Kvantemekanik 6 Side af 8 n meget central model inden for KM er den såkaldte harmoniske oscillatormodel, som historisk set spillede en afgørende rolle i de banebrydende beskrivelser af bla. sortlegemestråling og fotoelektrisk effekt, og som i dag er grundlaget for beskrivelsen af så grundlæggende fænomener som M stråling (fotoner) og gittersvingninger (fononer). I det flg. opstilles først den klassiske oscillatormodel, som så efterfølgende bruges som afsæt til at opstille den KM oscillatormodel. Den klassiske oscillatormodel I sin mest håndgribelige form er oscillatormodellen en model for bindinger mellem atomer, idet disse bindinger modelleres som små fjedre, der overholder Hookes lov. I D er fjederkraften i så fald givet ved F = kˆ, k >, (6.) hvor k er fjederkonstanten, og hvor = er ligevægtspositionen svarende til k m ustrakt fjeder. Hvilket danner grundlag for beskrivelsen af f.eks. lyd samt temperatur og varmeledning. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/3/8
Kvantemekanik 6 Side af 8 Den potentielle energi knyttet til fjederkraften er således og den etiske energi er r ˆ V F dr k d k d ( ) = = ( ˆ) ( ˆ) = rref = k, ˆ (6.) d = m dt. (6.3) Ifølge NII er Fres, = ma, svarende til d k = m : dt d dt = ω k, ω =. m n løsning til denne differentialligning er ( t) Kt = Ae, som indsat giver (6.4) K Ae Kt K = ω Ae t : sådan at den fuldstændige løsning er K = ± iω, iωt iωt ( ) t = Ae + Be. (6.5) Da, må B= A * : iωt * iωt iωt iθ iωt i( ωt+ θ ) () = + = R ( ) = R ( ) = R t Ae Ae Ae Ae e A e (6.6) = Ccos t+, C, ( ω θ) hvor de to arbitrære konstanter C og θ bestemmes ud fra begyndelsesbetingelserne ( ) og d. dt = t Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/3/8
Kvantemekanik 6 Side 3 af 8 Den totale (mekaniske) energi knyttet til den i udtryk (6.6) beskrevne simple harmoniske bevægelse med amplitude C, vinkelfrekvens ω og begyndelsesfase θ er således d mek = m + k = mc sin t+ + kc t ( ) cos ( + ) ω ω θ ω θ dt = mω C, eftersom k = mω ifølge udtryk (6.4). (6.7) Den etiske og den potentielle energi varierer således som hhv. og = ω ( ω + θ) m C sin t = ω ( ω + θ), pot m C cos t sådan at den samlede energi er konstant, idet den til rådighed værende energi således konstant veksler mellem bevægelsesenergi og energi opmagasineret i fjederen. mω C t Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/3/8
Kvantemekanik 6 Side 4 af 8 Den kvantemekaniske oscillatormodel Jf. udtryk (6.) og (6.4) kan den potentielle energi for en D harmonisk oscillator skrives sådan at den tilhørende Schrödingerligning bliver V ( ) = mω, (6.8) ψ i = Hˆ ψ (, t) t m, Hˆ = + mω. (6.9) n vilkårlig løsning kan som bekendt opbygges som en linearkombination af stationære tilstande ψ (, t) φ ( ) der er løsninger til energi-egenværdiligningen i t = e, (6.) d + mω φ( ) = φ( ). (6.) m d Ifølge opg. H er energien kvantiseret: sådan at de stationære tilstande kan indiceres: n = n+ ω, n, (6.) i t (, ) ( ), ˆ n ψ t = φ e Hφ = φ. (6.3) n n n n n Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/3/8
Kvantemekanik 6 Side 5 af 8 De tilladte energiniveauer 6. s. 3 i lærebogen, hvoraf det fremgår, at n med tilhørende egenfunktioner φ n er vist i Fig. 6. og nerginiveauerne ligger jævnt fordelt med den indbyrdes afstand ω. nergien vokser med antallet af nulgennemgange, der er givet ved n. I modsætning til en klassisk partikel, er en kvantepartikel i et harmonisk oscillator-potential ikke begrænset til at bevæge sig inden for et interval AA ;, idet sandsynlighedstætheden er endelig for alle. genfunktionerne lige funktioner for lige n og ulige funktioner for ulige n. Paritet At egenfunktionerne således har veldefineret paritet skyldes, at systemets potential, og dermed opholdssandsynlighedstætheden, er en lige funktion: ( ) ( ) φn( ) φn( ) V = V =, (6.4) svarende til 3 Lige paritet: φn( ) = φn( ), φn( ) = φn( ) Ulige paritet:. (6.5) Potentialet definerer systemet, så hvis potentialet har en symmetriegenskab, er det fordi systemet, og dermed alle målbare bevægelsesegenskaber, har det. 3 t mere stringent argument er som følger: Da både V( ) = mω og ˆ = er invariante over for en spejling i = ( ), er den m tidsuafhængige Schrödingerligning i udtryk (6.) invariant over for en sådan spejling. Dette betyder, at for enhver φ også en løsning med samme energi. I kraft af denne symmetri-inducerede degeneration løsning φ ( ) er ( ) n n er flg. linearkombinationer med veldefineret paritet således også ortonormale, løsninger med energien : e φ ( ) = [ φ ( ) + φ ( ) ], n n n o φ ( ) = [ φ ( ) φ ( ) ], n n n idet e står for even og o for odd. Ovenstående viser, at der pga. den harmoniske oscillators symmetri eksisterer et fuldstændigt sæt af ortonormerbare egenfunktioner for Ĥ med veldefineret paritet. n n Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/3/8
Kvantemekanik 6 Side 6 af 8 Vha. pariteten kan det vises, at = p = i en vilkårlig egentilstand 4 : p + = ψ n (, t) d=, ulige lige ulige + * = ψn( t, ) ψn( t, ) d. i = lige/ulige ulige/lige ulige (6.6) Desuden kan det vises, at sådan at, idet er + ψ n ( t) d n + * n =, = +, mω p = ψ (, t) ψn(, t) d= n+ mω, (6.7) pˆ = + ω, (6.8) Hˆ m m ˆ pˆ n n n n = ψ H ψ = ψ + mω ψ m = ψn pˆ ψn + mω ψn ψn = p + mω m m = n+ mω+ mω n+ m mω = n + ω, i overensstemmelse med udtryk (6.). (6.9) 4 Bemærk således, at skifter pariteten, idet tangenthældningen har modsat paritet end den dertilhørende funktion. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/3/8
Kvantemekanik 6 Side 7 af 8 ndvidere fås ifølge udtryk (6.6) og (6.7): sådan at Δ = = = n+, mω Δ p= p p = p = n+ mω, (6.) ΔΔ p= n+, (6.) i overensstemmelse med Heisenbergs usikkerhedsrelation, som således er spændt til det yderste i grundtilstanden, hvor n =. Fotoner og fononer Ifølge Planck og udtryk (.3) var energien af den del af et M felt, som er kendetegnet ved frekvensen ν, givet ved h n = nhν = n πν = n ω, (6.) π hvor n angiver antallet af fotoner med den pågældende frekvens, og nogle år senere fandt man ud af, at udtryk (6.) var den korrekte udgave af Plancks udtryk 5. Hver frekvens-komponent i et M felt opfører sig således som en harmonisk oscillator 6, idet kvantetallet n angiver antallet af fotoner med den pågældende frekvens ω. Gittersvingninger beskrives på tilsvarende vis ud fra en harmonisk oscillatormodel, idet n her blot betegner antallet af fononer. 5 Fejlen blev ikke opdaget med det samme, da + -korrektionen til n er ubetydelig for makroskopiske felter, der indeholder et meget stort antal fotoner. 6 Dog indgår i beskrivelsen af et M felt ikke en konkret forskydning fra en ligevægtsposition. Som det også fremgår af opg. H, erstattes og p med abstrakte kanoniske variable q og p. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/3/8
Kvantemekanik 6 Side 8 af 8 Som det fremgår af udtryk (6.) er + -korrektionen nødvendig for at sikre overholdelse af usikkerhedsrelationen. For n = n ω ville man nemlig i grundtilstanden have = + = + = =, pot pot og da hverken den etiske eller den potentielle energi kan have negative realisationer, må dette medføre såvel = pot = som Δ =Δ =, pot hvilket ville svare til, at kvantepartiklen var i hvile og befandt sig i origo, og dette kan i henhold til usikkerhedsrelationen ikke være fastlagt på samme tid. Bemærk, at nulpunktsenergien = ω viser, at der er en energi knyttet til det M felt, selvom der ingen fotoner er 7 7 Hvilket fører til fænomener som vakuumenergi, kosmologisk konstant, vakuumfluktuationer, Casimireffekt, og så fremdeles Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/3/8