ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG"

Transkript

1 ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og beregne y-værdi... side 3 2c Indsætte y-værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning... side 4 2d Beregne hældningskoefficienten a, når vi kender to punkter på grafen... side 6 2e Finde b-tallet, når vi kender a og et punkt på grafen... side 7 2f Beregne ændringen i y-værdi, når vi kender a og ændringen i x-værdi... side 8 2g Beregne a, når vi kender ændringen i x-værdi og den dertil hørende ændring i y-værdi... side 9 2h Blandede små-opgaver... side 9 3 Opgaver med flere af begreberne... side 11 4 Opgaver med tekst (gennemregnede eksamensopgaver)...side 14 4 Eksamensopgaver (med tekst) regn selv... side 18 5 Tekstopgaver, hvor man selv skal identificere x og y... side 20 6 Lidt af hvert - sværere opgaver... side 26

2 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 2 af 29 1 Funktioner og modeller Funktion Model Koordinatsystem En funktion er en sammenhæng mellem variable, hvor et input giver et output. Kan vises med sildeben og graf. En model kan bestå af nogle variable og en funktion der sammenknytter dem. Eks. x : længde af taxatur i km (uafhængig variabel) y : pris i kroner for taxaturen (afhængig variabel) Sammenhæng: y = 14 x + 30 Lineær funktion, y=a x + b y = a x + b a = y2 y1 x2 x1 Omformning af y = a x + b : x = ( y b) a b = y a x a = ( y b) x Konstanternes navne ved lineære funktioner: a : hældningskoefficienten, stigningstallet b : y-akse-skæringen Betydning i lineær model af konstanterne a og b: y Konstanternes betydning (ved lineære funktioner): Når x=0, er y=b Når x stiger med 1, vil y ændres med a b 1 a Vækstegenskaber: Funktionen er voksende, når a er positiv Funktionen er aftagende, når a er negativ x y_ændring = a x_ændring (samme som:) y 2 - y 1 = a (x 2 - x 1 )

3 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 3 af 29 2 ØVELSER I GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER 2a Finde konstanterne a og b i en formel Eksempel 1 Vi har formlen y = 3x 5 Tallet ved siden af x er tallet 3; altså er a = 3 Tallet ikke-ved siden af x er tallet 5; altså er b = 5 Eksempel 2 Vi har formlen y = 6 2x Tallet ved siden af x er tallet 2; altså er a = 2 Tallet ikke-ved siden af x er tallet 6; altså er b = 6 Opgaver (opgaven med stjerne er lidt sværere) Opg. 201 Vi har formlen y = 7x + 1 Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 202 Vi har formlen y = 2x + 11 Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 203 Vi har formlen y = 32x 500 Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 204 Vi har formlen y = x 13 Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 205 Vi har formlen y = 0.37x Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 208*) Vi har formlen y = 2 (x 3) Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = b Indsætte x-værdi og beregne y-værdi Eksempel Vi har formlen y = 3x 5. a) Bestem y, når x = 7 Løsning: Hvis vi indsætter x = 7, får vi y-værdien y = = 16 b) Bestem y, når x = -2 Løsning: Hvis vi indsætter x = -2, får vi y-værdien y = 3 ( 2) 5 = 11 Opgaver Opg. 211 Den lineære model er: y = 7x + 1 Beregn y-værdien, når x = 4:

4 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 4 af 29 x = 3: x = 0.6: x = 300: Opg. 212 Den lineære model er: y = 2x + 11 Beregn y-værdien, når x = 3: x = 3: x = 6.5: x = 250: 2c Indsætte y-værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning Eksempel Vi har formlen y = 3x 5. Bestem x, når y = 7 Løsning: Metode 1 Vi bruger den færdige formel y b a x =. Heri indsætter vi y = 7, a = 3 og b = 5: 7 ( 5) 3 x =, så x = 4. Metode 2 Vi indsætter y = 7, i ligningen y = 3x 5 og løser den i hånden : 7 = 3x = 3x 12 = 3x 12 3 = x, så x = 4 Metode 3 Vi bruger CAS (Solve / løs ligning) på PC eller lommeregner til ligningen i metode 2 Opgaver I de næste opgaver skal du bruge alle tre metoder for at finde den metode, der er rarest for dig. Opg. 221 Den lineære model er y = 7x + 1 Beregn x-værdien, når y = 29: y = 13:

5 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 5 af 29 y = 13: y = 300: Opg. 222 Den lineære model er y = 2x + 11 Find x-værdien, når y = 33: y = 5: y = 11: y = 6:

6 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 6 af 29 2d Beregne hældningskoefficienten a, når vi kender to punkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) på grafen Eksempel 1 Den rette linje går gennem punkterne ( 5, 3) og (7, 15). Bestem a. y2 y1 Løsning: Vi skal indsætte i formlen a = x x 2 1 Vi navngiver koordinaterne: x 1 = 5, y 1 = 3, x 2 = 7 og y 2 = 15. y2 y Så indsætter vi: a = = = = 1 x x 7 ( 5) Eksempel 2 Den rette linje går gennem punkterne (2, 14) og (9, 3). Bestem a. y2 y1 Løsning: Vi skal indsætte i formlen a = x x 2 1 Vi navngiver koordinaterne: x 1 = 2, y 1 = 14, x 2 = 9 og y 2 = Så indsætter vi: a = = = Eksempel 3 Til x = 2 svarer y = 14 og til x = 9 svarer y = 3 Bestem a Løsning: Som eksempel 2, det er bare en anden måde at formulere samme opgave. Opgaver Opg. 231 Grafen går gennem punkterne ( 5, 4) og (2, 10). Find hældningskoefficienten. Skriv først: x 1 =..., y 1 =..., x 2 =..., y 2 =... Opskriv så formlen: a = Opg. 232 Grafen går gennem punkterne (15, 17) og (3, 1). Find hældningskoefficienten. Opg. 233 Grafen går gennem punkterne (6, 7) og ( 1, 10). Find hældningskoefficienten. Opg. 235 Til x = 4 svarer y = 6 og til x = 5 svarer y = 3. Find hældningskoefficienten.

7 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 7 af 29 2e Finde b-tallet, når vi kender a og et punkt på grafen Eksempel En lineær funktion har hældningskoefficient a = 1.5 og grafen går gennem punktet (5, 14) Løsning: Metode 1: Metode 2: At punktet (5, 14) ligger på grafen kan også siges sådan: til x = 5 svarer y = 14. I stedet for den sædvanlige forskrift y = a x + b bruges den omskrevne formel: b = y - a x b = = 6.5 så b = 6.5 (Altså er forskriften: y = 1.5x ) Der indsættes i den sædvanlige forskrift, og løses: y = a x + b 14 = b 14 = b = b så b = 6.5 Opgaver Opg. 241 Find b-tallet, når a = 3 og grafen går gennem punktet (2, 1) Opg. 242 Find b-tallet, når a = 8 og grafen går gennem punktet ( 2, 13) Opg. 243 Find b-tallet, når a = 4 og grafen går gennem punktet (8, 11) Opg. 245 Find b-tallet, når a = 3.2 og der til en x-værdi på 15 svarer en y-værdi på 7

8 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 8 af 29 2f Beregne ændringen i y-værdi, når vi kender a og ændringen i x-værdi Eksempel 1 Vi har den lineære funktion y = 2x 3. a) Hvad ændres y med, når x vokser med 1? Løsning: Hældningskoeffficenten a er 2. Dvs. Hvis x stiger med 1, vokser y med 2 b) Hvad ændres y med, når x vokser med 4? Løsning: Formel: y_ændring = a x_ændring y_ændring = 2 4 = 8 Dvs y vokser med 8 (kan også siges: y stiger med 8, eller: y bliver 8 større) c) Hvad ændres y med, når x falder med 3? Løsning: Hvis x falder med 3 er x-ændringen -3 y_ændring = a x_ændring y_ændring = 2 (-3) = -6 Og det vil vi udtrykke ved at sige, at y aftager med 6. (Eller: y falder med 6, eller: y bliver 6 mindre) Eksempel 2 Vi har den lineære funktion y = 7x a) Hvis x bliver 1 større, vokser y med 7 siges: y aftager med 7 b) Hvis x bliver 4 større, vokser y med y_ændring = a x_ændring = ( 7) 4 = 28. Vi siger: y aftager med 28 c) Hvis x bliver 5 mindre, vokser y med y_ændring = a x_ændring = ( 7) ( 5) = 35 Opgaver Opg. 251 Den lineære funktion har forskriften y = 7x + 1 Beregn ændringen i y-værdien, når x vokser med 4: x vokser med 3: x aftager med 6: x bliver 300 større:

9 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 9 af 29 Opg. 252 Den lineære funktion har forskriften y = 2x + 11 Beregn ændringen i y-værdien, når x bliver 3 større: x aftager med 8.5: Opg. 253 Den lineære funktion har forskriften y = 32x 500 Beregn ændringen i y-værdien, når x bliver 40 mindre: x aftager med 10: Beregne a, når vi kender ændringen i x-værdi og den dertil hørende ændring i y-værdi Eksempel Om en lineær funktion oplyses, at y vokser med 14, når x bliver 5 større. Find a. y y x x 2 1 a = kan skrives 2 1 Løsning: a = = y _ ændring 14 x _ ændring 5 eller som decimalbrøk: a = 2.8 Opgaver Find hældningskoefficienten a i de næste fire opgaver: Opg. 261 Når x bliver 6 større, vokser y med 12 Opg. 262 Når x bliver 8 større, bliver y 20 mindre Opg. 263 y aftager med 7, når x vokser med 14 Opg. 264 Når x bliver 19 mindre, aftager y med 29 2h Blandede små-opgaver Opg. 206 Vi har formlen y = x 8 Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 213 Den lineære model er: y = 32x 500 Beregn y-værdien, når

10 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 10 af 29 x = 40: x = 10: x = 4.25: x = 550: Opg. 207 Vi har formlen y = 6 + 4x Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 222 Den lineære model er y = 3x + 13 Find x-værdien, når a) y = 11: b) y = 6: Opg. 244 Find b-tallet, når a = 0.4 og der til en x-værdi på 5 svarer en y-værdi på 41 Opg. 234 Grafen går gennem punkterne ( 11, 8) og (7, 8). Find hældningskoefficienten og regneforskriften. Opg. 252 Den lineære funktion har forskriften y = 2x + 11 Beregn ændringen i y-værdien, når x bliver 8 større: x aftager med 4:

11 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 11 af 29 3 OPGAVER MED FLERE AF BEGREBERNE Eksempel En opgave lyder sådan: Grafen for en lineær sammenhæng går gennem punkterne (5, 9) og (13, 15). a) Find en formel for denne sammenhæng b) Find y-værdien, når x = 3 c) Bestem x, når y = 21 d) Hvor meget ændres y-værdien, når x vokser med 7? Besvarelsen er sådan: a) I formlen y = a x + b skal vi finde tallene a og b. Først a. Vi navngiver x 1 = 5, y 1 = 9, x 2 = 13 og y 2 = 15 y2 y 15 ( 9) 24 1 Så er a = = = = 3 x2 x b findes med b = y - a x, ( man finder b = 24 ) Altså er formlen y = 3x 24 b) Vi indsætter x = 3: i y = 3x 24 y = 3 ( 3) 24 = 33 c) (man finder med den omskrevne formel y b a x = at x = 15 ) d) Når x vokser med 3: y-ændring = a x_ændring = 7 3 = 21. y bliver 21 større, når x vokser med 7 Opgaver Opg. 301 Grafen for en lineær sammenhæng går gennem punkterne ( 4, 6) og (5, 3) a) Find en formel for denne sammenhæng. b) Bestem x når y = 14 c) Hvilken y-værdi fås, når x = 14?

12 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 12 af 29 Opg. 302 I en lineær sammenhæng svarer x = 2 til y = 1 og x = 11 svarer til y = 4 a) Bestem tallene a og b i formlen. b) Hvor meget ændres y, hvis x vokser med 8? Opg. 303 Vi har formlen y = a x + b. Grafen går gennem punkterne (7, 1) og (2, 8.5) a) Bestem tallene a og b. b) Hvilken x-værdi svarer til y = 35? c) x bliver 35 større; hvor meget ændres y? Opg. 304 En ret linje har hældningskoefficient 2, og linjen går gennem punktet ( 4.5, 7). a) Bestem b-tallet i formlen. b) Et punkt på grafen har x-værdien x = 42. Find punktets y-værdi. Opg. 305 Om en lineær sammenhæng oplyses, at grafen går gennem punktet (0, 75) a) Bestem b-tallet i formlen. Endvidere oplyses, at y bliver 8 mindre, når x vokser med 16. b) Bestem a-tallet i formlen. c) Bestem x når y = 40 d) Hvor meget aftager y, når x bliver 8 større?

13 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 13 af 29 Opg. 306 En ret linje går gennem punktet ( 6, 5). Endvidere oplyses, at x = 13 svarer til y = 5. a) Bestem tallene a og b i formlen. b) Find y-værdien, der svarer til x = 110 Opg. 307 I et koordinatsystem er tegnet punkterne (25, 660) og (78, 775) a) Find en formel for den rette linje, der går gennem de to punkter. b) Hvilken x-værdi giver y-værdien y = 1000? Opg. 308 En lineær sammenhæng har formlen 2 3 y = x + b. Desuden går grafen gennem punktet (15, 2). a) Bestem tallet b. b) I hvilken x-værdi skærer grafen gennem x-aksen? Opg. 309 Når x vokser med 14, bliver y 7 større. Og til x = 12 svarer y = 6. a) Bestem en formel for den lineære sammenhæng. b) Bestem x når y = 13.5

14 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 14 af 29 4 TEKSTOPGAVER, HVOR BEGREBERNE BRUGES Først gennemgås løsning af fire eksamensopgaver. Bemærk at problemstillingen skal fremgå af besvarelsen, man skal forestille sig en læser der ikke har læst opgaven. (I de første besvarelser er skrevet lidt mere forklarende tekst end normalt) Eksempel 1 Antallet af danske lønmodtagere, der betaler til efterlønsordningen, er i perioden aftaget. Figuren viser, at udviklingen med god tilnærmelse kan beskrives med en lineær funktion y = ax + b, hvor x er antal år efter 2000, og y er antal lønmodtagere, de betaler til efterlønsordningen. Det oplyses, at grafen for denne lineære funktion går gennem punkterne (1, ) og (4, ). a) Bestem tallene a og b. b) I hvilket år kommer antallet af lønmodtagere, der betaler til efterlønsordningen, ned på , hvis denne udvikling fortsætter? Løsning: (Begynd altid med at skrive meget tydeligt, hvad de to variable betyder i opgaven ) x: antal år efter 2000 y: antal lønmodtagere[, der betaler til efterlønsordningen] Sammenhæng: lineær, y = ax + b Spørgsmål a) Vi har i teksten fået oplyst to punkter: (1, ) og (4, ). Vi navngiver: x 1 = 1, y 1 = og x 2 = 4, y 2 = ). Vi beregner a (afsnit 2c): a y y = x2 x = 1 = b kan beregnes enten med forskriften y = a x + b eller med den omskrevne formel (afsnit 2d): b = y - a x Vi indsætter heri x 1 = 1, y 1 = og a =

15 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 15 af 29 b = (-40000) 1 = Vi har fundet a= og b= Spørgsmål b) Her spørges om, hvornår antallet af lønmodtagere bliver Antallet af lønmodtagere er et y-tal. Så nu er y = Forskriften er y = a x + b, dvs. y = x Vi kan beregne tallet x enten ved at løse ligning eller ved at indsætte i den omskrevne formel nedenfor: y b x = = = 10,3 a x = 10.3 Løsningen er altså 10.3 år efter Det skriver vi mere mundret: I løbet af år 2010 kommer antallet af lønmodtagere under Eksempel 2 Når en lukket beholder med luft opvarmes, stiger trykket i beholderen. For en bestemt beholder kan sammenhængen mellem temperaturen x (målt i ºC) og trykket y (målt i hektopascal) udtrykkes ved formlen y = 3,5x a) Hvad er trykket i beholderen, når temperaturen er 10ºC? b) Hvad fortæller tallet 3,5 om sammenhængen mellem tryk og temperatur i beholderen? Løsning: Vi begynder med at skrive de variable: x : temperatur ( C) y : tryk i bejolder (hektopascal) Sammenhæng: y = 3,5x + 955, en lineær sammenhæng med a=3,5 og b=955 Spørgsmål a) Vi får oplysningen, at temperaturen er 10 C. Temperaturen er et x-tal. D.v.s.: x = 10. Vi skal beregne trykket, d.v.s. y (afsnit 2a) og indsætter i den opgivne formel y = 3,5x y = = 990 Altså er trykket ved 10 C på 990 hektopascal. Spørgsmål b) I formlen er tallet 3,5 hældningskoefficienten a. Betydningen af hældningskoefficienten er: Når x vokser med 1, ændres y med a Med opgavens begreber: Når temperaturen vokser med 1, ændres trykket med 3.5 Det kan skrives mere som en dansk sætning, hvor enhederne medtages : Når temperaturen stiger med 1 C, vokser trykket med 3,5 hektopascal.

16 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 16 af 29 Eksempel 3 Den årlige omsætning på spil i Danmark kan for perioden med tilnærmelse beskrives ved modellen y = 2,5x + 10,5, hvor y er omsætningen, målt i mia. kr., og x er antal år efter a) Hvad fortæller tallene 2,5 og 10,5 om omsætningen på spil? b) Bestem omsætningen i 2005 ifølge modellen. Kommentér modellen, når det oplyses, at omsætningen i 2005 var 26,8 mia. kr. Kilde: POLITIKEN, tirsdag den 16. januar 2007 Løsning: De variable: x : antal år efter 2000 y : omsætningen i spil i Danmark (mia. kr.) Sammenhæng: y = 2,5x + 10,5, dvs. en lineær sammenhæng med a=2,5 og b=10,5 Spørgsmål a) Tallet 2,5 er hældningskoefficienten a, og det betyder Når x vokser med 1, ændres y med a Når antal år vokser med 1, ændres omsætningen med 2,5. Og på dansk: For hvert år vokser omsætningen med 2.5 mia. kr. Tallet 10.5 er b-tallet. Betydningen af b-tallet er: Når x = 0, er y = b. Med begreberne her: Når antal år efter 2000 er 0, er omsætningen 10.5 mia. kr. På dansk: I år 2000 er omsætningen på 10.5 mia. kr. Spørgsmål b) Omsætningen i år År 2005 er 5 år efter 2000, så x = 5. (udregnet således x = = 5 ) Så beregner vi y med den oplyste formel y = 2,5x + 10,5 y = = 23 Vores model siger altså: I år 2005 er omsætningen på 23 mia. kr. Men vi får en oplysning, at i 2005 blev omsætningen på mia. kr. Afvigelsen, 26,8-23 = 3,8 mia., er stor i forhold til den årlige stigning i som var 2,5 mia. Det må betyde, at modellen ikke længere passer i år (Men bemærk også, at i opgavens første oplysning stod der netop, at modellen for omsætningen passede i årene )

17 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 17 af 29 Eksempel 4 Fra april 2005 og 20 måneder frem faldt ledigheden i Danmark med god tilnærmelse med 2900 personer pr. måned. I april 2005 var der ledige. a) Opstil en model, der beskriver udviklingen i antal ledige i den nævnte periode. Kilde: Danmarks Statistik. Løsning De variable: x : Tid. [Vi vælger at sige:] antal måneder efter april 2005 y : antal ledige [personer i Danmark]. [Bemærk, at der ikke står noget som helst i opgaven om, at denne funktion er lineær! Vi må altså selv finde argumentet for det.] a) Den første oplysning:»antallet af ledige faldt med 2900 personer pr. måned«kan også skrives: Hver gang der går en måned, bliver antallet af ledige 2900 mindre. eller: Når x bliver 1 større, bliver y 2900 mindre. - og det er lige præcis beskrivelsen af en hældningskoefficient! Derfor er funktionen en lineær funktion med hældningskoefficient a = b-tallet: Oplysningen»I april 2005 var der ledige«kan skrives: Når x = 0, er y = Men b-tallet er netop y-værdien, når x er lig med 0. Så b = Dermed er modellen kan modellen y = a x + b skrives y = 2900x hvor x : antal måneder efter april 2005 y : antal ledige i Danmark.

18 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 18 af 29 4 EKSAMENSOPGAVER - løs selv og forklar ordentligt: Opg. 401 SLANGEVOGN MED SLANGE Længden af slangen (meter) Pris for slangevogn med slange (kr.) 418,50 539,50 Tabellen viser sammenhængen mellem prisen for en slangevogn med slange og længden af slangen. Det antages, at denne sammenhæng kan beskrives ved y = ax + b hvor x er længden af slangen (målt i meter), og y er prisen (i kr.) for slangevogn med slange. a) Bestem tallene a og b. b) Giv en fortolkning af tallene a og b. Løsning start: Variable : x: y: Sammenhæng: y = ax + b, dvs. en lineær sammenhæng. Oplyste værdier: Længde x 1 =25 x 2 =50 (fortsæt selv) Pris y 1 =418,50 y 2 =539,50 Opg. 402 Grafen for en lineær funktion y = a x + b går gennem punkterne ( 6, 2) og (2,8). a) Bestem tallene a og b.

19 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 19 af 29 Opg. 403 Udviklingen i den gennemsnitlige levetid (middellevetiden) for danske kvinder kan for årene efter 1995 med god tilnærmelse beskrives ved en lineær model y = ax + b, hvor x er antal år efter 1995, og y er middellevetiden (år). Middellevetiden for kvinder er vokset fra 78,0 år i 1995 til 80,3 år i a) Bestem tallene a og b. b) I hvilket år vil middellevetiden for kvinder være 81,5 år, hvis udviklingen fortsætter? Opg. 404 I 2005 betalte hver elforbruger i Roskilde 382,50 kr. i fast årligt abonnement til Roskilde Elforsyning. Derudover betales der 1,5697 kr. pr. kwh for elforbruget. a) Opstil en model, der beskriver sammenhængen mellem den samlede udgift (i kr.) til el i 2005 og elforbruget (målt i kwh).

20 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 20 af 29 5 OPGAVER, HVOR MAN SELV SKAL IDENTIFICERE DE VARIABLE x og y Opg. 501 Figuren til højre viser den forventede udvikling i flytrafikken over Europa indtil Ifølge denne figur vil antallet af flyvninger vokse lineært i perioden a) Bestem en model, der beskriver antallet af flyvninger som funktion af antal år efter b) Beregn antallet af flyvninger i c) Beregn, i hvilket år antallet af flyvninger vil overstige 14 millioner. d) Beregn, hvor meget antallet af flyvninger stiger i en 7-års periode. Løsning start: Variable : x: y: Opg. 502 Figuren til højre viser udviklingen i antallet af Dankortbetalinger i Danmark. Det fremgår af figuren, at der er en lineær udvikling i antallet af Dankort-betalinger i perioden. I 1995 blev der foretaget 241 mio. Dankort-betalinger, og i 2001 blev der foretaget 439 mio. Dankortbetalinger. a) Bestem en regneforskrift for funktionen. b) Beregn antallet af Dankort-betalinger i 2006, hvis denne udvikling fortsætter. c) Beregn, i hvilket år antallet af Dankort-betalinger vil komme over 740 mio., hvis denne udvikling fortsætter. d) Hvad fortæller tallet a om udviklingen i antal dankortbetalinger? e) Hvor meget vokser antallet af dankortbetalinger over 5 år?

21 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 21 af 29 Opg. 503 Om en lineær sammenhæng oplyses, at x = 1 svarer til y = 4. Endvidere oplyses, at når x vokser med 2, vokser y med 3. a) Find y-værdierne svarende til x = 5 og til x = 3. b) Bestem tallene a og b i denne sammenhæng. c) Løs ligningen y = 7.5. Opg. 504 Ozonlaget i atmosfæren beskytter mod solens ultraviolette stråling. Ozonlagets tykkelse O (målt i Dobson-enheder) kan beskrives ved en model O = at + b, hvor t er antal år efter a) Beregn a og b, når det oplyses at ozonlagets tykkelse i 1981 var 348 Dobson-enheder og i 1989 var 334 Dobson-enheder. b) Beregn ozonlagets tykkelse i 2001 ifølge denne model. c) Hvornår kommer ozonlagets tykkelse under 300 Dobson-enheder ifølge modellen. d) Med hvor mange Dobsonenheder formindskes ozonlaget over 6 år?

22 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 22 af 29 Opg. 505 På et bjerg på New Guinea er der en sammenhæng mellem højden over havet og antallet af fuglearter i denne højde. I koordinatsystemet viser den rette linje denne sammenhæng. Linjen går gennem punkterne P(5000, 66) og Q(7700, 20). a) Bestem tallene a og b i denne model. b) Beregn, hvor mange fuglearter man kan forvente at finde i 4500 fods højde over havet. c) Hvad fortæller hældningskoefficienten om antallet af fuglearter? d) Hvor mange færre fuglearter er der, hver gang man kommer 500 fod højere op?

23 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 23 af 29 Opg. 506 I en personbil måltes motorstøj, når bilen kørte i 5. gear med hastigheder mellem 70 km/t og 130 km/t. Målingerne viste, at der er en lineær sammenhæng mellem støjniveauet, målt i db og hastigheden, målt i km/t. Ved 70 km/t er støjniveauet 60 db og ved 130 km/t er støjniveauet 70 db. a) Bestem konstanterne a og b i denne sammenhæng. b) Hvad betyder størrelsen af a for denne sammenhæng? c) Beregn støjniveauet ved 90 km/t. d) Beregn den hastighed, hvor støjniveauet er 67 db. Opg. 507 For perioden kan antallet af landbrug med god tilnærmelse beskrives ved en formel y = a x + b, hvor y er antallet af landbrug, og x er antal år efter I 1983 var der landbrug, og i 2000 var der landbrug. a) Bestem konstanterne i formlen. b) Beregn antallet af landbrug i 2010, hvis denne udvikling fortsætter. c) Hvornår kommer antallet af landbrug under , hvis udviklingen fortsætter. d) Hvor meget aftager antallet af landbrug i en 5-års periode? e) Hvad fortæller a om udviklingen i antal landbrug?

24 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 24 af 29 Opg. 508 Algers produktion af næringsstof kræver lys. I de arktiske have er der en sammenhæng mellem længden af den isfri periode og produktionen af næringsstof. Hvis y er produktionen af næringsstof, målt i gram pr. m 2 pr. år, og x er længden af den isfri periode, målt i måneder, er sammenhængen en lineær funktion. På figuren ses den rette linje gennem punkterne P(4, 29) og Q(10, 90) a) Beregn tallene a og b. b) Beregn produktionen af næringsstof, når den isfri periode varer 4.5 måneder. Et år måltes produktionen af næringsstof til 10 gram pr. m 2 pr. år c) Beregn, hvor lang en isfri periode det svarer til. Langs Grønlands østkyst er havet nu isfrit ca. en kvart måned længere end tidligere. d) Beregn den tilsvarende forøgelse i produktionen af næringsstof. e) Hvad fortæller hældningskoefficienten om produktionen af næringsstof? Opg. 509 Vi ser på sammenhængen mellem de to forskellige temperaturskalaer Celsius og Fahrenheit. Sammenhængen beskrives ved formlen F = 1.8C + 32 a) Hvilken betydning har tallet 1.8 for sammenhængen mellem de to skalaer? b) Find Fahrenheittemperaturerne, der svarer til 0 C og til 100 C Det siges, at Fahrenheit fastlagde skalaen bl.a. ved at tage sin egen temperatur og så skrive 100 der hvor termometret blev stående. c) Var Fahrenheit syg den dag, han fastlagde skalaen?

25 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 25 af 29 Opg. 510 Figuren viser udviklingen af vægten af en gris i perioden 3 10 uger efter fødslen. I en model beskrives denne udvikling ved y = ax + b, hvor y er vægten af grisen, målt i kg, og x er antal uger efter fødslen. På figuren er modellen vist ved den rette linje gennem punkterne P(3, 6.5) og Q(10, 35.5). a) Beregn tallene a og b. b) Beregn grisens vægt efter 12 uger, hvis udviklingen fortsætter. c) Hvornår vil grisen veje 70 kg - forudsat udviklingen fortsætter? d) Hvor meget stiger vægten af grisen i løbet af en uge? - og i løbet af et døgn? e) Hvad fortæller b-tallet om grisens vægt? Kommentér svaret! Opg. 511 I en beholder er der luft. Man har målt sammenhørende værdier for luftens tryk og temperatur: Temperatur i C Tryk i mm Hg Der er en lineær sammenhæng mellem trykket og temperaturen. a) Bestem denne lineære sammenhæng. b) Bestem trykket, når luftmassen afkøles til 0 C. c) Den temperatur, der svarer til et tryk på 0 mm Hg, kaldes det absolutte nulpunkt. Bestem denne temperatur. d) Hvad fortæller hældningskoefficienten om denne sammenhæng?

26 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 26 af 29 6 LIDT AF HVERT - SVÆRERE OPGAVER Opg. 601 =506fortsat I en personbil måltes motorstøj, når bilen kørte i 5. gear med hastigheder mellem 70 km/t og 130 km/t. Målingerne viste, at støjniveauet, målt i db, er en lineær funktion af hastigheden, målt i km/t. Ved 70 km/t er støjniveauet 60 db og ved 130 km/t er støjniveauet 70 db. e) Hvor meget skal hastigheden nedsættes, for at støjniveauet falder med 3 db? Opg. 602 Andelen af analfabeter blandt kvinder i verdens lavindkomstlande kan for årene beskrives ved en formel y = 0.87x + 73, hvor y er andelen af kvindelige analfabeter, målt i antal analfabeter pr. 100 kvinder, og x er antal år efter a) Hvad fortæller tallene 0.87 og 73 om andelen af kvindelige analfabeter? Andelen af mandlige analfabeter i verdens lavindkomstlande kan beskrives ved en model: y = 0.73x + 50, hvor y er andelen af mandlige analfabeter, og x er antal år efter b) Beregn andelen af mandlige analfabeter i år c) Beregn andelen af kvindelige analfabeter på det tidspunkt, hvor andelen af mandlige analfabeter er 20. d) Hvor mange år skal der gå, før andelen af kvindelige analfabeter er faldet med 11 ud af 100?

27 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 27 af 29 Opg. 603 I perioden er antallet af elever på efterskolerne vokset med i gennemsnit 532 elever om året. I 1984 var der elever på efterskolerne. a) Bestem en formel, der giver sammenhængen mellem antallet af elever på efterskolerne og antal år efter b) Bestem antallet af elever på efterskolerne i c) Hvor meget vokser antallet af elever på efterskolerne i en 8-årsperiode? Opg. 604 For en kobbertråd er sammenhængen mellem modstanden og temperaturen bestemt ved formlen y = ax + b, hvor y er modstanden, målt i ohm, og x temperaturen, målt i C. Ved 16.5 C er modstanden 59.5 ohm, og ved 67 C er modstanden 70.6 ohm. a) Bestem tallene a og b. b) Hvad fortæller tallene a og b om kobbertrådens modstand? c) Bestem modstanden ved en temperatur på 100 C. d) Modstanden i en kobbertråd ønskes gjort 5 ohm mindre. Hvor mange grader skal temperaturen så sænkes?

28 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 28 af 29 Opg. 605 Tabellen viser antallet af flypassagerer i Kastrup Lufthavn i visse udvalgte år. År Antal flypassagerer (mill.) a) Indtegn tabellens oplysninger i et koordinatsystem, og gør ved hjælp heraf rede for, at sammenhængen mellem årene og antallet af flypassagerer med god tilnærmelse er af formen y = ax + b. (Som inspiration: se oplægget til opgave 510.) y er antallet af flypassagerer, angivet i millioner, og x er antal år efter b) Bestem tallene a og b. c) Forklar hvad hældningskoefficienten a fortæller om væksten i antallet af flypassagerer. d) Benyt modellen til at give et skøn over antallet af flypassagerer i e) I hvilket år vil antallet af flypassagerer overstige 20 millioner ifølge denne model? Opg. 606 En af de skatter, vi betaler som danskere, er kommuneskatten. Den betales med en bestemt procent af det beløb, der kaldes den skattepligtige indkomst. I Københavns Kommune betales 23.8% af den skattepligtige indkomst. a) Skriv en formel, der beregner skattebeløbet, når x er den skattepligtige indkomst. Så let er det ikke! Hver person har et personfradrag, som er et beløb, der ikke skal betales skat af. Hvis dette beløb er kr., betyder det altså, at de første kr. af den skattepligtige indkomst beholder man selv, og derefter begynder man at betale de 23.8% af beløbet over kr. b) Prøv at finde en formel, der beregner kommuneskattebeløbet, når x er den skattepligtige indkomst.

29 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 29 af 29 Opg. 607 På tegningen ses en ret linje i et koordinatsystem. a) Aflæs koordinaterne til to punkter på linjen. b) Bestem derudfra tallene a og b i ligningen. c) Bestem x-værdien svarende til y = 4. Opg. 608 På tegningen ses to rette linjer. a) Find tallene a og b i de to ligninger for de to linjer. Opg. 609 a) Løs ligningen 0.6x = 1.25x b) Hvordan kunne opg. 608 have hjulpet med at løse denne ligning?

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13 En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2007 MATEMATIK B-NIVEAU. Tirsdag den 18. december 2007. Kl. 09.00 13.00 HFE073-MAB

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2007 MATEMATIK B-NIVEAU. Tirsdag den 18. december 2007. Kl. 09.00 13.00 HFE073-MAB HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2007 MATEMATIK B-NIVEAU Tirsdag den 18. december 2007 Kl. 09.00 13.00 HFE073-MAB Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen stx103-mat/b-10122010 Fredag den 10. december 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (4 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-13.00 HFE093-MAB

Matematik B. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (4 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-13.00 HFE093-MAB Matematik B Højere forberedelseseksamen Skriftlig prøve (4 timer) HFE093-MAB Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Modellering betyder at lave en matematisk model, der beskriver en praktisk situation. I det følgende arbejdes med lineære funktioner.

Modellering betyder at lave en matematisk model, der beskriver en praktisk situation. I det følgende arbejdes med lineære funktioner. Modellering Modellering betyder at lave en matematisk model, der beskriver en praktisk situation. I det følgende arbejdes med lineære funktioner. Der er forskellige trin, når der modelleres. De er beskrevet

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform a 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål

Læs mere

FRANSK BEGYNDERSPROG HØJT NIVEAU FORTSÆTTERSPROG TILVALGSFAG HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009

FRANSK BEGYNDERSPROG HØJT NIVEAU FORTSÆTTERSPROG TILVALGSFAG HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 STUDENTEREKSAMEN MAJ 2005 2005-11-2 SPROGLIG OG MATEMATISK LINJE HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2005 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 FRANSK BEGYNDERSPROG

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

MATEMATIK A. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl GL083-MAA. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet

MATEMATIK A. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl GL083-MAA. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt MATEMATIK A Xxxxdag den xx. måned åååå Kl. 10.00 15.00 Undervisningsministeriet GL083-MAA 574604_GL083-MAA_12s.indd 1 16/01/09 15:46:23 Matematik A Prøvens varighed

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Regning med funktioner - TAVLENOTER

Regning med funktioner - TAVLENOTER Sammensat funktion [Elevsamtaler] Jens Thostrup, GUX Nuuk 1 FACIT b) 1 og 3 er de eneste løsninger, der optræder i tabellen Jens Thostrup, GUX Nuuk 2 Regningsarter for funktioner Sumfunktion: (f+g)(x)

Læs mere

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression.

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression. Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1)

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl stx141-MAT/B

Matematik B. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl stx141-MAT/B Matematik B Studentereksamen 1stx141-MAT/B-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2016

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2016 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

MAT B GSK august 2007 delprøven uden hjælpemidler

MAT B GSK august 2007 delprøven uden hjælpemidler Opg MAT B GSK august 007 delprøven uden hjælpemidler Funktionen f har forskriften f() = ( + ) ( + ) ( ) Beregn nulpunkterne for f. Svar : f() = 0 = eller = eller = ; L = { ; ; } Polnomiers faktorisering

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 1 af 23 ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROPORTIONALITET INDEKSTAL OMVENDT PROPORTIONALITET INDHOLDSFORTEGNELSE 0 Oversigt - formelsamling...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses. 18-02-2009 16:13:02 Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D Demo preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1

brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D Demo preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1 brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1 brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-37-4

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. Mandag den 11. maj Kl HFE091-MAB

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. Mandag den 11. maj Kl HFE091-MAB HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 13.00 HFE091-MAB Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING hvor a INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Introduktion... side 1 Renters rente på 4 måder... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2c Anvendelse af kapitalfremskrivningsformlen

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

4. Funktioner lineære & hyperbel

4. Funktioner lineære & hyperbel 4. 4.1 Tegn følgende lineære funktioner: a. y = 2 +1 b. y = 3 c. y = 3 d. y = ½ + 2 e. y = 2 + 350 f. y = -25 + 4200 g. y = 125-375 4.2 Tegn følgende lineære funktioner. Det er en stor fordel at isolere

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler

Læs mere

Opgaver i lineær regression

Opgaver i lineær regression Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Opgaver i lineær regression Opgave 1 I Troposfæren op til en højde af ca. 12 km over jordoverfladen aftager lufttemperaturen på en regelmæssig måde. istock.com/ttsz

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Vejr. Matematik trin 2. avu

Vejr. Matematik trin 2. avu Vejr Matematik trin 2 avu Almen voksenuddannelse 10. december 2008 Vejr Matematik trin 2 Skriftlig matematik Opgavesættet består af: Opgavehæfte Svarark Hæftet indeholder følgende opgaver: 1 Klimarekorder

Læs mere