Blandede opgaver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Transkript

1 Blandede opgaver -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

2 Indholdsfortegnelse Blandede opgaver Årsprøve 08 8 Årsprøve 07 0 Årsprøve 06 Årsprøve 04 4 Årsprøve 0 5 Årsprøve 07 8 Årsprøve 08 0 Årsprøve 0 (fiskesættet) Terminsprøve 08 7 Facitliste 9

3 Blandede opgaver Opgave Reducér udtrykket 4 p q p q p q 7q Opgave En funktion f er givet ved f 4 cos Bestem ' f 6 7 Opgave En funktion f er givet ved Opgave 4 f a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet, P f b) Bestem monotoniforholdene for f Man ønsker at undersøge, om uddannelsesniveauerne er forskellige i Holbæk kommune og Slagelse kommune Man vælger signifikansniveauet 5% og opstiller nedenstående kategorier, der skal bruges til undersøgelsen: Uddannelsesniveau Kort videregående uddannelse Mellemlang videregående uddannelse Lang videregående uddannelse Forskeruddannelse Slagelse Holbæk a) Opstil en nulhypotese, der kan bruges til at teste, om uddannelsesniveauerne er forskellige i de to kommuner Data fra Danmarks Statistik giver nedenstående tabel, der viser antallet af mennesker med forskellige uddannelsesniveauer i Holbæk kommune og Slagelse kommune i 0 Uddannelsesniveau Kort videregående uddannelse Mellemlang videregående uddannelse Lang videregående uddannelse Forskeruddannelse Slagelse Holbæk b) Undersøg, om uddannelsesniveauet er forskelligt i de to kommuner Et andet forskerhold foretager en tilsvarende undersøgelse for kommunerne A og B, hvor de kommer frem til en Q-værdi på 6,58 c) Undersøg (på et 5% signifikansniveau), om uddannelsesniveauet er forskelligt i kommunerne A og B Opgave 5 En funktion f med definitionsmængden 4,0; er løsning til differentialligningen dy y e 6, d og løsningskurven går gennem punktet P (4,0) a) Bestem en ligning for tangenten til ovenstående løsningskurve i punktet P b) Bestem monotoniforholdene for f Opgave 6: dy a) Bestem til differentialligningen y den løsning, hvis graf indeholder punktet P(,) d b) Bestem desuden den løsning, hvis graf i det punkt, der har førstekoordinat, har en tangent med hældningskoefficient Opgave 7: Bestem til differentialligningen y' y 4 0 den løsning, hvis graf går gennem punktet P(0,)

4 Opgave 8:I en model kan udviklingen i biltætheden (målt i antal biler pr 000 indbyggere) i Danmark i perioden efter 968 beskrives ved differentialligningen dn 0,0004 N 5 N, dt hvor N betegner biltætheden til tiden t (målt i antal år efter 968) a) Bestem en forskrift for biltætheden N som funktion af tiden t, idet det oplyses, at biltætheden i 968 var 98 b) Giv ved hjælp af den fundne funktion et skøn over biltætheden i 008, og kommentér resultatet Opgave 9: I en beholder med vand er vandhøjden 0,5m Der åbnes for en bundventil for at tømme beholderen Vandhøjden y, målt i meter, kan nu beskrives som en funktion af tiden t, målt i sekunder Under tømningen aftager vandhøjden på en sådan måde, at den hastighed, hvormed vandhøjden ændrer sig, til ethvert tidspunkt er proportional med kvadratroden af vandhøjden Med de valgte enheder er proportionalitetsfaktorens værdi 0,04 Vandhøjden som funktion af tiden er således fastlagt ved en differentialligning a) Opskriv denne differentialligning og bestem den tid, det tager at tømme beholderen Opgave 0: En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi 9 og spredning,5 Bestem P(X < 5) Opgave : En stokastisk variabel X er normalfordelt, og der gælder, at P(X < 6) = 0,6 og P(X > ) = 0,8 Bestem middelværdien og spredningen for X Opgave : Bestem: a),5,6,7,6,7,8 b),5,6,7,6,7,8 c),,,4 \, Opgave : Bestem: a) A, B, E, QB, C, D b) A, D, F D, E, G c) F, G, A \ G Opgave 4: Bestem: a),4, a, d,, b, c, e b),,,, c) A \ Opgave 5: Løs ligningen ; G 5 Opgave 6: Udregn prikproduktet af vektorerne a og b 7 Opgave 7: Funktionen f er givet ved f 4 5 Bestem ' 5 4 f e 5 Opgave 8: Funktionen f er givet ved f Bestem ' f f 4 Opgave 9: Funktionen f er givet ved Bestem f ' 7 Opgave 0: Funktionen f er givet ved f ln 6 e Bestem f ' Opgave : Funktionen f er givet ved f sin 6cos 5 Bestem ' Opgave : Funktionen f er givet ved f sin Bestem f ' Opgave : Funktionen f er givet ved f ln Bestem f ' 5 Opgave 4: Funktionen f er givet ved f 7 5 Bestem f ' sin Opgave 5: Funktionen f er givet ved f Bestem f ' 5 f 5 e sin Opgave 6: Funktionen f er givet ved Bestem f ' Opgave 7: Funktionen f er givet ved f Bestem f ' Opgave 8: Funktionen f er givet ved f 8 e Bestem f ' Opgave 9: Funktionen f er givet ved f ln 5 cos 9 Bestem ' f f

5 7 Opgave 0: Givet er vektorerne a og b 5 a) Bestem prikproduktet af vektorerne b) Bestem determinanten af vektorparret ab, c) Bestem determinanten af vektorparret ba, d) Bestem tværvektoren til a e) Bestem tværvektoren til b 4 5 Opgave : Givet er vektorerne a og b t a) For hvilken værdi af t er vektorerne ortogonale b) For hvilken værdi af t er vektorerne parallelle 6 5 Opgave : Givet er vektorerne a og b s a) For hvilken værdi af s gælder a b? b) For hvilken værdi af s gælder a b? 9 Opgave : Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a og b 8 7 Opgave 4: Bestem arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a og b 5 A,8, B 5, og C, 7 Opgave 5: Bestem arealet af trekanten med vinkelspidserne Opgave 6: Bestem koordinatsættet til punktet C, således at firkant ABCD er et parallelogram, når A 5,, B,9 og D 4, Opgave 7: Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a 9 og b 7 A 5, 7,, B 8,,4 og C 6,0,9 Opgave 8: Bestem arealet af trekanten med vinkelspidserne Opgave 9: Om en eksponentiel udvikling f oplyses det, at f 5 7og at fordoblingskonstanten er X Bestem 8 f Opgave 40: Halveringskonstanten for en eksponentiel udvikling f er 9, og funktionsværdien i 8 er 8 f 6 og f Bestem Opgave 4: Om en eksponentiel udvikling g vides det, at g g 7 og 9 4 Bestem fordoblingskonstanten uden først at finde fremskrivningsfaktoren h 4 96 og h 6 Bestem Opgave 4: Om en eksponentiel udvikling h vides det, at halveringskonstanten uden først at finde fremskrivningsfaktoren P 6, 4 og står vinkelret på Opgave 4: Bestem en ligning for den linje, der går gennem punktet linjen givet ved ligningen y 5 Opgave 44: Bestem en ligning for den linje, der går gennem punktet P7, og er parallel med linjen givet ved ligningen y 5 Opgave 45: Bestem en ligning for den linje, der går gennem punktet P4, og er ortogonal med linjen givet ved ligningen5y 9 0 Opgave 46: Bestem en ligning for den linje, der går gennem punktet P5, og er parallel med linjen givet ved ligningen 4 7y 6 0

6 Opgave 47: Reducér udtrykket a b 6b b a Opgave 48: Reducér udtrykket y y y Opgave 49: Reducér udtrykket a b b a5a b Opgave 50: Reducér udtrykket a bb a a 4b b Opgave 5: Reducér udtrykket 5 6 4a 9b Opgave 5: Reducér udtrykket 4a ab 9b Opgave 5: Reducér udtrykket y 5 y Opgave 54: Reducér udtrykket 4y0 Opgave 55: Reducér udtrykket 5 4 Opgave 56: Bestem d Opgave 57: Bestem sin 5e d Opgave 58: Bestem 6 cos d 4 Opgave 59: Bestem 8 7 d Opgave 60: Bestem sin 4 cos 4sin Opgave 6: Bestem e 4e e d d e Opgave 6: Bestem d Opgave 6: Bestem 4 d Opgave 64: Bestem sin cos d Opgave 65: Bestem 5 4 d Opgave 66: Bestem 47 7 d Opgave 67: Bestem 9 5 d cos Opgave 68: Bestem d sin Opgave 69: Bestem cos d 4 6 Opgave 70: Bestem d 7 Opgave 7: Bestem Opgave 7: Bestem 0 4 e d ln d 4 Opgave 7: Bestem sin cos 0 d

7 Opgave 74: Bestem Opgave 75: Bestem sin 4 tan ln tan ' Opgave 76: Bestem cos ' Opgave 77: Bestem tan Opgave 78: Bestem ln ' ' 7 Opgave 79: Bestem 5 e ' 7 Opgave 80: Bestem 4 ' d, 4 e ', 4, 7 ' Opgave 8: Bestem sin 5d Opgave 8: Bestem cos d, 8 ' 7-8 e ' og 4e ' 6 og,07 ' 5 Opgave 8: Bestem e d, e d, e 4 d og 5e d Opgave 84: Bestem 5 d Opgave 85: Bestem 5 4 ', 7 ', 9' og 7 ' Opgave 86: Bestem d d d Opgave 87: Bestem Opgave 88: Bestem 7 4 ',, d, 4 0 d og 4 d 6, 5 9 ', og 0 4 ' og Opgave 89: Bestem d, 7 4 d og 8 0 Opgave 90: Bestem 5 d 4, d og 5 d Opgave 9: Bestem d, 4 d, 7 Opgave 9: Bestem cos ' Opgave 9: Bestem ln ' 4 Opgave 94: Bestem 4 ' 5 Opgave 95: Bestem e sin ' Opgave 96: Bestem ln sin cos ' Opgave 97: Bestem ' 5 sin Opgave 98: Bestem ' 4 tan Opgave 99: Bestem ' Opgave 00: Bestem cos 7 ' 5 8 d og d 5 7 d 7 5 ' d

8 Opgave 0: Bestem ln sin Opgave 0: Bestem sin Opgave 0: Bestem e Opgave 04: Bestem 4 5 cos e sin ' ' 6 cos e ln ' 6 sin ' Opgave 05: Bestem Opgave 06: Bestem Opgave 07: Bestem ln 4 5 ' ' ' Opgave 08: Bestem den afledede funktion af funktionerne givet ved følgende funktionsforskrifter: a) f 5 9 b) g c) h cos 5ln 9 e 9 d) i sin e) 4 j 7e cos 6 f) 5 k 7 5 Opgave 09: Bestem følgende ubestemte integraler: d a) b) cos e c) 5 e sin d) 7 e Opgave 0: Udregn følgende bestemte integraler: Opgave : Undersøg, om a) e b) sin 0 e d e cos d d d d er en løsning til differentialligningen Opgave : En funktion f er en løsning til differentialligningen dy y d y y ' y, og grafen for f går gennem punktet P, Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P Opgave : En funktion f er givet for forskriften f 5 Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet Opgave 4: En funktion f er givet ved forskriften P, f f a) Bestem monotoniforholdene for f b) Bestem det sted, hvor grafen for f har vendetangent

9 Opgave 5: Grafen for funktionen f skærer førsteaksen i -4, -, og 5 og danner sammen med denne de tre punktmængder M, M og M : Det oplyses, at arealerne af de to første punktmængder er at 5 f d 04 a) Bestem f d d b) Bestem f 4 A 75 og M A 4096, samt c) Bestem arealet af punktmængden M Opgave 6: Bestem den afledede funktion af funktionerne givet ved følgende funktionsforskrifter: 4 a) f 5 7 g b) 4 7 e c) h 5 sin d) i e e) j ln 5 sin 8 f) k cos Opgave 7: Bestem følgende ubestemte integraler: d a) b) 5e sin c) 7 5cos8 4e d) cos sin e d Opgave 8: Udregn følgende bestemte integraler: a) b) 0 d d Opgave 9: Undersøg, om e er en løsning til differentialligningen y ' y d d M

10 dy Opgave 0: En funktion f er en løsning til differentialligningen, og grafen for f går gennem d y punktet P 4, Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P f Opgave : En funktion f er givet for forskriften Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet Opgave : En funktion f er givet ved forskriften P, f f a) Bestem monotoniforholdene for f b) Bestem det sted, hvor grafen for f har vendetangent Opgave : Grafen for funktionen f skærer førsteaksen i -5, -, og og danner sammen med denne de tre punktmængder M, M og M : Det oplyses, at arealerne af de to sidste punktmængder er 5 f d 96 a) Bestem f d d b) Bestem f A 77 og M A 75, samt at c) Bestem arealet af punktmængden M Opgave 4: Udregn følgende aritmetiske udtryk Angiv svaret som en uforkortelig brøk (dvs ingen blandede tal og ingen decimaltal) a) 5 b) c) d) e) f ) g) h) i) j) k) l) Opgave 5: Reducér følgende udtryk a) y 4 y b) 6a b 5ab c ac b Opgave 6: Anvend potensregnereglerne til at reducere følgende udtryk: a 4 7 a) b) y y y c) d) a a e) 5 a b 4 5 a a a f ) g) h) 7 i) 6 5 b a a Opgave 7: Udregn følgende: M

11 a) 9 b) c) 0 d) 8 e) 7 f )6 g) 7 5 h)000 i)000 j)8 k)00000 l) 7 0

12 Opgave 8: Bestem følgende værdier og løs ligningerne med numerisk værdi a) b) 8 c) 0 d) 5 e) 4 f ) 7 Opgave 9: Omskriv følgende decimalbrøker til uforkortelige brøker med hele tal i tæller og nævner a),7 b)7, c ),47 f Opgave 0: En funktion f er givet ved forskriften e e a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet 0, 0 P f b) Bestem den mindste værdi, som funktionen f antager c) Bestem monotoniforholdene for f Opgave : Grafen for funktionen f : danner sammen med førsteaksen to punktmængder M og N, der ligger henholdsvis over og under førsteaksen a) Bestem arealet af punktmængden M, der ligger over førsteaksen b) Bestem den værdi af k ( k 4), hvor linjen med ligningen kdeler punktmængden N i to arealmæssigt lige store dele Opgave : En population af fluer opfylder differentialligningen dn 6,40 N65000 N dt hvor N er antallet af fluer og t er tiden målt i uger Efter uger er populationens størrelse på 000 fluer N t a) Bestem en forskrift for b) Hvor mange fluer er der i populationen, når populationens væksthastighed er størst? c) Bestem den største væksthastighed for populationen Opgave : Grafen for funktionen f : sin danner sammen med førsteaksen en punktmængde M a) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring førsteaksen Opgave 4: Bestem den partikulære løsning til differentialligningen y' y 40, hvis graf går gennem punktet,5 Opgave 5: Siderne AB og DE er parallelle, og BC 4, AC 6, CD 7 og DE a) Argumentér for, at trekanterne ABC og CDE er ensvinklede b) Bestem AB og CE Opgave 6: Firkanten BGEK kan opdeles i to retvinklede trekanter BEG og BEK med de rette vinkler G og BEK a) Bestem EK

13 Opgave 7: I trekant APS er AP 9,4, PS 6,8 og P 7 a) Bestem arealet af trekant APS b) Bestem AS Opgave 8: I trekant ABC er A, a 9og c 5 Desuden oplyses det, at C er stump a) Bestem C b) Bestem b Opgave 9: I trekant ABC kaldes medianen fra A s fodpunkt D, mens vinkelhalveringslinjen fra C s fodpunkt kaldes E Det er oplyst, at AB 8,4og BC samt at medianen fra a har længden 0 ( m 0 ) a a) Bestem B b) Bestem C c) Bestem AE Opgave 40: En linje l er givet ved ligningen 5y8 0 a) Bestem en parameterfremstilling for den linje k, der er parallel med l og går gennem punktet P 7, Opgave 4: Trekant ABC har hjørnerne A5,8, B, og C 6, a) Bestem arealet af trekant ABC Opgave 4: En cirkel er givet ved ligningen 4 y 8y 5 0 a) Bestem cirklens radius samt koordinatsættet til cirklens centrum b) Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der rører cirklen i punktet P6, 7 Opgave 4: Bestem den værdi af t, for hvilken vektorerne a og b er ortogonale t 4 C, og planen givet ved ligningen Opgave 44: En kugle har centrum i 8, 7,6 4y z 45 0 er tangentplan til kuglen a) Bestem en ligning for kuglen b) Bestem en ligning for den plan, der også er en tangentplan til kuglen, men som rører kuglen i punktet P4,,9 Opgave 45: I rummet er givet punkterne A 5,, 8, B, 0, 4, C 7, 6,, D,5, 9 og E 4, 7, a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder punkterne A, B og C b) Bestem en parameterfremstilling for linjen l, der går gennem punkterne D og E, og bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem og l c) Bestem vinklen mellem og l

14 Opgave 46: En funktion f har forskriften f Bestem ' Opgave 47: En funktion f har forskriften f ln cos Bestem f ' Opgave 48: En funktion f har forskriften f f 6 Bestem en forskrift for den stamfunktion F til f, hvis graf går gennem punktet P,9 f 9 5 Opgave 49: Bestem monotoniforholdene for funktionen f med forskriften Opgave 50: Undersøg, om funktionen f givet ved forskriften f e er en løsning til differentialligningen y ' y Opgave 5: Graferne for funktionerne f og g skærer hinanden i - og 4, og de danner sammen en punktmængde M 4 Benyt nogle af nedenstående oplyste værdier til at bestemme arealet af M f f ' F 4 0 Opgave 5: I en model for størrelsen af en population af rotter antages det, at populationens størrelse dn 5 N (målt i antal rotter) er en løsning til differentialligningen 50 N4000 N hvor t er dt tiden målt i antal uger efter observationsstart 5 uger efter observationsstart er der 600 rotter i populationen a) Bestem væksthastigheden for populationen 5 uger efter observationsstart b) Hvor mange uger efter observationsstart er populationens væksthastighed størst, og hvor mange rotter er der i populationen på dette tidspunkt? Opgave 5: Funktionerne f og g er givet ved f ln ; 0 4 g g g' G Graferne for f og g danner sammen med førsteaksen en punktmængde M a) Bestem arealet af M b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 60 omkring førsteaksen

15 Opgave 54: Temperaturen T af en kasse (målt i C) er som funktion af tiden t (målt i minutter) en dt løsning til differentialligningen 0, 07 T Efter minutter er dt temperaturen af kassen 58 C a) Hvad er væksthastigheden af temperaturen af kassen efter 0 minutter? Opgave 55: Løs ligningen 48 a b a 4b Opgave 56: Reducér udtrykket Opgave 57: Løs ligningen 40 0 Opgave 58: Det oplyses, at y er ligefrem proportional med Udfyld tabellen: 5 y 56 Opgave 59: Reducér udtrykket aa b 4b a b Opgave 60: En ret linje l går gennem punkterne A,7 og B, 8 Opgave 6: Løs ligningen 4 Opgave 6: En ret linje m går gennem punktet 4,7 Bestem en ligning for l P og har hældningen Bestem en ligning for m Opgave 6: Bestem koordinatsættet for toppunktet for parablen givet ved ligningen y 5 Opgave 64: Det oplyses, at og y er omvendt proportionale Udfyld tabllen: Opgave 65: Løs ligningen 5 y Opgave 66: Reducér udtrykket p q 9q p q Opgave 67: Den rette linje l er bestemt ved ligningen linje m, der er ortogonal med l og går gennem punktet Opgave 68: Reducér udtrykket 4 5y4 5y y 47 y Bestem en ligning for den rette 4 9 P, 8 Opgave 69: Undersøg, om er en løsning til ligningen 4 0 Opgave 70: For hvilke værdier af k har ligningen 5 k 5 0 netop én løsning? 5, P 7, ligger på cirklen Opgave 7: En cirkel har centrum i C, og punktet Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der har røringspunktet P 6 Opgave 7: Reducér udtrykket 6 Opgave 7: Løs ligningen Opgave 74: Reducér udtrykket 68 Opgave 75: Bestem tværvektoren til vektoren a 5 4 Opgave 76: Bestem prikproduktet af vektorerne a og b 7 6 Opgave 77: Bestem determinanten det ab, af vektorerne a og b 7 A,4 og B 9, Opgave 78: Bestem afstanden mellem punkterne

16 8 Opgave 79: Bestem længden af vektoren a 6 Opgave 80: Det oplyses, at OF 7, og DF Bestem koordinatsættet til punktet D 4 9 t Opgave 8: Bestem t, så vektorerne a og b er ortogonale Opgave 8: Bestem den værdi af k, for hvilken vektorerne a og b er parallelle k 8 5 Opgave 8: Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a og b 7 4 Opgave 84: Bestem for vektorerne a og b projektionen af a på b Opgave 85: Undersøg, om vinklen mellem vektorerne a og b er spids, ret eller stump 4 A,5, B,4 og C, 8 Opgave 86: Bestem arealet af trekant ABC med hjørnerne Opgave 87: Linjen m er givet ved ligningen 5 7y 0 ; G Bestem en parameterfremstilling for den linje l, der står vinkelret på linjen m og går gennem punktet P, Opgave 88: En linje l er givet ved ligningen 9 y8 0 ; G Bestem en parameterfremstilling for linjen l Opgave 89: En linje m er givet ved parameterfremstillingen t ; t y 5 Bestem en ligning for linjen m Opgave 90: En cirkel er givet ved ligningen y 8y 0 ; G Bestem radius og koordinatsættet til cirklens centrum 8, P 9,6 ligger på cirklen Opgave 9: En cirkel har centrum i C, og punktet Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der går gennem P Opgave 9: Bestem koordinatsættene til skæringspunkterne mellem cirklen C og linjen l givet ved ligningerne: C : 4 y 0 ; G l : y 4 ; G Opgave 9: Trekant ABC har vinkelspidserne A og B liggende på linjen med ligningen 4y 0 C 0,8 ikke ligger på denne linje, mens Bestem koordinatsættet til fodpunktet af højden fra C Opgave 94: Undersøg, om linjen givet ved ligningen y 0 ; G er tangent til cirklen givet ved ligningen y 5 6 ; G 7 4 Opgave 95: Bestem vinklen mellem vektorerne a og b Opgave 96: Bestem prikproduktet af vektorerne a og b 8 5

17 9 7 Opgave 97: Bestem krydsproduktet af vektorerne c 4 og d 4 8 Opgave 98: Bestem arealet af trekanten, der udspændes af vektorerne a og b t Opgave 99: Bestem t, så vektorerne a t og b er ortogonale 5 4 Opgave 00: Bestem t, så vektorerne a 7 og b 6t 5 er parallelle 9 Opgave 0: Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjerne m og l: 5 m : y 7 t 6 l : y s z 4 z 6 4 Opgave 0: En plan er givet ved ligningen 9 y 7z 5 0 ; G Bestem koordinatsættet til planens skæring med y-aksen Opgave 0: Planerne og er givet ved ligningerne: : 5y z 0 ; G : 9z 5 0 ; G a) Bestem den stumpe vinkel mellem planerne og b) Bestem den spidse vinkel mellem planerne og Opgave 04: A6, 9,7, B 0,,7, C,,5, D,,6 og E 5,4, 8 er punkter i rummet a) Bestem en ligning for planen, der indeholder punkterne A, B og C b) Bestem en parameterfremstilling for den rette linje l, der går gennem punkterne D og E c) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjen l og planen d) Bestem vinklen mellem linjen l og planen e) Bestem afstanden fra punktet D til planen f) Bestem koordinatsættet til projektionen af punktet E på planen Opgave 05: En kugle er givet ved ligningen 4 y 0y z 8 0 ; G a) Bestem radius og koordinatsættet til kuglens centrum P 5, 7, ligger på kuglen b) Vis, at punktet c) Bestem en ligning for den tangentplan til kuglen, der rører kuglen i punktet P A 45,8,, B 5,0,7, C 4,,6 og D,, 7 er punkter i rummet 9 a) Figuren ABCD er en plan firkant, der ikke er et parallelogram Bestem arealet af firkant ABCD Opgave 06: Opgave 07:

18 Årsprøve 08 Delprøven uden hjælpemidler kl Opgave : Reducér udtrykket a b 6a b a b Opgave : Løs ligningen ; G Opgave : og y er omvendt proportionale Udfyld nedenstående skema 5 y 5 Opgave 4: Linjestykkerne AD og CE er parallelle, så trekanterne ABD og BCE er ensvinklede Bestem BD og BC Opgave 5: Løs ligningen ; G Opgave 6: I en model antages det, at antallet af medlemmer af Dansk Skak Union siden 980 er faldet med 7 om året I 980 var der 070 medlemmer Indfør passende variable og angiv en forskrift for modellen, der beskriver antallet af medlemmer af Dansk Skak Union Opgave 7: En cirkel er givet ved ligningen y 0y 0 0 ; G Bestem radius for cirklen samt koordinatsættet til cirklens centrum Opgave 8: En parabel er givet ved ligningen y 5 ; G Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt Opgave 9: Firkant ABCD kan opdeles i de to retvinklede trekanter ABD og BCD Det er oplyst, at AB, AD 4 og CD Bestem BC Opgave 0: Løs ligningssystemet 6 y 4y 6

19 Opgave : En cirkel har centrum i C 6,7, og punktet,5 P ligger på cirklen Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der rører cirklen i punktet P Opgave : En parabel er givet ved ligningen Det oplyses, at parablen skærer førsteaksen i punkterne Bestem fortegnene for b, c og d y a b c, og diskriminanten betegnes d Besvarelsen afleveres kl 00 Delprøven med hjælpemidler kl ,0 og,0, og at a 0 Opgave Trekant ABC er retvinklet med den rette vinkel B AB 5,8 og A 6 Vinkelhalveringslinjen fra A rammer siden BC i punktet D og danner dermed trekanterne ABD og ACD I trekant ACD rammer medianen fra D siden AC i punktet E a) Bestem AD og CD b) Bestem ADC og arealet af trekant ACD c) Bestem DE Opgave 4 Bestem koordinatsættene til skæringspunkterne mellem parablen p og linjen l givet ved nedenstående ligninger: p : y Opgave 5 En kugle har centrum i,0,7 l : y 5 C og radius a) Bestem en ligning for kuglen b) Bestem koordinatsættene til kuglens skæring med z-aksen Opgave 6: Løs ligningen sin 4, ; G 0, Opgave 7: En ret linje l går gennem punkterne P 7,og Q7, 5 Mængden af punkter på linjen l, hvor førstekoordinaten er et helt tal, og andenkoordinaten er mindre end 7, betegnes M Bestem det punkt fra mængden M, der har den mindste førstekoordinat

20 Uden hjælpemidler: Opgave : Løs ligningen Årsprøve ; G Opgave : Reducér udtrykket a b a 4a b Opgave : Indiens befolkningstal har i perioden kunnet beskrives ved modellen t N t t,6,0 ; 0 hvor t er tiden målt i år efter 009, og N angiver befolkningstallet målt i milliarder Forklar, hvad konstanterne fortæller om Indiens befolkningstal f a b c Opgave 4: Parablen nedenfor er grafen for funktionen f med forskriften Bestem fortegnene for konstanterne a, b, c og d, hvor d er diskriminanten Opgave 5: En kugle er givet ved ligningen 6 y y z 0z 4 0 ; G Bestem centrum og radius for kuglen P, og Q 6, ligger begge på cirklen C, hvor de udgør endepunkterne Opgave 6: Punkterne på en af diagonalerne i cirklen Bestem en ligning for den tangent til cirklen C, der rører cirklen i punktet Q Med hjælpemidler: Opgave 7 Antallet N af kerner af et radioaktivt stof aftager med tiden t (målt i minutter efter det tidspunkt, hvor man begynder at måle på antallet af kerner) En model til beskrivelsen af antallet af kerner N som funktion af tiden t er t N t b a a) Bestem a og b b) Hvor mange kerner vil der ifølge modellen være tilbage 0 minutter efter, at man begynder at måle på antallet af kerner, og hvornår vil man ifølge modellen være nede på 500 kerner? c) Bestem halveringstiden Opgave 8 Firkant ABCD er en løberute for en gymnasieklasse Eleverne har ruten på et kort, dvs firkanterne ABCD og Ak BkCk Dk er ligedannede Det oplyses, at A B 6cm, A D 8cm, BAD 90, AD,km, BC,0km og CD,7km k k k k Den rigtige løberute begynder i punkt A og går herfra til punkterne D, C, B og A i den nævnte rækkefølge Men nogle elever vælger en snyderute, hvor de i punkt D bevæger sig til punkt V, dvs de løber langs linjen v D, der er en vinkelhalveringslinje for BDC

21 a) Bestem AB og BD b) Bestem BDC og arealet af den rigtige løberute, dvs firkant ABCD c) Bestem omkredsen af snyderuten ADVB a Opgave 9 Grafen for funktionen f med forskriften f b går gennem punkterne,7 og 6, a) Bestem a og b b) Hvad sker der med funktionsværdien, hver gang -værdien øges med 0%? Opgave 0: Banen for kuglen i et kuglestød udgør en del af en parabel med ligningen y 0, 047 0,9,8 ; 0 angiver den vandrette afstand til start, og y angiver højden over jorden Der måles i meter a) Hvor højt over jorden når kuglen op? b) Hvor langt kommer kuglen? Opgave Punkterne A, 5og B9, Den rette linje L går gennem punkterne P4,og Q, udgør endepunkterne af en diagonal i cirklen C a) Bestem en ligning for cirklen C b) Bestem en ligning for den rette linje L, og bestem koordinatsættene til skæringspunkterne mellem cirklen C og den rette linje L Opgave Stjerner kan opdeles i størrelsesklasser, hvor de klareste stjerner svarer til de mindste størrelsesklasser Sammenhængen mellem en stjernes absolutte størrelsesklasse M og dens tilsyneladende størrelsesklasse m er givet ved formlen M m 5log r 5, hvor r er afstanden til stjernen målt i enheden parsec Stjernen Sirius er med sin tilsyneladende størrelsesklasse,46 den klareste stjerne på nattehimlen Afstanden til Sirius er,64parsec a) Bestem stjernen Sirius absolutte størrelsesklasse b) Isolér r i formlen og bestem afstanden til stjernen Canopus, der har den tilsyneladende størrelsesklasse 0, 7 og den absolutte størrelsesklasse 5,65

22 Uden hjælpemidler: Opgave : Løs ligningen Årsprøve ; G Opgave : Værdien af en bil kan i en periode beskrives ved udtrykket V t t 9000, hvor V er værdien af bilen angivet i kroner, og t er tiden målt i antal år efter bilkøbet Forklar, hvad de to konstanter fortæller om bilens værdi Opgave : Funktionen f : b a f og f 4 9 Bestem en forskrift for f opfylder, at Opgave 4: Nedenfor ses to retvinklede trekanter ABC og A'B'C', der er ensvinklede (A er kongruent med A, og C er kongruent med C ) Bestem omkredsen af trekant ABC Opgave 5: Løs ligningssystemet 5y 7 4y 7 ; G Opgave 6: En kugle er givet ved ligningen 8 y z 6z 4 0 ; G Bestem centrum og radius for kuglen Med hjælpemidler: Opgave 7 Rumfanget V af en tønde med højden h, endefladediameteren d og maksimumdiameteren D er bestemt ved: h V D d D d 5 4 a) Bestem rumfanget af en tønde A med højden, m, endefladediameteren 0,85 m og maksimumdiameteren,7 m b) Hvor stor skal maksimumdiameteren være, hvis en tønde B med samme højde og endefladediameter som tønden A skal kunne rumme,6 m? Opgave 8 Ved et meteornedslag kan sammenhængen mellem kraterdiameteren d (målt i m) og energien E af meteoren (målt i J) beskrives ved en funktion med forskriften a E( d) b d En række sammenhørende værdier af kraterdiameteren og energien af meteoren ses i nedenstående tabel: a) Bestem konstanterne a og b b) Bestem, hvor meget energi meteoren skal have for at lave et krater med diameteren 5 m, og bestem kraterdiameteren for en meteor med energien 0000 J c) Hvor mange procent større bliver kraterdiameteren, når energien af meteoren fordobles? Opgave 9 Det danske bruttonationalprodukt var i 007 på 6 milliarder kroner, mens det i 0 var på 557 milliarder kroner

23 a) Vis, at det danske bruttonationalprodukt i gennemsnit faldt med 0,69% om året i perioden 007-0? b) Hvor mange år ville der gå, før det danske bruttonationalprodukt var halveret, hvis det hvert år faldt med 0,69%? Opgave 0: I den retvinklede trekant ABC med den rette vinkel B er C 7 og BC,9 Fodpunktet for medianen fra B kaldes D a) Bestem AC b) Bestem længden af medianen m B c) Bestem BDC, og bestem arealet af ABD Opgave : En parabel P er givet ved ligningen y 5 ; G a) Bestem koordinatsættet til parablen P s toppunkt Nedenfor ses to parabler A og B, hvor de tilhørende funktioner er på formen a b c, og hvor diskriminanten betegnes d b) Bestem for begge parabler fortegnene for a, b, c og d Opgave : En cirkel har centrum i C 5, 8, og punktet, 5 P ligger på cirklen a) Bestem en ligning for cirklen b) Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der rører cirklen i P

24 Uden hjælpemidler: Årsprøve 04 Opgave Reducér udtrykket a 4b a b a b Opgave Værdien af en bil kan i en periode beskrives ved udtrykket Vt ,8 t, Opgave 4 Opgave 6 hvor V er værdien af bilen angivet i kroner, og t er tiden målt i antal år efter bilkøbet Forklar hvad de to konstanter fortæller om bilens værdi Bestem koordinatsættet til toppunktet for den parabel, der er graf for funktionen f 5 Løs ligningssystemet 5y 4 64y 6 Med hjælpemidler: Opgave 9 I trekant ABC, hvor det oplyses, at C er stump, er følgende størrelser oplyst: b 5,, c,6 og B 8,6 a) Beregn C b) Beregn arealet af trekant ABC c) Tegn en skitse af trekanten og indtegn højden fra A på skitsen Beregn længden af højden fra A Opgave 0 I en elektrisk kreds med vekselstrøm er strømstyrken It til tiden t givet ved I t,5sin 50 t,7 ; t 0, hvor strømstyrken måles i ampere og tiden måles i sekunder a) Beregn strømstyrken efter 0,04 sekunder b) Bestem den mindste strømstyrke c) Bestem vekselstrømmens periode

25 Uden hjælpemidler: Årsprøve 0 Opgave En cirkel er bestemt ved ligningen 6 y 0y 5 Bestem koordinatsættet til cirklens centrum og dens radius Opgave Reducér udtrykket a b ab 4a 4ab Opgave En linje l er givet ved ligningen y 7 0 Bestem en ligning for den linje, der står vinkelret på l og går gennem punktet P(-,5) Opgave 4 En parabel er graf for funktionen f ( ) Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt Opgave 5 En cirkel har centrum (,5) og radius, og en linje l er bestemt ved ligningen y 0 Opgave 6 Undersøg om linjen l skærer cirklen () f f () f På figuren ses graferne for tre forskellige lineære funktioner på formen f ( ) a b Bestem for hver af de tre lineære funktioner, hvad man kan sige om fortegn for a og b Med hjælpemidler: Opgave 7 Et lille firmas omsætning, f () (i tusind kr), afhænger af antallet af sælgere, Man har undersøgt sammenhængen og fundet ud af sammenhængen omtrent følger: f( ) 57, a) Bestem firmaets omsætning med to sælgere? b) Bestem antallet af sælgere, der giver firmaet en maksimal omsætning Opgave 8 I 009 betalte hver forbruger i Holstebro 4,5 kr pr kubikmeter vand samt et fast årligt abonnement på 58,5 kr a) Opstil en formel, der beskriver sammenhæng mellem den samlede udgift ( i kr) til vand i 009 og vandforbruget (målt i kubikmeter) for en forbruger i Holstebro For Hillerød beskrives den tilsvarende sammenhæng ved formlen y49,8 08, 75 b) Hvad skal en forbruger i hver af de to byer betale for et vandforbrug på kubikmeter? c) Hvilket vandforbrug giver samme samlede udgifter i de to byer? 5

26 Opgave 9 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved t t a og b, hvor t er et tal t a) Bestem for t arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a og b b) Bestem for t koordinatsættet til projektionen af a på b c) Bestem den eller de værdier af t, for hvilke vektorerne a og b står vinkelret på hinanden Opgave 0 I ABCer siden b tre gange så lang som siden a, mens siden c er,5 gange så lang som siden a a) Bestem trekantens vinkler b) Bestem længden af siden a, når det oplyses, at trekantens areal er 0 Opgave En parabel p er graf for funktionen f ( ) 7 En ret linje l er graf for funktionen g ( ) 4 a) Bestem koordinatsættene til skæringspunkterne mellem p og l b) Bestem parablens toppunktskoordinater og afstanden fra parablens toppunkt til den rette linje Opgave En dyppekoger anbringes i et bægerglas med vand Bægerglasset stilles på en vægt Når vandet er kommet i kog, aflæses vægten hvert minut, mens vandet fortsat koger Måleresultaterne fremgår af skemaet nedenfor Tid / minutter Masse / gram Det oplyses, at massen målt i gram med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær funktion f af tiden målt i minutter a) Bestem en forskrift for f b) Hvor lang tid tager det ifølge modellen at fordampe 500g vand? 6

27 Opgave I en trekant EFG er E 70 og EG 8 Medianen fra F har længden 5, og dens fodpunkt betegnes med H a) Bestem EFH b) Bestem G Opgave 4 Ligningerne for de rette linjer l og m er: l : 4 y m : y 7 a) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjerne l og m b) Bestem den spidse vinkel mellem linjerne l og m c) Bestem ligningen for den cirkel, hvis centrum ligger på linjen m, og som tangeres af både - og -aksen 7

28 Årsprøve 07 Delprøven uden hjælpemidler Opgave : Løs ligningen ; G Opgave : Linjestykkerne AB og DE er parallelle, så trekanterne ABC og CDE er ensvinklede: Bestem BC og CE Opgave : En portion radioaktive kerner af en bestemt isotop isoleres, og da man begynder at måle aktiviteten, følger den modellen t A t t, 47 0,76 ; 0 hvor A er aktiviteten målt i Bq, og t er tiden målt i sekunder Forklar, hvad modellens konstanter fortæller om aktiviteten Opgave 4: En funktion f har forskriften f sin e Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P 0, f 0 4 Opgave 5: I planen er givet vektorerne a og b t 8 Bestem de værdier af t, for hvilke trekanten udspændt af Opgave 6: En funktion f har forskriften sammen med koordinatakserne og linjen med ligningen f aog bhar arealet 8 e I første kvadrant danner grafen for f ken punktmængde M Bestem k, så arealet af punktmængden M er 0 Delprøven med hjælpemidler Opgave 7: På en cykeltur måler man ved forskellige konstante hastigheder v (målt i m s ) den kraft F, man træder i pedalerne med (målt i N): Det antages, at kraften F som funktion af den konstante hastighed v kan beskrives ved modellen: a F v b v a) Bestem a og b b) Bestem, hvor stor kraft man ifølge modellen skal træde i pedalerne med for at køre med den konstante hastighed m s, og bestem, hvor høj konstant hastighed man ifølge modellen kører med, hvis man træder i pedalerne med kraften 00 N c) Hvordan ændres den kraft, man skal træde i pedalerne med, hvis den konstante hastighed øges med 0%? 8

29 Opgave 8: I trekant ABC er AB 6, AC 8,5 og ACB 9 Desuden oplyses det, at ABC stump er a) Bestem ABC Vinkelhalveringslinjen v B for b) Bestem arealet af firkant ABCD ABC konstrueres og afskæres i punktet D, så BD AB Opgave 9: Grafen for funktionen f med forskriften f 5 danner i første kvadrant sammen med førsteaksen en punktmængde M a) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring førsteaksen I intervallet 0 5 danner punkterne 0,0,,0,, f og 0, f et rektangel b) Bestem den værdi af, der gør arealet af dette rektangel størst muligt Opgave 0: A,,, B4,8,, C 8,,7, D6,,5, E 4,,9 og F 0,5,0 Punkterne A, B, C og D ligger i samme plan, og firkant ABCD udgør glasfacaden i et moderne byggeri En solstråle, der følger den rette linje, der går gennem punkterne E og F, rammer glasfacaden og absorberes af denne Alle længder måles i meter a) Bestem en ligning for den plan, som glasfacaden er en del af b) Bestem arealet af glasfacaden c) Bestem det punkt på glasfacaden, hvor solstrålen rammer, og bestem den stumpe vinkel, som solstrålen danner med glasfacaden Opgave : Et lod svinger lodret i en lang fjeder Højden h (målt i meter) af loddet over jorden som funktion af tiden t (målt i sekunder) er givet ved forskriften 8 ht 4,sin,5 t 0,7 6, ; 0 t 5 a) Tegn grafen for h, og bestem loddets maksimale og minimale højde over jorden b) Bestem h' og fortolk resultatet Opgave : Funktionen f er en løsning til differentialligningen dy 7 4,0 y6000 y d a) Bestem væksthastigheden for f, når f 000, og bestem den maksimale væksthastighed for f b) Bestem funktionsforskriften for f, når det oplyses, at f 500, og bestem den værdi for, der giver den maksimale væksthastighed for f 9

30 Årsprøve 08 Delprøven uden hjælpemidler Opgave : Reducér følgende to udtryk: 7a 4b 5a b b a 5 og Opgave : Bestem arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a og b 4 Opgave : De retvinklede trekanter ABC og ADE er ensvinklede AB 7 og AC 5, og arealet af den store trekant ADE er 40 Bestem AD Opgave 4: Beregn d f e Opgave 5: Undersøg, om funktionen f givet ved forskriften er en løsning til differentialligningen y ' ye Opgave 6: En parabel p skærer førsteaksen to steder, hvoraf det ene er punktet 5,0 Førstekoordinaten for p s toppunkt er 4 Tangenten til p i p s skæringspunkt med andenaksen har hældningen Bestem en ligning for parablen p Delprøven med hjælpemidler Opgave 7: En firkant ABCD er tegnet med et nøje specificeret, fortroligt formål Det er oplyst, at A 4, B 4 og CD 5, Det er desuden oplyst, at D er stump A s vinkelhalveringslinje går gennem punktet C, og AC,8 a) Bestem BC b) Bestem arealet af firkant ABCD 0

31 Opgave 8: Brudstyrken B (målt i kg) for et grønt -slået reb af modificerede polypropylenfilamenter afhænger af rebets diameter d (målt i mm) Det oplyses, at sammenhængen a kan beskrives ved funktionsforskriften Bd b d Diameter (målt i mm) Brudstyrken (målt i kg) a) Bestem a og b b) Bestem, hvordan brudstyrken ændres, når diameteren øges med 0% Opgave 9: Funktionerne f og g er givet ved forskrifterne f g 4 e Sammen med koordinatakserne danner graferne for f og g i første kvadrant en punktmængde M a) Bestem arealet af M b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 60 omkring førsteaksen Opgave 0: Massen m af et radioaktivt stof (målt i g) kan som funktion af tiden t (målt i sekunder efter fremstilling) beskrives ved en eksponentiel udvikling M,7 og M 9 4,6 Det oplyses, at a) Bestem en forskrift for M, og bestem halveringstiden T b) Bestem M ' 0 og forklar, hvad dette tal fortæller om massen af det radioaktive stof Opgave : Funktionen f er givet ved forskriften f 7sin 4, 0, a) Bestem maksimum og minimum for f b) Bestem monotoniforholdene for f, og bestem det sted, hvor væksthastigheden for f er størst Opgave : Antallet N af Netfli-brugere (angivet i millioner) som funktion af tiden t (målt i antal kvartaler siden 0) er en løsning til differentialligningen dn 0, N7 N dt I starten af 0 var der 6,5 millioner Netfli-brugere a) Bestem en forskrift for N, og bestem den øvre grænse for antallet af Netfli-brugere b) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden af Netfli-brugere er størst, og bestem den største væksthastighed Opgave : En kugle er givet ved ligningen 64 y 5y z 88z ; G a) Bestem kuglens radius samt koordinatsættet til kuglens centrum Punktet 4, 7, 8 P ligger på kuglen b) Bestem en ligning for den tangentplan til kuglen, der har røringspunktet P

32 Uden hjælpemidler: Årsprøve 0 (fiskesættet) Opgave Reducér udtrykket å 6l 4å l Opgave En almindelig guldfisk (en hibuna, Carassius auratus auratus) der springer ud af vandet, følger en bue der kan beskrives ved en parabel I et koordinatsystem der er indlagt således, at springet begynder i punktet O(0,0) (se figuren), er ligningen for parablen: y = + Bestem koordinaterne til parablens toppunkt Opgave En bladpjaltefisk (Phycodurus eques) kan dreje kroppen, så retningerne af munden og bagkroppen i et koordinatsystem kan beskrives t 6 ved vektorerne a og b t Bestem den værdi af t, hvor ortogonale a og ber dy Opgave 4 En adfærdsbiolog har forsøgt at anvende differentialligningen y 4 5 til at d beskrive adfærden hos en sekstakket savkirurgfisk (Prionurus microlepidotus) Undersøg om funktionen f bestemt ved f ( ) e er en løsning til differentialligningen Opgave 5 Den indiske glasmalle (Kryptopterus bicirrhis) er gennemsigtig En lyskilde med fast lysstyrke benyttes til at lyse gennem et antal glasmaller, og man måler lysstyrken efter passage af et vist stykke glasmalle: Sammenhængen mellem den målte lysstyrke I (målt i enheden candela) og den passerede længde glasmalle (målt i cm) viser sig at kunne beskrives ved modellen: I() = 4, 0,97 Gør rede for, hvad konstanterne i modellen fortæller om situationen

33 Opgave 6 Funktionen f beskriver antallet af årligt dokumenterede tilfælde, hvor den store hvide haj (Carcharodon carcharias) har angrebet mennesker Figuren viser i intervallet [-;6] grafen for den afledede funktion f for funktionen f Bestem monotoniforholdene for funktionen f i intervallet [-;6] Med hjælpemidler: Opgave 7 Et område med fiskeforbud for sej (Pollachius virens) i Østersøen øst for Bornholm har form som en firkant ABCD, se figuren Der gælder at A = 98, AB = 75 km, AD = 84 km, BC = 99 km og CD = km a) Bestem afstanden fra B til D b) Bestem arealet af firkant ABCD Opgave 8 For gedder (Eso lucius) kan længden L og vægten W beskrives ved Bertalanffys model: L(t) = a( e k t ) W(t) = b( e k t ), hvor a, b og k er konstanter L og W måles i henholdsvis cm og kg, og t er geddens alder i dage For gedder i Esrum sø har man bestemt følgende værdier for a, b og k: a = 58; b = 6,4; k = 0,006 a) Bestem længden af en 00 dage gammel gedde i Esrum sø b) Bestem vægten af en 0 cm lang gedde i Esrum sø Kilde: Journal of European Freshwater Ecology, 00 (4), 07

34 Opgave 9 En konæserokke (Rhinoptera bonasus) har næsten form som et parallelogram udspændt af 4 4 vektorerne a og b (se figuren) a) Bestem vinklen mellem vektorerne a og b b) Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af vektorerne a og b c) Bestem projektionen af b på a Opgave 0 Den russiske sø Ladoga er rig på fisk specielt fisk i laksefamilien (Salmonidae) Lystfiskerne på søen skal passe på ikke blive for længe på vandet, så de har godt styr på dagslængden, der (målt i timer) kan beskrives ved modellen f ( t) 6,59 sin(0, 067 t, 95), ; 0 t 65, hvor t er tiden målt i døgn efter januar a) Benyt modellen til at bestemme dagslængden ved Ladoga-søen til t = 50 b) Bestem f '(00) og redegør for, hvad dette tal fortæller Opgave En akvariefiskeejer ønsker at anskaffe et nyt akvarium til sine fisk - hovedsageligt grønne sværddragere (Xiphophorus hellerii) og sorte mollyer (Poecilia sphenops) Det skal have kvadratiske endeflader, og endefladerne og sidefladerne skal være af glas Bunden og låget skal være af metal med sølveffekt Prisen for glasset er 0 kr pr dm, mens prisen for metallet er 0 kr pr dm a) Vis at den samlede pris P for glas og metal til akvariet er givet ved P 0 60y, hvor er en sidelængde i den kvadratiske endeflade (målt i dm) og y er længden af sidefladerne (målt i dm) Akvariet skal kunne indeholde 500 dm b) Bestem den sidelængde, der giver den mindste samlede pris for glas og metal 4

35 Opgave I et forsøg lukkes nogle californiske glathovedfisk (Alepocephalus tenebrosus) ud i et bassin med konstant tilførsel af fiskefoder Det viser sig, at den hastighed, hvormed antallet A af fisk vokser til tidspunktet t er proportional med produktet af antallet af fisk til tiden t og forskellen mellem 750 og antallet af fisk til tiden t Det viser sig, at væksthastigheden er 0, når antallet af individer er 50 a) Opskriv en differentialligning, som antallet af individer A må opfylde Opgave For at vurdere forureningen fra et dambrug med plettede skægbrosmer (Urophycis regia), der udleder spildevand i en nærliggende å, har man i en bestem periode målt, hvor meget ammoniak der er i vandet i forskellige afstande fra dambruget Afstand fra dambruget (m) Mængde ammoniak (mg/l) 6,0 4,5,0,4,4 a Funktionen f givet ved f ( ) b, 5, beskriver mængden af ammoniak (målt i milligram pr liter) som funktion af afstanden (målt i meter) fra dambruget a) Bestem tallene a og b b) Beregn hvor stor en mængde ammoniak, er der i 50 meters afstand fra dambruget c) Bestem afstanden hvor mængden er mindre end mg/l 5

36 Opgave 4 På et fiskemarked i Tokyo, hvor der handles tun (Thunnus thynnus), er der en sammenhæng mellem udbudsprisen, s, (i tusinder Yenn pr kg) og mængden,, (i kg) Tilsvarende er der en sammenhæng mellem efterspørgselsprisen, d, (i tusinder Yenn pr kg) og mængden, Sammenhængene er givet ved: s( ) 5,hvor 0 6 d ( ) 0,5 6 75, hvor 0 6 Skæringspunktet mellem d og s s grafer kaldes for ligevægtspunktet og angiver hhv ligevægtsmængden, Q, og ligevægtsprisen, P a) Bestem ligevægtsmængden, Q, og ligevægtsprisen, P Den samlede betalingsvillighed for en bestemt vare kan bestemmes ved at bestemme arealet af området under efterspørgselsgrafen fra 0 til Q b) Bestem den samlede betalingsvilligheden for tun (Thunnus thynnus) Opgave 5 En fisker fisker efter rødøjede rundsild (Etrumeus teres) og har installeret en fiskeradar på sin kutter, der afsøger et cirkulært område med kutteren i centrum og en radius på 50 meter a) Opskriv cirkelligningen, C, der beskriver afsøgningsområdets rand, når kutteren placeres i origo (0,0) og afstandene måles i meter En stime af rødøjede rundsild svømmer i en ret linje fra punkt P(-00,50) til Q(0,-50), mens kutteren ligger stille b) Afgør om kutteren ved hjælp af sin fiskeradar har chance for at opdage fiskestimen 6

37 Terminsprøve 08 Opgave Reducér udtrykket a a 4b a 6b Opgave I planen har en trekant ABC hjørnerne A5,, B 7,og C 4, Bestem arealet af trekant ABC Opgave Løs andengradsligningen 4 6 Opgave 4 Beregn cos e sin d f Opgave 5 Undersøg, om funktionen f med forskriften Opgave 6 cos er en løsning til differentialligningen y dy sin d 4 En parabel A har toppunkt i,, og tangenten t til parablen i parablens 4 8 skæringspunkt med andenaksen har hældningen Opgave 7 Bestem en ligning for parablen A Antallet af hvide næsehorn (Ceratotherium simum) i Afrika ses i nedenstående tabel: Årstal Antal næsehorn Det antages, at antallet af hvide næsehorn kan beskrives ved en model på formen N t a t b hvor N er antallet af hvide næsehorn, og t er tiden målt i antal år efter 99 a) Bestem a og b b) Fortolk tallet a, og bestem i hvilket år antallet af hvide næsehorn ifølge modellen er oppe på 0000 I en anden model, hvor tiden t igen angives i antal år efter 99, antages det, at antallet M af hvide næsehorn kan beskrives ved en funktion, der er løsning til differentialligningen dm 0,07 M dt c) Bestem det årstal, hvor de to forskellige modeller igen giver samme antal hvide næsehorn, når det antages, at begyndelsesværdien er den samme i begge modeller 7

38 Opgave 8 I trekant ABC kaldes medianen fra A s fodpunkt D, mens vinkelhalveringslinjen fra C s fodpunkt kaldes E Det er oplyst, at AB 8,4og BC samt at medianen fra a har længden 0 ( m 0 ) a d) Bestem vinkel B e) Bestem C og bestem AE Opgave 9 En potensvækst er givet ved forskriften 0,7 8 S,67 a) Bestem, hvordan S ændrer sig, når -værdien øges med 40% Opgave 0 En cirkel A er givet ved ligningen 0 y 4y 44 0 a) Bestem koordinatsættet for cirklens centrum og cirklens radius En linje l er givet ved ligningen 6y 4 0 b) Undersøg, om linjen l er en tangent til cirklen A Opgave Funktionerne f og g er givet ved forskrifterne f sin e g Sammen med andenaksen danner graferne for f og g i første kvadrant en punktmængde M a) Bestem arealet af M b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60 omkring førsteaksen Opgave Vandstanden h (målt i meter) i en havn fra midnat til middag kan beskrives ved ht, 4sin t,, 7 ; t 0, 6 hvor t er tiden målt i timer efter midnat a) Bestem den største og den mindste vandstand i havnen i perioden fra midnat til middag b) Bestem det tidspunkt i perioden, hvor vandstanden vokser hurtigst, og angiv denne maksimale væksthastighed Opgave Man ønsker at undersøge, om valget af favoritprimærfarve afhænger af det klimabælte, man bor i Man vælger signifikansniveauet 5% og spørger 54 tilfældigt udvalgte personer I nedenstående tabel ses bidragene til teststørrelsen Q: Bidrag til Q Blå Rød Gul Tropisk,,0,08 Subtropisk,54 0,,4 Tempereret 0,04 0,0 0,7 a) Opstil den nulhypotese, som testet anvender, og beregn teststørrelsen Q b) Beregn p-værdien og konkludér på undersøgelsen Opgave 4 Det antages, at antallet N af Twitter-brugere i verden (målt i mio) kan beskrives ved dn en funktion, der er en løsning til differentialligningen 0, 000 N0 N dt hvor t er tiden målt i antal år efter 00 a) Bestem væksthastigheden af Twitter-brugere i verden på det tidspunkt, hvor der er 70 mio Twitter-brugere i verden I år 0 var der 8 mio Twitter-brugere i verden b) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden af Twitter-brugere i verden er størst

39 Opgave 5 Tre punkter i rummet er givet ved Aa,0,0, B0, a,0 og C 0,0,a, hvor a er et positivt, reelt tal a) Bestem a, så trekanten udspændt af punkterne A, B og C har arealet 7 I en anden situation er a 4 To rette linjer l og k går begge gennem origo 0,0,0 Linjen l står vinkelret på planen, der indeholder punkterne A, B og C, og linjen k går gennem punktet A b) Bestem den stumpe vinkel mellem linjerne l og k c) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet D mellem den rette linje l og planen : 4 pq : f ' 4 cos 4 sin Facitliste : a) y 4 b) f er voksende i intervallerne ]-,-] og [, [ og aftagende i [-,] 4: a) H0: Uddannelsesniveauerne er ens i Holbæk og Slagelse Kommune b) Der er signifikant forskel på uddannelsesniveauet i kommunerne ( 4,0 % 5% ) c) Der er ikke signifikant forskel på uddannelsesniveauet i A og B ( p 8,7% 5% ) 5: a) y6 44 b) f er voksende i intervallerne ]-4,0 ; -] og [, [ og aftagende i [-,] ) e ) e f 4 e 6: a f b f 7: 5 ) b) 4 biler pr 000 indbyggere 0,6 t e 4 er tæt på det maksimale 5, så ifølge modellen vil biltætheden ikke ændre sig ret meget efter 008 8: a N t dh 9: 0, 04 dt h 5, 4sekunder 0: *** : *** : a),,5,6,7,8 b) 6,7 c ),4 : a) B b) A, D, E, F, G c) F, A 4: a) b),, c) A 44 5: 5 6: - f ' 0 7: 0 f ' 6 5 8: 9

40 f ' e 5 9: 4 0: 0: a) y b),84 c) f er aftagende i ]-,-0] og voksende i [-0, [ : a) A= 8 b) k=, : a) N t 056 t 40 e b)500 fluer c) 55 fluer pr uge : 0, : f 5 0 e 5: a) ACB og DCE er topvinkler og derfor ens Da AB DE, er vekselvinklerne A og E lige store, og vekselvinklerne B og D er lige store Dermed er trekanterne ensvinklede 48 b) AB CE 7 6: EK 7: a) T 9, b) AS 5, 7 APS 8: a) C 9,7 b) b 6,98 9: a) B 89,50 b) C 7, 6 c) AE 4, : t y 5 4: 50 a) r 5 C, 4 b) 4 y 4: 4: t 4 44: 45: a) 8 y 7 z 6 69 b) 4y z a) 96y 8z 45 0 b) y 5 t,, c) v 45, z 9 f ' : 47: cos f ' ln sin F 7 48: 49: f er aftagende i intervallerne ]-,] og [5, [ og voksende i [,5] 50: Ikke en løsning 5: AM 48 5: a) 0 rotter om ugen b),7 uger efter observationsstart og 000 rotter 5: a) A, 767 b) V 6, 69 54: a) Efter 0 minutter falder temperaturen med,06 C i minuttet 55: 7 56: a 5ab b 57: : (5,5) og (8,56) 59: a b 60: y 7 6: 5 40