Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo"

Transkript

1 SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den indledende består af opgaver beregnet til diskussion i kursets første uge. Herefter følger del 1, der omhandler vektorer i planen, del 2, der supplerer opgaverne fra lærebogen VR, Vektorer og rumgeometri, og del 3, der supplerer opgaverne fra lærebogen ID, Integralregning og differentialligninger. 0. Opgaver til første uge. Opgave 0.1. Hvad betyder det, at en funktion er differentiabel? Hvordan lyder en eksakt definition på differentiabilitet? Hvad er betydningen af følgende begreber: differenskvotient? differentialkvotient? afledet funktion? Hvilke tolkninger kender du af differentialkvotienten for en funktion? Lav en tegning, der illustrerer forskellen mellem differenskvotient og differetialkvotient. Kender du regnereglerne for at differentiere: en konstant funktion? en sum? en differens? et produkt? en kvotient? en sammensat funktion? en omvendt (invers funktion? Differentialkvotienten for en funktion i tallet x betegnes bl.a. f (x. Hvilke andre betegnelser kender du for differentialkvotienten (eller for den afledede funktion. Bestem de afledede funktioner af følgende funktioner, ax + b, x n, sin x, cos x, tan x, ln x, e x. Opgave 0.2. En funktion f er givet ved f (t = e t e 2t ; t 0. Undersøg f og dens graf med hensyn til monotoniforhold, ekstrema og asymptoter. Vis, at t = 0 er eneste nulpunkt for f. Tegn grafen for f i et koordinatsystem, hvor enheden på x-aksen (førsteaksen er 1 cm (1 cm = 1 og enheden på y-aksen (andenaksen er 10 cm (1 cm = 0,1. c:\notes\matgeo\00\opg.tex

2 SO 2 Opgave 0.3. f (x, når Brug regnereglerne for differentiation til at bestemme den afledede funktion (a f (x = 1 16 x16, (b f (x = e x sin x, (c f (x = cos x ln x, (d f (x = x3 + 2x 2 1 2x + 1 (e f (x = exp(2x 2 4x + 3, (f f (x = exp(g(x, hvor g(x er en differentiabel funktion., Opgave 0.4. Der er givet funktionen f (x = e 3x 2e x ; x. Bestem det approksimerende førstegradspolynomium (spørgsmål: Hvad er det? i punktet (0, f (0. Opgave 0.5. Undersøg og tegn grafen for funktionen f (x = exp( x 2 + 2x + 1. Opgave 0.6. Fra gymnasiet kendes logaritmefunktionerne log x og ln x. Funktionen ln er den såkaldt naturlige logaritme, mens log er logaritmefunktionen med grundtal 10. Det er den sidste funktion (der også kaldes 10-talslogaritmen, vi skal beskæftige os med her. Funktionen log x er defineret for positive værdier af x, og værdimængden er alle reelle tal. Videre er log(a b = log a + log b, log(10 = 1. Den første ligning gælder for alle logaritmefunktioner, den sidste er speciel for 10-talslogaritmen. Man kan vise, at der yderligere gælder følgende regneregler: log 1 = 0, log(a 1 a 2 a n = log a 1 + log a log a n, log(a/b = log a log b, log(a x = x log a, log( n a = n 1 log a. Logaritmefunktionen log blev oprindeligt opfundet/opdaget som et regneteknisk hjælpemiddel, og bevarede i mange sammenhænge denne position indtil ca. midten af 1970 erne, hvor

3 SO 3 fremkomsten af lommeregnere og udbredelsen af datamater slog den ud. Forskellige logaritmefunktioner har imidlertid stadig kolossal betydning. I vil møde log i f.eks. kemien, (hvor den bl.a. bruges ved definitionen af ph-værdien for en væske, og I vil møde den naturlige logaritme ln senere på efteråret i forbindelse med integralregningen. Begge funktioner har omvendte (inverse funktioner, som er eksponentialfunktioner. Den omvendte til log x er 10 x, og den omvendte til ln x er e x. Og så til selve opgaven: Med 2 decimalers nøjagtighed gælder om 10-talslogaritmen, at log 2 = 0, 30, log 3 = 0, 48. Desuden gælder (som nævnt log 10 = 1. Brug regnereglerne for logaritmefunktioner til udfra disse værdier at udregne: log 4, log 5, log 6, log 9, log 15, log(3/2, log 100, log(150, log(1500, log(0, 75, log(2, 25, log(1/2, log 2. Opgave 0.7. Løs ligningerne log(3x = 0, 4711, log x = 0, 1448, log(2x + 1 = 3, Opgave 0.8. Løs ligningen log x 2 log(x 3 = 7 log 2 log 8. Opgave 0.9. Løs ligningerne 4, 1 x = 12, 47, 2, 7 1, 57 x = 7, 92, 6, 2 3, 4 x = 2, 8 1, 2 x, 3, 7 2x 9 3, 7 x + 14 = 0. Opgave Løs ligningssystemet 2 x 3 y = 72, 3 x 2 y = 108. Opgave Brug potensregnereglerne til at udregne følgende tal. Check evt. med lommeregneren. Hvad er nemmest? , , , , ( 4 1 ( 5 1 ( ,

