(studienummer) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 1. december 2011 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 12 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Opgave I.1 I.2 II.1 II.2 II.3 II.4 III.1 III.2 III.3 IV.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) () (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave V.1 V.2 VI.1 VII.1 VII.2 VII.3 VIII.1 VIII.2 VIII.3 IX.1 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (1) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave IX.2 IX.3 X.1 X.2 XI.1 XI.2 XI.3 XII.1 XII.2 XII.3 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (2) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 20; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I Det polære inertimoment for et rør beregnes af formlen: I P = π 32 (D 4 d 4) hvor D er rørets ydre diameter og d rørets indre diameter. Det antages at (µ D ; σ D ) = (4; 0.3 ) mm og (µ d ; σ d ) = (32; 0.4) mm og at de to diametre er uafhængige. Spørgsmål I.1 (1) Sandsynligheden for at differensen mellem diametrene (D-d) et givet sted er mindre end 12. mm bliver: Spørgsmål I.2 (2) En approksimativ værdi for variansen på det polære inertimoment bliver: 1 σ 2 I P ( π 32 4 ( )) σ 2 I P ( π 32 4) ( π 32 32) σ 2 I P ( π 32 ( )) σ 2 I P ( π 32 4 ( )) σ 2 I P ( π ) ( π ) Fortsæt på side 3 2

3 Opgave II Der skal udføres en styrkeberegning på et ældre rør i en konstruktion. På grund af tæring og ælde er diametrene ret ubestemmelige. Der foretages derfor flere målinger af såvel ydre som indre diameter. Målinger af ydre hhv. indre diameter er uafhængige af hinanden. Resultatet er angivet nedenfor:(alle mål i mm) Ydre diameter, x: 44.9, 44.2, 44.6, 44.8, 44.0, 4.1 Indre diameter, y: 32.4, 32., 31., 32.2, 32.6, 31.7 Af data fås: ( x; s x ) = (44.6; 0.424) mm og (ȳ; s y ) = (32.1; 0.41) mm Spørgsmål II.1 (3) Rørets ydre diameter er som nyt 4 mm. Der udføres følgende test: H 0 : µ x = 4 H 1 : µ x < 4 På et % signifikansniveau bliver resultatet af denne undersøgelse: (Både konklusion og argument skal være i orden): 1 Den ydre diameter er signifikant mindre end den oprindelige, idet P-værdien er omtrent Den ydre diameter er ikke signifikant mindre end den oprindelige, idet P-værdien er omtrent Den ydre diameter er signifikant mindre end den oprindelige, idet P-værdien er omtrent Den ydre diameter er ikke signifikant mindre end den oprindelige, idet P-værdien er omtrent 0.03 Den ydre diameter er signifikant mindre end den oprindelige, idet P-værdien er omtrent Fortsæt på side 4 3

4 Spørgsmål II.2 (4) Den oprindelige differens i diametre er 13 mm. Idet det antages, at σ x = σ y bliver t-størrelsen for testet af nulhypotesen H 0 : µ x µ y = 13 mm: 1 t = t = t = t = 1.73 t = Spørgsmål II.3 () Hypotesen σx 2 = σy 2 mod det 2-sidede alternativ ønskes testet på et 10% signifikansniveau. Teststørrelse og kritisk værdi for dette test er: 1 Teststørrelse: 1.13, kritisk værdi: Teststørrelse: 1.06, kritisk værdi: Teststørrelse: 1.13, kritisk værdi:.0 4 Teststørrelse: 0.88, kritisk værdi: 1.96 Teststørrelse: 0.94, kritisk værdi: 2.71 Spørgsmål II.4 (6) Antag at støjvariansen for målingerne på den ydre diameter er σ x = Der planlægges en kommende undersøgelse, hvor den ydre diameter ønskes bestemt med en nøjagtighed svarende til at et 9% konfidensinterval får størrelsen ±0.1. Hvor stor skal antallet af målinger, n, være? 1 Omtrent ( /0.1) Omtrent ( /0.1) Mindst 1 4 Omtrent ( /0.1) 2 24 Omtrent ( /0.1) 2 41 Fortsæt på side 4

5 Opgave III En virksomhed har udliciteret fremstillingen af en pakdåse til en af deres ventiler til en virksomhed i Kina. De producerede pakdåser modtages i meget store partier (med mange tusinde pakdåser). Virksomheden kontrollerer et parti ved tilfældigt at udtage 200 pakdåser, disse klassificeres som defekte/intakte, ved anvendelse af et pasningsværktøj. Et parti accepteres, hvis der højst er 2 defekte emner blandt de kontrollerede. Spørgsmål III.1 (7) Hvad er den omtrentlige sandsynlighed for at acceptere et parti, hvis fejlprocenten er 0.4%? 1 P (X 1) = 81% 2 P (X 2) = 0.2% 3 P (X 2) = 9% 4 P (X 3) = 99% P (X 2) = 8% Spørgsmål III.2 (8) Ud af 2000 testede pakdåser viste det sig, at i alt 14 var defekte. Det kinesiske firma garanterer, at fejlprocenten højst er 0.4%, hvorfor følgende test udføres: H 0 : p = H 1 : p > På et % signifikansniveau kan kun en enkelt af følgende muligheder være en kritisk værdi for et large sample test af denne hypotese. Hvilken? 1 t 0.0 (13) = t 0.02 (14) = z 0.02 = z 0.0 = 1.64 z 0.0 = Fortsæt på side 6

6 Spørgsmål III.3 (9) Vi gentager setup et fra forrige spørgsmål: (som man således ikke behøver kigge på) Ud af 2000 testede pakdåser viste det sig, at i alt 14 var defekte. Det kinesiske firma garanterer, at fejlprocenten højst er 0.4%, hvorfor følgende test udføres: H 0 : p = H 1 : p > P-værdien for dette test kan ved hjælp af binomial-fordelingen findes som: (X er nu antallet af defekte ud af 2000) 1 P (X 14) = P (X 14) = P (X 14) = P (X 8) = 0.93 P (X 8) = 0.47 Opgave IV Ankomsten af gæster der ønsker at checke ind på et hotel antages i perioden mellem kl. 14 og 18 at kunne beskrives ved en poissonproces (ankomsterne antages jævnt fordelt over tid og uafhængige af hinanden). Fra omfattende målinger har man tidligere fundet, at sandsynligheden for at der ikke ankommer nogen gæster i en tidsperiode på 1 minutter, er (P (X = 0) = 0.30, hvor X beskriver antal ankomster pr. 1 min). Spørgsmål IV.1 (10) Det forventede antal ankomster pr 1 min, samt sandsynligheden for at der i en periode på 1 time ankommer 8 gæster eller mere bliver: 1 µ = 2 ankomster pr. 1 min og P (X 60min 8) % 2 µ = 1.2 ankomster pr. 1 min og P (X 60min 8) 11% 3 µ = 2 ankomster pr. 1 min og P (X 60min 2) 4 12% 4 µ = 1.2 ankomster pr. 1 min og P (X 60min 2) 4 1.3% µ = 1.2 ankomster pr. 1 min og 1-P (X 60min 8) 6% Ved Ikke Fortsæt på side 7 6

7 Opgave V På en hylde er der anbragt 9 tilsyneladende ens ringbind. Det vides at 2 af ringbindene indeholder statistikopgaver, 3 af ringbindene indeholder matematikopgaver og 4 af ringbindene indeholder rapporter. Der vælges tilfældigt uden mellemliggende tilbagesætning 3 ringbind. Spørgsmål V.1 (11) Den stokastiske variabel X beskriver antallet af ringbind med statistikopgaver blandt de 3 udtrukne. Middelværdi og varians for den stokastiske variabel X bliver: 1 µ 0.67 og σ µ 1.33 og σ µ 0.67 og σ µ 1.33 og σ µ 0.67 og σ Spørgsmål V.2 (12) Sandsynligheden (P 1 ) for, at alle de udtrukne ringbind indeholder rapporter, samt sandsynligheden (P 2 ) for, at få netop ét af hver slags ringbind bliver: 1 P 1 = samt P 2 = P 1 = 1 21 samt P 2 = P 1 = 1 21 samt P 2 = P 1 = samt P 2 = P 1 = 1 21 samt P 2 = 6 21 Fortsæt på side 8 7

8 Opgave VI I en butikskæde med separate bagerafdelinger stilles der krav om, at brødene i alle kædens bagerbutikker er rimelig ensartede. Med hensyn til vægten for et givet brød er der stillet følgende krav: 1% af brødene må veje under 600 g. % af brødene må veje over 60 g. Data kan antages normalfordelt. Spørgsmål VI.1 (13) Den middelværdi og spredning (µ, σ) man skal producere efter, for at overholde kravet, bliver: 1 µ = 629.3g og σ = 14.9g 2 µ = 62.0g og σ = 12.6g 3 µ = 62.0g og σ = 13.3g 4 µ = 629.3g og σ = 13.3g µ = 629.3g og σ = 12.6g Fortsæt på side 9 8

9 Opgave VII Fire lægemidler med samme virksomme indholdsstof skal sammenlignes med hensyn til bivirkninger. 200 personer deltager i et forsøg, hvor bivirkningerne for den enkelte person kategoriseres som ingen/lette/alvorlige. Resultatet af undersøgelsen fremgår af nedenstående tabel: Lægemiddel Sum A B C D Ingen bivirkninger Lette bivirkninger Alvorlige bivirkninger Sum Spørgsmål VII.1 (14) Betragtes det samlede datamateriale bliver et 9% konfidensinterval for procentdelen af alvorlige bivirkninger: < p alvorlige < < p alvorlige < < p alvorlige < < p alvorlige < < p alvorlige < 0.37 Fortsæt på side 10 9

10 Spørgsmål VII.2 (1) Skal det undersøges, om der er sammenhæng mellem bivirkninger og lægemiddel, skal der udføres et test for hvilken χ 2 -værdien og antallet af frihedsgrader(f) bliver: 1 χ2 = ( )2 + (3 )2 3 + (10 ) (2 )2 2 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 13.7)2 1 + ( ) (8 13.7)2 8 og f = 6 2 χ2 = ( )2 + (3 )2 + (10 )2 + (2 )2 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 13.7) ( ) (8 13.7) og f = 9 3 χ2 = ( )2 + (3 )2 3 + (10 ) (2 )2 2 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 13.7)2 1 + ( ) (8 13.7)2 8 og f = 8 4 χ2 = ( )2 + (3 )2 + (10 )2 + (2 )2 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 13.7) ( ) (8 13.7) og f = 6 χ2 = ( )2 + (3 )2 + (10 )2 + (2 )2 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 13.7) ( ) (8 13.7) og f = 8 Spørgsmål VII.3 (16) Ud over det generelle test ønskes det undersøgt, om antallet af alvorlige bivirkninger er signifikant lavere for lægemiddel D end for de øvrige. Følgende hypotesetest udføres: H 0 : p D = p øvrige H 1 : p D < p øvrige Teststørrelse og P-værdi for dette hypotesetest bliver: 1 Z = 2.10 og P-værdi = Z = 2.10 og P-værdi = Z = 2.99 og P-værdi = Z = 2.10 og P-værdi = 0.03 Z = 2.99 og P-værdi = Fortsæt på side 11 10

11 Opgave VIII Fem forskellige fabrikater af piller med samme virksomme indholdsstof skal sammenlignes med hensyn til deres opløselighed. For hvert af de fem fabrikater udføres fire forsøg, hvor det måles, hvor stor en procent af en given pille der er opløst, efter at den en given periode har været nedsænket i 1000 ml de-ioniseret vand. Følgende data er fundet: Fabrikat A B C D E % opløst I nedenstående tabel for en sædvanlig envejs variansanalyse er nogle af de fundne resultater anført, yderligere er gennemsnittet af målingerne i de enkelte grupper anført: (Det antages at data følger en normalfordeling og at der kan antages samme varians i alle grupper) Gennemsnittene for de fem grupper er: DF Sums of Mean F Squares Square Fabrikat x w Error y Total z Fabrikat Antal Gennemsnit A B C D E Spørgsmål VIII.1 (17) Værdien for x, y, z og w bliver: 1 x = 1, y = 4, z = 19 og w = x = 4, y = 1, z = 19 og w = x = 10, y =, z = 19 og w = x = 4, y = 1, z = 19 og w = x = 4, y = 16, z = 20 og w = 8.92 Fortsæt på side 12 11

12 Spørgsmål VIII.2 (18) Resultatet af hypotesetestet for om der i middel opløses samme procentdel for de fabrikater bliver: (Både konklusion og begrundelse skal være i orden) 1 Mindst én middelværdi er forskellig fra en af de andre, idet P-værdien 0 2 Alle middelværdier er forskellige fra hinanden, idet P-værdien 1 3 Ingen middelværdier er forskellige fra hinanden, idet P-værdien 0 4 Mindst én middelværdi er forskellig fra en af de andre, idet P-værdien 1 Alle middelværdier er forskellige fra hinanden, idet P-værdien 0 Spørgsmål VIII.3 (19) 99% konfidensintervallet for µ A µ B bliver: 1 2. ± ± ± ± ± 6.44 Fortsæt på side 13 12

13 Opgave IX To forskellige fabrikater af piller med samme virksomme indholdsstof skal sammenlignes med hensyn til deres opløselighed. For hvert af de to fabrikater udføres 10 forsøg, hvor det måles, hvor stor en procent af en given pille der er opløst, efter at den en given periode har været nedsænket i 1000 ml de-ioniseret vand. En enkelt måling mislykkedes, så følgende værdier for % opløst er fundet: Fabrikat F Fabrikat G Spørgsmål IX.1 (20) Hvad er følgende fem tal for Fabrikat G data: 0%-fraktil, nedre kvartil Q 1, median, øvre kvartil Q 3, og 100%-fraktil? 1 0, 49., 1.6,, , 49, 2, 4, 3 0, 2, 0, 7, , , 1.6, , /9, /9, 1.6, /9, /9 Fortsæt på side 14 13

14 Spørgsmål IX.2 (21) Et 99% konfidensinterval for forskellen på de to middelværdier, som ikke baserer sig på en antagelse om normalfordelte data, ønskes fundet. Følgende R linier køres: x=c(4,47,48,49,49,0,2,2,3,4) y=c(48,48,49,49,2,4,4,,) k = xsamples = replicate(k, sample (x, replace = TRUE)) ysamples = replicate(k, sample (y, replace = TRUE)) mymeandifs = apply(xsamples, 2, mean)-apply(ysamples, 2, mean) myquantiles=quantile(mymeandifs, c(0.00,0.01,0.02,0.0,0.2,0.,0.7,0.9,0.97,0.99,0.99)) round(myquantiles,2) Resultatet, som altså er de afrundede (R-funktionen round er i sidste linie anvendt for at afrunde til 2 decimaler) fraktiler for bootstrap-fordelingen af middelforskelle: 0.% 1% 2.% % 2% 0% 7% 9% 97.% 99% 99.% %-konfidensintervallet for middelforskellen baseret på dette bliver: ± [ 4.14, 0.83] 3 [ 4.64, 1.29] 4 [ 4.93, 1.2] Det giver ingen mening, idet der er et forskelligt antal observationer i de to grupper Spørgsmål IX.3 (22) Følgende hypotese ønskes testet på niveau α = 0.0 baseret på informationen i ovenstående spørgsmål: H 0 : µ F µ G = 4 H 1 : µ F µ G < 4 Hvad er konklusionen og det mest korrekte argument? 1 Hypotesen accepteres, idet P-værdien er mindre end % 2 Hypotesen accepteres, idet P-værdien er mellem % og 10% 3 Hypotesen forkastes, idet P-værdien er mindre end % 4 Hypotesen forkastes, idet P-værdien er mindre end 99.% Hypotesen forkastes, idet P-værdien er større end 2.% 14 Fortsæt på side 1

15 Opgave X Man ved at kvotienten mellem overfladeareal og volumen har indflydelse på, hvor hurtig en pille opløses. For belyse sammenhængen er følgende data fundet: % opløst (y) Overfladeareal/Volumen i mm 2 /mm 3 (x) I R er kørt følgende: x=c(0.6,.7,0.9,1.0,1.) y=c(33,36.2,38.7,44.0,63.) summary(lm(y~x)) med følgende result: Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) x ** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 3 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.971, Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 3 DF, p-value: Fortsæt på side 16 1

16 Spørgsmål X.1 (23) Et 9% konfidensinterval for hældningskoefficienten i den model, der ligger bag analysen bliver: ± ± ± ± ± Spørgsmål X.2 (24) For en tilfældig pille af et andet fabrikat, hvor Overfladeareal/Volumen = 1.2 mm 2 /mm 3 er det fundet, at % opløst = 47. Stemmer denne observation med den fundne model: 1 Ja, idet prediktionsintervallet ± ( )2 indeholder værdien Nej, idet konfidensintervallet ± ( )2 ikke indeholder vær dien ( ) indeholder vær- 3 Ja, idet prediktionsintervallet ± dien ( ) indeholder vær- 4 Ja, idet prediktionsintervallet ± dien Ja, idet konfidensintervallet 44.82± ( ) ikke indeholder værdien 16 Fortsæt på side 17

17 Opgave XI En virksomhed, der arbejder med 3-hold skift, har en formodning om at nedetiden på maskinerne er højere på aften- og nathold, end den er på daghold. For at få verificeret denne formodning registreres nedetiden på fire maskiner af samme type over en periode. De målte data fremgår af nedenstående tabel. Observationerne er angivet i nedetid i perioden i timer: Maskine Gennemsnit I II III IV Daghold Aftenhold Nathold Gennemsnit Det antages, at data med god tilnærmelse kan antages normalfordelt. Nedenfor er angivet ANOVA-tabellen for problemet som den bliver produceret af R, idet nogle af de beregnede værdier dog er erstattet af bogstaver: (I tillæg kan oplyses at den total sums of squares, SST, er lig ) Analysis of Variance Table Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) hold D maskine E Residuals A B C Spørgsmål XI.1 (2) Hvad er A, B og C? 1 A = 11, B = 460. og C = A = 11, B = 460. og C = A = 6, B = og C = A = 6, B = 460. og C = 0.0 A = 6, B = 460. og C = Fortsæt på side 18

18 Spørgsmål XI.2 (26) Det undersøges om maskiner har indflydelse på nedetid, idet der anvendes et signifikansniveau på %. Konklusion og P-værdi bliver: (både konklusion og P-værdi skal være i orden) 1 Maskiner har ingen signifikant indflydelse på resultatet, idet P-værdien = Maskiner har signifikant indflydelse på resultatet, idet P-værdien = Maskiner har ingen signifikant indflydelse på resultatet, idet P-værdien = Maskiner har signifikant indflydelse på resultatet, idet P-værdien = 0.18 Maskiner har ingen signifikant indflydelse på resultatet, idet P-værdien = 0.18 Spørgsmål XI.3 (27) Det undersøges om hold har indflydelse på nedetid, idet der anvendes et signifikansniveau på %. Kritisk værdi og konklusion bliver: (både kritisk værdi og konklusion skal være i orden) 1 F 0.02 (2, 6) = 7.2, hold har signifikant indflydelse på nedetid 2 F 0.0 (6, 2) = 19.33, hold har signifikant indflydelse på nedetid 3 F 0.0 (2, 6) =.14, hold har signifikant indflydelse på nedetid 4 F 0.02 (6, 2) = 39.33, hold har ikke signifikant indflydelse på nedetid F 0.0 (2, 6) =.14, hold ikke har signifikant indflydelse på nedetid 18 Fortsæt på side 19

19 Opgave XII En fast-food kæde bruger til indpakning af deres burgere et biologisk nedbrydeligt materiale. Varmeledningsevnen for materialet er en væsentlig egenskab. Data i nedenstående tabel stammer fra et forsøg, hvor varmeledningsevnen er målt som en funktion af materialets densitet. Det antages, at sammenhængen kan beskrives ved en simpel lineær model. Følgende værdier er målt: Produktets densitet (g/cm 3 ) Varmeledningsevne (W/mK) Nogle beregningsstørrelser: x = , ȳ = , S xx = , S yy = og S xy = Følgende linier blev kørt i R: x=c(.17,.220,.22,.226,.2,.277) y=c(.048,.02,.04,.03,.07,.061) summary(lm(y~x)) som gav følgende resultat (Dog er to af værdierne fjernet fra udskriften og erstattet af A og B ) : Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: e e e e e e-04 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) A *** x B e-0 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 4 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 290 on 1 and 4 DF, p-value: 6.973e-0 19 Fortsæt på side 20

20 Spørgsmål XII.1 (28) Forklaringsgraden r 2 og residualspredningen s e er: 1 Forklaringsgrad: 98.6%, s e = Forklaringsgrad: 12.80%, s e = Forklaringsgrad: 2.0%, s e = Forklaringsgrad: 98.3%, s e = Forklaringsgrad: 14.42%, s e = Spørgsmål XII.2 (29) Ud fra teorien for de testede materialer forventes liniens hældning at ville være β = 0.1. Stemmer dette med den fundne hældning, hvis et signifikansniveau på % anvendes: (Både svar og argument skal være i orden) 1 Nej, idet et 9% konfidensinterval for hældningen bliver: ± Nej, idet et 9% konfidensinterval for hældningen bliver: ± Ja, idet et 9% konfidensinterval for hældningen bliver: ± Nej, idet et 9% konfidensinterval for hældningen bliver: ± Ja, idet et 9% konfidensinterval for hældningen bliver: ± Spørgsmål XII.3 (30) Et 9% konfidensinterval for varmeledningsevnen, hvis densiteten er (g/cm 3 ) bliver: ± ± ± ± ± ( ) ( ) ( ) ( ) ( )