ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

Transkript

1 ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og beregne y-værdi... side 3 2c Indsætte y-værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning... side 4 2d Beregne hældningskoefficienten a, når vi kender to punkter på grafen... side 6 2e Finde b-tallet, når vi kender a og et punkt på grafen... side 7 2f Beregne ændringen i y-værdi, når vi kender a og ændringen i x-værdi... side 8 2g Beregne a, når vi kender ændringen i x-værdi og den dertil hørende ændring i y-værdi... side 9 2h Blandede små-opgaver... side 9 3 Opgaver med flere af begreberne... side 11 4 Opgaver med tekst (gennemregnede eksamensopgaver)...side 14 4 Eksamensopgaver (med tekst) regn selv... side 18 5 Tekstopgaver, hvor man selv skal identificere x og y... side 20 6 Lidt af hvert - sværere opgaver... side 26

2 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 2 af 29 1 Funktioner og modeller Funktion Model Koordinatsystem En funktion er en sammenhæng mellem variable, hvor et input giver et output. Kan vises med sildeben og graf. En model kan bestå af nogle variable og en funktion der sammenknytter dem. Eks. x : længde af taxatur i km (uafhængig variabel) y : pris i kroner for taxaturen (afhængig variabel) Sammenhæng: y = 14 x + 30 Lineær funktion, y=a x + b y = a x + b a = y2 y1 x2 x1 Omformning af y = a x + b : x = ( y b) a b = y a x a = ( y b) x Konstanternes navne ved lineære funktioner: a : hældningskoefficienten, stigningstallet b : y-akse-skæringen Betydning i lineær model af konstanterne a og b: y Konstanternes betydning (ved lineære funktioner): Når x=0, er y=b Når x stiger med 1, vil y ændres med a b 1 a Vækstegenskaber: Funktionen er voksende, når a er positiv Funktionen er aftagende, når a er negativ x y_ændring = a x_ændring (samme som:) y 2 - y 1 = a (x 2 - x 1 )

3 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 3 af 29 2 ØVELSER I GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER 2a Finde konstanterne a og b i en formel Eksempel 1 Vi har formlen y = 3x 5 Tallet ved siden af x er tallet 3; altså er a = 3 Tallet ikke-ved siden af x er tallet 5; altså er b = 5 Eksempel 2 Vi har formlen y = 6 2x Tallet ved siden af x er tallet 2; altså er a = 2 Tallet ikke-ved siden af x er tallet 6; altså er b = 6 Opgaver (opgaven med stjerne er lidt sværere) Opg. 201 Vi har formlen y = 7x + 1 Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 202 Vi har formlen y = 2x + 11 Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 203 Vi har formlen y = 32x 500 Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 204 Vi har formlen y = x 13 Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 205 Vi har formlen y = 0.37x Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 208*) Vi har formlen y = 2 (x 3) Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = b Indsætte x-værdi og beregne y-værdi Eksempel Vi har formlen y = 3x 5. a) Bestem y, når x = 7 Løsning: Hvis vi indsætter x = 7, får vi y-værdien y = = 16 b) Bestem y, når x = -2 Løsning: Hvis vi indsætter x = -2, får vi y-værdien y = 3 ( 2) 5 = 11 Opgaver Opg. 211 Den lineære model er: y = 7x + 1 Beregn y-værdien, når x = 4:

4 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 4 af 29 x = 3: x = 0.6: x = 300: Opg. 212 Den lineære model er: y = 2x + 11 Beregn y-værdien, når x = 3: x = 3: x = 6.5: x = 250: 2c Indsætte y-værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning Eksempel Vi har formlen y = 3x 5. Bestem x, når y = 7 Løsning: Metode 1 Vi bruger den færdige formel y b a x =. Heri indsætter vi y = 7, a = 3 og b = 5: 7 ( 5) 3 x =, så x = 4. Metode 2 Vi indsætter y = 7, i ligningen y = 3x 5 og løser den i hånden : 7 = 3x = 3x 12 = 3x 12 3 = x, så x = 4 Metode 3 Vi bruger CAS (Solve / løs ligning) på PC eller lommeregner til ligningen i metode 2 Opgaver I de næste opgaver skal du bruge alle tre metoder for at finde den metode, der er rarest for dig. Opg. 221 Den lineære model er y = 7x + 1 Beregn x-værdien, når y = 29: y = 13:

5 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 5 af 29 y = 13: y = 300: Opg. 222 Den lineære model er y = 2x + 11 Find x-værdien, når y = 33: y = 5: y = 11: y = 6:

6 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 6 af 29 2d Beregne hældningskoefficienten a, når vi kender to punkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) på grafen Eksempel 1 Den rette linje går gennem punkterne ( 5, 3) og (7, 15). Bestem a. y2 y1 Løsning: Vi skal indsætte i formlen a = x x 2 1 Vi navngiver koordinaterne: x 1 = 5, y 1 = 3, x 2 = 7 og y 2 = 15. y2 y Så indsætter vi: a = = = = 1 x x 7 ( 5) Eksempel 2 Den rette linje går gennem punkterne (2, 14) og (9, 3). Bestem a. y2 y1 Løsning: Vi skal indsætte i formlen a = x x 2 1 Vi navngiver koordinaterne: x 1 = 2, y 1 = 14, x 2 = 9 og y 2 = Så indsætter vi: a = = = Eksempel 3 Til x = 2 svarer y = 14 og til x = 9 svarer y = 3 Bestem a Løsning: Som eksempel 2, det er bare en anden måde at formulere samme opgave. Opgaver Opg. 231 Grafen går gennem punkterne ( 5, 4) og (2, 10). Find hældningskoefficienten. Skriv først: x 1 =..., y 1 =..., x 2 =..., y 2 =... Opskriv så formlen: a = Opg. 232 Grafen går gennem punkterne (15, 17) og (3, 1). Find hældningskoefficienten. Opg. 233 Grafen går gennem punkterne (6, 7) og ( 1, 10). Find hældningskoefficienten. Opg. 235 Til x = 4 svarer y = 6 og til x = 5 svarer y = 3. Find hældningskoefficienten.

7 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 7 af 29 2e Finde b-tallet, når vi kender a og et punkt på grafen Eksempel En lineær funktion har hældningskoefficient a = 1.5 og grafen går gennem punktet (5, 14) Løsning: Metode 1: Metode 2: At punktet (5, 14) ligger på grafen kan også siges sådan: til x = 5 svarer y = 14. I stedet for den sædvanlige forskrift y = a x + b bruges den omskrevne formel: b = y - a x b = = 6.5 så b = 6.5 (Altså er forskriften: y = 1.5x ) Der indsættes i den sædvanlige forskrift, og løses: y = a x + b 14 = b 14 = b = b så b = 6.5 Opgaver Opg. 241 Find b-tallet, når a = 3 og grafen går gennem punktet (2, 1) Opg. 242 Find b-tallet, når a = 8 og grafen går gennem punktet ( 2, 13) Opg. 243 Find b-tallet, når a = 4 og grafen går gennem punktet (8, 11) Opg. 245 Find b-tallet, når a = 3.2 og der til en x-værdi på 15 svarer en y-værdi på 7

8 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 8 af 29 2f Beregne ændringen i y-værdi, når vi kender a og ændringen i x-værdi Eksempel 1 Vi har den lineære funktion y = 2x 3. a) Hvad ændres y med, når x vokser med 1? Løsning: Hældningskoeffficenten a er 2. Dvs. Hvis x stiger med 1, vokser y med 2 b) Hvad ændres y med, når x vokser med 4? Løsning: Formel: y_ændring = a x_ændring y_ændring = 2 4 = 8 Dvs y vokser med 8 (kan også siges: y stiger med 8, eller: y bliver 8 større) c) Hvad ændres y med, når x falder med 3? Løsning: Hvis x falder med 3 er x-ændringen -3 y_ændring = a x_ændring y_ændring = 2 (-3) = -6 Og det vil vi udtrykke ved at sige, at y aftager med 6. (Eller: y falder med 6, eller: y bliver 6 mindre) Eksempel 2 Vi har den lineære funktion y = 7x a) Hvis x bliver 1 større, vokser y med 7 siges: y aftager med 7 b) Hvis x bliver 4 større, vokser y med y_ændring = a x_ændring = ( 7) 4 = 28. Vi siger: y aftager med 28 c) Hvis x bliver 5 mindre, vokser y med y_ændring = a x_ændring = ( 7) ( 5) = 35 Opgaver Opg. 251 Den lineære funktion har forskriften y = 7x + 1 Beregn ændringen i y-værdien, når x vokser med 4: x vokser med 3: x aftager med 6: x bliver 300 større:

9 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 9 af 29 Opg. 252 Den lineære funktion har forskriften y = 2x + 11 Beregn ændringen i y-værdien, når x bliver 3 større: x aftager med 8.5: Opg. 253 Den lineære funktion har forskriften y = 32x 500 Beregn ændringen i y-værdien, når x bliver 40 mindre: x aftager med 10: Beregne a, når vi kender ændringen i x-værdi og den dertil hørende ændring i y-værdi Eksempel Om en lineær funktion oplyses, at y vokser med 14, når x bliver 5 større. Find a. y y x x 2 1 a = kan skrives 2 1 Løsning: a = = y _ ændring 14 x _ ændring 5 eller som decimalbrøk: a = 2.8 Opgaver Find hældningskoefficienten a i de næste fire opgaver: Opg. 261 Når x bliver 6 større, vokser y med 12 Opg. 262 Når x bliver 8 større, bliver y 20 mindre Opg. 263 y aftager med 7, når x vokser med 14 Opg. 264 Når x bliver 19 mindre, aftager y med 29 2h Blandede små-opgaver Opg. 206 Vi har formlen y = x 8 Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 213 Den lineære model er: y = 32x 500 Beregn y-værdien, når

10 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 10 af 29 x = 40: x = 10: x = 4.25: x = 550: Opg. 207 Vi har formlen y = 6 + 4x Opskriv hvilken værdi a og b har: a = b = Opg. 222 Den lineære model er y = 3x + 13 Find x-værdien, når a) y = 11: b) y = 6: Opg. 244 Find b-tallet, når a = 0.4 og der til en x-værdi på 5 svarer en y-værdi på 41 Opg. 234 Grafen går gennem punkterne ( 11, 8) og (7, 8). Find hældningskoefficienten og regneforskriften. Opg. 252 Den lineære funktion har forskriften y = 2x + 11 Beregn ændringen i y-værdien, når x bliver 8 større: x aftager med 4:

11 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 11 af 29 3 OPGAVER MED FLERE AF BEGREBERNE Eksempel En opgave lyder sådan: Grafen for en lineær sammenhæng går gennem punkterne (5, 9) og (13, 15). a) Find en formel for denne sammenhæng b) Find y-værdien, når x = 3 c) Bestem x, når y = 21 d) Hvor meget ændres y-værdien, når x vokser med 7? Besvarelsen er sådan: a) I formlen y = a x + b skal vi finde tallene a og b. Først a. Vi navngiver x 1 = 5, y 1 = 9, x 2 = 13 og y 2 = 15 y2 y 15 ( 9) 24 1 Så er a = = = = 3 x2 x b findes med b = y - a x, ( man finder b = 24 ) Altså er formlen y = 3x 24 b) Vi indsætter x = 3: i y = 3x 24 y = 3 ( 3) 24 = 33 c) (man finder med den omskrevne formel y b a x = at x = 15 ) d) Når x vokser med 3: y-ændring = a x_ændring = 7 3 = 21. y bliver 21 større, når x vokser med 7 Opgaver Opg. 301 Grafen for en lineær sammenhæng går gennem punkterne ( 4, 6) og (5, 3) a) Find en formel for denne sammenhæng. b) Bestem x når y = 14 c) Hvilken y-værdi fås, når x = 14?

12 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 12 af 29 Opg. 302 I en lineær sammenhæng svarer x = 2 til y = 1 og x = 11 svarer til y = 4 a) Bestem tallene a og b i formlen. b) Hvor meget ændres y, hvis x vokser med 8? Opg. 303 Vi har formlen y = a x + b. Grafen går gennem punkterne (7, 1) og (2, 8.5) a) Bestem tallene a og b. b) Hvilken x-værdi svarer til y = 35? c) x bliver 35 større; hvor meget ændres y? Opg. 304 En ret linje har hældningskoefficient 2, og linjen går gennem punktet ( 4.5, 7). a) Bestem b-tallet i formlen. b) Et punkt på grafen har x-værdien x = 42. Find punktets y-værdi. Opg. 305 Om en lineær sammenhæng oplyses, at grafen går gennem punktet (0, 75) a) Bestem b-tallet i formlen. Endvidere oplyses, at y bliver 8 mindre, når x vokser med 16. b) Bestem a-tallet i formlen. c) Bestem x når y = 40 d) Hvor meget aftager y, når x bliver 8 større?

13 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 13 af 29 Opg. 306 En ret linje går gennem punktet ( 6, 5). Endvidere oplyses, at x = 13 svarer til y = 5. a) Bestem tallene a og b i formlen. b) Find y-værdien, der svarer til x = 110 Opg. 307 I et koordinatsystem er tegnet punkterne (25, 660) og (78, 775) a) Find en formel for den rette linje, der går gennem de to punkter. b) Hvilken x-værdi giver y-værdien y = 1000? Opg. 308 En lineær sammenhæng har formlen 2 3 y = x + b. Desuden går grafen gennem punktet (15, 2). a) Bestem tallet b. b) I hvilken x-værdi skærer grafen gennem x-aksen? Opg. 309 Når x vokser med 14, bliver y 7 større. Og til x = 12 svarer y = 6. a) Bestem en formel for den lineære sammenhæng. b) Bestem x når y = 13.5

14 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 14 af 29 4 TEKSTOPGAVER, HVOR BEGREBERNE BRUGES Først gennemgås løsning af fire eksamensopgaver. Bemærk at problemstillingen skal fremgå af besvarelsen, man skal forestille sig en læser der ikke har læst opgaven. (I de første besvarelser er skrevet lidt mere forklarende tekst end normalt) Eksempel 1 Antallet af danske lønmodtagere, der betaler til efterlønsordningen, er i perioden aftaget. Figuren viser, at udviklingen med god tilnærmelse kan beskrives med en lineær funktion y = ax + b, hvor x er antal år efter 2000, og y er antal lønmodtagere, de betaler til efterlønsordningen. Det oplyses, at grafen for denne lineære funktion går gennem punkterne (1, ) og (4, ). a) Bestem tallene a og b. b) I hvilket år kommer antallet af lønmodtagere, der betaler til efterlønsordningen, ned på , hvis denne udvikling fortsætter? Løsning: (Begynd altid med at skrive meget tydeligt, hvad de to variable betyder i opgaven ) x: antal år efter 2000 y: antal lønmodtagere[, der betaler til efterlønsordningen] Sammenhæng: lineær, y = ax + b Spørgsmål a) Vi har i teksten fået oplyst to punkter: (1, ) og (4, ). Vi navngiver: x 1 = 1, y 1 = og x 2 = 4, y 2 = ). Vi beregner a (afsnit 2c): a y y = x2 x = 1 = b kan beregnes enten med forskriften y = a x + b eller med den omskrevne formel (afsnit 2d): b = y - a x Vi indsætter heri x 1 = 1, y 1 = og a =

15 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 15 af 29 b = (-40000) 1 = Vi har fundet a= og b= Spørgsmål b) Her spørges om, hvornår antallet af lønmodtagere bliver Antallet af lønmodtagere er et y-tal. Så nu er y = Forskriften er y = a x + b, dvs. y = x Vi kan beregne tallet x enten ved at løse ligning eller ved at indsætte i den omskrevne formel nedenfor: y b x = = = 10,3 a x = 10.3 Løsningen er altså 10.3 år efter Det skriver vi mere mundret: I løbet af år 2010 kommer antallet af lønmodtagere under Eksempel 2 Når en lukket beholder med luft opvarmes, stiger trykket i beholderen. For en bestemt beholder kan sammenhængen mellem temperaturen x (målt i ºC) og trykket y (målt i hektopascal) udtrykkes ved formlen y = 3,5x a) Hvad er trykket i beholderen, når temperaturen er 10ºC? b) Hvad fortæller tallet 3,5 om sammenhængen mellem tryk og temperatur i beholderen? Løsning: Vi begynder med at skrive de variable: x : temperatur ( C) y : tryk i bejolder (hektopascal) Sammenhæng: y = 3,5x + 955, en lineær sammenhæng med a=3,5 og b=955 Spørgsmål a) Vi får oplysningen, at temperaturen er 10 C. Temperaturen er et x-tal. D.v.s.: x = 10. Vi skal beregne trykket, d.v.s. y (afsnit 2a) og indsætter i den opgivne formel y = 3,5x y = = 990 Altså er trykket ved 10 C på 990 hektopascal. Spørgsmål b) I formlen er tallet 3,5 hældningskoefficienten a. Betydningen af hældningskoefficienten er: Når x vokser med 1, ændres y med a Med opgavens begreber: Når temperaturen vokser med 1, ændres trykket med 3.5 Det kan skrives mere som en dansk sætning, hvor enhederne medtages : Når temperaturen stiger med 1 C, vokser trykket med 3,5 hektopascal.

16 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 16 af 29 Eksempel 3 Den årlige omsætning på spil i Danmark kan for perioden med tilnærmelse beskrives ved modellen y = 2,5x + 10,5, hvor y er omsætningen, målt i mia. kr., og x er antal år efter a) Hvad fortæller tallene 2,5 og 10,5 om omsætningen på spil? b) Bestem omsætningen i 2005 ifølge modellen. Kommentér modellen, når det oplyses, at omsætningen i 2005 var 26,8 mia. kr. Kilde: POLITIKEN, tirsdag den 16. januar 2007 Løsning: De variable: x : antal år efter 2000 y : omsætningen i spil i Danmark (mia. kr.) Sammenhæng: y = 2,5x + 10,5, dvs. en lineær sammenhæng med a=2,5 og b=10,5 Spørgsmål a) Tallet 2,5 er hældningskoefficienten a, og det betyder Når x vokser med 1, ændres y med a Når antal år vokser med 1, ændres omsætningen med 2,5. Og på dansk: For hvert år vokser omsætningen med 2.5 mia. kr. Tallet 10.5 er b-tallet. Betydningen af b-tallet er: Når x = 0, er y = b. Med begreberne her: Når antal år efter 2000 er 0, er omsætningen 10.5 mia. kr. På dansk: I år 2000 er omsætningen på 10.5 mia. kr. Spørgsmål b) Omsætningen i år År 2005 er 5 år efter 2000, så x = 5. (udregnet således x = = 5 ) Så beregner vi y med den oplyste formel y = 2,5x + 10,5 y = = 23 Vores model siger altså: I år 2005 er omsætningen på 23 mia. kr. Men vi får en oplysning, at i 2005 blev omsætningen på mia. kr. Afvigelsen, 26,8-23 = 3,8 mia., er stor i forhold til den årlige stigning i som var 2,5 mia. Det må betyde, at modellen ikke længere passer i år (Men bemærk også, at i opgavens første oplysning stod der netop, at modellen for omsætningen passede i årene )

17 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 17 af 29 Eksempel 4 Fra april 2005 og 20 måneder frem faldt ledigheden i Danmark med god tilnærmelse med 2900 personer pr. måned. I april 2005 var der ledige. a) Opstil en model, der beskriver udviklingen i antal ledige i den nævnte periode. Kilde: Danmarks Statistik. Løsning De variable: x : Tid. [Vi vælger at sige:] antal måneder efter april 2005 y : antal ledige [personer i Danmark]. [Bemærk, at der ikke står noget som helst i opgaven om, at denne funktion er lineær! Vi må altså selv finde argumentet for det.] a) Den første oplysning:»antallet af ledige faldt med 2900 personer pr. måned«kan også skrives: Hver gang der går en måned, bliver antallet af ledige 2900 mindre. eller: Når x bliver 1 større, bliver y 2900 mindre. - og det er lige præcis beskrivelsen af en hældningskoefficient! Derfor er funktionen en lineær funktion med hældningskoefficient a = b-tallet: Oplysningen»I april 2005 var der ledige«kan skrives: Når x = 0, er y = Men b-tallet er netop y-værdien, når x er lig med 0. Så b = Dermed er modellen kan modellen y = a x + b skrives y = 2900x hvor x : antal måneder efter april 2005 y : antal ledige i Danmark.

18 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 18 af 29 4 EKSAMENSOPGAVER - løs selv og forklar ordentligt: Opg. 401 SLANGEVOGN MED SLANGE Længden af slangen (meter) Pris for slangevogn med slange (kr.) 418,50 539,50 Tabellen viser sammenhængen mellem prisen for en slangevogn med slange og længden af slangen. Det antages, at denne sammenhæng kan beskrives ved y = ax + b hvor x er længden af slangen (målt i meter), og y er prisen (i kr.) for slangevogn med slange. a) Bestem tallene a og b. b) Giv en fortolkning af tallene a og b. Løsning start: Variable : x: y: Sammenhæng: y = ax + b, dvs. en lineær sammenhæng. Oplyste værdier: Længde x 1 =25 x 2 =50 (fortsæt selv) Pris y 1 =418,50 y 2 =539,50 Opg. 402 Grafen for en lineær funktion y = a x + b går gennem punkterne ( 6, 2) og (2,8). a) Bestem tallene a og b.

19 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 19 af 29 Opg. 403 Udviklingen i den gennemsnitlige levetid (middellevetiden) for danske kvinder kan for årene efter 1995 med god tilnærmelse beskrives ved en lineær model y = ax + b, hvor x er antal år efter 1995, og y er middellevetiden (år). Middellevetiden for kvinder er vokset fra 78,0 år i 1995 til 80,3 år i a) Bestem tallene a og b. b) I hvilket år vil middellevetiden for kvinder være 81,5 år, hvis udviklingen fortsætter? Opg. 404 I 2005 betalte hver elforbruger i Roskilde 382,50 kr. i fast årligt abonnement til Roskilde Elforsyning. Derudover betales der 1,5697 kr. pr. kwh for elforbruget. a) Opstil en model, der beskriver sammenhængen mellem den samlede udgift (i kr.) til el i 2005 og elforbruget (målt i kwh).

20 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 20 af 29 5 OPGAVER, HVOR MAN SELV SKAL IDENTIFICERE DE VARIABLE x og y Opg. 501 Figuren til højre viser den forventede udvikling i flytrafikken over Europa indtil Ifølge denne figur vil antallet af flyvninger vokse lineært i perioden a) Bestem en model, der beskriver antallet af flyvninger som funktion af antal år efter b) Beregn antallet af flyvninger i c) Beregn, i hvilket år antallet af flyvninger vil overstige 14 millioner. d) Beregn, hvor meget antallet af flyvninger stiger i en 7-års periode. Løsning start: Variable : x: y: Opg. 502 Figuren til højre viser udviklingen i antallet af Dankortbetalinger i Danmark. Det fremgår af figuren, at der er en lineær udvikling i antallet af Dankort-betalinger i perioden. I 1995 blev der foretaget 241 mio. Dankort-betalinger, og i 2001 blev der foretaget 439 mio. Dankortbetalinger. a) Bestem en regneforskrift for funktionen. b) Beregn antallet af Dankort-betalinger i 2006, hvis denne udvikling fortsætter. c) Beregn, i hvilket år antallet af Dankort-betalinger vil komme over 740 mio., hvis denne udvikling fortsætter. d) Hvad fortæller tallet a om udviklingen i antal dankortbetalinger? e) Hvor meget vokser antallet af dankortbetalinger over 5 år?

21 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 21 af 29 Opg. 503 Om en lineær sammenhæng oplyses, at x = 1 svarer til y = 4. Endvidere oplyses, at når x vokser med 2, vokser y med 3. a) Find y-værdierne svarende til x = 5 og til x = 3. b) Bestem tallene a og b i denne sammenhæng. c) Løs ligningen y = 7.5. Opg. 504 Ozonlaget i atmosfæren beskytter mod solens ultraviolette stråling. Ozonlagets tykkelse O (målt i Dobson-enheder) kan beskrives ved en model O = at + b, hvor t er antal år efter a) Beregn a og b, når det oplyses at ozonlagets tykkelse i 1981 var 348 Dobson-enheder og i 1989 var 334 Dobson-enheder. b) Beregn ozonlagets tykkelse i 2001 ifølge denne model. c) Hvornår kommer ozonlagets tykkelse under 300 Dobson-enheder ifølge modellen. d) Med hvor mange Dobsonenheder formindskes ozonlaget over 6 år?

22 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 22 af 29 Opg. 505 På et bjerg på New Guinea er der en sammenhæng mellem højden over havet og antallet af fuglearter i denne højde. I koordinatsystemet viser den rette linje denne sammenhæng. Linjen går gennem punkterne P(5000, 66) og Q(7700, 20). a) Bestem tallene a og b i denne model. b) Beregn, hvor mange fuglearter man kan forvente at finde i 4500 fods højde over havet. c) Hvad fortæller hældningskoefficienten om antallet af fuglearter? d) Hvor mange færre fuglearter er der, hver gang man kommer 500 fod højere op?

23 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 23 af 29 Opg. 506 I en personbil måltes motorstøj, når bilen kørte i 5. gear med hastigheder mellem 70 km/t og 130 km/t. Målingerne viste, at der er en lineær sammenhæng mellem støjniveauet, målt i db og hastigheden, målt i km/t. Ved 70 km/t er støjniveauet 60 db og ved 130 km/t er støjniveauet 70 db. a) Bestem konstanterne a og b i denne sammenhæng. b) Hvad betyder størrelsen af a for denne sammenhæng? c) Beregn støjniveauet ved 90 km/t. d) Beregn den hastighed, hvor støjniveauet er 67 db. Opg. 507 For perioden kan antallet af landbrug med god tilnærmelse beskrives ved en formel y = a x + b, hvor y er antallet af landbrug, og x er antal år efter I 1983 var der landbrug, og i 2000 var der landbrug. a) Bestem konstanterne i formlen. b) Beregn antallet af landbrug i 2010, hvis denne udvikling fortsætter. c) Hvornår kommer antallet af landbrug under , hvis udviklingen fortsætter. d) Hvor meget aftager antallet af landbrug i en 5-års periode? e) Hvad fortæller a om udviklingen i antal landbrug?

24 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 24 af 29 Opg. 508 Algers produktion af næringsstof kræver lys. I de arktiske have er der en sammenhæng mellem længden af den isfri periode og produktionen af næringsstof. Hvis y er produktionen af næringsstof, målt i gram pr. m 2 pr. år, og x er længden af den isfri periode, målt i måneder, er sammenhængen en lineær funktion. På figuren ses den rette linje gennem punkterne P(4, 29) og Q(10, 90) a) Beregn tallene a og b. b) Beregn produktionen af næringsstof, når den isfri periode varer 4.5 måneder. Et år måltes produktionen af næringsstof til 10 gram pr. m 2 pr. år c) Beregn, hvor lang en isfri periode det svarer til. Langs Grønlands østkyst er havet nu isfrit ca. en kvart måned længere end tidligere. d) Beregn den tilsvarende forøgelse i produktionen af næringsstof. e) Hvad fortæller hældningskoefficienten om produktionen af næringsstof? Opg. 509 Vi ser på sammenhængen mellem de to forskellige temperaturskalaer Celsius og Fahrenheit. Sammenhængen beskrives ved formlen F = 1.8C + 32 a) Hvilken betydning har tallet 1.8 for sammenhængen mellem de to skalaer? b) Find Fahrenheittemperaturerne, der svarer til 0 C og til 100 C Det siges, at Fahrenheit fastlagde skalaen bl.a. ved at tage sin egen temperatur og så skrive 100 der hvor termometret blev stående. c) Var Fahrenheit syg den dag, han fastlagde skalaen?

25 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 25 af 29 Opg. 510 Figuren viser udviklingen af vægten af en gris i perioden 3 10 uger efter fødslen. I en model beskrives denne udvikling ved y = ax + b, hvor y er vægten af grisen, målt i kg, og x er antal uger efter fødslen. På figuren er modellen vist ved den rette linje gennem punkterne P(3, 6.5) og Q(10, 35.5). a) Beregn tallene a og b. b) Beregn grisens vægt efter 12 uger, hvis udviklingen fortsætter. c) Hvornår vil grisen veje 70 kg - forudsat udviklingen fortsætter? d) Hvor meget stiger vægten af grisen i løbet af en uge? - og i løbet af et døgn? e) Hvad fortæller b-tallet om grisens vægt? Kommentér svaret! Opg. 511 I en beholder er der luft. Man har målt sammenhørende værdier for luftens tryk og temperatur: Temperatur i C Tryk i mm Hg Der er en lineær sammenhæng mellem trykket og temperaturen. a) Bestem denne lineære sammenhæng. b) Bestem trykket, når luftmassen afkøles til 0 C. c) Den temperatur, der svarer til et tryk på 0 mm Hg, kaldes det absolutte nulpunkt. Bestem denne temperatur. d) Hvad fortæller hældningskoefficienten om denne sammenhæng?

26 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 26 af 29 6 LIDT AF HVERT - SVÆRERE OPGAVER Opg. 601 =506fortsat I en personbil måltes motorstøj, når bilen kørte i 5. gear med hastigheder mellem 70 km/t og 130 km/t. Målingerne viste, at støjniveauet, målt i db, er en lineær funktion af hastigheden, målt i km/t. Ved 70 km/t er støjniveauet 60 db og ved 130 km/t er støjniveauet 70 db. e) Hvor meget skal hastigheden nedsættes, for at støjniveauet falder med 3 db? Opg. 602 Andelen af analfabeter blandt kvinder i verdens lavindkomstlande kan for årene beskrives ved en formel y = 0.87x + 73, hvor y er andelen af kvindelige analfabeter, målt i antal analfabeter pr. 100 kvinder, og x er antal år efter a) Hvad fortæller tallene 0.87 og 73 om andelen af kvindelige analfabeter? Andelen af mandlige analfabeter i verdens lavindkomstlande kan beskrives ved en model: y = 0.73x + 50, hvor y er andelen af mandlige analfabeter, og x er antal år efter b) Beregn andelen af mandlige analfabeter i år c) Beregn andelen af kvindelige analfabeter på det tidspunkt, hvor andelen af mandlige analfabeter er 20. d) Hvor mange år skal der gå, før andelen af kvindelige analfabeter er faldet med 11 ud af 100?

27 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 27 af 29 Opg. 603 I perioden er antallet af elever på efterskolerne vokset med i gennemsnit 532 elever om året. I 1984 var der elever på efterskolerne. a) Bestem en formel, der giver sammenhængen mellem antallet af elever på efterskolerne og antal år efter b) Bestem antallet af elever på efterskolerne i c) Hvor meget vokser antallet af elever på efterskolerne i en 8-årsperiode? Opg. 604 For en kobbertråd er sammenhængen mellem modstanden og temperaturen bestemt ved formlen y = ax + b, hvor y er modstanden, målt i ohm, og x temperaturen, målt i C. Ved 16.5 C er modstanden 59.5 ohm, og ved 67 C er modstanden 70.6 ohm. a) Bestem tallene a og b. b) Hvad fortæller tallene a og b om kobbertrådens modstand? c) Bestem modstanden ved en temperatur på 100 C. d) Modstanden i en kobbertråd ønskes gjort 5 ohm mindre. Hvor mange grader skal temperaturen så sænkes?

28 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 28 af 29 Opg. 605 Tabellen viser antallet af flypassagerer i Kastrup Lufthavn i visse udvalgte år. År Antal flypassagerer (mill.) a) Indtegn tabellens oplysninger i et koordinatsystem, og gør ved hjælp heraf rede for, at sammenhængen mellem årene og antallet af flypassagerer med god tilnærmelse er af formen y = ax + b. (Som inspiration: se oplægget til opgave 510.) y er antallet af flypassagerer, angivet i millioner, og x er antal år efter b) Bestem tallene a og b. c) Forklar hvad hældningskoefficienten a fortæller om væksten i antallet af flypassagerer. d) Benyt modellen til at give et skøn over antallet af flypassagerer i e) I hvilket år vil antallet af flypassagerer overstige 20 millioner ifølge denne model? Opg. 606 En af de skatter, vi betaler som danskere, er kommuneskatten. Den betales med en bestemt procent af det beløb, der kaldes den skattepligtige indkomst. I Københavns Kommune betales 23.8% af den skattepligtige indkomst. a) Skriv en formel, der beregner skattebeløbet, når x er den skattepligtige indkomst. Så let er det ikke! Hver person har et personfradrag, som er et beløb, der ikke skal betales skat af. Hvis dette beløb er kr., betyder det altså, at de første kr. af den skattepligtige indkomst beholder man selv, og derefter begynder man at betale de 23.8% af beløbet over kr. b) Prøv at finde en formel, der beregner kommuneskattebeløbet, når x er den skattepligtige indkomst.

29 Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 29 af 29 Opg. 607 På tegningen ses en ret linje i et koordinatsystem. a) Aflæs koordinaterne til to punkter på linjen. b) Bestem derudfra tallene a og b i ligningen. c) Bestem x-værdien svarende til y = 4. Opg. 608 På tegningen ses to rette linjer. a) Find tallene a og b i de to ligninger for de to linjer. Opg. 609 a) Løs ligningen 0.6x = 1.25x b) Hvordan kunne opg. 608 have hjulpet med at løse denne ligning?