Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Transkript

1 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 2 2 Setup 2 3 Kinetisk energi og arbejde Beregning af en krafts arbejde Konstant kraft med konstant vinkel til bevægelsen Enkeltkræfters arbejde Konservative kraftfelter og potentiel energi Kraftfelter Konservative Kræftfelter Potentiel energi

3 Resumé Målet med dette dokument er at forklare fysikbegreberne arbejde og potentiel energi uden så meget mystik som de ofte er omgærdet af. Det sker på en matematisk måde idet vi tager udgangspunkt i den matematiske beskrivelse af en bevægelse som en vektorfunktion. Her slutter MatBog.dk Figur 1: På dette sted løb jeg desværre tør for fritid. Derfor er dette dokument ikke færdigt. Hvis du køber et abonnement (eller får din lærer eller skole til at gøre det), så kan jeg tillade mig at tage lidt mere fri til at skrive på MatBog, og så vil disse huller blive lappet meget hurtigere! side 1

4 1 Introduktion Dette dokument er ret svært! Men hvis du er klar på en udfordring, så er det umagen værd at kæmpe sig igennem. Målet er nemlig at gøre nogle af de begreber som ofte bliver tryllet frem i fysik meget mere gennemskuelige. De bliver ikke nemme, for fysik er svært. Men i det mindste er der ikke skjult nogen vektorintegraler eller infinitesimale vektorer nogen steder. Forudsætninger Du er selvfølgelig nødt til at kende til vektorfunktioner (herunder begreberne hastighed, fart og acceleration) for at læse dette dokument. Desuden får vi brug for sætningen om differentiation af prikprodukter 1. For overskuelighedens skyld gentager vi den her: Sætning 1 Hvis f og g er to differentiable vektorfunktioner (enten to eller tredimensionelle), og vi definerer funktionen h som prikproduktet: h(t) = f(t) g(t) Så er h en differentiabel funktion, og h (t) = f (t) g(t) + f(t) g (t) 2 Setup Vi tager udgangspunkt i bevægelsen af en partikel gennem koordinatsystemet. Historien er præcis den samme i både to og tre dimensioner, men eftersom det nu engang er det mest almindelige, vil vi 1 Den kan du finde et bevis for her side 2

5 i dette dokument (for en gangs skyld) vedtage at det foregår i det tredimensionale koordinatsystem. Dermed er bevægelsen af partiklen beskrevet ved en (to gange differentiabel) vektorfunktion, f, givet ved: f(t) = x(t) y(t) z(t) hvor t angiver tiden, og vektorfunktionens værdi f(t) angiver partiklens position til det pågældende tidspunkt. Vi benytter de sædvanlige bogstavnavne til hastigheden: farten: og accelerationen: f (t) = s(t) = f (t) = f (t) = x (t) y (t) z (t) x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 x (t) y (t) z (t) 3 Kinetisk energi og arbejde I fysik definerer man den kinetiske energi (eller bevægelsesenergien ) af en partikel med massen m og farten v til at være: E kin = 1 2 m v2 Denne definition er yderst fornuftig, og de energier man regner ud stemmer fint overens med andre energibegreber, såsom elektrisk energi (den kinetiske energi af en elbil stemmer overens med den elektriske energi som det kræver at accelerere en bil op til den pågældende fart ved hjælp af en elektrisk motor uden energitab) og varmeenergi (den side 3

6 kinetiske energi af en bil svarer til den termiske energi der afsættes i bremserne når bilen bremses ned fra den pågældende fart hvis vi ignorerer andre bremsende fænomener såsom luftmodstand). I vores matematisk setup skal vi minde om at farten er en funktion af tiden, så derfor bliver den kinetiske energi det også. Skrevet på matematiksprog, er den kinetiske energi altså en funktion af tiden, givet ved: E kin (t) = 1 2 m s(t)2 Et lidt mere mystisk begreb (ihvertfald når man læser gymnasiefysikbøger) er det såkaldte arbejde som en kraft kan udføre på en partikel (eller mere generelt: på et system af partikler). Ofte ser man den defineret som kraft gange vej (det er et slags mantra som skal gentages mange gange) og så bliver det ellers bare postuleret at arbejdet har noget med den kinetiske energi at gøre. Samtidigt følger der ofte regler med om at det kun er kraftens projektion på bevægelsesretningen der laver et arbejde, og at en kraft derfor ikke kan lave noget arbejde hvis den er vinkelret på bevægelsen. Disse regler er faktisk (matematisk) logiske hvis man definerer begrebet arbejde mere fornuftigt: Definition 1 Hvis en partikel i bevægelse bliver påvirket af en kraft, og der ikke er andre kræfter til stede 2, så definerer vi arbejdet som kraften udøver på partiklen (eller systemet af partikler) til at være den tilvækst i kinetisk energi som den forårsager. 3.1 Beregning af en krafts arbejde Hvis vi skal finde en måde at udregne en krafts arbejde på, så kan vi starte med at forstå hvordan den kinetiske energi ændrer sig. Mere side 4

7 præcist: Lad os prøve at differentiere den kinetiske energi som funktion af tiden: Vi starter med at omskrive den en lille smule ved hjælp af prikproduktet: E kin (t) = 1 2 m f (t) 2 = 1 2 m (f (t) f (t)) Så kan vi prøve at differentiere denne funktion ved hjælp af sætning 2: E kin(t) = 1 2 m (f (t) f (t) + f (t) f (t)) = 1 2 m 2 (f (t) f (t)) Den halve ganger sammen med 2-tallet og forsvinder, og m (som jo bare er et tal) kan vi gange ind på en af vektorerne i prikproduktet. Dermed er: E kin(t) = (m f (t)) f (t) Og her kommer Newton og giver os en gave: Massen gange accelerationen er jo lige præcis lig med kraftpåvirkningen, så vi har: E kin(t) = F (t) f (t) Hvor F (t) angiver kraftpåvirkningen af partiklen til tidspunktet t. Her står (hvis vi lige gnider øjnene) at den kinetiske energi er en stamfunktion til prikproduktet: F (t) f (t) Så hvis vi fik lyst til at integrere denne funktion mellem to tidspunkter, og t slut, så kan det udregnes som: F (t) f (t)dt = E kin (t slut ) E kin ( ) Hovsa! Det er jo tilvæksten i kinetisk energi mellem de to tidspunkter. Hvilket er det som vi kaldte arbejdet! Det formulerer vi lige som en sætning: side 5

8 Sætning 2 Hvis en partikel i bevægelse bliver påvirket af en kraft, og der ikke er andre kræfter til stede, så er det arbejde som kraften udfører på partiklen fra tidspunktet til t slut givet ved integralet: F (t) f (t)dt Se, dette er meget mere indviklet end de fleste formler for arbejde i fysik. Men det viser sig at alle de simplere formler bare er specialtilfælde af ovenstående sætning. I første omgang kan vi tydeligt se at hvis kraften altid er vinkelret på bevægelsesretningen (givet ved hastighedsvektoren, f (t)), så giver prikproduktet nul, og dermed bliver arbejdet også nul. Dette er reglen om at en kraft der er vinkelret på bevægelsen ikke laver noget arbejde. Der er dog stadig et stykke vej til reglen om at arbejde er kraft gange vej. Dertil skal vi antage at situationen er temmeligt speciel: 3.2 Konstant kraft med konstant vinkel til bevægelsen Nu laver vi to temmeligt grove 3 antagelser, nemlig at kraftpåvirkningen har konstant størrelse (dvs. at funktionen: F (t) = F er konstant) og at kraften danner en konstant vinkel, α til bevægelsesretningen. Selvom denne antagelse er ret grov, så gælder den approksimativt hvis man beregner arbejdet i et meget kort tidsrum. Vi kan under denne antagelse omskrive prikproduktet i integralet fra sætning 2: F (t) f (t) = F (t) f (t) cos(α) = F cos(α) f (t) 3 I den forstand at det ret sjældent er tilfældet. side 6

9 Og eftersom både F og α er konstante, kan de flyttes ud af integralet. Dermed er arbejdet: F cos(α) f (t) dt = F cos(α) f (t) dt Men integralet af farten giver blot den tilbagelagte afstand, så vi får en formel for arbejdet i dette specielle tilfælde: Sætning 3 Hvis kraften har konstant størrelse og konstant vinkel til hastighedsvektoren, så er arbejdet givet ved: F cos(α) L Hvor F er den konstante størrelse af kraften, α er den konstante vinkel mellem krafen og hastighedsvektoren, og L er den tilbagelagte afstand. Eftersom F cos(α) angiver størrelsen af kraftens projektion på bevægelsesretningen, kan vi efterhånden genkende dette som at arbejde er lig kraft gange vej (med den underforståede regel at det er kraftens projektion på bevægelsesretningen der tæller). 3.3 Enkeltkræfters arbejde En anden fordel ved formlen fra sætning 2 er at det giver god mening af beregne arbejde for en enkelt kraft af gangen, hvis der skulle være flere en en kraft på spil. Hvis f.eks. den samlede kraft er en sum af kræfterne F 1 og F 2 (argumentet er det samme hvis der skulle være side 7

10 flere), så kan vi omskrive arbejdet: A = = = (F 1 (t) + F 2 (t)) f (t)dt (F 1 (t) f (t)) + (F 2 (t) f (t))dt (F 1 (t) f (t))dt + (F 2 (t) f (t))dt (Hvor vi først brugte at prikproduktet opfylder den distributive lov og bagefter at integralet af en sum er lig summen af de enkelte integraler.) Dette viser at hvis vi laver følgende definition, så giver det pludselig mening at spørge om hvor meget arbejde en kraft udfører på en partikel, selvom der også er andre kræfter på spil. Hvis man er interesseret i det samlede arbejde (altså tilvæksten i kinetisk energi) skal man bare lægge de enkelte arbejder sammen. Definition 2 Hvis en partikel i bevægelse bliver påvirket af en kraft, så er det arbejde som kraften udfører på partiklen fra tidspunktet til t slut givet ved integralet: F (t) f (t)dt Det kan dog nogle gange være meget svært at se den fysiske betydning af sådanne delkræfters arbejde. Eksempel 1 En bil kører ud af x-aksen, på en sådan måde at dens bevægelse side 8

11 er beskrevet ved vektorfunktionen, f, givet ved: f(t) = 1 cos(t) 0 0 for t [0; π] Det svarer til at bilen starter i origo og accelererer langsomt op. Halvvejs begynder den at sætte farten ned igen, og efter tiden π holder den stille igen, 2 ude af x-aksen. (Tegn eventuelt grafen for den første koordinatfunktion hvis dette ikke er klart.) Bilens hastighed er givet ved: f (t) = sin(t) 0 0 for t [0; π] Selvfølgelig er den samlede krafts arbejde lig nul, eftersom bilen starter og slutter i hvilke. Men den samlede kraft er en blanding af motorkraft, luftmodstand og gnidningskræfter (især på den sidste halvdel af turen, hvor der åbenbart bremses). Hvis vi nu antager at motoren leverer en kraft F (t) som hele tiden peger i bevægelsesretningen, og som selvfølgelig er nul på den halvdel hvor bilen bremser (man kan antage at der er koblet ud), så er det nok realistisk at F er givet ved vektorfunktionen: F (t) = 1 ( 4t π 1) [ for t 0; π 2 (Enhederne overlader vi til fysikerne at finde på. Så være ikke bekymret over at du ikke ved om en kraft med størrelse 1 er stor eller lille.) Igen: Hvis du har svært ved at se hvorfor denne kraft er fornuftig, så tegn grafen for den første koordinatfunktion. Nu er det let at udregne prikproduktet: ] side 9

12 ( ( )2 ) 4t F (t) f (t) = 1 π 1 sin(t) ( )2 4t = sin(t) sin(t) π 1 når t ligger mellem 0 og π 2. Hvis t derimod ligger mellem π 2 og π, så er prikproduktet nul, fordi kraftvektoren er nul. Nu kan vi udregne motorkraftens arbejde undervejs på turen: A = π 2 0 sin(t) sin(t) ( 4t π 1 )2 dt 0,696 Det er ret svært at indse den fysiske betydning af dette tal. Man kunne fristes til at sige at det ville have været tilvæksten i kinetisk energi hvis ikke de øvrige kræfter havde været til stede. Men i så fald havde bevægelsen jo også været anderledes, så derfor ville beregningen være en helt anden. Man kunne også gætte på at dette var den energi som er blevet omsat inde i motoren. Her er vi lidt tættere på sandheden, men motoren vil i allerhøjeste grad også have brugt energi på at bekæmpe andre kræfter, såsom luftmodstand og gnidningsmodstand. Al denne energi er i sidste ende blevet omsat til varme. Generelt er det dog bedst at tænke på det arbejde som en delkraft udfører som denne krafts del af skylden for det samlede arbejde (altså tilvæksten i kinetisk energi) som bliver udført på partiklen under bevægelsen. side 10

13 4 Konservative kraftfelter og potentiel energi En anden mystisk størrelse som aldrig bliver defineret ordentligt i gymnasiefysik er den såkaldte potentielle energi. Den er som regel bare defineret som en anden halvdel af den såkaldte mekaniske energi som består af kinetisk energi plus potentiel energi, og som af en mere eller mindre mystisk årsag altid 4 er bevaret (altså konstant). Og for at gøre det hele et gebis værre, så er den potentielle energi defineret forskelligt alt efter hvilke kræfter der er på spil: Når man står tæt på jordens overflade, så har vi: E pot = m g h hvor m er massen af en partikel, h er dens højde over jordoverfladen, og g er tyngdeaccelerationen ( 9,8m/s 2 ). Men hvis vi hopper langt ud i rummet og ser på f.eks. satellitbevægelser, så har de en potentiel energi som er givet ved: E pot = m M G r hvor M er jordens masse, m er satellitens masse, G er gravitationskonstanten og r er afstanden til jordens centrum. Det ene øjeblik er den potentielle energi et positivt tal, det næste er den negativ! Kan du genkende forvirringen? Her kommer forklaringen: 4.1 Kraftfelter Vi starter med at definere hvad der menes med et kraftfelt. Definitionen er lidt sløset med vilje. Det er for at undgå at tale om funktioner i flere variable. 4 Undtagen når der er eksterne kræfter på spil. side 11

14 Definition 3 Et kraftfelt består af en kraftvektor defineret (gerne forskelligt) i hvert eneste punkt i rummet (eller planen hvis man er todimensionel). Mere præcist er det en funktion der til hvert punkt i rummet knytter en vektor. Et kraftfelt fungerer på den måde at en partikel som bevæger sig igennem rummet (eller planen) hele tiden vil blive påvirket af den kraftvektor som hører til det punkt som den befinder sig i. Eksempel 2 Et godt eksempel på et kraftfelt er tyngekraften som solen påvirker et legeme i universet med. Det er en vektor som i et givet punkt har retning mod solen, og hvis størrelse er givet ved Newtons tyngdelov: F g = G m M r 2 Hvor m er legemets masse, M er solens masse, G er tyngdekonstanten og r er afstanden til solen. Eksempel 3 Et mere simpelt eksempel er tyngdekraften i nærheden af jordoverfladen, hvor man med god nøjagtighed kan regne med at tyngdekraftens størrelse er den samme overalt. I dette tilfælde består kraftfeltet en vektor som i et givet punkt har retning mod jordens centrum ( nedad ) og har en størrelse på F g = m g side 12

15 hvor m stadig er legemets masse og g er den såkaldte tyngdeacceleration ved jordens overflade som cirka er 9,8 m s 2. Bemærk at kraftfeltet ikke er et virkeligt fysisk objekt, men derimod noget som hver enkelt partikel (alt efter hvilken masse partiklen har) oplever forskelligt. 4.2 Konservative Kræftfelter Nu til det rigtigt dybe begreb: Definition 4 Et kraftfelt kaldes konservativt hvis en partikels bevægelse gennem kraftfeltet resulterer i at kraftfeltet udfører et arbejde (jf. definition 2 som udelukkende afhænger af partiklens position i starten og slutningen af bevægelsen. Med andre ord: Hvis en partikel starter sin bevægelse i punktet A og slutter i punktet B, så udfører kraftfeltet det samme arbejde uanset hvordan og hvor hurtigt partiklen kommer fra A til B. Det er en meget speciel egenskab for et kraftfelt at være konservativt. En af de særeste konsekvenser af at være et konservativt kraftfelt er følgende: Eksempel 4 Hvis en bevægelse i et konservativt kraftfeler og slutter i samme punkt må kraftfeltet nødvendigvis lave et arbejde som er nul. Det skal jo være det samme arbejde som hvis man havde ligget stille i dette punkt hele tiden. side 13

16 Det er dog slet, slet ikke oplagt hvordan man kan se om et kraftfelt er konservativt eller ej. I første omgang skal du nok bare lade mig bilde dig ind at begge de kraftfelter som er nævt i eksemplerne i sidste afsnit rent faktisk er konservative. Hvis du har hørt om gradienter er her en lille lækkerbidsken, som det dog ville være lidt for omfattende at kaste sig ud i at bevise: Sætning 4 Hvis f er en kontinuert differentiabel funktion (af to eller tre variable), så er gradientvektorfeltet: f altid et konservativt vektorfelt. Hvis et kraftfelt kan skrives som gradientfelt for en funktion, så er det altså automatisk konservativt. Det viser sig at være tilfældet for kraftfelterne i eksempel 2 og Potentiel energi Grunden til at et konservativt kraftfelt kaldes konservativt er jo nok at det konserverer eller bevarer et eller andet. Og det får man også en fornemmelse af hvis man arbejder lidt med konservative kraftfelter. Ideen er at enhver bevægelse hvor side 14