 V, y V 3 x Figur 6: Egenvektorer for den lineære afbildning f : R R fra eksempel 6 Bevis Lad f : F n F n være den lineære afbildning der hører til matricen A Antag først, at S er en regulær n n-matrix, så D S A S er en diagonalmatrix Skriver vi S ( a a n er (a,, a n en basis i R n, og S B T E er koordinattransformationsmatricen for overgang fra den naturlige basis E til basen B (a,, a n Men så repræsenteres f ved matricen D S A S i basen (a,, a n (Sætning 53 Skrives D λ er derfor f (a j λ j a j Dette viser den ene halvdel af sætningen Antag dernæst at A er diagonaliserbar Da findes en basis B (a,, a n for F n bestående af egenvektorer for f I denne basis repræsenteres f af en diagonalmatrix D, og der gælder D S A S, hvor S B T E er koordinattransformationsmatricen for overgang fra naturlig basis til basen (a,, a n Dette viser den anden halvdel af sætningen Vi gør opmærksom på at det her er vigtigt hvilket rum matricen A opererer imellem, dvs om A : R n R n, eller A : C n C n Bemærk også at enhver matrix med reelle indgange kan betragtes som en matrix med indgange i C (da R C Det kan forekomme at en reel matrix A er diagonaliserbar betragtet som matrix med indgange i C (vi kalder den i så fald komplekst diagonaliserbar mens den ikke er diagonaliserbar betragtet som matrix med indgange i R (Den er altså ikke reelt diagonaliserbar For et eksemple på dette se Eksempel 63 Eksempel 6 Vi betragter matricen A fra Eksempel 6 og de fundne egenvektorer λ n, 8

131 6 Diagonaliserbare matricer; egenværdier og egenvektorer Idet sættet ( ( 7, udgør en basis i R, ses, at f og dermed A er diagonaliserbar Koordinattransformationsmatricen for overgang fra naturlig basis til denne basis bestående af egenvektorer opfylder, at ( S 7, og dermed er ( S 7 ( Der gælder så, at ( 3 hvilket også ses ved direkte udregning S A S, Eksempel 63 Det karakteristiske polynomium for matricen ( 3 5 A 5 3 er ( 3 λ 5 P A (λ (3 λ( 3 λ + 5 λ + 6, 5 3 λ der ingen reelle rødder har Altså har A ingen egenværdier Vi slutter specielt, at matricen A ikke er reelt diagonaliserbar Hvis vi derimod betragter A som værende en matrix med komplekse indgange har det karakteristiske polynomium de komplekse rødder λ 4i og λ 4i Vi finder egenvektorerne hørende til λ 4i: Vi skal løse ligningen (A λe X Vi opskriver matricen ( 3 4i 5 A λe A 4iE 5 3 4i ; denne matrix omformes ved at addere (3 + 4i/5 gange række til række, og dernæst multiplicere række med /(3 4i til trappematricen ( (3 + 4i/5, 9

132 6 Diagonalisering af matricer hvoraf aflæses, at en basis for egenrummet V 4i er (( (3 + 4i/5 På tilsvarende måde finder vi at egenrummet V 4i har basis (( (3 4i/5 Idet (( (3 + 4i/5 B ( (3 4i/5, er en basis for C, ses at A er diagonaliserbar som kompleks matrix (Se Sætning 63- Koordinattransformationsmatricen for overgang fra naturlig basis til denne basis, B T E, opfylder ( ( B T E S (3 + 4i/5 (3 4i/5 Det gælder så at ( 4i 4i hvilket også ses ved direkte udregning S A S, Eksempel 64 Det karakteristiske polynomium for matricen A ( 3 er ( λ 3 P A (λ det ( λ, λ der har (dobbelt- roden λ Matricen A har altså kun den ene egenværdi λ For at finde det tilhørende egenrum V opskrives matricen A λe A E ( 3, og vi ser, at en basis for V er ( Vi slutter, at matricen A ikke er diagonaliserbar 3

133 6 Diagonaliserbare matricer; egenværdier og egenvektorer Eksempel 65 Vi vil finde egenværdier og tilhørende egenvektorer for matricen 4 A 3 Først opskrives det karakteristiske polynomium: 4 λ P f (λ det(a λe det λ det 3 λ 4 λ ( λdet ( λdet 3 λ ( 4 λ ( λ(3 λdet ( λ (3 λ 4 λ + λ λ 3 λ 4 λ 3 λ Rødderne er altså λ og λ 3 Først findes egenrummet V hørende til λ Matricen A λe opskrives: 4 A λe A E ; 3 denne omdannes ved hjælp af rækkeoperationer til trappematricen Vi skal så løse ligningen x x + x 3 Sættes x s og x 3 t fås x s t x x 3 s t s + t, hvoraf fremgår, at sættet a, a udgør en basis for V Dernæst findes egenrummet V 3 hørende til λ 3 Matricen A λe opskrives: 4 3 A λe A 3E ; 3

134 6 Diagonalisering af matricer denne omdannes ved hjælp af rækkeoperationer til trappematricen: Vi skal så løse ligningssystemet Sættet x 3 t fås hvoraf fremgår, at vektoren x x + x 3 x x 3 x t x t t, x 3 t a 3 udgør en basis for V 3 Sættet (a, a, a 3 udgør en basis i R 3, og koordinattransformationsmatricen S for overgang fra naturlig basis til denne nye basis opfylder, at S, hvoraf Der gælder, at S S A S Betydningen af rodmultipliciteterne Lad x P(x være et reelt eller komplekst polynomium Vi siger som bekendt, at et komplekst tal x er rod i P hvis P(x I givet fald er P deleligt med (x x, dvs der findes et polynomium Q, så P(x (x x Q(x Vi siger, at en rod x har rod multipliciteten k, eller algebraisk multiplicitet k, hvis P er deleligt med (x x k, men ikke 3

135 6 Betydningen af rodmultipliciteterne med (x x k+ Eksempelvis gælder for polynomiet x 6 3x 5 + 6x 3 3x 3x +, at det kan skrives (x + (x 3 (x Derfor er x rod med multiplicitet to (også kaldet dobbeltrod, x er rod med multiplicitet tre, og x er rod med multiplicitet én Rodmultipliciteten af en rod x i et givet polynomium betegnes rm x At skrive et polynomium som produkt af led af formen (x x k kalder man at faktorisere polynomiet fuldstændigt En sådan fuldstændig faktorisering er entydig (bortset selvfølgelig fra faktorernes rækkefølge Alle komplekse polynomier (og dermed også alle reelle polynomier kan faktoriseres fuldstændigt Dette følger af algebraens fundamentalsætning Man kan imidlertid ikke være sikker på at et reelt polynomium kun har reelle rødder Feks kan polynomiet x 3 x +x skrives (x (x i(x+ i Dvs at i dette polynomium er rødderne altså, i, i og de har alle multiplicitet rm x Der gælder for ethvert polynomium, at summen af rodmultipliciteterne er lig med graden af polynomiet I praksis bestemmes rodmultipliciteterne for et polynomium ved hjælp af rodbestemmelse samt polynomiers division, jvf nedenstående eksempel Eksempel 6 For polynomiet P(x x 5 + 4x 4 + 7x 3 + x + x finder vi, at x og x er rødder Ved division med x og x + fås P(x x(x + (x 3 + x + 3x + 6 Den sidste faktor heri har roden x og kan skrives x 3 +x +3x+6 (x+(x +3 Leddet x + 3 har rødderne i 3 og i 3 Altså er P(x x(x + (x i 3(x + i 3, og dermed er rm, rm (, rm (±i 3 Lad V være et endeligdimensionalt F-vektorrum Sætning 6 Lad f : V V være en lineær afbildning For hvert tal λ F gælder, at em λ rm λ, hvor rm λ er rodmultipliciteten af λ i det karakteristiske polynomium P f for f Bevis Lad λ F, og lad V λ være egenrummet hørende til λ Lad p em λ dimv λ og lad (a,, a p være en basis for V λ Udvid denne til en basis (a,, a n for V Idet de første p vektorer i basen er egenvektorer for f med egenværdi λ, har matricen A, der repræsenterer f i denne basis, følgende form: A ( D B C hvor D λ E er p p-diagonalmatricen med λ i diagonalen, og er (n p p-nulmatricen Matricerne B og C har dimension p (n p, henholdsvis (n p (n p Der gælder så (Sætning 345 P f (λ det(a λe det(d λe det(c λe (λ λ p det(c λe Heraf fremgår, at λ har multiplicitet mindst p som rod i P f Bemærk, at E indretter sin størrelse efter behov, 33

136 6 Diagonalisering af matricer Sætning 63 Lad f : V V være en lineær afbildning mellem F-vektorrum Hvis summen af rodmultipliciteterne af F-rødderne i det karakteristiske polynomium for f er (skarpt mindre end dimv, eller hvis der findes en egenværdi λ med em λ < rm λ, da er f ikke diagonaliserbar Bemærk at hvis F C så er summen af rodmultipliciteterne for de komplekse rødder til det karakteristiske polynomium altid lig dim V, hvilket er en følge af algebraens fundamentalsætning Bevis Antag f er diagonaliserbar Lad (a,, a n være en basis for V bestående af egenvektorer med tilhørende egenværdier λ,,λ n I denne basis repræsenteres f ved diagonalmatricen D med diagonalelementerne λ,,λ n, og derfor er P f (λ det(d λe (λ λ (λ n λ Herved er P f fuldstændigt faktoriseret For ethvert tal λ gælder altså, at rodmultipliciteten rm λ er lig det antal gange λ optræder blandt tallene λ,,λ n Summen af alle disse rodmultipliciteter er netop n Hvis λ optræder p gange blandt λ,,λ n, findes der p basisvektorer som tilhører egenrummet V λ, og der må derfor gælde p dimv λ em λ Vi kan altså konkludere at rm λ em λ Ifølge Sætning 6 gælder så endda rm λ em λ Sammenfattende har vi vist, at hvis f er diagonaliserbar er summen af rodmultipliciteterne n, og der gælder rm λ em λ for alle egenværdier λ Sætningens udsagn fås umiddelbart heraf ved kontraponering Eksempel 64 I Eksempel 63 har det karakteristiske polynomium ingen reelle rødder, derfor er summen af de reelle rodmultipliciteterne Ifølge Sætning 63 er A ikke reelt diagonaliserbar ( eller anderledes formuleret: Den tilhørende lineære afbildning f A : R R er ikke diagonaliserbar, hvilket er i overensstemmelse med hvad vi viste i eksemplet I Eksempel 64 er λ dobbeltrod, og summen af rodmultipliciteterne er dermed lig n, som er Men egenværdimultipliciteten af λ er kun, altså gælder em λ < rm λ Sætning 63 giver dermed at matricen ikke er diagonaliserbar hvilket er i overensstemmelse med hvad vi fandt i eksemplet 63 Betydningen af egenværdimultipliciteterne Lad V være et endeligdimensionalt F-vektorrum, og lad f : V V være en lineær afbildning 34

137 63 Betydningen af egenværdimultipliciteterne Sætning 63 Hvis summen af rodmultipliciteterne for F-rødderne for det karakteriske polynomium for f er n dimv, og der gælder em λ rm λ for alle λ, da er f diagonaliserbar En diagonaliserende basis fås i så fald ved at vælge en basis for hvert af egenrummene og sammenstille disse baser Igen gælder det at hvis F C gælder det automatisk at det er nok at tjekke at em λ rm λ eftersom kravet om summen af rodmultipliciteterne i dette tilfælde er automatisk opfyldt Bevis Vi vælger en basis for hvert egenrum og sammenstiller disse Det følger af antagelserne om f, at det fremkomne sæt af egenvektorer har præcis n dimv elementer Vi betegner sættet a,, a n, og de tilhørende egenværdier λ,,λ n Vi skal vise, at dette sæt er lineært uafhængigt, idet det så udgør en basis ifølge Sætning 457, og dermed diagonaliserer f Antag sættet er lineært afhængigt Der findes da et tal k < n således at sættet a,, a k er lineært uafhængigt, mens sættet a,, a k+ er lineært afhængigt Da er a k+ span {a,, a k } ifølge Sætning 459, altså a k+ x a + + x k a k Vi anvender f, og får dels (fordi a k+ er egenvektor, og dels f (a k+ λ k+ a k+ λ k+ x a + + λ k+ x k a k f (a k+ x f (a + + x k f (a k x λ a + + x k λ k a k (fordi f er lineær og a,, a k er egenvektorer Vektoren f (a k+ er nu på to måder fremstillet som linearkombination af sættet a,, a k ; da dette sæt er lineært uafhængigt må koefficienterne i de to udtryk stemme overens, dvs λ k+ x i x i λ i for i,, k Dette er kun muligt hvis x i hver gang λ i λ k+ Fjerner man nullerne i ligningen a k+ x a + + x k a k, udtrykkes a k+ altså som linearkombination af andre basisvektorer fra det samme egenrum V λk+ Dette strider mod at sættet var sammensat af baser for de enkelte egenrum: vektorer fra sættet som tilhører samme egenrum er på forhånd lineært uafhængige Vi har dermed nået en modstrid og kan konkludere, at antagelsen at sættet er lineært afhængigt, var forkert Eksempel 63 I Eksempel 65 fandt vi basen (a, a for egenrummet V og basen (a 3 for egenrummet V 3 Ifølge Sætning 63 er så (a, a, a 3 en basis for V R 3 I det nævnte eksempel blev dette verificeret ved direkte udregning: det nyttige ved Sætning 63 er netop, at man kan udelade denne verificering 35

138 6 Diagonalisering af matricer Sætning 633 Hvis det karakteristiske polynomium P f for f har n dimv forskellige F-rødder λ,,λ n, da er f diagonaliserbar En diagonaliserende basis (a,, a n fås i dette tilfælde ved for hver rod λ i at vælge en egenvektor a i med egenværdien λ i Bevis For hver af rødderne λ,,λ n gælder nødvendigvis rm λ i (ellers ville summen af rodmultipliciteterne jo overstige n Ifølge Sætning 6 gælder dermed em λ i, og da hver rod ifølge Sætning 68 er egenværdi, er em λ i Altså er em λ i rm λ i Det følger nu af Sætning 63, at f diagonaliseres af den omtalte basis (a,, a n Vi opsummerer hvordan man, for en konkret matrix, afgør hvorvidt den er diagonaliserbar eller ej, og hvordan man i så fald finder koordinattransformationsmatricen S der diagonaliserer den Opskrift 634 (Diagonalisering af en n n matrix A Bestem det karakteristiske polynomium P A (λ det(a λe, og find dets rødder (egenværdierne for A samt de tilhørende rodmultipliciteter Bestem baser for hvert egenrum V λ (egenvektorer samt de tilhørende egenværdimultipliciteter ( antal basiselementer i basen 3 Matricen er diagonaliserbar hvis og kun hvis alle rodmultipliciteter er lig de tilhørende egenværdimultipliciteter I så tilfælde kan vi sætte S til at være den matrix der fremkommer ved at lade samtlige basiselementer fra være søjler Der gælder så at S er lig koordinattransformationsmatricen B T E fra basis E til B, hvor B er basen bestående af egenvektorerne Ydermere gælder at er diagonal S A S Om reel diagonalisering: Bemærk at overstående opskrift leder efter kompleks diagonalisering af en reel eller kompleks matrix Hvis man udelukkende er interesseret i reel diagonalisering af en reel matrix kan man stoppe processen efter trin hvis der optræder en ikke-reel rod I dette tilfælde er matricen ikke reelt diagonaliserbar Man kan også stoppe processen under trin hvis der viser sig en egenværdi hvor rodmultiplicitet ikke stemmer overens med den geometriske multiplicitet I dette tilfælde er matricen hverken reelt eller komplekst diagonaliserbar 36

139 63 Betydningen af egenværdimultipliciteterne Eksempel 635 Lad os se på matricen A og gennemføre diagonaliseringsopskriften på den: : Vi har P A (λ λ 3 + 4λ 5λ + ( λ ( λ (63 Vi ser af (63 at er en dobbeltrod og en enkeltrod Vi laver et skema Egenværdi Algebraisk mult Geometrisk mult Basis : Vi bestemmer først en basis for V Det svarer jo til at finde løsningsmængden til ligningen (A E x o og vi opskriver den relevante matrix som vi reducerer til trappeform: / Vi ser at dimensionen er og at en basis fx kan vælges som /, Så skal vi bruge en basis for V, og altså løse ligningssystemet (A E x o Det fører til matricen som har reduceret trappeform

140 6 Diagonalisering af matricer Således er dimensionen og en basis kan fx vælges som Skemaet er nu færdigt: Egenværdi Algebraisk mult Geometrisk mult Basis /, 3:Vi slutter at A er diagonaliserbar og hvis vi sætter S / gælder der at S A S er diagonal 64 Potensopløftning af matricer; anvendelser Lad A være en n n-matrix Af og til har man brug for at udregne potensen A k for k,,3, Hvis A er diagonaliserbar kan potensopløftning bekvemt gøres ved at diagonalisere A først Hvis nemlig S er en regulær matrix, så matricen D S A S er en diagonalmatrix gælder, at D k S A k S, (thi D (S A S (S A S S A S etc og dermed er A k S D k S Man udnytter så, at D k er meget let at udregne 38

141 64 Potensopløftning af matricer; anvendelser Eksempel 64 Vi betragter matricen A 4 3 fra Eksempel 65 Vi vil finde A 5 Naturligvis kan vi udregne den direkte; men vi kan også bemærke, at hvor D, S 3 ifølge Eksempel 65 Men så er A 5 A 5 S D 5 S, , S 3 Eksempel 64 Lad os antage at Københavns befolkningstal (gennem en årrække konstant er million Byen opdeles i to dele, city og forstæderne Lad C n betegne befolkningstallet i city, og lad F n betegne befolkningstallet i forstæderne efter n år (regnet i millioner Befolkningsfordelingen mellem city og forstæderne angives ved en befolkningsvektor ( Cn B n Antag, at 5% af befolkningen i city flytter til forstæderne, og at % af befolkningen i forstæderne flytter til city hvert år Der må gælde, at F n, C n+ 85C n + F n F n+ 5C n + 9F n ( Dette gælder for n,,, Denne sammenhæng kan skrives ( Cn+ F n+ ( ( Cn F n 39

142 6 Diagonalisering af matricer Matricen A ( ( kaldes overgangsmatricen Vi kan skrive formlen ( som B n+ A B n Specielt får vi, at B A B, B A B A B etc, således at B n A n B Vi vil undersøge, hvorledes befolkningsfordelingen udvikler sig efter et stort antal år Vi har altså brug for at beregne A n for store værdier af n Vi forsøger at diagonalisere A : Det karakteristiske polynomium skrives op: ( 7 P A det(a λe det λ 3 9 λ λ 7 4 λ Rødderne heri er λ og λ 3 4 Matricen A er altså diagonaliserbar Vi finder egenrummet hørende til egenværdien λ : ( 3 A λe, 3 der ved hjælp af rækkeoperationer omdannes til ( 3, hvoraf vi finder, at vektoren a ( 3 er en basis for V Dernæst finder vi egenrummet hørende til egenværdien λ 3 4 :, A λe ( 3 der ved hjælp af rækkeoperationer omdannes til (, 3 hvoraf vi finder, at vektoren ( a 4

143 64 Potensopløftning af matricer; anvendelser er en basis for V3 4 Om koordinattransformationsmatricen S for overgang fra naturlig basis til basen (a, a gælder så, at ( S 3, hvoraf og dermed er hvor S 5 ( 3 ( 5 D S A S, ( D , Men så er ( A n S D n S S ( 3 n S ( ( ( 3 n ( 3 n 5 4 n ( 3 n ( ( ( ( 3 n 3 4 Hvis nu feks n er ( 3 4 n tilnærmelsesvis lig med 37 (lommeregner, hvorefter vi finder følgende tilnærmede værdi for A : Vi finder så, idet M er million, B A B ( 5 A ( ( 5 (C + F 3 5 (C + F ( 5 C 3 F 5 M ( ( 5 C + 5 F 3 M 5 C F ( 4 6 Efter et antal år vil befolkningsfordelingen altså være stabil, og 4% af befolkningen vil bo i city, og 6% vil bo i forstæderne 4

144

145 7 Vektorrum med skalarprodukt I dette kapitel skal vi se på vektorrum med en ekstra fin struktur: Et skalarprodukt I sådanne vektorrum kan vi tale om at vektorer står ortogonalt (vinkelret på hinanden Teorien for disse gør os i stand til at udvikle en teori for hvornår en matrix med sikkerhed kan diagonaliseres 7 Skalarprodukt; Gram-Schmidt ortogonalisering Lad V være et vektorrum over F Definition 7 Ved et skalarprodukt (eller et indre produkt i V forstås en forskrift hvorved der til hvert par af vektorer x, y i V knyttes et tal x y, skalarproduktet af x og y, således at der for vilkårlige vektorer x, y, z i V og vilkårlige tal λ F gælder: S: (x + y z x z + y z S: (λx y λ(x y S3: x y y x S4: x x S5: x x x o Vektorrummet V udstyret med et skalarprodukt/indre produkt kaldes for et indre produkt vektorrum Hvis F R kaldes V også et Euklidisk vektorrum Eksempel 7 I talrummet F n defineres et skalarprodukt ved for to vektorer i F n at sætte x x n y x, y y n x y x y + + x n y n At dette faktisk er et skalarprodukt følger af Sætning 4 Dette skalarprodukt kaldes for det sædvanlige skalarprodukt eller det sædvanlige indre produkt på F n 43

146 7 Vektorrum med skalarprodukt Lad V være et indre produkt vektorrum For en vektor x V defineres længden af vektoren x som tallet x x x Denne definition giver mening, da x x ifølge S4 Vi bemærker, at x netop hvis x o, og at λx λ x for λ F, x V En vektor x V for hvilken x kaldes en enhedsvektor Hvis x V er en egentlig vektor, da er vektoren y x x en enhedsvektor Vektoren y siges at være fremgået af x ved normering To vektorer x og y siges at være ortogonale hvis x y Dette skrives også x y Definition 73 Et sæt af vektorer a,, a n i V kaldes et ortogonalsæt, hvis hver af vektorerne er forskellig fra nulvektoren, og hvis de er indbyrdes ortogonale, altså hvis a i o for i n og a i a j for i, j n, i j Sættet kaldes et ortonormalsæt, hvis der yderligere gælder, at alle vektorerne er enhedsvektorer, altså a i for alle i n Definition 74 En basis (a,, a n for V kaldes for en ortonormalbasis hvis sættet a,, a n er et ortonormalsæt a a a 3 Figur 7: Vektorsættet (a, a, a 3 er en ortonormalbasis for R 3 De naturlige ortonormalbaser for R og R 3 er vist på figur En basis (a,, a n er altså en ortonormalbasis, hvis a i a i for i n og a i a j for alle i, j n, i j Det ses umiddelbart, at den naturlige basis (e,, e n i F n er en ortonormalbasis i F n 44

147 7 Skalarprodukt; Gram-Schmidt ortogonalisering Sætning 75 Hvis (a,, a n er en ortonormalbasis for et indre produkt vektorrum V, og hvis vektoren x hhv y har koordinatsøjlen (a,, a n, da er x x n x y x y + + x n y n hhv y y n med hensyn til basen Bevis Vi ser på tilfældet n Der gælder så x y (x a + x a (y a + y a x y a a + x y a a + x y a a + x y a a x y + x y hvilket viser påstanden Bemærk at vi har brugt at det for et indre produkt vektorrum gælder at x (λy λ(x y, hvilket følger af Definition 7 S & S3 Sætning 76 Lad a,, a n være et ortogonalsæt i et indre produkt vektorrum V Da er sættet a,, a n lineært uafhængigt, og for a span {a,, a n } gælder a a a a a a + + a a n a n a n a n Bevis Hvis a span {a,, a n } findes tal λ, λ n, så a λ a + + λ n a n, Heraf fås ved at multiplicere skalært med a j, at a a j λ j a j a j, idet vektorerne a,, a n er indbyrdes ortogonale Idet a j a j er så λ j a a j a Dette j a j viser formlen for a Hvis en linearkombination a λ a + + λ n a n er o, viser formlen at λ j o a j a for j n, og det viser at sættet a j a j,, a n er lineært uafhængigt Sætning 77 Lad b,, b n være et ortogonalsæt i et indre produkt vektorrum V, og lad a n+ V være yderligere en vektor i V Sættes b n+ a n+ a n+ b b a n+ b n b n, b b b n b n er b n+ o netop hvis sættet b,, b n, a n+ er lineært uafhængigt; endvidere er b n+ ortogonal på b,, b n Under alle omstændigheder er span {b,, b n, a n+ } span {b,, b n, b n+ } 45

148 7 Vektorrum med skalarprodukt a a a a a a a a a a a a a Figur 7: Vektorerne a og a udgør et ortogonalsæt, så de er lineært uafhængige, og sætning 76 viser hvordan en vektor a span{a, a } kan skrives som en linearkombination af a og a Bevis Hvis b n+ o har vi klart, at a n+ {b,, b n }, og dermed er b,, b n, a n+ lineært afhængigt Hvis omvendt b,, b n, a n+ er lineært afhængigt, er b n+ o ifølge Sætning 76 Ved skalar multiplikation af b n+ med b j, j n, fås b n+ b j a n+ b j a n+ b j b j b j b j b j Det er klart, at span {b,, b n, a n+ } span {b,, b n, b n+ } Hermed er sætningen vist Hvis a,, a n er et sæt af lineært uafhængige vektorer i vektorrummet V, og vi sætter b a, og dernæst danner vektoren b ud fra sættet b, a som i Sætning 77, og dernæst danner vektoren b 3 ud fra sættet b, b, a 3 som i denne sætning etc, opstår der herved et ortogonalsæt b,, b n, med span {b,, b n } span {a,, a n } Sættet b,, b n siges at fremgå af sættet a,, a n ved Gram-Schmidt ortogonalisering Hvis vi ydermere normerer vektorerne b,, b n taler vi om Gram-Schmidt ortonormalisering Metoden er opkaldt efter JP Gram (85-96, dansk forsikringsmatematiker og E Schmidt ( , tysk matematiker Vi opsummerer som opskrift: 46

149 7 Skalarprodukt; Gram-Schmidt ortogonalisering Opskrift 78 (Gram-Schmidt ortogonalisering Lad a,, a n i V være lineært uafhængige, og lad U span{a,,a n } Lad b a For k,, n lad b k+ a k+ a k+ b b b Da er (b,, b n en ortogonalbasis for U 3 For i, n lad b i b i/ b i Da er (b,, b n en ortonormalbasis for U b a k+ b k b k b k b k Udtrykket a k+ b k b k b k b k i Opskrift 78 ændres ikke, hvis b k erstattes af cb k hvor c Regneteknisk kan det derfor være bekvemt at erstatte b k med cb k for passende c Dette er illustreret i det næste eksempel Eksempel 79 I R 4 er der givet de tre vektorer a, a, a 3 Vi udfører Gram-Schmidt ortogonalisering på dette sæt: Vi begynder med at sætte b a Dernæst sættes b a a b b b b 8 5 For nemheds skyld omdefinerer vi nu b idet vi fjerner faktoren 5, og vi sætter altså b

150 7 Vektorrum med skalarprodukt (A a 3 a b b b b b a a b a a b b b b (B b 3 a 3 a 3 b b b b a 3 b b b b a 3 b a 3 b b b b + a 3 b b b b a b Figur 73: Gram-Schmidt ortogonalisering af vektorerne a, a, a 3 (A Konstruktion af b udfra b og a (B Konstruktion af b 3 udfra b, b og a 3 48

151 7 Skalarprodukt; Gram-Schmidt ortogonalisering Herefter findes b 3 : b 3 a 3 a 3 b b a 3 b b b b b b Vi omdefinerer så b 3, idet faktoren 3 fjernes, og vi sætter altså 7 5 b Hermed har vi fundet en ortogonalbasis for underrummet udspændt af (a, a, a 3, nemlig 7 b, b 6 3, b Ønsker vi at finde en ortonormalbasis normerer vi blot disse vektorer, og får 7, , Vi kan nu vise følgende vigtige sætning Sætning 7 Ethvert endeligdimensionalt indre produkt vektorrum V har en ortonormalbasis Bevis Lad (a,, a n være en basis for V Ved Gram-Schmidt ortonormalisering af denne basis opstår en ortonormalbasis (b,, b n for V En af grundene til at vi er interesserede i ortonormalbaser er at det er let at finde koordinaterne for en given vektor i en ortonormal basis Hvis man skal finde koordinaterne til en vektor i en generel basis i et n-dimensionalt rum kræver det normalt, at man løser et lineært ligningssystem af n ligninger i n ubekendte Hvis basen er ortonormal er koordinaterne simpelthen skalarprodukter af vektoren med basisvektorerne, som beskrevet i følgende sætning 49

152 7 Vektorrum med skalarprodukt Sætning 7 Hvis A (a, a, a n er en ortonormalbasis for vektorrummet V og x V, da er koordinatvektoren for x i basen A givet ved x a A [x] x a n Bevis Dette følger direkte af Sætning 76 og definitionen af koordinatvektorer 7 Ortogonale matricer Definition 7 En n n-matrix S kaldes ortogonal, hvis dens søjler udgør en ortonormalbasis i F n Eksempel 7 Matricen S ( ses umiddelbart at være en ortogonal matrix 3 3 Sætning 73 For en n n-matrix S er følgende betingelser ensbetydende ( S er ortogonal ( S S E (3 S er regulær, og S S Bevis Først ( (: Da (S S [i, j] S [i, ] S [, j] S [, i] S [, j] S [, i] S [, j], udgør søjlerne i S et ortonormalsæt hvis og kun hvis (S S [i, j] { for i j for i j, og det er ensbetydende med S S E Dette viser ( ( idet et ortonormalsæt med n vektorer i et vektorrum af dimension n nødvendigvis må være en ortonormalbasis (overvej! Dernæst ( (3: Hvis S S E er S regulær, og S S ifølge Sætning 66 Hvis omvendt S er regulær, og S S er S S S S E 5

153 73 Ortogonalkomplement og ortogonalprojektion Ifølge Sætning 73 er en reel matrix S ortogonal netop hvis S t S E En kompleks ortogonal matrix kaldes også en unitær matrix Eksempel 74 Idet matricen S fra Eksempel 7 er ortogonal, finder vi umiddelbart den inverse S S til S : S Lad V være et indre produkt vektorrum ( 3 Sætning 75 Koordinattransformationsmatricen A T A for overgang fra en ortonormalbasis A (a,, a n til en anden ortonormalbasis A (a,, a n er en ortogonal matrix Bevis Skriver vi matricen s s n A T A ( s s n s n s nn er s j s n j ifølge Sætning 5 koordinatsøjlen for vektoren a j med hensyn til basen A (a,, a n Men da (a,, a n og (a,, a n er ortonormalbaser fås så, at 3 s j s j s j s j + + s n j s n j a j a j, og s i s j s i s j + + s ni s n j a i a j for i j Her har vi anvendt Sætning 75 for at opnå næstsidste lighedstegn Dette viser sætningen 73 Ortogonalkomplement og ortogonalprojektion Lad V være et indre produkt vektorrum Definition 73 For en delmængde M V sættes M {x V x y for alle y M} 5

154 7 Vektorrum med skalarprodukt Det ses umiddelbart, at M er et underrum i V, og at M ( span M Hvis U er et underrum kaldes underrummet U for det ortogonale komplement til U Da den eneste vektor x, som opfylder, at x x, er nulvektoren x o, har vi U U {o} Sætning 73 Lad V være et endeligdimensionalt indre produkt vektorrum og lad U være et underrum i V Til a V findes en entydigt bestemt vektor x U for hvilken vektoren a x U Vektoren x kaldes ortogonalprojektionen af a på U Hvis dimu p > og hvis (a,, a p er en ortonormalbasis for underummet U er ortogonalprojektionen x af a på U givet ved x (a a a + + (a a p a p (73 Bevis Hvis U {o} (altså dimu skal vi klart sætte x o for alle a V Antag derfor at dimu p > Fra Sætning 7 kan vi altid vælge en ortonormalbasis a,, a p for U Hvis x U opfylder, at a x U, så gælder der specielt, at (a x a j for alle j,, p Dvs x a j a a j for alle j,, p Vi konkluderer derfor fra Sætning 76, at (73 er rigtig Altså er x defineret ved (73 den eneste vektor, der kan have den ønskede egenskab Hvis vi på den anden side definerer x ved (73, ser vi umiddelbart, at for j,, p er (a x a j for alle j,, p Derfor er a x ortogonal på alle basisvektorerne i U og dermed på alle vektorer i U, da disse kan skrives som linearkombinationer af basisvektorerne Vi konkluderer, at a x U Hvis U er et underrum i et indre produkt vektorrum V af endelig dimension, så ser man at afbildningen P U : V V, som til en vektor a V knytter ortogonalprojektionen x af a på U er givet ved x P U (a (a a a + + (a a p a p, a V, idet a,, a p er en ortonormalbasis for underummet U Af denne formel ser man let, at P U er lineær At f eks L i Definition 4 er opfyldt, altså at P U (a + b P U (a + P U (b, a, b V følger af regneregel S for skalarprodukter ved lidt vektorregning Dette kræver en ortonormal basis for U Hvis derimod U {o} er P U lig med nulafbildningen: P U (a o for alle a V Afbildningen P U kaldes projektionsafbildningen på U Billedet og kernen for P U er givet ved ker (P U U, P U (V U (73 Vi opskriver formlen for ortogonalprojektionen som en opskrift 5

155 73 Ortogonalkomplement og ortogonalprojektion Opskrift 733 (Find ortogonalprojektionen af a på U Lad U være et underrum i et endeligdimensionalt indre produkt vektorrum V Lad a ligge i V Antag at U span{a, a k } Find en basis for U ved hjælp af udtyndingsalgoritmen Lav ved hjælp af Gram-Schmidt en ortonormalbasis (b, b p 3 Da er ortogonalprojektionen P U (a af a på U givet ved P U (a (a b b + + (a b p b p Eksempel 734 Vi ønsker at bestemme projektionsafbildningen på underrummet U af R 3 givet ved U span, For at kunne benytte Sætning 73 skal vi først finde en ortonormal basis for U Det gør vi ved Gram-Schmidts procedure Vi får en ortogonal basis, og dermed en ortonormal basis, 3 Vi finder derfor at a P U a a a a a a a a 3, + 3 a a a 3 53

156 7 Vektorrum med skalarprodukt a (a b b x b (a b b b Figur 74: Ortogonalprojektion x af a på U span{b, b } hvor (b, b er en ortonormalbasis Bemærk, at x U og a x U hvoraf vi også kan aflæse matricen for P U med hensyn til standard basis i R 3 Sætning 735 Hvis V er et endeligdimensionalt indre produkt vektorrum og M V opfylder, at M {o}, da er span M V Bevis Lad U span M Da er U M {o} For a V gælder ifølge Sætning 73 at a P U (a U {o} altså a P U (a Der gælder altid P U (a U, og vi har dermed vist, at enhver vektor i V tilhører U, altså U V 74 Diagonalisering af reelle symmetriske matricer Vi vil i dette afsnit for første gang i noterne udelukkende beskæftige os med reelle matricer, og vi vil betragte de tilhørende lineære afbildninger fra reelle vektorrum R n til sig selv Lad A være en m n-matrix, og lad f : R n R m være den tilhørende lineære afbildning Vi har i afsnit 6 set, at hvis f f t : R m R n er den lineære afbildning, der hører til den transponerede matrix A t, da gælder f (x y x f t (y 54

157 74 Diagonalisering af reelle symmetriske matricer for alle x R n, y R m Er nu A en symmetrisk n n-matrix, gælder A t A, og dermed gælder for den lineære afbildning f : R n R n, at for alle x, y R n f (x y x f (y Lad V være et Euklidisk vektorrum, dvs et vektorrum over R med et skalarprodukt Definition 74 En lineær afbildning f : V V kaldes symmetrisk hvis for alle x, y V f (x y x f (y Sætning 74 En symmetrisk lineær afbildning f : V V repræsenteres i en ortonormalbasis af en symmetrisk matrix Bevis Lad (a,, a n være den givne ortonormalbasis, og lad A (a i j n,n være matricen der repræsenterer f i denne basis Der gælder så: a i j f (a j a i a j f (a i f (a i a j a ji Her har vi anvendt Sætning 5, og at f er symmetrisk Sætning 743 Hvis x og y er egenvektorer for den symmetriske lineære afbildning f : V V hørende til forskellige egenværdier, er x og y ortogonale Bevis Der gælder, at f (x λx og f (y µy, hvor λ µ Men så er λx y (λx y f (x y x f (y x (µy µx y Heraf ses, at (λ µx y, og dermed er x y, da λ µ Reelle symmetriske matricer har en afgørende egenskab, givet i den følgende sætning Beviset anføres i appendiks, idet det benytter et resultat fra analysen Sætning 744 Det karakteristiske polynomium for en symmetrisk matrix har (mindst én reel rod Af Sætning 744 fås, at hvis f : V V er en symmetrisk lineær afbildning, da har f en egenværdi (medmindre V {o} I en ortonormalbasis repræsenteres f nemlig ved en symmetrisk matrix A, og da P f P A, har P f en rod, som så er egenværdi for f ifølge Sætning 68 Sætning 745 Lad V være et Euklidisk vektorrum og lad f : V V være en symmetrisk lineær afbildning Da er f diagonaliserbar En diagonaliserende ortonormalbasis fås ved at vælge en ortonormalbasis for hvert egenrum og sammenstille disse baser 55

158 7 Vektorrum med skalarprodukt Bevis Lad M være mængden af samtlige egenvektorer for f og sæt U M Vi påstår, at underrummet U er invariant ved f, hvilket vil sige at y U medfører f (y U Lad x M Da er x egenvektor, altså f (x λx for et tal λ Dermed gælder for y U f (y x y f (x y λx λ(y x Altså er f (y x for alle x M, dvs f (y M U Dette viser påstanden Lad nu g : U U betegne restriktionen af f til U Da ses fra Definition 74 at g også er symmetrisk Ifølge bemærkningerne efter Sætning 744 har g en egenvektor, medmindre U {o} Men en egenvektor for g er også egenvektor for f og vil derfor tilhøre M Da M U er dette udelukket Altså må U {o} Altså udspænder M hele V (Sætning 735 Heraf sluttes, at vi kan finde en basis bestående af egenvektorer, og dermed er f diagonaliserbar At fremgangsmåden anført til sidst i sætningen fører til en diagonaliserende ortonormalbasis, følger af sætningerne 63 og 743 Af den netop viste sætning fås så følgende sætning om symmetriske matricer: Sætning 746 En reel symmetrisk n n-matrix A er reelt diagonaliserbar, og der findes en ortogonal reel n n-matrix S så er en diagonalmatrix D S A S Bevis Lad f : R n R n være den lineære afbildning der hører til A Der findes da en ortonormalbasis (a,, a n for F n bestående af egenvektorer for f (Sætning 745 Koordinattransformationsmatricen S for overgang fra naturlig basis til basen (a,, a n er da en ortogonal matrix (Sætning 75, og der gælder, at D S A S, hvor D er matricen, der repræsenterer f i basen (a,, a n (Sætning 53 Men D er en diagonalmatrix, da vektorerne a,, a n er egenvektorer for f Dette viser sætningen Bemærkning Omvendt til Sætning 746 gælder: Hvis en n n-matrix A er diagonaliserbar mht en reel ortogonal matrix S, så er A symmetrisk Af D S A S fås A S D S, og heraf ses at hvoraf symmetrien af A fremgår A t S t D t (S t S D S A, 56

159 74 Diagonalisering af reelle symmetriske matricer Eksempel 747 Der er givet den symmetriske matrix 8 4 A 4 8 Vi vil finde en basis for R 3 bestående af egenvektorer for A, og en ortogonal matrix S så D S A S er en diagonalmatrix Vi opskriver først det karakteristiske polynomium: 8 λ 4 P A (λ det(a λe λ 4 8 λ λ λ λ 4 8 λ ( λ λ ( λ λ λ 4 4 λ ( λ λ 4 4 λ ( λ(λ 5λ + 36 ( λ (3 λ Det karakteristiske polynomium har altså rødderne λ 3 og λ (dobbeltrod Vi finder dernæst de tilhørende egenrum For λ 3 fås: 5 4 A λe 8, 4 5 der ved hjælp af rækkeoperationer omdannes til matricen 4 Vi opskriver så ligningssystemet hørende hertil: x 4x x 3 x + x 3 Dette løses, og vi finder Vektoren x x x 3 t t t t a, t R 57

160 7 Vektorrum med skalarprodukt er altså en basis for egenrummet V 3 hørende til egenværdien λ 3 For λ fås: 4 4 A λe, 4 4 der ved hjælp af rækkeoperationer omdannes til matricen Vi opskriver så ligningssystemet hørende hertil: Dette løses, og vi finder x s + t x x 3 s t s Vektorerne x + x x 3 a, a 3 + t, s, t R er altså en basis for egenrummet V hørende til egenværdien λ Vi har nu fundet en basis (a, a, a 3 for R 3 bestående af egenvektorer for A Vi skal så finde en ortonormalbasis bestående af egenvektorer for A Vi bemærker, at vektoren a er ortogonal på vektorerne a, a 3 i overensstemmelse med Sætning 743 Ved hjælp af Gram-Schmidt omdanner vi så sættet a, a 3 til en ortonormalbasis for V : Vi sætter b a, og Vi omdefinerer så b 3 til b 3 a 3 a 3 b b b b b 3 4, og sætter b a Hermed har vi opnået et ortogonalsæt b, b, b

161 75 Kvadratiske former bestående af egenvektorer for A Den søgte ortonormalbasis fås nu ved normering af dette sæt: 3 3 3,, Om koordinattransformationsmatricen S for overgang fra naturlig basis til denne nye ortonormalbasis gælder: og dermed er 3 S , S (S (S t Der gælder så, at t D S A S, hvor D 3 75 Kvadratiske former Lad B (b i j n,n være en reel symmetrisk n n-matrix For x X R n sættes K B (x X t B X Funktionen K B : R n R kaldes den til B hørende kvadratiske form For n er ( b b B, b b 59

162 7 Vektorrum med skalarprodukt og ( b b K B (x, x (x x b b ( x x b x + b x + b x x og For n 3 er b b b 3 B b b b 3, b 3 b 3 b 33 b b b 3 x K B (x, x, x 3 (x x x 3 b b b 3 x b 3 b 3 b 33 x 3 b x + b x + b 33x 3 + b x x + b 3 x x 3 + b 3 x x 3 Generelt gælder n K B (x b ii x i + b i j x i x j i i< j Eksempel 75 a Funktionen K : R R givet ved K(x, x x 4x x + x er en kvadratisk form; thi sættes ( B er K K B b Funktionen K : R 3 R givet ved K(x, x, x 3 3x + x x 3 x x 3 + x x 3 er en kvadratisk form; thi sættes er K K B B 3 Definition 75 Lad K B være den kvadratiske form hørende til den symmetriske matrix B Vi siger, at 6

163 75 Kvadratiske former ( K B er positivt definit, hvis K B (x > for alle x o ( K B er positivt semidefinit, hvis K B (x for alle x (3 K B er negativt definit, hvis K B (x < for alle x o (4 K B er negativt semidefinit, hvis K B (x for alle x Hvis ingen af disse betingelser er opfyldt siges K B at være indefinit Hvis en kvadratisk form K B er positivt definit er den også positivt semidefinit At K B er indefinit betyder, at der findes en vektor x, så K B (x > og en vektor y, så K B (y < Hvis K B er negativt definit er K B positivt definit Hvis K B er positivt definit siges matricen B at være positivt definit etc Vi er interesserede i at kunne afgøre om en given kvadratisk form er positivt (semidefinit, negativt (semidefinit eller indefinit Først ser vi på tilfældet, hvor B er en diagonalmatrix, altså B λ λ n ; da er K B (x λ x + + λ nx n Heraf fremgår klart, at K B er positivt definit netop hvis λ j > for alle j n, positivt semidefinit netop hvis λ j for alle j n, negativt definit netop hvis λ j < for alle j n, negativt semidefinit netop hvis λ j for alle j n og indefinit netop hvis der findes et j, så λ j > og et k ( j så λ k < Antag så, at B er en vilkårlig symmetrisk n n-matrix Der findes da en ortogonal matrix S, så matricen D S B S er en diagonalmatrix: her er λ,,λ n egenværdierne for B så: D λ For en vektor x X skriver vi x X S X (jvf Sætning 5 Idet X S X gælder λ n ; K B (x X t B X (S X t B S X X t (S t B S X X t S B S X X t D X K D (x 6

164 7 Vektorrum med skalarprodukt Heraf fås Sætning 753 Den kvadratiske form K B hørende til en symmetrisk matrix B er positivt definit (hhv positivt semidefinit, hhv negativt definit, hhv negativt semidefinit netop hvis samtlige egenværdier for B er positive (hhv positive eller nul, hhv negative, hhv negative eller nul, og den er indefinit netop hvis der findes både positive og negative egenværdier Eksempel 754 En kvadratisk form K : R 3 R er givet ved K(x, x, x 3 8x + x + 8x 3 4x x + 8x x 3 + 4x x 3 Den tilhørende symmetriske matrix er B Denne matrix blev i Eksempel 747 vist at have egenværdierne 3 og, altså er den kvadratiske form K positivt definit Hvis B er en symmetrisk matrix, og S er en ortogonal matrix, så D S B S er en diagonalmatrix, da er det D detb Hvis derfor B er positivt definit, er detb >, idet jo så alle diagonalelementerne i D er positive, og determinanten for D er produktet af egenværdierne Lad B (b i j n,n være en symmetrisk matrix Ved den i te ledende undermatrix forstås den i i-matrix B i der fremgår ved sletning af de sidste n i rækker og søjler Altså er Specielt er B n B B b ( b b B, b b b b i B i b i b ii Det er klart, at K B i (x,, x i K B (x,, x i,,, Hvis derfor B er positivt definit er B i positivt definit, og dermed er også den ledende underdeterminant detb i > for alle i n Dette viser den ene halvdel af følgende sætning Den anden del af sætningen beviser vi ikke her 6

165 76 Diagonalisering af normale matricer Sætning 755 En symmetrisk matrix er positivt definit netop hvis alle dens ledende underdeterminanter er positive Eksempel 756 Vi betragter igen matricen B fra Eksempel 754 De ledende underdeterminanter beregnes til detb 8, detb 84, detb 3 detb 43 Idet disse alle er positive, fås igen at B er positivt definit 76 Diagonalisering af normale matricer Vi har i afsnit 74 set at en reel symmetrisk matrix altid kan diagonaliseres ved hjælp af en reel ortogonal matrix Som afslutning skal vi, kortfattet og uden bevis, se på både reelle og komplekse matricer, og vi giver et kriterium for hvornår de kan ortogonalt diagonaliseres Lad B være en reel eller kompleks n n-matrix Vi siger at en sådan kvadratisk matrix B er normal hvis B B B B, dvs hvis B kommuterer med sin adjungerede Vi siger at en matrix er ortogonalt diagonaliserbar hvis der findes en diagonaliserende matrix S ( dvs S A S er diagonal hvor S er ortogonal Der gælder da følgende sætning Sætning 76 En kvadratisk matrix B er ortogonalt diagonaliserbar hvis og kun hvis den er normal Der er selvfølgelig også en mere abstrakt version: Enhver lineær endomorfi, f, på et indre produktrum har en adjungeret endomofi, f karakteriseret ved f (x y x f (y, for alle x, y V En endomorfi faldes normal hvis den kommuterer med sin adjungerede endomorfi Der gælder så Sætning 76 Lad V være et endeligdimensionalt indre produkt vektorrum Der findes en ortonormal basis af egenvektorer for endomorfien f hvis og kun hvis f er normal 63

166

167 A Appendiks A Mængder De grundlæggende begreber fra mængdelæren forudsættes bekendt Her indskrænker vi os til at minde om følgende standardbetegnelser: N betegner de naturlige tal, dvs tallene,,3, N betegner de naturlige tal med tilføjelse af, dvs tallene,,,3, Z betegner de hele tal, dvs tallene, 3,,,,,,3, Q betegner de rationale tal, dvs mængden af alle brøker p q, hvor p og q er hele tal, q R betegner de reelle tal Disse tal svarer til mængden af punkter på en tallinie C betegner de komplekse tal Disse tal svarer til mængden af udtryk på formen x+i y hvor x og y er reelle tal A Afbildninger Ved en afbildning af en mængde af X ind i en mængde Y, eller en funktion fra X til Y, forstås en forskrift, hvorved der til hvert element x X knyttes et bestemt element y Y En afbildning betegnes i reglen ved et enkelt bogstav At f er en afbildning af X ind i Y skrives f : X Y Mængden X kaldes afbildningens definitionsmængde og mængden Y kaldes dens dispositionsmængde Det til et element x X svarende element af Y betegnes f (x Det kaldes billedet af x ved f eller den til x hørende funktionsværdi At f (x svarer til x skrives hyppigt x f (x 65

168 Appendiks For en vilkårlig delmængde A af X udgør billederne af alle x A en delmængde af Y, der kaldes billedet af A ved f og betegnes f (A, altså f (A {f (x x A} Bemærk, at medens f (x for x X er et element i Y, er f (A for A X en delmængde af Y Billedet f (X kaldes billedmængden eller værdimængden for f En afbildning f : X Y kaldes surjektiv eller en afbildning af X på Y, hvis f (X Y Den kaldes injektiv, hvis der for vilkårlige indbyrdes forskellige x, x X gælder f (x f (x Sagt anderledes er f injektiv, hvis f (x f (x x x Afbildningen kaldes bijektiv, hvis den både er surjektiv og injektiv, altså hvis ethvert y Y er billede af et og kun et x X Er der givet en afbildning f : X Y kan vi for givet y Y betragte ligningen y f (x Der gælder da: a Ligningen har mindst en løsning for hvert valg af y netop hvis f er surjektiv b Ligningen har højst en løsning for hvert valg af y netop hvis f er injektiv c Ligningen har netop en løsning for hvert valg af y netop hvis f er bijektiv Til en bijektiv afbildning f : X Y hører en omvendt afbildning f : Y X Denne er defineret ved, at billedet af y Y ved f er det (entydigt bestemte element x X for hvilket y f (x Sagt anderledes er f (y den entydigt bestemte løsning x til ligningen y f (x Den omvendte afbildning til den bijektive afbildning f kaldes også for den inverse afbildning til f Det er klart, at hvis f : X Y er en bijektiv afbildning, da er den omvendte afbildning f : Y X også bijektiv, og (f f Lad X,Y, Z være mængder og lad f : X Y og g : Y Z være afbildninger Den sammensatte afbildning g f : X Z defineres da som den afbildning, der til hvert element x X lader svare elementet g(f (x i Z, altså g f (x g(f (x For sammensætning af afbildninger gælder den associative regel: Hvis X,Y, Z,W er mængder og f : X Y, g : Y Z, h : Z W er afbildninger, er h (g f (h g f Der gælder nemlig, at h (g f og (h g f begge er afbildninger af X ind i W, og på ethvert element x X har begge disse afbildninger værdien h(g(f (x Man kan derfor udelade parenteserne og simpelthen skrive h g f Lad f : X Y og g : Y Z være afbildninger Da gælder: Hvis f og g begge er surjektive, er g f surjektiv Hvis f og g begge er injektive, da er g f injektiv Hvis f og g begge er bijektive, da er g f bijektiv, og da er (g f f g 66

169 Appendiks En speciel afbildning af en mængde X ind i sig selv er den identiske afbildning id X : X X, der lader ethvert element x X svare til sig selv: id X : x x For enhver bijektiv afbildning f : X Y gælder f f id X og f f id Y Hvis X og Y er mængder og f : X Y og g : Y X er afbildninger, så g f id X og f g id Y, da gælder at f er bijektiv, og f g For at indse det bemærker vi, at g(f (x x for alle x X og f (g(y y for alle y Y Heraf ses umiddelbart, at f er henholdsvis injektiv og surjektiv, altså bijektiv; og da f (g(y y slutter vi, at f (y g(y for alle y Y, altså f g Eksempel Afbildningen Cpr : X Y, hvor X er mængden af danske statsborgere (og udlændinge på længerevarende ophold i Danmark og Y er mængden af -cifrede naturlige tal, har stor praktisk betydning Det er vigtigt, at denne afbildning er injektiv, altså at forskellige personer har forskellige Cpr-numre Derimod er afbildningen ikke surjektiv For det første kan ikke alle 4-cifrede naturlige tal forekomme som de 4 første cifre i et Cpr-nummer men kun 366 af i alt muligheder Men derudover har man for ethvert Cpr-nummer af formen forlangt, at tallet c 9 c 8 c 7 c 6 c 5 c 4 c 3 c c c c + c + c + + c 9 9, c j <, 4c 9 + 3c 8 + c 7 + 7c 6 + 6c 5 + 5c 4 + 4c 3 + 3c + c + c er deleligt med Dette har den gode virkning, at ombytning af to nabocifre i et lovligt Cpr-nummer gør det til et ulovligt Cpr-nummer Prøv at teste dit eget Cpr-nummer for denne betingelse! A3 Komplekse tal De komplekse tal C består af talpar (a, b R Vi skriver normalt et komplekst tal på formen a + ib, hvor vi kalder i den imaginære enhed Vi bruger ofte et enkelt bogstav til at benævne et komplekst tal feks z a + ib Vi skriver normalt a istedet for det komplekse tal a + i og ib istedet for det komplekse tal + ib Vi vil gerne definere addition og multiplikation af komplekse tal på en måde så i Motiveret af dette definerer vi (a + ib + (c + id (a + c + i(b + d (a + ib(c + id (ac bd + i(ad + bc, 67

170 Appendiks hvor vi i sidste linie blot har ganget tallene sammen som om de var reelle tal, og dernæst brugt i Med disse definitioner gælder mange af de samme regler som for de reelle tal: For vilkårlige z, z, z 3 C gælder z + z z + z (z + z + z 3 z + (z + z 3 + z z z z z z (z z z 3 z (z z 3 z z Bemærk også at hvis z a + ib, kan vi lade z a/(a + b ib/(a + b z a + i( b Der gælder så zz og z + ( z Hvis z a + ib C definerer vi den komplekst konjugerede z a ib og absolut værdien af z Der gælder da følgende: z a + b z + z z + z z z z z z zz z z/ z, når z Et meget vigtigt resultat om C er følgende: Sætning A3 (Algebraens fundamentalsætning Lad f (x a n x n + a n x n + + a x + a være et polynomium, hvor a, a,, a n C er komplekse tal Hvis polynomiet ikke er konstant (altså på formen f (x a for et a C, har f (x en kompleks rod, dvs et komplekst tal z så f (z 68

171 Appendiks Ved en del arbejde (polynomiumsdivision med rest følger det fra Algebraens fundamentalsætning at ethvert komplekst polynomium af grad n har n komplekse rødder z,, z n (ikke nødvendigvis forskellige og kan skrives på formen f (x c(x z (x z (x z n hvor c C Opskrivningen er entydig pånær ombytning af faktorerne Bevis for Sætning 744 I beviset benyttes Lagranges multiplikatorsætning Vi minder først om hvad den siger, idet vi henholder os til den upræcise formulering givet i K Sydsæter, Matematisk Analyse I, afsnit 99 Der er givet en funktion f : R n R Der er endvidere givet et antal m < n, bibetingelser af formen g j (x b j, hvor g j : R n R og b j R for j,, m Om funktionerne f og g j skal gøres nogle antagelser, som vi ikke kommer nærmere ind på (se K Sydsæter, Matematisk Analyse II, Afsnit 84; i nedenstående anvendelse er det let at konstatere, at disse betingelser faktisk er opfyldt Problemet består i at finde (lokalt ekstremum for f blandt de punkter x R n, som opfylder bibetingelserne Til dette problem er knyttet den såkaldte Lagrangefunktion L For hver bibetingelse indføres en hjælpevariabel λ j, som kaldes en Lagrangemultiplikator Funktionen L er givet ved L (x,, x n,λ,,λ m f (x,, x n m λ j (g j (x,, x n b j Lagranges sætning siger, at hvis x (x,, x n er en løsning til det ovennævnte problem, da findes λ,,λ m således, at (x,, x n,λ,,λ m er et stationært punkt for L, hvilket vil sige L / x i for i,, n og L / λ j for j,, m (de sidstnævnte ligninger betyder blot at x opfylder bibetingelserne Vi vil anvende denne sætning til at bevise Sætning 744 Lad A være en symmetrisk matrix, og lad K A : R n R være den til A hørende kvadratiske form (se afsnit 75, altså K A (x,, x n n i k j n a ik x i x k Mængden S {x R n x } er afsluttet (fordi x x er kontinuert og begrænset (fordi x for alle x S Idet K A er kontinuert, antager den et ekstremum på S (den antager naturligvis både minimum og maksimum Ifølge Lagranges sætning, med f K A, m og g (x x x x, b eksisterer der derfor et stationært punkt (x,λ S R for funktionen L (x,λ K A (x λ(x x 69

172 Appendiks De partielle afledede af L beregnes som følger Lad os bestemme L / x Idet n n n n K A (x,, x n a x + a i x i x + a k x x k + a ik x i x k, ses (under anvendelse af symmetrien af A, at i k i k K A x a x + n n n a i x i + a k x k a k x k, i k k hvilket netop er førstekoordinaten af A x Idet (x x/ x x følger det, at L / x er førstekoordinaten af (A x λx Tilsvarende fås, at L / x i er i-koordinaten af (A x λx At punktet (x,λ S R er stationært for L betyder altså at A x λx o, dvs at x er egenvektor for A med egenværdien λ Dermed følger eksistensen af en egenvektor og en egenværdi for A af Lagranges sætning Da egenværdien er rod i det karakteristiske polynomium, har dette dermed en rod 7

173 B Det græske alfabet A, α: alfa B, β: beta Γ, γ: gamma, δ: delta E,ɛ, ε: epsilon Z, ζ: zeta H, η: eta Θ, θ, ϑ: theta I, ι: iota K, κ: kappa Λ, λ: lambda M, µ: my N, ν: ny Ξ, ξ: ksi Π, π, ϖ: pi R, ρ, ϱ: ro Σ, σ, ς: sigma T, τ: tau Υ, υ: ypsilon Φ, φ, ϕ: fi X, χ: ki Ψ, ψ: psi Ω, ω: omega 7

174

175 B Hjemmeopgaver Afgør hvilke af følgende afbildninger der er lineære, og angiv i givet fald den tilhørende matrix a b c f f ( x + x y y x + y x x + y f y z y x z ( ( x x + x y y y Om den lineære afbildning f : R R 4 vides at ( ( 3 f 3 4, f 3 Bestem matricen for f 3 Der er givet matricerne a c d f A b, B e, C r, D u t s w v Beregn matrixprodukterne A B, B A, C D, D C, A C 73

176 Hjemmeopgaver 4 En fabrik producerer tre varer X, X og X 3 ud fra de to råvarer Y og Y De tilhørende produktionssæt hhv forbrugssæt betegnes (x, x, x 3 hhv (y, y Om den pågældende produktion gælder, at og og produktion af en enhed af X kræver produktion af en enhed af X kræver produktion af en enhed af X 3 kræver { enheder af Y 5 enheder af Y { 3 enheder af Y 6 enheder af Y { 4 enheder af Y 7 enheder af Y a Opskriv sammenhængen mellem forbrugssæt og produktionssæt b Idet f : R 3 R betegner den afbildning, der til produktionssættet (x, x, x 3 knytter det tilsvarende forbrugssæt (y, y skal der redegøres for, at f er lineær, og matricen A for f skal opskrives 5 Den lineære afbildning f : R 3 R 3 er givet ved x x + z f y z y z x + 3y + z a Gør rede for, at f er bijektiv b Bestem den inverse afbildning f : R 3 R 3 til f c Angiv matricerne for f, f og f, samt produktet af de to førstnævnte matricer 6 Vis, at den lineære afbildning ϕ : R 3 R 3 som er givet ved x y ϕy z, z hverken er injektiv eller surjektiv Anfør matricen C for ϕ, og find C 3 7 Der er givet en øvre trekantsmatrix af formen a c A b 74

177 Hjemmeopgaver hvor a, b, c er vilkårlige relle tal Gør rede for, at en sådan matrix er regulær, og find et udtryk for A 8 Løs det lineære ligningssystem x x + x 3 x 4 x + 4x 3x 3 + 6x 4 x 3x 3 x + x 3 + x Løs det lineære ligningssystem 3x 6x + x 3 + 3x 4 5 3x 6x + 3x 3 + x 4 x 4x + 5x 3 + 6x 4 3 For ethvert a R betegner L a løsningsmængden til det lineære ligningssystem: x + x + 5x 3 7 x x x 3 3x x + (a + ax 3 a + a Bestem L og L b Bestem L a for ethvert a R En afbildning f : R 4 R 4 er givet ved x 4x + x 3 + x 4 x f x 3 3x + x + 3x 3 + x 4 x + x 3 x 4 3x + x + 4x 3 + x 4 Gør rede for, at f er lineær og undersøg om f er bijektiv Find i givet fald f, idet dennes matrix angives Der er givet matricerne A 3, B 3 75

178 Hjemmeopgaver Gør rede for, at der findes netop én løsning til matrixligningen og find denne 3 Givet matricen A A X A B, a + a Omform A ved hjælp af rækkeoperationer til en øvre trekantsmatrix og afgør herved, for hvilke værdier af a den givne matrix er regulær 4 Der er givet permutationerne ( σ og τ a Find fortegnet for σ hhv τ b Find permutationerne σ τ og τ σ c Find permutationen σ ( Givet matricen A Find det A for enhver værdi af a a + a 6 Der er givet matricen A a a + 4 a 4 a Bestem de værdier a R for hvilke matricen er regulær b Idet B a + a a + a, a R 76

179 Hjemmeopgaver skal man bestemme de værdier af a R for hvilke matrixligningen A X B har mindst en løsning (Vink: I det tilfælde hvor A ikke er regulær, undersøg da determinanten på begge sider af ligningstegnet c Løs ligningen for a 7 Løs følgende ligningssystem ved hjælp af Cramers formler: 3x x 5x 3 3 4x 4x 3x 3 4 x 5x Find den inverse til matricen A ved hjælp af determinantformlen for invers matrix 9 Udregn værdien af determinanten a a a b a a b a a b a a b a a a (Vink: Begynd eventuelt med at trække sidste række fra de øvrige rækker I R 3 er der givet vektorerne a For hvilke værdier af k er vektoren indeholdt i span{a, a }? 7 4, a a k

180 Hjemmeopgaver Vis at vektorerne a 3 4, a 3 5, a 3 4, a udgør en basis i R 4, og fremstil vektoren a 4 3 som linearkombination af disse vektorer Vis at vektorerne a 3 4, a 3 5, a 3 4, a i R 4 er lineært afhængige, og fremstil o som en linearkombination af disse vektorer med koefficienter der ikke alle er nul 3 I R 4 er der givet vektorerne u, u, u 3 a Vis, at u, u, u 3 er lineært uafhængige b Udvid sættet (u, u, u 3 til en basis for R 4 ved tilføjelse af en af vektorerne fra den naturlige basis e, e, e 3, e 4 Find også en der ikke kan bruges 4 Lad n, m være positive hele tal og betragt mængden M m,n (R bestående af alle reelle m n matricer a Vis at mængden M m,n (R udstyret med sædvanlig matrix-addition er et vektorrum b Vis at vektorrummet M m,n (R er endeligdimensionalt og find en basis 78

181 Hjemmeopgaver c Lad M j, j,, mn være vilkårlige matricer i M m,n(r Vis at disse vektorer er lineært afhængige 5 Find et maksimalt lineært uafhængigt sæt fra sættet (A, A, A 3, A 4 hvor ( A (, A (, A 3, A 4 idet A, A, A 3, A 4 betragtes som elementer i vektorrummet M, 6 Idet a og b er reelle tal, er der givet matricen A a b Udregn det A, og angiv rangen rg A for ethvert sæt (a, b R (, 7 I det tredimensionale vektorrum U er der givet basen A (a, a, a 3, og i det todimensionale vektorrum V er der givet basen B (b, b a Homomorfien f : U V er fastlagt ved at f (a b +b, f (a b b og f (a 3 3b Bestem matricen B [f ] A der repræsenterer f i de nævnte baser b Bestem en basis for ker f c Gør rede for, at f er surjektiv d I U og V indføres nye baser A (a, a, a 3 og (b, b således: a a + a 3, a 3a + a + a 3, a 3 a + a ; b b + b, b b + b Bestem koordinattransformationsmatricerne A T A, hhv B T B fra gammel til ny basis i U hhv V e Bestem nye koordinatsøjler A [u], hhv B [v] for vektorerne u a a hhv v b b i U hhv V f Find den matrix B [f ] A, der i de nye baser repræsenterer homomorfien f fra punkt a g Bestem den nye koordinatsøjle B [f (u] for f (u 79

182 Hjemmeopgaver h En homomorfi g : V U er givet ved Find matricen A [g] B g(y b + y b (y 3y a + (y + y a + (y y a 3 8 Afgør i hvert af følgende tilfælde, om den angivne matrix er diagonaliserbar, og find i bekræftende fald en diagonaliserende koordinattransformationsmatrix a ( 5 b ( c En lineær afbildning f : R 4 R 4 er givet ved matricen A 3 4 a Gør rede for, at ker f har dimensionen b Bestem egenværdier og egenvektorer for A c Angiv en basis for R 4 i hvilken den til A hørende homomorfi repræsenteres ved en diagonalmatrix, og angiv en sådan diagonalmatrix 3 I vektorrummet R 3 er givet de lineært uafhængige vektorer a, b, c En endomorfi f : R 3 R 3 er fastlagt ved f (a b, f (b a, f (c o 8

183 Hjemmeopgaver a Opskriv den matrix der repræsenterer f i basen (a, b, c b Gør rede for at f er diagonaliserbar c Find den matrix der repræsenterer f i den naturlige basis for R 3 3 Find i det euklidiske vektorrum R 4 en ortonormalbasis for løsningsrummet til ligningssystemet: 3x x x 3 + x 4 x + x 3x 3 x 4 3 Find i hvert af følgende to tilfælde ortogonalprojektionen af x på underrummet U: a hvor x 3 3 a, U span {a, a },, a b hvor x a, U span {a, a, a 3 },, a 3, a I det euklidiske vektorrum R 3 er der givet vektorerne a (,,, a (,,, x (,, a Gør rede for, at a og a er lineært uafhængige 8

184 Hjemmeopgaver b Find ortogonalprojektionen af x på underrummet U span {a, a } c Ortonormer sættet a, a til en ortonormalbasis b, b for U d Suppler b, b op til en ortonormalbasis b, b, b 3 for R 3 34 Lad f : R 3 R 3 være den lineære afbildning som er knyttet til matricen A a Find dimensionen af f (R 3, og angiv en basis for f (R 3 b Find dimensionen af ker f, og find en basis for ker f c Begrund, at der findes en ortonormalbasis (a, a, a 3 som diagonaliserer f, og find en sådan d Angiv en diagonalmatrix D og en ortogonal matrix T således at D T A T 35 En lineær afbildning f : R 4 R 4 er givet ved matricen a Find kernen ker f for f, og eftervis at dimensionen af ker f er b Find en ortonormalbasis a, a for ker f c Suppler den fundne ortonormalbasis a, a op til en basis for R 4 ved at udvælge to passende vektorer fra den naturlige basis e, e, e 3, e 4 i R 4 d Ortonormer den i punkt c fundne basis for R 4 til en ortonormalbasis for R 4 e Find ortogonalprojektionen af på ker f og på (ker f x 8

185 C Øvelsesopgaver Idet skal man beregne a 3x 4y b x + 3y 5z c x y, x (z + y x 7, y 3 4, z 5 8 Find de reelle tal x, y og z, når x + y + z Bestem de reelle tal k, så vektorerne x og y er ortogonale, når a x b x k 3 3k 4 5, y, y k 4 De lineære afbildninger f, g : R 3 R 3 hører til matricerne A hhv B 3 83

186 Øvelsesopgaver Bestem f, f og g, g 5 Gør i hvert af følgende tilfælde rede for, at den angivne afbildning f er lineær, idet den tilhørende matrix angives: a f ( x x x ( x x x b f x x 3 x 3 x 6 Der er givet en lineær afbildning f : R R 3 med den egenskab, at Find matricen A for f f ( 3 3 og f ( Lad afbildningerne f : R 4 R 3 og g : R 3 R være givet ved og f x x x 3 x 4 x + x x 4 x x 4 x + x + x 3 + x 4 x ( g x x + x + x 3 x x + x + x 3 3 a Gør rede for, at f er lineær idet den tilhørende matrix angives b Gør rede for, at g ikke er lineær (Vink: Benyt Sætning 39 8 Findes der en lineær afbildning f : R R 3 således at f ( ( 4, f 4, f ( 8? 84

187 Øvelsesopgaver 9 Angiv samtlige lineære afbildninger f : R 3 R med den egenskab, at ( ( f, f, ved at angive de tilhørende matricer Idet a, a er vektorer i R n og b, b er vektorer i R m defineres en afbildning f : R n R m ved f (x (a xb + (a xb a Gør rede for at f opfylder linearitstsbetingelserne L og L, og at f er lineær b Idet nu a ( (, a skal man opskrive matricen for f, og b, b 3 Der er givet tre matricer A, B Udregn matrixprodukterne A B, C A, B C, C B, C B C Betragt matricerne ( µ a b A, B, C c d, C ( 3 ( a Hvilke matrixprodukter X Y kan dannes, hvor X og Y er en af matricerne A, B eller C? b Udregn alle sådanne matrixprodukter 3 Udregn følgende matrixprodukter ( 3 3 og (

188 Øvelsesopgaver 4 Løs matrixligningerne (a (c ( X ( X ( 3, (b ( 3, (d ( X, 3 ( 3 ( X Bestem altså for hver matrixligning mængden af matricer X, der opfylder ligningen 5 Denne øvelse viser, at multiplikationen af reelle tal har nogle egenskaber som ikke deles af matrixmultiplikation Kommenter i hvert tilfælde resultatet set i lyset af de reelle tals egenskaber: a Idet ( A og B ( 3 skal man udregne A B og B A b Idet A ( ( og B skal man udregne A B c Idet ( A skal man udregne A d Idet skal man udregne A A ( e Idet A ( skal man udregne A 6 Idet f : R n R m er en lineær afbildning skal man gøre rede for, at a f (λx + µy λf (x + µf (y for x, y R n, λ,µ R 86

189 Øvelsesopgaver b f (λ x + λ x + λ 3 x 3 λ f (x + λ f (x + λ 3 f (x 3 for x, x, x 3 R n, λ,λ,λ 3 R c f (λ x + + λ k x k λ f (x + + λ k f (x k for x,, x k R n, λ,,λ k R 7 Udregn følgende to matrixprodukter, idet der redegøres for den anvendte strategi: a b Idet skal man udregne ( A, B ( og C 3 a A, A 3, A A 3, A 5 b B c C 3 9 Afgør i hvert af følgende tilfælde om den angivne afbildning f er injektiv, surjektiv, bijektiv, og angiv billedmængden ved f I de tilfælde hvor den angivne afbildning er bijektiv, skal man angive den omvendte afbildning a f : R R, f (x x b f : R R, f (x x 3 c f : R R, f (x x 3 x d f : R R, f (x e x e x e f : R \ {} R, f (x x e f : R \ {} R \ {}, f (x x f f : R R, f (x, y xy 87

190 Øvelsesopgaver g f : R R, f (x, y (x + y, x y h f : R R, f (x, y (y + x, x i f : R R, f (x, y (x + y, x y Der er givet en afbildning g : R R 3 ved og en afbildning h : R 3 R ved g ( u v x hy z u + v u v u + v, ( x + y y + z a Gør rede for, at g er injektiv men ikke surjektiv b Gør rede for, at h er surjektiv men ikke injektiv c Gør rede for, at g og h er lineære afbildninger, idet de tilsvarende matricer anføres d Gør rede for, at de sammensatte afbildninger g h og h g er lineære og anfør de tilsvarende matricer Lad X, Y og Z være mængder, og lad f : X Y og g : Y Z være afbildninger a Gør rede for, at hvis f og g er injektive, da er også g f injektiv b Gør rede for, at hvis f og g er surjektive, da er også g f surjektiv c Gør rede for, at hvis f og g er bijektive, da er også g f bijektiv, og (g f f g d Gør rede for, at hvis g f er injektiv, da er også f injektiv e Gør rede for, at hvis g f er surjektiv, da er også g surjektiv Gør rede for, at den lineære afbildning f : R 4 R 4 som er givet ved x x x f x 3 x + x x + x + x 3 x 4 x + x + x 3 + x 4 er bijektiv, og find matricen for den omvendte afbildning 88

191 Øvelsesopgaver 3 De lineære afbildninger f, g : R 3 R 3 er givet ved x x + x x x + x + x 3 f x x + x 3, g x x + x 3 x 3 x + x 3 x 3 x + x 3 a Gør rede for, at f er bijektiv, og at g ikke er bijektiv b Angiv den inverse afbildning til f c Angiv matricerne for f, f 4 Givet matricerne ( A A (, A, A 5 ( A 7 3 3, A 8 (, A 3, A 6 For hvilke værdier af i og j er A i A j? (Undersøg om A i A j E 5 Der er givet matricen C 9 6 5, 3 Eftervis, at C 3 E, og gør rede for at dette medfører, at C er regulær med C C 6 Der er givet matricerne A ( ( cos t sin t, B 3 4 sin t cos t, t R, a Find determinanten og den inverse matrix til hver af matricerne A og B b Find den inverse til hver af afbildningerne f, g : R R, hvor f ( x x ( x + x 3x + 4x, g ( x x ( x cos t x sin t x sin t + x cos t 89

192 Øvelsesopgaver c Bestem A, B og B 3 (Vedrørende B, B 3 : Benyt additionsformlerne 7 Afgør om følgende er rigtigt eller forkert: cos(u + v cos u cos v sin u sin v sin(u + v sin u cos v + cos u sin v a Når A B og B A begge eksisterer er både A og B kvadratiske b A (B C (A B C c A B B A, når A og B er kvadratiske n n-matricer d A B O A O eller B O e Hvis A er regulær og A B er regulær, så er B regulær 8 Der er givet matricen A 4 3 Gør rede for, at den til A hørende lineære afbildning f er bijektiv, og find f Find herved A 9 Der er givet matricen λ A λ λ 3 Undersøg hvornår den til A hørende lineære afbildning er bijektiv, og find i de fundne tilfælde f Gør herefter rede for, hvornår A er regulær, og find i de fundne tilfælde A 3 Der er givet tre matricer A, B Opskriv de transponerede matricer til A, B og C, C ( 3 3 Der er givet matricen A 5 7 9

193 Øvelsesopgaver Idet a, a er søjlevektorerne i A defineres afbildningen f : R 3 R ved ( x a f (x x a Gør rede for, at f er lineær idet den tilhørende matrix opskrives 3 Der er givet en 3 -matrix A Idet a, a betegner søjlevektorerne i A defineres afbildningen f : R 3 R ved ( x a f (x x a a Gør rede for, at f er lineær idet den tilhørende matrix opskrives b Der er nu yderligere givet en 3 -matrix B med søjlevektorer b, b Afbildningen h : R 3 R 3 defineres ved h(x (x a b + (x a b Gør rede for, at h er lineær og find den tilhørende matrix (Vink: Afbildningen h kan opfattes som den sammensatte afbildning g f, hvor g er den lineære afbildning der hører til B 33 Lad A være 3-matricen ( 3 Udregn matricerne A A t og A t A 34 Lad A være en m n-matrix Gør rede for, at A t A er en symmetrisk n n-matrix, og at A A t er en symmetrisk m m-matrix 35 Der er givet den symmetriske matrix A ( og den symmetriske matrix ( a b B b c Undersøg under hvilke betingelser matricen A B er symmetrisk 9

194 Øvelsesopgaver 36 Omform ved hjælp af rækkeoperationer matricen til en trappematrix Omform ved hjælp af rækkeoperationer matricen til en reduceret trappematrix Hvad sker der, når man ganger en 4 4-matrix foran hhv bagved med en af matricerne c, c, c c 3 c 4 39 Løs følgende 3 lineære ligningssystemer: a x x + x 3 3 x + x + 4x 3 6 x + x + 5x 3 9 b x x + x 3 4 x + x + 4x 3 6 x + x + 5x 3 9 c x x + x 3 4 x + x + 4x 3 6 x + x + 5x 3 9 9

195 Øvelsesopgaver 4 Løs det lineære ligningssystem x x + x 3 + x 4 4x 5x + 7x 3 7x 4 7 x + x x 3 + 3x 4 3 x 5x + 8x 3 3x Løs det lineære ligningssystem x + y + z 3 x y + 4z x + 3y z 3 3x y + z 4 Vis, at ligningssystemet x + y z x + y + z a x + z 3 ikke har nogen løsning (x, y, z hvis a 5, men derimod uendeligt mange løsninger hvis a 5, idet disse angives 43 Løs det lineære ligningssystem x + 4x x 3 x 4 + x 5 6 x + 3x + x 3 7x 4 + 3x 5 9 5x + 8x 7x 3 + 6x 4 + x Der er givet to matricer og Gør rede for, at begge matricer er regulære og find deres inverse 93

196 Øvelsesopgaver 45 Undersøg hvilke af følgende matricer der er regulære: 3 3,, 5 3 3, En afbildning f : R 3 R 3 er givet ved x x + 5x + x 3 f x x + 5x x 3 x + 7x + x 3 Gør rede for, at f er lineær og undersøg, om f er bijektiv Find i givet fald f, idet dennes matrix angives 47 Om en lineær afbildning f : R 3 R 3 med matrix X vides, at 3 f 5, 3 4 f 5 7, 4 f 7 a Gør rede for, at X b Find X c Gør rede for at X 3 E 48 Betragt matricerne A og B (Bemærk, at a i j b i j for alle i, j, hvor j 3 Afgør, om A er invertibel og find A, hvis A er invertibel Udfør det samme for B 94

197 Øvelsesopgaver 49 Lad A være en matrix og lad f være den tilhørende lineære afbildning Gør rede for, at hvis A indeholder en nulsøjle, da er f ikke injektiv og hvis A indeholder en nulrække, da er f ikke surjektiv Specielt er en matrix, der indeholder en nulrække eller en nulsøjle ikke regulær 5 Gør rede for, at en matrix med to ens rækker eller to ens søjler ikke er regulær 5 Der er givet matricerne A, B 3 Vis ved udregning, at 3 4, C A B 3, A C Hvad kan heraf sluttes om regularitet af matricerne A, B og C? 4 5 Gør rede for, at hvis blot en af n n-matricerne C,,C k ikke er regulær, så er produktet C C k heller ikke regulært 53 Idet A er matricen skal man finde en regulær matrix P, så P A er en trappematrix Skriv dernæst P som et produkt af operationsmatricer 54 Idet A er matricen skal man finde en regulær matrix P, så P A er en reduceret trappematrix Bestem den inverse matrix til P 55 Udregn, 3 4 3, 56 Udregn 95

198 Øvelsesopgaver a ( ( b c ( 3 3 ( ( d ( Find i hvert af følgende tilfælde antallet af inversioner og fortegnet for den angivne permutation ( a b ( Fremstil i hvert af følgende tilfælde den angivne permutation som sammensætning af naboombytninger ( a b ( Opskriv samtlige permutationer i S og S 3 og angiv disses fortegn 6 Vi betragter mængden S 3 af permutationer af tallene,,3 a Beskriv afbildningen f : S 3 S 3 givet ved f : σ σ, idet billedet af hvert element opskrives Verificer herved, at afbildningen f er bijektiv b Idet τ er permutationen ( 3, 3 skal man opskrive afbildningen g : S 3 S 3 givet ved g : σ σ τ, idet billedet af hvert element opskrives Verificer herved, at afbildningen g er bijektiv 96

199 Øvelsesopgaver 6 En permutation σ, der ombytter to tal i og j og lader de øvrige tal urørte kaldes en transposition Der gælder altså at σ(i j og σ( j i medens σ(k k for k i, k j a Naboombytninger er transpositioner b Opskriv nogle eksempler på transpositioner, der ikke er naboombytninger, og find antallet af inversioner for disse c Gør rede for, at antallet af inversioner i transpositionen σ ovenfor er ( j i +, og vis herved, at en transposition altid er ulige 6 Bestem determinanterne af følgende matricer: , Bestem de tal t R for hvilke matricen t t t er regulær 64 For hvilke værdier af a har det lineære ligningssystem ax y + 3z 4x + (a 4y + 6z x ay + 5z egentlige løsninger, dvs løsninger (x, y, z Angiv for de fundne værdier af a systemets fuldstændige løsning 65 Besvar følgende spørgsmål: a Hvad kan man sige om værdien af determinanten af en matrix, der indeholder ens rækker? b Hvad sker der med værdien af en determinant, når man skifter fortegn på alle elementer i en række, og hvad hvis man skifter fortegn på alle elementer i matricen? c Hvad er forskellen på en determinant og en matrix? 97

200 Øvelsesopgaver d Er det rigtigt, at en determinant er, hvis alle elementerne i matricen er? 66 Er følgende rigtig eller forkert? a b c b e a d f abc c a b c d abcd d a b c d abcd 67 Vis, at a a b b c c bc a ca b ab c (a b(a c(b c 68 Udregn a

201 Øvelsesopgaver b 3 69 Udregn a a b a a 7 Find de værdier af a R for hvilke matricen givet ved a a a a A a a a a a er regulær 7 Givet matricen a Beregn det A A b Gør rede for at A er regulær c Anvend Cramers formel til at løse ligningssystemet A X B, hvor B 7 Givet matricen t A t t t 99

202 Øvelsesopgaver a Beregn det A b Gør rede for, at A er regulær for alle værdier af t på nær ± c Anvend Cramers formel til for hvert t på nær ± at løse ligningssystemet A X B, hvor t B t 73 Lad A 3 6 og B a Udregn det(a B b Udregn det(a B 74 Lad A (a i j n,n være en n n-matrix Med A betegnes matricen ( a i j n,n a Gør rede for, at det( A ( n det A Matricen A kaldes skævsymmetrisk hvis A t A b Gør rede for, at hvis A er skævsymmetrisk og regulær, da er n lige 75 Find den inverse til matricen A ved hjælp af determinantformlen for invers matrix 76 For ethvert c R betragtes matricen: S c + c +

203 Øvelsesopgaver Bestem de værdier af c, for hvilke S er invertibel og bestem S for disse værdier af c 77 Udregn determinanten Udregn determinanten a b a b b a b a 79 Udregn følgende determinanter,, 8 Udregn + a a + a a a + a a + a 8 Find de værdier af λ R for hvilke λ λ λ λ 8 Angiv for hver værdi af a den fuldstændige løsning til ligningssystemet: x + x + 3x 3 x 4 5 x + 3x x 3 6 3x + 7x + 4x 3 x 4 4 x 5x 3 + x 4 a

204 Øvelsesopgaver 83 Der er givet matricerne A 3, B a Gør rede for, at A er regulær og find A 3 3 b Gør rede for, at der findes netop en løsning til matrixligningen og find denne A X A B 84 Givet matricen hvor a R, a Find M a a a M a a, a 85 Der er givet matricerne A Find de værdier af a for hvilke matrixligningen a, B a A X B har en løsning, og løs ligningen for disse værdier af a 86 Gør rede for, at matricen er regulær, og find A Idet A B a a 3 a b b 3 b

205 Øvelsesopgaver skal man beregne A B A B 87 Lad V være et vektorrum, og lad a,, a n være vektorer i V Idet afbildningen f : R n V defineres f x x n x a + + x n a n, skal man gøre rede for, at f er lineær ved at vise at f opfylder L og L 88 Lad U og V være vektorrum Idet f : U V er en lineær afbildning skal man gøre rede for, at a f (λx + µy λf (x + µf (y for x, y U, λ,µ R b f (λ x + λ x + λ 3 x 3 λ f (x + λ f (x + λ 3 (x 3 for x, x, x 3 U, λ,λ,λ 3 R c f (λ x + + λ k x k λ f (x + + λ k f (x k for x,, x k U, λ,,λ k R 89 Lad V være et vektorrum Gør rede for, at følgende er rigtigt: a Der findes kun én nulvektor i V b For hver vektor x V findes der kun én vektor y V, så x + y o c For hver vektor x V er x o d For hvert λ R er λo o e Hvis x + y z er x z y Der er nu givet yderligere et vektorrum U f Gør rede for, at hvis f : U V er en lineær afbildning da er f (o o 9 Lad V M, være mængden af -matricer udstyret med den i noterne angivne multiplikation med skalarer og addition a Eftervis, at V er et vektorrum b I V er der givet vektorerne a ( 4 Find de vektorer x og y i V for hvilke ( og b 4 x + y a og x y b 3

206 Øvelsesopgaver 9 For ethvert c R er der i vektorrummet R 3 givet vektorsættet a (,,, a (, c,, a 3 (x,, Bestem de værdier af c, for hvilke dette sæt er en basis i R 3 9 Lad V være mængden af -talsøjler R Gør i hvert af følgende tilfælde rede for, at V ikke er et vektorrum med hensyn til den angivne multiplikation med skalarer og addition ( ( ( ( ( x y x + y x λx a + og λ x y x + y x x b c ( x x ( x x + + ( y y ( y y ( x + y og λ x ( x + y og λ x + y ( x x ( x x ( λx λx ( λ x λ x 93 Undersøg i hvert af følgende tilfælde om den angivne mængde er et underrum i R 4 a Mængden af alle vektorer hvis førstekoordinat er et helt tal b Mængden af alle vektorer hvis førstekoordinat er lig nul c Mængden af alle vektorer hvori mindst en af de to første koordinater er nul d Mængden af alle vektorer hvori de første to koordinater tilfredsstiller ligningen x + x e Mængden af vektorer hvori de to første koordinater tilfredsstiller ligningen x + x 94 Undersøg om vektorsættet udgør en basis i R 4 a (,,,, a (,,,, a 3 (,,,, a 4 (,,, 95 Undersøg i hvert af følgende tilfælde om det angivne vektorsæt er lineært afhængigt, lineært uafhængigt, eller udgør en basis i R 3 a a (,,, a (,, b a (,,, a (,,, a 3 (,, 4

207 Øvelsesopgaver c a (,,, a (,,, a 3 (,, 96 Lad V være et vektorrum og lad U være et underrum i V Gør rede for, at a λx + µy U for x, y U, λ,µ R b λ x + λ x + λ 3 x 3 U for x, x, x 3 U, λ,λ,λ 3 R c λ x + + λ k x k U for x,, x k U, λ,,λ k R Antag nu yderligere, at M er en delmængde af U d Gør rede for, at hvis M U da er span M U e Gør rede for, at M er et underrum netop hvis span M M 97 Lad der være givet et ligningssystem a x + + a n x n a m x + + a mn x n Gør rede for, at mængden af løsninger x (x,, x n til dette ligningssystem udgør et underrum i R n 98 Find en basis for løsningsrummet til ligningssystemet x + 3x 3 x 4 + x 5 x 3 x 4 5x 5 x + x x 3 + x 4 + 6x 5 99 Undersøg i hvert af følgende tilfælde om det angivne vektorsæt er lineært afhængigt, lineært uafhængigt, eller udgør en basis i R 4 I de tilfælde hvor sættet er lineært afhængigt skal man angive en af vektorerne som linearkombination af de øvrige 4 a a, a, a 6 3 8, a b a, a, a 3 5

208 Øvelsesopgaver 3 c a, a 3, a 3, a 4 d a 4 3, a 6 5 5, a Lad f : U V være en homomorfi fra vektorrummet U ind i vektorrummet V Lad b V og lad L være mængden L {x U f (x b} Gør rede for, at L ikke er et underrum når b o Lad x U være en vektor og antag, at f (x b Idet K betegner kernen for f skal man gøre rede for, at hvis x U også opfylder f (x b, da findes der en vektor y K, så x x + y (Dette resultat kan kort udtrykkes således: L x + K Graden af et polynomium f (x a + a x + + a n x n, x R, i Pol (R hvor ikke alle a j er det største tal j så a j Lad for n,,, Pol n (R betegne mængden af polynomier af grad højst n samt nul-polynomiet a Vis, at Pol n (R er et underrum i Pol (R b Vis, at afbildningen φ : R n+ Pol n (R givet ved hvor a φ : a n f, f (x a + a x + + a n x n, er en isomorfi Hvad er dimensionen af Pol n (R? c Gør rede for, at polynomierne x j, j,,, n er en basis for Pol n (R d Vis, at mængden af polynomier af grad lig med n ikke er et underrum i Pol (R 6

209 Øvelsesopgaver Lad A være matricen Vis ved udregning, at A ( 3 4 A span (E, A, idet E betegner -enhedsmatricen (Vi arbejder her i vektorrummet M, Skriv A som linearkombination af E og A 3 Underrummet U i R 5 udspændes af a (,,,,5, a (,4, 5,,3, a 3 (3,,5,,, a 4 (,,,,, dvs U span (a, a, a 3, a 4 Find et delsæt af a, a, a 3, a 4 der er en basis for U, og skriv de øvrige vektorer som en linearkombination af vektorer fra den fundne basis 4 I R 4 er der givet vektorerne a (,,,, a (,,,, a 3 (,,,, a 4 (,,,, a 5 (3,,, Bestem en basis for U span (a,, a 5 der indeholder a og a 5 Bestem dernæst en basis for U, der indeholder a 3 og a 4 Skriv i begge tilfælde hver af vektorerne a,, a 5 som linearkombination af de fundne basisvektorer 5 Lad V være et vektorrum a Vis, at hvis U,U er underrum i V, da er også et underrum U U U 7

210 Øvelsesopgaver b Vis, at hvis U,,U p er underrum i V, da er også et underrum U U U p 6 Idet U og U er underrum i vektorrummet V defineres summen U +U af U og U som mængden U +U {x + y x U, y U } a Gør rede for, at U +U er et underrum i V b Idet (a,, a m er et frembringersæt for U og (b,, b n er et frembringersæt for U skal man gøre rede for, at (a,, a m, b,, b n er et frembringersæt for U +U Lad nu U være underrummet i R 4 frembragt af vektorerne a, a og lad U være underrummet i R 4 frembragt af vektorerne 5 b 3, b, c Bestem en basis for U +U d Bestem en basis for U U 7 I R 3 er der givet vektorerne a, a, a 3, a 4 Angiv samtlige maksimalt lineært uafhængige sæt af vektorer fra mængden {a, a, a 3, a 4 } 8

211 Øvelsesopgaver 8 I R 4 er der givet vektorerne a, a, a 3, a 4, a 5, a 6 Angiv samtlige maksimalt lineært uafhængige sæt af vektorer fra mængden {a, a, a 3, a 4, a 5, a 6 } 9 Der er givet følgende vektorer i R 5 : a (,,,,, a (,,,,, a 3 (,,,,, a 4 (,,,,, a 5 (,,,, Gør rede for, at (a, a, a 3, a 4, a 5 er en basis for R 5 I R 4 er der givet vektorerne a, a a Gør rede for, at U span (a, a er et to-dimensionalt underrum b Lad v Find ortogonalprojektionen P U (v af v på U I R 4 er der givet vektorerne a, a 3 4, a 3 9

212 Øvelsesopgaver Find en basis for U span (a, a, a 3 Undersøg om de to vektorer a (,,,,,, a (,,,,, udspænder samme underrum i R 6 som de to vektorer b (4, 5,, 5,,5, b ( 3,,,,, 3 Bestem rangen af følgende matricer: ( 3 4 A, B 3 3, 4 ( C, O, D, E 4 Lad f : R 4 R 4 være den lineære afbildning der hører til matricen A 5 5 a Bestem rga b Bestem en basis for ker f c Bestem en basis for f (R 4, altså for billedet af R 4 ved f d Bestem en basis a, a, a 3, a 4 for R 4 og en basis b, b, b 3, b 4 for R 4, således at hvor r rga f (x a + x a + x 3 a 3 + x 4 a 4 x b + + x r b r,

213 Øvelsesopgaver 5 Lad U og V være endelig dimensionale vektorrum, og lad f : U V være en homomorfi Der er valgt en basis (b,, b r for f (U a Gør rede for, at der findes vektorer a,, a r U, så f (a b,, f (a r b r b Gør rede for, at a,, a r er lineært uafhængige c Sæt U span (a,, a r, og sæt U ker f Gør rede for, at U U {o} 6 For ethvert t R er der givet matricen t B t t a Bestem for ethvert t R determinanten detb b Bestem for ethvert t R rangen af B c Bestem for ethvert t R løsningsmængden til ligningen B X d Bestem for ethvert t {,, } løsningsmængden til ligningen B X 7 I vektorrummet U R 3, hhv V R betragtes den naturlige basis samt sættet ε 3,,, hhv ε 3 α, 3,, hhv β ((, (( (, (, a Gør rede for at α, hhv β er en basis for U, hhv V Denne basis kaldes den nye basis for U, hhv V

214 Øvelsesopgaver b Vektoren u U har koordinatsøjle α [u] med hensyn til den nye basis α Find u c Bestem koordinattransformationsmatricen α T ε3, hhv β T ε, for overgang fra naturlig basis til ny basis i U, hhv V 3 d Bestem koordinatsøjler α [x], α [x ] for vektorerne x og x 5 3 e Den lineære afbildning f : U V repræsenteres i de naturlige baser af matricen ( 3 4 A Bestem den matrix β [f ] α der repræsenterer f i de nye baser f Bestem vektorerne f (u og f (x i V g Bestem disse vektorers nye koordinatsøjler på to måder (dvs ved benyttelse af matricen β T ε og ved benyttelse af matricen β [f ] α h Den lineære afbildning g : U V repræsenteres i de nye baser af matricen ( Bestem den matrix ε [g] ε3, der repræsenterer g i de naturlige baser 8 En lineær afbildning (homomorfi f : R R er givet ved matricen ( A (dette er altså matricen for f hørende til den naturlige basis, og vektorerne a og a er givet ved a (,, a (, a Vis, at (a, a er en basis for R b Find matricen for f med hensyn til basen (a, a 9 Lad f : R 3 R 3 være en lineær afbildning, og lad vektorerne b, b, b 3 være givet ved b (,,, b (,,, b 3 (,,

215 Øvelsesopgaver a Vis, at (b, b, b 3 udgør en basis i R 3 b Det vides, at den lineære afbildning f har matricen mht basen (b, b, b 3 Find matricen for f mht den naturlige basis (e, e, e 3 for R 3 Lad f : R 3 R 3 være den lineære afbildning hvis matrix med hensyn til den naturlige basis er 3 Lad desuden q 4, q, q 3 a Vis, at sættet Q (q, q, q 3 udgør en basis for R 3 b Udregn f (q i (i,,3, og bestem dens koordinatsæt med hensyn til Q c Benyt resultatet i (b til at bestemme matricen for f med hensyn til Q d Find den fuldstændige løsning til ligningssystemet f (x q (Vink: Det er lettest at udføre regningerne i Q-koordinater Find i hvert af følgende tilfælde eventuelle egenværdier og tilhørende egenvektorer for matricen A Undersøg endvidere om matricen er diagonaliserbar, og find i givet fald en basis der diagonaliserer matricen, samt en matrix T, så T A T er en diagonalmatrix a A ( 4 5 b ( A 4 3 3

216 Øvelsesopgaver c ( A 4 5 d A Lad ( A 6 t t 6 og B t t, t R Bestem de værdier af t, for hvilke A hhv B er diagonaliserbare 3 Find egenværdier og egenvektorer for matricen A Afgør i hvert af følgende tilfælde, om den angivne matrix er diagonaliserbar, og find i bekræftende fald en diagonaliserende koordinattransformationsmatrix: a ( A 5 b A c A 4

217 Øvelsesopgaver 5 Lad endomorfierne f og g af talrummet R 3 have matricerne henholdsvis A og B med hensyn til den naturlige basis for R 3 Find en basis for R 3 med hensyn til hvilken matricerne for f og g begge er diagonalmatricer, og opskriv en matrix T, så T A T og T B T begge er diagonalmatricer 6 Antag, at x er egenvektor for matricen A med tilhørende egenværdi λ, og at x er egenvektor for matricen B med tilhørende egenværdi µ Gør rede for, at x er egenvektor for matricerne A + B og A B, og angiv de tilsvarende egenværdier 7 Hvert år optræder den frygtede MØK-influenza som man har 4% chance for at få, idet chancen dog kun er % hvis man har haft den året før I en given stor befolkningsgruppe beskrives sundhedstilstanden (hvad angår MØKinfluenzaen efter n år ved en sundhedsvektor X n hvor P n er antallet der får MØK-influenzaen, og N n er antallet der ikke får MØKinfluenzaen i år n a Find en matrix A, så X n+ A X n ( Pn N n, b Gør rede for, at A er diagonaliserbar, og find en regulær matrix S så D S A S er en diagonalmatrix c Udregn ved hjælp af punkt b en tilnærmet værdi for X, og find hvorledes sygdomsfordelingen udvikler sig efter et stort antal år 8 I R 3 er der givet vektorerne 3 a, a 3 Find en ortonormalbasis for underrummet U i R 3 udspændt af a, a Udvid dernæst den fundne ortonormalbasis til en ortonormalbasis for R 3 5

218 Øvelsesopgaver 9 I R 4 er der givet vektorerne 3 4 a, a, a 3 Find en ortonormalbasis for underrummet U i R 4 udspændt af a, a, a 3 Udvid dernæst den fundne ortonormalbasis til en ortonormalbasis for R 4 3 I R 3 er givet vektorerne a og a a Eftervis, at a og a er ortogonale enhedsvektorer b Find en vektor a 3, så a, a, a 3 er ortogonale enhedsvektorer c Idet S er 3 3-matricen ( a a a 3 skal man eftervise, at t S S E, dvs at S er regulær med S S t d Bestem koordinaterne af standardenhedsvektorerne med hensyn til basen (a, a, a 3 3 I R 4 er der givet vektorerne a 3, a, a 3 53 a Eftervis, at a, a, a 3 er ortogonale enhedsvektorer 8 9 b Find en vektor a 4 så a, a, a 3, a 4 er ortogonale enhedsvektorer c Idet S er 4 4-matricen ( a a a 3 a 4 skal man eftervise, at S t S E, dvs at S er regulær med S S t 3 Lad M være følgende delmængde af R 4 : 3 M,, 6

219 Øvelsesopgaver a Bestem en basis for span M b Bestem en basis for M c Bestem ortogonale baser for de to ovennævnte underrum af R 4 33 Er følgende udsagn sandt? Et sæt bestående af n indbyrdes vinkelrette egentlige vektorer i et n-dimensionalt euklidisk vektorrum, er en basis for vektorrummet 34 Gør rede for, at hvis S er en ortogonal matrix, så er det S enten + eller 35 Gør rede for, at hvis S og T er ortogonale n n-matricer, da er S T ligeledes en ortogonal n n-matrix 36 I det euklidiske vektorrum R 3 er givet 4 a 5, a, a Bestem ortogonalprojektionen af a på span {a, a } 37 I det euklidiske vektorrum R 4 er givet a 5, a Bestem ortogonalprojektionen af a på span {a, a } 38 I det euklidiske vektorrum R 4 er givet vektoren samt vektorerne a a, a , a 3, a 3 Bestem ortogonalprojektionen af a på span {a, a, a 3 } 7 7

220 Øvelsesopgaver 39 En lineær afbildning f : R 3 R 3 er givet ved den symmetriske matrix A a Bestem egenværdierne for f b Find en ortonormalbasis b, b, b 3 for R 3 (med hensyn til det sædvanlige skalarprodukt på R 3 bestående af egenvektorer for f c Find en ortogonal matrix S således at S A S er en diagonalmatrix, og opskriv denne diagonalmatrix 4 En lineær afbildning f : R 3 R er med hensyn til den naturlige basis i R 3 givet ved matricen 5 A 5 5 a Bestem en ortonormalbasis b, b, b 3 for R 3 således at f i denne basis repræsenteres ved en diagonalmatrix, og opskriv denne diagonalmatrix b Opskriv koordinattransformationsmatricen for overgang fra den naturlige basis til basen b, b, b 3 4 En lineær afbildning f : R 3 R 3 er givet ved matricen C a Undersøg om f er diagonaliserbar, og find i givet fald en basis bestående af egenvektorer b Findes der en ortonormalbasis bestående af egenvektorer? 4 Der er givet matricen ( a + a A, a + a hvor a betegner et givet reelt tal 8

221 Øvelsesopgaver a Find samtlige egenværdier for A b Find de værdier af a for hvilke A er diagonaliserbar c Gør rede for, at hvis a 3, da findes en ortogonal matrix S, så S A S er en diagonalmatrix, og find en sådan matrix S 43 Vi betragter en kvadratisk form k ved x k x ax + ax + (a + 6x 3 + x x + 8x x 3 + ax x 3 x 3 Bestem de værdier af a for hvilke k er positivt definit 44 Lad B være den symmetriske 4 4-matrix til hvilken der svarer den kvadratiske form k(x, x, x 3, x 4 x + x + x 3 + x 4 + x x + x x 3 + x x 3 x x 4 x x 4 x 3 x 4 a Bestem egenrummet V R 4 svarende til egenværdien for B b Bestem en basis for V c Diagonaliser B (vink: benyt a og b, og afgør definitheden af k 45 Lad B være en symmetrisk matrix Gør rede for, at B er negativt definit hvis og kun hvis B er positivt definit Benyt dette samt Sætning 755 til at indse gyldigheden af følgende udsagn: B er negativt definit netop hvis der om de ledende underdeterminanter gælder detb i < for i ulige detb i > for i lige Undersøg dernæst definitheden af matricen 3 B 5 46 Find et eksempel på en symmetrisk matrix B, hvis ledende underdeterminanter detb og detb begge er, uden at B er positivt semidefinit 9

222

223 D Blandede opgaver Find den fuldstændige løsning til følgende lineære ligningssystem x + 4x + 3x 3 + 4x 4 x + x x 3 5 x + x 3 + x 4 6 3x + x x 3 + x 4 6 Find den fuldstændige løsning til ligningssystemet x + x x 4 3x x + x 3 x 4 x x 4x 3 + 3x 4 3 Angiv for hver værdi af a den fuldstændige løsning til ligningssystemet: x + x + 3x 3 x 4 5 x + 3x x 3 6 3x + 7x + 4x 3 x 4 4 x 5x 3 + x 4 a 4 Der er givet matricen A a Find samtlige egenværdier for A b Find en basis for hvert af egenrummene for A c Undersøg, om der findes en regulær matrix S, således at S A S er en diagonalmatrix, og find i givet fald en sådan matrix S

224 Blandede opgaver 5 I talrummet R 4 er der givet vektorerne a, a, a 3 a Gør rede for, at vektorerne a, a, a 3 er lineært uafhængige b Idet R 4 udstyres med det sædvanlige skalarprodukt skal man bestemme ortogonalprojektionen af vektoren 7 på span (a, a, a 3 6 En homomorfi f : R 3 R 3 er givet ved x 4x + x 3 x f : x x 3 3x x + 4x 3, x R 3 x 3 a Opskriv matricen, der repræsenterer f i den naturlige basis for R 3 b Gør rede for, at f er diagonaliserbar i en ortonormalbasis c Bestem egenværdierne for f d Find en ortonormalbasis i R 3 (med hensyn til det sædvanlige skalarprodukt bestående af egenvektorer for f e Find en egenvektor, der er vinkelret på vektoren 7 En funktion k : R 3 R er givet ved x k : x (x + x + x 3 (x x (x x 3 x 3

225 Blandede opgaver a Gør rede for, at k er en kvadratisk form, og opskriv den tilhørende symmetriske matrix B b Bestem antallet af positive og negative karakteristiske rødder og rangen af B 8 Find den fuldstændige løsning til følgende lineære ligningssystem x + x 3 3 x + x + 3x 3 6 x + x 3 x + x + x Find den fuldstændige løsning til følgende lineære ligningssystem x + x 3 3 x + x + 3x 3 6 x + x 3 x + x + x 3 4 Find den fuldstændige løsning til følgende lineære ligningssystem Hilbertmatricen H (n n 3 n+ x + x 3 3 x + x + 3x 3 6 3x + x + 5x 3 9 x + x + x n+ n n+ n ( i + j i, j n Det kan vises, at H (n er regulær for n Endvidere er (det H (n et naturligt tal som vokser meget hurtigt med n Derfor benyttes H (n ofte til at teste programmer til brug i lineær algebra Find H (n for n,,3,4 En cyklisk permutation af længde p (en p-cykel er en permutation i S n (n p, hvor x,, x p er forskellige tal i {,,, n} og x x x p x p, x p x, og alle øvrige n p tal er uberørte Den skrives kort (x x x p 3

226 Blandede opgaver a Vis, at en p-cykel kan fås ved sammensætning af en (p -cykel og en -cykel b Vis, at sign (x x x p ( p 3 Skriv permutationen σ ( som sammensætninger af cykliske permutationer, der ikke berører fælles elementer, og beregn herved fortegnet for σ 4 Fibonaccitallene er defineret ved hvor f n+ f n + f n for n Vis (ved induktion, at f, f, f, f 3, f 4 3, A n Find en regulær -matrix S, så at Find herved følgende formel for f n : Vis, at ( n ( fn+ f n for n f n f n ( S A S ( + 5 ( 5 f n 5 (( ( + 5 n ( ( n 5 f n+ f n ( + 5 for n Tallet ( + 5 kaldes det gyldne snit, og er kendt fra den europæiske kunsthistorie 5 I vektorrummet V Pol 3 (R betragtes den naturlige basis (e, e, e 3, e 4 (, x, x, x 3 Vis, at (α,α,α 3,α 4 (, + x, + x + x, + x + x + x 3 4

227 Blandede opgaver også er en basis for V og angiv koordinattransformationsmatricerne ved basisskift mellem de to baser 6 Idet c(t (et + e t, s(t (et e t, er V span (c(t, s(t Vis, at dimv Lad D d dt Vis, at D : V V er en lineær afbildning, og angiv den matrix A, der repræsenterer D i basen (c(t, s(t Find en basis for V bestående af egenvektorer for D, og angiv den matrix, der repræsenterer D i en sådan basis 5

228

229 Indeks adjungerede matrix, 3 adjungerede lineære afbildning, 3 afbildning, 65 algebraens fundamentalsætning, 68 algebraisk multiplicitet, 3 basis, 89 bijektiv, 53, 66 billede, 96, 65, 66 billedmængde, 66 blokmatrix, Cramers formler, 76 definit, 6 definitionsmængde, 65 despositionsmængde, 65 determinant, 65, 7, diagonaliserbar, 3 diagonalisering, 4, 7, 34, 35, 55 diagonalmatrix, 9, 8 dimension, 89 dimensionssætningen, 9 dobbeltrod, 33 egenrum, 4 egentlig vektor, 3 egenvektor, 4 egenværdi, 4 egenværdimultiplicitet, 4 elementær matrix, endeligdimensional, 89 endomorfi, enhedsmatrix, 9 enhedsvektor, 44 euklidisk vektorrum, 43 faktorisering, 33 fortegn, 68 frembragt underrum, 96 fri variabel, 5 funktion, 65 funktionsværdi, 65 geometrisk multiplicitet, 4 Gram-Schmidt ortogonalisering, 46 Gram-Schmidt ortonormalisering, 46 hele tal, 65 hermitisk, 33 homogent ligningssystem, 4 homomorfi, 87 identisk afbildning, 6, 67 indgang, 8 indre produkt, 43 indre produkt vektorrum, 43 inhomogent, 4 injektiv, 53, 97, 66 invers matrix, 6 inversion, 68 invertibel matrix, 6 isomorfe vektorrum, 88 isomorfi, 88 karakteristiske polynomium, 5 kerne, 96 kompleks matrix, 8 7

230 Stikord komplekse tal, 65, 67 komplekst diagonaliserbar, 8 komplekst konjugerede, 68 komplekst vektorrum, 86 komplement, 78 koordinatafbildning, 3 koordinater, 9 koordinater, koordinatsæt, 9 koordinatsøjle, 4 koordinatsøjlen, 9 koordinattransformationsmatrix, 4 kvadratisk form, 59 kvadratisk matrix, 9 ledende underdeterminant, 6 ledende undermatrix, 6 ledende variabel, 49 lige permutation, 68 linearkombination,, 95 lineær afbildning,, 87 lineært ligningssystem, 4 lineært uafhængig, længde, 6, 44 løsning til ligningssystem, 4 løsningsmængde, 4 matrix, 8 matrixinversion, 57 matrixprodukt, 9 modsatte matrix, naboombytning, 69 naturlig basis, 9 normal matrix, 63 normering, 44 nulmatrix, 8 nulvektor, 3, 86 operationsmatrix, 53 ortogonal, 6, 44 ortogonal diagonaliserbar, 63 ortogonal matrix, 5 ortogonalsæt, 44 ortonormalbasis, 44 ortonormalsæt, 44 parameterfremstilling, 45 permutation, 67 pilereglen, 66 rang, 8, 9 rationelle tal, 65 reduceret trappematrix, 4 reel matrix, 8 reelle tal, 65 reelt diagonaliserbar, 8 reelt lineær, reelt vektorrum, 86 regulær matrix, 6, 57, 75 rodmultiplicitet, 3 rækkematrix, rækkeoperation, 35 semidefinit, 6 skalarprodukt, 5, 43 span, 96 standard enhedssøjlematrix, standard enhedsvektor, 7 surjektiv, 53 symmetrisk, 3, 55 søjlematrix,, søjleoperationer, 36 søjlereglen, 4 søjlevektor, 8 talrum, totalmatrix, 4 transponerede lineære afbildning, 3 transponering, 9, 3, 7 trappematrix, 37 trekantsmatrix, trin, 37 trivielle underrum, 93 udtyndingsalgoritmen, 5 udvidelsesalgoritmen, 6 8

231 Stikord ulige permutation, 68 underrum, 93 unitær matrix, 5 vektor, 86 vektorrum, 85 værdimængde, 66 9