Lineære sammenhænge. Udgave Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul"

Transkript

1 Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2, Karsten Juul

2 Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf Lineær regression Hvad fortæller a og b om den lineære sammenhæng y = ax+b? Opgaver hvor vi skal bestemme y eller x i y = ax+b Hvordan kan vi beregne ændringer i y og x for en lineær sammenhæng? Hvordan kan vi bestemme lineære sammenhænge? Lineære sammenhænge 2. udgave Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole.

3 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf Øvelse 1.1 En afgift skal stige med samme antal kr. hver måned. 3 måneder efter at afgiften blev indført, er afgiften 40 kr. 4 måneder efter at afgiften blev indført, er afgiften 45 kr. (a) 5 måneder efter at afgiften blev indført, er afgiften kr. (b) 7 måneder efter at afgiften blev indført, er afgiften kr. (c) 0 måneder efter at afgiften blev indført, er afgiften kr. (d) 60 måneder efter at afgiften blev indført, er afgiften kr. (e) På et tidspunkt vil du udregne hvor stor afgiften er. Så skal du gange antal måneder med og lægge resultatet til. (f) Skriv denne udregning som et regneudtryk på den tomme plads: x måneder efter at afgiften blev indført, er afgiften kr. Øvelse 1.2 Vi køber en plante. Den vokser samme antal mm hver dag. 2 dage efter køb er højden 25 mm 3 dage efter køb er højden 28 mm (a) 4 dage efter køb er højden mm (b) 7 dage efter køb er højden mm (c) 0 dage efter køb er højden mm (d) 20 dage efter køb er højden mm (e) Du vil udregne højden på et bestemt tidspunkt. Så skal du gange antal dage efter køb med og lægge resultatet til. (f) Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem følgende to variable: x = antal dage efter køb Ligning:. y = højde (i mm) Øvelse 1.3 I koordinatsystemet er tegnet to af punkterne på grafen for sammenhængen mellem to variable x og y. Der gælder: y stiger med det samme hver gang x bliver én enhed større. (a) Tegn flere grafpunkter. (b) Når x = 3 er y =. (c) Når x = 0 er y =. (d) Når x = 100 er y =. (e) Vi kan udregne y ved at gange værdien af x med og lægge resultatet til. (f) Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem x og y :. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

4 Øvelse 1.4 Der er tegnet et af punkterne på grafen for sammenhængen mellem x og y. Når x stiger fra 1 til 2, vil y blive 0, 8 enheder større. Når x stiger fra 2 til 3, vil y blive 0, 4 enheder større. Når x stiger fra 3 til 4, vil y blive 0, 2 enheder større. (a) Tegn nogle flere grafpunkter. Øvelse 1.5 I koordinatsystemet er tegnet to af punkterne på grafen for sammenhængen mellem to variable x og y. Der gælder: Grafens punkter ligger på en ret linje. (Tegn ikke denne linje). (a) Når x stiger fra 2 til 3, vil y blive enheder større. (b) Når x = 4, er y =. (c) Når x = 0, er y =. (d) Når x = 20, er y =. (e) For at udregne værdien af y skal vi gange værdien af x med og lægge resultatet til. (f) Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem x og y :. Øvelse 1.6 Vi har fået en sæk mønter. Hver dag bruger vi samme antal af disse mønter. Om 8 dage er der 4700 mønter i sækken. Om 9 dage er der 4450 mønter i sækken. (a) Om 10 dage er der mønter i sækken. (b) Om 23 dage er der mønter i sækken. (c) Nu er der mønter i sækken. (d) Vi kan udregne antal mønter i sækken ved at gange antal dage med og trække resultatet fra eller ved at gange antal dage med og lægge resultatet til. (e) Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem de to variable x = antal dage y = antal mønter i sækken Ligning:. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

5 Øvelse 1.7 Den rette linje viser sammenhængen mellem x og y. (a) Når x = 4 er y =. (b) Når x = 0 er y =. (c) Når x ændres fra 0 til 1, så vil y blive enheder mindre. (d) Når x ændres fra 1 til 2, så vil y blive enheder mindre. (e) Når x = 10, er y =. (f) Vi kan beregne værdien af y ved at gange værdien af x med og trække resultatet fra eller ved at gange værdien af x med og lægge resultatet til. (g) Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem x og y :. Øvelse 1.8 Grafen viser sammenhængen mellem følgende to variable: x = antal minutter efter at hanen blev åbnet y = vanddybden i cm (a) 0 minutter efter at hanen blev åbnet, var vanddybden cm, og hvert minut bliver dybden cm større. (b) 20 minutter efter at hanen blev åbnet, er vanddybden cm. (c) Skriv ligning der viser sammenhængen mellem x og y :. (d) minutter efter at hanen blev åbnet er vanddybden 96 cm. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

6 DEFINITION 1.9 En sammenhæng mellem to variable x og y er lineær, hvis den kan beskrives med en ligning på formen y = a x + b Eksempel 1.10 Ligningen y = x viser sammenhængen mellem to variable x og y. Ligningen kan omskrives til y = 2 x + 16 så ligningen er på formen y = a x + b med a = 2 og b = 16. Der er altså tale om en lineær sammenhæng. En oplysning om hvad et bestemt ord skal betyde, kalder man en DEFINITION. Ligningen y = 3x 8 kan omskrives til y = 3 x + ( 8) og er derfor på formen y = a x + b med a = 3 og b = 8. Ligningen y = 10 x kan omskrives til y = ( 1) x + 10 og er derfor på formen y = a x + b med a = 1 og b = 10. Øvelse 1.11 Omskriv hver ligning til formen y = a x + b, og skriv hvad a og b er: (a) y = 9 5x kan omskrives til y = så a = og b =. (b) y = x 3 kan omskrives til y = så a = og b =. (c) y = 1 + x kan omskrives til y = så a = og b =. (d) y = 8, 5 kan omskrives til y = så a = og b =. (e) y = 2x kan omskrives til y = så a = og b =. (f) y = 5( x 2) kan omskrives til y = så a = og b =. Øvelse 1.12 Omskriv hver ligning til formen y = a x + b, og skriv hvad a og b er: (a) y = 4 x + 5 kan omskrives til y = så a = og b =. (b) y = 10x kan omskrives til y = så a = og b =. (c) y = 10 kan omskrives til y = så a = og b =. (d) y = 2 (3 x) kan omskrives til y = så a = og b =. (e) y = 8 + 3x kan omskrives til y = så a = og b =. (f) y = 2 x + 5x kan omskrives til y = så a = og b =. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

7 SÆTNING 1.13 De lineære sammenhænge er de sammenhænge hvor grafen er en ret linje (eller en del af en ret linje). Eksempel 1.14 Opgave: Tegn grafen for sammenhængen y = 0,5x + 0, 7. Hvis en oplysning om noget der gælder, er særlig vigtig, så kalder man denne oplysning for en SÆTNING. Besvarelse: Da grafen er en ret linje (ifølge sætning 1.13), behøver vi kun udregne to punkter for at kunne tegne den. For at få stor nøjagtighed skal de to punkter ligge langt fra hinanden. Når x = 3 er y = 0,5 ( 3) + 0,7 = 0, 8 Når x = 4 er y = 0, ,7 = 2, 7 Nu kan vi tegne grafen som den rette linje gennem punkterne ( 3, 0,8) og ( 4, 2,7). Se figur. Øvelse 1.15 Denne øvelse drejer sig om grafen for sammenhængen y = 0,8x + 2. (a) Hvorfor kan vi for denne graf nøjes med to støttepunkter? (Se 1.14). (b) Tegn et koordinatsystem hvor både x-akse og y- akse går fra 6 til 6. (c) Hvis vi skal tegne grafen i dette koordinatsystem, hvorfor dur det så ikke at bruge de to støttepunkter der har x-koordinater 0 og 1? (Se 1.14). (d) Tegn grafen i det tegnede koordinatsystem Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

8 SÆTNING 1.16 En lineær sammenhæng y = ax + b er aftagende hvis a er negativ og voksende hvis a er positiv. Øvelse 1.17 På figuren er vist graferne for tre lineære sammenhænge y = ax + b. Afgør for hver af sammenhængene I, II og III om a er positiv eller negativ. Skriv positiv eller negativ. (a) For I er a. (b) For II er a. (c) For III er a. I II III Øvelse 1.18 For hver sammenhæng y = ax + b nedenfor skal du (ved at udfylde de tomme pladser) skrive om den er voksende eller aftagende, og begrunde det: (a) y = 0,2x 3 er da tallet a = er. (b) y = 4 + x er da tallet a = er. (c) y = x 2 er da tallet a = er. (d) y = 0,6 4x er da tallet a = er. (e) y = x er da tallet a = er. Øvelse 1.19 (a) Et punkt kan trækkes frem og tilbage på grafen for y = 0,2x 4. Hvis punktets x-koordinat bliver større, vil dets y-koordinat blive. (b) Et punkt kan trækkes frem og tilbage på grafen for y = 4x 0, 5. Hvis punktets x-koordinat bliver større, vil dets y-koordinat blive. (c) Et punkt kan trækkes frem og tilbage på grafen for y = 3 + 2x. Hvis punktets x-koordinat bliver større, vil dets y-koordinat blive. Øvelse 1.20 (a) Ligningen y = x viser sammenhængen mellem x = varens vægt i gram og y = pris pr. gram i kr. Jo tungere varen er, jo er prisen pr. gram. (b) Ligningen y = 2 x viser sammenhængen mellem x = varens vægt i gram og y = pris pr. gram i kr. Jo tungere varen er, jo er prisen pr. gram. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

9 2. Lineær regression Eksempel 2.1 For en bestemt cykeltur ser vi på følgende to variable: x = antal minutter efter kl. 12 y = antal kørte km Vi har fået oplyst følgende: x: y: 2,5 7,9 12,1 17,3 22,5 27,7 I tabellen ser vi f.eks. at 10 minutter efter kl. 12 har cyklisten kørt 2,5 km, og 20 minutter efter kl. 12 har cylisten kørt 7,9 km. (Det fremgår ikke hvornår cyklisten startede turen). Vi vil bruge vores elektroniske hjælpemiddel til at udregne den lineære sammenhæng der passer bedst med tabellen. Det gør vi sådan: Først indaster vi tabellens tal sådan at x-værdierne kommer på den vandrette akse, og y- værdierne kommer på den lodrette akse. Derefter vælger vi at få udført lineær regression. Så fremkommer et skærmbillede der ligner følgende: y = 0,5x 2,5 På skærmbilledet ser vi: Punkter der viser oplysningerne i tabellen. Grafen for den lineære sammenhæng der passer bedst med tabellen. Ligningen for denne sammenhæng. At punkterne ikke ligger præcis på linjen, men tæt på, så den lineære sammenhæng er en god tilmærmelse. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

10 Øvelse 2.2 Vi ser på følgende to variable: x = antal dage efter 1. november y = antal æbler vi har tilbage Vi har noteret følgende: x: y: (a) Brug regression til at udregne en ligning for den lineære sammenhæng der passer bedst med tabellen. (b) Brug skærmbilledet med punkter og linje til at besvare spørgsmålet: På hvilket tidspunkt afviger den fundne lineære sammenhæng mest fra tabellens tal? Vi går ud fra at vi fortsætter med at spise æblerne i ca. samme tempo. Så kan vi bruge ligningen vi fandt i (a), til at besvare de følgende spørgsmål. (c) Hvor mange æbler har vi tilbage 100 dage efter 1. november? (d) Hvor mange dage går der efter 1. november før der kun er 100 æbler tilbage? (e) Hvor mange dage går der efter 1. november før der ikke er flere æbler tilbage? Eksempel 2.3 Grafen for en lineær sammenhæng går gennem punkterne ( x, y) = ( 7, 1) og ( x, y) = (8, 4). På figuren er vist hvordan vi kan indtaste disse tal. Vi vælger at få udført lineær regression og ser at y = 0,2x + 2,4 er en ligning for den lineære sammenhæng hvis graf går gennem de to punkter. Øvelse 2.4 I koordinatsystemet ser vi grafen for en lineær sammenhæng. Brug metoden fra eksempel 2.3 til at udregne en ligning for denne sammenhæng. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

11 Øvelse 2.5 Grafen for en lineær sammenhæng mellem to variable x og y går gennem punkterne ( x, y) = (1, 12) og ( x, y) = (4, 3). (a) Brug metoden fra 2.3 til at udregne en ligning for denne lineære sammenhæng. (b) Brug svaret på (a) til at udregne y-koordinaten til det grafpunkt der har x-koordinat 7. (c) Brug svaret på (a) til at udregne x-koordinaten til det grafpunkt der har y-koordinat 14. Øvelse 2.6 Der er en lineær sammenhæng mellem de variable x = vægten i gram y = prisen i kr. Vi ved følgende: Når vægten er 200 gram, er prisen 51 kr. Når vægten er 500 gram, er prisen 126 kr. Grafen for denne sammenhæng går gennem punkterne ( x, y) = (, ) og ( x, y) = (, ). Udregn en ligning for denne sammenhæng. Øvelse 2.7 Der er en lineær sammenhæng mellem de variable x = antal dage efter at planten blev købt (kan være negativ) y = plantens højde i cm Seks dage før købet var højden 108 cm, og fjorten dage efter købet var højden 113 cm. (a) Udregn en ligning der viser sammenhængen mellem plantens højde og antal dage efter køb. (b) Hvornår er plantens højde 150 cm? Øvelse 2.8 Et bestemt dyr vokser sådan at der er en lineær sammenhæng mellem omkreds x (målt i mm) og længde y (målt i mm). Når omkredsen er 1 mm, er længden 8 mm, og når omkredsen er 3 mm, er længden 23 mm. Udregn en ligning der viser sammenhængen mellem omkreds og længde. Øvelse 2.9 I denne opgave måles temperatur i C. Der er en lineær sammenhæng mellem temperaturen x i A og temperaturen y i B. Når temperaturen i A er 10 C, så vil temperaturen i B være 14 C, og når temperaturen i A er 2 C, vil temperaturen i B være 34 C. (a) Udregn en ligning der viser sammenhængen mellem temperaturerne i A og B. (b) Hvad er temperaturen i B når temperaturen i A er 0 C? (c) Hvad er temperaturen i A når temperaturen i B er 0 C? Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

12 Øvelse 2.10 Vi har målt nogle blade fra en busk: Længde i cm 5,4 6,1 6,7 7,3 7,9 8,2 Bredde i cm 6,5 7,7 8,7 9,3 9,6 9,7 (a) Brug metoden fra eksempel 2.1 til at udregne ligningen for den lineære sammenhæng der passer bedst med de målte tal. Ligning: (b) Tegn den lineære graf og de punkter der viser de målte tal. (c) Brug ligningen fra (a) til at udregne bredden af et blad som har længde 6,7 cm, og vis hvordan samme resultat kan aflæses på figuren. (d) Er det udregnede tal i (c) for stort eller for lille i forhold til virkeligheden (de målte tal)? (e) Brug ligningen fra (a) til at udregne bredden af et blad som har længde 8,5 cm. (f) Er det udregnede tal i (e) mon for stort eller for lille? Brug figuren til at begrunde dit svar. (g) Er en lineær sammenhæng god til at beskrive de målte tal? Brug figuren til at begrunde dit svar. Øvelse 2.11 Vi måler trykket i en beholder flere gang i løbet af en dag: Timer 0,6 1,5 3,0 4,0 5,0 6,0 6,5 8,0 9,3 Tryk (MPa) 3,3 2,6 1,5 1,1 0,3 0,2 0,3 0,2 0,2 Oplysningerne i tabellen afsætter vi som punkter i koordinatsystemet: Vi ser at vi i begyndelsen med god tilnærmelse kan beskrive udviklingen i trykkets størrelse ved hjælp af en lineær sammenhæng. (a) Udregn en ligning for denne sammenhæng (angiv hvilke tal du bruger, og hvad du gør ved disse tal). (b) Tegn grafen for denne sammenhæng i koordinatsystemet. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

13 3. Hvad fortæller a og b om den lineære sammenhæng y = a x + b? Eksempel 3.1 Hvad fortæller a og b? Mellem de variable x = antal uger efter at foreningen blev oprettet y = antal medlemmer er der følgende sammenhæng: x = y. antal uger antal medlemmer Når x = 0 er y lig 70 plus 0 gange 25, dvs. y = 70. Når x = 1 er y lig 70 plus 1 gange 25. Når x = 2 er y lig 70 plus 2 gange 25. Når x = 3 er y lig 70 plus 3 gange 25. Dvs. Antal medlemmer er 70 plus 25 for hver uge der er gået. Tallene 25 og 70 fra ligningen y = 25 x + 70 fortæller følgende om antallet af medlemmer: Hver uge bliver antallet af medlemmer 25 større. Da foreningen blev oprettet, var der 70 medlemmer. Øvelse 3.2 Se i eksempel 3.1 hvad du skal gøre! Mellem de variable x = antal minutter efter at hanen blev åbnet y = antal liter i karret er der følgende sammenhæng: y antal liter = 3 x + 14 antal minutter Når x = 0 er y lig. Når x = 2 er y lig plus gange. Når x = 3 er y lig plus gange. Når x = 4 er y lig plus gange. Dvs. Antal liter er plus for hvert minut der er gået. Tallene 3 og 14 fra ligningen y = 3 x + 14 fortæller følgende om vandet i karret: Hvert minut Da hanen blev åbnet Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

14 Øvelse 3.3 Eksempel hvor x ikke er tiden. For en bestemt busk vokser bredden hurtigere end højden. Mellem de variable x = bredde (i cm) y = højde (i cm) er der følgende sammenhæng: y = 0,8 x + 2 højde bredde Dvs. Når x = 2 er y lig plus gange. Når x = 3 er y lig plus gange. Når x = 4 er y lig plus gange. Højden er plus for hver cm i bredden. Tallet 0, 8 fra ligningen y = 0,8x + 2 fortæller følgende om busken: Højden bliver cm større hver gang bredden Øvelse 3.4 Eksempel hvor a er negativ. Mellem de variable x = antal dage efter at der blev lagt brød i skabet er der følgende sammenhæng: y = 4 x y = antal brød i skabet (a) Når x = 0 er y lig plus 0 gange, dvs. y =. Når x = 1 er y lig plus 1 gange, dvs. y =. Når x = 2 er y lig plus gange, dvs. y =. Når x = 3 er y lig plus gange, dvs. y =. Hvis der i dag er 8 brød tilbage, så vil der i morgen være brød tilbage. Tirsdag er antallet af brød mindre end det var mandag. (b) Tallene 4 og 28 fortæller følgende om antallet af brød i skabet: Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

15 Øvelse 3.5 I et havområde gælder y = 0,1x hvor x = afstand til havbunden (i meter) y = tryk (i atmosfære) (a) Når x = 0 er y lig plus 0 gange, dvs. y =. Når x = 1 er y lig plus 1 gange, dvs. y =. Når x = 2 er y lig plus gange, dvs. y =. Når x = 3 er y lig plus gange, dvs. y =. (b) Tallene 0, 1 og 460 fortæller følgende om trykket: Øvelse 3.6 Mellem de variable x = tiden (målt i uger efter 1. maj) y = dyrets vægt (målt i gram) er der følgende sammenhæng: y = 15 x + 80 Hvad fortæller tallene 15 og 80 om dyrets vægt? Eksempel 3.7 Skrive en ligning for en sammenhæng Følgende gælder om en plante: Højden vokser med 1,5 cm pr. uge Højden var 27,0 cm da planten blev købt. Vi vælger følgende betegnelser: x = antal uger efter at planten blev købt y = højden (i cm) Efter 0 dage er y lig 27,0. Efter 1 dag er y lig 27,0 plus 1,5. Efter 2 dage er y lig 27,0 plus 2 gange 1,5. Efter 10 dage er y lig 27,0 plus 10 gange 1,5. Efter x dage er y lig 27,0 plus x gange 1,5. Vi kan nu skrive en ligning for sammenhængen mellem tidspunkt og højde: y = 1,5x + 27,0 Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

16 Øvelse 3.8 I denne opgave er x = antal meter under overfladen og y = trykket (i atmosfære). Trykket (i atmosfære) er 1 ved overfladen, og stiger med 0,1 hver gang man kommer 1 meter længere ned. 0 meter nede er y lig plus gange 0, 1. 1 meter nede er y lig plus gange 0, 1. 2 meter nede er y lig plus gange 0, meter nede er y lig plus gange 0, 1. x meter nede er y lig plus gange 0, 1. Vi kan nu skrive en ligning for sammenhængen mellem tryk og antal meter under overfladen: y = Øvelse 3.9 Skrive ligning når y aftager I denne opgave er x = antal dage efter månedens start og y = formuens størrelse (i kr.). Der gælder: Ved månedens start er formuen på kr. Hver dag bliver formuen 2000 kr. mindre. Efter 0 dage er y lig plus gange 2000, dvs, y =. Efter 5 dage er y lig plus gange 2000, dvs, y =. Efter x dage er y lig plus gange Vi kan nu skrive en ligning for sammenhængen mellem formuen og tidspunktet: y = Øvelse 3.10 Skrive ligning når tidspunkter er årstal I denne opgave er x = antal år efter 2004 y = afgiften (i kr.) Følgende er oplyst: I 2004 er afgiften 900 kr. Hvert år stiger afgiften med 200 kr. (a) Efter 0 år er y lig plus gange, dvs, y =. (b) Efter 6 år er y lig plus gange, dvs, y =. (c) Efter x år er y lig plus gange. Vi kan nu skrive en ligning for sammenhængen mellem afgiften og tidspunktet: y = BEMÆRK: Vi sætter ikke x lig årstallet. Vi sætter x lig antal år efter et eller andet årstal, fx 2004 eller Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

17 Øvelse 3.11 Se 3.10 I 2008 er antallet af elever 1500, og i de kommende år skal antallet stige med 93 om året. For at skrive en ligning der viser sammenhængen mellem antal elever og tidspunktet, starter vi med at fastsætte: x = antal år efter. y =. Skriv linjer der ligner (a)-(c) fra 3.10: (a) (b) (c) Vi kan nu skrive en ligning for sammenhængen mellem antallet af elever og tidspunktet: y = Øvelse 3.12 I 1995 var der 840 pladser, og hvert af de følgende år blev antallet nedsat med 28. Brug metoderne fra eksempel 3.10 til at skrive en ligning der viser sammenhængen mellem antal pladser y og tidspunktet x. Øvelse 3.13 Fra 1990 til 2008 blev et træ 0,8 meter højere hvert år. I 1992 var højden 3,9 meter. Vi sætter y = højden (i meter) x = tidspunktet (i år) I hvert af følgende tilfælde skal du skrive en ligning der viser sammenhængen mellem y og x. (1) x måles i år efter 1992 (x kan være negativ) (2) x måles i år efter 1990 (3) x måles i år efter 2000 (x kan være negativ) Øvelse 3.14 Mængden af salt i en sø stiger med 800 kg pr. år. I 2007 var der 7200 kg salt i søen. Vi vil skrive en ligning der viser sammenhængen mellem tidspunkt og mængde af salt. Før vi kan skrive en ligning, må vi skrive hvad x og y står for: x = y = Vi kan nu skrive en ligning for sammenhængen mellem afgiften og tidspunktet: y = BEMÆRK: Vi sætter ikke x lig årstallet. Vi sætter x lig antal år efter et eller andet årstal. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

18 4. Opgaver hvor vi skal bestemme y eller x i y = ax + b Eksempel 4.1 For nogle skiver der findes i forskellige størrelser, gælder (1) y = 0,2x + 0, 1 hvor y er tykkelsen, målt i mm, og x er diameteren, målt i mm. Spørgsmål (a): Hvad er tykkelsen af en skive hvis diameter er 14 mm? Svar: Under ligningen (1) står at x er diameteren, så da det oplyste tal 14 er en diameter, skal 14 indsættes på x 's plads: y = 0, ,1 Ved at udregne dette får vi y = 2,9. Under ligningen (1) står at y er tykkelsen, så en skive med diameter 14 mm har tykkelsen 2,9 mm. Spørgsmål (b): Hvad er diameteren af en skive hvis tykkelse er 4,5 mm? Svar: Under ligningen (1) står at y er tykkelsen, så da det oplyste tal 4,5 er en tykkelse, skal 4,5 indsættes på y 's plads: 4,5 = 0,2x + 0,1 For at løse denne ligning starter vi med at trække 0,1 fra på begge sider: 4,4 = 0,2x Derefter dividerer vi begge sider med 0,2: 4,4 0,2x = 0,2 0,2 Vi får 22 = x Under ligningen (1) står at x er diameteren, så en skive med tykkelse 4,5 mm har diameteren 22 mm. Øvelse 4.2 Om en vare er oplyst at y = 3,65x + 8,90 hvor y er prisen i kr. og x er bredden i cm. (1) Hvad er bredden når prisen er 28,61 kr.? (2) Hvad er prisen når bredden er 8 cm? Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

19 Eksempel 4.3 Fortsættelse af 4.1 I følgende spørgsmål står t for et tal som ikke er oplyst. Spørgsmål (c): Hvad er diameteren af en skive hvis tykkelse er t mm? (Se eksempel 4.1) Svar: Under ligningen (1) står at y er tykkelsen, så da det oplyste tal t er en tykkelse, skal t indsættes på y 's plads: t = 0,2x + 0,1 For at løse denne ligning mht. x starter vi med at trække 0,1 fra på begge sider: t 0,1 = 0, 2x Derefter dividerer vi begge sider med 0,2: t 0,1 0,2x = 0,2 0,2 Vi får t 0,1 = x 0,2 Under ligningen (1) står at x er diameteren, så for en skive med tykkelse t mm er diameteren i mm lig (2) t 0,1 0,2. Bemærkning: Hvis t = 4, 5 får vi af (2) at diameteren i mm er 4,5 0,1 0,2 = 22. Øvelse 4.4 Vi beskæftiger os stadig med varerne fra øvelse 4.2. (a) Hvis p står for prisen på en af varerne, hvad er så bredden af denne vare (udtrykt ved p)? (b) Vis hvordan svaret på (a) kan bruges til at besvare første spørgsmål i øvelse 4.2. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

20 5. Hvordan kan vi beregne ændringer i y og x for en lineær sammenhæng? Eksempel 5.1 For en plante gælder (1) y = 1,5x + 3, 7 hvor y er vægten, målt i gram, og x er længden målt i cm. Spørgsmål (a): Nu er plantens længde 5,2 cm. Hvor meget tungere end nu vil planten være når den er blevet 2,6 cm længere? Svar: x er 5,2. Spørgsmålet er: hvor meget større bliver y når x bliver 2,6 enheder større? Når x er blevet 2,6 enheder større, så har x størrelsen 5,2 + 2,6 = 7,8 Vi bestemmer y når x er 5,2 og 7,8: Når x = 5, 2 er y = 1,5 5,2 + 3,7 = 11, 5. Når x = 7, 8 er y = 1,5 7,8 + 3,7 = 15, 4. Da x voksede fra 5,2 til 7,8, så voksede y altså fra 11,5 til 15,4. Nu kan vi nemt regne ud hvor meget større y er blevet: 15,4 11,5 = 3,9 Der gælder altså: Planten blev 3,9 gram tungere da den blev 2,6 cm længere. Bemærkning: Trinene i udregningerne er vist nedenfor. + x 5,2? y + x 5,2 7,8 y?? Trin 1 Trin 2 + 2, 6 + 2, 6 x 5,2 7,8 x 5,2 7,8 y 11,5 15,4 y 11,5 15,4 +? + 3, 9 Trin 3 Trin 4 Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

21 Øvelse 5.2 Spørgsmålene drejer sig om planten fra eksempel 5.1. Nu er plantens længde 3,6 cm. (1) Hvad er plantens længde når den er blevet 1,8 cm længere? (2) Hvad er plantens vægt nu? (3) Hvad er plantens vægt når den er blevet 1,8 cm længere? (4) Hvor meget tungere end nu vil planten være når den er blevet 1,8 cm længere? (5) Hvor meget tungere end nu vil planten være når den er blevet 3,2 cm længere? Eksempel 5.3 Fortsættelse af eksempel 5.1 Spørgsmål (b): Nu vejer planten 7,9 gram. Hvor meget længere end nu vil planten være når den er blevet 2,1 gram tungere? Svar: y er 7,9. Spørgsmålet er: hvor meget større bliver x når y bliver 2,1 enheder større? Når y er blevet 2,1 enheder større, så har y størrelsen 7,9 + 2,1 = 10,0 Vi bestemmer x når y er 7,9 og 10,0: Ved at løse ligningen 7,9 = 1,5 x + 3, 7 får vi x = 2, 8. Ved at løse ligningen 10,0 = 1,5 x + 3, 7 får vi x = 4, 2. Da y voksede fra 7,9 til 10,0, så voksede x altså fra 2,8 til 4,2. Nu kan vi nemt regne ud hvor meget større x er blevet: 4,2 2,8 = 1,4 Der gælder altså: Planten blev 1,4 cm længere da den blev 2,1 gram tungere. Bemærkning: Trinene i udregningerne er vist nedenfor. x x?? y 7,9? y 7,9 10,0 + 2, 1 + 2, 1 Trin 1 Trin 2 +? + 1, 4 x 2,8 4,2 x 2,8 4,2 y 7,9 10,0 y 7,9 10,0 + 2, 1 + 2, 1 Trin 3 Trin 4 Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

22 Øvelse 5.4 Spørgsmålene drejer sig om planten fra eksempel 5.1. Nu er plantens vægt 4,9 gram. (1) Hvad er plantens vægt når den er blevet 1,2 gram tungere? (2) Hvad er plantens længde nu? (3) Hvad er plantens længde når den er blevet 1,2 gram tungere? (4) Hvor meget længere end nu vil planten være når den er blevet 1,2 gram tungere? (5) Hvor meget længere end nu vil planten være når den er blevet 3 gram tungere? Eksempel 5.5 Fortsættelse af eksempel 5.1 I følgende spørgsmål står t for et tal som ikke er oplyst. Spørgsmål (c): Nu er plantens længde 5,2 cm. Hvor meget tungere end nu vil planten være når den er blevet t cm længere? (Se eksempel 11.1) Svar: x er 5,2. Spørgsmålet er: hvor meget større bliver y når x bliver t enheder større? Når x er blevet t enheder større, så har x størrelsen 5,2 + t Vi bestemmer y når x er 5,2 og 5,2+ t : Når x = 5, 2 er y = 1,5 5,2 + 3,7 = 11, 5 Der er parentes da 1,5 skal ganges med det vi får når 5,2 lægges til t. Når x = 5, 2+ t er y = 1,5 (5,2+ t) + 3,7 = 7,8 + 1,5t + 3,7 = 11,5 + 1, 5t Vi kan nu regne ud hvor meget større y er blevet: 11,5 + 1,5t 11,5 = 1, 5t Der gælder altså at da planten blev t cm længere, så var vægtstigningen i gram 1,5t Bemærkninger: Opgavens resultat kan vi anskueliggøre sådan: + t x 5,2 y + 1,5 t Stigningen i y-værdien er halvanden gange stigningen i x-værdien. Øvelse 5.6 I bemærkningerne ovenfor står en regel om planten fra 5.1. Vis hvordan reglen kan bruges til at besvare følgende spørgsmål: (1) Nu er plantens længde 5,2 cm. Hvor meget tungere end nu vil planten være når den er blevet 1 cm længere? (2) Nu er plantens længde 5,2 cm. Hvor meget tungere end nu vil planten være når den er blevet 2 cm længere? (3) Nu er plantens længde 5,2 cm. Hvor meget tungere end nu vil planten være når den er blevet 10 cm længere? Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

23 Eksempel 5.7 Fortsættelse af eksempel 5.1 I følgende spørgsmål står t for et tal som ikke er oplyst. Spørgsmål (d): Når x starter med at have værdien t og vi derefter gør x 1 enhed større, hvor meget større bliver så y? (Se eksempel 11.1) Dette spørgsmål anskueliggør vi her: x y t + 1 +? Svar: Værdien af x ændrer vi fra t til t + 1. Når x = t er y = 1,5t + 3, 7 Når x = t+ 1 er y = 1,5( t+ 1) + 3,7 = 1,5 t + 1,5 + 3,7 = 1,5 t + 5, 2 Vi kan nu regne ud hvor meget større y bliver når vi ændrer x fra t til t + 1 : 1,5t + 5,2 (1,5 t + 3,7) = 1,5 t + 5,2 1,5 t 3,7 = Altså gælder at y bliver 1, 5 større når x bliver 1 enhed større. 1,5 Bemærkning: Start-tallet t indgår ikke i svaret. Der gælder altså: Hver gang x bliver 1 enhed større, så vil y blive 1,5 enheder større. Øvelse 5.8 I bemærkningen ovenfor står en regel om planten fra 5.1. Vis hvordan reglen kan bruges til at besvare følgende spørgsmål: (1) Hvor meget tungere bliver planten når den bliver 1 cm længere? (2) Hvor meget tungere bliver planten når den bliver 2 cm længere? (3) Hvor meget tungere bliver planten når den bliver 3 cm længere? Øvelse 5.9 Ligningen y = 5 x + 2 viser sammenhængen mellem to variable x og y. (1) Find ud af hvad der skal stå efter sidste lighedstegn: Når x = t er y = (2) Find ud af hvilket reduceret udtryk der skal stå efter sidste lighedstegn: Når x = t+ 1 er y = 5( t+ 1) + 2 = (3) Find ud af hvad der skal stå efter de to sidste lighedstegn nedenfor når udregningen skal være omtrent som den i (2) Når x = t+ 2 er y = = Vis hvordan dine svar på foregående spørgsmål kan bruges til at besvare følgende to spørgsmål: (4) Hvor mange enheder bliver y større når x bliver 1 enhed større. (5) Hvor mange enheder bliver y større når x bliver 2 enhed større. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

24 Eksempel 5.10 I dette eksempel står både a, b og t for tal som ikke er oplyst. Ligningen (1) y = ax + b viser sammenhængen mellem to variable y og x. Spørgsmål (a): Hvilken ændring sker i værdien af y, når x ændrer værdi fra t til t + 1? Svar: Vi regner ud hvad y er når x er t og t + 1 : Når x = t er y = at + b Når x = t+ 1 er y = a( t+ 1) + b = at + a + b Vi udregner nu ændringen i værdien af y : at + a + b ( at + b) = at + a + b at b = Dvs. når x ændres fra t til t + 1, så lægges a til værdien af y. Bemærkninger: Udregningen i svaret kan vi anskueliggøre sådan: + 1 x t t+1 y at+b at+a+b + a Udregningen viser at uanset hvilken startværdi x har, så lægges der a til værdien af y når der lægges 1 til værdien af x. Bemærk at a kan være negativ. Hvis a er 2, så bliver y altså 2 enheder mindre hver gang x bliver 1 enhed større. Svaret på (a) er et BEVIS for sætning 5.11(a) nedenfor. Hvad er et BEVIS? Et bevis for en påstand er nogle logiske slutninger der gør det fuldstændig sikkert at påstanden gælder. Her er et bevis for sætning 5.11(b): Når x = 0, er y = a 0 + b, dvs. y = b. a SÆTNING 5.11 Betydningen af a og b i y = ax + b. For en lineær sammenhæng y = ax + b gælder at (a) hver gang x bliver 1 enhed større, så vil y blive a enheder større. (b) når x er 0, er y lig b. Øvelse 5.12 Ligningen y = 4 x viser en lineær sammenhæng. (a) Hvor meget større bliver y når vi gør x 1 enhed større? (Brug sætning 5.11). (b) Hvor meget større bliver y når vi gør x 10 enheder større? (Brug svaret på (a) ). Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

25 6. Hvordan kan vi bestemme lineære sammenhænge? Eksempel 6.1 Hvordan kan vi udfylde resten af en tabel for en lineær sammenhæng? Spørgsmål: I tabellen er skrevet to af y-værdierne i en lineær sammenhæng y = ax + b. x y 5 6,5 Udfyld resten af tabellen. Svar: Først bruger vi betydningen af a i y = ax + b (5.11a) til at finde a: Af tabellen ovenfor ses at når x ændres fra 1 til 2, så ændres y fra 5 til 6,5. Dvs. når x bliver 1 enhed større, vil y blive 1,5 enheder større. Så må a være 1,5, ifølge betydningen af a i y = ax + b (5.11a). Så bruger vi betydningen af a i y = ax + b (5.11a) til at finde de andre y-værdier: Ifølge denne regel skal vi lægge 1,5 til y hver gang vi lægger 1 til x: Den udfyldte tabel: ,5 + 1, 5 x y 1 0,5 2 3,5 5 6,5 8 Bemærkning: Af betydningen af b i y = ax + b (5.11b) følger at b er 3,5, så ligningen for sammenhængen er y = 1,5x + 3, 5. Øvelse 6.2 I tabellen er skrevet to af y-værdierne i en lineær sammenhæng y = ax + b. x y 5 9 (a) Brug metoden fra 6.1 til at finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser i tabellen. (b) Skriv ligningen for sammenhængen. Øvelse 6.3 I tabellen er skrevet to af y-værdierne i en lineær sammenhæng y = ax + b. x y 7 6,5 (a) Brug metoden fra 6.1 til at finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser i tabellen. (b) Skriv ligningen for sammenhængen. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

26 Øvelse 6.4 I tabellen er skrevet to af y-værdierne i en lineær sammenhæng y = ax + b. x y 4 1 (a) Brug metoden fra 6.1 til at finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser i tabellen. (b) Skriv ligningen for sammenhængen. Øvelse 6.5 I tabellen er skrevet to af y-værdierne i en lineær sammenhæng y = ax + b. x y (a) Brug metoden fra 6.1 til at finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser i tabellen, og læg mærke til at afstanden mellem x-værdierne ikke er den samme alle steder. (b) Skriv ligningen for sammenhængen. Øvelse 6.6 I tabellen er skrevet to af y-værdierne i en lineær sammenhæng y = ax + b. x y (a) Brug metoden fra 6.1 til at finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser i tabellen. (b) Skriv ligningen for sammenhængen. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

27 Eksempel 6.7 Hvordan kan vi tilføje flere grafpunkter? Spørgsmål: På den øverste figur er vist to punkter på grafen for en lineær sammenhæng y = ax + b. Afsæt nogle flere grafpunkter. Svar: Først bruger vi betydningen af a i y = ax + b (5.11a) til at finde a: Det venstre af grafpunkterne ovenfor viser at når x = 2, 5 er y = 2. Det højre af grafpunkterne ovenfor viser at når x = 3, 5 er y = 2, 75. Heraf ser vi at når vi ændrer x fra 2,5 til 3,5, så ændres y fra 2 til 2,75. Dvs. når x bliver 1 enhed større, vil y blive 0,75 enheder større. Så må a være 0,75, ifølge betydningen af a i y = ax + b (5.11a). Så bruger vi betydningen af a i y = ax + b (5.11a) til at finde flere grafpunkter: Ifølge denne sætning skal vi lægge 0,75 til y hver gang vi lægger 1 til x. Nedenfor er vist hvordan vi udnytter dette til at afsætte flere grafpunkter. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

28 Øvelse 6.8 (a) I hvert koordinatsystem er vist to punkter på grafen for en lineær sammenhæng y = ax + b. Brug metoden fra 6.7 til at afsætte nogle flere grafpunkter på hver af de fire grafer. (b) For hver af de fire sammenhænge skal du angive hvad y er når x = 0. (c) For hver af de fire sammenhænge skal du skrive en ligning på formen på figuren vi kan se hvad b er for et tal. y = ax + b og vise hvor Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

29 Eksempel 6.9 Hvordan kan vi finde ligningen y = ax + b ud fra grafen? Spørgsmål: Figuren nedenfor til venstre viser grafen for en lineær sammenhæng y = ax + b. Skriv ligningen for denne sammenhæng. Svar: På figuren til højre er vist at når et punkt trækkes langs grafen så x bliver 1 større, så lægges 2 til y, så af betydningen af a i y = ax + b (5.11a) følger at a = 2. På figuren ses også at når x = 0, er y = 1, så af betydningen af b i y = ax + b (5.11b) følger at b = 1. Ligningen for sammenhængen er altså y = 2 x ( 2) a = 2 b = 1 Øvelse 6.10 I koordinatsystemet er tegnet grafen for en lineær sammenhæng y = ax + b. Forestil dig et punkt P som kan trækkes frem og tilbage langs grafen. (a) Anbring P så dets x-koordinat er 2. Hvad er så y-koordinaten for P? (b) Træk derefter P langs grafen så dets x-koordinat bliver 1 enhed større. Hvor meget større blev dets y-koordinat? (c) Træk P hen til det grafpunkt som har x-koordinaten 0. Hvad er nu y-koordinaten for P? (d) Hvilket tal står a for? (Brug svaret på (b)). (e) Hvilket tal står b for? (Brug svaret på (c)). Øvelse 6.11 I koordinatsystemet er tegnet grafen for en lineær sammenhæng. (a) Når et punkt trækkes langs grafen så dets x-koordinat bliver 1 større, hvad sker der så med dets y-koordinat? (b) Hvad er y-koordinaten til det grafpunkt der har x-koordinat 0? (c) Brug svarene på de to foregående spørgsmål til at skrive en ligning for den lineære sammenhæng. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

30 Øvelse 6.12 I koordinatsystemet er tegnet grafen for en lineær sammenhæng y = ax + b. Forestil dig et punkt P som kan trækkes frem og tilbage langs grafen. (a) Anbring P så dets x-koordinat er 2. Træk derefter P langs grafen så dets x-koordinat bliver 3 enheder større. Hvor meget større blev dets y-koordinat? (b) Anbring P så dets x-koordinat er 2. Træk derefter P langs grafen så dets x-koordinat bliver 1 enhed større. Hvor meget større blev dets y-koordinat? (Brug svaret på (a)). (c) Hvad er y-koordinaten til det grafpunkt der har x-koordinat 0? (d) Brug svarene på de to foregående spørgsmål til at opskrive en ligning for den lineære sammenhæng. Øvelse 6.13 I koordinatsystemet er tegnet grafen for en lineær sammenhæng. (a) Når et punkt trækkes langs grafen så dets x-koordinat bliver 4 større, hvad sker der så med dets y-koordinat? (b) Når et punkt trækkes langs grafen så dets x-koordinat bliver 1 større, hvad sker der så med dets y-koordinat? (c) Hvad er y-koordinaten til det grafpunkt der har x-koordinat 0? (d) Brug svarene på de to foregående spørgsmål til at opskrive en ligning for den lineære sammenhæng. Øvelse 6.14 I koordinatsystemet er tegnet grafen for en lineær sammenhæng. (a) Når et punkt trækkes langs grafen så dets x-koordinat bliver 3 større, hvad sker der så med dets y-koordinat? (b) Når et punkt trækkes langs grafen så dets x-koordinat bliver 1 større, hvad sker der så med dets y-koordinat? (c) Hvad er y-koordinaten til det grafpunkt der har x-koordinat 0? (d) Brug svarene på de to foregående spørgsmål til at opskrive en ligning for den lineære sammenhæng. Øvelse 6.15 I koordinatsystemet er tegnet graferne for fire lineære sammenhænge. Brug metoden fra eksempel 6.9 til at opskrive en ligning for hver af de fire sammenhænge. Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

31 Øvelse 6.16 I koordinatsystemet er tegnet grafenerne for fem lineære sammenhænge. Brug metoden fra eksempel 6.9 til at opskrive en ligning for hver af de fem sammenhænge. (5) (4) (3) (2) (1) Lineære sammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner koordinatsystemer Brug af grafer koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner ligninger med ubekendte Lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVUC

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13 En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK C-NIVEAU. Fredag den 29. august 2008. Kl. 09.00 12.00 2HF082-MAC

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK C-NIVEAU. Fredag den 29. august 2008. Kl. 09.00 12.00 2HF082-MAC HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK C-NIVEAU Fredag den 29. august 2008 Kl. 09.00 12.00 2HF082-MAC Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 14 spørgsmål. De 14 spørgsmål indgår med lige

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2016

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2016 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (4 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-13.00 HFE093-MAB

Matematik B. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (4 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-13.00 HFE093-MAB Matematik B Højere forberedelseseksamen Skriftlig prøve (4 timer) HFE093-MAB Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere