ISSN 1398-0165. Netværk i Matematikkens Historie og Filosofi. Nyhedsbrev. Statens Naturvidenskabelige Forskningsråd

ISSN 1398-0165 Netværk i Matematikkens Historie og Filosofi Nyhedsbrev Statens Naturvidenskabelige Forskningsråd Nummer 4 September 1998

Indhold 1) Fra redaktionen 1 2) Anders Kock: Kategori-teori, og matematikkens grundlag 2 3) Beretninger 6 New Trends in the History and Philosophy of Mathematics 6 Nogle indtryk fra Wesselsymposiet 10 Proof Theory and Complexity 14 4) Netværkets kommende arrangement 17 Bourbaki-møde 17 5) Blandede nyheder 18 Højere håndværk, humanisme og universitetstradition: Zilsel-thesen i forhold til matematikkens udvikling 18 Matematisk arkivmateriale ved Københavns Universitet 18 Dansk Matematisk Forenings 125 års jubilæum Forelæsninger d. 9. oktober 20 Caspar Wessel Udstilling på HCØ 20 Katalog fra Sydskandinavisk Konsortium i Videnskabsforskning 20 Nyhedsbrevet udgives af: Netværk i Matematikkens Historie og Filosofi IMFUFA Roskilde Universitetscenter Postbox 260 DK-4000 Roskilde Email: matnet@mmf.ruc.dk Redaktion: Lise M. Jeppesen og Stig Andur Pedersen (ansv). Ved at rette henvendelse til ovenstående adresse kan man blive medlem af netværket og dermed få tilsendt de følgende nyhedsbreve pr. post. Forsiden: Aristippus, en efterfølger til Sokrates, er lidt skibbrud på Rhodos kyst. I sandet på stranden opdager han geometriske figurer og udbryder: Der er håb forude, for jeg ser menneskelige fodspor. Illustration fra Euklids Samlede Værker (Oxford 1703). Annekdoten stammer fra Vetruvii: De Architectura

Fra redaktionen Det fjerde nummer af Nyhedsbrev fra Netværk i Matematikkens Historie og Filosofi er præget af sommerens aktiviteter. Vi har tre beretninger fra henholdsvis Netværkets eget møde i august, Wessel-symposiet og BRICS workshop. Derudover har vi, som vanligt, et essay: Kategori-teori, og matematikkens grundlag, skrevet af Anders Kock. I forbindelse med Netværkets næste arrangement har vi været nødsaget til at foretage nogle ændringer. For at undgå sammenfald med seminaret om Zilsel-thesen i forhold til matematikkens udvikling har vi rykket Bourbaki-mødet til onsdag d. 28. oktober. L. Beaulieu har desværre måttet melde fra, til gengæld vil Leo Corry (Tel Aviv) deltage. Til slut vil jeg gøre opmærksom på, at deadline for næste nummer er d. 15. januar. God fornøjelse med læsningen.

Kategori-teori, og matematikkens grundlag Anders Kock Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet "De sidste årtiers udvikling af matematikken viser klart fremvæksten af den overbevisning, at de relevante egenskaber ved matematiske objekter er de, der kan udtrykkes i termer af deres abstrakte struktur, snarere end i termer af de elementer, som objekterne kunne tænkes at bestå af." Dette er indledningen til F.W. Lawveres artikel "The category of categories as a foundation for mathematics", [L2], fra 1965. Den repræsenterer en ny synsvinkel på matematikkens grundlag, som jeg skal forsøge at referere. Hvad er en "relevant egenskab" ved mængden 3 af de reelle tal? En relevant egenskab er ikke, om et reelt tal er et Dedekind-snit i de rationale tal, eller en uendelig decimalbrøk, eller noget tredie, men at de reelle tal samlet har struktur af et arkimedisk og fuldstændig ordnet legeme. Denne struktur er et aspekt ved mængden 3 af de reelle tal som objekt, i dets relation til andre matematiske objekter - hvilke afbildninger, der kan konstrueres mellem 3 og andre matematiske objekter - konstruktioner, der ikke afhænger af andet end de postulerede egenskaber ved 3: fuldstændig og arkimedisk ordnet legeme. Det, der berettiger det bestemte kendeord "de" i vendingen "de" reelle tals legeme, er: entydigheden af arkimedisk og fuldstændigt ordnede legemer, op til isomorfi. Der findes forfærdelig mange arkimedisk fuldstændigt ordnede legemer, men de er alle isomorfe (ved entydigt bestemte isomorfier). Alle har lige god ret til betegnelsen "de" reelle tal 3. Det er den objektive grund til, at den matematiske praksis bruger et egennavn som 3. For den aksiomatiske mængdeteoris synspunkt, derimod, er et objekt givet ved sine elementer, og hvilke af de forskellige konstruktioner af 3, der fortjener betegnelsen: "de" reelle tal (er det mængden af Dedekind-snit? er det mængden af uendelige decimalbrøker,...?), bliver til et subjektivt eller juridisk definitionsspørgsmål, med forskellige svar i Odense, Århus ogviborg: 3 O, 3 A, 3 V. Det kategoriteoretiske grundlag nedtoner objekternes "indmad" (deres elementer), og hæfter sig ved deres "sociologi", de afbildninger (funktioner), der relaterer dem til andre objekter. Hvor den grundlæggende hieroglyf i det mængdeteoretiske grundlag er "tilhører"-tegnet x y er den grundlæggende hieroglyf i det kategoriteoretiske grundlag pilen f : X Y,

(herunder: X er isomorf med Y, eller X er ækvipotent med Y), og en kategoriteoretisk aksiomatik starter med afbildningsbegrebet, og med sammensætning af afbildninger: X Y Z; "sammensætning" er den fundamentale formelle struktur i en kategori. Lawveres program fra 1965 med kategorien af kategorier som et muligt, og mere realistisk, grundlag for matematik, var måske forud for sin tid i 1965 - i øjeblikket er "højere-dimensional kategoriteori", som et sådant grundlag henhører under, et varmt forskningsemne (bl.a. i teoretisk fysik), men stadig temmelig teknisk krævende. Derimod har en simplere variant, baseret på en aksiomatisk teori for kategorien af mængder, fået stor udbredelse. Denne teori går under navnet topos teori. Den har sit udspring i algebraisk geometri fra omkring 1960 (Grothendieck), og har siden omkring 1970 været inddraget i Lawveres program, som et realistisk grundlag for matematik. Kategorien af mængder har bl.a. egenskaberne: der kan dannes produktobjekter (produktmængder) A B, og der kan dannes funktionsobjekter C D (=mængden af afbildninger fra D til C); begge dele er noget, der kan beskrives rent kategoriteoretisk. F.eks. er produktmængden A B udstyret med projektionsafbildninger A B A og A B B, med en velkendt universel egenskab, som bestemmer produktmængden entydigt op til isomorfi. En kategori, der har produktdannelse og funktionsobjekt-dannelse kaldes en cartesisk lukket kategori (efter Descartes, der siges at have indført produktmængder, specielt den cartesiske plan 3 3). En topos er en kartesisk lukket kategori, der yderligere besidder "equalizere": {x f(x)=g(x)} og en "delobjekt-klassifikator", dvs. et objekt, typisk 2=1+1, der kan fungere som værdimængde for karakteristiske funktioner for delmængder (f(x)=1 hvis x tilhører delmængden; f(x)=0 ellers). Ethvert computer-program med regneark har et sådant objekt (datatype); det går ofte under navnet "Boole" eller lign. Topos teorien aksiomatiserer disse aspekter ved kategorien af mængder. - Så fik mængderne alligevel det sidste ord? Absolut ja. Mængdebegrebet, som anskuet i den naive mængdeteori, som hos Cantor, er et tænkemønster, en nødvendighed, som matematikere ikke længere kan eller vil slippe, lige så lidt som vi kan eller vil slippe begrebet om afbildning mellem mængder - det, som kategorien af mængder opsummerer, og som også er centralt i Cantors fundamentale begreb om ækvipotens af mængder. Den aksiomatiske mængdeteori, derimod, er et, blandt flere, reduktionistiske forsøg på forsikring mod paradokser, og er, for de fleste matematikere ikke et tankesæt, der påtvinger sig med nødvendighed. Hvor

mange af læserne har været nødt til, i dag, f.eks., at tænke på sagsforholdet x y z, et sagsforhold, som er centralt i aksiomatisk mængdeteori (men ikke i den naive mængde-teori); og hvor mange har i dag tænkt sagsforholdet "sammensat funktion" g ο f X f g Y og Y Z; mit gæt er, at det sidstnævnte er det daglige brød for læseren, ikke det førstnævnte. - Men lad os vende os fra polemikken (se evt. en udførlig polemik på [FOM], specielt posteringerne medio Jan. 1998 fra Friedman og McLarty): det er i dag vel undersøgt (se f.eks. [MM]), hvordan aksiomatisk mængdeteori kan interpreteres i topos-teori, og omvendt. Og så skal det iøvrigt siges, at topos-teori ikke er videre interesseret i matematikkens grundlag i reduktionistisk forstand. Derimod har den suget næring fra, og bidraget til, studiet af de mange kategorier (specielt toposer), der opstår i matematisk praksis, jvf. oprindelsen i algebraisk geometri. Men også "sheaf models", forcing, og Kripke-semantik afklares ved at blive forstået topos teoretisk. Toposer bestående af Kripke-modeller opfører sig som kategorien af mængder ville se ud for en intuitionist eller konstruktivist. Dermed har topos teori bidraget til at gøre intuitionistisk logik til noget objektivt, der lader sig afprøve også af den klassiske matematiker. På grund af sin konstruktive karakter og relation til lambda kalkyle (se [LS]) er topos teorien også relevant, og et forskningsemne, i teoretisk datalogi. Dette i overensstemmelse med en tese om, at forskning i matematikkens grundlag ikke har til formål at reducere matematik til én formel teori, men at analysere hvad der er universelt i matematik. Referencer [L1] F.W. Lawvere, An Elementary Theory of the Category of Sets, Proc.Nat.Acad.Sci. USA 50 (1964), 869-72 [L2] F.W. Lawvere, The Category of Categories as a Foundation for Mathematics, in Proceedings of the Conference of Categorical Algebra, LaJolla 1965. Springer 1966 [L3] F.W. Lawvere, Introduction, in "Toposes, Algebraic Geometry and Logic", Proceedings Halifax 1971, Springer Lecture Notes in Math. 274 (1972) [LS] J. Lambek og P. Scott, Introduction to Higher Order Categorical Logic, Cambridge University Press 1986 [MM] S. Mac Lane og I. Moerdijk; Sheaves in Geometry and Logic, Springer 1992 [McL] C. McLarty, Elementary Categories, Elementary Toposes, Oxford Sci. Publ. 1995.

[FOM] Netværk for Foundations of Mathematics, www.math.psu.edu/simpson/fom/

Beretninger New Trends in the History and Philosophy of Mathematics. Tinne Hoff Kjeldsen IMFUFA Roskilde Universitetscenter Netværkets 2. store møde fandt sted på RUC i begyndelsen af august, hvilket resulterede i en noget tæt pakket august måned med den internationale matematiker kongress i Berlin og et Wessel Symposium i København. På trods heraf var mødet rimelig velbesøgt med 48 tilmeldte deltagere, dog lige i underkanten af hvad arrangørerne havde håbet på. Belært af erfaringerne fra sidste års møde i bevisteori var programmet ikke nær så tæt pakket, og der var afsat rigelig tid til diskussion efter hvert foredrag. Programmet var bredt sammensat i et forsøg på at indkapsle nye tendenser og strømninger i matematikkens historie og filosofi, således var både kulturelle, sociologiske og etnologiske tilgange repræsenteret. Ligesom ved sidste møde var både historikere, filosoffer og matematikere inviteret, hvilket gav mulighed for udveksling af synspunkter på tværs af professionelle faggrænser. Joan Richards fra Brown University i Providence, USA åbnede mødet med et meget inspirerende foredrag om religionens betydning for udviklingen af logik i England i 1820 erne og 30 erne. Hun lagde ud med en vittighed om radikaler og radikalisme : Spørgsmål: What is a rational state of things? Svar: One in which all radicals are exterminated. Den matematiske fortolkning er oplagt: de rationale tal fås ved at eliminere de irrationale. Det er den sociale fortolkning, der forvandler ordvekslingen til en vittighed, idet de radikale i England i 1820 erne og 30 erne var dem, der mente, at det var muligt at skabe et rationalt samfund. Med udgangspunkt i den engelske matematiker Augustus DeMorgan argumenterede Richards meget overbevisende for den gensidige påvirkning mellem kulturelle faktorer - i dette tilfælde religiøse - og udviklingen af matematik og logik. Augustus DeMorgan var ansat som matematiker ved University of London. Dette universitet skilte sig ud fra Cambridge og Oxford ved at tillade studerende med forskellig religiøs baggrund. I Cambridge og Oxford var man af den overbevisning, at det var problematisk at føre diskussioner mellem folk uden fælles (religiøs) baggrund, dette problem undgik London University ved at anlægge den holdning, at basis for enhver diskussion var rationalitet. Logik kom så ind i billedet, idet rationalitet var baseret på logik. De radikale var dem, der mente, at rationalitet var en mulighed, og engelsk logik opstod historisk set på denne baggrund. Richards gik ind i den såkaldte logic war og diskuterede striden mellem Augustus DeMorgan på den ene side og Henry L. Mansel på

den anden side. Igen var det religion, der leverede brændstof til diskussionen. Herbert Mehrtens diskuterede matematik udfra et generelt historie perspektiv. Han tog udgangspunkt i det generelle historiske spørgsmål om, hvilken rolle og betydning matematiske teknikker spiller i samfundet. Han understregede at matematisk viden er lokal i tid og rum: mathematical knowledge is only there when it happens. For histoikere er matematik det, folk på et givet tidspunkt forstår og identificerer som matematik. Denne noget relativistiske opfattelse af matematik ledte naturligvis til spørgsmålet om, hvordan han ville forklare sandhed truth og matematikkens stabilitet, men Mehrtens gled af på diskussionen med bemærkningen: It works!. Hans foredrag viste, hvilke problemer man løb ind i, og hvordan fokuset forskydes, når man benytter kultur som et historiografisk redskab i historiske analyser af, hvad matematik er og betyder. Paulus Gerdes foredrag om etnomatematik relaterede sig til Mehrtens, idet Gerdes betragtede etnomatematik som studiet af matematiske ideer og aktivitet indlejret i deres kulturelle kontekst. Han eksemplificerede sine ideer med geometriske tegninger hørende til fortælletraditioner i Afrika og med kvindelige taske væveres viden om mønstre. Det filosofiske spørgsmål om bevisets rolle i matematik blev der talt en hel del om. Donald MacKenzie fra Edinburg og Arthur Jaffe fra Harvard, Cambridge, diskuterede dette aspekt fra to forskellige tilgange. MacKenzie talte om sammenhængen mellem computere og matematiske bevisers sociologi. Han diskuterede forskellene og betydningerne af formelle beviser og stringente argumenter. Hovedproblemstillingen i hans foredrag var spørgsmålet om formel matematisk verifikation af computersystemer, og det paradoks at formel verifikation af computersystemer for det meste udføres ved hjælp af computere. Hele dette netværk afspejler variationer i, hvad man til forskellige tider forstår ved matematisk bevis. Arthur Jaffe berørte også denne problemstilling ikke fra et sociologisk udgangspunkt men fra fysikken. I det sidste af hans to foredrag filosoferede han over, hvad et matematisk bevis er. Han var bekymret for om den ændrede kommunikationsform, hvor især internettet nu spiller en helt afgørende rolle i f.eks etablering af prioritets krav, hvor man jo kan få sine ideer publicereret stort set i takt med, at man kommer på dem, ville komme til at spille en ødelæggende rolle for, hvad vi vil forstå ved et matematisk bevis. Faren er oplagt, når tidspresset for at komme først med sine ideer bliver større og større er det nærliggende at benytte andres resultater uden at gennemtjekke beviserne, med fare for at grundlaget skrider. Jaffe var også bekymret for om indflydelsen fra fysik, hvor formelle beviser ikke spiller nær samme rolle som i matematik, ville have samme effekt på, hvad vi vil forstå ved et matematisk bevis.

Samtidig argumenterede han for at fysik spiller en helt enestående role for moderne matematisk forskning, idet megen ny forkning i matematik har berøringsflade med fysik. I den forbindelse var det også problematisk at fysikere og matematikere stort set ikke taler sammen, at de kommer fra og har udviklet sig til to helt adskilte kulturer, så Jaffe som en meget uheldigt udvikling. Det gøres ikke nemmere af at selve begrebet beviser har forskellig betydning i det fysiske og det matematiske samfund. Jodi Azzounis foredrag handlede om naturalisme i moderne matematikfilosofi. Med udgangspunkt i Euklidisk matematik diskuterede han beviser og ontologi, og som en illustration af sine synspunkter fremsatte han en ny fortolkning af græsk matematik, der satte geometriske figurer i centrum. Det foredrag, jeg personligt fik mest ud af, var Henk Bos filosofiske udfordringer fra matematikkens historie, og jeg ville meget gerne høre nogle matematikfilosoffer filosofere over nogle af disse udfordringer. Bos inviterede tilhørerne indenfor i sit matematikhistoriske værksted. Han gav tre eksempler på historiske analyser. Det ene omhandlede Viete s matematik, det andet Cauchys infinitesimal regning og kontroversen om hans berømte fejl, det tredje var om det moderne talbegreb. I alle tre eksempler argumenterede Bos for, at matematikhistorikernes diskussioner - i visse tilfælde kontroverser - bundede i det filosofiske spørgsmål: What is the nature of past mathematics and what is its relation to present-day mathematics? Bos sluttede af med en indkøbsliste over ting, han gerne ville bestille i den matematikfilosofiske butik. Og der er ingen tvivl om, at tilgængeligheden af den efterlyste vare ville udvide og berige matematikhistorie. I sagens natur var det ikke et møde, hvor der blev præsenteret en masse facts og færdigpolerede analyser, men istedet blev der givet en masse nye indtryk og overvejelser, tanker over nye måder at se matematik på i historisk og filosofisk lys. Den afsluttende rundbordsdiskussion afslørede også, at foredragsholderne havde benyttes sig af lejligheden til at kaste disse spekulationer ud og afprøve dem på et åbent publikum. Ligesom netværkets første møde skal resultere i en kongresberetning, er det håbet, at det også bliver muligt at udgive en beretning fra dette møde. Der kommer nærmere oplysninger om den sag i næste nummer af nyhedsbrevet.

Nogle indtryk fra Wessel-symposiet 11.-15. august 1998 Af Kurt Ramskov Matematisk Afdeling, Københavns Universitet Som markering af 200-året for publikationen af Caspar Wessels Om Directionens analytiske Betegning, et Forsøg, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Opløsning afholdtes i de ovennævnte 5 dage et symposium i Videnskabernes Selskabs bygning i København. Det nævnte arbejde har været velkendt i matematikkens historie, fordi det indeholder den tidligst kendte beskrivelse af den geometriske repræsentation af de komplekse tal. Caspar Wessel (1745-1818) blev født i Norge, men virkede i det meste af sit liv i Danmark som landmåler, hvor han var involveret i den første nøjagtige opmåling og kortlægning af Danmark iværksat af Videnskabernes Selskab. Om Directionens analytiske Betegning, var hans eneste matematiske arbejde, så det kunne naturligvis ikke alene bære et 5-dages symposium. Arrangøren af symposiet, Jesper Lützen (Mat., Kbh. Univ.), havde derfor valgt at invitere foredragsholdere, som kunne sætte Wessel og hans arbejde ind i en bred kontekst. Groft sagt kan man sige, at konteksten blev beskrevet ud fra fire vinkler: Opfattelsen af de komplekse tal i matematikken før, samtidig med og særlig efter Wessel Landmålingsinstrumenter og kartografi i Danmark Wessel-familien Det nationale og internationale videnskabelige miljø på Wessels tid Beskrivelsen nedenfor vil ikke komme ind på alle de mange indlæg, bl.a. fordi en proceedings fra mødet er under udarbejdelse. Jeg har i stedet valgt at fremdrage nogle af mine indtryk som deltager. Mødet indledtes med en detaljeret biografisk præsentation af Caspar Wessel ved Bodil Branner (DTU) og Nils Voje Johansen (Oslo). De havde lokaliseret et omfattende arkivmateriale, især fra Videnskabernes Selskabs kortlægning af Danmark, og var derved i stand til at supplere det eksisterende kendskab til Wessel med en række nye detaljer. De havde fx i arkivmaterialet kunnet spore Wessels idé om at bruge komplekse tal til forenkling af trigonometriske beregninger tilbage til 1787. Deres fælles foredrag blev iøvrigt suppleret med en lille udstilling af billeder, landkort og forskelligt arkivmateriale, som man kunne bese under symposiet, og en gåtur for deltagerne i det indre København til lokaliteter, hvortil Wessel havde haft tilknytning, som fx Rundetårn. Wessels matematiske arbejde blev præsenteret og sat ind i en matematikhistorisk ramme af Kirsti Andersen (Videnskabshist., Aarhus Univ.). Idag ser vi Wessels arbejde som meget væsentlig fordi den geometriske repræsentation af de komplekse tal anses for et helt centralt redskab til at forstå

komplekse tal og kompleks analyse. Wessels arbejde vakte ikke opsigt i samtiden og den traditionelle forklaring herpå har været at det var fordi, at det kun blev publiceret på dansk og derfor ikke læst. I perioden 1800-1830 publicerede en række forfattere desuden uafhængig af Wessel og af hinanden samme idé, men heller ingen af disse vakte opsigt. Forklaringen på dette har bl.a. været, at ideen var for revolutionerende til straks at blive accepteret og først da Gauss publicerede den i 1831 blev den accepteret. Disse forklaringer satte Andersen imidlertid spørgsmålstegn ved. Hun mente bl.a., at niveauet hos den danske matematiker Tetens, der præsenterede Wessels arbejde i Videnskabernes Selskab, var høj nok til at han kunne vurdere om det var værd at få arbejdet ud internationalt. Hendes forklaring på den manglende opsigt var, at den geometriske repræsentation gik mod udviklingen i analysen i tiden. Siden 1700-tallets midte havde man nemlig tilstræbt at fjerne geometriske argumenter og begreber fra analysen. Læser man Cauchys arbejder nærmere, kan man se, at han langt ind i 1800-tallet undgår at referere til den geometriske repræsentation af komplekse tal, fx også i sin formulering af Cauchys integralsætning, som beskrives som at integraler med komplekse grænser er invariante under visse substitutioner. Efter min mening satte Andersens forklaring en række ting bedre på plads. Med hensyn til Gauss' holdning til den geometriske repræsentation var dette emnet for Moritz Epples (Mainz) foredrag. Han forsøgte at afdække hvor Gauss' arbejder direkte eller indirekte anvendte den geometriske repræsentation. Bl.a. mente han, at der allerede i Gauss' bevis for algebraens fundamentalsætning fra 1799 underliggende var en topologisk forståelse, der måtte forudsætte en geometrisk forståelse af de komplekse tal. Jeg følte mig dog ikke helt overbevist af argumentet. Nogle af de andre personer, som uafhængig af Wessel lavede en geometrisk repræsentation, blev taget op af Gert Schubring (Bielefeld). Han kom især ind på Argand. Schubring havde lokaliseret et brev fra Legendre til Français, som tidligere kun havde været kendt af omtale. Det viste, at Legendre så ideen om en geometrisk repræsentation som interessant, men dog ikke mere opsigtsvækkende end at han i stedet for selv at arbejde med den bad Français gøre dette. Schubring mente iøvrigt, at der var tvivl om hvem Argand egentlig var. De forskellige opfattelser af komplekse tal i England indtil omkring 1850 blev diskuteret af Adrian Rice (London) og Bellavitis' opfattelse blev beskrevet af Paolo Freguglia (Chieti- Pescara). Alt i alt må man sige, at det traditionelle billede af opfattelsen af de komplekse tal og særlig den geometriske repræsentation som præsenteres i de fleste oversigtsværker om matematikkens historie har været præget af en alt for anakronistisk tilgang, som går ud fra at denne idé var meget vigtig, fordi den er det idag. Meget tyder på at samtidens opfattelse var anderledes og

denne episode i matematikkens historie trænger til en ny bearbejdning. Hovedparten af Wessels matematiske afhandling omhandler faktisk ikke omtalte geometriske repræsentation af de komplekse tal, men et forsøg på at lave hyperkomplekse tal i tre dimensioner. Han håbede med dette hjælpemiddel at kunne forenkle nogle af de trigonometriske beregninger, som var nødvendige i behandling af landmålingsdata. Den videre udvikling vedrørende hyperkomplekse tal i 1800- tallet blev taget op i et par foredrag. Andre foredrag koblede til emnet på andet vis, fx David Rowes (Mainz) omtale af imaginære elementer i geometrien. Navnet Wessel associerer de fleste mennesker udenfor matematikken formentlig ikke med Caspar Wessel, men enten med digteren Johan Herman Wessel eller søhelten Peder Wessel (Tordenskjold). Bjørn Linnestad (Vestby) præsenterede Johan Herman, bror til Caspar, i et foredrag der på meget elegant måde sammenvævede beskrivelsen af ham med udvalgte citater fra hans forfatterskab. Linnestad mente, at det var Wessels musiske håndtering af sproget, der gjorde at han stadig var kendt og blev læst. Fremsigelsen af de udvalgte citater var et overbevisende argument herfor. Linnestad havde desuden i Oslo lokaliseret nogle upublicerede digte af Wessel med erotisk indhold og han gav eksempler herfra. Endelig havde han en hypotese om, at forfatteren var maniodepressiv i en version med dybe depressioner som det fremherskende. Søhelten Peder Tordenskjold, der var grandonkel til Caspar Wessel, blev præsenteret af Hans Christian Bjerg (Rigsarkivet). Tordenskjold deltog i sit korte liv med succes i en række søslag i begyndelsen af 1700-tallet. Øjensynligt havde han et naturligt strategisk talent for søslag, der brød med den gængse strategi, ofte ved hjælp af overraskende påfund. Elementer fra Wessels arbejde med opmåling og kortlægning af Danmark blev beskrevet af Leif Kahl Kristensen (Fysik, Aarhus Univ.), mens Knud Poder (Geodætisk Inst., Kbh.) gav en faktuel oversigt over geodæsien i Danmark op til nutiden. De instrumenter, som blev anvendt ved opmålingen, og særlig den svenske instrumentmager Johan Ahls virksomhed og betydning blev behandlet af Olov Amelin (Uppsala). Den samtidige kunnen indenfor instrumentbygning og hvordan denne viden blev overført fra et område til et andet var emnet for foredrag af Dan Charlie Christensen (Historie, Kbh. Univ.) og Kurt Møller Pedersen (Videnskabshist., Aarhus Univ.) sidstnævnte gennem en præsentation af Thomas Bugges dagbog over sine rejser til Holland og England, hvori der findes detaljer om instrumenter og instrumentbygning. Endelig gav Michael Langkjærs (Historie, Kbh. Univ.) foredrag om den danske videnskabsmand Jens Kraft et indtryk af andre videnskabelige aktiviteter i Danmark, og Jürgen Hamels (Berlin) omtale af astronomen Heinrich Schumacher gav indblik i de internationale kontakter i astronomien.

Som ovenstående formodentlig giver indtryk af havde Lützen bragt folk fra mange forskellige felter sammen til gensidig inspiration. Jeg synes, at mødet var vellykket i bestræbelserne på at give den brede kontekst for Wessel og hans arbejde. Mødet var desuden velorganiseret og Lützen havde formået at fremskaffe fuld økonomisk støtte til arrangementet, herunder til frokoster og en symposiummiddag. Udover den allerede nævnte proceedings fra mødet er en engelsk oversættelse af Wessels matematiske arbejde (den første komplette) med indledende kapitler om Wessel og arbejdets placering i historien på vej til udgivelse.

Proof Theory and Complexity, (PTAC 98), Workshop afholdt af BRICS ved Institut for Datalogi, Aarhus Universitet, den 3.-7. august 1998 Klaus Frovin Jørgensen, IMFUFA, RUC. Formålet med workshoppen PTAC 98 var i bred forstand at afdække, hvad der for tiden rør sig inden for bevisteori og kompleksitetsteori. I særdeleshed var det emner som bevisteoretiske styrker af forskellige formelle systemer; funktional- og realiseringsinterpretationer af formelle systemer; beviser som programmer; beskrænket aritmetik og forbindelser til kompleksitetsteori; m.m.. Mødet var således et overvejende teknisk møde, og det var primært konkrete, specifikke problemer og anvendelser, der blev diskuteret frem for metodologiske, grundlagsmæssige eller historiske aspekter. Mødets vinkel på bevisteori var derfor en noget anden end Netværkets møde om bevisteori sidste efterår i Roskilde, og det var således helt andre emner der blev diskuteret i Århus. De to møder indenfor et år her i landet supplerede på denne vis hinanden fortrinligt. Jeg havde desværre ikke mulighed for at følge hele mødet i Århus, da det delvist faldt sammen med Netværkets konference (beskrevet andetsteds her i nyhedsbrevet), hvorfor jeg kun var med til mødet i Århus de tre første dage. Det var ellers et ualmindeligt flot program, der blev afviklet i Århus (for et fuldstændigt program med tilhørende abstracts, se under http://www.brics.dk). Det var vel mere eller mindre halvdelen af de etablerede forskere på verdensplanet, der var mødt op. Derudover var der mange unge og talentfulde post-doc er, der fik mulighed for at fremlægge nye resultater og få kvalificeret respons fra de mere erfarne. Denne blanding gav mulighed for et forum, hvor de mere unge kunne nyde godt af den akkumulerede erfaring blandt veteranerne, der talte folk som G. Takeuti (Philadelphia), D. Scott (Pittsburgh), G. Mints (Stanford), H. Schwichtenberg (München) J. Avigad (Pittsburgh) og S. Feferman (Stanford). Netop Fefermans foredrag var et af de mest interessante. Som en af de få ved mødet fortalte han i foredraget Unfolding Schematic Formal Systems om filosofiske og historiske overvejelser og forudsætninger i det hele taget for videreførelsen af sit gamle program inden for prædikativ og eksplicit matematik. Programmet går nu, blandt andre emner, ud på at undersøge hvilke operationer, prædikater og principper, der er givet implicit i accepten af et givet formelt system. Ordet unfolding refererer til denne undersøgelse. Udgangspunktet eller inspirationen hertil er K. Gödels søgen i 50 erne og 60 erne efter de sande aksiomer for mængdelæren. Gödel mente, at man endnu ikke havde fundet de rigtige aksiomer, da det ikke kunne være sandt, at Kontinuumshypotesen var/er uafgørbar. Feferman redegjorde for nye resultater inden for systemer der spænder fra finitistisk aritmetik til

højere ordens mængdelære, og foredraget var således i matematikfilosofisk forstand rigtigt interessant. Et foredrag af Avigad var også filosofisk set spændende. Han berettede om nye og gamle resultater opnået ved en forbavsende simpel og uniform metode. Ved brug af en bevisteoretisk forcing -relation, interpreteres en række klassiske teorier i deres respektive intuitionistiske fragmenter, hvorved konservativitetsresultater opnås. Metoden fungerer for teorier spændende over beskrænket aritmetik, til Kripke-Platek mængdelære, og igen til højere ordens aritmetik. Som eksempel blev det vist, at Peano aritmetik er konservativ over Heyting aritmetik for formler af kompleksitet til og med Skolem funktionerne. Resultatet er interessant, da det viser, at man for dette fragment af aritmetikken ikke kan bevise flere formler ved brug af klassisk logik end ved intuitionistisk logik. W. Burr en yngre Ph.D.- studerende fra Münster - fortalte om nye og beslægtede resultater, hvor forskellige udgaver af Aczels konstruktive mængdelære interpreteres i funktional-systemer af endelig type. Der var mange foredrag i løbet af ugen (omkring seks pr. dag), og jeg kan ikke hævde, at jeg forstod alt, hvad jeg hørte. Men en af ideerne med mødet var netop også at skabe muligheden for at snuse til emner, som man ikke havde beskæftiget sig med før. Således blev jeg om tirsdagen præsenteret for en del kompleksitetsteori, jeg ikke har set før. Bekendtskabet var interessant, men var for min smag nok en anelse for langt ovre i den teoretisk datalogi, et stykke væk fra matematikkens filosofi. Nævnes skal dog Takeutis foredrag om problemet P NP (dvs. om klassen af ikke-deterministiske polynomielle algoritmer er mere omfattende end klassen af polynomielle algoritmer). Takeuti har arbejdet på problemet over del år efterhånden, og mener selv at være tæt på en løsning. Hvad jeg fandt interessant ved foredraget var angrebsvinklen. Ved brug af forcing - metoden blev nye formodninger formuleret, hvis sandhed implicerer P NP. Disse formodninger virkede meget plausible, problemet var blot - som Takeuti selv sagde det - at han ikke kunne bevise dem. Men Takeuti har dog givet en generel analyse af problemet og dets omfang. Jeg havde, som tidligere nævnt, desværre ikke mulig for at være til stede under hele mødet. Men fra andre deltagere er jeg blevet fortalt, at niveauet de sidste to dage var lige så højt som de tre første, hvorved mødet som helhed havde været virkelig vellykket; det var et meget fornemt program. Noget der dog undrer mig er, at det var noget begrænset, hvad der blev diskuteret af filosofi. Der var mange mennesker samlet, som gennem tiderne har beskæftiget sig med grundlagsmæssige aspekter, men det er som om, at der er mere end blot en tendens til for tiden at beskæftige sig med mindre tekniske problemer frem for grundlæggende og afgørende problemer inden for matematikkens filosofi. På denne led var Takeutis foredrag typisk for mødet og

Fefermans atypisk. Hvad man end mener om denne tendens, var mødet godt tilrettelagt i fine omgivelser på universitetet i Århus, og jeg havde et meget stort udbytte af de tre dage jeg var der.

Netværkets kommende arrangement Bourbakimøde Onsdag d. 28. oktober 1998 Roskilde Universitetscenter Auditoriet, Bygning 46 Program 09.30 10.15: L. Corry: The Origins and Early Years of Bourbaki 10.15 10.45: Discussion 10.45 11.15: Coffee Break 11.15 12.00: A. Mathias: The Settheory of Bourbaki and Their View on the Foundations of Mathematics 12.00 12.30: Discussion 12.30 13.30: Lunch 13.30 14.15: L. Corry: Bourbaki's Structures and the Theory of Categories 14.15 14.45: Discussion 14.45 15.15: Coffee Break 15.15 16.00: A. Mathias: Critical Evaluation of the Bourbaki-school 16.00 16.30: Discussion Her følger programmet for mødet, dog med det forbehold at der stadig kan komme ændringer af tidspunkterne. Der vil i den nærmeste fremtid blive fremsendt et program med abstracts til netværkets medlemmer. Programmer og oplysninger kan indhentes ved henvendelse til: Lise Mariane Jeppesen Filosofi og Videnskabsteori Roskilde Universitetscenter Postbox 260 4000 Roskilde Tlf: 46742445 Email: lmj@ruc.dk hvortil også tilmeldinger skal rettes.

Blandede nyheder Højere håndværk, humanisme og universitetstradition: Zilsel-thesen i forhold til matematikkens udvikling I 1942 fremlagde Edgar Zilsel i udkastform i artiklen "The Sociological Roots of Science" (American Journal of Sociology 47, 544-562) den these at senrenæssancens naturvidenskabelige nybrud ikke kunne forklares ud fra nogen af de hidtil fremlagte skabeloner specielt hverken en Burckhardtinspireret af renæssancekulturens nye træk eller en Duhem'sk betoning af kontinuitet mellem senskolastisk naturfilosofi og Galilei. I stedet pegede han på hvordan et samspil mellem "higher artisans" (specialister inden for de praktiske fag: kanonerer, bygmestre, o.lign.), humanister og universitetslærde skabte muligheder som ingen af de tre grupper taget for sig havde haft. Zilsel's udkast kan kritiseres på en række enkeltpunkter; bl.a. er humanismens betoning af den "civiske" nytte gået ham forbi. På den anden side har thesen været frugtbar nok til både direkte og indirekte at inspirere meget af den bredere diskussion af senrenæssancens naturvidenskabelige gennembrud. Diskussionen har imidlertid været koncentreret om de mekanisk-fysiske videnskaber (Galilei, hans forgængere og efterfølgere); bortset fra perpektivteorien har den ladet matematikkens udvikling uberørt. Seminaret sigter på at udfylde dette hul, samt på at sammenkoble diskussionen af matematikken selv med tidligere undersøgelser af den matematiserede mekanisk-fysiske videnskab. Seminaret afholdes d. 29. oktober til d. 1. november. For yderligere information kontakt Jens Høyrup, email: jensh@frode.ruc.dk. Matematisk arkivmateriale ved Københavns Universitet Af Kurt Ramskov Matematisk Afdeling, Københavns Universitet Op gennem det 20. århundrede er der ved det matematiske institut ved Københavns Universitet blev opsamlet arkivmateriale fra aktiviteter i tilknytning til instituttet. En stor del af materialet blev blot ophobet usorteret og resultatet var, at ingen efterhånden havde overblik over, hvad der egentlig fandtes af materiale. Gennem de sidste to år er materialet blevet sorteret ud i samlinger, som er blevet groft registreret, og det hele er nu samlet i et arkiv ved Institut for Matematiske Fag. Informationer om arkivet og samlingerne er lagt ud på nogle hjemmesider på adressen: www.math.ku.dk/imf/arkivet og interesserede henvises hertil for detaljerede oplysninger. Det bemærkes, at registreringen endnu ikke er helt

fuldendt. Nedenfor vil kun blive givet et indtryk af, hvad arkivet indeholder. Hovedparten af materialet er efterladte papirer fra tidligere ansatte og materiale fra instituttets daglige drift (administration, biblioteket osv.). Materialet er blevet opdelt i fem grupper: 1. Arkivmateriale fra administration af institut og afdelinger 2. Institutpublikationer (noter, preprints o.l.) 3. Privatpersoners arkiver 4. Arkivmateriale fra selskaber og foreninger 5. Andet en central figur i mange forbindelser (førende dansk matematiker, institutleder, ledende ved opførelsen af H. C. Ørsted Instituttet, formand for Carlsbergfondet, sekretær i Den International Matematiske Union, medlem af undervisningskommissionen osv.) er der materiale der belyser mange aspekter af matematikken i Danmark i perioden 1930 75. I kategori 4 findes for tiden kun arkivmateriale fra én forening: Dansk Matematisk Forening. Til gengæld er det et meget righoldigt arkiv. I gruppe 2 findes en meget omfattende samling af matematiknoter. Før 1960 var hovedparten af matematikundervisningen ved universitetet baseret på at de studerende selv tog notater til forelæsningerne. Til enkelte (især introducerende) kurser var der en lærebog. Fra 1960'erne anvendtes i stedet fotokopierede noter som "lærebøger" i matematikkurserne. Samlingen består af eksemplarer af disse fotokopierede noter fra en stor del af de matematiske kurser afholdt ved Københavns Universitet siden 1960. I gruppe 3 er papirer fra en række danske matematikere fra det 20. århundrede: Harald Bohr, Werner & Käte Fenchel, Carl C. Hansen, Poul Heegaard, Johannes Hjelmslev, Børge Jessen, Jakob Nielsen, Julius Pál og Johan F. Steffensen. Samlingerne er af meget varierende omfang og indhold. Enestående er Børge Jessens papirer. Jessen gemte alt og da han samtidig var

Dansk Matematisk Forenings 125 års jubilæum Forelæsninger d. 9. oktober I forbindelse med Dansk Matematisk Forenings 125 års jubilæum afholdes fredag d. 9. oktober i Auditorium 4 på H.C. Ørsted Instituttet bl.a. følgende forelæsninger: institutter, centre og kurser som har videnskabsforskning på programmet og en fortegnelse over de kurser der udbydes i det akademiske år 1998 1999. Kataloget kan rekvireres ved henvendelse til Charlotte E. Hansen, P5, RUC, Box 260, 4000 Roskilde, eller pr. email: vidnet@frode.ruc.dk. Kl. 13.30 Lektor Bjarne Toft, Odense Universitet: Dansk matematiks moderne gennembrud i 1870 erne. Kl. 15.00 Adjunkt Kurt Ramskov, Københavns Universitet: Dansk Matematisk Forening gennem 125 år: nogle episoder og indtryk. Caspar Wessel Udstilling på HCØ I anledning af 200 året for udgivelsen af Caspar Wessels artikel Om Direktionens Analytiske Betegning, et Forsøg har Bodil Branner (DTU) og Nils Voje (Oslo) lavet en udstilling om Wessel og hans arbejde som landmåler og matematiker. Den vises i vandrehallen på HCØ (KU) i perioden 25. september 19. oktober. Katalog fra Sydskandinavisk Konsortium i Videnskabsforskning Konsortiet har udgivet et nyt katalog som indeholder en oversigt over