Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger/Noter Indholdsfortegnelse: 1. Opgaver med polynomier side 1 Udvalgte opgaver fra nylige forsøgssæt og eksamenssæt fra Norge. Optimeringsopgaver side 4 Udvalgte opgaver fra Norske eksamenssæt 3. Leg med polynomier side 6 Symmetri for polynomier side 6 Karakteristiske punkter for grafer til polynomier side 7 Parabelsjov side 9 4. Eksempler på franske forsøgsopgaver i eksperimentel matematik side 10 1. Grafen for en talfølge (A) side 10. Højdernes skæringspunkt (B/A) 3. Løsning af en transcendent ligning (A) 4. Kurver, der kysser hinanden (A) side 11 5. Den kinesiske skærm (A) 6. Opsamling af regnvand (A) side 1 7. Om opførslen af talfølger defineret ved rekursion (A) side 13 8. Tangenter til en parabel (B/A) 9. Koblede talfølger (A) side 14 10. Afstand fra et punkt til en kurve (B/A) 5. Eksempler på projekter side 15 Kunsten at sy en parabel (B/A) side 15 Some like it hot: (A) side 18 Brian Olesen og Bjørn Felsager (rev. 011) 87
Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 1. Opgaver med polynomier Opgave 1 (B-niveau, forslag til forsøgsopgaver med IT og matematik) En funktion f er givet ved 3 9 9 81 4 8 f ( x) = x + x x (a) Bestem nulpunkter og fortegn for f. (b) Bestem koordinaterne til de punkter, hvor f har lokale ekstrema. Funktionen f afgrænser i. kvadrant sammen med 1. aksen en punktmængde M. (c) Bestem arealet af punktmængden M. 9 Grafen for f har to parallelle tangenter n og k med hældningskoefficient 4. (d) Bestem en ligning for hver af tangenterne n og k. (e) Bestem afstanden imellem tangenterne n og k. (f) Begrund at der findes to parallelle tangenter til grafen for f, der har en indbyrdes afstand på 0. Opgave (A-niveau, forslag til forsøgsopgaver med IT og matematik) To funktioner f og g er givet ved at 3 f( x) = x 9x + 4x 16 og g( x) = x k a) Bestem koordinatsættene til de punkter, hvor de to funktioners grafer skærer hinanden, når k=1. For k = 1 er punktmængden M 1 er afgrænset af graferne for f og g. b) Bestem arealet af M 1. For k =1 er punktmængden M er afgrænset af grafen for g, linien x = 5 og x- aksen. Punktmængden M drejes 360 o om førsteaksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme, der har et rumfang. c) Bestem dette rumfang. d) For nogle værdier af k tangerer grafen for funktionen g, grafen for funktionen f. Bestem disse værdier af k. 1 88
Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 Opgave 3 (digitalt forsøg med adgang til net: Terminsprøve B-niveau) En funktion f er givet ved 5 4 3 f ( x) = 3x 8x + x + 5 x 4x+ 7 a) Bestem monotoniforhold og ekstrema for f. b) Bestem en ligning for tangentent n til grafen for f i punktet p P( (1,f (1)), og gør redee for at denne tangent har netop ét andet skæringspunkt med grafen for f. Opgave 4 (digitalt forsøg med adgang til net: Terminsprøve B-niveau) Tema: Tredjegradspolynomier Et tredjegradspolynomium kan havee op til 3 rødder, dvs. grafen for polynomiet kan have op til 3 skæringsp punkter med førsteaksen. Et tredjegradspolynomium med 3 forskellige rødder, r 1, r og r 3, kan skrives på formen p( x) = a( x r1)( x r)( x r3 ), hvor a er en konstant. For et bestemt tredjegradspolynomium p gælder, at grafen for p skærer første- an- aksen i de tre punkter (,0), (1,0) ogg (3,0) samtidigt med, at grafen skærer denaksenn i (0,6). a) Angiv r 1, r og r 3 for p, og opskrivv en forskrift for p på p form n p( x) 3 = ax + bx + cx + d. 89
Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 Opgave 5: (Norsk eksamensopgave maj 008) I denne oppgaven skal du drøfte en polynomfunksjon f av tredje grad. På figuren har vi tegnet grafen til den deriverte av funksjonen. a) Bruk grafen til f ' til å avgjøre hvor funksjonen f vokser og hvor den avtar. b) Bruk grafen til f ' til å finne førstekoordinaten til eventuelle topp-, bunnog vendepunkter på grafen til f. c) Bruk grafen til f ' til å finne et funksjonsuttrykk for f '. d) Grafen til f går gjennom origo. Forklar at f x = x + x x. Tegn grafen til f når x 0, 4. Opgave 6: (Norsk eksamensopgave maj 009) 1 3 ( ) 3 3 Funksjonen f er gitt ved 3 f( x) = x + ax + bx 11. Grafen til funksjonen f har et bunnpunkt i ( 1, 16). a) Vis at a = 3 og b = 9. b) Finn f '( x ), og bruk denne til å tegne fortegnslinja for f '( x ). Bruk fortegnslinja til å finne ut hvor grafen stiger og hvor den synker. Hva blir koordinatene til eventuelle toppunkter på grafen til f? c) Finn f ''( x ), og bruk denne til å tegne fortegnslinja for f ''( x ). Bruk fortegnslinja til å finne eventuelle vendepunkter på grafen til f. d) Finn likningene for tangentene med stigningstall 9. e) Tegn grafen til f. Bruk grafen og resultatene i d) til å avgjøre for hvilke verdier av b likningen f ( x) = 9x+ b har tre forskjellige løsninger. 3 90
Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 Opgave 7: (Norsk eksamensopgave maj 009) I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy. I denne oppgaven skal du studere fjerdegradsfunksjoner som har to vendepunkter. 1 4 3 Funksjonen f er gitt ved f ( x) 1 ( x x 1x ) =. La S og T være de to vendepunktene, med S lengst til venstre på grafen. a) Tegn grafen til f. b) Finn f ''( x) og tegn fortegnslinja for denne. Bestem koordinatene til vendepunktene S og T. c) Finn likningen for den rette linja gjennom punktene S og T. Bestem koordinatene til de to andre skjæringspunktene mellom grafen til f og linja. Bruk gjerne digitalt verktøy. d) Vi lar Q være skjæringspunktet lengst til høyre. Regn ut ST TQ. 4 En annen fjerdegradsfunksjon g er gitt ved gx ( ) = x 6x. La S 1 og T 1 være de to vendepunktene, med S 1 lengst til venstre på grafen. Du skal gjennomføre tilsvarende oppgaver som i a), b), c) og d): 1) Tegn grafen til g. ) Finn g''( x ) og tegn fortegnslinja for denne. Bestem koordinatene til vendepunktene S 1 og T 1. 3) Finn likningen for den rette linja gjennom punktene S 1 og T 1. Bestem koordinatene til de to andre skjæringspunktene mellom grafen til g og linja. Bruk gjerne digitalt verktøy. ST 1 1 4) Vi lar Q 1 være skjæringspunktet lengst til høyre. Regn ut TQ. 1 1 Kommenter resultatet.. Optimeringsopgaver Opgave 1 (Norsk eksamensopgave maj 008) Figuren nedenfor viser en likebeint trekant ABC innskrevet i en sirkel med sentrum S og radius 1. Linjestykket CD er en høyde i trekanten. Vi setter SD = x. a) Forklar at arealet F av trekanten ABC er gitt ved F( x) = (1 + x) 1 x b) Tegn grafen til F. Bruk grafen til å finne det største arealet av trekanten ABC. 1 c) Vis at x = er en løsning av likningen F'(x) = 0. Kommenter svaret. d) Regn ut lengden av sidene i trekanten 1 ABC når x =. Kommenter svaret. 4 91
Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 Opgave (Norsk eksamensopgave december 009) En rett linje med stigningstall a går gjennom punktet (, 1). Linjen skal synke mot høyre. a) Vis at ligningen til linjen kan skrives som y = ax a+ 1, der a<0 Vi kaller skjæringspunktet med x-aksen for A og skjæringspunktet med y- aksen for B. Vi lar F(a) være arealet av trekanten OAB. O er origo. Skissene nedenfor viser trekantene for a = -5, a = -, a = -0,5 og a = -0,1. I denne oppgaven skal du finne ut hvilken a-verdi som gjør arealet minst. b) Vis at (a 1) Fa ( ) =. a 1 e) Tegn grafen til F. Velg a-verdier i intervallet 5, 10. Bruk grafen til å finne det minste arealet og det tilhørende stigningstallet til linjen. (a 1) ( a 1) d) Vis ved regning at F'( a) =. a e) Tegn fortegnslinjen til F'(a) og bruk den til å finne det minste arealet. Hva er ligningen til linjen når arealet er minst? 5 9
Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 3. Leg med polynomier: Symmetri: Aksesymmetri: a) Opstil en ligning, der udtrykker at grafen for funktionen p(x) er symmetrisk omkring den lodrette linje x = x 0. b) Løs symmetriligningen for et vilkårligt andengradspolynomium px ( ) = a x + b x+ c med hensyn til x 0 og find herved symmetriaksen for grafen til et andengradspolynomium. c) Undersøg på samme måde symmetrien af et fjerdegradspolynomium 4 3 qx ( ) = a x + b x + c x + d x+ e. Hvis der er symmetri, hvad er så ligningen for symmetriaksen? Hvilken betingelse skal koefficienterne til fjerdegradspolynomiet opfylde for at der er symmetri? Hvad er den geometriske betydning af denne betingelse? (Vink: Kig på aksetangenten). Hvordan ser ligningen for et vilkårligt symmetrisk fjerdegradspolynomium ud? Punktsymmetri: Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. a) Opstil en ligning, der udtrykker at grafen for funktionen p(x) er symmetrisk omkring grafpunktet (x 0, p(x 0 )). b) Løs symmetriligningen for et vilkårligt tredjegradspolynomium 3 px ( ): = a x + b x + c x+ d med hensyn til x 0 og find herved symmetripunktet for grafen til et tredjegradspolynomium. c) Undersøg symmetrien af et femtegradspolynomium 5 4 3 qx ( ) = a x + b x + c x + d x + e x+ f. Hvis der er symmetri, hvad er så koordinaterne til symmetripunktet? Hvilken betingelse skal koefficienterne til femtegradspolynomiet opfylde for at der er symmetri? Hvad er den geometriske betydning af denne betingelse? (Vink: Kig på aksetangenten). Hvordan ser ligningen for et symmetrisk femtegradspolynomium ud? 6 93
Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 Karakteristiske punkter for grafer til polynomier Karakteristiske punkter på grafen til et tredjegradspolynomium. Find koordinaterne til de to toppunkter samt symmetripunktet til grafen for tredjegradspolynomiet 3 px ( ) = a x + b x + c x+ d, hvor b 3 a c > 0 hvor betingelsen netop sikrer, at grafen har to toppunkter. Tangenterne gennem toppunkterne skærer grafen i yderligere to punkter. Find også koordinaterne til disse to punkter. Disse fem punkter: Symmetripunktet, toppunkterne og de to skæringspunkter med toppunktstangenterne kaldes de fem karakteristiske punkter på grafen for tredjegradspolynomiet. Hvordan ligger x-koordinaterne for de fem karakteristiske punkter i forhold til hinanden? Hvordan ligger y-koordinaterne for de fem karakteristiske punkter i forhold til hinanden? Gør rede for at vendetangenten (med røringspunkt i symmetripunktet) ikke har yderligere fælles punkter med grafen. Vendetangenten skærer toppunktstangenterne i yderligere to punkter. Find koordinaterne til disse to supplerende punkter. Hvordan ligger x-koordinaterne for de to supplerende punkter i forhold til x- koordinaterne for symmetripunktet og toppunkterne. En toppunktstangent afsnører sammen med grafen for tredjegradspolynomiet et område med et areal M. Hvor stort er dette areal i forhold til det omskrevne rektangel udspændt af toppunktstangenterne og de lodrette linjer gennem toppunktet og det tilhørende skæringspunkt med toppunktstangenten. Skæringspunkterne for sekanter med grafen for et tredjegradspolynomium En sekant skærer typisk grafen for et tredjegradspolynomium i tre punkter. Hvordan ligger tyngdepunktet for de tre punkter i forhold til symmetripunktet? Den lodrette linje gennem midtpunktet for to af sekantens skæringspunkter skærer grafen i endnu et punkt. Tangenten med dette nye punkt som røringspunkt skærer grafen for tredjegradspolynomiet i endnu et punkt. Hvordan ligger dette sidste punkt i forhold til det tredje skæringspunkt med sekanten? 7 94
Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 Karakteristiske punkter for grafen til et fjerdegradspolynomium. Vi betragter grafen for et fjerdegradspolynomium med tre toppunkter og to vendepunkter 4 3 px ( ) = a x + b x + c x + d x+ e, hvor 3b 8 a c > 0 hvor betingelsen netop sikrer, at grafen har tre toppunkter og to vendepunkter. Linjen gennem vendepunkterne kaldes vendepunktssekanten. Find koordinaterne til de to vendepunkter samt aksepunktet, som er det punkt på grafen, hvis x-koordinat ligger midtvejs mellem x-koordinaterne for vendepunkterne. Hvis fjerdegradspolynomiet er symmetrisk vil det netop være symmetrisk omkring den lodrette linje gennem aksepunktet. I det følgende vil vi antage at der ikke er tale om et symmetrisk fjerdegradspolynomium! Tangenten hørende til aksepunktet kaldes aksetangenten. Hvordan ligger aksetangen i forhold til vendepunktssekanten? Grafen til et fjerdegradspolynomium med tre toppunkter og to vendepunkter har desuden en bitangent, dvs. en tangent med netop to røringspunkter. Bestem koordinaterne til røringspunkterne for bitangenten. Hvordan ligger bitangenten i forhold til aksetangenten og vendepunktssekanten? Aksetangenten skærer grafen for fjerdegradspolynomiet i yderligere to punkter. Aksepunktet, de to skæringspunkter med aksetangenten og de to røringspunkter med bitangenten kaldes de fem karakteristiske punkter på grafen for fjerdegradspolynomiet. Hvordan ligger x-koordinaterne for de fem karakteristiske punkter i forhold til hinanden? Den lodrette linje gennem aksepunktet kaldes grafens akse. Aksetangenten, vendepunktssekanten og bitangenten skærer aksen i tre punkter. Hvordan ligger de i forhold til hinanden? Aksetangenten afskærer to områder sammen med grafen for fjerdegradspolynomiet. Hvordan forholder arealet af de to områder sig til arealet af det omskrevne parallelogram, der indesluttes af aksetangen, bitangenten og de to lodrette linjer gennem aksetangentens skæringspunkter med grafen for fjerdegradspolynomiet? Bitangenten afskærer ét område sammen med grafen for fjerdegradspolynomiet. Hvordan forholder dette areal sig til de to foregående arealer? 8 95
Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 Det gyldne snit og grafen til et fjerdegradspolynomium. Vi betragter grafen for et fjerdegradspolynomium med tre toppunkter og to vendepunkter 4 3 px ( ) = a x + b x + c x + d x+ e, hvor 3b 8 a c > 0 hvor betingelsen netop sikrer, at grafen har tre toppunkter og to vendepunkter. Find koordinaterne til de to vendepunkter samt aksepunktet, som er det punkt på grafen, hvis x-koordinat ligger midtvejs mellem x-koordinaterne for vendepunkterne. Hvis fjerdegradspolynomiet er symmetrisk vil det netop være symmetrisk omkring den lodrette linje gennem aksepunktet. I det følgende vil vi antage at der ikke er tale om et symmetrisk fjerdegradspolynomium! Linjen gennem vendepunkterne kaldes vendepunktssekanten. Den skærer grafen i yderligere to punkter. De fire punkter bestående af vendepunkterne og skæringspunkterne med vendepunktssekanten kaldes i rækkefølge fra venstre til højre A, B, C og D. Undersøg delingsforholdet for de tre første punkter: A, B og C. Vendepunktstangenten afskærer tre områder indesluttet af grafen for fjerdegradspolynomiet og vendepunktssekanten. Hvordan ligger størrelsen af de tre arealer i forhold til hinanden? Parabelsjov: Arealsætningen En sekant skærer en parabel i punkterne A og B. Der findes netop en tangent til parablen, der er parallel med sekanten. Bestem røringspunktet C for denne tangent. Hvordan ligger røringspunktet C i forhold til sekantens endepunkter A og B? Sekanten afgrænser sammen med parablen et område (et parabelsegment) med et areal. Bestem forholdet mellem arealet af parabelsegmentet og den indskrevne trekant ABC. Den korteste normal Normalen til et punkt på parablen y = x skærer parablen i endnu et punkt på den modsatte bue. Opstil en ligning for normalen til parablen i ankerpunktet (x 0, x 0 ). Find et udtryk for afstanden fra det oprindelige ankerpunkt for normalen til skæringspunktet mellem normale og parablen på den modsatte bue. Find såvel længden af den korteste normal som koordinaterne til ankerpunktet for den korteste normal. 9 96
Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 4. Eksempler på opgaver fra den franske eksamen i eksperimentel matematik (i fri oversættelse!) 1. Grafen for en talfølge En talfølge er defineret ved differensligningen u(n+1)=u(n)+n-11, u(0)=0 Konstruer en tabel over de første 0 led. Konstruer en graf for talfølgen. Hvilken figur er der tale om? Hvilken sammenhæng mellem n og u(n) er der tale om? Opstil en eksplicit formel for u(n) udtrykt ved n. (Prøv også at formulere et bevis for den fundne formel!). Højdernes skæringspunkt Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Vi betragter grafen for en ligesidet hyperbel y = 1/x. Konstruer en trekant ABC, hvor de tre hjørner ligger på den ligesidede hyperbel. Konstruer højdernes skæringspunkt. Hvilken sammenhæng synes der at gælde mellem højdernes skæringspunkt og hyperblen? (Prøv også at formulere et bevis for den fundne sammenhæng!) 3. Løsning af en transcendent ligning Lad k være et reelt tal. Vi vil undersøge antallet af løsninger for ligningen ln( x) = k x, x > 0 Opstil en hypotese om hvordan antallet af løsninger til denne ligning afhænger af værdien for k. Når k er positiv findes der en værdi af k, for hvilken ligningen har en entydig løsning. Bestem en tilnærmet værdi for denne specielle værdi af k. Bevis at for negative værdier af k har ligningen altid en entydig løsning. (Prøv også at finde den eksakte værdi for den specielle værdi af k!) 10 97
Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 4. Kurver, der kysser hinanden Formål: Formålet er at finde betingelserne for at grafen til et andengradspolynomium og en cirkel har en fælles tangent. Lad r være et positivt reelt tal. Vi betragter parablen P med ligningen y = x - 3 og cirklen C med centrum i origo O(0,0) og radius r. 1. En smule udforskning. (a) Konstruér parablen P og cirklen C. (b) Opstil en hypotese om hvordan antallet af fælles punkter afhænger af radien r. (c) Giv en tilnærmet værdi for radius (r), svarende til at parablen P og cirklen C har en fælles tangent og giv i dette tilfælde en tilnærmet værdi af koordinaterne for det fælles røringspunkt. Det antages i det følgende, at 0 < r < 3.. Lidt beregning. (a) Opskriv et system (S) af ligninger, til at finde x og y-koordinaterne for eventuelle fællespunkter mellem parablen P og cirklen C. (b) Vis at ligningen for x kan omskrives til en fjerdegradsligning på formen 4 a x + b x + c = 0, og gør rede for betydningen af værdierne af a, b og c. 3. Lidt begrundelse. (a) Analysér antallet af fællespunkter for cirklen og parablen, når 0 <r <3 ved hjælp af ligningssystemet. (b) Undersøg de tilfælde hvor parablen og cirklen har en fælles tangent og fastlæg værdien af radius r, samt koordinaterne for de fælles røringspunkter til parablen P og cirklen C. 5. Den kinesiske skærm En kinesisk skærm består af 3 rektangulære plader med de samme dimensioner. De korte bundsider, der er i kontakt med jorden, måler hver 1 meter. Skærmen danner et trapez ABCD på jorden. Vi antager at vinklerne ABC og BCD er lige store, og at linjerne AD og BC er parallelle. Trapezet kaldes den understøttende polygon. Formålet med denne øvelse er at bestemme værdien af den vinkel ABC som sikrer at arealet s for trapezet bliver størst muligt. 1. Konstruer et trapez ABCD, hvor AB = BC = CD og hvor linjestykket AD er parallel med linjestykket BC. Sørg for at værdien af vinklen a = ABC kan varieres.. Opstil en hypotese om hvilken værdi af vinklen a, der fører til et maksimalt areal for trapezet. 3. Den retvinklede projektion af B på linjestykket AD kaldes H. Den spidse vinkel ABH kaldes t. Konstruér kurven bestående af punkterne M med koordinaterne (t,s). 11 98
4. Validering af hypotesen. Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 (a) Eftervis, at funktionen f defineret ved: [ ] f () t = 1+ sin() t cos() t repræsenterer arealet s af trapezet ABCD som funktion af vinklen t. (b) Check med din software, at punkterne M(t,s) ligger på grafen for den ovennævnte funktion f. (c) Undersøge monotoniforholdene for funktionen f og konkludér. 6. Opsamling af regnvand Vi beslutter at etablere et system til indsamling af regnvand på facaden af et hus. På denne rektangulære facade har vi fæstnet to skrå rør, der samler regnvandet i en lodret rørledning der fører ned til et reservoir. Vi gengiver nedenfor en plan for facaden og et par dimensioner, udtrykt i meter. På denne plan -- står AM og BM for de første to skæve rør -- MH udgør det lodrette rør -- MH er midtnormal for DC. Du ønsker at finde placeringen af det punkt M på facaden af huset, der minimerer længden af rørene, som du er nødt til at købe. Vi lader Q stå for den retvinklede projektion af M på linjestykket BC og bruger vinklen BMQ som den uafhængige variabel θ. 1. Simulér (a) Brug din software til at simulere den ovenfor beskrevne situation. (b) Find en tilnærmet værdi med decimaler, som gør længden af rørene minimal.. Vi definerer funktionen g : θ g( θ ) = MA + MH på intervallet ]0; π / [. (a) Vi lader g' stå for den afledede funktion af g. Eftervis at sinθ 1 g '( θ ) = 5. ( cos θ) (b) Fastlæg den eksakte værdi for vinklen θ, som minimerer længden af rørene. 1 99
Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 7. Om opførslen af talfølger defineret ved rekursion En talfølge v er defineret ved sit første led v 0 og rekursionsligningen: 1 For ethvert naturligt tal n, gælder vn+ 1 = vn + 6. 1. Opstil en hypotese om hvordan grænseværdien l for talfølgen v n afhænger af det første led v 0.. Talfølgen w er defineret for alle naturlige tal n ved rekursionsformlen wn = vn l. (a) Konstruer en tabel over de første led for talfølgen w. Hvordan ser det ud som om talfølgen w opfører sig? Er der tale om en aritmetisk talfølge? en geometrisk talfølge? hverken en aritmetisk eller en geometrisk talfølge? (b) Godtgør den type opførsel, som du mener talfølgen w besidder. (c) Angiv et direkte udtryk for først talfølgen w som funktion af det naturlige tal n, og dernæst for talfølgen v som funktion af det naturlige tal n. (d) Fastlæg grænseværdien for talfølgen v. (e) Er dette resultat i overensstemmelse med eksperimentet? 8. Tangenter til en parabel 1 Vi betragter parablen C med ligningen y = x. Der er givet et reelt tal t forskellig fra 0. Opgaven går ud på først at finde en sammenhæng mellem para- beltangenterne i punkterne M og M' med x-koordinaten t henholdsvis -1/t og dernæst bevise den pågældende egenskab. 1. Undersøgelse (a) Tegn parablen C. (b) Placer et frit punkt på x-aksen med x-koordinaten t. Konstruér det tilhørende punkt M på parablen C. (c) Konstruer tangenten D til parablen C i punktet M. (d) Konstruér punktet med x-koordinaten t' = 1/ t. Konstruér det tilhørende punkt M ' på parablen C. Konstruer tangenten D' til parablen C i punktet M'. Konstruér skæringspunktet P mellem de to tangenter D og D'. (e) Når t varierer i R\{0} bevæger skæringspunktet P sig langs en kurve. Opstil en hypotese om denne kurve.. Beviser (a) Fastlæg ligningerne for tangenterne D og D'. (b) Beregn koordinaterne til skæringspunktet P og eftervis herved din hypotese. 13 300
9. Koblede talfølger Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 Vi betragter talfølgerne (a n ) og (b n ) defineres ved: a b 0 0 = 0 = 60 Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. og for ethvert naturligt tal n, an + b an + 1 = 4 an + b bn + 1 = 4 1. Frembring en tabel med de første 50 led i talfølgerne (a n ) og (b n ).. Er der grund til at formode at disse talfølger nærmer sig nogle bestemte tal, og i bekræftende fald, hvad nærmer de sig? 3. Vi indfører nu to nye talfølger (u n ) og (v n ) defineret ved at der for ethvert helt tal n gælder: un = an + bn og vn = bn an. (a) Frembring en tabel med de første 5led for talfølgerne (u n ) og (v n ). (b) Opstil en hypotese for opførslen af disse to talfølger. (c) Check hypotesen eksperimentelt i din tabel. 4. Beviser: (a) Bevis din hypotese fra spørgsmål nr. 3 (b). (b) Fastlæg direkte udtryk for talfølgerne (a n ) og (b n ) som funktion af indeks n. (c) Giv begrundelser for svarene til spørgsmål og bestem den eksakte værdi af grænseværdierne for talfølgerne (a n ) og (b n ). 10. Afstand fra et punkt til en kurve I planen er en kurve C givet som grafen for den naturlige eksponentialfunktion. Punktet B har koordinaterne (, -1). Det antages, at afstanden BM antager et minimum, når punktet M gennemløber kurven C. Dette minimum kaldes afstanden fra punktet B til kurven C. Formålet med denne øvelse er at finde afstanden fra punktet B til kurven C. 1. Visualiser ved hjælp af et dynamisk geometriprogram den ovenstående situation og varier kurvepunktet M, til du opnår den korteste afstand. (a) M er vilkårligt punkt på kurven C. Opstil en hypotese om hvor M bør ligge for at afstanden BM bliver mindst mulig. Vi kalder dette punkt M 0. (b) Konstruér den linje d, der dels står vinkelret på forbindelsesstykket BM 0, dels går gennem punktet M 0. Hvad synes at gælde denne linje d? (c) Check din hypotese og prøv eventuelt at begrunde den nærmere.. Vi skal nu prøve at fastslå den eksakte værdi af den korteste afstand fra punktet B til kurven C. (a) Identificér ved beregning placeringen af punktet M 0. (b) Hvad er den eksakte værdi af afstanden fra punktet B til kurven C? 3. Godtgør også ved hjælp af en symbolsk udregning de formodninger, der blev opstillet i spørgsmål 1. (B). n n 14 301
Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 5. Eksempler på projekter Projekt 1. Parabeltangenter: Kunsten at sy en parabel Parablen som en indhylningskurve Man kan nemt tegne en parabelbue på følgende måde: Først vælges to linjestykker AB og BC med fælles endepunkt B. Vi deler derefter de to linjestykker i lige mange dele, fx 8 dele. De otte delepunkter nummereres A 0 = A, A 1,, A 7, A 8 = B, henholdsvis B 0 = B, B 1,, B 7, B 8 = C. Derefter trækker vi linjestykkerne A 1 B 1, A B,, A 8 B 8 : A Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. A1 A C = B8 A3 B7 A4 B5 B6 A5 B4 A6 B3 A7 B1 B B = A8 Resultatet er en figur, hvor linjestykkerne tydeligvis indkranser en fælles kurve. Med et geometriprogram kan man hurtigt sætte antallet af delpunkter op, hvorved kurven fremstår endnu tydeligere! A C B Det er også nemt at sy den pågældende figur, idet man stikker en nål igennem delepunkterne og forbinder delepunkterne på tværs af de to linjer på forsiden af papstyk- 15 30
Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 ket og på langs af de to linjer på bagsiden af papstykket. Det er en fornøjelig aktivitet såvel med nål og tråd som med et geometriprogram. Men den foregående aktivitet rejser umiddelbart nogle spørgsmål: Det ligner godt nok en parabelbue, men er det virkelig en parabelbue? Og hvilken rolle spiler de oprindelige linjestykker AB og BC? De kunne godt ligne tangenter til parablen, men er det nu virkeligt tilfældet? Hvis svaret er bekræftende har vi en simpel konstruktion til at konstruere parabelbuen, der forbinder to tangenter og dermed til at indskrive parabelbuer i trekanter (og videre herfra til at indskrive parabelbuer i vilkårlige polygoner). Lad os prøve at gætte ligningen! Som udgangspunkt for et sådant gæt kan det betale sig at arbejde med en meget simpel konfiguration i et koordinatsystem. Fx kan vi lade linjestykkerne ligge fra A( 8,8) til B(0,0) og fra B(0,0) til C(8,8). Det gør det nemt at afsætte delepunkterne og giver anledning til en kurve, der ligger symmetrisk omkring yaksen. Øvelse: Konstruer nu kurvesyningen i TI-Nspire CAS og find en passende ligning for den parabel, der følger indhylningen af linjerne. Passer det med at tangenterne til din parabel netop er linjerne y = x og y = -x? Print figuren ud og gem den som dokumentation! 16 303
Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 I denne øvelse vil vi nu undersøge nogle generelle egenskaber ved parabeltangenter, der ligger til grund for den foregående konstruktion af parablen som et geometrisk sted. Da alle parabler er ligedannede er det godt nok at undersøge parablen y = x. Øvelse: Givet to punkter A(x 1,x 1 ) og B(x,x ) på parablen. Find ligningerne for de tilhørende parabeltangenter. Find koordinaterne til skæringspunktet C mellem de to tangenter. Hvordan ligger skæringspunktet C i forhold til midtpunktet M for sekanten AB? Hvilken linje repræsenterer MC i den omskrevne trekant ABC. Linjen MC skærer parablen i punktet D. Hvad gælder der om parabeltangenten gennem punktet D i forhold til sekanten AB? Hvor ligger D i forhold til M og C? Tangenten gennempunktet D skærer parablen i punkterne E og F: Hvordan ligger de i forhold til trekantens hjørner A, B og C? Kan du nu konstruere parablen rekursivt ud fra en omskreven trekant ABC, hvor der altså gælder at siden AB er en sekant, mens siderne AC og BC er tangenter til den parabel, vi forsøger at konstruere punkter på? Vi indfører nu et tredje parabelpunkt Q(x 3,x 3 ) mellem de to første parabelpunkter A(x 1,x 1 ) og B(x,x ). Parabeltangenten med røringspunkt Q skærer tangenten med røringspunkt A i punktet P og ligeledes tangenten med røringspunkt B i punktet R. Bestem koordinaterne til punkterne P og R. Hvad kan du sige om deleforholdene mellem punkterne APC, PQR og CRB? Gør nu rede for at den foregående konstruktion af en parabelbue ved syning, virkelig frembringer en parabel i matematisk forstand. Angiv nu en rent geometrisk konstruktion af en parabel med den omskrevne trekant ABC som et geometrisk sted. 17 304
Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 Projekt. Some like it hot Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Opvarmning: Start med at løse den følgende opgave (Standardforsøg, sommeren 001) Her kan der spilles på alle tangenter: Grafisk, numerisk og symbolsk. Hvad har det maksimale indskrevne rektangel og den minimale omskrevne trekant fælles? Giv nu et symbolsk bevis for din hypotese! 18 305
Workshop i Beregninger og Noter: T3 Kursus TI Nspire CAS september 01 Mellemspil: Gennemfør nu den samme undersøgelse for graferne for de følgende to funktioner: x Parabelfunktionen: gx ( ) = y 1 0 x0 x Ellipsefunktionen: hx ( ) = y 1 Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. 0 x0 (hvad betyder parametrene x 0 og y 0?) (hvad betyder parametrene x 0 og y 0?) Her er parametrene x 0 og y 0 begge positive og vi kigger på grafernes forløb i første kvadrant. Finale: Vi kigger nu på en generel funktion f (x), hvis graf forløber passende i første kvadrant. a) Opstil en forskrift for arealet A(x) af det indskrevne rektangel. Findes der en funktion f (x) med den egenskab at arealet for det indskrevne rektangel i første kvadrant er konstant? Opstil passende betingelser, som funktionen f skal opfylde, for at der findes netop et maksimalt indskrevet rektangel i første kvadrant? b) Opstil en forskrift for arealet B(x) af den omskrevne trekant. Findes der en funktion f (x) med den egenskab at arealet for den omskrevne trekant i første kvadrant er konstant? Opstil passende betingelser, som funktionen skal f opfylde for at der findes netop en minimal omskreven trekant i første kvadrant? c) Opstil til sidst en generel hypotese om hvad en funktion f (x) bør opfylde for at der på den ene side findes et maksimalt indskrevet rektangel, på den anden side findes en minimal omskreven trekant og endelig går den minimale trekant netop gennem hjørnepunktet for det maksimale rektangel? Giv symbolske beviser for dine hypoteser! 19 306