Fysikbogen. Flemming Pedersen

Transkript

1 Fysikbogen Flemming Pedersen 3. november 2015

2 Indhold I Introduktion 5 1 Videnskabsteori Teorier Dannelse af teorier Eksperiment. Massefylde II Mekanik 16 2 Begreber Tid Masse Længde Tilvækst Fart og hastighed Acceleration Kraft Arbejde Bevægelse Sammenhæng mellem strækning, fart og tid Eksperiment. Konstant hastighed Hastighed og dierentialkvotient Acceleration Oversigt Opgaver Mekanisk energi Potentiel energi Kinetisk energi Mekanisk energi

3 INDHOLD 2 III Elektricitet 40 5 Begreber Elektrisk ladning Strømstyrke Spænding Elektrisk kredsløb Ohms lov Eksperiment. Ohms lov Opgaver IV Bølger 49 6 Begreber Bølge Bølgetyper Harmonisk bølge Lyd Lydbølger Hørelsen Indførelse af stående bølger Eksperiment. Lydens hastighed og bølgelængde Lys Elektromagnetisk stråling Lysets hastighed Lysets natur Gitterformlen Eksperiment. Gitterformlen Brydning Eksperiment. Brydningsloven Øjet V Termodynamik 83 9 Varme Grundlæggende begreber Opvarmning af stof Opvarmning af et stof, som ikke ændrer fase Faseovergang Kalorimetret

4 INDHOLD Eksperiment. Smeltevarme for is Eksperiment. Bestemmelse af varmekapacitet VI Appendices Bekendtgørelse fysik C, juni Identitet og formål Faglige mål og fagligt indhold Undervisningens tilrettelæggelse Evaluering Fysikrapport IMRAD-modellen Fysikrapport Den retvinklede trekant Cosinus, sinus og tangens Eksponentielle udviklinger Egenskaber Bestemmelse af regneforskrift Tolkning af koecienterne Opgaver i eksponentielle udviklinger SI-enheder og konstanter SI-enheder for fysiske størrelser Fysiske konstanter Dekadiske prækser Appendiks. Videnskabelig notation Oversigt Generel formel for eekt Ohms lov Elektrisk eekt Energityper Potentiel, kinetisk og mekanisk energi Massefylde Forskellige enheder for hastighed Bevægelse med konstant acceleration Tyngdekraft Bølgehastighed Frekvens og periodetid Bølgeformlen

5 INDHOLD Lydstyrke Gitterformlen Brydningsloven Temperaturskalaer Elementarpartikler Kernefysik Termodynamik

6 Del I Introduktion 5

7 Kapitel 1 Videnskabsteori I fysikken 1 søger vi viden om naturen. Vi ønsker at forstå sammenhænge og fænomener og forsøger at fremstille disse så enkelt som muligt med henblik på formidling til andre. I det følgende ser vi, hvordan videnskabsmænd arbejder og strukturerer deres viden; desuden skal vi selv efterprøve naturvidenskabelige metoder. 1.1 Teorier Naturvidenskabsmænd danner teorier 2, som skal søge at forklare enten simple eller komplicerede sammenhænge i naturen. Først stiller vi en række kriterier op, som er nødvendige for at man kan tale om en teori Denition. Teori En teori er en ordnet og sammenhængende mængde af almene påstande om sammenhænge, som opfylder: 1. Teorien udtaler sig om årsager og sammenhænge inden for en del af tilværelsen. 2. I en teori kan der være hovedudsagn og underordnede udsagn. 3. Teorien handler ikke om enkelttilfælde; men om generelle tilfælde. 4. Teorien forklarer årsager og sammenhænge, som man ikke umiddelbart kan se. Undertiden kan der være ere relevante teorier, som udtaler sig om de(t) samme fænomen(er). Her kan man diskutere og sammenligne de enkelte teoriers forklaringsevne. 1 Ordet "fysik"kommer fra det græske ord "fysis", som betyder natur 2 Ordet teori stammer fra græsk og betyder betragtning overvejelse 6

8 KAPITEL 1. VIDENSKABSTEORI Eksempel. Ohms lov Fysiske teorier eller love kan under tiden udtrykkes på ere måder. F.eks. kan Ohms lov udtrykkes sprogligt, grask eller via en formel. Vi foretrækker at udtrykke teorier vha. formler, fordi de kan overskues på et øjeblik og samtidig præcist viser sammenhængen. Her angives Ohms lov på tre forskellige måder 1. Sprogligt: Spændingsforskellen over en en modstand ndes ved at gange strømstyrken gennem modstanden med modstandens størrelse. 2. Grask: Figur 1.1: Ohms lov 3. Vha. formel: U = R I Vi lægger mærke til, at Ohms lov udtaler sig om en sammenhæng i den del af verden, som har med elektricitet at gøre, at loven kun indeholder et hovedudsagn (man kunne dog med fordel tilføje nogle underudsagn, som nærmere denerer spænding, strømstyrke og modstand), at loven ikke kun udtaler sig om enkelttilfælde og at den forklarer en sammenhæng, som man ikke umiddelbart kan se. Ohms lov opfylder altså alle kriterierne i denition side 6 og er derfor en teori Øvelse Diskutér i eksempel fordele og ulemper ved de tre repræsentationer af Ohms lov.

9 KAPITEL 1. VIDENSKABSTEORI Øvelse Afgør i hvert af eksemplerne herunder, om udsagnet udgør en teori. Kan du i bekræftende fald udtrykke teorien på andre måder? 1. Ved bevægelse med konstant hastighed ndes stedet ved at gange hastigheden med tiden. 2. Arealet af en fodboldbane er 8400m 2 3. Ved et frit fald i tyngdefeltet gælder der: s = 1 2 g t2, hvor s er faldlængden, g er tyngdeaccelerationen og t er tiden. 1.2 Dannelse af teorier Der ndes metoder til dannelse af teorier. I begge tilfælde dannes teorierne på grundlag af observationer, som igen kan indsamles på to måder Denition. Empiri Al videnskab (ikke kun naturvidenskab) bygger på empiri, dvs. erfaring f.eks i form af iagttagelser, eksperimenter, data, talmateriale, udsagn, interviews, kilder, arkæologiske fund, love eller romaner. Hvis der ikke bygges på empiri, er der i stedet for videnskab tale om spekulation og gætterier. De empiriske metoder deles i to hovedkategorier: Denition. Kvantitativ metode I den kvantitative metode gøres undersøgelserne målbare og beskrives via tal. Man indsamler data, som bagefter kan analyseres vha. matematiske metoder. I den kvantitative metode er det muligt at skabe et bredt grundlag for generalisering. Til gengæld er der fare for en overadisk behandling af data Denition. Kvalitativ metode Den kvalitative metode bruges især, når man ønsker at undersøge noget, som er vanskeligt at observere eller måle i tal.

10 KAPITEL 1. VIDENSKABSTEORI Eksempel Man kan søge at klarlægge danskernes forhold til folkekirken via en række interviews eller deltagelse i et antal kirkelige handlinger. Man kan dog ikke inden for en fornuftig tidsramme interviewe f.eks mennesker eller deltage i 1000 kirkelige handlinger fordelt over hele landet. Den kvalitative metode anvender som regel kun en udvalgt mængde empiri, dvs. der er et snævert grundlag for generalisering. Til gengæld forsøger man at gå i dybden med behandling af data. Metode, empiri og teori påvirker, som vist på gur 1.2, hinanden. Ny metode kan give ændringer i empirien, som giver anledning til justeringer i teorien, som igen kan resultere i ændret metodevalg og ny empiri. Teori Empiri Metode Figur 1.2: Forhold mellem metode, empiri og teori Herunder præsenteres to måder at danne teorier ud fra empiri: Denition. Den induktive metode I den induktive metode 3 undersøger man et ukendt fænomen og har således ikke nogen anelse om resultatet af undersøgelserne på forhånd: 1. Man skaer sig via empiri en mængde data. 2. Man forsøger at registrere et mønster i dataene 3. I bekræftende fald konkluderes, at mønstret gælder generelt. 4. En teori formuleres. 3 Ordet Induktion stammer fra latin og betyder indføring. Ordet bruges om en slutning, som går fra det specielle til det generelle.

11 KAPITEL 1. VIDENSKABSTEORI Eksempel. Et legemes frie fald. Vi vil undersøge, hvad der sker, når et legeme slippes i en given højde over jordens overade og har ikke på forhånd nogen idé om, hvad der vil ske. 1. Vi udfører empiriske undersøgelser. F.eks. slippes hhv. en bold, en bog, en støvle og et anker hver 100 gange fra 3 forskellige højder over jordens overade. 2. Vi ser, at hver genstand i alle tilfældende falder til jorden. 3. Vi tror på, at denne tendens også gælder generelt, dvs. for alle genstande i alle højder over jordens overade. 4. Vi formulerer, at alle genstande uanset materiale og højde over jordens over- ade falder til jorden og har således dannet en ny teori Øvelse Læg mærke til, at vi i den induktive metode ud fra vore specialtilfælde gjorde os antagelser om det generelle tilfælde. I denne antagelse kan man komme til at begå fejl. Derfor søger man at udfordre de dannede teorier for at nde deres begrænsninger. 1. Hvordan ville du udfordre den teori, der blev dannet i Eksempel 1.2.6? 2. Kan du se nogle begrænsninger ved teorien? Den deduktive metode I den deduktive metode 4 har man på forhånd en idé om, hvordan eventuelle undersøgelser vil falde ud. Denne idé formuleres i en såkaldt hypotese En hypotese opstilles. 2. Man foretager empiriske undersøgelser. 3. Ud fra de empiriske undersøgelser af- eller bekræftes hypotesen 4. I fald hypotesen afkræftes forkastes den og i fald hypotesen bekræftes ophøjes den til en teori. 4 Ordet deduktion stammer fra latin og betyder aedning. Ordet bruges om en bevisførelse, som går fra det generelle til det specielle 5 Ordet hypotese stammer fra græsk og betyder grundlag. Ordet bruges om en videnskabelig regel, som ikke er bevist, men som foreløbigt antages som arbejdsgrundlag

12 KAPITEL 1. VIDENSKABSTEORI Eksempel. Svaners farve. Vi vil undersøge, hvilke farver svaner har og har på forhånd en idé om, at svaner er hvide: 1. Vi opstiller hypotesen: Alle svaner er hvide. 2. Vi foretager empiriske undersøgelser, idet vi observerer farven på 100 svaner. 3. Vores empiriske undersøgelser bekræftede hypotesen, idet alle de observerede svaner var hvide. 4. Vores hypotese ophøjes til teori og vi formulerer: Alle svaner er hvide. Læg mærke til, at selv om teorien faktisk er forkert (I danmark blev der i årene registreret mellem 150 og 200 observationer af sorte svaner årligt), så var dannelsen af ovenstående teori et eksempel på god naturvidenskab. Lige som det var tilfældet ved den induktive metode er teorien ikke nødvendigvis sand; i nogle tilfælde er den i stedet et stadium på vejen mod højere erkendelse!

13 KAPITEL 1. VIDENSKABSTEORI Oversigt over fakulternes fokus og metoder Vi har i dette kapitel gennemgået videnskabelige metoder. Man deler videnskab op i fakulteter alt efter deres fokus og metoder. Vi skal ikke gå i detaljer med dette men blot angive en oversigt over denne inddeling. Naturvid. Samfundsvid. Humanora Fokus Naturen Samfundet Mennesket Kulturen Måles Samspil Samspil Vejes mellem mellem grupper Individer Materiale Eksperimenter Statitikker Tekster Spørgeskemaer Billeder Interviews Værktøjer Induktion Analyse Deduktion Fortolkning Hermaneutisk spiral Tabel 1.1: Fakulteternes fokus, materialer og værktøjer Læg mærke til, at ingen værktøjer er angivet under samfundsvidenskab. Grunden hertil er, at samfundsvidenskaben anvender de til situationen mest hensigtsmæssige metoder fra henholdsvis naturvidenskaben og humaniora. Vi skal naturligvis koncentrere os om den naturvidenskabelige metode og vil slutte kapitlet om videnskabsteori med at afprøve den induktive og den deduktive metode.

14 KAPITEL 1. VIDENSKABSTEORI Eksperiment. Massefylde vi ønsker nde sammenhængen mellem et stofs masse, dets rumfang og dets massefylde. Øvelsen deles op i en induktiv og en deduktiv del: Induktiv del. Faste stoer Formål Vi ønsker at undersøge om der er en sammenhæng mellem et fast stofs masse m målt i gram og dets rumfang V målt i cm 3. Metode Vi ved ikke på forhånd, hvilken sammenhæng der er mellem masse og rumfang. Faktisk ved vi ikke engang, om der er en sammenhæng. Når man således er på "Herrens mark", må man bruge den induktive metode. Teori En cylinder med radius r og højde h har rumfanget V = π r 2 h Materialer Til forsøget udleveres 6 aluminiums- eller messingcylindre alle med højden 2cm, 10 bøgecylindre alle med radius 2, 4cm og en vægt. Forsøgsbeskrivelse 1. Mål for aluminium eller messing 6 sammenhørende værdier af radius og masse. Udfyld tabellen Radius r/cm 0,30 0,40 0,50 0,60 0,80 Rumfang V/cm 3 Masse m/g 2. Mål for bøg 10 sammenhørende værdier af højde og masse. Udfyld tabellen Højde h/cm Rumfang V/cm 3 Masse m/g Databehandling 1. Tegn for hhv. bøg og aluminium/messing en graf over de målte data, idet du afsætter rumfanget på x-aksen og massen på y-aksen. 2. Observér, at der er en lineær sammenhæng (y = a x + b) mellem masse og rumfang og opstil en formel for sammenhængen, idet du kalder hældningskoecienten ρ. Massefylden eller densiteten rho (rho) måles i g/cm.

15 KAPITEL 1. VIDENSKABSTEORI Hvilken tendens ser du efter at have undersøgt sammenhængen mellem masse og rumfang for hhv. bøg og aluminium/messing? 4. Generalisér denne tendens til at gælde for alle faste stoer og formulér en teori Deduktiv del. Væsker Formål Vi ønsker at undersøge om der er en sammenhæng mellem en væskes masse og dens rumfang. Metode Efter vores undersøgelse af de faste stoer har vi på forhånd en formodning om den ønskede sammenhæng. Derfor bruger vi den deduktive metode. Opstil selv en hypotese om sammenhængen mellem en væskes masse, dens rumfang og dens massefylde. Materialer Til forsøget udleveres madolie, sprit, et måleglas og en vægt. Forsøgsbeskrivelse 1. Mål for madolie 7 sammenhængende værdier af rummfang og masse. Udfyld skemaet: V/cm 3 m/g 2. Mål for sprit 7 sammenhængende værdier af rummfang og masse. Udfyld skemaet: V/cm 3 m/g Databehandling 1. Tegn for hhv. madolie og sprit en graf over de målte data, idet du afsætter massen på y-aksen og rumfanget på x-aksen. 2. Observér, at der er en lineær sammenhæng (y = a x + b) mellem masse og rumfang og opstil en formel for sammenhængen mellem masse og rumfang, idet du kalder hældningskoecienten ρ. 3. Er din hypotese bekræftet? 4. Generalisér ud fra de undersøgte specialtilfælde af din hypotese til det generelle (dvs. til at omhandle alle væsker) og ophøj hypotesen til en teori.

16 KAPITEL 1. VIDENSKABSTEORI 15 Bemærk, at vi nu har opstillet den teori, at m = ρ V for alle faste stoer og alle væsker. Faktisk gælder der for fastholdt tryk noget tilsvarende for gasser. Netop trykket bør tages med, hvis vi ønsker en god beskrivelse ønskes.

17 Del II Mekanik 16

18 Kapitel 2 Begreber Lad os først indføre begreberne tid, masse, længde, tilvækst og hastighed Tid Tid måles i sekunder 2. Tidligere var 1s deneret som 1 af middelsoldøgnet Problemet ved denne denition var, at størrelsen varierer. Variationen skyldes hovedsageligt nedbremsning af jordrotationen pga. tidevanet. Derfor indførtes i 1956 en revideret denition baseret på jordens rotation omkring solen. Dette var imidlertid upraktisk, fordi det tog et år at bestemme et sekund med tilstrækkelig nøjagtighed. Det har vist sig, at man vha. af atomure kan bestemme et sekund med meget stor nøjagtighed og uden variaton. Således indførtes i 1967 den denition, som gælder i dag: Sekundet er varigheden af svingninger af strålingen fra en bestemt overgang mellem energiniveauer i cæsium-133-atomet. Herunder vises en tabel over størrelsesordenen af forskellige tidsrum: Periode Tid/s Periode Tid/s Periodetid for synligt lys Periodetid for den højeste hørbare tone 10 4 Periodetid for hjerteslag 10 0 Skoletime 10 3 En dag 10 5 Et år 10 7 Jordens alder Universets alder Tabel 2.1: Tidsrum 1 Hele kapitlet er inspireret af [1] Henrik Tarp-Johansen, En introduktion til fysik og [2] Fishbane m. Physics for Scientists and Engineers 2 Ordet "sekund"kommer af latin "secunda", den anden forkortede del, hvor "minut"kommer af det latinske "pars minuta", den første forkortede del. 17

19 KAPITEL 2. BEGREBER Masse Den 22. juni 1799 blev to vigtige genstande deponeret på universitetet i Paris. Den ene genstand var et metallegeme, som kaldes for normalkilogramsloddet. Det deneredes, at dette lod har massen 1kg (den anden genstand var normalmeteren, som omtales i afsnit 2.3). Alle andre masser kan så ndes ud fra normalkilogramsloddets masse. Normal-kilogramsloddet er stadig det internationale mål for 1kg, men der er et ønske om at lave en ny denition af masse, så det bliver muligt at nde massen af et legeme uafhængigt af, hvor kopierne af normalkilogramsloddet bender sig. 1kg er massen af normalkilogramsloddet, som er opbevaret i Paris Længde Meterens oprindelse går tilbage til det 18. århundrede, hvor to denitioner konkurrerede: 1. Man kunne denere meteren, som længden af et pendul med en halv periode på 1 sekund Man kunne denere meteren, som Ækvator. af afstanden fra Nordpolen til Det andet forslag vandt, fordi tyngdeaccelerationen og dermed den beskrevne snorlængde varierer efter placeringen på jordens overade. Derfor blev afstanden 1m fastlagt via det andet forslag og herudfra blev der fremstillet en stang bestående af platin og iridium med to ridser i afstanden 1m fra hinanden, som i 1799 blev deponeret i Paris. Siden da har man haft ere denitioner af meteren med problemer af samme type som det første af forslagene ovenfor. Det har været svært at lave en denition, som ikke varierer af den ene eller den anden grund. I dag har vi fastlagt: Meteren 4 er den afstand, lyset rejser i vaccuum i løbet af s 3 I appendiks 14.1 side 121 kan du se en liste over de fysiske størrelser, deres symboler og deres standardenheder. 4 Ud fra meteren kan 1m 2 deneres som det areal, to meterstokke danner, når de afsættes vinkelret på hinanden. Ligeledes kan 1m 3 deneres som det rumfang, tre meterstokke danner, når de afsættes vinkelret på hinanden.

20 KAPITEL 2. BEGREBER 19 Herunder vises en tabel over størrelsesordenen af forskellige afstande: Distance Længde/m Distance Længde/m Proton Regndråbe 10 3 En persons højde 10 0 Jordens diameter 10 5 Afstand fra Jord til Måne 10 9 Afstand fra Jord til Sol Solsystemets diameter Afstand til nærmeste stjerne Mælkevejens diameter Afstand til nærmeste gallakse Tabel 2.2: Afstande På grund af at fysiske størrelsers værdier (som f.eks. afstandene vist i tabellen ovenfor) kan svinge kolossalt har man besluttet at indføre de dekadiske prækser, som benyttes til at angive en fysisk størrelses værdi mere overskueligt. Symbol Å n µ m c d Værdi Navn Ångstrøm nano mikro milli centi deci Symbol h k M G T P Værdi Navn hekto kilo mega giga tera peta Med disse enheder kan man f.eks. skrive 1000m = 1km eller at bølgelængden er 0, m = 600nm. Dette gør tallene væsentlig mere overskuelige, men til gengæld skal man selvfølgelig have styr over de dekadiske prækser. 2.4 Tilvækst Vi får desuden ofte brug for begrebet tilvækst: Denition. Tilvækst Hvis tallet x ændres fra startværdien x 1 til x 2, så deneres tilvæksten 5 x på x som dierensen mellem slutværdien og startværdien, altså er tilvæksten fra x 1 til x 2 givet ved x = x 2 x 1. Bemærk, at tilvæksten på x er deneret som slutværdien minus startværdien, uanset om dette resultat bliver positivt, negativt eller nul. Fortegnet er vigtigt! 5 er det græske bogstav delta, det fjerde i det græske alfabet. x læses "delta x".

21 KAPITEL 2. BEGREBER Øvelse. Tilvækst Find tilvæksten fra 7 til 9, fra 7 til 4, fra 3 til 3 og fra 3 til Fart og hastighed Lad os betragte retlinet bevægelse; altså den situation, hvor et legeme (en bil, en cykel, en person eller lignende) kun kan bevæge sig frem og tilbage på en ret linje. Vi skelner da mellem begreberne hastighed og fart, idet vi siger: 1. Farten af et legeme angiver, hvor hurtigt legemet bevæger sig og siger altså ikke noget om bevægelsens retning. Legemets fart er altså f.eks. v = 5m uanset s om legemet bevæger sig fremad bagud. 2. Hastigheden af et legeme angiver både hvor hurtigt legemet bevæger sig og hvilken retning legemet bevæger sig i. Legemets hastighed er altså f.eks. v = 5m, hvis det bevæger sig fremad og v = 5m, hvis det bevæger sig bagud. s s Vi kan denere den gennemsnitlige hastighed som forholdet mellem den tilbagelagte strækning og den forløbne tid: Dvs.: v = tilbagelagt strækning den tid, der er gået = s t. F.eks. havde en bil, som kører fra Århus til Odense (ca. 140km) i løbet af halvanden time en gennemsnitshastighed på v = m 90 60s = 25, 9 m s Øvelse. Bevægelse med konstant hastighed 1. En elev har 3, 5km til skole og tager 34minutter om cykelturen. Hvad var hans gennemsnitshastighed?. 2. En af bilerne ved Le Mans kører 322 km h. Hvor lang tid tager det bilen at tilbagelægge 200m? Hvor mange meter kører bilen på 3 sekunder? 2.6 Acceleration Vi har set, at farten deneres som ændringen i strækning pr tidsenhed. Det er imidlertid ikke altid sådan, at farten er konstant. Ofte ændres farten under en bevægelse. En bil bremser, en bold falder hurtigere og hurtigere mod jorden og en løber holder måske en pause undervejs. Accelerationen er et mål for hvor hurtigt farten ændrer sig og deneres som ændring i fart pr tidsenhed.

22 KAPITEL 2. BEGREBER 21 Dvs.: a = ændring i hastighed den tid, der er gået = v t. F.eks. har en bil, som i løbet af 10s opnåede farten 24 m s a = 24 m s = 2, 4 m. 10s s 2 haft en acceleration på I jordens tyngdefelt tæt på jordens overade har faldende legemer tyngdeaccelerationen g = 9, 82 m ned mod jordens centrum. s Kraft I fysisk forstand kan legemer være påvirket af kræfter. Disse kræfter kan f.eks. være 1. tyngdekræfter 2. elektriske kræfter 3. kernekræfter 4. en person, som skubber til en bil. 5. en person som trækker en slæde. En kraft giver anledning til en formændring og/eller til en acceleration 6 af det legeme, som den påvirker. Kraft måles i Newton. Vi denerer, at 1N netop er den kraft, som skal til for at give et legeme med massen 1kg en acceleration på 1 m s Tyngdekraft Sammenhængen mellem tyngdekraften, masse og tyngdeacceleration er F t = m g Bemærk [F t ] = N (Newton), [m] = kg og g = 9, 82 m s Øvelse. Tyngdekraft 1. Beregn tyngdekraften på en 200g tung bold, dig selv og en 1020kg tung bil. 2. Beregn massen af et legeme, hvis tyngdekraften på det er hhv. 50N, 250N, 4500N og 10000N. 6 se afsnit 2.6.

23 KAPITEL 2. BEGREBER Arbejde Vi nøjes med en løs formulering af begrebet arbejde. Arbejde er energi som overføres, når en kraft påvirker et legeme. 1. Hvis en kraft F er ensrettet bevægelsen og den ytter et legeme stykket s, så er kraftens arbejde A givet ved A = F s 2. Hvis en kraft F er modsat rettet bevægelsen og den ytter et legeme stykket s, så er kraftens arbejde A givet ved A = F s Eksempel Vi giver tre eksempler på beregning af arbejde 1. Hvis en mand har skubbet en bil stykket 12m ved at påføre det kraften 200N, så har han udført arbejdet A = 200N 12m = 2400J 2. Hvis en mand har forsøgt at skubbe en bil med kraften 150N, men den alligevel har bevæget sig 10m modsat den retning han skubbede i, så har han udført arbejdet A = 150N 10m = 1500J 3. Hvis en mand har løftet en kasse sodavand og transporteret den 7m hen og derefter sat den på gulvet igen i samme højde som han løftede den fra, så har han ikke udført noget arbejde, fordi den kraft han påvirkede sodavandskassen med er modsat rettet bevægelsen. A = 0J

24 Kapitel 3 Bevægelse 3.1 Sammenhæng mellem strækning, fart og tid Lad os nu igen betragte retlinet bevægelse denne gang med konstant hastighed v.. Sammenhængen mellem tilbagelagt strækning s, fart v og tid t er s = v t Bemærk: [s] =m, [v] = m s og [t] = s Eksempel En cyklist cykler en tur og kører på hele turen ca. 4, 5 m s. Turen varer tre kvarter. Hvor langt kørte cyklisten? s = v t = 4, 5 m s Øvelse 45 60s = 12150m Beregn strækningen målt i meter, når 1. v = 14 m s og t = 17s. 2. v = 22 m s og t = 56s. 3. Hastigheden var 27 m s og der blev kørt i 20s. 23

25 KAPITEL 3. BEVÆGELSE Øvelse Beregn tiden målt i sekunder når 1. s = 988m og v = 13 m s. 2. s = 18m og v = 23 m s. 3. Den tilbagelagte strækning var 324m og der blev kørt med hastigheden 17 m s Øvelse Beregn hastigheden målt i m s, når 1. s = 14m og t = 17s. 2. s = 294m og t = 56s. 3. Der blev tilbagelagt 1973m i løbet af 100s Enheder I eksemplet og opgaverne ovenfor regner vi i enhederne m, s og m. s Til dagligt bruger mange i stedet enhederne km, h (timer) og km. Læg mærke til, at h 1. km = 1000m. 2. 1h = 60 min h 60 s = 3600s, så 1h = 3600s min 3. 1 km = 1000m = 1 m, så 3, 6 km h 3600s 3,6 s h Øvelse Omregn til meter = 1 m s 1. 14km 2. 37km 3. 0,52km 4. 0,0008km Øvelse Omregn til kilometer 1. 13m m m m

26 KAPITEL 3. BEVÆGELSE Øvelse Omregn til sekunder 1. 24min 2. 5h min 4. 5h 25min Øvelse Omregn til km h 1. 5 m s m s m s 4. 0, 7 m s Øvelse Omregn til m s km h km h km h cm minut Øvelse I denne opgave foregår der en bevægelse med konstant hastighed, altså har vi s = vt. Beregn den manglende størrelse målt i SI-enheder: 1. t = 13h 15min og v = 240 km h 2. s = 24km og t = 2700s 3. s = 16cm og t = 24ms 3.2 Eksperiment. Konstant hastighed Formål At eftervise formlen s = v t og måle en løbers hastighed. Metode Vi skal eftervise en formel. Dermed har vi på forhånd opstillet en hypotese, som skal eftervises og benytter altså den deduktive metode. Teori For en ret linje gælder der, y = ax+b, hvor a er stigningstallet og (0, b) er skæringen med y-aksen.

27 KAPITEL 3. BEVÆGELSE 26 Materialer Stopur, målebånd og ca. 10 kegler. Forsøgsbeskrivelse En løber skal foretage en 100m lang løbetur (en jævn 1 retlinet bevægelse). Mål undervejs sammenhørende værdier af sted og tid og udfyld nedenstående tabel: Tid t/s Sted s/m Databehandling 1. Tegn grafen for sted som funktion af tid i Excel. 2. Forsyn grafen med titel, aksetitler, passende overordnede og underordnede gitterlinjer og regneforskrift, så den bliver perfekt, lige som vi har øvet. 3. Gør ud fra grafen rede for, at stedet afhænger lineært af tiden. 4. Aæs løberens hastighed i regneforskriften (hældningskoecienten). 5. Beregn ud fra den fundne forskrift den distance, som løberen ville kunne løbe i løbet af 7 minutter, hvis han/hun evnede at fortsætte med konstant hastighed. 6. Beregn ud fra den fundne regneforskrift den tid det ville tage løberen at løbe 2km hvis han/hun evnede at fortsætte i så lang tid med konstant hastighed. 3.3 Hastighed og dierentialkvotient Dierentialkvotienten kan tolkes som den intensitet eller hastighed, hvormed en forandring foregår. Denne tolkning vil for anvendelser af dierentialregningen være langt vigtigere end tolkningen af dierentialkvotienten som stigningstal for tangenten. Vi skal se, hvordan s (t) naturligt kan tolkes som hastigheden hvormed en person eller et objekt bevæger sig. 1 Ordet jævn betegner, at bevægelsen skal have konstant hastighed.

28 KAPITEL 3. BEVÆGELSE Øvelse. En persons bevægelse Betragt en person C, som går en tur på en lige landevej (bevægelse i én dimension). Grafen herunder viser C's sted s som funktion af tiden t. s 1 I fysik ville man sige, at personens bevægelse er skildret i et (t, s)-diagram. 1. Begyndelsespositionen noteres s 0. Hvad var C's begyndelsesposition? 2. C siges at have positiv hastighed v(t) > 0, når han bevæger sig i x-aksens positive retning og negativ hastighed v(t) < 0, når han bevæger sig i x-aksens negative retning. Hvornår var C's hastighed positiv og hvornår var den negativ? 3. Hvornår holdt C pause? 4. Hvad var C's slutposition? Givet regneforskriften s(t) for en bevægelse ønsker vi at være i stand til at bestemme den øjeblikkelige hastighed til et tidspunkt t 0. Til tiden t 0 befandt C sig på stedet s(t 0 ). Lidt senere til tidspunktet t 0 + h befandt C sig på stedet s(t 0 + h). I løbet af tidsrummet (t 0 + h) t 0 = h har C altså bevæget sig strækningen s = s(t 0 + h) s(t 0 ) (regnet med fortegn). 10 t

29 KAPITEL 3. BEVÆGELSE 28 Vi indtegner på grafen for s(t) en sekant gennem P 0 (t 0, s(t 0 )) og P h (t 0 + h, s(t 0 + h)) s sekant s(t 0 + h) s(t 0 ) 1 t 0 t 0 + h 10 t og ser, at C's middelhastighed i tidsrummet h netop er denne sekants stigningstal v middel = s = s(t 0+h) s(t 0 ) h h Men dette er netop dierenskvotienten for s ud fra t 0 i tidsrummet h. C's øjeblikkelige hastighed 2 til tidspunktet t 0 deneres nu helt naturligt s (t 0 + h) s(t 0 ) v(t 0 ) = lim. h 0 h Dette er netop dierentialkvotienten for s ud fra t 0 i tidsrummet h. Vi ser, at hastigheden geometrisk til tiden t 0 kan tolkes som stigningstallet for tangenten for stedfunktionen i punktet (t 0, s(t 0 )). Ofte skriver man t i stedet for h og vore overvejelser kan kort nedfældes i en denition: 2 eller blot hastighed

30 KAPITEL 3. BEVÆGELSE Denition. Hastighed Lad s være en stedfunktion, som er dierentiabel i et givet tidspunkt t 0. Ved hastigheden v til tiden t 0 forstås 3 v(t 0 ) = s (t 0 ) = ds dt (t 0) = lim h 0 s (t 0 + h) s(t 0 ) h Ligesom ved indførelsen af den aedede funktion (se Denition??) denerer vi nu en hastighedsfunktion Denition. Hastighedsfunktionen Lad en stedfunktion s(t) være givet og lad A = {t 0 R s er dierentiabel i t 0 }. Da er hastighedsfunktionen v : A R den funktion, som til ethvert t 0 i A knytter dierentialkvotienten s (t 0 ) til s i t 0 Altså har vi v(t) = s (t) for ethvert t A. Som allerede nævnt regnes hastigheden med fortegn (dvs. den kan både være positiv og negativ). Når man kun er interesseret i størrelsen af hastigheden og altså ikke i bevægelsens retning, interesserer man sig personens eller objektets fart Denition. Fart Ved farten af et objekt eller en person forstås den numeriske værdi af hastigheden, dvs. farten til et givet tidspunkt t er bestemt ved v(t). 3.4 Acceleration Ligeledes skal vi se, hvordan s (t) = v (t) naturligt kan tolkes en persons eller et objekts acceleration. 3 Notationen s (t 0 ) = ds dt (t 0) er medtaget, fordi den often anvendes i fysik. Notationen skyldes i øvrigt G. W. Leibniz ( ), der opfattede dierentialkvotienter som kvotienter mellem innitesimaler.

31 KAPITEL 3. BEVÆGELSE Øvelse. En persons bevægelse Betragt en person F, som går en tur på en lige landevej (stadig bevægelse i én dimension). Grafen herunder viser en graf over F's hastighed v som funktion af tiden t. 2 1 v t I fysik ville man sige, at personens bevægelse er skildret i et (t, v)-diagram. 1. Begyndelseshastigheden noteres v 0. Hvad var F's begyndelseshastighed? 2. F siges at have positiv acceleration a(t) > 0, når hans hastighed er voksende og negativ acceleration a(t) < 0, når hans hastighed er aftagende. Hvornår har F en positiv acceleration og hvornår har F en negativ acceleration? 3. Hvornår var F's hastighed konstant? 4. Hvad var F's sluthastighed? 5. Hvornår stod F stille? Givet regneforskriften for hastighedsfunktionen v(t) i en bevægelse ønsker vi at være i stand til at bestemme den øjeblikkelige acceleration til et tidspunkt t 0. Til tiden t 0 havde F hastigheden v(t 0 ). Lidt senere til tidspunktet t 0 + h havde F hastigheden v(t 0 + h). I løbet af tidsrummet (t 0 + h) t 0 = h har F's hastighed altså tilvæksten v = v(t 0 + h) v(t 0 ) (regnet med fortegn).

32 KAPITEL 3. BEVÆGELSE 31 Vi indtegner på grafen for v(t) en sekant gennem P 0 (t 0, v(t 0 )) og P h (t 0 +h, v(t 0 +h)) v v(t 0 ) v(t 0 + h) 1 t 0 t 0 + h sekant 10 t og ser, at stigningstallet for sekanten til grafen for v gennem punkterne P 0 (t 0, v(t 0 )) og P h (t 0 + h, v(t 0 + h)) netop er F's middelacceleration i tidsrummet h a middel = v = v(t 0+h) v(t 0 ) h h v's øjeblikkelige acceleration 4 til tidspunktet t 0 deneres nu helt naturligt v (t 0 + h) v(t 0 ) a(t 0 ) = lim. h 0 h Dette er netop dierentialkvotienten for v i t 0. Vi ser, at accelerationen geometrisk til tiden t 0 kan tolkes som stigningstallet for tangenten for hastighedsfunktionen i punktet (t 0, v(t 0 )). Vore overvejelser kan kort nedfældes i en denition: Denition. Acceleration Lad v være en hastighedsfunktion, som er dierentiabel i et givet tidspunkt t 0. Ved accelerationen a til tiden t 0 forstås a(t 0 ) = v (t 0 ) = dv dt (t 0) = lim h 0 v (t 0 + h) v(t 0 ) h Vi kan nu indføre denitionen: 4 eller blot acceleration

33 KAPITEL 3. BEVÆGELSE Denition. Accelerationsfunktionen Lad en hastighedsfunktion v(t) være givet. Lad endvidere A = {t 0 R v er dierentiabel i t 0 }. Da er accelerationsfunktionen a : A R den funktion, som til ethvert t 0 i A knytter dierentialkvotienten v (t 0 ) til v i t 0 Altså har vi a(t) = v (t) = s (t) for ethvert t A. 3.5 Oversigt Her gives en oversigt over resultaterne fra dette afsnit Begreb Navn Formel SI-enhed Sted s(t) Ingen generel formel m Hastighed v(t) s m (t) s Fart v(t) m s Acceleration a(t) s (t) = v (t) m s 2 Accelerationens størrelse a(t) m s Opgaver Øvelse I følgende opgaver bevæger partiklen sig langs en vandret linje (positiv = højre). Afgør om partiklen på det givne tidspunkt bevæger sig mod venstre eller højre. 1. s(t) = t 2 2t + 7, t = s(t) = t 2 + t 5, t = s(t) = t 3 2t 2 + 7t 6, t = s(t) = t 3 5t 2 + 2t + 4, t = s(t) = t 3 4t 2 2t 1, t = s(t) = t 4 + 2t 1, t = 1.

34 KAPITEL 3. BEVÆGELSE Øvelse Beregn hastighed og acceleration. Bestem hvis muligt det tidspunkt, hvor hastigheden er s(t) = t 2 4t s(t) = 1 3 t3 2t 2 + 3t s(t) = t 3 + 2t 2 t s(t) = bt 3 + ct 2 + dt + e Øvelse I følgende opgaver bevæger partiklen sig langs en vandret linje (positiv = højre). Hvornår bevæger partiklen sig til højre og hvornår til venstre? Diskutér accelerationen. 1. s(t) = t 2 + 3t s(t) = 8 4t + t s(t) = 2t 3 3t 2 12t s(t) = t 1+t s(t) = t 2 2t s(t) = t 3 + 3t 2 9t s(t) = t 3 3t 2 + 3t. 8. s(t) = 1+t 4+t Øvelse Find udtryk for hastighed og acceleration 1. s(t) = bt 2 + ct + d. 2. s(t) = bt 3 + ct 2 + dt + e Øvelse Bestem ligningerne for tangenten til grafen for f(x) = x 2 i punkterne P ( 1, 1) og Q(1, 1). Kommentér resultatet Øvelse Bestem ligningen for tangenten til grafen for funktionen x 3 i punkterne P ( 1, 1) og Q(1, 1). Kommentér resultatet Denne og næste øvelse er taget fra [?] Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus 3, side

35 Kapitel 4 Mekanisk energi I fysik spiller alle former for energi en væsentlig rolle. Et af vore mål er at kunne udtale os om energi og ikke mindst energiomsætninger. Når vi har været alle emnerne igennem, så vil vi se på de forskellige energityper og diskutere deres kvalitet og nytte for os. De første energityper kinetisk energi, potentiel energi og mekanisk energi knytter sig til position og bevægelse af et legeme i tyngdefeltet, dvs. forholdsvist tæt på jordens overade. 4.1 Potentiel energi Potentiel energi eller beliggenhedsenergi afhænger af et legemes beliggenhed i tyngdefelt eller nærmere bestemt af legemets højde over et givet nulpunkt 1. Sammenhængen mellem et legemes potentielle energi, dets masse, dets højde over nulpunktet og tyngdeaccelerationen er E pot = mgh Bemærk [E pot ] =J, [m] = kg, g = 9, 82 m s og [h] =m Eksempel En 83kg tung mand går op på en 7m høj bakke. Vi ser, at han har massen m = 83kg og at han har opnået højden h = 7m. Nu er hans potentielle energi E pot = mgh = 83kg 9, 82 m s 7m = 5705, 42J = 5, 7kJ 1 Jordens overade vælges ofte som nulpunkt, men valget kan foretages vilkårligt. 34

36 KAPITEL 4. MEKANISK ENERGI Øvelse Beregn den potentielle energi i følgende tilfælde: 1. En 400 gram tung kat i et 7 meter højt træ. 2. Et vandreservoir med 5000L vand i højden 6m over jorden. 3. En 71 kg tung højdespringer i højden 2,5 over jorden Øvelse Beregn højden af legemet i følgende tilfælde: 1. En 67kg tung kvinde med den potentielle energi 2,8kJ 2. En 4kg tung kasse med den potentielle energi 56,6kJ 4.2 Kinetisk energi Kinetisk energi eller bevægelsesenergi afhænger af et legemes hastighed. Sammenhængen mellem et legemes kinetiske energi, dets masse og dets hastighed er E kin = 1 2 mv2 Bemærk [E kin ] =J, [m] = kg og [v] = m. s Eksempel En 2kg tung kanonkugle bevæger sig med hastigheden 17 m. s Kuglens kinetiske energi er E kin = 1 2 mv2 = 1 2kg Ä17 ä m 2 2 s = 289J

37 KAPITEL 4. MEKANISK ENERGI Eksempel En 200g tung bold har den kinetiske energi 50J. Vi ønsker at nde boldens hastighed. E kin = 1 2 mv2 2E kin = mv 2 2E kin m = v 2 2Ekin m = v Dermed får vi v = 2Ekin m = ,2kg = 22, 4 m s 4.3 Mekanisk energi Den mekaniske energi af et legeme i tyngdefeltet er E mek = E pot + E kin Bemærk: [E mek ] = [E kin ] = [E pot ] = J Et centralt resultat i fysikken er, at energien er bevaret. Energi kan ikke opstå eller forsvinde men kun omsættes. Specielt har vi: Den mekaniske energis bevarelse For et legeme, som bevæger sig frit i tyngdefeltet er den mekaniske energi bevaret eller konstant. Rent matematisk skriver vi: E mek = 0 Man kan eksperimentelt vise, at den mekaniske energi er bevaret.

38 KAPITEL 4. MEKANISK ENERGI Øvelse Betragt et legeme med massen 17kg som slippes fra højden 20m. Du skal bruge Excel til opgaven 1. Denér konstanterne m, g og h i felterne F 2, G2 og H2. 2. Beregn den konstante mekaniske energi i feltet I2. 3. Indtast højderne 0, 1, 2,..., 20 i felterne A2 A Beregn de tilsvarende potentielle energier i felterne B2 B22, idet du sørger for at bruge konstanterne fra felterne F 2 og G2 5. Kopiér den i I2 beregnede mekaniske energi til felterne D2 D22 ved først i feltet D2 at skrive +$I$2 og dernæst trække ned. 6. Beregn den kinetiske energi i felterne C2 C22 ud fra de tilsvarende potentielle og mekaniske energier (E mek = E pot + E kin ). 7. Beregn ud fra den kinetiske energi i felterne E2 E22 legemets hastighed (E kin = 1 2 mv2 ). Hint: x = x 0.5. Brug den sidste skrivemåde i Excel. 8. Vis cellerne A2 D22 som hele tal (for overskuelighedens skyld). 9. Vis cellerne E2 E22 med en decimal. 10. Fremstil i samme koordinatsystem hhv. den kinetiske, den potentielle og den mekaniske energi. 11. Prøv at forklare, hvad der sker med den potentielle energi og den potentielle energi undervejs i det frie fald. 12. Prøv at beskrive, hvordan hastigheden afhænger af højden.

39 KAPITEL 4. MEKANISK ENERGI Det frie fald i tyngdefeltet. Energibetragtning Vi skal betragte et legeme med massen m, som vi lader falde fra højden h 1 og ser på dens mekaniske energi. Situation 1 h 1 Jord Situation 2 Situation 1: Legemet slippes fra højden h 1. Begyndelseshastighed v 1 = 0 m s. Situation 2: Lige inden legemet rammer jorden. Højde h 2 = 0m. Sluthastighed v 2. Nu giver sætningen om mekanisk energibevarelse: E mek = 0J E mek2 E mek1 = 0J E mek2 = E mek1 E pot2 + E kin2 = E pot1 + E kin1 mgh mv2 2 = mgh mv2 1 mg 0m mv2 2 = mgh 1 + 1m Ä0 m 2 s 1 2 mv2 2 = mgh 1 mv2 2 = 2mgh 1 ä 2 v 2 2 = 2gh 1 v 2 = 2gh 1

40 KAPITEL 4. MEKANISK ENERGI Øvelse Beregn den hastighed hhv. en 14kg tung kanonkugle, et 36kg tungt barn og en 1000kg tung bil opnår, når de alle slippes i højden 10m over jordens overade. Hvad lægger du mærke til i formlen v 2 = 2gh 1? 2 2 For små hastigheder er erkendelsen korrekt. For betydelige hastigheder vil luftmodstanden spille en rolle, så vil man opdage at hastigheden foruden faldhøjden også afhænger af legemets form.

41 Del III Elektricitet 40

42 Kapitel 5 Begreber 5.1 Elektrisk ladning Til beskrivelsen af elektricitet har man brug for begrebet ladning. Det viser, sig, at der ndes to slags ladningner, som vi kalder hhv. positiv ladning 1 og negativ ladning. Ladninger med samme fortegn frastøder hinanden og ladninger med forskellige fortegn tiltrækker hinanden. Elektrisk ladning måles i SI-enheden Coulomb (C). Den mindste ladning, man har målt er den såkaldte elementarladning e. Størrelsen af elementarladningen er bestemt til e = 1, C. Elektroner har den negative ladning e, mens protoner har den positive ladning e. 5.2 Strømstyrke Elektrisk strøm er ladning i bevægelse. I metal er der tale om elektroners vandring, i væske kan både positive og negative ioner være årsag til strømmen. Strømstyrken er et mål for, hvor stor en ladning der pr tidsenhed passerer et tværsnit af f.eks. en ledning. Dvs. I = Q t Enheden for strømstyrke er ampere [I] = C = A s Hvis der i løbet af tidsrummet 21s passerer ladningen 7C gennem et tværsnit af en ledning, så er strømstyrken I = 7C = 0, 33A 21s 1 Betegnelserne positiv og negativ ladning blev indført af Nordamerikaneren Benjamin Franklin ( ), som ud over sit arbejde med elektriciteten og opndelsen af lynaederen også har været medforfatter på USA's uafhængighedserklæring. 41

43 KAPITEL 5. BEGREBER Spænding I et elektrisk kredsløb transporteres via de vandrende ladninger energi. Når ladningerne passerer gennem f.eks. en modstand afgiver de en vis mængde energi. Spændingsfaldet U over modstanden er et mål for tabet i energi pr ladningsenhed. Dvs. U = Energitab Den passerede ladning Enheden for spændingsfaldet er volt: [U] = J C = V 5.4 Elektrisk kredsløb Et elektrisk kredsløb består af en eller ere spændingskilder 2 forbundet med en eller ere elektriske komponenter 3. Det simpleste kredsløb, vi kan forestille os er vist på guren herunder U R Figur 5.1: Simpelt kredsløb Kredsløbet består af en spændingskilde U og en modstand 4 R. Vi bemærker: 1. I symbolet for spændingen indikerer den længste lodrette streg positiv ladning og den korteste lodrette streg negativ ladning. 2. Der vil vandre elektroner (med ladningen e) rundt i kredsløbet, som bliver frastødt den negative ladningsophobning og tiltrukket af den positive ladningsophobning. Vi siger, at elektronerne vandrer fra minus til plus 3. Vi siger at strømmen går fra plus til minus. 2 Leverandør af elektrisk strøm. Kan f.eks. være et batteri eller lignende. 3 modstande, spoler, kapacitorer, glødepærer o.l. 4 En modstand eller en resistor er en elektrisk komponent, hvori der afsættes energi, når der går en strøm gennem den

44 KAPITEL 5. BEGREBER 43 Kredsløbet forsynes med disse oplysninger, som i øvrigt normalt udelades af hensyn til overskueligheden. U I + R e Figur 5.2: Simpelt kredsløb med oplysninger 5.5 Ohms lov Der gælder for nogle særligt pæne modstande 5 en simpel lov for sammenhængen mellem spændingsforskellen over den og strømstyrken gennem den. Vi vil eftervise denne sammenhæng og skal derfor være i stand til at måle hhv. spændingsforskel og strømstyrke Bemærkning. Måling 1. Spændingsforskellen over en modstand måles ved at koble et voltmeter (symboliseret ved et V med en cirkel omkring) på modstanden. 2. Strømstyrken over en modstand måles ved at koble et amperemeter (symboliseret ved et A med en cirkel omkring) i serie med modstanden U A R V Figur 5.3: Måling af spændingsforskel og strømstyrke 5 Såkaldte Ohmske modstande.

45 KAPITEL 5. BEGREBER Ohms lov Sammenhængen mellem spændingsforskellen U over en modstand R og strømstyrken I gennem den er U = R I 5.6 Eksperiment. Ohms lov Metode Hypotese Vi anvender den deduktive metode. Vi har fået hypotesen givet: U = R I Formål At eftervise Ohms lov samt at bestemme størrelsen af en givet modstand. Materialer Til forsøget udleveres to multimetre, en modstand, ledninger og en spændingskilde. Forsøgsopstilling Se gur 5.3 Forsøgsbeskrivelse Mål 8 sammenhørende værdier af spænding og strømstyrke. Databehandling 1. Tegn en graf over de målte data, idet du afsætter massen på y-aksen og rumfanget på x-aksen. 2. Observér, at der er en lineær sammenhæng (y = a x + b) mellem spænding og strømstyrke og opstil en formel for denne sammenhæng. 3. Er hypotesen bekræftet? 4. Generalisér ud fra det undersøgte specialtilfælde af din hypotese til det generelle (dvs. til at omhandle alle modstande) og ophøj hypotesen til en teori Den generelle formel for eekt Eekten er et mål for, hvor hurtigt energi omdannes. Vi denerer: P = E t hvor P er eekten og [P ] = w (watt). E er energien og [E] = J (joule) t er tiden og [t] = s (sekunder)

46 KAPITEL 5. BEGREBER Bemærkning Man udregner ofte energi i enheden kwh i stedet for joule, fordi prisen på en kwh er ca. et par kroner. Vi lægger mærke til, at 1kwh = 1000w 60 60s = J = 3, 6MJ Formlen for elektrisk eekt Sammenhængen mellem eekten P (som afsættes i en elektrisk komponent), spændingsforkellen U over komponenten og strømstyrken I gennem komponenten er P = U I hvor P er eekten og [P ] = w (watt). U er spændingsforkellen og [U] = B (volt). I er strømstyrken og [I] = A Eksempel Hvad koster det i Thisted at have lyset tændt i Thisted Gymnasiums lærerværelse om året. For at besvare spørgsmålet må vi skae os oplysninger, gøre antagelser og til slut foretage beregninger. 1. Optælling Der er 12 store lamper, 3 lysstofrør og 15 små lamper i lærerværelset. 2. Undersøgelse Prisen for el er ca. 2,20kr pr kwh. 3. Antagelser Lyset er tændt i ca. 8 timer om dagen i de ca. 40 uger, der er skolegang. De store lamper er forsynet med 40w pærer, lysstofrørene med 25w pærer og de små lamper med 15w pærer. 4. Beregning Det samlede eektforbrug er P = 12 40w+3 25w+15 15w = 780w = 0, 78kw Den samlede tid er t = h = 1600h Det samlede energiforbrug er E = P t = 0, 78kwh 1600h = 1248kwh Den samlede pris er pris = 1248kwh 2, 20 kr = 2745, 6kr kwh

47 KAPITEL 5. BEGREBER Øvelse. Ohms lov og Joules 1. lov I et elektrisk kredsløb som vist på guren I U R er sammenhængen mellem spændingsforskellen U over en modstand R og strømstyrken I gennem modstanden ifølge Ohms lov 6 givet ved U = RI. I følge Joules lov 7 er den eekt P, som afsættes i modstanden givet ved P = R I Kombinér de to formler og nd udtryk for hhv. spændingsforskel, strømstyrke og eekt. RI UI U P R I Før resultaterne ind i skemaet. 2. Beregn strømstyrken, når eekten er 166W og modstanden er 168Ω. 3. Beregn modstanden, når eekten er 92W og strømstyrken er 0, 057A. 6 Georg Simon Ohm ( ) undersøgte systematisk forskellige materialers modstand og publicerede sine resultater i Die Galvanische Kette, matematish bearbeidet fra James Prescotte Joule ( ) vise Joules 1. lov eksperimentielt i 1841 og er også kendt for at have opdaget sammenhængen mellem varme og mekanisk arbejde, hvilket førte til sætningen om energibevarelse og senere termodynamikkens 1. hovedsætning. SI-enheden for energi, joule, blev opkaldt efter ham. Han arbejdede sammen med Lord Kelvin ( ) med udviklingen af den absolutte temperatur.

48 KAPITEL 5. BEGREBER Opgaver Øvelse Beregn eekten 1. Spændingen er 2V og strømstyrken er 0,6A 2. Spændingen er 25V og modstanden er 30Ω 3. Strømstyrken er 0, 7A og modstanden er 65Ω Øvelse Beregn spændingen 1. Eekten er 70w og strømstyrken er 0,6A 2. Eekten er 127w og modstanden er 30Ω 3. Strømstyrken er 0, 7A og modstanden er 65Ω Øvelse Beregn strømstyrken 1. Spændingen er 2V og eekten er 45w 2. Spændingen er 25V og modstanden er 30Ω 3. Eekten er 168w og modstanden er 65Ω Øvelse Beregn modstanden 1. Eekten er 70w og strømstyrken er 0,6A 2. Eekten er 127w og spændingen er 18V 3. Strømstyrken er 0, 7A og spændingen er 10V

49 KAPITEL 5. BEGREBER Øvelse. Elpærer I et parcelhus er 4 lamper hver forsynet med en 25w pære tændt ca. halvdelen af året i ca. 7 timer. 1. Beregn Den samlede eekt. 2. Beregn Det samlede energiforbrug målt både i joule og i kwh. 3. Beregn prisen for at have lamperne tændt Øvelse. Hvor meget er 1MJ? 1. Hvor langt op skal en mobiltelefon for at opnå en energi på 1Mj? 2. Hvor hurtigt skal mobiltelefonen yve for at opnå en energi på 1MJ? 3. Hvor lang tid kan en 25w pære lyse hvis den højst må bruge 1MJ? 4. Hvor mange 25w pærer kan der lyse i 5 minutter, hvis der højst må bruges 1MJ? 5. Hvad koster 1MJ? Øvelse. PC Undersøg hvad det koster dig om året at bruge din computer.

50 Del IV Bølger 49

51 Kapitel 6 Begreber 6.1 Bølge Denition. Bølge Ved en bølge forstås en udbredelse af en foranderlig svingningstilstand i hvilken, de svingende dele kun ytter sig lidt i forhold til ligevægtstilstanden, mens bølgen selv kan forplante sig over store afstande 1. Der sker altså ikke nødvendigvis nogen transport af stof Eksempel. Vandbølger I en vandbølge bevæger vandet sig kun inden for et lille område og følger altså ikke med i den retning, som bølgen bevæger sig. Selv om der ikke nødvendigvis sker nogen transport af stof i bølgens udbredelsesretning, så kan der være tale om enorme energitransporter. F.eks. kan en odbølge ødelægge hele byer, selv om den vandmængde, der transporteres egentlig er begrænset Eksempel. Lydbølger Lydbølger opstår ved, at der skiftevis dannes områder med fortætning og fortynding af luftmolekylerne, fordi de bevæger sig frem og tilbage i bølgens udbredelsesretning. Når lydbølgen er passeret, er molekylerne tilbage i deres udgangsposition igen. 1 Denitionen er inspireret af [3] Heinrich Dörrie, Grundriss der Physic, Zweiter teil, Akustik, Seite

52 KAPITEL 6. BEGREBER Bølgetyper Man deler bølger op i to typer Denition. Transversalbølge Hvis svingningerne sker på tværs af bevægelsesretningen kaldes bølgen en transversal bølge Eksempler på transversalbølger 1. Havets bølger bevæger sig i vandets overade (ca. 1 bølgelængde ned i vandet), dvs. undervandsbåde mærker ikke bølgerne, mens de dykker. 2. Lydbølger, som udbreder sig i stoer på fast form. 3. Langsomt bevægende seismiske bølger opstår ved jordskælv og er meget ødelæggende. 4. Elektromagnetiske bølger. F.eks. lys, radiobølger og røntgenstråler Denition. Longitudinalbølge Hvis svingningerne sker på langs af bevægelsesretningen, kaldes bølgen en longitudinal bølge Eksempler på longitudinalbølger 1. Lydbølger, som udbreder sig i stoer på gas-, væske- eller fast form. 2. Der ndes en type seismiske bølger, som bevæger sig hurtigt og som næsten ikke er farlige. Disse varsler ofte, at de farlige langsomme kraftige transversalbølger (jordskælv). 3. I 2007 blev det oentliggjort at der ndes en nyopdaget svag bølgetype på metaloverader, som kaldes akustiske overadeplasmoner. 4. En del dyr i havet kommunikerer over store afstande via svage bølger halvvejs rundt om jorden. 2 Det latinske ord, transversus, betyder som går på tværs 3 Det latinske ord, longus, betyder lang

53 KAPITEL 6. BEGREBER Harmonisk bølge Hvis en bølge svinger regelmæssigt, kaldes den harmonisk. y/m λ A v x/m Figur 6.1: Harmonisk bølge 1. Figuren illustrerer en harmonisk bølge, som bevæger sig fra venstre mod højre og kan både beskrive en regelmæssig transversal og en regelmæssig longitudinalbølge. Vi kan også vise bølgens udsving som funktion af tiden y/m T A t/s Figur 6.2: Harmonisk bølge 2.

54 KAPITEL 6. BEGREBER Denitioner. Bølgebegreber 1. Afstanden λ mellem to bølgetoppe kaldes bølgelængden. Bølgelængden måles i meter [λ] = m 2. Det maksimale udsving A kaldes amplituden. Amplituden måles i meter [A] = m 3. Den tid, T, det tager bølgen at foretage en hel svingning; f.eks. fra bølgetop til bølgetop; kaldes svingningstiden. Svingningstiden måles i sekunder [T ] = s. 4. I løbet af svingningstiden T, bevæger bølgen sig bølgelængden λ frem. Derfor er bølgens hastighed v givet ved v = λ T. Bølgehastigheden måles i meter per sekund m s. 5. Antallet af svingninger, som bølgen foretager på et sekund kaldes frekvensen Derfor er frekvensen givet ved f = 1 T. Frekvensen måles i Hertz [f] = s 1 = 1 s =Hz Bølgeformlen Sammenhængen mellem bølgehastigheden v, bølgelængde λ og frekvens f er bevis v = λ f. v = λ T = λ 1 T = λ f.

55 KAPITEL 6. BEGREBER Øvelse Bestem bølgelængde, amplitude, svingningstid, frekvens og bølgehastighed i eksemplet herunder 2 1 y/m x/m 2 y/m t/s Øvelse Beregn i følgende eksempler på harmoniske bølger de ønskede størrelser (i SI-enheder). 1. λ = 4cm og f = 0, 15Hertz. Beregn bølgenhastigheden og periodetiden. 2. λ = 2m, f = 5min 1. Beregn bølgens hastighed og periodetid. 3. λ = 0, 47m, T = 0, 75s. Beregn bølgens frekvens og hastighed. 4. v = 0, 15 m, f = 17Hertz. Beregn bølgelængden og periodetiden. s 5. v = 11 cm, T = 3, 7s. Beregn bølgelængden og frekvensen. s 6. v = 6 m, λ = 1, 2m. Beregn bølgens frekvens og periodetid. s

56 KAPITEL 6. BEGREBER Øvelse 1. Laserlys har bølgelængden λ = 632, 8nm og hastigheden c = 3, m s. Hvad er frekvensen? 2. Røntgenstråling har en bølgelængde på ca. 1nm og en frekvens på ca Hz. Hvor hurtigt bevæger røntgenstråling sig? 3. Kammertonen har en frekvens på 440Hz og hastigheden v = 343 m. Hvor stor s er dens bølgelængde? Øvelse En vanddybde ønskes bestemt vha. ekkolod. Umiddelbart under vandoveraden placeres en hvilende lydkilde, der udsender et kortvarigt signal. 0, 6s senere ankommer det fra bunden reekterede signal til ekkomodtageren, der er placeret samme sted som lydkilden. Lydens hastighed i vand kan sættes til 1450 m s. 1. Hvor stor er vanddybden det pågældende sted? 2. Signalet har frekvensen 600Hz. Hvor stor er bølgelængden i vand?

57 Kapitel 7 Lyd 7.1 Lydbølger Når en lydbølge bevæger sig gennem den atmosfæriske luft er der skiftevis områder med fortætning og fortynding af luften. Områderne opstår ved at luftmolekylerne bevæger sig frem og tilbage i bølgens udbredelsesretning. Der er altså tale om en longitudinalbølge. Efter, at lydbølgen er passeret er luftmolekylerne altså tilbage i deres udgangspositon igen. Fortætning udsving Fortynding sted Figur 7.1: Lydbølge Figuren ovenfor viser en højtaler, som udsender en regelmæssig lydbølge. I områder med fortætning af luftmolekylerne siger vi, at udsvinget er stort (højt lufttryk) og i områder med fortynding af luftmolekylerne siger vi, at udsvinget er lille (lavt lufttryk) 56

58 KAPITEL 7. LYD Hørelsen Lydens hastighed i atmosfærisk luft afhænger af temperaturen 1, men ved 20 C er den v lyd = 343, 37 m s. Det menneskelige øre 2 kan opfange lyde med frekvenser mellem 15Hz og 20000Hz (f [15Hz; 20000Hz]), men det er kun muligt at skelne toner i [15Hz; 17000Hz] og den øvre grænse sænkes, når vi bliver ældre. Lydbølger med frekvenser på over 20000Hz, som vi altså ikke kan opfatte kaldes ultralyd og lydbølger med frekvenser på under 15Hz, som vi altså heller ikke kan høre kaldes infralyd Øvelse 1. Hvilke bølgelængder kan det menneskelige øre opfange? 2. Hvilke bølgelængder svarer til ultra- og infralyd? Lydstyrke Den lydenergi, som passerer et areal på 1m 2 i løbet af et sekund, kaldes lydbølgens intensitet og den svageste lyd det menneskelige øre kan opfange har intensiteten I 0 = w m 2. Andre lydintensiteter angives i forhold til denne hørbare intensitet og på grundlag af dette forhold deneres lydstyrken 3 ved L = 10 log Ä I I 0 ä db I denne skala er lydstyrken for den netop hørbare intensitet 0dB og hvis intensiteten fordobles, så øges lydstyrken med ca. 3dB.» 1 Temperaturafhængigheden er givet ved v = 332 m T, hvor T er den absolutte temperatur. s 273K Se f.eks. [4] Eriksen og Sikjær, Fysik for gymnasiet II, side Oplysningerne er fra?? Finn Elvekjær og Børge D. Nielsen, Fysikkens verden 2, Mekanik, bølger, atom- og kernefysik. 3 Enheden decibell er opkaldt efter Alexander Graham Bell ( ). Han var en skotskfødt videnskabsmand og opnder, som bosatte sig i Amerika.

59 KAPITEL 7. LYD 58 Figuren herunder 4 giver en fornemmelse af skalaen Smertetærskel Bilhorn Trykluftbor Jævn trak Samtale Dagligstue Sagte hvisken Høretærskel db Figur 7.2: Bell-skalaen Øvelse Bølger inddeles i hhv. longitudinalbølger og transversalbølger. 1. Forklar de to begreber. 2. Hvilken type er lyd? 3. Hvordan udbreder lyd sig? Øvelse Lyd opdeles i tre typer vha. frekvensen 1. Hvad er afgørende for inddelingen? 2. Angiv frekvenserne svarende til de tre lydtyper. 3. Hvilke bølgelængder svarer dette til? Øvelse. Flagermus Hvilke frekvenser og bølgelængder kan en agermus høre? Øvelse. øret 1. Find et billede af øret og dets bestanddele på nettet. 2. Navngiv de vigtigste af ørets bestanddele. 3. Notér dig, hvordan øret virker. 4 Oplysningerne stammer fra Databogen i fysik og kemi

60 KAPITEL 7. LYD Øvelse. Lydens hastighed Til mundtlig eksamen opgiver vi forsøget med bestemmelse af lydstyrken (stemmegaen der blev holdt hen over en væskesøjle). På side 95 ser du en anden (og mere unøjagtig) metode til bestemmelse af lydens hastighed. 1. Læg mærke til, at vi bruger sammenhængen s = vt til beregningen. 2. Forstå i alle detaljer, hvordan lydens hastighed beregnes. 3. Hvor kan du forestille dig, at der kan være problemer i beregningen? 4. Notér dig metoden, så du kan fortælle om den til eksamen.

61 KAPITEL 7. LYD Indførelse af stående bølger Vi skal fastlægge betydningen af begrebet stående bølge og eksperimentelt måle lydens hastighed Denition. Interferens To bølger, som mødes interfererer som vist på gurerne herunder Konstruktiv interferens Destruktiv interferens før før under under efter efter Figur 7.3: Interferens Vi ser, at 1. Pulserne fortsætter uændret efter mødet. 2. Når pulserne mødes, bestemmes den resulterende puls ved at lægge de to pulsudsving sammen. 3. Hvis resultatet bliver et større udsving (begge pulser peger i samme retning) kaldes fænomenet konstruktiv interferens. 4. Hvis resultatet bliver et mindre udsving (pulserne peger i hver sin retning) kaldes fænomenet destruktiv interferens.

62 KAPITEL 7. LYD Denition. Stående bølger En stående bølge inderholder punkter, hvor der hele tiden er konstruktiv interferens (buge) og punkter, hvor der hele tiden er destruktiv interferens (knuder). Knude Bug Knude Bug Knude Bug Knude Vi ser, at Figur 7.4: Stående bølge 1. Afstanden mellem to på hinanden følgende knuder er KK = 1 2 λ 2. Afstanden mellem to på hinanden følgende buge er BB = 1 2 λ 3. Afstanden mellem en knude og den nærmeste bug er KB = 1 4 λ Bemærkning Stående bølger kan både dannes ved at "slå en streng an"som f.eks. på en guitar eller en harpe og ved at sende lydbølger frem og tilbage i rør. I begge tilfælde lyder bølgen kraftigere, når der dannes en stående bølge. Som vi skal se sker det, når der er ganske særlige forhold mellem bølgelængden og hhv. snorens eller rørets længde.

63 KAPITEL 7. LYD Stående bølger i rør Hvis der dannes stående bølger i rør f.eks. ved at lade en lydbølge bevæge sig frem og tilbage i røret, så er kravet, at der skal være knude i rørets ende, hvis det er åbent og bug i rørets ende, hvis det er lukket. Åbent rør Halvåbent rør Lukket rør L = 1 2 λ L = 1 4 λ L = 1 2 λ Grundtone L = λ L = 3 4 λ L = λ 1. overtone L = 3 2 λ L = 5 4 λ L = 3 2 λ 2. overtone L = n 2 λ L = 2n 1 4 λ L = n 2 λ Figur 7.5: Stående bølger i rør 1. Læg mærke til, at der i de tre tilfælde er særlige krav til forholdet mellem rørets længde og lydens bølgelængde. I formlerne nederst på gur 7.5 skal n være et naturligt tal n = 1, 2, 3, Den tone, som indeholde færrest knuder og buge kaldes grundtonen; tonen med næstfærrest knuder 1. overtone, så kommer 2. overtone osv. 7.4 Eksperiment. Lydens hastighed og bølgelængde Formål Det eksperimentets formål, at måle lydens bølgelængde og hastighed. Teori 1. Lydens hastighed i atmosfærisk luft ved 20 C v lyd = 343, 37 m s. 2. Når en lydbølge sendes ned i et halvåbent resonansrør dannes der stående bølger, hvis rørets længde opfylder L = 2n 1 λ, hvor λ er lydens bølgelængde 4 og n = 1, 2, 3,...

64 KAPITEL 7. LYD Sammenhængden mellem bølgehastighed v, bølgelængde λ og frekvens f er v = λ f, hvor [v] = m, [λ] =m og [f] =Hz. s Materialer Vi bruger en stemmegael, nogle elastikker, et målebånd og et resonansrør som vist på guren 1. Læg mærke til, at vandsøjlens højde (og dermed resonansrørets længde) kan reguleres ved at hæve og sænke vandskålen. 2. Vi skal i forsøget måle bølgelængden for lyden fra en 440Hz stemmegael. Lydens hastighed er jo ca. v = 343 m. Beregn herudfra et bud på lydens bølgelængde. Brug det til at forudsige de tre første rørlængder (L 1, L 2 og L 3 ) ved s hvilke, der vil opstå stående bølger. 3. Sæt elastikker omkring resonansrøret i disse tre rørlængder. 4. Anslå nu stemmegaen mens vandsøjlens højde reguleres for at nde de præcise værdier af L 1, L 2 og L 3. Bemærk, den stående bølge opdages ved at lyden bliver mærkbart kraftigere ved de rigtige længder. Databehandling 1. Bestem ud fra L 1, L 2 og L 3 lydens bølgelængde 5, idet du lægger mærke til, at L 2 L 1 = L3 L2 = 1 2 λ. 2. Bestem afvigelse fra tabelværdien. 5 Selv om man kunne sige, at L 1 = 1 4 λ, så bruger man ikke denne værdi til at bestemme bølgelængden med, fordi den øverste bug ikke som forventet bender sig præcis ved rørets endepunkt. I stedet er denne bug et lille stykke ovenover rørets endepunkt.

65 Kapitel 8 Lys 8.1 Elektromagnetisk stråling Vi har set, at lydbølger udbreder sig i f.eks. atmosfærisk luft og de kan også udbrede sig i andre gasser eller faste stoer. Rebbølger udbreder sig i rebet og fjederbølger udbreder sig i en fjeder. Disse bølger har ikke mulighed for at udbrede sig, hvis de ikke har et stof at udbrede sig i. Elektromagnetisk stråling er en anden type bølger, som er i stand til at udbrede sig i vakuum. Der ndes forskellige typer af elektromagnetisk stråling: 1. Radiobølger Radio- og TV-signaler, radarbølger og mikrobølger. 2. Radarbølger Bruges i forbindelse med navigation. Man søger at undgå at støde ind i andre fartøjer eller andre store genstande ved at udsende radarbølger. En genstand som rammes heraf vil selv blive sat i svingninger og dermed selv udsende radarbølger. Nu er afsenderen klar over, at der er fare på færde og kan navigere uden om et objekt som måske ikke er synligt. 3. Mikrobølger Mikrobølger kaldes også UHF-bølger, hvor UHF står for Ultra High Frequency eller Ultra Høj Frekvens 1. Mikrobølgerne bruges til at opvarme fødevarer med. 4. Infrarød stråling Kaldes også varmestråling. Jo varmere et stof er, jo hurtigere vibrerer molekylerne omkring deres ligevægtsstilling og des større bliver frekvensen af varmestrålingen. Varmestrålingen er som regel ikke synlig (selv om f.eks. glødende jern udsender rødligt lys). Det udnyttes i forbindelse med termogra, 1 Radarbølger er også UHF-bølger. 64

66 KAPITEL 8. LYS 65 at varmestrålingens frekvenser hænger sammen med temperaturen. Lyse områder på et termogra afslører de områder på en bygning, som er varmest og dermed dårligst isoleret. På denne møde ved man, hvor tømreren skal isolere med størst mulig eekt. 5. Synligt lys Den del af det elektromagnetiske spektrum, som er synligt for det menneskelige øje, kaldes synligt lys. Herunder ses en gur, som viser hhv. bølgelængder og frekvenser for synligt lys Øvelse Herunder det synlige spektrum vist Figur 8.1: Synligt lys Beregn bølgelængderne svarende til violet, blåt, grønt, gul, orange og rød lys, idet du husker, at lysets hastighed er c = m og at 1nm = 10 9 m s Frekvenser for elektromagnetisk stråling Herunder angives frekvenser for elektromagnetisk stråling Type f/hz λ/m Radiobølger Infrarød stråling ultraviolet stråling Røntgenstråling Gammastråling Tabel 8.1: Frekvenser og bølgelængder for elektromagnetisk stråling