Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse af umeriske modeller geemført. Formålet med udersøgelse er at udersøge, om modellere bereger et givet stoftrasportsceario korrekt, i forhold til de forudsætiger de er stillet op efter. Fremgagsmåde Ved modellerig af stoftrasport i é dimesio ka der avedes flere forskellige metoder. I det følgede er tre af disse metoder udersøgt i forhold til umeriske fejl. De tre metoder er e umerisk fiite differesmodel, e umerisk partikelspredigsmodel samt DHI s é-dimesioale vadløbsmodel MIKE. Udersøgelse er geemført ved, at de umeriske modeller er beyttet til at beskrive stoftrasporte lags e ærmere beskrevet vadløbsstrækig. Herefter er resultatere af modellere sammeliget med resultater fra de aalytiske løsig avedt på samme strækig. De aalytiske løsig er tilpasset et sporstofforsøg udført på det udvalgte udsit af Østerå. De aalytiske løsig De tre modeller bygger alle på løsig af de é-dimesioale trasport-diffusiosligig (Fick s.lov), som er agivet edeståede på diskret form. A t Q + x = A D + s x x () er kocetratioe [kg/m 3 ] A er tværsitsarealet [m ] t er tide [s] x er afstade [m] Q er flowet [m 3 /s] s er kilde/dræled [kg/(m s)] D er dispersioskoefficiete [m /s] Dee ka omskrives, hvis strømige i det valgte udsit betragtes uder statioære og esformige hydrauliske forhold. Nedeståede er Fick s. lov hermed agivet på diskret form. t = u x + D x () u er strømigshastighede [m/s]
I udersøgelse af modellere er oveståede betragtiger ataget, da Fick s. lov dermed har e aalytisk løsig, som de ekelte modeller ka sammeholdes med. Nedeståede er de aalytiske løsig agivet. ( x, t) = m / A 4πDt ( x u t) exp 4Dt (3) er kocetratioe [kg/m 3 ] x er afstade fra forureige [m] t er tide fra forureigstidspuktet [s] m er masse af forureige i x= til t= [kg] A er tværsitsarealet [m ] u er strømigshastighede [m/s] D er dispersioskoefficiete [m /s] Kostatere i løsige, som er dispersioskoefficiete, strømigshastighede og masse af sporstof, er bestemt geem fitig af de aalytiske løsig til resultatere fra sporstofforsøget. Tværsitarealet er bestemt som geemsit af de opmålte tværsitarealer. I Tabel er disse kostater agivet. For bestemmelse af kostatere, se HER (lik til sporstof forsøg). Parameter Aalytisk løsig Tilført masse [kg] 97 Hastighed [m/s],7 Dispersioskoefficiet [m /mi] 4,76 Tværsitsareal [m ] 3,3 Tabel Kostater i de aalytiske løsig. På Figur er de aalytiske løsig afbilledet i forhold til måleresultatere. Måligere er foretaget m fra forureigspuktet og resultatere er behadlet med et glidede geemsitsfilter.
