2 Erik Vestergaard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk"

Transkript

1

2 Erik Vestergaard

3 Erik Vestergaard 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber for disse funktioner. Først en definition: Definition En lineær funktion er en funktion, hvis graf er en ret linje eller en del af en ret linje. Til enhver x-værdi i definitionsmængden for funktionen f svarer en bestemt funktionsværdi f ( x ), også kaldet y-værdien. Er funktionen defineret ved en forskrift, fås y-værdien ved at indsætte x-værdien i forskriften for f. Punktet ( x, y ) er et punkt på grafen for f. På figuren nedenfor er afbildet grafen for en funktion f, og vi ser, at funktionsværdien i 3 er lig med 4. Dette skriver vi f (3) = 4. Figur Når vi ændrer en x-værdi, siger vi, at vi giver x-værdien en tilvækst, og den betegnes ofte med Δx. Hvis x for eksempel ændres fra 30 til 35, så har x fået en tilvækst på Δ x = = 5. Hvis x ændres fra 8 til 5, så har x fået en tilvækst på Δ x = 5 8= 3, altså en negativ tilvækst. På nøjagtig samme måde kan vi tale om tilvækster Δy for den variable y. På figur nedenfor har vi givet x en tilvækst på Δ x = x x og kan se, at det resulterer i en y-tilvækst på Δ y= y y. Figur

4 4 Erik Vestergaard Sætning For en lineær funktion svarer lige store tilvækster i x til lige store tilvækster i y. Bevis: På figur 3 nedenfor har vi valgt et vilkårligt punkt P på grafen og givet x en tilvækst på Δ x. Dette resulterer i en y-tilvækst på Δ y. Nu vælges et andet vilkårligt punkt Q på linjen. Spørgsmålet er, hvad en tilvækst på Δ x vil svare til i dette tilfælde? Vi betegner den ubekendte tilvækst med z. En sætning siger, at hvis to parallelle linjer skæres af en tredje, så vil ensliggende vinkler være lige store. Dette er skitseret på figur 4 til højre. Denne sætning kan umiddelbart bruges til at konkludere, at vinklerne i P og Q i de to trekanter på figur 3 er lige store. Trekanterne har desuden hver en ret vinkel. Da vinkelsummen i en trekant er 80, så er de sidste to vinkler i trekanterne også ens. Altså er trekanterne ensvinklede. Forstørrelsesfaktoren fra den venstre til den højre trekant er her k =Δx Δ x=. Heraf fås z = k Δ y = Δ y =Δy, så y-tilvæksten her er altså den samme. Da vi startede vilkårlige steder på linjen, er det ønskede hermed vist. Figur 3 og 4 Definition 3 For en lineær funktion vil vi kalde den y-tilvækst, som svarer til en x-tilvækst på for hældningskoefficienten. Den betegnes ofte med bogstavet a. Bemærkning 4 Observer, at definition 3 ville have været meningsløs, hvis ikke sætning var rigtig, for så ville y-tilvæksten afhænge af hvor på linjen, man startede.

5 Erik Vestergaard 5 Sætning 5 Givet to punkter ( x, y ) og ( x, y ) på grafen for en lineær funktion. Da kan hældningskoefficienten bestemmes ved hjælp af følgende formel: Δ y y y () a = = Δx x x Bevis: Vi vil betragte en figur, som ligner den på figur 3. Da vi skal udtale os om hældningskoefficienten a må vi bringe definition 3 i spil. Det gør vi ved på figur 3 at udskifte den højre trekant med en, hvor x-tilvæksten er. Ifølge definition 3 er y-tilvæksten her nemlig a. Som i beviset for sætning, kan vi hurtigt argumentere for, at de to trekanter er ensvinklede. Forstørrelsesfaktoren fra den venstre til den højre trekant er k = Δx. Heraf fås det ønskede af Δ y y y () a = k Δ y = Δ y = = Δx Δx x x Figur 5 Vi mangler stadig at finde ud af, hvordan forskriften for en lineær funktion egentligt ser ud, dvs. hvordan ser formlen for y ud, når man kender x? Her gælder følgende: Sætning 6 Forskriften for en lineær funktion er på formen f ( x) = ax+ b, eller y = ax+ b, som vi ofte vil skrive. Her er a hældningskoefficienten, og b er den lineære grafs skæring med y-aksen.

6 6 Erik Vestergaard Bevis: Vi vil benytte formlen for hældningskoefficienten fra sætning 5. Dertil behøver vi to punkter på grafen. Som det ene punkt vælger vi meget smart linjens skæringspunkt med y-aksen, dvs. (0, b). Da vi skal udtale os om sammenhængen mellem x og y i tilfældet med en lineær funktion, så er vi i beviset nødsaget til at inddrage et variabelt punkt ( x, y ) på grafen. Punkterne ( x, y) = (0, b) og ( x, y) = ( x, y) indsættes i formlen (): (3) Figur 6 a y y y b y b x x x x = = = 0 ax = y b ax+ b = y Eksempel 7 (Løsninger ved beregning) Grafen for en lineær funktion f går gennem ( x, y ) = (,) og ( x, y ) = (4,4). a) Bestem forskriften for den lineære funktion. b) Bestem funktionsværdien i 3,5. c) Løs ligningen f( x ) = 0,5. Løsning: a) Forskriften for en lineær funktion er ifølge sætning 6 lig med y = ax+ b. Vi starter med at bestemme hældningskoefficienten a via formel (): a y x y x = = = 4 3 = 4 ( ) 6 Indsættes dette tal i forskriften, fås: y = x+ b. Vi mangler at bestemme det andet tal, b, også kaldet konstantleddet. Dertil indsættes et vilkårligt af de to opgivne punkter. Vi vælger (,), dvs. indsættes på x s plads og på y s plads: = ( ) + b = + b =b Hermed haves linjens forskrift: y = x+, eller f( x) = x+, om man vil.

7 Erik Vestergaard 7 b) Da forskriften nu er fundet, kan funktionsværdien i 3,5 bestemmes ved indsættelse af 3,5 på x s plads: f (3,5) = 3,5+ = 3,75. c) Mens vi i spørgsmål b) kendte x og skulle finde y, så er det her omvendt: Vi ved, at y = f( x) = 0,5. Vi indsætter denne værdi på y s plads i forskriften og løser for x: y = 0,5 0,5= x+ 0,5 = x,5= x 3= x Så løsningen er altså x = 3. Eksempel 8 (Grafisk løsning) Hvis man blev bedt om at løse opgaverne fra eksempel 7 grafisk, så kunne man gøre det på følgende måde: De to punkter (,) og (4,4) indtegnes i et koordinatsystem og linjen igennem punkterne tegnes, som vist på figur 7 nedenfor. Herefter: a) Hældningskoefficienten a findes ved at undersøge, hvor meget en tilvækst på på x-aksen giver i y-tilvækst. Det passer med at a =, som vist på figuren. Konstantleddet b findes som skæringen med y-aksen, her. Derfor er forskriften, også kaldet x-y-sammenhængen, givet ved y = x+. b) Funktionsværdien i 3,5 fås ved at gå hen til 3,5 på x-aksen, op til grafen og hen til y-aksen. Det giver rimeligt nok y = 3, 75. Man skriver: f (3,5) = 3,75. c) Løsningen til ligningen f( x ) = 0,5 eller y = 0,5 fås ved at gå op til 0,5 på y-aksen, vandret ud til grafen og lodret ned på x-aksen. Det givet x = 3. Vi skriver følgende: f( x) = 0,5 x= 3. Husk altid at markere aflæsninger på grafen, for eksempel med stiplede linjer! Figur 7

8 8 Erik Vestergaard Sætning 9, så får y en til- For en lineær funktion gælder, at hvis x gives en x-tilvækst på vækst på Δ y = a Δx. Δ x Bevis: Fremgår direkte af () i sætning 5 ved at gange med Δ x på begge sider af (). Figur 8 Formel () siger også, at forholdet mellem y-tilvæksten og x-tilvæksten altid giver det samme tal, nemlig a. Hvis man derfor ganger x-tilvæksten med et tal c, så bliver y-tilvæksten også c gange så stor! Eksempel 0 På figuren nedenfor ser vi, at det er svært at se præcist, hvor stor y-tilvæksten er, når x- tilvæksten er. Foretager man derimod en x-tilvækst på 3, så ses det, at det resulterer i en y-tilvækst på. Ifølge ovenstående betyder det, at hældningen er a=δy Δ x= 3. Figur 9

9 Erik Vestergaard 9 Eksempel (Om tilvækster) Udover at se på tilvækster på en graf, så kan vi også gøre det i en støttepunktstabel. Tabellen nedenfor indeholder to funktionsværdier for en lineær funktion f. Vi skal bestemme de manglende funktionsværdier i skemaet. For det første observerer vi, at når x øges med, så øges y med. Ifølge ovenstående vil en tilvækst på, som er det dobbelte af, derfor resultere i en dobbelt så stor y-tilvækst, dvs. 4. Efter lignende argumenter for resten af tabellen, fås: Da en x-tilvækst på giver en y-tilvækst på, har vi straks, at hældningen er endvidere har vi b= f(0) = 5, så forskriften er y = x+ 5. a =, og Eksempel (Tegne grafen udfra forskriften) Lad os sige, at vi skal tegne grafen for f ( x) =,5x+, altså y =, 5x+. Vi skal se to måder at løse opgaven på: Løsning : Man kan indsætte to x-værdier i forskriften for at få to punkter på grafen: f ( ) =,5 ( ) + =,5+ = 0,5 f () =,5 + = 3+ = 4 x y 0,5 4 Da vi ved, at grafen er en ret linje, er der ingen grund til at udregne flere støttepunkter. Vi kan afsætte punkterne i et koordinatsystem og tegne linjen igennem dem. Resultatet ses på figur 0 på næste side.

10 0 Erik Vestergaard Løsning : Af forskriften y =, 5x+ aflæser vi direkte, at linjen skærer y-aksen i b =. Derfor har vi punktet (0,) at starte i. Da hældningskoefficienten for den lineære funktion er a =, 5, ved vi, at hver gang vi går til højre, skal vi gå,5 opad. Det giver det andet punkt (;,5). Egentligt er det nok med disse to punkter, men for at kunne tegne linjen mere nøjagtigt med linealen kan det være fornuftigt at finde flere punkter via ovenstående regel, at når man går til højre, skal man gå,5 opad. Resultatet ses på figur. Figur 0 og Eksempel 3 (Proportionalitet) Hvis b-leddet er 0, så siges den lineære funktion at være en proportionalitet, og man siger da, at y er proportional med x: f ( x) = ax eller y = ax. I dette tilfælde gælder den egenskab, at hvis x fordobles, so fordobles også y. Mere generelt gælder der, at hvis x bliver k gange så stor, så bliver y også k gange så stor. Eksempel 4 (Ligningsløsning ved beregning) 4 Lad f ( x) = x og gx ( ) = x+. Løs ligningen f ( x) = g( x) ved beregning. 3 Løsning: Vi sætter funktionsudtrykkene lig med hinanden og løser for x. Udregningerne følger på næste side.

11 Erik Vestergaard f ( x) = g( x) x = x+ x+ x = + x+ x = x = x = = 3 = = Så løsningen til ligningen er altså x =. Eksempel 5 (Grafisk ligningsløsning) En anden mulighed end beregning er af løse ligningen fra eksempel 4 grafisk. Her tegner man graferne for de to lineære funktioner i samme koordinatsystem og finder skæringspunktet mellem dem. x-koordinaten til dette skæringspunkt er løsningen. På figur er løsningen x =, 6 markeret ved en stiplet linje. Bemærk, at man ikke altid kan forvente, at en grafisk løsning er en eksakt løsning. Vi fik x =, 6, mens den 7 eksakte løsning er x =,636. Små afvigelser accepteres ved grafisk løsning! Figur

12 Erik Vestergaard Lineære modeller Ikke så sjældent kan lineære funktioner benyttes til at beskrive og forudsige forhold i den praktiske verden. Vi skal i det følgende betragte to eksempler. Det første er en taxiregning og det andet er et fysikforsøg, hvor man måler på trykket i en gasflaske, når den opvarmes. Eksempel 6 (Taxi-regning) En taxi-chauffør tager 30 kr. i starttakst og kr. pr. kørt km. På grundlag af denne oplysning kan vi uden videre opstille et udtryk for taxi-regningen som funktion af antal kørt km. Den bliver y = x+ 30, hvor x er antal kørte km og y betegner taxi-regningen i kr. Begrundelse for udtrykket: Skæringen med y-aksen skal være 30, fordi dette svarer til, at x = 0, altså prisen før der overhovedet er kørt. Hældningskoefficienten skal være, fordi hældningskoefficienten jo netop svarer til y-tilvæksten svarende til en x-tilvækst på, hvilket jo her er den ekstra pris der skal betales, når der køres ekstra km! Modellen kan benyttes til at besvare nogle spørgsmål: a) Hvor stor er taxi-regningen, når der køres 8 km? b) Hvor langt kan man køre for 00 kr? Løsning: a) Vi sætter 8 ind på x s plads i forskriften: y = x+ 30 = = 8, dvs. prisen er 8 kr. b) Her kender vi prisen, dvs. y =00. Det giver anledning til ligningen: = x = x 80 = x = x 7,3 x så svaret er altså, at man kan køre ca. 7,3 km for 00 kr. Bemærk, at mange modeller tager ikke højde for alle forhold. Heller ikke denne model: Taxameteret tæller nemlig også, mens taxien holder stille i lyskryds. Det vil føre for vidt at forsøge at tage hensyn til dette forhold i denne note. I modellen i eksempel 6 kunne vi opstille en forskrift for den lineære funktion udfra nogle få oplysninger. I andre tilfælde skal man forsøge at opstille en lineær model, som tilnærmer resultaterne af en serie målinger. Sidstnævnte skal vi se et eksempel på.

13 Erik Vestergaard 3 Eksempel 7 (Lineær regression) Når man opvarmer en gasflaske indeholdende en gas, så stiger gassens tryk. En tekniker målte sammenhørende værdier mellem temperaturen T i C og trykket p i Bar for en bestemt gasflaske med oxygen: T ( C) p (Bar) Punkterne blev afsat i et koordinatsystem med temperaturen T hen ad x-aksen og trykket p opad y-aksen for at se, om der var et system i dataene: Figur 3 Man ser tydeligt, at der er tale om en lineær sammenhæng. Derfor lægger vi den linje ind, som tilnærmer punkterne bedst muligt. Denne linje kaldes med et fint ord for en regressionslinje og processen kaldes for lineær regression. Linjen kan ikke komme til at gå igennem alle datapunkterne, da de ikke ligger helt på linje. Det er normalt, at fysiske målinger har unøjagtigheder, men vi slutter alligevel, at der er tale om en lineær sammenhæng. Regressionslinjen kan benyttes til at forudsige, hvad trykket vil være for andre temperaturer, end dem, som figurerer i datalisten. Man skal dog være opmærksom på, at fordi x-y-sammenhængen i et vist interval ser ud til at være lineær, så behøver den

14 4 Erik Vestergaard ikke være det udenfor dette interval. Der kan være forhold, som taler for, at noget ændrer sig. I dette tilfælde vurderes det dog, at tendensen fra målingerne fortsætter. Det betyder, at vi for eksempel kan opstille prognoser udfra regressionslinjen. a) Bestem en forskrift for regressionslinjen. b) Benyt regressionslinjen til at forudsige trykket, når temperaturen er 0 C. c) Gasflasken er garanteret at kunne modstå et tryk på 30 Bar. Hvor meget må temperaturen højst være, for at gasflasken ikke er i fare for at eksplodere? d) Hvad fortæller regressionslinjens hældningskoefficient og konstantled noget om? e) Hvor meget vokser trykket med, når temperaturen vokser med 0 grader? Figur 4 Løsninger: Man kan få lommeregneren til at udregne regressionslinjen, men her vil vi blot lægge regressionslinjen ind pr. øjemål, så der både ligger punkter over og under linjen, og så linjen tilnærmer punkterne pænt. Dette er gjort på figur 4. a) For at finde forskriften vælges to punkter, som ligger præcist på linjen. Bemærk, at man ikke bør vælge punkter fra datalisten, for hvis disse to punkter ikke ligger præcist på regressionslinjen, så er det jo en forkert linje, man regner på! På figur 4 er valgt to punkter markeret med røde kors som ligger et stykke fra hinanden, for

15 Erik Vestergaard 5 at minimere usikkerheden: ( 0,70) og ( 70,300), underforstået med de rigtige enheder. Som hældning fås: a y x y x = = = ( 0) 0,684 Vi kan indsætte denne værdi for a i linjens udtryk: y = ax+ b, så vi indtil videre har, at y = 0,684x+ b. Det ukendte b-led findes som sædvanligt ved indsættelse af et vilkårligt af de to punkter, fx (70,300): 300 = 0, b 300 = 6,3 + b 83,7 = b således, at den ønskede forskrift er y = 0,684x+ 83,7. b) Temperaturen er 0 C, dvs. x = 0. Denne værdi indsættes i forskriften: y = 0,684x+ 83,7 = 0, ,7 = 59,0 Så trykket ved 0 C er altså 59,0 Bar. c) Trykket er 30 Bar, dvs. y = 30. Denne værdi indsættes i forskriften og x findes: y = 0,684x+ 83,7 30 = 0,684x+ 83, ,7 = 0,684x 36,3 36,3 = 0,684x = x 99, = x 0,684 så svaret er altså, at gasflasken har et tryk på 30 Bar, når temperaturen er 99, C, som altså er den temperatur, som man skal holde sig under af sikkerhedsmæssige grunde. d) Hældningskoefficienten a er jo pr. definition det stykke, regnet med fortegn, som y øges med, når x øges med. I dette tilfælde bliver det altså det, som trykket vokser med, når temperaturen vokser med grad! Vi har altså, at trykket stiger med 0,684 Bar, hver gang temperaturen vokser med C. b-leddet er skæringen med y-aksen, altså y-værdien svarende til x = 0. Derfor er b-leddet her trykket ved frysepunktet, altså 0 C. e) Her udnytter vi sætning 9: Δ y = a Δ x= 0, = 6,84 så trykket stiger altså med 6,84 Bar, hver gang temperaturen vokser med 0 C.

16 6 Erik Vestergaard Stykvis lineære funktioner Undertiden har man brug for at kunne beskrive funktioner, hvis grafer består af flere linjestykker. En sådan funktion betegnes en stykvis lineær funktion. Lad os betragte et eksempel. Eksempel 8 På figur 5 er vist grafen for en stykvis lineær funktion. Vi skal finde forskriften for funktionen. Det gælder her om at finde udtrykket for hvert af de tre linjestykker og så anføre i hvilke områder, de er defineret. Lad os starte med linjestykket yderst til højre. Endepunkterne (; ) og (5;,5) kan bruges til at finde hældningen:,5 ( ) 4,5 a = = = 5 3 så vi foreløbigt har y =, 5x+ b. Konstantleddet b finder vi som sædvanligt ved at indsætte et af punkterne, fx (; ): =,5 + b = 3+ b 5= b. Dermed har vi udtrykket y =, 5x 5. Denne forskrift gælder dog kun for x [,5[. Bemærk, at en åben (ikke udfyldt) cirkel i enden af et linjestykke indikerer, at punktet ikke er med, mens en lukket (udfyldt) cirkel indikerer, at punktet er med. På samme måde, eller eventuelt ved aflæsning, findes udtryk for de andre to linjestykker. Her får vi y = 0,5x+ for x [, [ og y = x+ 4 for x [ 5, [. Bemærk, at grafen har et knæk i x =. Hvorvidt man tæller med til det ene eller det andet interval er ligegyldigt, eftersom man får det samme ved indsættelse af i udtrykkene for de to relevante linjestykker., 5 Figur 5

17 Erik Vestergaard 7 Man samler normalt alle disse udtryk i en såkaldt gaffelforskrift: [ [ [ [ [ [ x+ 4 for x 5, f( x) = 0,5x+ for x,, 5x 5 for x, 5 For anvendelser af stykvis lineære funktioner, se opgave 8.

18 8 Erik Vestergaard Opgaver Opgave Hver af delfigurerne (a) til (f) på figur 6 indeholder grafen for en lineær funktion f. a) Aflæs forskriften for f i hvert af de seks tilfælde. b) På delfigur (a): Bestem funktionsværdierne i og 3. c) På delfigur (b): Aflæs f (0) og f (,5). d) På delfigur (c): Aflæs f (3) og f (0,5). e) På delfigur (d): Løs ligningerne f( x ) = og f( x ) = grafisk. f) På delfigur (e): Løs ligningen f( x ) = grafisk. g) På delfigur (f): Løs ligningerne f( x ) = og f( x ) =,75 grafisk. Opgave Hver af delfigurerne (a) til (f) på figur 7 indeholder grafen for en lineær funktion f. a) Aflæs forskriften for f i hvert af de seks tilfælde. b) Bestem funktionsværdien f () i hvert af de seks tilfælde. c) Løs ligningen f( x ) = i hvert af de seks tilfælde. Opgave 3 Vi har følgende x-y-sammenhæng: y= x+. a) Beregn y, når x = b) Beregn y, når x =, 5 c) Beregn x, når y = 3 Opgave 4 En lineær funktion er givet ved f ( x) = x+ 6 a) Beregn f (0), f () og f ( 3). b) Løs ligningerne f( x ) = 0, f( x ) = 0 og f( x ) = 7 ved beregning. c) Hvor stor er y-tilvæksten, når x-tilvæksten er? Opgave 5 Tegn graferne for nedenstående lineære sammenhænge: a) y = x 4 b) y = x+ c) y = x 3

19 Erik Vestergaard 9

20 0 Erik Vestergaard

21 Erik Vestergaard Opgave 6 Tegn graferne for nedenstående lineære sammenhænge: a) y = x+ 8 b) y = 3 c) y = x+ 5 3 Opgave 7 Tegn graferne for den lineære funktion f( x) 0,54x,5; x [ 4,6[ = +. Hjælp: Husk, at funktionen kun er defineret i intervallet [ 4,6[. Det er da oplagt at beregne to støttepunkter ved at indsætte intervallets endepunkter! Opgave 8 Tegn graferne for den lineære funktion f( x),3x,7; x [,8[ = +. Opgave 9 Bestem i hvert af de seks tilfælde nedenfor forskrifterne for de lineære funktioner, hvis graf går gennem punkterne: a) (,3) og (3,6) b) (,3) og (6,7) c) (, 3) og (3,) d) ( 3, 5) og (6,3) e) (, 3; 5, 76) og (3,0;4,6) f) ( 4,6;5,) og (6,; 5,8) Opgave 0 Bestem i hvert af de tre tilfælde nedenfor forskrifterne for de lineære funktioner, hvis graf går gennem punkterne: a) (0,) og (4,6) b) (, 4) og (7,0) c) (30,5; 8,) og ( 7,;7,9) Opgave Bestem forskriften for den lineære funktion f, hvis hældning er 3 og hvor f () = 0.

22 Erik Vestergaard Opgave En lineær funktion f har forskriften y =, 5x 4. En anden lineær funktion g har en graf, som er parallel med grafen for f, og som passerer igennem punktet (3,6). Bestem forskriften for g. Opgave 3 Lad f være den lineære funktion med forskrift y = x+. Beregn grafens skæring med 3 x-aksen. Opgave 4 Løs ligningen f ( x) = g( x) grafisk i følgende tilfælde: a) f ( x) = x+ 5, gx ( ) = x b) f ( x) = x+ 3, gx ( ) = x 4 c) f ( x) = x+, gx ( ) = x+ 5 4 Opgave 5 Løs opgave 4 ved beregning også. Opgave 6 Lad f ( x) = x 5 og gx ( ) = x 3. a) Løs ligningen f( x ) = både grafisk og ved beregning. b) Løs ligningen gx= ( ),5 både grafisk og ved beregning. Opgave 7 Lad f( x) =,6x 5,. a) Bestem y-tilvæksten, når x-tilvæksten er 3. b) Hvilken x-tilvækst giver en y-tilvækst på 6? Opgave 8 Nedenfor en delvist udfyldt støttepunktstabel for en lineær funktion. Udfyld selv resten! x 0 y 5

23 Erik Vestergaard 3 Opgave 9 Nedenfor en delvist udfyldt støttepunktstabel for en lineær funktion. Udfyld selv resten! Angiv desuden en forskrift for den lineære funktion. x y 4 Opgave 0 Et taxi-firma A tager 0 kr. i startgebyr og kr. pr. kørt km. a) Opskriv en forskrift for den lineære funktion, som beskriver taxiregningen y i kroner for antal kørte kilometer x. b) Benyt forskriften fra a) til at finde prisen for at køre,5 km. c) Hvor langt kan man køre for 00 kr.? Et andet taxi-firma B tager 30 kr. i startgebyr, men kun 0 kr. pr. kørt km. d) Hvor langt skal man køre, før taxi-firma B bliver billigst? Opgave I USA benytter man ofte Fahrenheit-skalaen som temperaturskala, mens man i Europa plejer at bruge Celsius-skalaen. Sammenhængen mellem temperaturen T F i Fahrenheit 9 og temperaturen TC i graders Celsius er givet ved: TF = T 3 5 C +. Eller, hvis vi vedtager at lade x være temperaturen i C og y temperaturen i Fahrenheit: y = x a) I Danmark i april er det C. Hvad svarer det til i Fahrenheit? b) En sommerdag på Hawaii er det 00 F. Hvad svarer det til i C? c) Hvis temperaturen stiger med 0 C, hvor mange grader stiger så temperaturen, når der regnes i Fahrenheit? d) Hvad er frysepunktet, regnet i Fahrenheit? e) Lav en formel, som giver temperaturen i C, når man har temperaturen i graders Fahrenheit.

24 4 Erik Vestergaard Opgave Det oplyses, at x og y er proportionale. Udfyld de resterende felter i tabellen: x 0 5 y 3 Opgave 3 I fysik gælder Ohms lov: U = R I, hvor U er spændingen, I er strømstyrken og R er modstanden. Spændingen kan måles med et voltmeter og strømstyrken kan måles med et amperemeter, som vist på figuren herunder. Hvis vi afsætter U opad y-aksen og I hen ad x-aksen, så skal vi altså teoretisk få en ret linje gennem (0,0). a) Afsæt punkterne fra tabellen nedenfor i et koordinatsystem, som angivet ovenfor. b) Konstater, at der er tale om en proportionalitet mellem I og U og tegn den bedste rette linje, der tilnærmer datapunkterne, idet du tvinger linjen igennem (0,0). c) Bestem en forskrift for den lineære sammenhæng. Hvad siger hældningskoefficienten noget om? I (A) 0 0,0 0,5 0,35 0,50 0,60 0,75 0,85 U (V) 0 0,7,70,63 3,60 4,47 5,45 6,0 Opgave 4 Som bekendt falder luftens temperatur, når man stiger op igennem atmosfæren. Udenfor flyveren i 0 km s højde er der således frosttemperaturer. Spørgsmålet er, hvordan lufttemperaturen Th ( ) falder med højden h over jordoverfladen. En model, som holder nogenlunde i en del tilfælde er, at temperaturen falder lineært: Th ( ) = ah + T0. hvor temperaturen T 0 er temperaturen ved jordoverfladen, og a er en konstant. Lad os i det følgende sige, at vi har en situation, hvor temperaturen ved jordoverfladen er lig med 5 C og hvor temperaturen falder med 0,7 grader pr. 00 meters opstigen.

25 Erik Vestergaard 5 a) Lad os i det følgende vedtage, at vi kalder højden for x (regnet i meter) og temperaturen for y (regnet i C). Argumenter for, at der så gælder følgende lineære sammenhæng mellem x og y: y = 0, 007 x+ 5. b) Hvad er temperaturen i højden km? c) Hvor højt skal man op, før temperaturen er faldet til frysepunktet? I en anden model, som gælder i en anden vejrmæssig situation er y = 0,0 x+ 0. d) Hvad er temperaturen ved jordoverfladen? e) Hvor meget falder temperaturen pr. 00 meter i dette tilfælde? Opgave 5 En stykvis lineær funktion har følgende forskrift: [ [ [ ] ] [ x+ for x 3, f( x) = 0,5x+ 0,5 for x,3 x 6 for x 3,6 a) Tegn grafen for f. b) Bestem f ( ) og f (4). c) Løs ligningen f( x ) = 3. Opgave 6 Opskriv en forskrift for den stykvis lineære funktion, som har følgende graf: Figur 8

26 6 Erik Vestergaard Opgave 7 Tegn grafen for følgende stykvis lineære funktion: f( x) [ [ [ [ x+ 5 for x 0,3 = x+ for x 3,6 3 Opgave 8 I afsnittet med lineære modeller så vi på en taxi, som kostede 30 kr. i startgebyr og kr. pr. kørt km. I denne opgave skal vi se på en taxi-chauffør, som tager samme beløb, men hvis man kører mere end 8 km, koster de efterfølgende kilometer kun 8 kr. pr. km. Opskriv en forskrift for en stykvis lineær funktion, hvor y eller f ( x ) angiver den samlede pris og x er antal kørt km.

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Opgaver i lineær regression

Opgaver i lineær regression Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Opgaver i lineær regression Opgave 1 I Troposfæren op til en højde af ca. 12 km over jordoverfladen aftager lufttemperaturen på en regelmæssig måde. istock.com/ttsz

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

1. Installere Logger Pro

1. Installere Logger Pro Programmet Logger Pro er et computerprogram, der kan bruges til at opsamle og behandle data i de naturvidenskabelige fag, herunder fysik. 1. Installere Logger Pro Første gang du installerer Logger Pro

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses. 18-02-2009 16:13:02 Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner koordinatsystemer Brug af grafer koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner ligninger med ubekendte Lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVUC

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13 En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger Eksamensspørgsmål 11q sommer 01. Gør rede for omformningsreglerne for ligninger. Spørgsmål 1: Ligninger Giv eksempler på hvordan forskellige ligninger løses. Du bør her komme ind på flere forskellige ligningstyper,

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2016

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2016 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. FORELØBIGE eksamensspørgsmål mac7100 og mac710 dec 01 og maj/juni 013. Spørgsmål 1: Ligninger Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Giv eksempler

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven 2014-0522 1stx141-MAT-B - eksemplarisk besvarelse Bemærk, at i opgaverne uden hjælpemidler er Maple blot benyttet som tekstbehandling. Til eksamen skal besvarelsen laves med papir og blyant. Opgavetksten

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål i ma til 1p sommeren 2009 (revideret) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression.

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression. Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1)

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF oh VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Opdrift i vand og luft

Opdrift i vand og luft Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Opdrift i vand og luft Formål I denne øvelse skal vi studere begrebet opdrift, som har en version i både en væske og i en gas. Vi skal lave et lille forsøg,

Læs mere

Eksamen HFC 4. juni 2012

Eksamen HFC 4. juni 2012 Sponsoreret til af en dygtig elev Eksamen HFC 4. juni 2012 Opgave 1) Ligningen løses for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat. Der blev indsat 50.000 kroner på kontoen. b) Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere