5 Ligninger og uligheder Faglige mål Kapitlet Ligninger og uligheder tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Regler for løsning af ligninger og uligheder: kende reglerne for ligningsløsning og uligheder samt kunne anvende reglerne. Ligningsløsning: Kunne anvende CAS som løsningsværktøj til ligningsløsning samt ved substitutionsmetoden at beregne løsningen for x-værdien. Ligninger og uligheder med to ubekendte: Kunne finde to rette linjers skæringspunkt grafisk ved anvendelse af CAS og kombinationsdiagrammer. Anvendelse: Kunne opstille ligninger og uligheder, som strategi til at løse matematiske problemstillinger fra hverdagen. I kapitlet arbejdes der videre med den viden, som eleverne fik i kapitlet Logik fra 6. klasse. Kapitlet repeterer og bygger videre på elevernes forståelse af ligninger og uligheder. Hvor der i 6. klasse blev anvendt gæt til ligningsløsning, er der i 7. klasse større fokus på generalisering af regler. Ligninger og uligheder bliver koblet til en hverdagskontekst. Regler for løsning af ligninger og uligheder Ligevægtsprincippet har tidligere været udgangspunktet for eleverne i 6. klasse, og dette bygges der videre på. Eleverne skal arbejde med regnereglerne for ligninger og selv prøve at formulere reglerne for løsning af uligheder. I dette arbejde skal eleverne lære hvilken betydning, det har for en ulighed, når der multipliceres eller divideres med et negativt tal. Ligningsløsning Eleverne skal anvende it i arbejdet med ligningsløsning, så de kan bruge CAS til løsning af ligninger samt isolering af ubekendte i formler. Desuden løses ligninger grafisk ved brug af GeoGebra. Skæringspunkter mellem to rette linjer blev introduceret i kapitel 4, men nu er fokus på sammenhængen mellem løsning af to ligninger med to ubekendte og de tilhørende grafers skæring. Ligninger og uligheder med to ubekendte Kombinationsdiagrammer bliver anvendt i ligningsløsningen for at skabe overblik. Eleverne skal desuden løse ligninger og uligheder med to ubekendte grafisk og ved brug af CAS, og de skal tage stilling til, hvilken metode de foretrækker. Anvendelse Det faglige indhold fra de foregående sider anvendes nu i hverdagskontekster. Der er en kombination af opgaver, hvor eleverne hjælpes meget på vej i valg af løsningsstrategier, og opgaver, hvor eleverne selv skal vælge strategier for på den måde at anvende det lærte stof. Der er fokus på modelleringskompetencen i flere af opgaverne, hvor eleverne selv vælger nogle parametre, som har betydning for deres matematiske model og dermed deres resultater.
Side til side-vejledning Regler for løsning af ligninger og uligheder Intro 1 Superliga (klasseaktivitet) og kopiark 5.01 Kopiarkene kopieres og forstørres. Brikkerne klippes ud og alle elever får udleveret to blanke brikker, som udfyldes med et spørgsmål og svar. Eleverne stiller sig op parvis som beskrevet i bogen. Det er ligegyldigt, hvem de er sammen med, da de hele tiden får nye makkere. Brikkerne fordeles i bunker, en til hvert par. Den ene ende er Superliga og den anden Serie 5. Når der siges begynd, skiftes eleverne til at spørge hinanden. Rigtigt svar er lig med et point. Kortet lægges nederst i bunken og kan således dukke op igen i samme runde. Når tiden er gået, rykkes der op eller ned. Sten, saks papir afgør hurtigt de uafgjorte kampe. Antal af runder og hvor lang tid tilpasses behov og stemning. Det er dog ofte bedst, at de fleste når en del spørgsmål i de første runder. Inden aktiviteten er det en fordel at huske eleverne på, at de hurtigt og roligt skal finde deres nye plads, når runden er slut, så den nye runde kan komme i gang. Hvis elevgruppen er præget af usikkerhed på den ene eller anden måde, kan man lade dem spille parvis uden at rykke op eller ned. Overvej betydningen af, at nogle elever starter i Serie 5 og ikke får muligheden for at spille sig i Superligaen pga. for få runder. 2 Firkort (gruppeaktivitet) og kopiark 5.02 og 5.03 Brikkerne fra kopiark 5.02 lægges på bordet. Gruppen får udleveret 3 kopier af kopiark 5.03, så de har 36 blanke brikker i alt. Eleverne udfylder i fællesskab de tomme brikker, så der til hver brik med en historie dannes tilsvarende brikker med en ligning, en tegning samt løsningen på ligningen. Arbejdet i gruppen kan struktureres på flere måder. Lad evt. eleverne arbejde sammen i par, så de har mulighed for at hjælpe hinanden. Når brikkerne er udfyldt, fordeles de 48 brikker mellem spillerne. På skift spørger en elev en anden elev, om vedkommende har brikker, der passer til egne brikker. Når man har et stik bestående af 4 kort, lægges stikket ned på bordet. De andre kontrollerer. Spørgsmålene kan af eleverne formuleres på mange forskellige måder, så vær opmærksom på, om det er spørgeren eller modtageren, der skal være præcis. 3 Rundbordsligning (gruppeaktivitet) Eleverne konstruerer ligninger, som passer til en bestemt løsning. Efterfølgende skriver de en historie, som passer til en af de ligninger, som de tre andre i gruppen har skrevet på papiret. Papirerne kan også sendes rundt i klassen eller i flere grupper, så der bliver udarbejdet endnu flere ligninger til samme løsning. 4 Ligninger og løsninger I opgaven kobles ligninger og løsninger sammen. 5 Uligheder (paraktivitet) Alle elever skriver en historie, som passer til hver ulighed. På skift læser en elev en historie op. Makkeren udpeger uligheden i bogen, og gætter på løsningen. Efterfølgende arbejder eleverne sammen om at løse opgaverne ved at udskifte ulighedstegnet med et lighedstegn. 6 Taxa (gruppeaktivitet) og kopiark 5.04 Hver gruppe får udleveret brikkerne fra kopiarket. Brikkerne lægges med bagsiden opad spredt ud på bordet. Eleverne spiller vendespil, hvor der vendes 3 brikker ad gangen. Et stik består af 3 brikker: et beløb, en vejstrækning og en sammenhæng. Vinderen er den med flest stik. 7 Ligningsløsning (paraktivitet) og kopiark 5.05
Brikkerne fra kopiarket udleveres til hvert par. Hvert kopiark indeholder løsningen på 5 ligninger, og eleverne skal finde de tre brikker som hører til hver ligningsløsning. Brikkerne lægges i rækkefølge, så de trinvis viser løsningen. 8 Regler (paraktivitet) og kopiark 5.06 Eleverne efterprøver reglerne i bogen på udsagnet 10 = 10. De finder frem til de regler som gælder for ligningsløsning. Kopiarket udleveres til hver elev. Parvis løses ligningerne på kopiarket. Det er vigtigt, at eleverne løser ligningerne trin for trin. Regnereglerne for ligninger står i den grå boks i elevbogen. 9 Find og byt (klasseaktivitet) og kopiark 5.07 Alle elever får en brik udleveret. Eleverne skal finde sammen i grupper af tre om den samme ligning. I gruppen skiftes eleverne til at omskrive sin briks udtryk til en af de andres udtryk. Regnereglerne for ligninger benyttes i forklaringerne. 10 Omskriv Det er en god ide at indlede med en gennemgang af et eksempel. Det kan være et kvadrat med omkredsen 64, hvor sidelængden skal findes. O = 4 * s s = O : 4 Opgaverne i bogen løses ved at opstille ligninger, som løses. Vær opmærksom på, hvilke regneregler for ligninger, der anvendes. 11 Afprøv (paraktivitet) Alle reglerne i den grå boks afprøves på ulighederne i opgave 5. Eleverne bliver ledt hen mod afprøvning af negative tal. Her opdager de sammenhængen mellem multiplikation og division med negative tal, og at ulighedstegnet skal vendes. 12 Løs uligheder Eleverne løser uligheder ved brug af reglerne. Det bør sikres, at alle elever er nået frem til brugbare regler i opgave 11, inden de går i gang med denne opgave. 13 Ligning- og ulighedspillet (gruppeaktivitet) og kopiark 5.08 Brikkerne fra kopiarket lægges i en bunke med bagsiden opad. Gruppen deler sig i to par, som spiller mod hinanden. På skift trækker eleverne en brik. Hvis der er en ligning eller en ulighed på brikken, skal den løses, og der skal fortælles en historie, som passer til. Hvis der er en historie på brikken, skal det afgøres, om den repræsenterer en ligning, ulighed eller ingen af delene. Ligningen/uligheden skrives ned og løses. Er der ikke enighed om besvarelsen, kan der hentes hjælp udefra. Der skal være fokus på, hvad en ligning hhv. ulighed er, og hvad en løsning til en ligning hhv. ulighed er. 14 Ligninger i CAS (paraktivitet) Eleverne løser ligningerne fra opgave 4 i CAS i GeoGebra. Andre CAS-værktøjer kan også bruges. Eleverne konstruerer ligninger til hinanden, som de løser med CAS-værktøj. 15 Uligheder i CAS Ved brug af CAS løser eleverne ulighederne fra opgave 5 og 12. Desuden indtastes en af løsningerne i inputfeltet i GeoGebra. Eleverne får samme grafiske repræsentation, uanset om det er løsningen eller uligheden, som tastes ind i inputfeltet. 16 Rundbordsligning med CAS (gruppeaktivitet) Alle har et A4-ark, hvorpå de skriver en ligningshistorie. I gruppen sendes arket til venstre. Den næste elev, som får papiret, skriver ligningen for historien på arket. Arket videresendes til venstre. Den næste elev løser ligningen i CAS, og skriver løsningen på arket. Arket sendes videre til venstre. Den sidste elev tjekker at den anførte løsning passer til ligningshistorien. 17 Tættest på - spillet (gruppeaktivitet) og kopiark 5.09 Gruppen deler sig i to par, som spiller mod hinanden. De 6 brikker med ligninger lægges på bordet med bagsiden opad. Hvert par vender på skift en brik og lægger den på bordet, så begge par kan se den. Begge par
skriver et overslag over løsningen, og løser opgaven i CAS. Vinderen af brikken er det par, hvis overslag kom tættest på. Der spilles til alle 6 ligninger er løst. I næste runde spilles der med ligningshistorierne. Gruppen oversætter ligningshistorien til en ligning, og skriver den på en tom brik. Begge par skriver et overslag over løsningen, og løser opgaven i CAS. Vinderen af brikken er det par, som kom tættest på. Der spilles til alle 6 ligningshistorier er løst. I opgave c skal eleverne parvis skrive 4 ligninger på brikker, som de giver til det andet par. Kopier evt. et ekstra kopiark pr. par, så de alle får 4 tomme brikker. Eleverne laver overslag, og tjekker løsninger i CAS. Arbejdet forklares for parret, der har skrevet brikkerne. 18 Gæt og løs (paraktivitet) Eleverne oversætter ligningerne til ligningshistorier. De gætter på løsningen og tjekker ved at lade CAS beregne svaret. Illustrationen viser, hvad der skal indtastes, når en bestemt variabel ønskes fundet. 19 Æbler (paraktivitet) og kopiark 5.10 Tal om illustrationen i hele klassen. Alle skal have en forståelse for, hvad skæringen mellem de to linjer betyder, og hvorfor man kan opstille to funktioner for at finde stk.-prisen. Eleverne løser opgaverne på kopiarket ved at opstille ligninger og finde grafernes skæring i GeoGebra. 20 Grafisk løsning Eleverne indtaster ligningerne i GeoGebra, og finder skæringen mellem linjerne ved brug af skæringsværktøjet. 21 Historie og ligning (klasseaktivitet) og kopiark 5.11 og 5.12 Der kopieres et passende antal af kopiark 5.11, så eleverne kan trække 4 brikker hver. Brikkerne kan godt genbruges undervejs, så eleverne på skift trækker fra bunken og lægger brikkerne tilbage igen. Alle elever får udleveret en kopi af kopiark 5.12. Hver brik indeholder to funktioner, som skrives på kopiarket, som illustreret i elevbogen. Eleverne går rundt mellem hinanden, og finder sammen i par på et signal. Eleverne hjælper hinanden med at udfylde et af de manglende felter på kopiarket. Derefter finder de sammen i nye par, som igen hjælper hinanden. Aktiviteten fortsætter, indtil alle elever er færdige med at udfylde kopiarket. Hvis nogle elever er hurtigere end andre, kan de stadig deltage i aktiviteten ved at hjælpe de andre. På kopiarket skrives en ligning ved at sætte de to funktionsudtryk lig hinanden. 22 Find funktioner (paraktivitet) og kopiark 5.13 De 16 brikker på kopiarket samles til 8 par, hvor der i hvert par er en ligning, en ulighed eller en ligningshistorie. Disse passer sammen med en grafisk afbildning. Løsningerne aflæses. 23 Funktionsudtryk og kopiark 5.14 Funktionsudtrykkene skrives til alle de lineære sammenhænge, som er vist grafisk på kopiarket. Linjer med samme linjetypografi omskrives til en ligning. Eleverne løser ligningen og kontrollerer, at det passer med x- værdien til grafernes skæringspunkt. Dette gentages for de to andre funktionspar. En udfordring kan være at lade eleverne arbejde med to tilfældige linjer, som ikke skærer hinanden i hele eller halve x-værdier. 24 Spilleaften (paraktivitet) Eleverne opstiller uligheden, som passer til historien. De kan med fordel anvende CAS i GeoGebra, da forudsætningerne for uligheden ændres undervejs i opgaven. Eleverne kan derfor ændre i udtrykket i GeoGebra undervejs for at finde resultaterne. Hermed ser de også det dynamiske ved CAS. I opgave e kan eleverne selv vurdere kvalitet og kvantitet og evt. beregne forskellen på den mængde sodavand, hver elev kan få med de forskellige tilbud. 25 Teatertur
Opgaven handler om flere parametre, som eleverne skifter imellem gennem opgaverne. De opstiller ligninger for prisen pr. elev i opgave a. I en klasse med 24 elever og et bidrag på 500 kr. kan ligningerne opstilles: 500 + 24x = 1.800 og 500 + 24x = 2.700 I opgave c opstilles ligninger for klassekassens bidrag. I opgave e opstilles uligheden for mindsteprisen pr. elev. Ligninger og uligheder med to ubekendte 26 Køb frugt (paraktivitet) og kopiark 5.15 Kombinationsdiagrammet på kopiarket udfyldes. Eleverne kan vælge at beregne alle kombinationerne eller kun de kombinationer, som giver 75 kr. eller derunder. Der er 3 muligheder for at bruge præcis 75 kr.: Ved køb af 0 poser æbler og 5 poser pærer. Ved køb af 3 poser æbler og 3 poser pærer. Ved køb af 6 poser æbler og 1 pose pærer. Ligningen kan skrives som 10x + 15y = 75. Denne løsning benyttes i opgave 29. 27 Fredagsslik Opgaven er af samme slags som opgave 26. I denne opgave får eleverne ikke så meget støtte undervejs i opgaven. De må finde støtte i opgaven, de lige har løst. 28 Kanoturen Eleverne udfylder kombinationsdiagram, og finder de muligheder, der er for klassen, når alle kanoer skal være fyldt. Kombinationsdiagrammet benyttes i opgave 40. 29 Tegn grafen Ligningen fra opgave c i opgave 26 indtastes i GeoGebra. De 3 muligheder, som eleverne fandt i opgave 26, ses grafisk ved punkter på linjen. Eleverne generaliserer ved at indtaste ligningerne fra opgave 27 og 28 på samme måde. 30 Fritidsjob (paraktivitet) Eleverne opstiller to ligninger med to ubekendte. De finder linjernes skæring i GeoGebra ved at indtaste ligningerne i inputfeltet. 31 Grafisk løsning Ved brug af af GeoGebra løser eleverne ligninger med to ubekendte ved grafisk ligningsløsning. 32 CAS Eleverne arbejder med løsning af ligninger med to ubekendte ved brug af CAS. Eleverne vurderer, om de foretrækker at løse ligningerne grafisk eller i CAS. For at blive fortrolige med indtastning af ligninger i CAS skal det prøves mange gange. Hvis eleverne trykker på det forkerte værktøj, så de ikke får et resultat, kan de klikke med cursoren på det indtastede udtryk og endnu en gang klikke på et af værktøjerne. 33 Skriv historien (paraktivitet) og kopiark 5.16 På kopiarket er der afbildet 6 grafiske løsninger af to ligninger med to ubekendte. Eleverne skriver en ligningshistorie til hvert billede og skriver ligningerne. 34 Kapløb Eleverne løser opgaven grafisk eller ved brug af CAS og vurderer efterfølgende valg af metode. 35 Aviser og reklamer (paraktivitet) Ud fra tabeller og tilhørende tekst opstiller eleverne ligninger for de to pigers løn. De to ligninger med to ubekendte løses enten grafisk eller ved brug af CAS. Valget af strategi begrundes og vurderes efterfølgende.
Anvendelse 36 Sms Eleverne opstiller ligninger for de tre forskellige produkter og vælger egen løsningsstrategi. Derfor nævnes CAS, grafisk, GeoGebra eller andet ikke i opgaven. 37 Vælg løsningsmåde (gruppeaktivitet) og kopiark 5.17 Brikkerne fra kopiarket lægges på bordet med bagsiden opad. Eleverne trækker på skift en brik, skriver ligningerne og løser dem. De kan anvende kombinationsdiagram, CAS eller løser ligningerne grafisk i GeoGebra. Hvis eleverne har svært ved opgaven, kan de inddeles i par, som spiller mod hinanden. 38 Din løsningsmetode Opgaven handler om ligningsløsning, hvor eleverne selv vælger løsningsmetode. Eleverne formidler denne løsningsmetode ved lydoptagelse eller skærmoptagelse. 39 Fodboldkamp (paraktivitet) Eleverne skriver ligninger for to forskellige indkøb, og løser ligningerne ved brug af GeoGebra. De finder selv på ligninger, som passer til varerne på illustrationen. De udvælger to varer, prissætter dem og skriver to forskellige ligninger, som passer til nogle af disse varers indkøb. 40 Pris for kanoturen (paraktivitet) Uligheden for kanoerne skrives og indtastes i inputlinjen i GeoGebra. Kombinationsdiagrammet fra opgave 28 inddrages, så eleverne ser sammenhængen mellem kombinationsdiagrammer og grafisk ligningsløsning. 41 Superligafodbold Eleverne finder uligheden: 20 + 3x + y > 30 Denne indtastes i inputfeltet i Geogebra. I opgave b finder eleverne punkterne, hvor Viborg indhenter FC Midtjylland med 1 point, fx (2,5), som betyder, at Viborg har vundet 2 kampe og spillet 5 uafgjorte. Punkterne kan findes ved at indtaste ligningen: 20 + 3x + y = 31 42 Bilferie (gruppeaktivitet) Parvis vælger eleverne nogle parametre omkring en ferie i Danmark. Parametrene benyttes efterfølgende til opstilling af en ulighed. Sæt evt. tid på elevernes arbejde med valg af parametre, så de hurtigt ledes over i opgaveløsningen. 43 Skolernes motionsdag (paraktivitet) Opgaven handler om planlægning af cykelruter til motionsdagen. Arbejdet udstilles i klassen. 44 Fødselsdagen Eleverne vælger nogle parametre omkring en fødselsdagsfest. Parametrene benyttes efterfølgende til opstilling af en ulighed. Sæt evt. tid på elevernes arbejde med valg af parametre, så de hurtigt ledes over i opgaveløsningen. 45 Konfirmation (paraktivitet) Opgaven har fokus på modelleringskompetencen, hvor eleverne opstiller en matematisk model ud fra en hverdagskontekst. De undersøger, om det kan betale sig at købe vin og sodavand i Tyskland ud fra parametre, som de selv vælger. 46 Fodboldstævne Prisen på forskellige transportmuligheder sammenlignes. 47 Lineære ligninger (gruppeaktivitet) og kopiark 5.18
Brikkerne på kopiarket lægges på bordet med bagsiden opad. Hver elev trækker en brik, skriver de to sætninger øverst på et A4-ark og omskriver dem til regneudtryk, som sættes lig hinanden. Næste elev løser ligningen og tredje elev tjekker resultatet ved at indsætte løsningen i ligningen. Spillet fortsætter til alle brikkerne er brugt. 48 Find ligninger De grafiske repræsentationer af rette linjer omskrives til ligninger, som løses. Løsningerne kontrolleres ved aflæsning af grafernes skæringspunkt 49 Find og byt (gruppeaktivitet) og kopiark 5.19 Hver elev trækker 4 brikker fra kopiarket, så de får en ligning/ulighed, en løsning, en historie og et billede. Der er brikker til 8 elever pr. kopiark. Eleverne går rundt mellem hinanden, og bytter brikker, så de får et samlet stik med 4 brikker. Skriftlig problemløsning 1 Værksted Eleverne arbejder med forskellige problemstillinger, som løses ved brug af de værktøjer, de har erhvervet ved arbejdet med kapitlet.