4 SO 4 Opgave Reducér udtrykket (a 2 3 a a 2 a 3 (a 2 3 a 2 a 3 (a 3 2 a 2 /a 3. Opgave Reducér udtrykket ( (abn a p q b n (a/b n (a p q a n. Opgave Reducer udtrykket ( a b ( b 2 a ( a 3 b ( b 2n. a Opgave Fire tal, a, b, c og d, er forbundet ved ligningen a b = c d. Isolér hvert af de fire tal a, b, c, d (dvs omskriv ligningen, så hhv. a, b, c, og d kommer til at stå alene på den ene side af lighedstegnet. Opgave Fem tal, a, b, c, d og e, er forbundet ved ligningen a = b + log(c/d e. Isolér hvert af tallene b, c, d og e. Opgave Løs ligningen log(log 10x + log(log x 5 = 1.

5 SO 5 1. Supplerende opgaver om vektorer i planen. Opgave 1.1. a + b + c. Nedenfor er tegnet vektorerne a, b og c. Tegn vektorerne a + b, a + c, b + c, a c b Indtegn summen af de nedenfor tegnede vektorer (afsat med samme begyn- a b a b a b Betragt igen vektorerne fra opgave 1. Indtegn vektorerne Opgave 1.2. delsespunkt. Opgave 1.3. a b, b c, a + b c, a b + c. Opgave 1.4. Tegn følgende vektorer ud fra vektorerne a, b og c i opgave 1: 2 a b + 3 c, 2 b 3 a 2 c, a + 2( b c, 4( 1 2 a + b 1 4 c 2( a b 1 2 c. Opgave 1.5. Der er givet følgende to parallelle vektorer a og b. Bestem ved måling med en lineal et tal k 1 således, at a = k 1 b og et tal k 2 således, at b = k 2 a. a b Opgave 1.6. Tre vektorer a, b og c er tegnet herunder: a b c Opgaven går ud på ved konstruktion at opløse c efter a og b, dvs at konstruere to vektorer a 1 og b 1 således, at a 1 er parallel med a, b 1 er parallel med b og c = a 1 + b 1. Opløs derefter b efter a og c, samt a efter b og c.

6 SO 6 Opgave 1.7. Tegn på et stykke kvadreret papir vektorerne a, b og c med koordinaterne Find koordinaterne for følgende vektorer: a = (2, 1, b = ( 3, 1, c = (16, 2. a + b + c, a + b c, 3 a b + 2 c, 4 a + 3 b c. Bestem tal x, y således, at c = x a + y b. (Bemærk, at dette svarer til at opløse c efter a og b, jfr sætningen side VR15. Opgave 1.8. Der er givet punkterne A = (1, 3, B = (5, 6, C = (6, 1, og D = ( 1, 2. Find koordinaterne til AB, BC, CD og DA, og vis, at AB + BC + CD + DA = 0. Opgave 1.9. I parallelogrammet ABCD er A = ( 2, 2, B = ( 1, 3 og D = (5, 1. Tegn en skitse, og find ved beregning koordinaterne til C. Opgave I parallelogrammet ABCD er A = (3, 2, B = (5, 5 og AC = (8, 2. Find koordinaterne til hjørnerne C og D. Tegn parallelogrammet. Opgave Find længden af følgende vektorer: a = (3, 4, b = (2, 1, c = ( 4, 6, d = ( 8, 6, e = (2 2, 3, f = ( 4 5, 3 5, g = (1, 1, h = ( 5, 0. Opgave Ofte er det bekvemt at kunne bestemme en enhedsvektor e parallel med en given vektor a. Dette lader sig gøre ved at dividere a med sin egen længde a (derved bliver enhedsvektoren e ensrettet med a eller med a (hvorved e bliver modsat rettet a. Bestem enhedsvektorer, der har samme retning som følgende vektorer: a = ( 3, 4, b = (3, 1, c = ( 2, 3, og bestem enhedsvektorer, der har retning modsat af følgende vektorer: d = (11, 2, f = ( 5, 12, g = (2, 4.

7 SO 7 Opgave Givet vektorerne a = ( 3, 1 og b = (2, 3. Bestem en enhedsvektorer, som er ensrettede med a og b. Bestem en vektor som er ensrettet med a og har længden 8. Bestem en vektor, som modsat rettet af b og har længden Opgave I parallelogrammet ABCD er (1 A = ( 2, 1, (2 AB er ensrettet med v = (1, 1 og har længden 4 2, (3 BC er ensrettet med u = (3, 1 og har længden Find koordinaterne til punkterne B, C og D. Tegn parallelogrammet. Opgave Hvor mange vetorer er der repræsentanter for på denne figur? Opgave Lad A og B være to forskellige punkter. Beskriv mængder af de punkter P for hvilke: (1 AP er parallel med BP. (2 AP og BP er ensrettede. (3 AP er vinkelret på BP. (4 AP er lig med P B. (5 AP er lig med BP. (6 AP er lig med BP. (7 AP er en enhedsvektor. (8 Vinklen mellem AB og AP er 45. Opgave Givet en vinkel med toppunkt T og punkterne A og B på hvert ben: B Konstruér punktet P således, at T P = T A + T B. T A Opgave I et parallelogram tegnes 8 vektorer ud fra diagonalernes skæringspunkt: b a Udtryk de andre vektorer ved vektorerne a og b. Opgave Der er givet vektorerne a = (4, 3, b = ( 1, 3 og c = (2, 1. Bestem de skalære produkter a b, a c og b c. Bestem vektorerne ( a b c, ( b c a samt ( a b a +( b c c.

8 SO 8 Opgave vinkelret på a: Givet vektoren a = (2, 4. Afgør hvilke af følgende vektorer, der står b = ( 6, 4, c = ( 2, 1, d = ( 3, 1, e = (5, 2, f = (16, 8, g = ( 15, 8. Opgave For ethvert reelt tal k er der ved a = (k, 2 og b = (3, 2k 14 bestemt to vektorer a og b. Find a b udtrykt ved k. Find de værdier af k for hvilke a b = 0. Opgave er a b? Givet vektorerne a = (2k 1, k og b = (k, k + 4. For hvilke værdier af k Opgave Tre punkter A, B og C er givet ved deres koordinater. Afgør om trekant ABC er retvinklet, når 1 A = (1, 1, B = (9, 1, C = (5, 7, 2 A = ( 8, 11, B = ( 1, 2, C = (9, 3, 3 A = ( 4, 3, B = ( 1, 4, C = (1, 11, 4 A = (2, 4, B = (4, 6, C = ( 11, 9. Opgave Find koordinaterne til tværvektorerne til for følgende vektorer: a = (5, 4, b = (2, 7, c = ( 3, 5, d = ( 1, 2. Tegn i hvert tilfælde vektoren og dens tværvektor. Opgave Givet vektorerne a = (2, 1 og b = ( 7, 7/2. Find â. Find â b. Hvad kan man sige om retningerne af a og b på grundlag af værdien af â b? Opgave Bestem de værdier af a, for hvilke vektorerne a = (a+4, a og b = (9, 2a 1 er parallelle. Opgave Find ligningen for den rette linie i planen, der er bestemt ved normalvektoren n og punktet P 0, når 1 n = (2, 3, P 0 = (1, 4, 2 n = ( 1, 2, P 0 = ( 3, 1, 3 n = (0, 1, P 0 = (4, 2, 4 n = (2, 5, P 0 = (3. 1, 5 n = ( 1, 7, P 0 = (2, 0.

