Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014"

Transkript

1 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Algekoncentrationen målt i mio. pr. L betegnes med A. Tiden måles i antal timer fra start og angives med t. Da mængden vokser med en fast procentdel, er der tale om en eksponentiel udvikling, og da vækstraten r = 7% = 0,07, får man fremskrivningsfaktoren a1 r1 0,07 1,07 Da startkoncentrationen er 10 mio. pr. L får man: At 10 1,07 t, 0 t Da det er i løbet af en dag, er der en øvre grænse for tiden, men det er ikke til at sige, hvad den præcist er. Opgave : Udtrykket reduceres ved at anvende første kvadratsætning på første led: a b a ab a b ab a ab b ab Opgave 3: x x8 0 Da koefficienten til andengradsleddet er 1, kan man "gætte" løsninger ved finde to tal, hvis produkt er -8 og sum er og efterfølgende anvende nulreglen. Det gælder for 4 og -, og man har så: x x 8 0 x 4 x 0 x 4 x Ellers kan man løse den ved diskriminantmetoden: d b 4ac dvs. løsninger b d 36 6 x Dvs. x 4 x a 1 4 f x x 5x 1 Opgave 4: Da a-værdien er 1, dvs. a >0, vender grenene opad, så det må være A eller B. Da c 1, og c angiver skæringen med.aksen, må det være parabel A, da den skærer. aksen i 1, mens parabel B skærer højere oppe.

2 Opgave 5: Det er oplyst, at arealet er 4, og at trekanten er retvinklet med den ene katetelængde på 6: Først kan længden af den anden katete bestemmes, da de to kateter i en retvinklet trekant kan fungere som grundlinje og højde: 1 1 T g h AC BC T 4 AC BC 6 Da trekanten er retvinklet, kan den sidste side bestemmes ved Pythagoras (hvis man ikke kan huske, at der findes en retvinklet trekant med sidelængderne 6, 8 og 10): AB BC AC AB Opgave 6: Efter bedste evne tegnes en tangent i t = 4 (den blå linje), og hældningen bestemmes ved at indtegne en tilpas stor trekant: Dvs. N ' 4 37,5, hvilket vil sige, at efter 4 døgn aftager antallet af individer i populationen med 37,5 individer pr. døgn.

3 Opgave 7: Det er angivet, at modellen er y a x b, dvs. det er en lineær model, og da man har en hel tabel med sammenhørende værdier, skal der laves lineær regression. Det bemærkes at der skal regnes i antal år EFTER 006, så man skal bruge 0,1,,3,4,5 og 6 som tiden. I n'spire indtastes så under 'Lister og Regneark': Under værktøjerne vælges 'Statistik' og 'Statistiske beregninger' og en lineær model mx+b. Dette giver: Modellen anvender m i stedet for a, så man har: a 0, og b 6, b) År 014 svarer til x = 8, og da modellen er gemt som f1, indtaster man: Dvs. i 014 vil tilbagetrækningsalderen ifølge modellen være 63,51 år Det er en lineær model, så a fortæller, at for hvert år øges tilbagetrækningsalderen med 0,18 år c) Man skal løse ligningen y = 65, hvilket sker på n'spire med: Da tilbagetrækningsalderen skal overstige 65 år, skal der gå 17 år fra 006, dvs. at i år 03 vil tilbagetrækningsalderen ifølge modellen overstige 65 år.

4 Opgave 8: AB 5 ; BC 14 ; AC 7 a) Da man kender alle tre sidelængder, kan vinklerne bestemmes med cosinusrelationerne: cos A AC AB BC AC AB A cos 30, BC AB AC cos B BC AB B cos 8, b) Da man kender en vinkel og længderne af de to hosliggende sider, kan man bestemme arealet ved ½-appelsin-formlen: 1 1 T AC AB sin A 75sin 30, , Punktet hvor vinkelhalveringslinjen fra B rammer siden AC kaldes D. Der regnes nu på trekant ABD. Da vinkelhalveringslinjen deler vinkel B, kan man beregne vinkel D i trekant ABD ved at benytte, at vinkelsummen i en trekant er 180 : 1 1 ADB 180 A B , , , Sinusrelationerne giver så: v AB b sin A sin ADB AB 5 vb sin A sin(30, ) 13, sin ADB sin(107, ) Opgave 9: f t 1 0,97 t f(t) angiver massen af et radioaktivt stof målt i gram, og t er tiden målt i antal år efter 014. a) Da f 0 1 fortæller tallet 1, at der i år 014 er 1 gram af stoffet. Det er en eksponentiel udvikling, og fremskrivningsfaktoren 0,97 svarer til en vækstrate på r a1 0,97 1 0,03 3%, så det fortæller, at massen af stoffet falder med 3% om året. b) Halveringstiden kan bestemmes ud fra fremskrivningsfaktoren: 1 1 ln ln T½, ln a ln 0,97 Dvs. at halveringstiden er,8 år

5 f x x 57x 10x 5 3 Opgave 10: P 1, f 1 a) For at bestemme en ligning for tangenten skal man kende hældningen og røringspunktets koordinater: Røringspunktets y-værdi bestemmes: f Tangentens hældning bestemmes: f ' x 6x 114x 10 f ' Hermed kan tangentens ligning bestemmes: y y a x x 0 0 y x 1 y 8 x 48 Man kunne også have gjort det med n'spire ved: b) For at bestemme monotoniforholdene findes først nulpunkter for den afledede funktion: f ' x 0 0 6x 114x 10 0 x 19x 0 0 x 0 x 1 x 1 x 0 Fortegnet for den afledede funktion beregnes i de intervaller, der adskilles af de to nulpunkter: f ' f ' f ' Dvs. fortegnsskemaet bliver: Dvs. at f er voksende i intervallerne ]-,-1] og [0, [, og f er aftagende i [-1,0] 1 Opgave 11: f x x, x 0 P 4,10 x a) Først bestemmes ved integration den form samtlige stamfunktioner er på: 1 Fk x xdx x x k x Da grafen går gennem P får man: k k k 10 Dvs. at den søgte stamfunktion er: F x x x 10

6 Opgave 1: a) Nulhypotesen er, at fordelingen af ventetid ikke har ændret sig, så med baggrund i denne hypotese kan man udregne en forventet tabel ved at benytte de tidligere procentsatser og gange disse med stikprøvens størrelse (der er 500): Forventet tabel: Ventetid (minutter) >30 Fordeling 5000,1 5000, , , , , ,5 Antal 110, ,5 31,5 11,5 b) Der skal laves et χ -GOF-test, og da der er 7 celler, er der 6 frihedsgrader, da man ved at kende 6 observerede værdier og stikprøvens størrelse ville kunne udregne den sidste værdi. Da p-værdien er 0, , dvs. p 0,05, må nulhypotesen forkastes, dvs. der er signifikant forskel på stikprøvens værdier og de tidligere beregnede. Opgave 13: a) Da højden af porten er 10 (målt i cm), er skæringen med y-aksen 10, hvilket svarer til polynomiets c-værdi. Dvs. c 10 Da toppunktet for parablen ligger på y-aksen, er b 0. a-værdien kan bestemmes ved at indsætte punktet (10,185) i forskriften: f x a x b x c a a a 0, Så hvis man skærer nogle cifre bort, får man: f x 0, x 10 b) Arealet svarer til det bestemte integral udregnes med den nedre grænse -10 og den øvre grænse 10. Dette gøres i n'spire ved: Dvs. at arealet er 48400cm.

7 7. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da det er en lineær funktion, har den forskriften A a,1og B4,13 bestemmes ved: y x b y a x Dvs. y x f x x 5 f x a x b, og hældningen kan ud fra Hvis man ikke kunne huske formlerne, men kun forskriften, kunne man have fundet a og b ved at løse to ligninger med to ubekendte: 13 a4 b a b a b 1 a b 1 6a a Indsættes i den øverste ligning: 13 4 b b 5 Opgave : Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem ensliggende sider lige store, så man har: DE EF EF 6 DE AB 1,5 3 1,5 4,5 AB BC BC f x x 4x 7 Opgave 3: 3 For at kunne bestemme differentialkvotienten i 1 bestemmes først den afledede funktion: f ' x 3x 4 6x 4 f Opgave 4: ' f x 4x 8x Parablens toppunkt bestemmes ud fra toppunktsformlen, når diskriminanten er udregnet: d b ac b d T ; T ; T ; T 1; a 4a Hvis man ikke kunne huske toppunktsformlen, kunne man have bestemt førstekoordinaten som det sted, hvor den afledede funktion er 0: f ' x 4x 8 8x 8 f ' x 0 8x 8 0 8x 8 x 1 Dette kan indsættes i funktionsforskriften for at finde den tilhørende y-værdi: f

8 Opgave 5: Når størrelserne x og y er omvendt proportionale, gælder xy k, hvor konstanten k kan bestemmes ved at indsætte det kendte sæt af x- og y-værdier: 10 4 k k 40 Hermed kan den manglende y-værdi bestemmes: 0 y 40 y Dvs. den udfyldte tabel bliver: x 10 0 y 4 Opgave 6: f x 6x 8x P,13 Først bestemmes ved at integrere den form samtlige stamfunktioner er på: 3 F x f x dx 6x 8x dx x 4x k Den stamfunktion, der går gennem P bestemmes ved indsætte af punktets koordinater: k k k 13 Dvs. den søgte stamfunktion er: F x x 4x 13 3

9 Opgave 7: 7. maj 014: Delprøven MED hjælpemidler f x a x b f(x) angiver procentdelen af 35-årige, der har gennemført en videregående uddannelse, og x er antal år EFTER 006, dvs. man skal indsætte tallene 0,1,,3,4,5,6. a) Da det er en lineær funktion, og da man har fået mere end sæt sammenhørende værdier, skal der laves lineær regression. Dette gøres på n'spire ved at indtaste værdierne i en tabel under 'Lister og Regneark', hvorefter man under værktøjerne vælger 'Statistik', 'Statistiske beregninger' og 'lineær regression mx+b'. Dette giver: N'spire bruger m i stedet for a, så man har: a 1, og b 36,75 b) År 015 svarer til x = 9, og da forskriften er gemt som f1(x), indtastes på n'spire: Dvs. at i 015 er ifølge modellen 46,7% af de 35-årige, der har gennemført en videregående uddannelse. Hvis procentdelen skal op på 50%, skal f x 50. Dette løses ved: x = 1 svarer til år 018, dvs. i år 018 vil det ifølge modellen være 50% af de 35-årige, der har gennemført en videregående uddannelse.

10 Opgave 8: a) Trekanten på tegningen er ligebenet, så højden på tegningen deler trekanten i to kongruente, retvinklede trekanter. Dermed får den vandrette katete i en af disse retvinklede trekanter længden 15. Afstanden til gulvet svarer til længden af den anden katete, og Pythagoras kan anvendes til at bestemme længden af denne: a b c a c b , Dvs. at den lodrette afstand er 47,7cm b) Med udgangspunkt i vinkel v kender man både længden af den hosliggende katete og hypotenusen (og man kender sådan set også den modstående katetes længde, da den lige er udregnet). Derfor anvendes cosinus på en spids vinkel i den retvinklede trekant: hos cos v hyp v cos 7, c) I den trekant, der dannes, når man tegner den stiplede linje på figuren, kender man alle tre sidelængder, og dermed anvendes cosinusrelationerne til at bestemme den søgte vinkel: cosvsr 5030 v sr cos 96, Opgave 9: f x 586 1,017 x, hvor f(x) er verdens befolkningstal målt i millioner og x er antal år efter a) År 015 svarer til x = 65, dvs. man udregner: f , , Dvs. ifølge modellen vil befolkningstallet i 015 være 7736 millioner b) Det er en eksponentiel udvikling, og tallet 586 er begyndelsesværdien, dvs. i år 1950 var befolkningstallet på 586 millioner. Tallet 1,017 er fremskrivningsfaktoren, og vækstraten er derfor r a11, ,017 1,7%, hvilket betyder, at siden 1950 er befolkningstallet ifølge modellen vokset med 1,7% om året.

11 5000 Opgave 10: Nt, N(t) er antal individet i populationen og t er tiden målt i uger. 1 0,85 t a) På n'spire defineres funktionen, og grafen tegnes sammen med en vandret linje y=4000, således at man grafisk kan bestemme det tidspunkt, hvor der er 4000 individer i populationen: Man kunne også bestemme tidspunktet ved: Dvs. at efter 8,5 uger er populationen oppe på b) Differentialkvotienten i 10 bestemmes på n'spire ved: Dvs. ' N, hvilket fortæller, at efter 10 uger vokser populationen med 11 individer om ugen.

12 f x 0, 5 x 0,75 x Opgave 11: 3 a) Da grafen ligger over 1. aksen i intervallet, svarer det bestemte integral med grænserne 0 og til arealet under grafen: AM f xdx 0 Dette beregnes på n'spire ved: Dvs. at arealet er 3cm. Opgave 1: a) Hvis man skal kunne teste, om oplevelsen af virkningen af den nye vaccine er uafhængig af dosis, skal nulhypotesen være, at: H0 : Virkningen af den nye vaccine er uafhængig af dosis. b) Der skal altså laves et χ -uafhængighedstest, og derfor oprettes en matrix på n'spire: P-værdien er bestemt til 0,014 = 1,4%, så da 1% p, kan man ikke med et 1%- signifikansniveau forkaste nulhypotesen, dvs. der er ikke signifikant forskel på oplevelsen af virkningen af de forskellige doseringer.

13 f x x x 11x 1 Opgave 13: 3 a) Det er en tredjegradsligning, så den løses med 'solve' på n'spire: Man har altså: f x x x x b) Tangenternes hældninger svarer til differentialkvotienten de pågældende steder, så først bestemmes den afledede funktion: f ' x 3x 4x 11 Da hældningen for de to tangenter skal være 9, har man: 9 3x 4x x 4x 0 Denne ligning løses på n'spire: Dvs. at førstekoordinaten for A er x og for B er den 10 x. 3 Man kunne også have bedt n'spire om at udregne det hele fra start ved:

14 14. august 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x på den ene side af lighedstegnet: 3x 6 x1 3x x1 6 5x 5 x 1 f x 3x 6x 1 Opgave : Koordinatsættet for parablens toppunkt bestemmes ved først at finde værdien af diskriminanten og derefter anvende toppunktsformlen: d b ac b d T ; T ; T ; T 1;9 a 4a Opgave 3: Da omsætningen forventes at øges med en fast procentdel, er der tale om eksponentiel vækst. Tiden t angiver antal år efter 013 og O angiver omsætningen målt i millioner kr. Dermed er begyndelsesværdien 5 og vækstraten er 5% 0,05, dvs. fremskrivningsfaktoren er a1 r1 0,05 1,05. Så udtrykket bliver: Ot 5 1,05 t f x 5x 9x 7x 40 Opgave 4: 3 Den afledede funktion bestemmes ved at differentiere ledvist: f ' x 53x 9x 7 15x 18x 7 Opgave 5: Trekanterne AFG og ABC er ensvinklede, da de begge har en ret vinkel, og da de resterende vinkler dannes af linjen gennem A, C og F og de parallelle linjestykker BC og GA samt AB og FG. Man har FAG ACB og AFG BAC, og da forholdet mellem ensliggende sider er ens og FG DE 8, AB CD 4 og BC AD 3, har man: AG BC FG AB FG 8 AG BC 3 6 AB 4 Dvs. DG AD AG Det samlede areal af de to rektangler er dermed: A A A AD CD ED DG samlet lille stor

15 Opgave 6: px 3x 5x 7 Udtrykket skal omskrives til formen px ax bx c, hvilket sker ved at gange parenteserne sammen og efterfølgende gange 3 ind i den nye parentes: p x 3 x 7x 5x 35 3 x 1x 35 3x 36x 105 Dvs. at : a 3 b 36 c 105

16

17 Opgave 7: a) Modellen er lineær, da forskriften er 14. august 014: Delprøven MED hjælpemidler f x a x b, og da antallet af år er angivet i antal år efter 1994, indtastes følgende tabel under 'Lister og regneark' på n'spire, hvorefter der laves lineær regression: Da n'spire har anvendt m i stedet for a, har man: a 9, og b 118,938 b) År 007 svarer til x = 13, og da funktionen er gemt som f1(x), indtastes følgende på n'spire: Da antallet af passagerer er målt i millioner, var ifølge modellen det årlige antal passagerer i ,9 millioner

18 Opgave 8: a) De kumulerede frekvenser beregnes ved at addere frekvenserne for alle intervallerne op til og med det givne interval: Eksempel for intervallet ]30;60]: Kumuleret frekvens = 18% + 55% + 4% = 97%. Dette giver skemaet: Gennemsnitlig ventetid (målt i dage) ]0;1] ]1;30] ]30;60] ]60;10] Kumuleret frekvens for andel af kommuner. 18% 73% 97% 100% Højre intervalendepunkt anvendes på førsteaksen og den kumulerede frekvens afsættes op ad andenaksen, når man tegner en sumkurve: b) Kvartilsættet aflæses ud fra de kumulerede frekvenser 0,5 (5%), 0,50 (50%) og 0,75 (75%). På figuren ovenfor er kvartilsættet aflæst/udregnet til: Nedre kvartil: 5 Median: 18 Øvre kvartil:33 For at bestemme den andel af kommuner, hvor den gennemsnitlige ventetid er på højst 45 dage, skal man gå op til grafen fra 45 på førsteaksen og aflæse den tilsvarende værdi på andenaksen. Dette kan også gøres i Maple ved: Dvs. at 85% af kommunerne har en gennemsnitlig ventetid på højst 45 dage.

19 N t a Opgave 9: 17,5 t a) Da halveringstiden er angivet i år og tiden også måles i år, kan man bestemme a ved: 1 ln T½ ln a 1 ln 30,17 ln a Dette udtryk kan løses ved 'solve': Dvs. a 0, b) Først defineres funktionen på n'spire, og derefter anvendes 'solve' til at løse ligningen Nt ( ) 10, da det giver antal år inden man er nede på 10g af stoffet: Dvs. der skal gå 4,4år for at mængden af stoffet er nede på 10g. c) Først udregnes, hvor mange gram der er tilbage efter 50 år, ved at finde n(50), og derefter divideres dette tal med 17,5, da tallet 17,5 er begyndelsesværdien for den eksponentielle udvikling: Dvs. efter 50 år er der 31,7% af stoffet tilbage.

20 Opgave 10: a) Afstanden fra kysten til skibet kan bestemmes ved at finde enten BD eller CE. Her vælges den første, så man skal ende med a finde afstanden ved hjælp af ABD. For at kunne bruge denne trekant, skal man imidlertid kende AB, så den skal først bestemmes ved at kigge på ABC. Da containerskibet sejler parallelt med kysten, er ABC CAD 46,5, og sinusrelationerne giver så: AB BC sin BCA sin BAC BC 398m AB sin BCA sin 46,5 511, m sin BAC sin 53,1 46,5 Da trekant ABD er retvinklet har man: dist BD sin BAD AB sin 53,1 511, m 008, m 009m skibkyst Man kunne godt have udregnet det på én gang, hvis man f.eks. sætter x udtrykkene: dist BD AD tan BAD xtan 53,1 dist CE AE tan CAE x 398 tan 46,5 Dette er to ligninger med to ubekendte, der løses med 'solve' på n'spire: AD og så opskriver

21 0 Opgave 11: f x ln x ; x 0 ; P1, f 1 x a) For at kunne bestemme ligningen for en tangent, skal man kende røringspunktets koordinatsæt samt tangentens hældning. Først bestemme røringspunktets y-værdi: 0 f 1 ln Så bestemmes hældningen ved at udregne differentialkvotienten i 1: 1 0 f ' x x x 1 0 f ' Hermed kan ligningen for tangenten bestemmes: y f x f ' x x x y 0 19 x 1 y 19x 39 Det kunne også have været bestemt ved: b) For at bestemme monotoniforholdene bestemmes først nulpunkterne for den afledede funktion: f ' x 0 0 x 0 x 0 x x x x x Fortegnet for den afledede funktion bestemmes på hver side af dette sted: f ' f ' 100 0,01 0,00 0, Fortegnene for den afledede funktion fortæller os, at: f er aftagende i intervallet ]0,0], og f er voksende i intervallet [0, [.

22 f x x 8 ; g x x 6x Opgave 1: a) Ligningen f x g x løses ved at sætte udtrykkene på højresiden lig hinanden og løse den fremkomne ligning: f x g x x 8 x 6x x 7x 6 0 x x x1 x 6 De to parenteser er dannet ved at finde to tal, hvis sum giver -7 og produktet 6. Man kunne også have anvendt diskriminantmetoden. Funktioner defineres i n'spire, så arealet kan angives under 'grafer': Området M er det mørke område, og en tilnærmet værdi til arealet er bestemt ved 'Undersøg grafer' og 'Areal af område'. b) Man ved fra a), at graferne skærer, hvor x=1 og x=6, og i området mellem disse værdier ligger grafen for g over grafen for f, så arealet af M kan bestemmes ved: 15 Dvs. at AM 6

23 Opgave 13: a) Hegnet skal på figuren dække to vandrette linjer og en lodret, og den samlede længde bliver: l x y x 1 x y 1 Udendørsarealet består af et stort rektangel fratrukket et lille rektangel (hundehuset), så man har: A A A x y 11, x y 1, stort rektangel hundehus b) Da der er 10m hegn til rådighed, giver udtrykket for længden at: 10 x y 1 y x 11 Arealet som funktion af x bliver hermed: A x x x 11 1, x 11x 1, Grafen for denne funktion er en parabel med benene nedad, så den største værdi for arealet fås i toppunktet: b xmax xtoppunkt,75 a 4

24 5. december 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem ensliggende sider konstant, så man har: AC AB AB AC DF DF DE DE 5 1 AC x Opgave : f x b a Grafen går gennem punkterne (0,4) og (3,3). Da det ene punkt har førstekoordinaten 0, kan man aflæse begyndelsesværdien b som andenkoordinaten for dette punkt, dvs. b 4. Dette indsættes sammen med det andet punkts koordinater i forskriften for at bestemme a a a 8 a 8 4 Dvs. forskriften er f x 4 x Opgave 3: Udtrykket reduceres ved at anvende første kvadratsætning på første led og gange ind i parentes i andet led: a b b ab a b ab b ab a 3b Opgave 4: Antallet af kasser betegnes med x. Den samlede vægt målt i kg betegnes med V. Da den samlede vægt øges med en fast størrelse (45kg) for hver kasse, er det en lineær sammenhæng, og begyndelsesværdien er 600, da traileren har egenvægten 600kg. Dvs. modellen bliver: V x x

25 f x x 6 x Opgave 5: Koordinatsættet til parablens toppunkt beregnes efter først af have fundet diskriminanten: d b ac b d T ; T ; T ; T 3, 9 a 4a Da koefficienten til andengradsleddet er positiv (a=1), vender grenene opad. For at kunne tegne parablen er det en god idé udover at kende toppunktet også at kende nulpunkterne, så disse bestemmes: f x x 6x x x 6 0 x 0 x 6 Parablen går altså gennem punkterne (0,0), (3,-9) og (6,0). Ud fra disse tre punkter tegnes parablen: Opgave 6: Der hvor funktionerne svarende til graferne B og C har ekstremumssteder, er der ingen af graferne, der skærer x-aksen, og derfor kan ingen af graferne B og C svare til funktionen f x, da den afledede funktion f ' x i så fald skulle have nulpunkt her. Altså hører grafen A til funktionen f På det midterste stykke, hvor f x x er voksende (ses på grafen A), ligger grafen C over x-aksen, mens grafen B ligger under x-aksen. f ' x skal være positiv på dette stykke, dvs: Grafen B hører til f '(x) Dermed gælder, at Grafen C hører til g(x)

26 f t b a Opgave 7: t 5. december 014: Delprøven MED hjælpemidler a) Den uafhængige variabel står som eksponent i potensen, så modellen er en eksponentiel udvikling. Det bemærkes, at t er antal år EFTER 007. n'spire anvendes til regression: Værdierne indlæses under 'Lister og regneark', og der vælges 'Statistik' -->'Statistiske beregninger' --> 'Eksponentiel regression': Da n'spire bytter rundt på a og b, har man: a 0, og b 457, b) Det er en eksponentiel udvikling, så a er fremskrivningsfaktoren. Vækstraten r beregnes ved: r a1 0, , ,97831% Dvs. at ølforbruget i Danmark i perioden efter 007 er faldet med 5% om året. c) Da man kender fremskrivningsfaktoren, kan halveringstiden beregnes: 1 1 ln ln T½ 13, ln a ln(0, ) Dvs. at der går 13,6 år, før ølforbruget er halveret.

27 f x 3x 3x x 1 Opgave 8: 3 a) Funktionens nulpunkter bestemmes med 'solve' på n'spire: Dvs. funktionens nulpunkter er x 0,57735 x 0,57735 x 1 b) Tangentligningen kan bestemmes, når man kender røringspunktets koordinater samt tangenthældningen: Så tangentens ligning bliver: y y a x x 0 0 y 11 3 x y 3 x 35 Dette kunne også være fundet ved:

28 6400 x Opgave 9: f x 350 x 1000 ; 0 x 10 x 1 a) Grafen tegnes på n'spire i det pågældende interval: Hvis der ikke tilføres kunstgødning, har man: f Dvs. at fortjenesten er 1000 kr. pr. hektar. b) Det er oplyst, at der netop er én vandret tangent i intervallet, så det ses på grafen, at det er det sted, hvor der er maksimum. Det kan bestemmes ved at finde det sted, hvor den afledede funktion er 0: Kun den positive løsning ligger i intervallet, og ud fra informationen i opgaveteksten behøver man ikke at vise, at det er et maksimumssted. Funktionsværdien bestemmes: Dvs. P,3517; 4997, hvilket fortæller, at den maksimale fortjeneste er 4997kr. pr. hektar, og den opnås med gødningsmængden,35 tons pr. hektar.

29 Opgave 10: Det er tale om et -GOF-test, da man skal sammenligne en observeret fordeling med en forventet/kendt fordeling. a) Nulhypotesen er, at aldersfordelingen i stikprøven er den samme som aldersfordelingen i populationen (og dermed at stikprøven er repræsentativ for populationen). Da stikprøven indeholder 479 individer, omregnes procentdelene fra populationen til en forventet tabel i n spire ved: Dvs. den forventede tabel er: Alder Antal b) Den forventede tabel sammenlignes med den observerede tabel i et -GOF-test. Under Lister og regneark indskrives de to tabeller, og da der er 5 frihedsgrader, fordi man ved at kende 5 af antallene ville kunne beregne det sjette og sidste antal ud fra informationen om 479 individer, får man følgende: x Opgave 11: Da p-værdien 0,1497 er større end signifikansniveauet på 0,05 14,97% 5%, kan nulhypotesen IKKE forkastes. Der er altså ikke signifikant forskel på fordelingen i stikprøven og populationen. f x g x 1,5 x 1 a) Ligningen løses på n'spire: Dvs. at f x g x x 0 x b) Da grafen for g ligger over grafen for f i intervallet, kan arealet af M så bestemmes ved: Dvs. AM 0, 6719

30 Opgave 1: BC 4 AB BE 6 AD 3 a) Trekant ABC er retvinklet, og med udgangspunkt i vinkel B kendes den hosliggende katete og hypotenusen, så det er cosinus, der skal anvendes: BC cos ABC AB ABC cos 48, Da trekant ABC er retvinklet, kan den manglende katete udregnes med Pythagoras: AC BC AB AC AB BC b) Vinkel B i trekant ABD kan bestemmes ved først at finde vinkel B i trekant BCD, der er retvinklet: CD AD AC tan CBD BC BC Dvs. ABD CBD ABC 61, , =13, CBD tan 61, Så kan længden af AE bestemmes med cosinusrelationerne: EA AB BE AB BE cos ABE EA cos(13, ) 1,

31 1 Opgave 13: V l x O 3 5 xl x 1 0 Da rumfanget er 10, har man 10 0 l x l x l x Dette udtryk indsættes i udtrykket for overfladearealet: 0 0 Ox 3 5 x x 3 5 x x x På n'spire findes det sted, hvor den afledede funktion giver 0, og det undersøges hvad fortegnet er for den anden afledede dette sted: Da den anden afledede er positiv det sted, hvor den afledede funktion giver 0, er dette sted et lokalt minimumssted, så x,969dm er den x-værdi, der giver det mindste overfladeareal.

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven 2014-0522 1stx141-MAT-B - eksemplarisk besvarelse Bemærk, at i opgaverne uden hjælpemidler er Maple blot benyttet som tekstbehandling. Til eksamen skal besvarelsen laves med papir og blyant. Opgavetksten

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2011-2012

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2011-2012 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 011-01 18. maj 011: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 5x 11 19x 17 1117 19x 5x 8 14x x Opgave : T K T K KT T K T K KT KT T Parentesen er udregnet ved hjælp

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2011 18. maj 2011: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2011 18. maj 2011: Delprøven UDEN hjælpemidler Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 011 18. maj 011: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: x x1 0 Dette er en andengradsligning, der kan løses enten ved diskriminantmetoden eller ved at finde to

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren Matematik B, 5 december 2014 Løses af www.matematikhfsvar.page.tl NB: Når du læser løsningerne, så satser vi på du selv sidder med sættet. Figurer mv. bliver ikke indsat. Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2013 Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Quizspillene ASHRAM, MIR og SPORTSNØRD Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 013 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Udtrykket reduceres

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 : Eksemplarisk løsning af eksamensopgave Nedenstående opgaver er delprøven med hjælpemidler fra Matematik B eksamen d. 22 maj 2014 restart with Gym : Opgave 7 a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

navn: dato: fag: Matematik hold: 2dMa modtaget af: ark nr: 1 af i alt 12 ark

navn: dato: fag: Matematik hold: 2dMa modtaget af: ark nr: 1 af i alt 12 ark ark nr: af i alt ark Opgave En lineær funktion f opfylder at dens graf går gennem A(3,7) og B(9,5) Vi finder hældningen a af grafen a = y - y 5-7 8 = = = 3 x - x 9-3 6 Forskriften for f kan nu bestemmes

Læs mere

LØSNING TIL Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 STX-B-niveau (Gul bog)

LØSNING TIL Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 STX-B-niveau (Gul bog) Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Quizspillene ASHRAM, MIR og SPORTSNØRD LØSNING TIL Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 00 STX-B-niveau (Gul bog).00: Da

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl stx141-MAT/B

Matematik B. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl stx141-MAT/B Matematik B Studentereksamen 2stx141-MAT/B-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Løsninger til Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 STX A-niveau (Rød bog)

Løsninger til Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 STX A-niveau (Rød bog) Løsninger til Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik STX A-niveau (Rød bog).: C(,-) r = Cirklens ligning er: y Koordinatsystemets andenakse har =, og det bruges til at finde

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl stx141-MAT/B

Matematik B. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl stx141-MAT/B Matematik B Studentereksamen 1stx141-MAT/B-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1 Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1, maj 2008 Følgende opgaver i delprøve 1 er løst i hånden, hvorefter det er skrevet ind i Word, så det er lettere at læse og evt. kommentere på udregningerne.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A-24052016 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 009 009-8- MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Mandag den 11. maj 009 kl. 9.00-10.00 BESVARELSEN AFLEVERES KL. 10.00 Der tildeles

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen stx123-mat/b-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Opgaver til anden delprøve matematik B

Opgaver til anden delprøve matematik B 1 Opgaver til anden delprøve matematik B Dette dokument omhandler anden delprøve, den med CAS - hjælpemiddel. Dette afsnit bygger på lærerplanen og vejledningen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaver

Læs mere

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX Anders Jørgensen & Mark Kddafi 2016 matematikhfsvar.page.tl 8. august 2016 15. august 2016 Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK

Læs mere

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010

MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 2016 MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 Dette

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Delprøven uden hlælpemidler

Delprøven uden hlælpemidler Matematik B - Juni 2014 Af hensyn til CAS-programmet er der anvendt punktum som decimaltegn. Delprøven uden hlælpemidler Opgave 1 AB=8, A1B=12, AC=10 Opgave 2 Hvor y er salget af øko. fødevarer i mio.

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Matematik Niveau B Prøveform b

Matematik Niveau B Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b Torsdag den 15. maj 2014 Kl. 09.00-13.00 GL141 - MAB - NY 1 GUX matematik B sommer 2014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX152 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX152 - MAB GUX Matematik B-Niveau August 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX152 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Facitliste til eksamensopgaver hf-tilvalgsfag 1999-2005

Facitliste til eksamensopgaver hf-tilvalgsfag 1999-2005 Facitliste til eksamensopgaver hf-tilvalgsfag 1999-005 99-8-1 C = (,-) radius = 7 f (x) = 6x + 4x 5 + y = x + : dist(t, ) = 1,0607 A(1,) og B(5,-1) M AB = (,1) m: y = x 1 x Redegørelse! f(x) = 70,74 x

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår efterår 16, eksamen december 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik B Anne Blom 2f Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Intro:

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a-605010 Onsdag den 6 maj 010 kl 0900-1400 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen. Fredag den 22. maj 2015 kl stx151-MAT/B

Matematik B. Studentereksamen. Fredag den 22. maj 2015 kl stx151-MAT/B Matematik B Studentereksamen 1stx151-MAT/B-22052015 Fredag den 22. maj 2015 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe

Læs mere

gl. Matematik B Studentereksamen

gl. Matematik B Studentereksamen gl. Matematik B Studentereksamen gl-stx123-mat/b-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat. Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Jeg vil nu finde ud af hvor stort et beløb der står på kontoen efter 1 år med en starts

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Håndbog i skriftlig matematik stx B-niveau

Håndbog i skriftlig matematik stx B-niveau Håndbog i skriftlig matematik stx B-niveau Gode råd til elever der arbejder med skriftlig matematik stxb Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender sig til elever der arbejder med skriftlig

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Det antages, at der ikke også opstår pengeinstitutter efter 2001, dvs. antallet af pengeinstitutter falder

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

MAT B GSK december 2009 delprøven uden hjælpemidler

MAT B GSK december 2009 delprøven uden hjælpemidler MAT B GSK december 009 delprøven uden hjælpemidler Opg Sumkurven for alderen i måneder på en HHX-klasses mobiltelefoner. 90%-fraktilen er 0, måneder a) Giv en fortolkning af 90%-fraktilen og bestem kvartilsættet..

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 24. maj 2016 kl stx161-MAT/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 24. maj 2016 kl stx161-MAT/A Matematik A Studentereksamen 1stx161-MAT/A-24052016 Tirsdag den 24. maj 2016 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b August 014 GUX matematik B august 014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2 GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere