Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011"

Transkript

1 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 2 2 Setup 2 3 Kinetisk energi og arbejde Beregning af en krafts arbejde Konstant kraft med konstant vinkel til bevægelsen Enkeltkræfters arbejde Konservative kraftfelter og potentiel energi Kraftfelter Konservative Kræftfelter Potentiel energi

3 Resumé Målet med dette dokument er at forklare fysikbegreberne arbejde og potentiel energi uden så meget mystik som de ofte er omgærdet af. Det sker på en matematisk måde idet vi tager udgangspunkt i den matematiske beskrivelse af en bevægelse som en vektorfunktion. Her slutter MatBog.dk Figur 1: På dette sted løb jeg desværre tør for fritid. Derfor er dette dokument ikke færdigt. Hvis du køber et abonnement (eller får din lærer eller skole til at gøre det), så kan jeg tillade mig at tage lidt mere fri til at skrive på MatBog, og så vil disse huller blive lappet meget hurtigere! side 1

4 1 Introduktion Dette dokument er ret svært! Men hvis du er klar på en udfordring, så er det umagen værd at kæmpe sig igennem. Målet er nemlig at gøre nogle af de begreber som ofte bliver tryllet frem i fysik meget mere gennemskuelige. De bliver ikke nemme, for fysik er svært. Men i det mindste er der ikke skjult nogen vektorintegraler eller infinitesimale vektorer nogen steder. Forudsætninger Du er selvfølgelig nødt til at kende til vektorfunktioner (herunder begreberne hastighed, fart og acceleration) for at læse dette dokument. Desuden får vi brug for sætningen om differentiation af prikprodukter 1. For overskuelighedens skyld gentager vi den her: Sætning 1 Hvis f og g er to differentiable vektorfunktioner (enten to eller tredimensionelle), og vi definerer funktionen h som prikproduktet: h(t) = f(t) g(t) Så er h en differentiabel funktion, og h (t) = f (t) g(t) + f(t) g (t) 2 Setup Vi tager udgangspunkt i bevægelsen af en partikel gennem koordinatsystemet. Historien er præcis den samme i både to og tre dimensioner, men eftersom det nu engang er det mest almindelige, vil vi 1 Den kan du finde et bevis for her side 2

5 i dette dokument (for en gangs skyld) vedtage at det foregår i det tredimensionale koordinatsystem. Dermed er bevægelsen af partiklen beskrevet ved en (to gange differentiabel) vektorfunktion, f, givet ved: f(t) = x(t) y(t) z(t) hvor t angiver tiden, og vektorfunktionens værdi f(t) angiver partiklens position til det pågældende tidspunkt. Vi benytter de sædvanlige bogstavnavne til hastigheden: farten: og accelerationen: f (t) = s(t) = f (t) = f (t) = x (t) y (t) z (t) x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 x (t) y (t) z (t) 3 Kinetisk energi og arbejde I fysik definerer man den kinetiske energi (eller bevægelsesenergien ) af en partikel med massen m og farten v til at være: E kin = 1 2 m v2 Denne definition er yderst fornuftig, og de energier man regner ud stemmer fint overens med andre energibegreber, såsom elektrisk energi (den kinetiske energi af en elbil stemmer overens med den elektriske energi som det kræver at accelerere en bil op til den pågældende fart ved hjælp af en elektrisk motor uden energitab) og varmeenergi (den side 3

6 kinetiske energi af en bil svarer til den termiske energi der afsættes i bremserne når bilen bremses ned fra den pågældende fart hvis vi ignorerer andre bremsende fænomener såsom luftmodstand). I vores matematisk setup skal vi minde om at farten er en funktion af tiden, så derfor bliver den kinetiske energi det også. Skrevet på matematiksprog, er den kinetiske energi altså en funktion af tiden, givet ved: E kin (t) = 1 2 m s(t)2 Et lidt mere mystisk begreb (ihvertfald når man læser gymnasiefysikbøger) er det såkaldte arbejde som en kraft kan udføre på en partikel (eller mere generelt: på et system af partikler). Ofte ser man den defineret som kraft gange vej (det er et slags mantra som skal gentages mange gange) og så bliver det ellers bare postuleret at arbejdet har noget med den kinetiske energi at gøre. Samtidigt følger der ofte regler med om at det kun er kraftens projektion på bevægelsesretningen der laver et arbejde, og at en kraft derfor ikke kan lave noget arbejde hvis den er vinkelret på bevægelsen. Disse regler er faktisk (matematisk) logiske hvis man definerer begrebet arbejde mere fornuftigt: Definition 1 Hvis en partikel i bevægelse bliver påvirket af en kraft, og der ikke er andre kræfter til stede 2, så definerer vi arbejdet som kraften udøver på partiklen (eller systemet af partikler) til at være den tilvækst i kinetisk energi som den forårsager. 3.1 Beregning af en krafts arbejde Hvis vi skal finde en måde at udregne en krafts arbejde på, så kan vi starte med at forstå hvordan den kinetiske energi ændrer sig. Mere side 4

7 præcist: Lad os prøve at differentiere den kinetiske energi som funktion af tiden: Vi starter med at omskrive den en lille smule ved hjælp af prikproduktet: E kin (t) = 1 2 m f (t) 2 = 1 2 m (f (t) f (t)) Så kan vi prøve at differentiere denne funktion ved hjælp af sætning 2: E kin(t) = 1 2 m (f (t) f (t) + f (t) f (t)) = 1 2 m 2 (f (t) f (t)) Den halve ganger sammen med 2-tallet og forsvinder, og m (som jo bare er et tal) kan vi gange ind på en af vektorerne i prikproduktet. Dermed er: E kin(t) = (m f (t)) f (t) Og her kommer Newton og giver os en gave: Massen gange accelerationen er jo lige præcis lig med kraftpåvirkningen, så vi har: E kin(t) = F (t) f (t) Hvor F (t) angiver kraftpåvirkningen af partiklen til tidspunktet t. Her står (hvis vi lige gnider øjnene) at den kinetiske energi er en stamfunktion til prikproduktet: F (t) f (t) Så hvis vi fik lyst til at integrere denne funktion mellem to tidspunkter, og t slut, så kan det udregnes som: F (t) f (t)dt = E kin (t slut ) E kin ( ) Hovsa! Det er jo tilvæksten i kinetisk energi mellem de to tidspunkter. Hvilket er det som vi kaldte arbejdet! Det formulerer vi lige som en sætning: side 5

8 Sætning 2 Hvis en partikel i bevægelse bliver påvirket af en kraft, og der ikke er andre kræfter til stede, så er det arbejde som kraften udfører på partiklen fra tidspunktet til t slut givet ved integralet: F (t) f (t)dt Se, dette er meget mere indviklet end de fleste formler for arbejde i fysik. Men det viser sig at alle de simplere formler bare er specialtilfælde af ovenstående sætning. I første omgang kan vi tydeligt se at hvis kraften altid er vinkelret på bevægelsesretningen (givet ved hastighedsvektoren, f (t)), så giver prikproduktet nul, og dermed bliver arbejdet også nul. Dette er reglen om at en kraft der er vinkelret på bevægelsen ikke laver noget arbejde. Der er dog stadig et stykke vej til reglen om at arbejde er kraft gange vej. Dertil skal vi antage at situationen er temmeligt speciel: 3.2 Konstant kraft med konstant vinkel til bevægelsen Nu laver vi to temmeligt grove 3 antagelser, nemlig at kraftpåvirkningen har konstant størrelse (dvs. at funktionen: F (t) = F er konstant) og at kraften danner en konstant vinkel, α til bevægelsesretningen. Selvom denne antagelse er ret grov, så gælder den approksimativt hvis man beregner arbejdet i et meget kort tidsrum. Vi kan under denne antagelse omskrive prikproduktet i integralet fra sætning 2: F (t) f (t) = F (t) f (t) cos(α) = F cos(α) f (t) 3 I den forstand at det ret sjældent er tilfældet. side 6

9 Og eftersom både F og α er konstante, kan de flyttes ud af integralet. Dermed er arbejdet: F cos(α) f (t) dt = F cos(α) f (t) dt Men integralet af farten giver blot den tilbagelagte afstand, så vi får en formel for arbejdet i dette specielle tilfælde: Sætning 3 Hvis kraften har konstant størrelse og konstant vinkel til hastighedsvektoren, så er arbejdet givet ved: F cos(α) L Hvor F er den konstante størrelse af kraften, α er den konstante vinkel mellem krafen og hastighedsvektoren, og L er den tilbagelagte afstand. Eftersom F cos(α) angiver størrelsen af kraftens projektion på bevægelsesretningen, kan vi efterhånden genkende dette som at arbejde er lig kraft gange vej (med den underforståede regel at det er kraftens projektion på bevægelsesretningen der tæller). 3.3 Enkeltkræfters arbejde En anden fordel ved formlen fra sætning 2 er at det giver god mening af beregne arbejde for en enkelt kraft af gangen, hvis der skulle være flere en en kraft på spil. Hvis f.eks. den samlede kraft er en sum af kræfterne F 1 og F 2 (argumentet er det samme hvis der skulle være side 7

10 flere), så kan vi omskrive arbejdet: A = = = (F 1 (t) + F 2 (t)) f (t)dt (F 1 (t) f (t)) + (F 2 (t) f (t))dt (F 1 (t) f (t))dt + (F 2 (t) f (t))dt (Hvor vi først brugte at prikproduktet opfylder den distributive lov og bagefter at integralet af en sum er lig summen af de enkelte integraler.) Dette viser at hvis vi laver følgende definition, så giver det pludselig mening at spørge om hvor meget arbejde en kraft udfører på en partikel, selvom der også er andre kræfter på spil. Hvis man er interesseret i det samlede arbejde (altså tilvæksten i kinetisk energi) skal man bare lægge de enkelte arbejder sammen. Definition 2 Hvis en partikel i bevægelse bliver påvirket af en kraft, så er det arbejde som kraften udfører på partiklen fra tidspunktet til t slut givet ved integralet: F (t) f (t)dt Det kan dog nogle gange være meget svært at se den fysiske betydning af sådanne delkræfters arbejde. Eksempel 1 En bil kører ud af x-aksen, på en sådan måde at dens bevægelse side 8

11 er beskrevet ved vektorfunktionen, f, givet ved: f(t) = 1 cos(t) 0 0 for t [0; π] Det svarer til at bilen starter i origo og accelererer langsomt op. Halvvejs begynder den at sætte farten ned igen, og efter tiden π holder den stille igen, 2 ude af x-aksen. (Tegn eventuelt grafen for den første koordinatfunktion hvis dette ikke er klart.) Bilens hastighed er givet ved: f (t) = sin(t) 0 0 for t [0; π] Selvfølgelig er den samlede krafts arbejde lig nul, eftersom bilen starter og slutter i hvilke. Men den samlede kraft er en blanding af motorkraft, luftmodstand og gnidningskræfter (især på den sidste halvdel af turen, hvor der åbenbart bremses). Hvis vi nu antager at motoren leverer en kraft F (t) som hele tiden peger i bevægelsesretningen, og som selvfølgelig er nul på den halvdel hvor bilen bremser (man kan antage at der er koblet ud), så er det nok realistisk at F er givet ved vektorfunktionen: F (t) = 1 ( 4t π 1) [ for t 0; π 2 (Enhederne overlader vi til fysikerne at finde på. Så være ikke bekymret over at du ikke ved om en kraft med størrelse 1 er stor eller lille.) Igen: Hvis du har svært ved at se hvorfor denne kraft er fornuftig, så tegn grafen for den første koordinatfunktion. Nu er det let at udregne prikproduktet: ] side 9

12 ( ( )2 ) 4t F (t) f (t) = 1 π 1 sin(t) ( )2 4t = sin(t) sin(t) π 1 når t ligger mellem 0 og π 2. Hvis t derimod ligger mellem π 2 og π, så er prikproduktet nul, fordi kraftvektoren er nul. Nu kan vi udregne motorkraftens arbejde undervejs på turen: A = π 2 0 sin(t) sin(t) ( 4t π 1 )2 dt 0,696 Det er ret svært at indse den fysiske betydning af dette tal. Man kunne fristes til at sige at det ville have været tilvæksten i kinetisk energi hvis ikke de øvrige kræfter havde været til stede. Men i så fald havde bevægelsen jo også været anderledes, så derfor ville beregningen være en helt anden. Man kunne også gætte på at dette var den energi som er blevet omsat inde i motoren. Her er vi lidt tættere på sandheden, men motoren vil i allerhøjeste grad også have brugt energi på at bekæmpe andre kræfter, såsom luftmodstand og gnidningsmodstand. Al denne energi er i sidste ende blevet omsat til varme. Generelt er det dog bedst at tænke på det arbejde som en delkraft udfører som denne krafts del af skylden for det samlede arbejde (altså tilvæksten i kinetisk energi) som bliver udført på partiklen under bevægelsen. side 10

13 4 Konservative kraftfelter og potentiel energi En anden mystisk størrelse som aldrig bliver defineret ordentligt i gymnasiefysik er den såkaldte potentielle energi. Den er som regel bare defineret som en anden halvdel af den såkaldte mekaniske energi som består af kinetisk energi plus potentiel energi, og som af en mere eller mindre mystisk årsag altid 4 er bevaret (altså konstant). Og for at gøre det hele et gebis værre, så er den potentielle energi defineret forskelligt alt efter hvilke kræfter der er på spil: Når man står tæt på jordens overflade, så har vi: E pot = m g h hvor m er massen af en partikel, h er dens højde over jordoverfladen, og g er tyngdeaccelerationen ( 9,8m/s 2 ). Men hvis vi hopper langt ud i rummet og ser på f.eks. satellitbevægelser, så har de en potentiel energi som er givet ved: E pot = m M G r hvor M er jordens masse, m er satellitens masse, G er gravitationskonstanten og r er afstanden til jordens centrum. Det ene øjeblik er den potentielle energi et positivt tal, det næste er den negativ! Kan du genkende forvirringen? Her kommer forklaringen: 4.1 Kraftfelter Vi starter med at definere hvad der menes med et kraftfelt. Definitionen er lidt sløset med vilje. Det er for at undgå at tale om funktioner i flere variable. 4 Undtagen når der er eksterne kræfter på spil. side 11

14 Definition 3 Et kraftfelt består af en kraftvektor defineret (gerne forskelligt) i hvert eneste punkt i rummet (eller planen hvis man er todimensionel). Mere præcist er det en funktion der til hvert punkt i rummet knytter en vektor. Et kraftfelt fungerer på den måde at en partikel som bevæger sig igennem rummet (eller planen) hele tiden vil blive påvirket af den kraftvektor som hører til det punkt som den befinder sig i. Eksempel 2 Et godt eksempel på et kraftfelt er tyngekraften som solen påvirker et legeme i universet med. Det er en vektor som i et givet punkt har retning mod solen, og hvis størrelse er givet ved Newtons tyngdelov: F g = G m M r 2 Hvor m er legemets masse, M er solens masse, G er tyngdekonstanten og r er afstanden til solen. Eksempel 3 Et mere simpelt eksempel er tyngdekraften i nærheden af jordoverfladen, hvor man med god nøjagtighed kan regne med at tyngdekraftens størrelse er den samme overalt. I dette tilfælde består kraftfeltet en vektor som i et givet punkt har retning mod jordens centrum ( nedad ) og har en størrelse på F g = m g side 12

15 hvor m stadig er legemets masse og g er den såkaldte tyngdeacceleration ved jordens overflade som cirka er 9,8 m s 2. Bemærk at kraftfeltet ikke er et virkeligt fysisk objekt, men derimod noget som hver enkelt partikel (alt efter hvilken masse partiklen har) oplever forskelligt. 4.2 Konservative Kræftfelter Nu til det rigtigt dybe begreb: Definition 4 Et kraftfelt kaldes konservativt hvis en partikels bevægelse gennem kraftfeltet resulterer i at kraftfeltet udfører et arbejde (jf. definition 2 som udelukkende afhænger af partiklens position i starten og slutningen af bevægelsen. Med andre ord: Hvis en partikel starter sin bevægelse i punktet A og slutter i punktet B, så udfører kraftfeltet det samme arbejde uanset hvordan og hvor hurtigt partiklen kommer fra A til B. Det er en meget speciel egenskab for et kraftfelt at være konservativt. En af de særeste konsekvenser af at være et konservativt kraftfelt er følgende: Eksempel 4 Hvis en bevægelse i et konservativt kraftfeler og slutter i samme punkt må kraftfeltet nødvendigvis lave et arbejde som er nul. Det skal jo være det samme arbejde som hvis man havde ligget stille i dette punkt hele tiden. side 13

16 Det er dog slet, slet ikke oplagt hvordan man kan se om et kraftfelt er konservativt eller ej. I første omgang skal du nok bare lade mig bilde dig ind at begge de kraftfelter som er nævt i eksemplerne i sidste afsnit rent faktisk er konservative. Hvis du har hørt om gradienter er her en lille lækkerbidsken, som det dog ville være lidt for omfattende at kaste sig ud i at bevise: Sætning 4 Hvis f er en kontinuert differentiabel funktion (af to eller tre variable), så er gradientvektorfeltet: f altid et konservativt vektorfelt. Hvis et kraftfelt kan skrives som gradientfelt for en funktion, så er det altså automatisk konservativt. Det viser sig at være tilfældet for kraftfelterne i eksempel 2 og Potentiel energi Grunden til at et konservativt kraftfelt kaldes konservativt er jo nok at det konserverer eller bevarer et eller andet. Og det får man også en fornemmelse af hvis man arbejder lidt med konservative kraftfelter. Ideen er at enhver bevægelse hvor side 14

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013 Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineær Modellering. Frank Nasser. 20. april 2011

Lineær Modellering. Frank Nasser. 20. april 2011 Lineær Modellering Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,

Læs mere

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006 Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Nogle opgaver om fart og kraft

Nogle opgaver om fart og kraft &HQWHUIRU1DWXUIDJHQHV'LGDNWLN 'HWQDWXUYLGHQVNDEHOLJH)DNXOWHW $DUKXV8QLYHUVLWHW &HQWUHIRU6WXGLHVLQ6FLHQFH(GXFDWLRQ)DFXOW\RI6FLHQFH8QLYHUVLW\RI$DUKXV Nogle opgaver om fart og kraft Opgavesættet er oversat

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

1. Bevægelse... 3 2. Det frie fald... 6 3. Kræfter... 8 4. Newtons love... 9 5. Gnidningskræfter... 12 6. Arbejde... 13 7. Mekanisk energi...

1. Bevægelse... 3 2. Det frie fald... 6 3. Kræfter... 8 4. Newtons love... 9 5. Gnidningskræfter... 12 6. Arbejde... 13 7. Mekanisk energi... Indholdsfortegnelse 1. Bevægelse... 3. Det frie fald... 6 3. Kræfter... 8 4. Newtons love... 9 5. Gnidningskræfter... 1 6. Arbejde... 13 7. Mekanisk energi... 19 Opgaver... 5 1. Bevægelse En vigtig del

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 13 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

1.x 2004 FYSIK Noter

1.x 2004 FYSIK Noter 1.x 004 FYSIK Noter De 4 naturkræfter Vi har set, hvordan Newtons. lov kan benyttes til at beregne bevægelsesændringen for en genstand med den træge masse m træg, når den påvirkes af kræfter, der svarer

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: KUGLESTØD

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: KUGLESTØD MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: KUGLESTØD Kuglestød er en af atletikkens kastediscipliner, hvor man skal forsøge at støde en metalkugle længst muligt. Historisk set kan kuglestød føres tilbage til antikkens

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Fysik i billard. Erik Vestergaard

Fysik i billard. Erik Vestergaard Fysik i billard Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/aviad Desuden egne illustrationer Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger en blid start på Differentialligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Teknikken er egentlig meget simpel og ganske godt illustreret på animationen shell 4-5.

Teknikken er egentlig meget simpel og ganske godt illustreret på animationen shell 4-5. Fysikken bag Massespektrometri (Time Of Flight) Denne note belyser kort fysikken bag Time Of Flight-massespektrometeret, og desorptionsmetoden til frembringelsen af ioner fra vævsprøver som er indlejret

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 8 sider Skriftlig prøve, den 24. maj 2005 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr.: 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt. "Vægtning": Besvarelsen vægtes

Læs mere

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af

Læs mere

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori

Læs mere

1. Hvor lang tid tager det at blive trukket op til højden 20 m?

1. Hvor lang tid tager det at blive trukket op til højden 20 m? Efterbehandlingsark 1 Nedenfor er vist to grafer for bevægelsen i. Den første graf viser, hvor mange gange du vejer mere eller mindre end din normale vægt. Den anden graf viser højden. Spørgsmål til grafen

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 -juni 2016 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Gastro-science

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Vektorfunktioner vha. CAS

Vektorfunktioner vha. CAS Vektorfunktioner vha. CAS 1 Forord Vi skal i de kommende uger arbejde med emnet Vektorfunktioner ved: 1) at I selv arbejder med siderne 3 10 som en opstart. Siderne baserer sig på CAS-programmet TI-Nspire.

Læs mere

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012 Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Todimensionale Vektorer

Todimensionale Vektorer Todimensionale Vektorer Frank Villa 6. december 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere