Uge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :

Transkript

1 Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities) i mathematica for at fide dee metode. Reduce x 2 < 2, x (*Løser ligige/ulighede for x*) - 2 < x < 2 Herved har jeg fudet sup (M) og if (M) for dee mægde : sup (A) = 2 og if (A) = sup (- A), dette skal forstås som - 2 Bestemmer u om der er maksimum og miimum for mægde : Kigger i F side for Defiitio (Største elemet), som siger følgede E mægde A R har et største elemet hvis A har et elemet som er alle elemeter i A. Hvis M er største elemet i A skriver ma max (A) = M. Tilsvarede for midste elemet mi (A) som defieret på samme måde. Super derfor ka jeg u sige følgede : Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

2 2 Øvelser uge 37 - ege.b Det ses at A itet maksimum har da vi for ethvert tal a i A ka fide et tal, som er større Det ses også at A ej heller har et miimum, idet ma for ethvert elemet a i A har mulighed for at fide et tal, som er midre. Plot x 2 < 2, {x, -5, 5} b) B = x i x >, x + x < 3 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities) i mathematica for at fide dee metode. Reduce x >, x + x < 3, x (*Løser ulighede for x*) < x < Herved har jeg fudet sup (M) og if (M) for dee mægde : if (B) = og sup (B) = Så både A og B har ikke et miimum eller maksimum. Kigger i F side for Defiitio (Største elemet), som siger følgede E mægde A R har et største elemet hvis A har et elemet som er alle elemeter i A. Hvis M er største elemet i A skriver ma max (A) = M. Tilsvarede for midste elemet mi (A) som defieret på samme måde. Det ses at A itet maksimum har da vi for ethvert tal a i A ka fide et tal, som er større Det ses også at A ej heller har et miimum, idet ma for ethvert elemet a i A har mulighed for at fide et tal, som er midre. Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

3 Øvelser uge 37 - ege.b 3 Plot x +, {x, -5, 5} x Plot[x >, {x, -, }] Opgave 2 Svar : a) Hådberegig : 3-2 = 3 Aveder defiitio 2.3 og implicit (2.8) fra side 7 i kompedie Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

4 4 Øvelser uge 37 - ege.b Idsætter u dette i (2.8). ϵ + N N : Abs -2 < ϵ > N Reduce Abs -2 < ϵ, /. { 3, ϵ 2} True Så jeg ved at uaset hvilket positivt ϵ jeg vælger, så skal jeg blot sætte N 2 ϵ for at de give ulighed holder. Ser altså at dette er sadt. Kue til dee delopgave også godt have avedt beviset for sætig 2.5 side 8 i kompedie til at vise dette Mathematica beregig : Limit 3-2, 3 Hvilket også viser at det er sadt. Prøver, at tege dem for ituitiv forståelse : Plot 3-2, {, -.5, 5} Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

5 Øvelser uge 37 - ege.b 5 b) Hådberegig : 2 * Si[] = Samme fremgagsmetode ige : Aveder defiitio 2.3 og implicit (2.8) fra side 7 i kompedie Idsætter u dette i (2.8). ϵ + N N : Abs 2 * Si[] < ϵ > N Reduce Abs 2 * Si[] < ϵ > N, /. { 3, ϵ 2} Ka kokludere, at ligegyldigt hvilket ϵ ma vælger ka det maksimalt være tilfældet, at ma skal sætte N 2 ϵ for at ulighede holder. Ser at dette er sadt. Kue til dee delopgave også godt have avedt beviset for sætig 2.5 side 8 i kompedie til at vise dette Mathematica beregig : Limit 2 * Si[], Prøver, at tege dem for ituitiv forståelse : Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

6 6 Øvelser uge 37 - ege.b Plot 2 * Si[], {, -, } Opgave 3 Svar : a) Aveder sætig 2.7 regig med græseværdier fra side 8 i kompedie. Håd beregig : Dividere både æver og tæller med // Simplify // Simplify herved fås : Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

7 Øvelser uge 37 - ege.b 7 Opdeler dem u ige, så jeg har (starter med at berege for tællere) : (*omskriver dette*) (*da det vides at, derved 2 = og derfor er svaret altså 8*) Limit 2 3, Limit 2 3, = 8 Bereger u for ævere : 3-7 (*omskriver dette*) (*da det vides at og 7 = er svaret altså 3*) Limit 2 3, Limit 2 3, = 3 Så ved avedelse af sætig 2.7 (vi) ka jeg altså kokludere at = 8 3 Mathematica beregig : Limit , (* 84+2 = 8 *) Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

8 8 Øvelser uge 37 - ege.b Prøver, at tege dem for ituitiv forståelse : Plot , {, -5, 5} b) Håd beregig : Dividere både æver og tæller med // Expad // Simplify herved fås : Opdeler dem u ige, så jeg har (starter med at berege for tællere) : (*omskriver dette*) (*da det vides at, derved 4 3 = og derfor er svaret altså, da 3 3 =*) Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

9 Øvelser uge 37 - ege.b Limit 4, / Limit 4 3, = Bereger u for ævere : (*omskriver dette*) (*da det vides at og 7 = er svaret altså -2*) / Limit 7 3, Limit 7, = -2 3 Så fra sætig 2.7 ka jeg altså kokludere at = -2 = Mathematica beregig : Limit 3 2-4, Prøver, at tege dem for ituitiv forståelse : Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

10 Øvelser uge 37 - ege.b Plot 3 2-4, {, -5, 5} c) Håd beregig : Ser her at mi æver har e lavere grad e mi tæller. For at jeg udgår at mi omskreve æver kommer til at kovergere mod, dividere jeg derfor ku igeem med Ege ord : jeg ved at hvis ævere kovergerede mod, ville resultatet i stedet være blevet -, hvilket ikke er korrekt // Simplify 7-4 // Simplify herved fås : Opdeler dem u ige, så jeg har (starter med at berege for tællere) : (*omskriver dette*) (*da det vides at, derved = og derfor er svaret altså, da 3 3 =*) Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

11 Øvelser uge 37 - ege.b /. 2 + Limit 5 2-3, (*obs du skal være opmærksom her på at det ikke er - der sættes ude for da dette istedet ville give -, hvilket er forkert (spørg TA om dette!!!)*) 2 + Limit 5 2-3, = Bereger u for ævere : 7-4 (*omskriver dette*) 7-4 /. 4 (*da det vides at og 4 = er svaret altså 7*) 7 - Limit 4, Limit 4, = 7 Så fra sætig 2.7 ka jeg altså kokludere at = 7 = (*skriver 7 for at gøre det mere overskueligt for mig selv, me HUSK at Herik siger dette ikke er muligt, så gør det ikke til eksame *) Mathematica beregig : Limit , 7-4 Prøver, at tege dem for ituitiv forståelse : Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

12 2 Øvelser uge 37 - ege.b Plot , {, -5, 5} Øvelse 2.2 i GG (side 48) Svar : ) K = + r m* K == + r 2 /. {r.8, 2, 2 2} K.86 Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

13 Øvelser uge 37 - ege.b 3 K == =.86 2) K = + r m* K == + r 2 /. {r.8, 2, 2 4} K.6986 K == = ) K = + r m* K == + r 2 /. {r.8, 2, 2 2} K.63 K == =.63 4) K = + r m* K == + r 2 /. {r.8, 2, 2 } K K == = Forklarige er, at K hele tide bliver opløftet i e større grad, hvorved + r bliver større. Prøver at aalysere græseværdiere år er gåede mod uedelig, altså + r m* Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

14 4 Øvelser uge 37 - ege.b Limit + r m*, (*Forsøger med Mathematica, me ka ikke rigtig se resultatet for mig.*) e m r Opgave 4 a) e - 7 og 5 (Log[]) Svar : e - 7 Håd beregig : ser på Eksempel 2.9 (iv) e - 7 Dividere både æver og tæller med e e e - 7 e // Expad // Expad 2 e e e - herved fås : 2 e e e - Opdeler dem u ige, så jeg har (starter med at berege for tællere) : (2 e- + 5 e - 4 )(*omskriver dette*) 2 (e- ) + 5 (e- 4 )(**) Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

15 Øvelser uge 37 - ege.b 5 e - /. e - 4 /. /. e 4 e /. Idetermiate Idetermiate Idetermiate Idetermiate 2 * Limit[e -, ] + 5 * Limit[e - 4, ] 2 * Limit[e -, ] + 5 Limit[e - 4, ] = (*Som H poitere her, kue jeg her også have avedt Eksempel 2.9(iv) fra side kompedie, hvor det så ville have været muligt at se med det samme at de var ul, N[e] da a b år a>, b>, 4 e år a>, b>. e=2.7828, så begge opfyldt*) Bereger u for ævere : ( - 7 e- )(*omskriver dette*) - (7 e- )(*da det vides at og 7 e - = er svaret altså *) 7 e - /. (*kue også her avede NB øverst side 3 *) - Limit[7 e -, ] - Limit[7 e -, ] = Så fra sætig 2.7 ka jeg altså kokludere at e - 7 = = Mathematica beregig : Limit e - 7, Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

16 6 Øvelser uge 37 - ege.b Prøver, at tege dem for ituitiv forståelse : Plot , {, -5, 5} e b) 5 (Log[]) Håd beregig : ser på Eksempel 2.9 (iii) 5 (Log[]) Dividere både æver og tæller med // Expad (Log[]) // Expad 6 + Log[]4 5 herved fås : 6 + Log[]4 5 Opdeler dem u ige, så jeg har (starter med at berege for tællere) : ()(*omskriver dette*) Limit[, ] Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

17 Øvelser uge 37 - ege.b 7 () = Bereger u for ævere : 6 + Log[]4 5 (*omskriver dette*) 6 + Log[] 4 5 (**) Log[] 4 5 /. Ifiity::idet : Idetermiate expressio ecoutered. Idetermiate 6 + Limit Log[]4, Limit Log[]4 5, = 6 Så fra sætig 2.7 ka jeg altså kokludere at 5 (Log[]) = 6 Mathematica beregig : 5 Limit (Log[]) 4 + 6, 5 6 Prøver, at tege dem for ituitiv forståelse : Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

18 8 Øvelser uge 37 - ege.b 5 Plot, {,, 2} (Log[]) Opgave 5 Svar : a) Mathematica beregig : Limit, (*tester de er ul*) 2 Limit, (*tester de er ul*) Limit a b, /. a, b 2 b) Mathematica beregig : Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

19 Øvelser uge 37 - ege.b 9 Limit 53, (*tester de er ul*) * 2 Limit 53, (*tester de er ul*) 2 * 2 Limit a, /. a 53 b * 2, b 53 2 * 2 c) Mathematica beregig : Limit -2 +, (*tester de er ul*) 2 Limit, (*tester de er ul*) Limit a -2, /. a -2 b + 2, b Limit 2-4, (*tester de er ul*) 2 Limit 2, (*tester de er ul*) Limit a, /. a 2-4, b 2 b -2 2 Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

20 2 Øvelser uge 37 - ege.b Opgave 6 til skriftelig afleverig Svar : a) Håd beregig : To fremgags metoder -Første metode : Jeg ka edte avede eksempel 2.9 (ii) fra side i kompedie (GG), der siger at a år a >. Herved vides det,!! at = thi (Sadwichsætige side 24 i F) - Ade metode : Da jeg har e vurderig af de give følge opadtil og edadtil er det muligt for mig at avede Sadwichsætige fra side 24 i slidesæt F. ()! for alle N (2) Græseværdie af de kostate følge er trivielt lig. Græseværdie for kedes fra side 6 slidesæt F Eftersom de edre og øvre følge således begge har e græseværdi, vil også! have græseværdi ifølge sætige. Mathematica beregig : Limit!, b) (Log[]) 2 - Håd beregig : ser på Eksempel 2.9 (iii) Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

21 Øvelser uge 37 - ege.b (Log[]) 2 - Dividere både æver og tæller med, da jeg ligesom tidligere fra opgave 3. c ser at mi æver er af lavere grad ed mi tæller. For at udgå at de omskreve æver er kovergere mod ul, dividere jeg derfor ku igeem med. Deler dem op og dividere med // Expad (Log[]) Log[]2 herved fås : Log[]2 // Simplify Opdeler dem u ige, så jeg har (starter med at berege for tællere) : 3 * + (*omskriver dette*) 3 + (**) + /. 3 Limit +, 3 Limit +, = Bereger u for ævere : Log[]2 - + (*omskriver dette*) - + Log[] 2 (**) Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

22 22 Øvelser uge 37 - ege.b Log[] 2 /. Ifiity::idet : Idetermiate expressio ecoutered. Idetermiate - + Limit Log[]2, Limit Log[]2, = - Så fra eksempel 2.9 (iii) og med e lille husker om at f (x) = x 2 er kotiuert i x. fås det at (Log[]) 2 - = - = - Mathematica beregig : Limit 2 + 3, (Log[]) Prøver at tege for yderligere forståelse : Plot (Log[]) 2 -, {, -, } Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

23 Øvelser uge 37 - ege.b 23 Eksame 24A - Første forsøg Opgave - Argumeter for at Exp for Begruder med matematiske argumeter : Prøver at omskrive forme : Exp x = Exp x = Exp[Log[x ]] Simplify[x == Exp[Log[x ]]] True Der magler sgu lidt Prøver u at argumetere for det ved beregig : Håd beregig : Exp Deler tæller og æver op og dividere med. Exp // Expad // Simplify e / herved fås : Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

24 24 Øvelser uge 37 - ege.b e Opdeler dem u ige, så jeg har (starter med at berege for tællere) : e / e / /. Ifiity::idet : Idetermiate expressio ecoutered. Idetermiate Limit e/, Limit e/, = Bereger u for ævere : ()(*omskriver dette*) /. Limit[, ] Limit[, ] = Exp = = Mathematica beregig : Exp Limit, (* Herved illustreret at Exp *) Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio

25 Øvelser uge 37 - ege.b 25 Exp Ser herved at er gåede mod uedelig for. For ituitio og argumetatio for at de er gåede mod uedelig prøver jeg at tege Exp Plot, {,, 5} (* Teger u for illustratitio Exp *) Ser her at det passer at de er gåede mod uedelig. Herved er der illustreret og argumeteret for at Exp for er sadt. Prited by Wolfram Mathematica Studet Editio