.3.5 Måledata Aalytisk løsig. Kocetratio.5..5 -.5 4 6 8 Tid [mi] Figur De målte stofkocetratio samt det aalytisk beregede kocetratiosforløb m fra forureigspuktet. Af Figur ses det, at de aalytiske løsig beskriver forløbet og størrelse af de målte kocetratioer tilfredsstillede. Fiite differesmodelle Modelle bygger på e umerisk løsig af Fick s. lov i form af e tilærmet differesligig. Fick s. lov er tilærmet ved avedelse af cetrale differeser. Differesligige ses edeståede. j, + j, j +, j, j +, t = u + D j, + j, (4) j er beregigspuktet er beregigsbokse er størrelse på stedsskridtet [m] t er størrelse på tidsskridtet [s] I modellerige er der avedt stedsskridt på 5 m og tidsskridt mi. Dispersioskoefficiete og strømigshastighede er agivet i Tabel. På Figur er resultatet af modellerige afbilledet i forhold til resultatet af de aalytiske løsig. Afbildige er foretaget 69 mi. efter forureigstidspuktet, hvilket svarer til tygdepuktet for måledata og de aalytiske løsig på Figur. 3
.3.5 FD-model Aalytisk løsig. Kocetratio.5..5 -.5 5 5 5 Afstad [m] Figur Stofkocetratioe modelleret med FD-modelle samt det aalytisk beregede kocetratiosforløb 69 mi. efter forureigstidspuktet. Figur viser, at stofkocetratioere modelleret med fiite differesmodelle stemmer dårligt overes med det aalytisk beregede kocetratios forløb. De modellerede maksimal kocetratio ligger e del højere ed de aalytisk beregede. Herudover giver fiite differesmodelle egative kocetratioer ved ca. 7 m. Partikelspredigsmodelle Modelle bygger som fiite differesmodelle på e umerisk løsig af Fick s. lov. Med partikelmodelle er Fick s. lov dog ikke løst ved tilærmelse med e differesligig, me derimod med e atagelse om, at stoffet består af et stort atal partikler. Med modelle er hver ekelt partikels bevægelse bereget i forhold til hvert tidsskridt. Bevægelsere er bereget ud fra e kovektiosproces og e diffusiosproces. Kovektiosprocesse er styret af strømigshastighede, mes diffusiosprocesse er bestemt af dispersioskoefficiete samt udtrækig af tilfældige tal med værdi mellem og. Nedeståede er modelle agivet. ( 6 D t) [ ( ) ] x + = x + u t + radom (5) x er koordiate for partikles placerig [m] t er størrelse på tidsskridtet [s] u er strømigshastighede [m/s] D er dispersioskoefficiete [m /s] er beregigsskridt radom er e fuktio, som udtrækker et tilfældigt tal ml. og. 4
I modellerige med partikelspredigsmodelle er der avedt tidsskridt på mi. Boksee, i kocetratioere af partikler er bereget, har e lægde på 5 m. Dispersioskoefficiete og strømigshastighede er agivet i Tabel. På Figur 3 er resultatet af modellerige med partikelspredigsmodelle afbilledet i forhold til resultatet af de aalytiske løsig. Afbildige er foretaget 69 mi. efter forureigstidspuktet, hvilket svarer til tygdepuktet for måledata og de aalytiske løsig på Figur..3.5 Partikelmodel Aalytisk løsig. Kocetratio.5..5 -.5 5 5 5 Afstad [m] Figur 3 Stofkocetratioe modelleret med partikelmodelle samt det aalytisk beregede kocetratiosforløb. Figur 3 viser, at stofkocetratioe modelleret med partikelspredigsmodelle stemmer tilfredsstillede overes med det aalytisk beregede kocetratios forløb. MIKE Der er i MIKE opstillet e model med de samme forudsætiger som i de to adre umeriske modeller og de aalytiske løsig. Modelle er opstillet som e lag ret kaal med e lægde på,5 km. Til et bestemt tidspukt er der i modelle tilført e mægde stof, som svarer til de, som er avedt i de aalytiske løsig. På Figur 4 er de aalytiske løsig afbildet i forhold kocetratioere modelleret i MIKE. Afbildige er foretaget 69 mi efter forureigstidspuktet, hvilket svarer til tygdepuktet for måledata og de aalytiske løsig på Figur. 5
.3.5 MIKE Aalytisk løsig. Kocetratio.5..5 -.5 5 5 5 Afstad [m] Figur 4 Stofkocetratioe modelleret med partikelmodelle samt det aalytisk beregede kocetratios forløb. Det ses af Figur 4, at der ikke er tilfredsstillede overesstemmelse mellem de aalytiske løsig og kocetratiosforløbet modelleret med MIKE. Afvigelser mellem de aalytiske løsig og modellere De oveståede afbildiger viser, at der er afvigelser mellem de aalytiske løsig og modellere. Afvigelsere er bereget i forhold til RMS-værdie og ses i Tabel. FD-modelle Partikelmodelle MIKE RMS-værdi,8,8,86 Tabel RMS-værdier. Af RMS-værdiere ses det, at FD-modelle har de største afvigelse fra de aalytiske løsig. RMS-værdie viser, at der er afvigelser, me ikke hvad afvigelsere skyldes. For at udersøge afvigelsere ærmere er mometmetode avedt. Ved avedelse af mometmetode er.,. og. ordesmometere bereget.. ordesmometet er bereget af ligig (6) og er avedt til beskrivelse af masse i modellere.. ordesmometet bereget af ligig (7) og avedt til beskrivelse af tygdepuktet for stofkocetratioe i modellere. Til slut er. ordesmometere bereget af ligig (8), disse er avedt til beskrivelse af dispersioe i modellere. Ligig (6)-(8) er agivet edeståede [Vestergård, 989]. i i= M = (6) M er.ordesmometet [kg/m 3 ] er atallet af værdier er kocetratioe [kg/m 3 ] 6
( x i i ) M = (7) i= M er.ordesmometet [m kg/m 3 ] er atallet af værdier x er afstade fra tilledigspuktet [m] er kocetratioe [kg/m 3 ] ( x T ) M = (8) i= i i M er.ordesmometet [m kg/m 3 ] er atallet af værdier x er afstade fra tilledigspuktet [m] T er tygdepuktet [m] er kocetratioe [kg/m 3 ] Ved hjælp af de beregede mometer er masse, tygdepuktet og dispersioe i de umeriske modeller bereget, se Tabel 3. Afvigelser mellem de aalytiske løsig og modellere afspejler umeriske fejl. Beregig Aalytisk løsig FD-model Partikelmodel MIKE Værdi Værdi Afv.[%] Værdi Afv.[%] Værdi Afv.[%] Masse [kg] 97 97 97 97 Tygdepukt [m] 8,4 4, 5 3, Dispersio [m /s] 4,76,4 49 4,84,7 4,6 3, Tabel 3 Beregig af umeriske fejl i FD-modelle, partikelmodelle og MIKE. Beregig af de umeriske fejl viser, at fiite differesmodelles afvigelse fra de aalytiske løsig hovedsagligt skyldes umerisk dispersio. Partikelspredigsmodelles og MIKE s afvigelse skyldes e bladig af både. og.ordesfejl. Oveståede er problemet omkrig afvigelse mellem MIKE modellerige og de aalytiske løsig fremstillet som umeriske fejl i MIKE. Dette er ikke de reelle årsag. Problemet skal ærmere fides i metode, som er avedt ved tilsætige af stoffet i modelle. Dette er uderbygget af, at der er geemført modelleriger med stedsskridt på m og tidsskridt på sekud, med størrelse på evetuelle umeriske fejl bør kue egligeres. I modelle er stoffet tilsat som e kocetratio over sekud fra modelleriges start. Stoffet er tilsat i puktet x =, hvilket er tilsvarede de to øvrige umeriske modeller og de aalytiske løsig. For at udersøge om problemet ka heføres til vadtrasporte i modelle, er afvigelse mellem hastighede i MIKE og de aalytiske løsig bereget. Dee er bereget til,5 i MIKE. Af tygdepuktere for stofkocetratioere i Tabel 3 er afvigelse mellem hastighedere bereget til 3, %. Dette viser, at MIKE beskriver vadtrasporte korrekt, med fejlee må tilskrives stoftrasporte i modelle. Det er ikke lykkedes projektgruppe at løse oveståede problem. Hermed ka MIKE modellerige ikke avedes i sammeligige af umeriske modeller, da fejlee i modelle ikke skyldes umeriske fejl. 7
Korrigerig af umeriske fejl Fiite differesmodelle er de model, som har de største afvigelse fra de aalytiske løsig. Det er derfor forsøgt at forbedre de ved at korrigere de for umeriske fejl. Modelle er først korrigeret for.ordesfejle. Dette er gjort ved at berege forskelle i tygdepuktere og heraf berege de umeriske hastighed. De umeriske hastighed er herefter avedt i differesligige som edeståede. j+, j, j+, j ( u + uum ) + D j, + j, t =, + j, (9) u um er de umeriske hastighed [m/s] De umeriske hastighed er bereget til u um =,4 m/s, ved de samlede hastighed er på,74 m/s. Modellerige er geemført ige og resultatet af korrigerige samt RMS-værdie ses af afbildige på Figur 5. De umeriske fejl ses i Tabel 4..3.5 FD-model Aalytisk løsig. RMS=,5 Kocetratio.5..5 -.5 5 5 5 Afstad [m] Figur 5 Stofkocetratioe modelleret med FD-modelle samt det aalytisk beregede kocetratios forløb 69 mi efter forureigstidspuktet. FD-modelle er korrigeret for.ordesfejl. Beregig Aalytisk løsig FD-model Værdi Værdi Afv. Masse [kg] 97 97 Tygdepukt [m] 8 8 Dispersio [m /s] 4,76,47,9 Tabel 4 Beregig af umeriske fejl i FD-modelle som er korrigeret for umerisk. ordesfejl. Det ses af Tabel 4 og Figur 5, at.ordesfejle u er midsket og at modelle er forbedret. 8
Modelle er herefter korrigeret for.ordesfejl. Dette er gjort ved at berege forskelle i dispersioe og heraf berege de umeriske dispersio. De umeriske dispersio er herefter avedt i differesligige som edeståede. j+, j, j+, j ( u + uum ) + ( D + Dum ) j, + j, t =, + j, () D um er de umeriske dispersio [m /s] De umeriske dispersio er bereget til D um =,34 m /s, hermed er de samlede dispersio D = 7, m /s. Herefter er modellerige geemført på y og resultatet af korrigerige samt RMS-værdie ses på Figur 6 De umeriske fejl er agivet i Tabel 5..3.5 FD-model Aalytisk løsig. Kocetratio.5. RMS=,7.5 -.5 5 5 5 Afstad [m] Figur 6 Stofkocetratioe modelleret med FD-modelle samt det aalytisk beregede kocetratios forløb 69 mi efter forureigstidspuktet. FD-modelle er korrigeret for.og.ordesfejl. Beregig Aalytisk løsig FD-model Værdi Værdi Afv. Masse [kg] 97 97 Tygdepukt [s] 8 8 Dispersio [m /s] 4,76 4,78, Tabel 5 Beregig af umeriske fejl i FD-modelle som er korrigeret for.og.ordesfejl. Det ses af Tabel 5, at.ordesfejle u er midsket, mes Figur 6 viser, at modelle er forbedret betydeligt. Sammefatig Udersøgelse af de tre umeriske modeller i forhold til de aalytiske løsig viser, at fiite differesmodelle havde de største afvigelser mes partikelspredigsmodelle havde de midste. 9
Herudover viser udersøgelse, at det ikke har været muligt, at beskrive stoftrasport med MIKE på e så tilfredsstillede vis, at de ka avedes i e sammeligig af umeriske fejl ved modellerig med de to øvrige modeller. Udersøgelse viser også, at partikelspredigsmodelle og fiite differesmodelle er behæftet med umeriske fejl. De umeriske fejl i partikelspredigsmodelle består af e bladig af. og.ordesfejl. De umeriske fejl i fiite differesmodelle består hovedsagligt af.ordesfejl. Korrigerige af de umeriske fejl i fiite differesmodelle viser, at modelle ka forbedres, så afvigelse fra de aalytiske løsig midskes. De edelige koklusio af udersøgelse er, at ma ved avedelse af modeller skal være opmærksom på, at de er behæftet med fejl. Fejlee ka midskes ved avedelse af fi diskretiserig i både tid og sted samt korrigerig, hvilket dog medfører omfattede modellerigsarbejde og lage modellerigstider. På trods af at det ikke er påvist, at MIKE reger præcist i forhold til de aalytiske løsig, er det alligevel valgt at avede dee i de efterfølgede modelleriger.