9 SO 9 Opgave (3, 4. Opgave Find ligningen for linien med hældningsvektoren (2, 1 gennem punktet Trekant ABC er bestemt ved A = ( 1, 2, B = (1, 6, C = (4, 4. Find ligningerne for de linier, der indeholder trekantens sider. Find sidernes længder. Find ligningen for den linie, der går gennem B og står vinkelret på linien gennem A og C. Find denne linies skæringspunkt P med linien gennem A og C. Find længden af AP. Find sluttelig trekantens areal T (Benyt formlen T = 2 1 hg, hvor h er en højde i trekanten og g er den tilsvarende grundlinie. 2. Supplerende opgaver til VR. Opgave 2.1. Der er givet vektorerne a = ( 2 3 og b = ( 6 8. (1 Bestem koordinaterne til vektoren 4 a 2 b. (2 Bestem tallet a b. (3 Bestem vinklen mellem a og b. (4 Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af a og b. (5 Bestem koordinatsættet til a s projektion på b. Opgave 2.2. Der er givet vektorerne a = ( 2 2, b = ( k ( 5, c = 0 4 og d = ( 3 k. Find de værdier af k, for hvilke a + b er parallel med c + d. Opgave 2.3. I et koordinatsystem i planen er givet punkterne P (3, 4 og Q(5, 1. Trekant ABC er bestemt ved, at A = ( 2, 7 og AB = 2 P Q, BC = P Q + P Q (symbolet P Q står for tværvektoren til P Q. Bestem koordinaterne til B og C. Bestem en parameterfremstilling for den linie, der indeholder punkterne B og C. Opgave 2.4. I rummet er givet et koordinatsystem. Punkterne A og B er bestemt ved koordinatsættene A(1, 2, 2 og B(3, 1, 4. Bestem en parameterfremstilling for linien gennem A og B. Opgave 2.5. I en orienteret plan er der givet en egentlig vektor v. Om en firkant ABCD gælder, at AB = 2 v, BC = 3 v, BD AC, og projektionen af AD på AB er lig med v. Tegn en egentlig vektor v, og tegn ud fra den valgte vektor en skitse af firkant ABCD. Bestem AD og CD udtrykt ved v og v. Bestem gradtallet af vinklen mellem AD og CD.

10 SO 10 Opgave 2.6. I et koordinatsystem er givet punkterne A( 1, 7 og B(2, 6. Videre er D et punkt, om hvilket det gælder, at AD = 3 v, hvor v = AB. Find koordinatsættet for D. En linie l har parameterfremstillingen x = 1 + t, y = 4 + 2t, hvor t betegner et reelt tal. Med P t betegnes det til t hørende punkt på l. Bestem de tal t, om hvilke det gælder, at vinkel BP t D er ret. Opgave 2.7. l : To linier l og m er givet ved parameterfremstillingerne ( x y z = ( t ( 1 2 0, m : ( x y z = ( s ( Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem l og m. Opgave 2.8. Bestem en ligning for den plan π, der indeholder punkterne A(4, 2, 1, B(3, 1, 0 og C(6, 1, 1. En linie l er givet ved parameterfremstillingen l : ( x y z = ( ( t Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem l og π. Opgave 2.9. En kugle har centrum i C( 3, 1, 1 og går gennem P (1, 2, 1. Bestem en ligning for kuglen. Bestem en ligning for tangentplanen til kuglen i P. Opgave l : ( x y z Gør rede for, at de to linier l og m givet ved parameterfremstillingerne = ( t ( 3 2 4, m : ( x y z = ( s ( er vindskæve. Bestem afstanden mellem l og m og bestem vinklen mellem l og m. Opgave En lineær afbildning f er givet ved matrixfremstillingen f ( x = ( 2 1 x, 3 3 og vektoren v er givet ved v = ( 2 7.

11 SO 11 Bestem f ( v. Bestem den vektor u, der opfylder, at f ( u = v. Tegn billedet af et kvadratnet ved afbildningen f. En anden lineær afbildning g er givet ved matrixfremstillingen g( x = ( 1 1 x, 1 1 Gør rede for, at g er bijektiv, og bestem matrixfremstillingen for den omvendte afbildning g 1. Bestem matrixfremstillingen for den sammensatte afbildning g f. Opgave En kurve er givet som graf for vektorfunktionen f (t = ( t 3 t ; t [ 2; 2]. 2t + 1 Bestem kurvens skæringspunkter med koordinatsystemets akser. Bestem de punkter, hvor kurven har lodret tangent. Tegn kurven. Opgave I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b givet ved a = ( 2 1 ( 4 og b =. 3 Bestem arealet af den trekant, der udspændes af a og b. Bestem projektionen af a på b. Opløs vektoren v = ( 14 3 efter a og b. Opgave En lineær afbildning f der givet ved matrixfremstillingen f ( ( ( x 3 1 x =. y 1 3 y Find f ( v, hvor v = ( 2 ( 3. Bestem den vektor u, der opfylder f ( u = Tegn billedet af et kvadratnet afbildet ved f. Gør rede for, at f har en invers afbildning f 1, og bestem matrixfremstillingen for f 1. En anden lineær afbildning g er givet ved matrixfremstillingen ( x g = y ( ( 2 1 x. 4 2 y Bestem matrixfremstillingen for den sammensatte afbildning g f. Opgave En vektorfunktion f er bestemt ved f (t = ( t 3 3t t 2 ; t [2; 2].

12 SO 12 Grafen for f er den kurve, der har parameterfremstillingen ( x(t = y(t ( t 3 3t t 2 ; t [2; 2]. Find parameterværdierne for grafens skæringspunkter med akserne. Bestem disse skæringspunkter, og bestem hastighedsvektorerne i disse punkter. Bestem de punkter, hvori grafen har vandrette eller lodrette tangenter. Tegn grafen. Find parameterværdierne for de punkter på grafen, hvor hastighedsvektoren danner en vinkel på 45 med x-aksen. Opgave I et koordinatsystem i rummet er givet punkterne A(1, 2, 2, B(0, 6, 4 og C(3, 3, 1. Bestem en ligning for den plan α, der indeholder A, B og C. En linie l er bestemt ved parameterfremstillingen ( x y z = ( t ( ; t. Bestem skæringspunktet mellem l og α. Bestem vinklen mellem l og α. Opgave I et koordinatsystem i rummet er en pyramide ABCDE givet ved koordinaterne A(0, 0, 0, B(4, 0, 0, C(4, 4, 0, D(0, 4, 0 og E(2, 2, 8. Bestem alle toplansvinkler i pyramiden. Bestem ligningen for den omskrevne kugle (dvs kuglen, som går gennem de nævnte punkter. 3. Supplerende opgaver til ID. Opgave 3.1. Bestem integralet (x x dx. Bestem tallet 1 x 2 e x dx. 0 Opgave 3.2. Bestem integralerne a (2x 3 4x 3 cos x dx, b c x sin ( x 2 dx. x 2 sin x dx,

13 SO 13 Bestem tallet 10 1 (x + 1 3x 2 + 6x 5 dx. Opgave 3.3. Bestem integralerne (3x 2 + 4x sin x dx og 3x + 1 x 2 x 6 dx. Opgave 3.4. Bestem integralet ( 3x ( 1dx. dx og derefter tallet 1 3x + 1 Opgave 3.5. Bestem integralerne a (x 5 3x 2 + 2x 1 dx, b x + 2 c x 2 + 4x + 5 dx. xe x dx, Bestem tallet π/2 sin 2 (2x + 1 cos(2x + 1 dx. 0 Opgave 3.6. En funktion f er bestemt ved f (x = x 2 2x. Skitser grafen for f i et koordinatsystem. Førsteaksen (x-aksen og grafen for f afgrænser i fjerde kvadrant et område M. Beregn arealet af M. Beregn rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 om x-aksen. Opgave 3.7. En funktion f er bestemt ved f (x = 1 x + x; x > 0. Grafen for f, x-aksen og linierne med ligningerne x = 1 og x = 4 afgrænser en punktmængde M. Beregn arealet af M. Beregn rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 om x-aksen. Opgave 3.8. En funktion f er givet ved f (x = e x + ln x.

14 SO 14 Det oplyses, at grafen for f i intervallet [1; 2] ligger over x-aksen. Grafen for f, x-aksen og linierne med ligningerne x = 1 og x = 2 afgrænser et område M. Beregn arealet af M. En anden funktion g er for x 1 givet ved g(x = x x + 1. Grafen for g, koordinatsystemets akser og linien med ligningen x = 1 afgrænser et område, der drejes 360 om x-aksen. Beregn volumenet af det derved fremkomne omdrejningslegeme. Opgave 3.9. To funktioner f og g er givet ved f (x = x 2 + 8x 13, g(x = x 2 6x + 7. Skitser graferne for f og g i et koordinatsystem. De to grafer afgrænser et områder, der har et areal. Beregn dette areal. Grafen for g, koordinatsystemets akser og linien med ligningen x = 1 afgrænser et område M. Når M drejes 360 om x-aksen fremkommer et omdrejningslegeme. Beregn rumfanget af dette omdrejningslegeme. Opgave Bestem ved dekomposition (dvs ved opskrivning af integranden som sum af partialbrøker integralet: 1 2x 3 x 2 5x + 6 dx. 0 Opgave Bestem tallet 4 3 x 1 x 2 4x + 4 dx. Opgave Løs differentialligningen y + 3xy = x. Bestem den løsning, hvis graf indeholder punktet P (0, 4. Opgave Bestem den fuldstændige løsning til hver af differentialligningerne a y xy = 0, b y 3y = 2. Opgave Bestem den løsning til differentialligningen y 3y = x + 2, som opfylder y(0 = 1.

15 SO 15 Opgave Løs enhver af ligningerne a y + y = t + 1, b y + y = cos t, c y + y = e t, d y + y = e t. Opgave Løs for t 0 ligningen ty + y = 4t 3. Er de fundne løsninger gyldige også for t = 0? Opgave Løs ligningen y + 1 x + 2 y = 4. Opgave Løs differentialligningen y + (tan xy = 2 sin x, for π 2 < x < π 2. Opgave Løs ligningen (2 + sin xy + (cos xy = sin 2 x. [Vink: sin 2 x dx = 1 2 x 1 4 sin 2x.] Bestem den løsning, som opfylder y( π 2 = 1. Ekstraopgave til de ivrige: Bevis vinket! [Vink: Brug bl.a. formlen 2 cos x sin x = sin 2x.] Opgave Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen y 3y + 2y = 0. Bestem endvidere den løsning, der indeholder linieelementet (0, 3, 4, dvs opfylder y(0 = 3 og y (0 = 4. Opgave Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 4y + 4y = 0. Opgave Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen 2y 6y + 5y = 0.

16 SO 16 Opgave Vis, at funktionen f (x = 3x 2 + x + 19 er løsning til differentialligningen 2y + 5y 3y = 9x 2 33x 64. Bestem derefter den fuldstændige løsning til denne ligning. Opgave Vis, at funktionen f (x = cos x + 3 sin x er løsning til differentialligningen y 3y + 9y = cos x + 27 sin x. (* Bestem den fuldstændige løsning til (*. Bestem de løsningskurver til (*, der går gennem koordinatsystemets begyndelsespunkt. Bestem den løsning, hvis graf går gennem koordinatsystemets begyndelsespunkt, og som opfylder y (0 = 3. Opgave Løs differentialligningen y y 2y = 0. [Vink: Sæt z := y. Bestem først z og dernæst y.] Opgave Find den fuldstændige løsning til hver af differentialligningerne a y + 3y 4y = 0, b y + 10y y = 0. Opgave Løs hver af differentialligningerne a y = 4y, b y = 4y. Opgave Bestem konstanten a således, at funktionen f (x = ae x er løsning til differentialligningen y + 4y = e x. Løs derefter ligningen. [Vink: Brug resultatet fra opgave 27b.] Opgave Bestem tallene a, b og c således, at andengradspolynomiet ax 2 + bx + c er løsning til ligningen y 4y = 8x 2 2x. Bestem derefter den fuldstændige løsning. [Vink: Brug opgave 27a.] Opgave Find den løsning til differentialligningen y 2y + y = x,

17 SO 17 der opfylder y(0 = 1 og y (0 = 0. Opgave Find den løsning y(t til differentialligningen y (t + 4y(t = 1 + t 2, der opfylder begyndelsesbetingelserne y(0 = 1 og y (0 = 2. Opgave Løs differentialligningen dy dx = 2xy2 + 3x 2 y 2. Bestem specielt den løsning, der opfylder y(1 = 1. Opgave Bestem for x > 2 den løsning til differentialligningen y + 1 x + 2 y = 3x 2 som opfylder y(2 = 3. Opgave Bestem tallene a og b således, at funktionen h(x = a cos x + b sin x er løsning til differentialligningen y + 6y + 9y = 20 cos x + 10 sin x. Bestem herefter den fuldstændige løsning til denne ligning. Opgave Løs differentialligningen dy dx = 2xy. Bestem den løsning, hvis graf går gennem punktet P (1, 2. Bestem den løsning, hvis graf går gennem punktet Q(1, 0. Bestem den løsning, hvis graf går gennem punktet R(1, 2. Opgave Løs differentialligningen dy dx = 2x 4 e y. Bestem den løsning y = f (x, som opfylder f (2 = 0.

18 SO 18 Opgave Løs for x > 1 differentialligningen y + 1 y = sin x. x + 1 Opgave Løs differentialligningen y + 3y 4y = 0. Bestem derefter den fuldstændige løsning til ligningen y + 3y 4y = 7 cos x 11 sin x. Opgave Bestem tallene a, b og c således, at funktionen f (x = ax 2 + bx + c er løsning til differentialligningen y + 2y + 3y = 6x x + 3. Bestem den fuldstændige løsning til denne differentialligning. Opgave Løs differentialligningen y + 2xy = x. Bestem den løsningskurve, der går gennem (0, 3. Opgave Find den fuldstændige løsning til differentialligningen dy dx = y cos x. Bestem den løsning, som opfylder y(0 = 1. Bestem den løsning, som opfylder y(0 = 0. Bestem den løsning, som opfylder y( π 2 = 2. Opgave Løs differentialligningen 2y + 5y 3y = 0. Bestem et andengradspolynomium, som er løsning til differentialligningen 2y + 5y 3y = 3x 2 + 4x Bestem den fuldstændige løsning til den sidste differentialligning.

19 SO 19 Opgave Find den løsning til differentialligningen dy dx = y cos x, hvis graf går gennem punktet (0, 1. Opgave Løs differentialligningen y + 2x x y = x + 2. Opgave Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen dy dx = 2x(y 1. Bestem derefter den løsning, hvis graf indeholder punktet P (1, 2e. Opgave Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen dy dx = xy2. Bestem den løsning f, der opfylder f (0 = 1. Angiv definitionsmængdenfor f. Bestem den løsning g, der opfylder g(0 = 1. Angiv definitionsmængden for g. Opgave En funktion f af to variable x og y er givet ved f (x, y = 3xy 2 + x 3 y 3x 2 + 2y Bestem f/ x og f/ y. Opgave En funktion f af to variable x og y er givet ved f (x, y = 3x 2 4xy + 4y 2 8y. Bestem f/ x og f/ y. Bestem de stationære punkter for f. Opgave Find de partielle afledede af følgende funktioner f (x, y = 3x 2 + 2xy + y 2, f (x, y = x2 sin y + k cos y, f (x 1, x 2,..., x n = (x 1 a (x 2 a (x n a n 2

20 SO 20 Opgave Bestem ( e λx cos(ωt t 0 og t ( x sin(ωt. x Opgave Find de stationære punkter for funktionen f (x, y = 2xy x 4 y 2 ; (x, y 2. Opgave Find de partielle afledede af følgende funktioner f (x, y = x 4 x 3 y + x 2 y 2 xy 3 + y 4, f (x, y = x sin y, f (x, y = x 2 e xy f (x, y = xy x 2 + y 2, f (x, y, z = exyz. Opgave Bestem de partielle afledede af følgende funktioner f (x, y, z = x 2 e y ln z, f (r, s, t = (1 r 2 s 2 t 2 e rst.. Opgave Differentialligningen y = ay +b har vi tidligere løst ved separation af de variable (ID side Den kan imidlertid også betragtes som en lineær førsteordensligning. Løs ligningen ved hjælp den formel, der er udviklet hertil. Opgave Bestem den fuldstændige løsning til enhver af ligningerne: y + 5y + 4y = 0, y 6y + 9y = 0, 4y 16y + 25y = 0.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-juni 2014 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Integralregning ( 23-27)

Integralregning ( 23-27) Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = 7 + 7 c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2009-juni 2012 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2016 Institution Den Jyske Håndværkerskole Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold EUX - Tømre Matematik

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner . Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for sætninger vedrørende andengradsfunktioner. Du skal herunder redegøre for differentiation af en andengradsfunktion, samt formlen til at beregne nulpunkterne for en

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner . Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for udvalgte sætninger vedrørende andengradsfunktioner. Du skal herunder redegøre for differentiation af en andengradsfunktion, samt formlen til at beregne nulpunkterne

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug 2014 - jun 2015 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Klavs

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011 Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2016/17 Institution Viden Djurs - VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Valghold Matematik

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx131-MATn/A-29052013 Onsdag den 29. maj 2013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA03

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach. Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål.

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 23. maj 2017 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx171-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 23. maj 2017 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx171-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet stx171-matn/a-305017 Tirsdag den 3. maj 017 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere