2 Erik Vestergaard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk"

Transkript

1

2 Erik Vestergaard

3 Erik Vestergaard 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber for disse funktioner. Først en definition: Definition En lineær funktion er en funktion, hvis graf er en ret linje eller en del af en ret linje. Til enhver x-værdi i definitionsmængden for funktionen f svarer en bestemt funktionsværdi f ( x ), også kaldet y-værdien. Er funktionen defineret ved en forskrift, fås y-værdien ved at indsætte x-værdien i forskriften for f. Punktet ( x, y ) er et punkt på grafen for f. På figuren nedenfor er afbildet grafen for en funktion f, og vi ser, at funktionsværdien i 3 er lig med 4. Dette skriver vi f (3) = 4. Figur Når vi ændrer en x-værdi, siger vi, at vi giver x-værdien en tilvækst, og den betegnes ofte med Δx. Hvis x for eksempel ændres fra 30 til 35, så har x fået en tilvækst på Δ x = = 5. Hvis x ændres fra 8 til 5, så har x fået en tilvækst på Δ x = 5 8= 3, altså en negativ tilvækst. På nøjagtig samme måde kan vi tale om tilvækster Δy for den variable y. På figur nedenfor har vi givet x en tilvækst på Δ x = x x og kan se, at det resulterer i en y-tilvækst på Δ y= y y. Figur

4 4 Erik Vestergaard Sætning For en lineær funktion svarer lige store tilvækster i x til lige store tilvækster i y. Bevis: På figur 3 nedenfor har vi valgt et vilkårligt punkt P på grafen og givet x en tilvækst på Δ x. Dette resulterer i en y-tilvækst på Δ y. Nu vælges et andet vilkårligt punkt Q på linjen. Spørgsmålet er, hvad en tilvækst på Δ x vil svare til i dette tilfælde? Vi betegner den ubekendte tilvækst med z. En sætning siger, at hvis to parallelle linjer skæres af en tredje, så vil ensliggende vinkler være lige store. Dette er skitseret på figur 4 til højre. Denne sætning kan umiddelbart bruges til at konkludere, at vinklerne i P og Q i de to trekanter på figur 3 er lige store. Trekanterne har desuden hver en ret vinkel. Da vinkelsummen i en trekant er 80, så er de sidste to vinkler i trekanterne også ens. Altså er trekanterne ensvinklede. Forstørrelsesfaktoren fra den venstre til den højre trekant er her k =Δx Δ x=. Heraf fås z = k Δ y = Δ y =Δy, så y-tilvæksten her er altså den samme. Da vi startede vilkårlige steder på linjen, er det ønskede hermed vist. Figur 3 og 4 Definition 3 For en lineær funktion vil vi kalde den y-tilvækst, som svarer til en x-tilvækst på for hældningskoefficienten. Den betegnes ofte med bogstavet a. Bemærkning 4 Observer, at definition 3 ville have været meningsløs, hvis ikke sætning var rigtig, for så ville y-tilvæksten afhænge af hvor på linjen, man startede.

5 Erik Vestergaard 5 Sætning 5 Givet to punkter ( x, y ) og ( x, y ) på grafen for en lineær funktion. Da kan hældningskoefficienten bestemmes ved hjælp af følgende formel: Δ y y y () a = = Δx x x Bevis: Vi vil betragte en figur, som ligner den på figur 3. Da vi skal udtale os om hældningskoefficienten a må vi bringe definition 3 i spil. Det gør vi ved på figur 3 at udskifte den højre trekant med en, hvor x-tilvæksten er. Ifølge definition 3 er y-tilvæksten her nemlig a. Som i beviset for sætning, kan vi hurtigt argumentere for, at de to trekanter er ensvinklede. Forstørrelsesfaktoren fra den venstre til den højre trekant er k = Δx. Heraf fås det ønskede af Δ y y y () a = k Δ y = Δ y = = Δx Δx x x Figur 5 Vi mangler stadig at finde ud af, hvordan forskriften for en lineær funktion egentligt ser ud, dvs. hvordan ser formlen for y ud, når man kender x? Her gælder følgende: Sætning 6 Forskriften for en lineær funktion er på formen f ( x) = ax+ b, eller y = ax+ b, som vi ofte vil skrive. Her er a hældningskoefficienten, og b er den lineære grafs skæring med y-aksen.

6 6 Erik Vestergaard Bevis: Vi vil benytte formlen for hældningskoefficienten fra sætning 5. Dertil behøver vi to punkter på grafen. Som det ene punkt vælger vi meget smart linjens skæringspunkt med y-aksen, dvs. (0, b). Da vi skal udtale os om sammenhængen mellem x og y i tilfældet med en lineær funktion, så er vi i beviset nødsaget til at inddrage et variabelt punkt ( x, y ) på grafen. Punkterne ( x, y) = (0, b) og ( x, y) = ( x, y) indsættes i formlen (): (3) Figur 6 a y y y b y b x x x x = = = 0 ax = y b ax+ b = y Eksempel 7 (Løsninger ved beregning) Grafen for en lineær funktion f går gennem ( x, y ) = (,) og ( x, y ) = (4,4). a) Bestem forskriften for den lineære funktion. b) Bestem funktionsværdien i 3,5. c) Løs ligningen f( x ) = 0,5. Løsning: a) Forskriften for en lineær funktion er ifølge sætning 6 lig med y = ax+ b. Vi starter med at bestemme hældningskoefficienten a via formel (): a y x y x = = = 4 3 = 4 ( ) 6 Indsættes dette tal i forskriften, fås: y = x+ b. Vi mangler at bestemme det andet tal, b, også kaldet konstantleddet. Dertil indsættes et vilkårligt af de to opgivne punkter. Vi vælger (,), dvs. indsættes på x s plads og på y s plads: = ( ) + b = + b =b Hermed haves linjens forskrift: y = x+, eller f( x) = x+, om man vil.

7 Erik Vestergaard 7 b) Da forskriften nu er fundet, kan funktionsværdien i 3,5 bestemmes ved indsættelse af 3,5 på x s plads: f (3,5) = 3,5+ = 3,75. c) Mens vi i spørgsmål b) kendte x og skulle finde y, så er det her omvendt: Vi ved, at y = f( x) = 0,5. Vi indsætter denne værdi på y s plads i forskriften og løser for x: y = 0,5 0,5= x+ 0,5 = x,5= x 3= x Så løsningen er altså x = 3. Eksempel 8 (Grafisk løsning) Hvis man blev bedt om at løse opgaverne fra eksempel 7 grafisk, så kunne man gøre det på følgende måde: De to punkter (,) og (4,4) indtegnes i et koordinatsystem og linjen igennem punkterne tegnes, som vist på figur 7 nedenfor. Herefter: a) Hældningskoefficienten a findes ved at undersøge, hvor meget en tilvækst på på x-aksen giver i y-tilvækst. Det passer med at a =, som vist på figuren. Konstantleddet b findes som skæringen med y-aksen, her. Derfor er forskriften, også kaldet x-y-sammenhængen, givet ved y = x+. b) Funktionsværdien i 3,5 fås ved at gå hen til 3,5 på x-aksen, op til grafen og hen til y-aksen. Det giver rimeligt nok y = 3, 75. Man skriver: f (3,5) = 3,75. c) Løsningen til ligningen f( x ) = 0,5 eller y = 0,5 fås ved at gå op til 0,5 på y-aksen, vandret ud til grafen og lodret ned på x-aksen. Det givet x = 3. Vi skriver følgende: f( x) = 0,5 x= 3. Husk altid at markere aflæsninger på grafen, for eksempel med stiplede linjer! Figur 7

8 8 Erik Vestergaard Sætning 9, så får y en til- For en lineær funktion gælder, at hvis x gives en x-tilvækst på vækst på Δ y = a Δx. Δ x Bevis: Fremgår direkte af () i sætning 5 ved at gange med Δ x på begge sider af (). Figur 8 Formel () siger også, at forholdet mellem y-tilvæksten og x-tilvæksten altid giver det samme tal, nemlig a. Hvis man derfor ganger x-tilvæksten med et tal c, så bliver y-tilvæksten også c gange så stor! Eksempel 0 På figuren nedenfor ser vi, at det er svært at se præcist, hvor stor y-tilvæksten er, når x- tilvæksten er. Foretager man derimod en x-tilvækst på 3, så ses det, at det resulterer i en y-tilvækst på. Ifølge ovenstående betyder det, at hældningen er a=δy Δ x= 3. Figur 9

9 Erik Vestergaard 9 Eksempel (Om tilvækster) Udover at se på tilvækster på en graf, så kan vi også gøre det i en støttepunktstabel. Tabellen nedenfor indeholder to funktionsværdier for en lineær funktion f. Vi skal bestemme de manglende funktionsværdier i skemaet. For det første observerer vi, at når x øges med, så øges y med. Ifølge ovenstående vil en tilvækst på, som er det dobbelte af, derfor resultere i en dobbelt så stor y-tilvækst, dvs. 4. Efter lignende argumenter for resten af tabellen, fås: Da en x-tilvækst på giver en y-tilvækst på, har vi straks, at hældningen er endvidere har vi b= f(0) = 5, så forskriften er y = x+ 5. a =, og Eksempel (Tegne grafen udfra forskriften) Lad os sige, at vi skal tegne grafen for f ( x) =,5x+, altså y =, 5x+. Vi skal se to måder at løse opgaven på: Løsning : Man kan indsætte to x-værdier i forskriften for at få to punkter på grafen: f ( ) =,5 ( ) + =,5+ = 0,5 f () =,5 + = 3+ = 4 x y 0,5 4 Da vi ved, at grafen er en ret linje, er der ingen grund til at udregne flere støttepunkter. Vi kan afsætte punkterne i et koordinatsystem og tegne linjen igennem dem. Resultatet ses på figur 0 på næste side.

10 0 Erik Vestergaard Løsning : Af forskriften y =, 5x+ aflæser vi direkte, at linjen skærer y-aksen i b =. Derfor har vi punktet (0,) at starte i. Da hældningskoefficienten for den lineære funktion er a =, 5, ved vi, at hver gang vi går til højre, skal vi gå,5 opad. Det giver det andet punkt (;,5). Egentligt er det nok med disse to punkter, men for at kunne tegne linjen mere nøjagtigt med linealen kan det være fornuftigt at finde flere punkter via ovenstående regel, at når man går til højre, skal man gå,5 opad. Resultatet ses på figur. Figur 0 og Eksempel 3 (Proportionalitet) Hvis b-leddet er 0, så siges den lineære funktion at være en proportionalitet, og man siger da, at y er proportional med x: f ( x) = ax eller y = ax. I dette tilfælde gælder den egenskab, at hvis x fordobles, so fordobles også y. Mere generelt gælder der, at hvis x bliver k gange så stor, så bliver y også k gange så stor. Eksempel 4 (Ligningsløsning ved beregning) 4 Lad f ( x) = x og gx ( ) = x+. Løs ligningen f ( x) = g( x) ved beregning. 3 Løsning: Vi sætter funktionsudtrykkene lig med hinanden og løser for x. Udregningerne følger på næste side.

11 Erik Vestergaard f ( x) = g( x) x = x+ x+ x = + x+ x = x = x = = 3 = = Så løsningen til ligningen er altså x =. Eksempel 5 (Grafisk ligningsløsning) En anden mulighed end beregning er af løse ligningen fra eksempel 4 grafisk. Her tegner man graferne for de to lineære funktioner i samme koordinatsystem og finder skæringspunktet mellem dem. x-koordinaten til dette skæringspunkt er løsningen. På figur er løsningen x =, 6 markeret ved en stiplet linje. Bemærk, at man ikke altid kan forvente, at en grafisk løsning er en eksakt løsning. Vi fik x =, 6, mens den 7 eksakte løsning er x =,636. Små afvigelser accepteres ved grafisk løsning! Figur

12 Erik Vestergaard Lineære modeller Ikke så sjældent kan lineære funktioner benyttes til at beskrive og forudsige forhold i den praktiske verden. Vi skal i det følgende betragte to eksempler. Det første er en taxiregning og det andet er et fysikforsøg, hvor man måler på trykket i en gasflaske, når den opvarmes. Eksempel 6 (Taxi-regning) En taxi-chauffør tager 30 kr. i starttakst og kr. pr. kørt km. På grundlag af denne oplysning kan vi uden videre opstille et udtryk for taxi-regningen som funktion af antal kørt km. Den bliver y = x+ 30, hvor x er antal kørte km og y betegner taxi-regningen i kr. Begrundelse for udtrykket: Skæringen med y-aksen skal være 30, fordi dette svarer til, at x = 0, altså prisen før der overhovedet er kørt. Hældningskoefficienten skal være, fordi hældningskoefficienten jo netop svarer til y-tilvæksten svarende til en x-tilvækst på, hvilket jo her er den ekstra pris der skal betales, når der køres ekstra km! Modellen kan benyttes til at besvare nogle spørgsmål: a) Hvor stor er taxi-regningen, når der køres 8 km? b) Hvor langt kan man køre for 00 kr? Løsning: a) Vi sætter 8 ind på x s plads i forskriften: y = x+ 30 = = 8, dvs. prisen er 8 kr. b) Her kender vi prisen, dvs. y =00. Det giver anledning til ligningen: = x = x 80 = x = x 7,3 x så svaret er altså, at man kan køre ca. 7,3 km for 00 kr. Bemærk, at mange modeller tager ikke højde for alle forhold. Heller ikke denne model: Taxameteret tæller nemlig også, mens taxien holder stille i lyskryds. Det vil føre for vidt at forsøge at tage hensyn til dette forhold i denne note. I modellen i eksempel 6 kunne vi opstille en forskrift for den lineære funktion udfra nogle få oplysninger. I andre tilfælde skal man forsøge at opstille en lineær model, som tilnærmer resultaterne af en serie målinger. Sidstnævnte skal vi se et eksempel på.

13 Erik Vestergaard 3 Eksempel 7 (Lineær regression) Når man opvarmer en gasflaske indeholdende en gas, så stiger gassens tryk. En tekniker målte sammenhørende værdier mellem temperaturen T i C og trykket p i Bar for en bestemt gasflaske med oxygen: T ( C) p (Bar) Punkterne blev afsat i et koordinatsystem med temperaturen T hen ad x-aksen og trykket p opad y-aksen for at se, om der var et system i dataene: Figur 3 Man ser tydeligt, at der er tale om en lineær sammenhæng. Derfor lægger vi den linje ind, som tilnærmer punkterne bedst muligt. Denne linje kaldes med et fint ord for en regressionslinje og processen kaldes for lineær regression. Linjen kan ikke komme til at gå igennem alle datapunkterne, da de ikke ligger helt på linje. Det er normalt, at fysiske målinger har unøjagtigheder, men vi slutter alligevel, at der er tale om en lineær sammenhæng. Regressionslinjen kan benyttes til at forudsige, hvad trykket vil være for andre temperaturer, end dem, som figurerer i datalisten. Man skal dog være opmærksom på, at fordi x-y-sammenhængen i et vist interval ser ud til at være lineær, så behøver den

14 4 Erik Vestergaard ikke være det udenfor dette interval. Der kan være forhold, som taler for, at noget ændrer sig. I dette tilfælde vurderes det dog, at tendensen fra målingerne fortsætter. Det betyder, at vi for eksempel kan opstille prognoser udfra regressionslinjen. a) Bestem en forskrift for regressionslinjen. b) Benyt regressionslinjen til at forudsige trykket, når temperaturen er 0 C. c) Gasflasken er garanteret at kunne modstå et tryk på 30 Bar. Hvor meget må temperaturen højst være, for at gasflasken ikke er i fare for at eksplodere? d) Hvad fortæller regressionslinjens hældningskoefficient og konstantled noget om? e) Hvor meget vokser trykket med, når temperaturen vokser med 0 grader? Figur 4 Løsninger: Man kan få lommeregneren til at udregne regressionslinjen, men her vil vi blot lægge regressionslinjen ind pr. øjemål, så der både ligger punkter over og under linjen, og så linjen tilnærmer punkterne pænt. Dette er gjort på figur 4. a) For at finde forskriften vælges to punkter, som ligger præcist på linjen. Bemærk, at man ikke bør vælge punkter fra datalisten, for hvis disse to punkter ikke ligger præcist på regressionslinjen, så er det jo en forkert linje, man regner på! På figur 4 er valgt to punkter markeret med røde kors som ligger et stykke fra hinanden, for

15 Erik Vestergaard 5 at minimere usikkerheden: ( 0,70) og ( 70,300), underforstået med de rigtige enheder. Som hældning fås: a y x y x = = = ( 0) 0,684 Vi kan indsætte denne værdi for a i linjens udtryk: y = ax+ b, så vi indtil videre har, at y = 0,684x+ b. Det ukendte b-led findes som sædvanligt ved indsættelse af et vilkårligt af de to punkter, fx (70,300): 300 = 0, b 300 = 6,3 + b 83,7 = b således, at den ønskede forskrift er y = 0,684x+ 83,7. b) Temperaturen er 0 C, dvs. x = 0. Denne værdi indsættes i forskriften: y = 0,684x+ 83,7 = 0, ,7 = 59,0 Så trykket ved 0 C er altså 59,0 Bar. c) Trykket er 30 Bar, dvs. y = 30. Denne værdi indsættes i forskriften og x findes: y = 0,684x+ 83,7 30 = 0,684x+ 83, ,7 = 0,684x 36,3 36,3 = 0,684x = x 99, = x 0,684 så svaret er altså, at gasflasken har et tryk på 30 Bar, når temperaturen er 99, C, som altså er den temperatur, som man skal holde sig under af sikkerhedsmæssige grunde. d) Hældningskoefficienten a er jo pr. definition det stykke, regnet med fortegn, som y øges med, når x øges med. I dette tilfælde bliver det altså det, som trykket vokser med, når temperaturen vokser med grad! Vi har altså, at trykket stiger med 0,684 Bar, hver gang temperaturen vokser med C. b-leddet er skæringen med y-aksen, altså y-værdien svarende til x = 0. Derfor er b-leddet her trykket ved frysepunktet, altså 0 C. e) Her udnytter vi sætning 9: Δ y = a Δ x= 0, = 6,84 så trykket stiger altså med 6,84 Bar, hver gang temperaturen vokser med 0 C.

16 6 Erik Vestergaard Stykvis lineære funktioner Undertiden har man brug for at kunne beskrive funktioner, hvis grafer består af flere linjestykker. En sådan funktion betegnes en stykvis lineær funktion. Lad os betragte et eksempel. Eksempel 8 På figur 5 er vist grafen for en stykvis lineær funktion. Vi skal finde forskriften for funktionen. Det gælder her om at finde udtrykket for hvert af de tre linjestykker og så anføre i hvilke områder, de er defineret. Lad os starte med linjestykket yderst til højre. Endepunkterne (; ) og (5;,5) kan bruges til at finde hældningen:,5 ( ) 4,5 a = = = 5 3 så vi foreløbigt har y =, 5x+ b. Konstantleddet b finder vi som sædvanligt ved at indsætte et af punkterne, fx (; ): =,5 + b = 3+ b 5= b. Dermed har vi udtrykket y =, 5x 5. Denne forskrift gælder dog kun for x [,5[. Bemærk, at en åben (ikke udfyldt) cirkel i enden af et linjestykke indikerer, at punktet ikke er med, mens en lukket (udfyldt) cirkel indikerer, at punktet er med. På samme måde, eller eventuelt ved aflæsning, findes udtryk for de andre to linjestykker. Her får vi y = 0,5x+ for x [, [ og y = x+ 4 for x [ 5, [. Bemærk, at grafen har et knæk i x =. Hvorvidt man tæller med til det ene eller det andet interval er ligegyldigt, eftersom man får det samme ved indsættelse af i udtrykkene for de to relevante linjestykker., 5 Figur 5

17 Erik Vestergaard 7 Man samler normalt alle disse udtryk i en såkaldt gaffelforskrift: [ [ [ [ [ [ x+ 4 for x 5, f( x) = 0,5x+ for x,, 5x 5 for x, 5 For anvendelser af stykvis lineære funktioner, se opgave 8.

18 8 Erik Vestergaard Opgaver Opgave Hver af delfigurerne (a) til (f) på figur 6 indeholder grafen for en lineær funktion f. a) Aflæs forskriften for f i hvert af de seks tilfælde. b) På delfigur (a): Bestem funktionsværdierne i og 3. c) På delfigur (b): Aflæs f (0) og f (,5). d) På delfigur (c): Aflæs f (3) og f (0,5). e) På delfigur (d): Løs ligningerne f( x ) = og f( x ) = grafisk. f) På delfigur (e): Løs ligningen f( x ) = grafisk. g) På delfigur (f): Løs ligningerne f( x ) = og f( x ) =,75 grafisk. Opgave Hver af delfigurerne (a) til (f) på figur 7 indeholder grafen for en lineær funktion f. a) Aflæs forskriften for f i hvert af de seks tilfælde. b) Bestem funktionsværdien f () i hvert af de seks tilfælde. c) Løs ligningen f( x ) = i hvert af de seks tilfælde. Opgave 3 Vi har følgende x-y-sammenhæng: y= x+. a) Beregn y, når x = b) Beregn y, når x =, 5 c) Beregn x, når y = 3 Opgave 4 En lineær funktion er givet ved f ( x) = x+ 6 a) Beregn f (0), f () og f ( 3). b) Løs ligningerne f( x ) = 0, f( x ) = 0 og f( x ) = 7 ved beregning. c) Hvor stor er y-tilvæksten, når x-tilvæksten er? Opgave 5 Tegn graferne for nedenstående lineære sammenhænge: a) y = x 4 b) y = x+ c) y = x 3

19 Erik Vestergaard 9

20 0 Erik Vestergaard

21 Erik Vestergaard Opgave 6 Tegn graferne for nedenstående lineære sammenhænge: a) y = x+ 8 b) y = 3 c) y = x+ 5 3 Opgave 7 Tegn graferne for den lineære funktion f( x) 0,54x,5; x [ 4,6[ = +. Hjælp: Husk, at funktionen kun er defineret i intervallet [ 4,6[. Det er da oplagt at beregne to støttepunkter ved at indsætte intervallets endepunkter! Opgave 8 Tegn graferne for den lineære funktion f( x),3x,7; x [,8[ = +. Opgave 9 Bestem i hvert af de seks tilfælde nedenfor forskrifterne for de lineære funktioner, hvis graf går gennem punkterne: a) (,3) og (3,6) b) (,3) og (6,7) c) (, 3) og (3,) d) ( 3, 5) og (6,3) e) (, 3; 5, 76) og (3,0;4,6) f) ( 4,6;5,) og (6,; 5,8) Opgave 0 Bestem i hvert af de tre tilfælde nedenfor forskrifterne for de lineære funktioner, hvis graf går gennem punkterne: a) (0,) og (4,6) b) (, 4) og (7,0) c) (30,5; 8,) og ( 7,;7,9) Opgave Bestem forskriften for den lineære funktion f, hvis hældning er 3 og hvor f () = 0.

22 Erik Vestergaard Opgave En lineær funktion f har forskriften y =, 5x 4. En anden lineær funktion g har en graf, som er parallel med grafen for f, og som passerer igennem punktet (3,6). Bestem forskriften for g. Opgave 3 Lad f være den lineære funktion med forskrift y = x+. Beregn grafens skæring med 3 x-aksen. Opgave 4 Løs ligningen f ( x) = g( x) grafisk i følgende tilfælde: a) f ( x) = x+ 5, gx ( ) = x b) f ( x) = x+ 3, gx ( ) = x 4 c) f ( x) = x+, gx ( ) = x+ 5 4 Opgave 5 Løs opgave 4 ved beregning også. Opgave 6 Lad f ( x) = x 5 og gx ( ) = x 3. a) Løs ligningen f( x ) = både grafisk og ved beregning. b) Løs ligningen gx= ( ),5 både grafisk og ved beregning. Opgave 7 Lad f( x) =,6x 5,. a) Bestem y-tilvæksten, når x-tilvæksten er 3. b) Hvilken x-tilvækst giver en y-tilvækst på 6? Opgave 8 Nedenfor en delvist udfyldt støttepunktstabel for en lineær funktion. Udfyld selv resten! x 0 y 5

23 Erik Vestergaard 3 Opgave 9 Nedenfor en delvist udfyldt støttepunktstabel for en lineær funktion. Udfyld selv resten! Angiv desuden en forskrift for den lineære funktion. x y 4 Opgave 0 Et taxi-firma A tager 0 kr. i startgebyr og kr. pr. kørt km. a) Opskriv en forskrift for den lineære funktion, som beskriver taxiregningen y i kroner for antal kørte kilometer x. b) Benyt forskriften fra a) til at finde prisen for at køre,5 km. c) Hvor langt kan man køre for 00 kr.? Et andet taxi-firma B tager 30 kr. i startgebyr, men kun 0 kr. pr. kørt km. d) Hvor langt skal man køre, før taxi-firma B bliver billigst? Opgave I USA benytter man ofte Fahrenheit-skalaen som temperaturskala, mens man i Europa plejer at bruge Celsius-skalaen. Sammenhængen mellem temperaturen T F i Fahrenheit 9 og temperaturen TC i graders Celsius er givet ved: TF = T 3 5 C +. Eller, hvis vi vedtager at lade x være temperaturen i C og y temperaturen i Fahrenheit: y = x a) I Danmark i april er det C. Hvad svarer det til i Fahrenheit? b) En sommerdag på Hawaii er det 00 F. Hvad svarer det til i C? c) Hvis temperaturen stiger med 0 C, hvor mange grader stiger så temperaturen, når der regnes i Fahrenheit? d) Hvad er frysepunktet, regnet i Fahrenheit? e) Lav en formel, som giver temperaturen i C, når man har temperaturen i graders Fahrenheit.

24 4 Erik Vestergaard Opgave Det oplyses, at x og y er proportionale. Udfyld de resterende felter i tabellen: x 0 5 y 3 Opgave 3 I fysik gælder Ohms lov: U = R I, hvor U er spændingen, I er strømstyrken og R er modstanden. Spændingen kan måles med et voltmeter og strømstyrken kan måles med et amperemeter, som vist på figuren herunder. Hvis vi afsætter U opad y-aksen og I hen ad x-aksen, så skal vi altså teoretisk få en ret linje gennem (0,0). a) Afsæt punkterne fra tabellen nedenfor i et koordinatsystem, som angivet ovenfor. b) Konstater, at der er tale om en proportionalitet mellem I og U og tegn den bedste rette linje, der tilnærmer datapunkterne, idet du tvinger linjen igennem (0,0). c) Bestem en forskrift for den lineære sammenhæng. Hvad siger hældningskoefficienten noget om? I (A) 0 0,0 0,5 0,35 0,50 0,60 0,75 0,85 U (V) 0 0,7,70,63 3,60 4,47 5,45 6,0 Opgave 4 Som bekendt falder luftens temperatur, når man stiger op igennem atmosfæren. Udenfor flyveren i 0 km s højde er der således frosttemperaturer. Spørgsmålet er, hvordan lufttemperaturen Th ( ) falder med højden h over jordoverfladen. En model, som holder nogenlunde i en del tilfælde er, at temperaturen falder lineært: Th ( ) = ah + T0. hvor temperaturen T 0 er temperaturen ved jordoverfladen, og a er en konstant. Lad os i det følgende sige, at vi har en situation, hvor temperaturen ved jordoverfladen er lig med 5 C og hvor temperaturen falder med 0,7 grader pr. 00 meters opstigen.

25 Erik Vestergaard 5 a) Lad os i det følgende vedtage, at vi kalder højden for x (regnet i meter) og temperaturen for y (regnet i C). Argumenter for, at der så gælder følgende lineære sammenhæng mellem x og y: y = 0, 007 x+ 5. b) Hvad er temperaturen i højden km? c) Hvor højt skal man op, før temperaturen er faldet til frysepunktet? I en anden model, som gælder i en anden vejrmæssig situation er y = 0,0 x+ 0. d) Hvad er temperaturen ved jordoverfladen? e) Hvor meget falder temperaturen pr. 00 meter i dette tilfælde? Opgave 5 En stykvis lineær funktion har følgende forskrift: [ [ [ ] ] [ x+ for x 3, f( x) = 0,5x+ 0,5 for x,3 x 6 for x 3,6 a) Tegn grafen for f. b) Bestem f ( ) og f (4). c) Løs ligningen f( x ) = 3. Opgave 6 Opskriv en forskrift for den stykvis lineære funktion, som har følgende graf: Figur 8

26 6 Erik Vestergaard Opgave 7 Tegn grafen for følgende stykvis lineære funktion: f( x) [ [ [ [ x+ 5 for x 0,3 = x+ for x 3,6 3 Opgave 8 I afsnittet med lineære modeller så vi på en taxi, som kostede 30 kr. i startgebyr og kr. pr. kørt km. I denne opgave skal vi se på en taxi-chauffør, som tager samme beløb, men hvis man kører mere end 8 km, koster de efterfølgende kilometer kun 8 kr. pr. km. Opskriv en forskrift for en stykvis lineær funktion, hvor y eller f ( x ) angiver den samlede pris og x er antal kørt km.

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2008.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2008. Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 008. Billeder: Forside: Collage af foto fra blandt andet: istock.com/chuntise istock.com/ihoe Side 11: istock.com/jamesbenet Side 14: Tegning af

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger Eksamensspørgsmål 11q sommer 01. Gør rede for omformningsreglerne for ligninger. Spørgsmål 1: Ligninger Giv eksempler på hvordan forskellige ligninger løses. Du bør her komme ind på flere forskellige ligningstyper,

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. FORELØBIGE eksamensspørgsmål mac7100 og mac710 dec 01 og maj/juni 013. Spørgsmål 1: Ligninger Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Giv eksempler

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 0B1. Potenser og potensregler Hvis a R og n er et helt, positivt tal, så er potensen a som bekendt defineret ved: n (1) n

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj - juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D Demo preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1

brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D Demo preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1 brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1 brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-37-4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Niels Just Mikkelsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Funktioner. Ib Michelsen

Funktioner. Ib Michelsen Funktioner Ib Michelsen Ikast 2008 Version 2008, 1.004 07-12-08, 22:25:25, G:\f15.odt Inkl eksp.kap rettet Inkl. rentesregning Side 91-176 inkl (86 sider) Potensregning mangler Indholdsfortegnelse Sammenhænge

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere