SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L
Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske problemer. Opsøge information og formidle viden om matematikanvendelser inden for dagligliv og samfundsliv. Forudsatte begreber: Ligedannethed, standardtrekant, de trigonometriske funktioner, procentregning. Materialer: Landmålerstokke eller markeringsflag, målebånd, teodolit. LANDMÅLING I PRAKSIS Før 1600-tallet havde vi kun meget upræcise kort over Danmark, men i 1600-tallet begyndte de første egentlige opmålinger af landet og dets kystlinjer. Vi skal dog helt frem til 1750, før vi gik over til mere præcise opmålinger ved hjælp af triangulering. Det er en metode, der benytter sig af et net af trekanter, der dækker hele landet. Trekanternes vinkelspidser blev typisk placeret på bakketoppe, hvorfra der var udsyn til trekantens andre vinkelspidser og til vinkelspidserne i nabotrekanten. Målepunkterne på bakketoppene er markeret med enten runde jernpæle eller med granitblokke, som vist på billedet her. Målepunkt I har muligvis lagt mærke til dem, når I har stået på høje bakketoppe rundt om i landet. I dag er man gået over til at foretage opmålinger fra satellit, men de gamle opmålinger, som blev afsluttet omkring 1880, er præcise nok til, at de stadig danner udgangspunkt for kort helt ned til målestoksforhold 1:25 000. Grundteknikken i de opmålinger af Danmark, som blev foretaget dengang, er ganske enkel: Når vi skal bestemme placeringen af punkter i terrænet, benytter vi os af opmålinger ud fra en såkaldt basislinje. En basislinje er én af siderne i én af de trekanter i det net, som dækker landet. Længden af denne kan vi Landmåling 2
måle, selvom det ikke altid er særlig enkelt (prøv selv at tænke over hvilke problemer, det kunne give). Desuden kan man måle vinklerne A og B ved basislinjen (se Fig.1). Det sker ved hjælp af en såkaldt teodolit, som er et redskab til måling af vinkler. Teodolit Når først basislinjens længde og de to vinkler er bestemt, kan vi tegne et kort i et passende målestoksforhold, hvorpå basislinjen og træet er indtegnet (se Fig.1, samt opgave 2). Hvis vi vil bestemme afstanden fra A til T, så kan vi gøre det ved at måle afstanden på kortet. Hvis kortet er lavet i målestoksforholdet 1:1000, så vil én cm på kortet svare til 10 m i terrænet. Fig.1 En anden metode til bestemmelse af afstanden fra A til T er at bruge sinusrelationerne, som siger, at der i alle trekanter (ikke kun de retvinklede) gælder, at sinus til en vinkel divideret med længden af den modstående side er lig med sinus til en anden vinkel i trekanten divideret med længden af dennes modstående side. I Fig. 1 gælder derfor, at sin( B) AT sin( T ) AB eller, hvad der er det samme: AT sin( B) AB sin( T ) Når vi har målt vinklerne sin( A og B) B, så sin( bestemmes T ) sin( Bvinkel ) T sin( let Tsom ) 180 ( A + B ). I formlerne ovenfor kender vi nu A, B, T og basislinjen AT AB. AT er ukendt, AB men bestemmes ved i den sidste formel at gange med sin(b) på begge sider af lighedstegnet (se opgave 2). Landmåling 3
OPGAVER indendørs Brug en bordplade, en vinkelmåler til tavlebrug, et målebånd og en stok på 1 meter (evt. tavlelinealen) til at bestemme sinus eller cosinus til forskellige vinkler imellem 0 og 90. Idéen er at lade stokken glide omkring et hjørne af bordet. Herved bliver stokken hypotenuse i en retvinklet trekant, hvor hjørnet af bordet C er den rette vinkel. Den retvinklede trekant bliver en såkaldt standardtrekant, da hypotenusen har længden 1: Opgave 1 Fig.2 Stokken i tre forskellige positioner Vinkelmåleren anbringes under stokken som vist på fig. 3. Herved kan vinklen v aflæses, og sin(v) måles som længden i meter af den modstående katete og cos(v) som længden i meter af den hosliggende katete. Fig.3 Lav en tabel med ca. 10 vinkelmål og de tilhørende værdier af sin(v) og cos(v). Prøv at udregne sinus og cosinus til de samme 10 vinkler på din lommeregner. Hvor godt stemmer de aflæste værdier med de værdier, du får fra lommeregneren? Hvor stor var den største afvigelse i procent? Hvis basislinjen på Fig. 1 har længden 100 m, så kan vi tegne et kort over træets placering i fx målestoksforholdet 1:1000, hvis vi lader de 100 m svare til 0,1m på kortet. Opgave 2 Prøv at indtegne et kort, hvor A 37 og B 52. Udregn den virkelige afstand fra A til T ved at opmåle på kortet og derefter gange med 1000. Udregn herefter AT ved at benytte sinusrelationerne. Landmåling 4
Det er en erfaring, at små og store vinkler ved basislinjen giver upræcise resultater ved triangulering. Det ideelle er, at vinklerne er omkring 60. Med et primitivt vinkelmålingsinstrument er det svært at måle vinkler med større nøjagtighed end ca. 2. I skal her undersøge, hvor store afvigelser der fås, når vinklerne varierer ved basislinjen. Basislinjen er 500 m med endepunkterne A og B. Vinkel A måles til 60 og vinkel B til 52,5, men den korrekte størrelse på vinkel A er 58. Opgave 3 Fig. 4 Lav et kort, hvor du indtegner den korrekte placering af det objekt, T, der sigtes efter (tegn ikke for småt!). Indtegn også den placering du når frem til ved at bruge 60 i stedet for 58. Hvor mange meter er der målt forkert? (mål på kortet og omregn) Hvor mange procent er der målt forkert i forhold til den korrekte afstand fra A til T? Vi bruger samme basislinje som før, men sigter nu efter et objekt, hvor vi måler vinkel A til 18 og vinkel B til 126 grader, men den korrekte størrelse af vinkel A skulle have været 20. Lav et kort som før og udfør de tilsvarende beregninger. På hvilket af de to kort fik I den største fejl? OPGAVER udendørs Afsæt en retvinklet trekant ved at benytte tre landmålerstokke og en teodolit. Brug Pythagoras' læresætning til at kontrollere, hvor præcis jeres trekant blev. Opgave 4 Denne opgave er næsten magen til opgave 2, men denne gang er I udendørs og starter med at finde et objekt, I vil måle afstanden til. (se Fig.1) Opgave 5 Find et objekt, T. Afsæt derpå en passende basislinje AB. Mål vinklerne A og B med teodolitten. Mål AB. Udregn til slut AT ved at benytte sinusrelationerne. Landmåling 5
Når vi skal finde afstanden imellem to punkter ude i terrænet, P og Q på hver sin side af et utilgængeligt område, fx en sump, er vi nødt til at gøre det indirekte. En metode, der kan anvendes, er at finde en basislinje, hvor der fra begge endepunkterne A og B er udsyn både til P og Q: Opgave 6 Fig.5 Ved opmålinger ud fra basislinjen til P og til Q kan vi lave et kort over området, måle afstanden på kortet imellem P og Q og til slut omregne til den virkelige afstand. Find et egnet område til at lave denne øvelse. (I kan bruge meget andet end en sump at måle igennem). Vi kan også bruge landmålingsteknikker til at måle højder af træer, bygninger, skorstene osv. Med en teodolit kan vi måle den vinkel, som en sigtelinje danner fra teodolittens sigte til toppen af fx en skorsten. Måler vi også afstanden fra teodolittens sigte til et punkt på skorstenen i samme højde som teodolitten, har vi en retvinklet trekant, hvor vi kender en spids vinkel og dens hosliggende katete. Ved hjælp af tangens kan vi derfor beregne skorstenens højde. Opgave 7 Lav en skitse der illustrerer ovenstående. Prøv også at udføre øvelsen. (Husk at tage hensyn til teodolittens egen højde). Vi kan bestemme skorstenens højde uden brug af vinkelbestemmelse og tangens. I stedet bruges en stok med en længde på fx en meter. Nedenstående figur illustrerer hvordan. På figuren findes to ligedannede trekanter, som benyttes ved beregningen. Opgave 8 Fig.6 Kan I finde ud af, hvad metoden mere præcist går ud på? Bestem skorstenens højde efter metoden. Fik I ca. samme resultat som ved metoden i opgave 7? Hvis I kan bestemme eller få oplyst den præcise højde af skorstenen, så sammenlign med resultaterne fra opgave 7 og 8. Hvis stokken og skorstenen kaster skygger, kan det bruges til at lave en ny metode til bestemmelse af skorstenens højde? Beskriv metoden. Landmåling 6
Hvis vi i de to foregående opgaver ikke kan måle afstanden fra sigtepunktet til et punkt lodret under det, der sigtes efter, så er der et problem. Det klassiske eksempel er, at vi skal måle højden på et tårn, som står ved kanten af en voldgrav, mens vi selv står på den anden side. Men det kunne også være højden af en skrånende bakke. Opgave 9 Ved hjælp af denne formel kan problemet løses: h tan( u) i tan( v) b i tan( u) tan( v) Fig.7 Prøv at bestemme højden af en bakke eller et kirketårn med denne metode, eller prøv igen med skorstenen. (Husk at tage hensyn til teodolittens egen højde som nævnt i opgave 7). Metoden fra opgave 9 kan også bruges til at måle bredden af et vandløb. Opgave 10 Lav selv en skitse, som viser hvordan, og prøv at gøre det. (Vink: I får brug for at afsætte en ret vinkel). Her er et problem, som hverken kræver vinkelmålinger eller målebånd, men blot nogle landmålerstokke. Men det kræver nok lidt hovedbrud at løse. Opgave 11 Forestil jer, at A og B er to af hjørnerne af en stor grund, som skal indhegnes. Hegnet skal selvfølgelig stå på den rette linje imellem A og B. Ude i terrænet har vi derfor anbragt to landmålerstokke i A og B til brug for en sigtelinje. Problemet er bare, at vi ikke kan se fra A til B, da der står en gravhøj (eller en bakkekam) i vejen. For at kunne lave en fuldstændig sigtelinje er vi derfor nødt til at placere en landmålerstok på toppen af gravhøjen på linje med A og B. På Fig. 8 kan du se højen og de to landmålerstokke oppefra. Landmåling 7
Fig. 8 Hvordan gør I det? (Vink: brug to ekstra landmålerstokke samt en hjælper på gravhøjen). Find et sted udendørs til at afprøve jeres metode. Opgaven her er lidt svær. Den handler om at afsætte en linje parallel med en anden linje. På Fig. 9 er vist et område, hvor punkterne A og B er markeret og afstanden imellem dem er kendt (20 meter ville være passende). Nu gælder det om at afsætte en linje igennem C og parallelt med linjen gennem A og B. Vi har ikke adgang til de markerede punkter A og B måske er der et vandløb imellem. Opgave 12 Fig. 9 Overvej opgaven grundigt inden I går i gang. I kan benytte, at ensliggende vinkler ved parallelle linjer er lige store! Så start med overvejelser, hvor I benytter en skitse lavet på papir. Udtænk derpå en metode. Afsæt til slut linjen gennem C parallelt med linjen gennem A og B. Prøv også at kontrollere, hvor godt den afsatte linje passer (det kan gøres på flere måder). Lav en opmåling af et område med det formål at lave et kort, hvor udvalgte objekter i terrænet er med. I kan vælge et mindre område, fx en sportsplads, hvor I indtegner bygninger, lysmaster, levende hegn m.v. Lidt sjovere er det at finde en bakkekam, hvorfra I har udsyn til landskabet. Find her nogle karakteristiske objekter, som I tegner ind på et kort. Pas på med at vælge for mange objekter. Der bliver hurtigt mange målinger at holde styr på. Fordelen ved at vælge den sidste model er, at I bagefter kan sammenligne med et rigtigt kort i fx 1:25 000. Når I bestemmer vinklerne, er det en god ide at måle de samme vinkler flere gange som kontrol. Prøv også at bestemme nogle afstande enten med sinusrelationerne eller ved opmåling på dit kort. Kontroller disse afstande ved at måle dem med målebånd (model sportsplads ) eller ved at måle på et kort (model bakkekam ). Prøv at overveje den fejlkilde, som højdeforskellene ude i terrænet udgør. Opgave 13 Landmåling 8