MATEMATIK I ROSKILDE KOMMUNE OVERSKRIFT OVERSKRIFT OVERSKRIFT OVERSKRIFT. - et materiale og en strategi

Transkript

1 OVERSKRIFT OVERSKRIFT OVERSKRIFT OVERSKRIFT Is sa derum facessu nditiorum net quamentori corum assit faccum ad que offictoribus quias dolupti offici quis et, aboriandi dion consequat mo voloriosa si occumque quis seque ditatet vellupt atatinciust liquam santibe rorent offic te qui utem vellesc idest, nonet ut verovid eliquod Is sa derum facessu nditiorum net quamentori corum assit faccum ad que offictoribus quias dolupti offici quis et, aboriandi dion consequat mo voloriosa si occumque quis seque ditatet vellupt atatinciust liquam santibe rorent offic te qui utem vellesc idest, nonet ut verovid eliquod ut animin praepro od utem accusdant ad ut quas dolupta tesent. Milisit re, inctem eatet ut accum sim quaeperum quaspic torem et mi, cus. Mus eos ex es qui dolores a corior aut harundam dio. Itatem dus excerov itibus es simporrum, ulpa voloribusam reium amet vellabo ratur? Bus. Uga. Ic tecabor mo blatur sitiati orepra vid qui commolum earis parupta tatem. Itas volupta eume peraepr ovidusci to coneture porem restrum, il molumet a quosa di beatecta verios doluptataque poresci andigen dandera peliqua spient eatquaectur, num as nobis del inciis eiunt laccaecusa nati vellanto tet ea nusam litatet venis consequ amenit reperit, inctibe rionestis ea di omnihil luptam nimpos enda di atur? Ximos con pla simusant et estotatem quis atia dolupta speriam iusaectur re occabore eumque ni cullorem. Itat ut vellorum fuga. Orepudit ut autatus dit expel ilis aut laccabo remporum quam, qui officiatenia solorep erovit parciam atur, sediscipit plibus acipite mporerit volendit, optusa soluptia volorem as eveleceped moluptat fugias ut eaquunt est derum harchic te et ad quam, officitaspid ut Is sa derum facessu nditiorum net quamentori corum assit faccum ad que offictoribus quias dolupti offici quis et, aboriandi dion consequat mo voloriosa si occumque quis seque ditatet vellupt atatinciust liquam santibe rorent offic te qui utem vellesc idest, nonet ut verovid eliquod ut animin praepro od utem accusdant ad ut quas dolupta tesent. Milisit re, inctem eatet ut accum sim quaeperum quaspic torem et mi, cus. Mus eos ex es qui dolores a corior aut harundam dio. Itatem dus excerov itibus es simporrum, ulpa voloribusam reium amet vellabo ratur? Bus. Uga. Ic tecabor mo blatur sitiati orepra vid qui commolum earis parupta tatem. Itas volupta eume peraepr ovidusci to coneture porem restrum, il molumet a quosa di beatecta verios doluptataque poresci andigen dandera peliqua spient eatquaectur, MATEMATIK num as nobis del inciis eiunt laccaecusa nati vellanto tet ea nusam litatet venis consequ amenit reperit, inctibe rionestis ea di omnihil luptam nimpos enda di atur? Ximos con PÅ pla simusant et estotatem TVÆRS quis atia dolupta speriam iusaectur re occabore eumque ni cullorem. Itat ut vellorum fuga. Orepudit ut autatus dit expel ilis aut laccabo remporum quam, qui I ROSKILDE KOMMUNE officiatenia solorep erovit parciam atur, sediscipit plibus acipite mporerit volendit, optusa soluptia volorem as eveleceped moluptat fugias ut eaquunt est derum harchic te et ad quam, officitaspid ut - et materiale og en strategi 1

2 KOLOFON: MATEMATIK PÅ TVÆRS I ROSKILDE KOMMUNE - et materiale og en strategi Udarbejdet i 2016 i et samarbejde mellem dagtilbud, fritidstilbud, skoler og PPR i Roskilde Kommune. Tak til projektgruppen og arbejdsgrupperne, som har bidraget med viden og konkrete praksiserfaringer. PROJEKTGRUPPEN Katrine Bak (Dagtilbud), Mai-Britt Goren Stumpe (Dagtilbud), Gitte Bak Eliassen (SFO Margretheskolen), Lilian Andersen (Lynghøjskolen), Lene T. Simonsen (Skole og Børn Sekretariatet), Mustafa Göl (Dagtilbud), Carsten Wolfgang (Skole & Klub), Lars F. Jørgensen (Skole & Klub), Lene Dahl (Skole & Klub), Bent Lindhardt (UCSJ), Morten Blomhøj (RUC), Thorleif Frøkjær (UCC) FØLGEGRUPPE Karina Kemner (Dåstrup Skole) og Annette Philipsen (Tjørnegårdskolen) ARBEJDSGRUPPER OG SELVSTÆNDIGE PROJEKTGRUPPER Matematisk opmærksomhed i dagtilbud: Børnehusene Blomstergården, Hyldebo og Stjernen i område Syd Understøttende læringsmiljøer i SFO: Margretheskolens SFO Fagdidaktik i matematik brug af ipads i undervisningen: Østervangsskolen Progression i talforståelse fra 4-11 år: Storegruppen i Børnehuset Troldhøj og Lynghøjskolens klasse Matematik og inklusion (MINK): Absalons Skole, Dåstrup Skole, Trekronerskolen, Margretheskolen og Østervangsskolen Matematik og Åben Skole: Udskolingen på Lindebjergskolen Digitalisering og undersøgende matematikundervisning: Lynghøjskolen, Sankt Josef Skole og Himmelev Gymnasium Overgang til ungdomsuddannelser: Undervisere på ungdomsuddannelser og lærere fra udskolingen i Roskildes folkeskoler PROJEKTLEDELSE OG REDAKTION Janet Majlund Ring, teamleder PPR Helle Mitzi Christiansen, udviklingskonsulent Dagtilbud Anna Sandell, udviklingskonsulent Skole & Klub GRAFISK TILRETTELÆGGELSE Filtenplus

3 INDHOLD 4 FORORD 6 ET FÆLLES LÆRINGSGRUNDLAG AT STÅ PÅ 8 MATEMATIK I HVERDAGEN MATEMATIK I DAGTILBUD Matematisk opmærksomhed i dagtilbud praksisfortællinger 20 MATEMATIK I OVERGANGEN FRA DAGTILBUD TIL SKOLE MATEMATIK SOM FAG I SKOLEN Matematisk opmærksomhed i SFO Fagdidaktik i matematik brug af ipads i undervisningen Digitalisering og undersøgende matematikundervisning Matematik og Åben Skole Matematikvanskeligheder hvad kan vi gøre? 48 MATEMATIK I OVERGANGEN FRA FOLKESKOLE TIL UNGDOMSUDDANNELSER 3

4 FORORD For snart to år siden henvendte tre af kommunens matematiklærere sig til skoleafdelingen. Budskabet var klart: Vi har brug for et særligt fokus på matematik, for videndeling og en fælles plan for, hvordan vi arbejder med alle børns matematiklæring. Det blev ét af afsættene for projektet Matematik På Tværs i Roskilde Kommune og et spændende samarbejde mellem dagtilbud, skoler, fritidstilbud og PPR. Der var allerede indsatser i gang, og der skete meget på matematikområdet i Roskilde Kommune. Samarbejde med Danske Bank, overgangsprojekter med fokus på overgangen fra folkeskole til ungdomsuddannelser og skolernes egne indsatser med uddannelse af matematikvejledere og etablering af fagteam. Også på dagtilbudsområdet var enkelte indsatser i gang med fokus på børnenes matematiske opmærksomhed. Men der var ingen samlet strategi og plan for, hvordan vi sammen og på tværs af dagtilbud, skoler og fritidstilbud arbejder med faglig brobygning og matematiklæring. Det er Matematik På Tværs i Roskilde Kommune startskuddet på. MATEMATIK PÅ TVÆRS: Et materiale I dette hæfte kan du læse om konkrete forløb og kollegers erfaringer med arbejdet med børn og unges matematiklæring. Både med de yngste børn i dagtilbud og elever i skolen og i overgangen til ungdomsuddannelserne. Flere af praksisfortællingerne er nye og illustrerer de første erfaringer. De er igangsat og udarbejdet i forbindelse med Matematik På Tværs. Enkelte fortællinger er fra forløb, som vi i Roskilde Kommune har arbejdet med i flere år, og som nu indgår i det fælles materiale og kan inspirere på tværs. Fælles for fortællingerne er den undersøgende tilgang til egen praksis og de faglige refleksioner, der er sket undervejs. Både hos børn og voksne. Fortællingerne er således ikke opskrifter eller forskrifter, men inspiration og videndeling af erfaringer med matematiklæring i et 0-17-års perspektiv. 4

5 Hvis du vil vide mere.....så læs hele projektbeskrivelsen på Roskildes intranet under din enhedsside eller på MATEMATIK PÅ TVÆRS: En strategi Vi er i Roskilde Kommune optaget af det hele børneliv fra 0-17 år og af at styrke den pædagogiske sammenhæng og brobygningen til og fra folkeskolen, således at alle børn bliver så dygtige, som de kan. Visionen for en fælles matematikindsats på 0-17-årsområdet i Roskilde er at styrke kommunens børn og unge i deres udvikling og læring i matematik. Indsatsen skal bidrage til at sikre, at pædagogiske medarbejdere fra dag og fritidstilbud og medarbejdere i skolen i øget omfang kan gå ind i arbejdet med at skabe gode lærings- og undervisningsbetingelser for alle børn i matematik. Det gælder uanset, hvilke forudsætninger, potentiale, motivation og behov det enkelte barn har. En sammenhængende indsats på matematikområdet tager afsæt i Roskilde Kommunes politiske beslutninger omkring vellykkede overgange fra dagtilbud til skole, fra skole til SFO/ klub samt øvrige fritidstilbud og mellem udskoling og ungdomsuddannelserne. I dette arbejde må vi tænke på tværs og skabe fælles retning for arbejdet. Matematik På Tværs som strategi har fokus på, hvordan vi kan skabe fælles retning for arbejdet med børn og unges matematiklæring ved at udvikle inkluderende og motiverende læringsmiljøer, arbejde med synliggørelse af læring i dagtilbud, fritidstilbud og skoler og videndele og kompetenceudvikle tæt på egen og hinandens praksis. De forskellige tiltag drøftes og kvalificeres i ledernetværk, faglige netværk og løbende arbejdsgrupper. Vi håber, I vil lade jer inspirere af fortællingerne i dette hæfte, og vi håber, I løbende vil bidrage til den fortsatte udvikling af Matematik På Tværs i Roskilde Kommune. Lad dette være første skridt på vejen. Roskilde Kommune Skole og Børn November

6 ET FÆLLES LÆRINGSGRUNDLAG AT STÅ PÅ Vi har et fælles læringsgrundlag at stå på i arbejdet med børn og unges læring og trivsel og i udviklingen af trygge, positive læringsmiljøer i Roskilde Kommunes dagtilbud, skoler og fritidstilbud. Både i arbejdet i de enkelte institutioner og skoler, og når vi samarbejder på tværs om at skabe vellykkede overgange og brobygning. Læringsgrundlaget går på tværs af dagtilbud, skoler og fritidstilbud og på tværs af fag i skolen. Sammen med vores øvrige politiske mål og rammer er læringsgrundlaget det brede grundlag, vi står på, når vi samarbejder om pædagogiske tiltag, der skal sikre de bedste muligheder for alle børn og unges læring og trivsel. Herunder læring og trivsel i matematik. Læringsgrundlaget er et udtryk for, at vi i Roskilde Kommune har høje forventninger. Høje forventninger til hinanden og til kommunes børn og unge. Det skal vi turde have, så vi hele tiden har fokus på, at ALLE børn og unge skal have mulighed for at udvikle sig, udnytte deres potentialer og få gode muligheder for at skabe deres egne liv og bidrage til fællesskaberne år 6 Læs hele læringsgrundlaget på Roskildes intranet på din enhedsside eller på

7 LÆRINGSGRUNDLAGET BESTÅR AF TRE CENTRALE ELEMENTER: Læring skaber personlig udvikling Læring er erfaringsdannelse og meningsskabelse Læring sker i sociale samspil 1 3 PÆDAGOG Læring er sdannelse ring erfa og meningsskabende Læring gennem handling Læring gennem leg, undersøgelser og eksperimenter Læring gennem samtale, feedback og refleksion 2 Læring skaber personlig udvikling Læring i betydningsfulde relationer Læring udvikler positiv selvopfattelse =½ x m2 st ½ x m2 /Læ 5 rin g øge r lær ing sly hed rig ger nys og Læring gennem deltagelse og involvering Læring i forpligtende fællesskaber Læring kan læres og føre til mestring Det første element betoner erfa- get lykkes, bidrager til udvikling af ringsdannelsen, det undersøgende en positiv selvopfattelse og mod på og eksperimenterende samtidig og lyst til at lære endnu mere og nyt. Læring sker i sociale samspil 3. Børn og unge lærer gennem forskellige sanser, og de tilegner sig viden og erfaringer gennem Børn og Læring unges motivation, følelser og nysgerrighed har betydning for deres læringsudbytte. socialt aktive handlinger. De lærer ved at være i direkte omgang med verden og sker ved ati et mærke ogsamspil afprøvemed i andre. Fællesskaber, relationer og dialog er nøgleord for Det er ikke bare noget børn og unge har og eller ikke har, men der kan udvikles i børn og unges læring og trivsel er nødvendige forogså den faktorer, enkelteslæring meningsogsker identitetsskabelse. LÆRING ER LÆRING SKABER I praksis. Leg, undersøgelser, eksperimenter og problemløsning er måder at udforske verden på og læreprocesser. og unges positive selvopfattelser tiltro til, at de, med den rette støtte Det er ibørn deltagelse og involvering i forpligtendeogfællesskaber med andre, at børn og unge får en del aferfaringsdannelse meningsskabelsen. Udvikling af færdigheder kan understøttes gennem træning og øvelog PERSONLIG UDVIKLING SOCIALE SAMSPIL og vejledning undervejs, mestre og bidrage til fællesskabet, motiverer og øger lyst til læring. forløbende atkan skabe mening, ser. Det er centralt, at denne færdighedstræning ikke står alene, muligheder men derimod sættes i forhandle holdninger og få feedback på deres forståelser, Børn og selvopfattelse unge skal derfor stilles passende læringsudfordringer, som bygger på det, de allerede MENINGSSKABELSE og handlinger. sammenhæng med praktiske undersøgelser og anvendelser i nye sammenhænge, således at børn har lært, og de skal udvikle en bred vifte af læringsstrategier og tilbydes målrettede aktiviteter. ogdet ungeførste kan skabe mening, øge deres handlemuligheder ogdet udvikle kompetencer. Det tredje element handler om, at andet element i læringsgrundelement sætter fokus på LøbendeSocial feedback i læreprocessen skal synliggøre medvirke til, at børn trivsel forudsætter udviklingen af et læringsfremskridt positivt selvbillede,ogder er afgørende for atog kunne unge oplever sighensigtsmæssige selv som lærende og motiveres ny viden, nye færdigheder og nye erfaringer. læring gennem aktive handlinger, læring sker i sociale samspil. laget handler om, at læring udvikle måder atskaber klaretillivet på og kunne lære noget. Læring har en sproglig dimension. Læringens sproglige dimension indeholder både mundtlighed, Betydningsfulde relationer er sociale læringsrum, hvor børn og unge over tid lærer om og af skriftlighed, billeddannende sprog,og faglig begrebsdannelse og metasproglig bevidsthed. Fordybelse leg og undersøgelser fokus på personlig udvikling. hinanden. betydningsfuld relation er kendetegnet ved at være et gensidigt udviklende forhold, i problemstillinger, hvor børn og unge afprøver, udforsker og sætter ord og En billeder på deres viden, den sproglige dimension som en indet sætter fokus på betydning af hvor synspunkter betragtes som ligeværdige og inddrages i de fælles beslutninger. færdigheder og handlinger er således helt essentielt for læringen. 4 Børn og unge skal således gives muligheder for at indgå i relationer præget af ligeværd, nærhed tegreret del af læreprocessen. Succesoplevelser, feedback, kropsfællesskaber og relationer - både og respekt både for den enkelte og fællesskabet. 3 lige erfaringer og følelsen af når nomellem børn og unge og mellem med, at der kan være elementer i 5 børn, unge og voksne rollemodeller. Det tredje element sætter desuden fokus på social trivsel og ligeværd, læreprocessen, som kan og skal Man kan lære at lære det er en nærhed og respekt som kendetegn trænes og gentages. vigtig pointe. for relationerne og fællesskaberne. 7

8 MATEMATIK I HVERDAGEN AF JANET MAJLUND RING, TEAMLEDER PPR ROSKILDE Meget af det, vi har kigget på i projekterne i hæftet her, læner sig op ad begreber og tilgange, som man nemt kan understøtte i hjemmet. Her er ikke tale om, at man skal hjem og regne side op og side ned med sine børn, men mere tale om, at man i hjemmene udforsker de undersøgende og undrende tilgange i hverdagen. Når voksne undrer sig sammen med børn, og taler om det de undrer sig over, så stimuleres den matematiske tilgang. At lade børnene forklare, hvordan noget hænger sammen, eller hvad noget betyder, det er med til, at barnet får billeder og begreber på matematikken. Hvis børn (og voksne) møder noget, de oplever svært, er en naturlig reaktion at sige det kan jeg ikke. Her bør den voksne undlade at sige: Jo, du kan. Selvom man ved, at barnet kunne i går eller en anden dag. Derimod bør den voksne møde barnet med forståelse og hjælpe. Man kan for eksempel sige: Nej, det kan du ikke nu, men vi ser på det sammen eller nej, det kan du ikke nu, men jeg tror, du kan lære det. På den måde undgår man diskussioner og magtkampe med barnet om, hvad det kan og motiverer til succesoplevelser og små skridt på vejen. Mange skoler arbejder i dag med regnehistorier, fordi de underbygger forståelsen af matematikken rigtig godt. Regnehistorier er med til at skabe billeder på de ord og begreber, som børnene skal lære. Dette kan man også sagtens gøre hjemme. Lav historier til hinanden, hvor I handler, eller henter noget, eller tager på tur og oplever noget. Og så skal man gætte hinandens matematik i historien. Var det en historie om plus eller minus? Hvor mange dyr havde jeg så set? Hvor langt havde jeg kørt? Hvor lang tid gik der, før mor forelskede sig i mig? Disse historier vil mange børn finde motiverende, og de vil hjælpe dem til at huske, hvad vi bruger regningsarterne til. 8

9 GODE SPIL I FORHOLD TIL MATEMATIKLÆRING ER FOR EKSEMPEL: Kortspil: 500, 98 Spil med tallinje Matador Tallotteri, med præmier selvfølgelig Forklar ordet spil Skak og strategispil Hvis dit barn kan lide at spille et spil er det en god idé at lave hjemmelavede spil. Lad barnet lave spilleregler, som det forklarer til hele familien, når der skal spilles. Det er selvfølgelig også en mulighed, at forældrene laver spil, der træner færdigheder inden for matematikken. Tabellerne, 2 op-2 ned ad tallinjen, læg 10 til etc. 9

10 Hvis dit barn har udfordringer i matematik, er det en god ide at finde plads til en tallinje i hjemmet eller lave en tællestok (en pind med alle tallene). Bed dit barns lærer om en tallinje, de har dem ofte i kopier, og hæng den et godt sted hjemme, hvor man kan lege med den og bruge den til matematikken. I kan bruge den til vi er 4 hjemme, og mormor kommer på besøg. Hvor mange skal vi dække bord til? Netop denne evne til at gå op og ned ad tallinjen har vist sig særdeles vigtig i forhold til matematiklæring. Køkkenet er et oplagt sted til understøttelse af matematisk opmærksomhed. En god digitalvægt og et decilitermål er fx gode værktøjer til forståelsen af vægt og omregning fra deciliter til liter. Det må endelig ikke blive til små matematiktimer i køkkenet. Tænk i læsning af opskrifter og rækkefølger og en mere undersøgende og eksperimenterende tilgang til aktiviteterne. Gemmebamsen, eller tampen brænder, er en god leg til træning af forholdsord. Gem en bamse, og fortæl kun med forholdsord, hvor bamsen er. Den er under køkkenbordshøjde, bagved noget stort, i det mindste rum vi har. En fødselsdagskalender er en god støtte til træning af årets gang, årstal, måneder etc. Hvis barnet synes, det er sjovt, kan man lade ham eller For mere inspiration se hende være fødselsdagsansvarlig, så man hver måned ser på: Hvem har forældreguide-matematik fødselsdag i denne måned? Hvor mange år bliver de? Hvordan regner man egentlig det ud? Eksempel på regnehistorie: Fodgængere går over vejen 10

11 MATEMATIK I DAGTILBUD AF HELLE MITZI CHRISTIANSEN, UDVIKLINGSKONSULENT DAGTILBUD ROSKILDE I hverdagen er det vigtigt, at pædagogen udnytter de gyldne øjeblikke, hvor der er hul igennem til at kunne støtte barnets dannelse af grundlæggende matematiske begreber. Hvad kan læring om matematik være i 0-6 års dagtilbud? Giver det over- hovedet mening af tale om matematik i forhold til børn i denne aldersgruppe? Og hvis det giver mening, hvordan kan man så som pædagog inddrage matematiklæring i sin pædagogiske praksis? Det er disse spørgsmål artiklen her giver et bud på. Besvarelsen tager afsæt i lektor i matematik ved UCSJ Bent Lindhardt og lektor i psykologi ved UCC Thorleif Frøkjærs viden på området. Begge har publiceret flere artikler om matematisk opmærksomhed i dagtilbud. Læs også om de tre dagtilbuds erfaringer. De har været på opdagelse i pædagogisk arbejde med børns og deres egen matematiske opmærksomhed side Det korte svar, på om det overhovedet giver mening at tale om 0-6 årige børn og matematik, er ja. Børn har nemlig medfødte evner til at se antal og bedømme størrelser. De undersøger genstande og den virkelighed, de bevæger sig i. Vi ser eksempelvis, at børn parrer ting, kategoriserer, tæller, lægger ting i rækkefølge, har blik for og gengiver former, opdager mønstre og sammenligner størrelser. Vi ser også, at børn udvikler grundlæggende matematiske kompetencer, når de leger. Det gør de, fordi børn øver matematiske kompetencer som problemløsning og logisk tænkning gennem leg. Fx når børn bygger huler. Her skal de finde ud af, hvordan hulen bliver så stor, så de kan være i den, og så den ikke falder sammen. Eller når børn bygger dæmninger i sandkassen, så skal dæmningen helst bygges, så vandet ikke trænger igennem. Helt små børn beskæftiger sig også med logisk tænkning og årsagssammenhæng, når de for eksempel opdager, at der er en sammenhæng mellem den lyd, de kan høre, og den bevægelse de laver, når de ryster en rangle. Vi kan sige, at barnet naturligt gør sig erfaringer med matematiske begreber i sin nysgerrighed for at forstå og handle i sin omverden. Med andre ord er barnet af sig selv matematisk opmærksomt. Af den grund giver det også mening at arbejde pædagogisk med matematisk opmærksomhed i dagtilbud. Men det bør ske som en integreret del af børnenes leg. MATEMATIKLÆRING I DAGTILBUD HVORDAN? En nysgerrig og undersøgende pædagogik, som tager afsæt i børnenes undren, virker stærkt motiverende for de fleste børn. Det er en vigtig indgang til matematiklæring i 0-6 års dagtilbud. Det er vigtigt, at pædagogen er medundrende, guidende og spørgende og går på opdagelse sammen med barnet. 11

12 Thorleif Frøkjær opstiller fem principper for et godt læringsmiljø med fokus på science. De samme principper giver god mening for et læringsmiljø, der skal udvikle matematisk opmærksomhed. Særligt når nysgerrighed som begreb er centralt i Roskilde Kommunes læringsgrundlag. PRINCIPPER FOR ET LÆRINGSMILJØ MED FOKUS PÅ MATEMATISK OPMÆRKSOMHED at pædagogikken tager afsæt i barneperspektivet og i børns undren at der skabes plads til, at børn kan være aktive deltagere og udfolde deres eksperimenter med andre børn og voksne at matematiklæring opstår gennem social interaktion, og her indtager pædagogen en aktiv rolle at pædagogen udvikler viden om og anvender sin matematiske opmærksomhed aktivt i pædagogikken DE GYLDNE ØJEBLIKKE I hverdagen er det vigtigt, at pædagogen udnytter de gyldne øjeblikke, hvor der er hul igennem til at kunne støtte barnets dannelse af grundlæggende matematiske begreber. Et gyldent øjeblik er den situation, hvor den voksne ser, at barnet viser en parathed og søgen efter en handlekompetence. Det kan eksempelvis være en situation, hvor nogle børn vil bygge et tårn helt op til himlen, eller hvor et barn skal dele frugt ud til de andre børn. Hvis det skal lykkes for pædagogen at gribe eller at skabe et gyldent øjeblik, så er det nødvendigt, at pædagogen er observant og har en skærpet opmærksomhed på de muligheder for læring, der er i barnets hverdag. Men hvilke matematiske begreber er det da, pædagogen skal have opmærksomhed på at understøtte? Det kan være grundlæggende talforståelse, som pædagogen kan understøtte ved konsekvent at støtte og udfordre brugen af tal - både som talord og talsymboler og til at bestemme antal. Det kan fx ske gennem spørgsmål som: Hvor mange er vi i dag? Hvor mange kan vi være? Hvor mange mangler? Hvordan kan det skrives? Men det kan også være ved, at pædagogen er særlig opmærksom på, om der kan være matematik i børnenes egne spørgsmål. Fx hvor mange stykker må jeg få? Det fysiske læringsmiljø kan også indrettes, så det fremmer matematisk opmærksomhed og læring. Hav synlige tal og bogstaver i læringsmiljøet og hav måleredskaber, vægte, spil, ting til at sortere og klassificere, konstruktionslegetøj og hulebyggeting til rådighed for børnene Matematisk opmærksomhed har også en vigtig sproglig dimension. Her består det pædagogiske arbejde i bevidst at udvikle børns beskrivelser og forståelser af størrelsesrelationer som fx mindre, større, ældre, færre, flere, yngre, lige store, lige mange, lige gamle. Det samme gælder, når pædagogen støtter børnenes dannelse af begreber om geometriske former fx trekant, firkant og cirkel og simple mønstre og relationer som fx samme form og spejlbillede. Det er ikke væsentligt, at børnene kan bruge mange matematikord som eksempelvis navne på forskellige geometriske figurer. Det er vigtigere, at barnet får fornemmelse af egenskaber ved bestemte figurer. Fx: Er der lige eller buede kanter? (Hvor mange); er der hjørner? (Hvor mange); er to figurer ens? (De kan dække hinanden); Har to figurer samme form, men forskellig størrelse? Er nogle figurer mere regelmæssige end andre? Vi indledte med at stille spørgsmålet, hvad læring af matematik kan være i et 0-6 års dagtilbud. Vi håber at ovenstående giver nogle bud på dette. På de følgende sider kan du læse om tre lokale dagtilbuds erfaringer med arbejdet med børns matematiske opmærksomhed. 12

13 MATEMATISK OPMÆRKSOMHED I DAGTILBUD PRAKSISFORTÆLLINGER FRA PROJEKTFORLØB I TRE DAGTILBUD I OMRÅDE SYD De tre dagtilbud har gennem et halvt år afprøvet ideer til et meningsfuldt pædagogisk arbejde med børns nysgerrighed omkring matematisk opmærksomhed. Her er eksempler med pædagogiske forløb med fokus på fem vigtige matematiske begreber: 1. Tal og tælling 2. Matematisk sprog, 3. Årsag,virkning og ræsonnement 4. Rum og form 5. Mønstre og serier Sideløbende har dagtilbuddene mødt hinanden fem gange. Fokus for møderne har dels været at få viden om, hvad matematisk opmærksomhed kan være i dagtilbud. Dels at analysere og reflektere sammen med lektor Thorleif Frøkjær fra UCC over læring om både børns og voksnes matematiske opmærksomhed ud fra dagtilbuddenes egne praktiske erfaringer. Denne læring er samlet i 10 gode bud til arbejdet med matematisk opmærksomhed i dagtilbud. 10 GODE BUD TIL ARBEJDET MED MATEMATISK OPMÆRKSOMHED I DAGTILBUD 1. Indhent viden om relevante matematiske begreber og kategorier for målgruppen 2. Læg mærke til, hvor der er matematik i hverdagen allerede 3. Lyt efter matematik i børnenes spørgsmål 4. Stil åbne og produktive spørgsmål 5. Lad pædagogikken tage afsæt i børnenes undren og eksperimenter sammen med børnene 6. Vær konkret, lad børnene røre ved konkrete ting og lad dem erfare gennem kroppen 7. Forbered aktiviteten og fjern forstyrrelser, så du kan være nærværende 8. Vis engagement og vær aktiv deltagende 9. Gentag lege og aktiviteter med matematik i fokus og vær opmærksom på, hvornår du kan/skal guide børnene videre i deres matematiske opmærksomhed 10. Læg mærke til børnenes egne udtryk og skriv børnenes udsagn ned efter aktiviteten for at få øje på deres læring 13

14 HVAD HAR VI LÆRT OM DEN VOKSNES ROLLE? Vi skal lytte til børns spørgsmål og tage afsæt i disse, når vi planlægger aktiviteter. Vi skal deltage, guide og have øje for næste skridt i udviklingen af barnets matematiske opmærksomhed. Vi skal selv have matematisk opmærksomhed for at kunne guide barnets matematiske opmærksomhed. Min rolle og funktion er meget tydeligere for mig nu. Før havde jeg fokus på at sørge for at konteksten i en aktivitet fungerede og var til rådighed for børnene. Nu ved jeg, at jeg også skal gå foran og drive børnenes læring videre. Det, jeg gør, har en betydning! Pædagog 14

15 PÆDAGOG Lærer børn det, vi tror, de gør? Efter vi havde målt temperatur over tid og talt om plus og minusgrader og målt sne, som smeltede i et glas, spurgte jeg børnene: Hvornår begynder sneen så at smelte? På onsdag, svarede Ida og så kunne vi voksne tænke over vores måde at spørge på. TAL OG TÆLLING VI MÅLER TEMPERATUREN HVORNÅR SMELTER SNEEN? Ud fra dette spørgsmål fra et barn planlagde vi en aktivitet med fokus på at lære børnene, at det er muligt at måle temperaturer. Vi kiggede først på et termometer og talte med børnene om, hvad de allerede vidste om sådan et. Vi talte blandt andet om, at det kunne måle temperaturen, og at der findes både plus og minusgrader. Børnene gik derefter i gang med at tegne deres eget termometer. Et barn spørger: Hvorfor er der de tegn foran tallene? Pædagogen forklarer, at tegnene er plusser og minusser. Det røde er varme, altså plusgrader, og det blå er kulde altså frostgrader. Et andet barn spørger: Hvorfor er der ikke et tegn foran nul grader? Pædagog: Det er fordi, at nul grader ligger lige i midten, så det er hverken plus eller minus. Efter aktiviteten tæller vi hver dag, hvor mange streger vores udendørs termometer viser over eller under nul, og børnene tegner målingen ind på deres termometer. Vi måler også temperaturen i et glas med sne og holder øje med at det smelter. Vi er nu i gang med at måle mange andre ting fx os selv, frosne ting, radiatorer m.m. Vi tænker også at give børnene en tælle og måleopgave med hjem, som vi vil tale med børnene om i vores samling. REFLEKSION OVER LÆRING I EKSEMPLET Her bruger pædagogerne en undersøgende tilgang, som understøtter børnenes nysgerrighed. De spørger til børnenes viden og bruger børnenes spørgsmål til at udvikle aktiviteten. Børnene får erfaringer med, at noget er koldt og varmt, og at dette kan måles. De tæller og registrerer tal ved at knytte talord til genstande som tælles i dette tilfælde streger på termometeret. Tallinjen med negative tal er generelt for vanskeligt stof til denne aldersgruppe. Da termometret er en del af børnenes hverdag, kan det alligevel være rimeligt at tale om, hvordan det anvendes. Hvis man kan observere, at et barn i 4-5 års alderen kan svare på antallet efter at have talt fem ting, så er mange vigtige komponenter i barnets talbegrebsudvikling på plads. Nu ved barnet, at sidstnævnte talord angiver antallet i den talte mængde. 15

16 PÆDAGOG Hvis jeg har fuldstændig fokus på børnene i aktiviteten, så er de nemme at fastholde. Hvis jeg slipper det lidt, mister de hurtigt koncentrationen. Ved selv at deltage fysisk, har jeg større succes med at fastholde børnene, end hvis jeg bare sidder og kigger på. MATEMATISK SPROGLIG OPMÆRKSOMHED MED VUGGESTUEBØRN Børnene og jeg bygger en bane. Børnene hjælper til med at tage de ting frem, vi skal bruge. Mens vi gør det benævner jeg tingene i forhold til deres størrelse, farve og form. Fx siger jeg: Nu tager vi en lange stang Eller jeg spørger et barn om han vil tage den runde form. Vi taler om farverne på tingene og sætter dem sammen, så de danner en bane. Vi taler om at vi skal gå på line og gå oven på banen, kravle over stangen og hoppe ned på gulvet. Vi talte også om at vi skulle sætte stangen højere op og at vi nu skulle kravle under stangen. REFLEKSION OVER LÆRING I EKSEMPLET I sådan en aktivitet er der mulighed for at tale om mange forskellige matematiske begreber og koble dem til barnets eget sprog. Med børnehavebørn kan det matematiske sprog udvides ved at bruge ord om forholdet mellem genstande fx hvem har længere eller de længste ben? Eller Per er højere end My. Det kan også være at benævne og få erfaringer med, at noget er i midten af noget. Udover at aktiviteten giver mulighed for at bruge et matematisk sprog, så styrkes barnets erfaring med begreberne yderligere, fordi barnets erfaring også kropsliggøres. Barnet kravler selv over og under, mens vi taler om det. Børn kan bedst gøre sig erfaringer, når begreberne bliver tydelige og visuelle i dagligdagen, i sociale situationer, i rutinesituationer og gennem leg og samtale. Matematisk sprog i hverdagens rutiner i en vuggestue et eksempel Til frokost får vi suppe serveret i en stor skål. Børnene har små skåle, de spiser af. Måltidet er næsten slut, og jeg sidder med de tre sidste børn ved bordet og skraber resterne fra de andre børns skåle sammen i en af de små skåle. Victor peger og siger: Lille skål. Ja, svarer jeg, det er en lille skål. Er der også en stor skål?, spørger jeg. Der siger Maluka og peger på skålen. Lille kande siger Victor og peger på den lille kande, som børnene bruger. Stor kande siger Rose og peger på den store kande med vand. Nu går der sport i den. De skiftes alle tre til at finde store og små ting. Stor ske (opøserskeen), lille ske (dem børnene spiser med). Stort billede, Lille billede osv. osv. 16

17 PÆDAGOG Det er vigtigt, at vi som voksne opfordrer børnene til selv at finde løsninger, og at vi italesætter deres løsninger og kan guide, hvis de kører fast. VI BYGGER ET TÅRN BØRN RÆSONNERER OG LØSER PROBLEMER I LEG To piger begynder en morgenstund at bygge et tårn af de store gummiklodser. De samarbejder om at hente og stable, og da tårnet på et tidspunkt får overbalance, hjælper de hinanden med at samle det igen. Pigerne taler om, hvilke klodser de skal bruge og vælger de halve og skrå fra fordi de passer ikke. De taler om, at tårnet bliver højere og højere, og de finder ud af, at en af dem må holde, mens den anden stabler. Nu kan jeg ikke nå mere, siger Margrethe. Det kan jeg, jeg er større end dig, siger Juvia. Så kan jeg sætte dem på, mens du holder. Ja, det er rigtigt, du er højere end Margrethe, siger Gitte (pædagog). Pigerne stabler videre, mens de snakker om, hvor høj den nu er Nu kan jeg heller ikke nå mere, siger Juvia. Hvad kan I så gøre, spørger Gitte. Vi kan hente en stol at stå på, siger Margrethe. Det var en god løsning, så kan I nå endnu højere op, svarer Gitte. De henter begge to en stol, som de stiller sig på og stabler videre. De skiftes til at hente klodser, så stabelen ikke vælter. Den er højere end mig, siger Margrethe, men jeg kan stadig nå. Der kommer flere børn til, som begynder at hente klodser til dem, mens de snakker om, at tårnet er højt: Helt op til loftet, siger en af de mindre drenge. Nu bliver det svært at nå igen på trods af stole. Hvad kan I så gøre, spørger Gitte. Bente (anden pædagog) kommer ind på stuen. Bente kan nå, konstaterer børnene. Hun kan nå højere end tårnet. Bente træder til og hjælper med at sætte klodser op og støtte tårnet. De bygger tårnet næsten helt op til loftet, og så vælter det til stor begejstring for børnene. Der startes på et nyt tårn, og legen har nu involveret flere af børnene på tværs af aldersgrupper. REFLEKSION OVER LÆRING I EKSEMPLET Børn har brug for at stille spørgsmål og udforske sammenhænge og søge forskellige løsninger. Der findes mange daglige udfordringer, som børn løser med uformelle strategier. I eksemplet opfordres børnene til selv at finde løsninger, og pædagogen italesætter børnenes løsninger. Pædagogen guider kun, hvis det er nødvendigt for legen. Børnene får derfor en chance for at konfrontere deres egen måde at tænke på med, hvordan andre børn tænker, når de handler eller forklarer og argumenterer for deres opfattelse. En videreudvikling af legen kan være at måle, hvor høje børnene er i klodser og visualisere målingen af højden set i forhold til hinanden. Eller børnene kan undersøge, hvor mange klodser de kan nå. Pædagogen kan spørge: Hvor højt blev tårnet? Børn kunne eksempelvis svare: Så højt som fuglene flyver eller ligesom Domkirken. I så fald ville pædagogen have to mulige nye spor at forfølge: Fugle eller Domkirken. For de ældste børn i vuggestuen kan matematisk opmærksomhed og ræsonnement handle om, at børnene lærer, hvilket overtøj der er brug for i regnvejr eller lægge legetøj rigtigt på plads. 17

18 REFLEKSIONER HOS EN PÆDAGOG UNDERVEJS I FORLØBET Mens vi ordner billederne, finder børnene mange former, og de er meget optaget af det. Måske skulle vi prøve at flytte vores eftersøgning af former udenfor på en gåtur eller på legepladsen: På jagt efter former i nærmiljøet! Hvor mange kan vi finde? Børnene kunne også finde en ting hjemme sammen med far og mor, som de kan tage med og vise frem og fortælle om SAMLING MED FOKUS PÅ FORM OG RUM MED BØRNEHAVEBØRN Vi sætter os på det runde tæppe, og pædagogen tager en grøn cirkel op af posen. Hvilken form, tror I, den har? spørger pædagogen. Det er en cirkel, siger Emil. Den er rund, siger Elias. Pludselig får Lærke øje på tæppet og siger: Der er også cirkler på tæppet. Vi taler om, at der er mange runde former, og at en rund form også kaldes for en cirkel. Bagefter finder vi en firkant og en trekant frem og tæller siderne på dem for at være helt sikre på, at en firkant nu har fire sider, og at en trekant har tre. Da vi har set og talt om de tre forskellige former, beder jeg børnene finde nogle cirkler på stuen. Den store jagt går i gang, og der kommer mange ting frem. Nogle børn skal støttes i at finde former, og børnene hjælper hinanden. Vi lægger alle tingene, som børnene har fundet, på tæppet og taler om, hvad de har fundet, og hvor former kommer til udtryk: Hjul på biler, så de kan køre rundt, cirkler på lego som øjne, firkantede biler, en trekant på et legeur o.s.v. Pludselig får Luca øje på sin bluse under sin cardigan. Der er cirkler på, siger hun. Vi kigger alle på blusen, og derefter retter børnene deres opmærksomhed på hinanden. Hovedet er også rundt, siger Sigurd. Ja, og øjnene. Ja, og jeg har cirkler på strømpen. Vi tager billeder af cirklerne, og går ind for at printe dem ud. På turen fra stuen til pc en bemærker børnene: Døren er firkantet. Lamperne er også en cirkel. Dørhåndtaget sidder på en cirkel. REFLEKSION OVER LÆRING I EKSEMPLET I eksemplet bruger pædagogen forskellige tilgange til at give børnene erfaringer med former. Hun kombinerer matematisk opmærksomhed med en invitation til børnene om at finde andre former. Hermed inviteres børnene til at forstå, hvad det er, de ser i forskellige sammenhænge i deres hverdag. Det, at barnet bliver i stand til at genkende forskellige former og formernes positioner i rummet, hjælper barnet til at orientere sig i rummet. Barnet genkender omgivelserne og får viden om, hvor genstande befinder sig i forhold til hinanden. På denne måde skaber barnet sig en indre opfattelse af rummet. Disse erfaringer vil blive vigtige i forhold til lokalisering. Erfaringer, som barnet skal bruge i forskellige lege fremover fx Kongens efterfølger. Herudover vil aktiviteter med matematisk opmærksomhed på form og rum styrke barnets kompetencer for formgenkendelse en trædesten for læring om geometri. 18

19 PÆDAGOG I stedet for altid at gå videre i en aktivitet, så er det faktisk godt at dvæle noget mere fordybe sig. Børnene vil gerne øve sig f or at blive bedre, så hvorfor have så travlt med at komme videre? PÅ MØNSTERJAGT Vi fortæller børnene, at de skal på mønsterskattejagt på legepladsen. Først spørger vi børnene, om de ved, hvad et mønster er. Børnene siger ja, og vi taler også om, at et mønster er kendetegnet ved, at former gentages. Vi viser eksempler på mønstre på stuen for at sikre os, at alle børnene er med på, hvad de skal kigge efter, når de skal på mønsterskattejagt. Derefter begiver børnene sig på mønsterskattejagt på legepladsen og tager billeder af deres fund. REFLEKSION OVER LÆRING I EKSEMPLET At opfatte mønstre, og at skabe mønstre selv, har betydning for at skabe orden indenfor mange forskellige områder i matematikken. For børn i vuggesten kan mønstergenkendelse handle om at fokusere på rytme og bevægelse. Fx når man synger og klapper efter bestemte regler i en remse/sang. 19

20 MATEMATIK I OVERGANGEN FRA DAGTILBUD TIL SKOLE ERFARINGER FRA FORLØB MED BØRNEHUSET TROLDHØJ OG LYNGHØJSKOLEN Tal og talforståelse spiller en central rolle for børns matematiklæring. Det handler ikke bare om tælleremser og om at genkende tal, men om at det enkelte barn udvikler et solidt fundament og en dybere forståelse af talbegrebet. I et forløb på seks måneder har pædagoger i storegruppen i Børnehuset Troldhøj og matematiklærere i Lynghøjskolens klasse sat fokus på tal og talforståelse i overgangen fra dagtilbud til skole og i overgangene i skolen fra børnehaveklasse til og med 4. klasse. Formålet med forløbet har været at bringe lærere og pædagoger sammen om en matematikfaglig progression indenfor et fælles stofområde. I arbejdet søgtes udviklet deltagernes kendskab til hinandens praksis og erfaringer skulle inddrages med henblik på at skabe vellykkede overgange for børnene. OPLÆG TIL PLANLÆGNING Metodisk tog grupperne udgangspunkt i en række fagdidaktiske anerkendte planlægningsmodeller og elementer til planlægning. Det ene er en progressionsmodel udviklet af det hollandske Freudenthals Instituttet som omtales The Iceberg. I denne teori arbejder man med behovet for, at børn får forbindelse til deres erfaringsverden og en mulig mental billeddannelse som grundlag for en stilladsering af viden og færdigheder. GRADIENTERNE ER: Fra uformel (hverdagsorienteret og kontekstafhængig viden) til formel, symbolpræget matematik Fra konkret til abstrakt Fra let til svær Sammenligningen med isbjerget skyldes billedet af, at der er meget, som man ikke ser af isbjerget. Skal toppen flyde rundt på vandoverfladen, skal 9/10 have et solidt fundament, der gør, at isbjerget ikke tipper. På samme måde er der behov for, i en læring med forståelse, at fundamentet er i orden. Megen matematisk viden og færdigheder er tillært som en automatisering, som ikke har sået rødder i barnets egen verden af billeder og erfaring, hvilket kan gøre denne viden skrøbelig og ufleksibel. Den anden model tager afsæt i den amerikanske psygolog Jerome Bruners forskellige repræsentationsformer. Det er man i fx Singapores matematikundervisning stærkt inspireret af. Bruner postulerer, at individer repræsenterer ( lagrer ) sine erfaringer gennem tre forskellige lagringsmåder ( Modes of representation ): 20

21 Enaktiv repræsentation, dvs. et kunskabslager baseret på konkrete handlinger ( concrete actions ) Ikonisk repræsentation, dvs. et kundskabslager baseret på indre billeder ( inner pictures ) Symbolsk repræsentation, dvs. et kundskabslager baseret på et fleksibelt netværk af kundskabsenheder ( semantic representations ) Det er forskningsmæssigt godt belyst, at der er visse universelle trædesten i en begrebsdannelse, som de fleste børn skal have betrådt for at have et tilstrækkeligt solidt forståelsesfundament. Som tredje element indgik der en skematisk fremstilling af de faglige pointer som kunne indgå i udvikling et talforståelsesbegreb hos børn fra det femte år til det tiende år. Faglig pointe blev her defineret efter Arne Mogensens Ph.D. afhandling: Et fagligt fokuspunkt eller en faglig pointe forstås som et klart afgrænset fagligt indhold, resultat eller sammenhæng mellem centrale begreber indenfor et emne. Eksempel på brug af Isbjergmodellen og Bruners repræsentationsformer fra Lynghøjskolens 1. og 2. årgang: Over vandoverfladen formuleres læringsmålet. I planlægning af forløbet beskrives og illustreres trædestenene fra det konkrete i bunden til det abstrakte og symbolske tættest på vandoverfladen. 21

22 ANNA SANDELL, UDVIKLINGSKONSULENT ROSKILDE KOMMUNE Isbjergmodellen er en aha-oplevelse som arbejdsredskab. Når lærere og pædagoger sammen skal nedbryde og beskrive en faglig progression, så skabes en faglig samtale om matematikken og børnenes matematiklæring og trædestenene bliver synlige. Det er ikke let at nedbryde læringsmål. Hvad kommer taksonomisk før andet? Det kræver et solidt fagligt overblik. Her kan fagteamene og samarbejdet mellem lærere og pædagoger i overgangen for alvor sættes i spil. Hvis du vil vide mere kan du læse gruppernes lektionsplaner og de faglige oplæg fra Bent Lindhardt på under Matematik På Tværs PLANLÆGNING Planlægningen foregik hovedsageligt i tre grupper Pædagoger fra børnehaven og børnehaveklassen Lærere 1. klasse og 2. klasse Lærere 3. og 4. klasse Hvert klassetrin gennemførte eget projekt med følgende foci: Dagtilbud: Arbejdede med et indledende talbegreb i form af mængdegenkendelse op til 10, forbindelsen mellem talsymbol og antal og ordning af antal Bh. Klassen: Om tallenes udseende og form - tallinjen 1. klasse: Talnavne og symboler, gruppere og afrunde 2. klasse: Positionssystemet og afrunding 3. klasse: Det indledende brøkbegreb 4. klasse: Det indledende brøkbegreb 22

23 PÆDAGOGERNE, TROLDHØJ Børnene har elsket forløbet og været nysgerrige på det. De har været engagerede omkring aktiviteterne og i forbindelse med, at der skulle laves nyt materiale, har børnene været ivrige for at deltage. OPSAMLING OG REFLEKSION Den gennemførte undervisning og aktiviteterne blev fremlagt og diskuteret og gav anledning til en række observationer og refleksioner, som kan være givtige for både fagudvalg og pædagoger og lærere på andre skoler og dagtilbud at viderebearbejde: Engagementet i projektet var højt blandt de deltagende lærere og pædagoger og på mange måder bemærkelsesværdigt i relation til den korte tid og få sene møder, der var afsat til arbejdet. Der syntes ved fremlæggelsen at være et stort ønske om at få matematikken i øjenhøjde med eleverne/ børnene og at fremme læring gennem motivation. Der blev givet udtryk for stor interesse for emnet matematisk opmærksomhed i dagtilbud - både blandt pædagogerne indbyrdes og blandt de involverede ældste børn. Det var en uvant men interessant problemstilling endelig at få lov til at fordybe sig i et fagfagligt emne, som var sammenligneligt på tværs af aldersgrupper. Uvant grundet at alle andre spørgsmål trænger sig på, før man finder tid i hverdagen til en sådan diskussion. Det syntes nødvendigt, at man på skolen får en drøftelse af, hvad der er det matematiske kernestof på de enkelte klassetrin. Med henblik på at kunne definere fornuftige progressive overgange i faget. Både i samarbejdet mellem dagtilbud og skole og internt på skolen i fagteamet. Ledelsesforankring er vigtig. Brobygning mellem dagtilbud og skole og faglig brobygning i skolen skal rammesættes, målsættes og følges op. Et konkret og afgrænset fokus er et godt afsæt for pædagogiske drøftelser på tværs af dagtilbud og skole. 23

24 De fremlagte undervisningsforløb og aktiviteter var præget af en bred palet af spændende såvel konkrete, praktiske og eksperimenterende samt mere formelle matematiske aktiviteter. Der var således tydeligvis sat fokus på variation af undervisningen i relation til tidligere omtale. Det syntes dog ikke altid tydeligt, hvordan disse aktiviteter indgik i en progressionstænkning. Valget af aktiviteter var i nogle tilfælde udledt af en faglig målsætning og i faglige pointer og i andre mere præget af traditioner og lærebøger. Det synes umiddelbart vanskeligt at se de begrænsede, men centrale faglige centrale pointer i de faglige emner. Valget af opgaver og aktiviteter var - ikke i alle - men i nogle tilfælde udvalgt som et forventet krav på det pågældende klassetrin snarere end til de faktiske krav i Fælles Mål. Der bør derfor på skolerne indgå en øjenåbner for de frihedsgrader, der i kravene fra Fælles Mål for et undervisningsforløb i matematik. I den sammenhæng må det anbefales, at den pædagogiske kultur og lærerkulturen finder fælles faglige samtalefora Der blev udtalt et generelt ønske om at nå frem til en vis enighed om de arbejdsmåder og faglige foci, man har på de enkelte klassetrin. Ikke i forventningen om at alt så er klaret, men som mulighed for at sikre sammenhæng, tryghed og tilpas progression, når man kender til de typer af aktiviteter, som bliver igangsat og anvendt på de enkelte klassetrin. Som eksempel kan nævnes et ønske om, at man i børnehaveklassen har et øget arbejde med en sproglig tilgang til matematikken med fx forholdsord, målingsord osv. Og man talte om muligheden for at papirarbejdet mere var skoleverden end dagtilbud. Her skulle der være mere fokus på konkreter og erfaringer. Noget som skolen med fordel kunne trække mere ind i undervisningen. PROJEKTETS RAMMER Fire møder af ca. 2½ times varighed med alle projektets deltagere sammen med lektor Bent Lindhardt UCSJ og udviklingskonsulent Anna Sandell. Projektgruppen bestod af ca deltagere pr. gang med repræsentanter fra aldersgrupperne: Storegruppen i Børnehuset Troldhøj, Bh. klasseledere/assistenter samt matematiklærere fra klasse. Ledelsen fra såvel Troldhøj som Lynghøjskolen var repræsenteret i projektgruppen. De deltagende lærere og pædagoger forpligtede sig på at planlægge, gennemføre og evaluere et forløb på ca. 4-5 lektioner/timer. De fremstillede forløb skulle beskrives og dokumenteres. Gruppen skulle på baggrund af arbejdet levere anbefalinger til materialet Matematik På Tværs. Forløbet skulle indeholde undervisning om/erfaringsdannelse af børns/elevers talforståelse set i lyset af en mulig progression i det matematiske indhold og arbejdsmåder. 24

25 25

26 MATEMATIK SOM FAG I SKOLEN AF BENT LINDHARDT, LEKTOR I MATEMATIK UCSJ Det er helt centralt for læreren at kunne etablere og opretholde en balance mellem på den ene side de faglige færdigheder og den faglige viden, som er grundlaget for kompetencerne, og på den anden side elevernes udvikling af disse generelle matematiske kompetencer. Hvis man opfatter skolefaget matematik som en række procedurer og paratviden ud fra en tolkning af faget som noget afrundet og fastlagt, så kan tanken om at øve sig til læring være en væsentlig faktor i læringssynet. Det vil ofte følge af holdninger som; øvelse gør mester ; jo flere gange du prøver, desto bedre sidder det fast osv. En læringstilgang som gennem tiden har været meget udbredt, og som læner sig op af behavioristisk læringsteori. Denne tænkning gør det i højere grad muligt at planlægge sig til at opbygge viden hos den lærende, idet det opfattes nagelfast, hvad man skal lære, og hvilke handlinger eleven udfører, som er de rigtige. Det ses tydeligt, når fx eleverne skal gennemføre en klassisk reduktion af algebraiske udsagn eller når man ønsker, at eleverne skal tilegne sig en bestemt multiplikationsalgoritme eller lære at bruge en vinkelmåler. Man kunne lidt forsimplet tale om at træne sig til viden. Problemet med denne viden er, at den ofte ikke har fæstnet sig i en personlig tilegnelse - det bliver til en vis grad overfladeviden som - hvis ikke det overindlæres - kan have begrænset levetid og erindring. Der tales i denne sammenhæng ofte om instrumentel læring. I denne tænkning kan man dele stoffet op i uendelige små enheder, som eleven gradvist tygger sig igennem. Hvis man opfatter matematik som et problemløsningsfag, hvor matematik kan have mange svar og udformninger, hvor den matematiske virksomhed er mere central, er man mere orienteret mod konstruktivistiske teorier om læring som forståelse. Teorier som påpeger, at hvis viden skal forstås, skal den lærende ikke kun være en modtagende part, men en aktiv deltagende part. Der skal så at sige opstå et møde mellem lærer og den lærende, hvor forstået viden opstår i en form for samvær. En forstået viden, som desværre ikke kan planlægges med samme akkuratesse som den første tilgang til læring, idet man ikke helt ved, om det faglige, der er i spil, bundfælder sig eller ej. Hvis det viser sig, at undervisningen igangsætter en aktiveret viden, kan der opstå den såkaldte AHA-oplevelse - en speciel følelse af lethed og behag, idet det nye stof pludseligt finder indpas i den lærendes erindring. Det giver selvfølgelig konsekvenser for planlægningen, idet en del af læringen opstår i nuet, hvilket indeholder en større uforudsigelighedsfaktor og kan være vanskelig at planlægge. I denne sammenhæng er der et særligt fokus på sproget og dialogen i læreprocessen. Mange fagdidaktikere har efterhånden påpeget, at sprog og forståelse er stærkt knyttet til hinanden. 26

27 Læs også om Børnehuset Troldhøj og Lynghøjskolens første erfaringer med at arbejde med overgangen fra dagtilbud til skole med særligt fokus på børnenes matematiklæring på side 20. Lidt forenklet kan man således tale om to forskellige syn på læring. Pointen er, at det ene ikke skal udelade det andet. Der er undervisningsaktiviteter, som mere appellerer til det ene læringssyn frem for det andet. Skal man lære sig nødvendig paratviden, som fx gangetabellen, så kan gentagelse og overlæring til at fremme hukommelsen være en god idé, mens evnen til at problemløse og forstå matematiske begreber gør den konstruktivistiske og dialogiske tilgang mere relevant. Som supplement til en færdighedsorienteret UDFORDRINGER TIL LÆREPROCESSEN matematikundervisning er der brug for, at Det er en hovedudfordring for læreren at kunne udfordre den enkelte eleverne tilstrækkeligt ofte oplever matematik elev eller gruppe af elever i den nærmeste udviklingszone i en given som et fag til forståelse og løsning af problemer læringssituation. Det forudsætter imidlertid, at eleven/eleverne kan få både i forhold til virkeligheden uden for rum til deltagelse i et tempo og et fagligt niveau, som er afpasset - samt skolen og inden for matematikken selv. at eleven har en motivation for arbejdet. Det er derfor befordrende for læring, hvis eleven kan se det meningsfulde og/eller interessante i sin læring. Ikke nødvendigvis lystbetonet meningsfuldt, men som væsentligt og relevant i forhold til en situation, hvor matematik bruges til noget. Læreprocesser i matematik kan have særligt stærke følelsesmæssige aspekter. Risikoen for at udvikle aversion over for faget må ikke underkendes. Elevens faglige selvtillid synes som en af de mest centrale barrierer for læring i faget og som faktor til at udvikle vanskeligheder i matematik. Elever med talent for matematik kan også have vanskeligheder - men her gør det modsatte sig gældende - de mangler udfordringer, som modsvarer deres intellekt. 27

28 MATEMATISK OPMÆRKSOMHED I SFO ERFARINGER FRA MARGRETHESKOLENS SFO Som pædagoger i SFO kan vi bevidst fokusere på matematisk læring og støtte et barn, som har brug for træning og motivation i forhold til matematikken. Der indgår matematik i sammenhænge med spil, værkstedsaktiviteter og idrætslege derfor vil børnene mere eller mindre bevidst udvikle matematiske færdigheder, når de deltager i SFOens aktiviteter. Det kan vi understøtte og arbejde pædagogisk med. RIDDERSPILLET Der er matematik i mange af SFOens aktiviteter og i børnenes egne lege. Margretheskolens SFO har udviklet Ridderspillet med udgangspunkt i en gruppe børns eget projekt. Pædagogen Martin Lynge Nielsen havde gennem en periode observeret en gruppe drenge, der var meget fascineret af riddere og lavede deres eget spil. Den første version af spillet var et stykke karton med et landskab på, et par hjemmelavede brikker og en terning. Det var simpelt, men samlede en stor skarre af børn hver gang det blev taget frem. Inspireret af dette, satte Martin sig for, med afsæt i børnenes fascination af riddere og eventyrlyst, at udvide spillet. Martin blev hurtigt optaget af, hvordan man med den rette tilgang og forholdsvis simple midler kan lave aktiviteter, hvor børn fordyber sig i flere timer af gangen. Og især fascineret af den måde hvorpå de rollespilsbaserede aktiviteter formåede at inddrage matematikken uden at miste børnene. Ridderspillet er bevidst designet til at arbejde med matematiske skøn. Spillet handler i høj grad om at vælge sine kampe. Børnene skal omsætte tal til praksis ved at foretage skøn. Når de ser, hvor mange point monsteret har, skal de vurdere, om det kan betale sig at tage kampen op eller ej. De skal prioritere udstyrs-kortene og vurdere kortenes værdi i forhold til den situation, de er i eller i forhold til om de skal sælge eller byde på nye kort. PÆDAGOGER, MARGRETHESKOLENS SFO SFO en tager udgangspunkt i børns behov for leg, beskæftigelse og frihed til at vælge meningsfulde aktiviteter. Børnene vil gerne udfordres på deres nysgerrighed og på de felter, der giver mening for dem. Derfor vil læring ofte være implicit i børns aktiviteter. Når pædagogen er undrende og nysgerrig, eksperimenterer og skaber, smitter det af på børnene. Og pædagogen bruger sin faglighed ved at observere børnene og udfordre dem ud fra nærmeste zone for udvikling - børnene får hjælp i dag, så de selv kan i morgen. Fritidspædagogikken støtter og opmuntrer til nysgerrighed og eksperimenteren. Pædagogen er åben over for børnenes ideer og viser, at deres ideer er værdifulde. Børnenes kreativitet understøttes i dialogen med de voksne og børnene udfordres til at undres. I dialogen opfordres de til nye muligheder og viden om, at der kan være flere løsninger på et problem eller en opdagelse. Nysgerrighed og undren er nøgleord. 28

29 BØRNENE SKAL HELE TIDEN FORHOLDE SIG MATEMATISK: Lægge antallet af røde hjerter fra udstyrs-kortene sammen og fysisk tage samme antal røde livsbrikker. Lægge antallet af gule sværd fra udstyrs-kortene sammen og fysisk tage samme antal gule terninger. Tælle antallet af krydser på de gule terninger efter de er kastet og sammen komme frem til, hvem der har flest. Forholde sig til differens f.eks. når de skal vurdere, hvor meget stærkere et monster er end dem selv. Lægge til, når et stykke udstyr giver en bonus (f.eks. et ekstra antal gule kamp-terninger). Trække fra, når spilleren mister livsbrikker og vil vide hvor mange livsbrikker, der er tilbage eller når specielt udstyr giver ekstra skade. Vurdere hvilke udstyrskort de vil af med, når de taber en kamp på baggrund af kortenes forskellige værdier. Skøn: Kan det betale sig at snige sig med 2/6 chance for succes, når der ligger et udstyrskort, der ikke er bedre end det, jeg allerede har på min spilleplade? Men jeg kan måske sælge det på auktionen senere? Dragen har godt nok flere liv end mig, men jeg er stærkere, så jeg burde vinde flere runder i kamp end den... Alt foregår med fysiske brikker og terninger, for at gøre det muligt for de yngste børn og dem, der har svært ved at regne, at tælle sig frem og stadig spille spillet på lige fod med dem, der regner godt. Ideen var fra starten, at børnene med tiden selv skulle kunne styre spillet uden voksenhjælp. Dette er blevet en stor succes og spillet er konstant i brug i Margretheskolens SFO. De har endda måttet kopiere spillet, så de nu har to ridderspil! FAKTA OM RIDDERSPILLET Spillet er inspireret af rollespil, men er langt fra et rollespil. Man spiller ingen rolle som sådan, men tager på et systematisk og relativt simpelt eventyr, hvor man finder guld og udstyr og kæmper mod alt fra forvoksede kødædende planter til ildspyende drager. Spillet spilles af 1-9 spillere (ja, nogle børn har faktisk spillet det alene): En spilstyrer (garvede spillere kan spille uden) Fire spillere (når pædagogen spiller med børnene, kan der være to børn om hver spiller) Læs hele spilbeskrivelsen på under Matematik På Tværs 29

30 FAGDIDAKTIK OG MATEMATIK BRUG AF IPADS I UNDERVISNINGEN ERFARINGER FRA ØSTERVANGSSKOLEN OM PROJEKTET: Østervangsskolen gennemførte i efteråret 2015 et udviklingsprojekt med fokus på udvikling af matematikundervisning gennem integration af it med særlig fokus på brug af ipads. Projektet havde deltagelse af seks matematiklærere fra skolen samt Morten Blomhøj, der medvirkede i projektet som underviser og vejleder for lærerne. Udviklingsprojektet er initieret og finansieret af Roskilde Kommune som led i en generel satsning på udvikling af matematikundervisningen i kommunen. Projektleder Carsten Wolfgang fra Roskilde Kommune har i samarbejde med skolens ledelse, repræsenteret ved viceskoleleder Kasper Broeng, udstukket de tids- og indholdsmæssige rammer for udviklingsprojektet. Projektet var således forankret både i skolen og kommunen. Flere af kommunens skoler har gennem de seneste fem år deltaget i udviklingsprojektet, som skræddersys til den enkelte skoles behov og rammer. I skoleåret 2016/2017 deltager Klostermarksskolen. Projektet omfattede seks workshops af hver tre timer samt lærernes udvikling, afprøvning og evaluering af to it-baserede undervisningsforløb i deres egne klasser. Den overordnede metode til udvikling af forløbene har været en tillempet form for lektionsstudier, hvor lærerne i samarbejde har udviklet, afprøvet og reflekteret over lektioner og forløb i relation til deres egen undervisning. De seks workshops forløb som en vekselvirkning mellem (1) fagdidaktiske oplæg med inspiration til forskellige typer af forløb, anvendelse af it samt om brug af lektionsstudier til udvikling af egen undervisningspraksis; (2) parvis planlægning af eksemplariske undervisningslektioner/-forløb med sparring; (3) tilbagemeldinger fra gennemførte lektioner oftest med udgangspunkt i elevproduceret materiale i forskellige former på ipaden; samt (4) fælles refleksioner over lektionerne med fokus på udviklingsmuligheder og diskussion af didaktiske problemstilling i tilknytning hertil. Projektet omfattede matematikundervisning i såvel indskolingen, mellemtrinet og overbygningen. Lærerne og deres klasser havde forud for projektet nogen erfaring med at bruge ipads for nogles vedkommende også i matematikundervisningen. Alle elever på skolen får udleveret en ipad ved start i 0. klasse. 30

31 Charlotte præsenterer en side om tallet tre i en af elevernes talbog fra et forløb i 0. klasse. EKSEMPEL PÅ UNDERVISNINGSFORLØB: Basal talforståelse og repræsentationer af tal På 0. klassetrin blev der arbejdet med et forløb om elevernes basale talforståelse, brug af talsymbolerne som repræsentationer af tallene og af simpel addition, samt brug af konkrete fysiske repræsentationer af tallene. Der blev arbejdet med de naturlige tal primært i intervallet Forløbet har følgende specifikke læringsmål for elevernes talforståelse og brug af tal inden for talområdet 1-10: Eleverne skal lære at kunne: forbinde talsymbolerne med antal i tale og skrift bruge tallene til antalsbestemmelse i tale og skrift repræsentere tallene ved talsymboler og med konkrete objekter bruge tallene og deres talsymboler ved simpel addition Samtidig var det et mål at styrke elevernes kommunikationskompetence med henblik på at bidrage til fase 1 målet på 1. klassetrin: Eleven kan deltage i og har viden om mundtlig og visuel kommunikation med og om matematik, herunder med digitale værktøjer ORGANISERING AF FORLØBET Under første afprøvning blev der arbejdet med skrivning af talsymbolerne, tallenes rækkefølger, og med at eleverne skulle anvende talsymbolerne til at angive antallet af konkrete eller tegnede genstande i forskellige situationer. Arbejdet foregik fortrinsvis i klassen. Forløbet under anden afprøvning var primært styret gennem krav til det produkt, som eleverne hver især skulle frembringe. Eleverne blev introduceret til appen Book Creator, og fik til opgave over en periode på to uger at fremstille deres egen talbog. I bogen skulle hvert af tallene 1-10 have sin egen side med fire felter: Et felt til talsymbolet, et felt til billeder af opstillinger eller samlinger af genstande i et antal svarende til tallet; et felt med et billede af tallet repræsenteret ved et tilsvarende antal centicubes (gerne bygget sammen på forskellige måder); og endelig et felt med regnestykker, hvor tallet indgik. 31

32 LÆRINGSUDBYTTE OG -POTENTIALE Alle eleverne fik produceret en talbog. Det var dog ikke alle, der nåede helt til tallet 10. Eleverne fik alle styrket deres kompetencer til at bruge deres ipads til dokumentation af deres arbejde. De fremstillede selv forskellige repræsentationer af tallene ved hjælp af centicubes og med genstande, som de selv valgte, og brugte deres ipads til at tage billeder af deres egne opstillinger. Det forhold, at børnene skulle samle deres billeder i en e-bog i Book Creator hjalp dem til at strukturere processen og til at overskue og kommunikere om deres eget produkt. Eleverne var stolte over deres talbøger, som de kunne bladre i på deres ipads. På grundlag af børnenes talbøger kan forløbet vurderes til at have bidraget til opfyldelse af læringsmålene for alle elever. Viser to sider fra en af elevs talbog. Det stærkt personlige præg er typisk for talbøger. Det er oplagt, hvordan elevens forskellige repræsentationer kan bruges som udgangspunkt for at udfordre den enkelte elev fx til at skrive regnestykker, der giver 7 ud fra de to repræsentationer af 7, som eleven har bygget i centicubes. Talbøger kan naturligvis også bruges i klasseundervisning. 32

33 Eksempler på talbøger blev fremlagt og diskuteret i klassen. Det gav muligheder for at udfordre børnene faglig på forskellig måde: Hvordan er det nu talsymbolerne ser rigtigt ud og spejlvendt?; Hvad kan tallet betyde nummeret i rækkefølgen af de naturlige tal eller antallet af noget; Hvordan får man det næste tal? - ved at tage det, der kommer efter i rækkefølgen (tælleremsen) eller ved at lægge 1 til det tal man har, ved at bladre i talbogen; Kan tallet skrives på andre måde? (som summen af andre tal to eller flere tal, fx 4 = ); Er 1+2 det samme som 2+1; Hvordan kan summen af to tal (eller flere) vises/ tegnes med genstande? Kan tallet bygges på andre måde med centicubes? På hvor mange forskellige måder kan man bygge 4?; Hvordan ser de lige og de ulige tal ud, hvis de skal bygges med to rækker af centicubes, der er så tæt på at være lige lange, som de kan blive? Alle disse fagligt relevante spørgsmål kan stilles med udgangspunkt i børnenes talbøger. De blev naturligvis ikke alle sammen taget op i forløbet og flere af dem passer nok også bedre til 1. eller 2. klasse. Talbøgerne kan imidlertid let bruges som resurse ved senere forløb om tallene og deres egenskaber og derved skabe en positiv effekt hos børnene som udgangspunkt for videre læring. Hvis du vil vide mere så læs Nadia Serina Kaimers erfaringer med brug af ipads i undervisningen i indskolingen i tidsskriftet Matematik, nr Karina er lærer på Østervangsskolen og har deltaget i udviklingsprojektet. 33

34 DIGITALISERING OG UNDERSØGENDE MATEMATIKUNDERVISNING ERFARINGER FRA MATEMATIKPROJEKTET ROSKILDE NY NORDISK SKOLE AF MORTEN BLOMHØJ, RUC OM MATEMATIKPROJEKTET: Matematikprojektet er organiseret og gennemført i perioden januar 2013 til januar 2015 inden for rammerne af Roskilde Ny Nordisk Skole, der har omfattet tre parallelt organiserede udviklingsprojekter i dansk, engelsk og matematik. Alle tre projekter har involveret samarbejde mellem lærere ved grundskolerne Lynghøjskolen og Sankt Josef Skole samt ved Himmelev Gymnasium. Matematikprojektet har over hele projektet involveret samarbejde mellem 16 matematiklærere fra grundskolen med klasser fra og 4 gymnasielærere med 1. og 2. g klasser. Projektet skulle omfatte udvikling, gennemførelse og evaluering af tre undervisningsforløb i de deltagende læreres egne klasser. Et af målene med Matematikprojektet var at bidrage til, at lærerne kan inddrage IKT i deres matematikundervisning med henblik på at fremme elevernes motivation for matematiklæring og støtte specifikke læringsmål ved hjælp af IKT. Et andet mål har været at styrke elevernes motivation for og læringsudbytte gennem undersøgende matematikundervisning. Arbejdet med disse to mål har spillet fint sammen i projektet. Der har i alle tre afprøvninger været arbejdet med anvendelse af generelle IKT-værktøjer som motivation for og støtte til elevernes faglige produktion og kommunikation. Forløbene har i høj grad været styret gennem krav til elevernes IKT-baserede produktioner. I alle forløb har der været arbejdet med anvendelse af matematikspecifikke IT-værktøjer med henblik på at udvikle elevernes kompetence til selvstændigt at kunne bruge sådanne IT-værktøjer ved problemløsning i undervisningen og ved prøver, og som læringsredskab til støtte for deres begrebsforståelse. Overordnet kan man se Matematikprojektet som et bidrag til integration af IKT i matematikundervisning. En sådan integration indebærer, at relevante IKT ressourcer er tilgængelige for eleverne og for læreren i og uden for undervisningen, fastlæggelse af undervisningens indhold og mål for elevernes læring sker under inddragelse af mulighederne for anvendelse af IKT, brugen af IKT støttes og styres i forhold til didaktiske overvejelser af klare faglige læringsmål, IKT indgår i elevernes daglige arbejde med matematik som redskab til såvel beregning, undersøgelse, og kommunikation der etableres læringsmiljøer, hvor eleverne fleksibelt kan anvende IKT i undersøgende arbejde, bedømmelse og vurdering af elevernes udbytte sker under relevant inddragelse af IKT. 34

35 Integration af IKT i matematikundervisning er således et komplekst didaktisk problemfelt som involverer mange forskellige elementer af det didaktiske system: IKT - DIDATISK REDSKAB REGEL- OG PRØVE SYSTEMER Elementer i det didaktiske system, der har væsentlig betydning ved integration af IKT i almen matematikundervisning. LÆRERNES VIDEN OG HOLDNINGER ELEVERNES BAG- OG FORGRUND INTEGRATION AF IT I MATEMATIK- UNDERVISNING SKOLEKULTUR OG ØKONOMI IKT I SAMFUND OG ARBEJDSLIV IKT I ELVERNES HVERDAG IKT I MATEMATIK OG -UDDAN- NELSE Man kan godt fremme inddragelsen af IKT i matematikundervisning gennem de officielle ordninger for faget og via krav i prøvesystemet, men hvis man ønsker at fremme integration af IKT i matematikfaget i ovenstående betydning kræver det, at der skabes balance i det didaktiske system. Det vil sige, at der skal skabes balance og sammenhæng mellem de kompetence- og læringsmål, som undervisningen skal fremme, de undervisningsmæssige resurser herunder IKT og navnlig tid der er til rådighed, lærernes faglige og fagdidaktiske kompetencer, og sidst men bestemt ikke mindst det prøvesystem, som anvendes til bedømmelse af elevernes udbytte. 35

36 MATEMATIKPROJEKTET HAR PÅ DETTE OMRÅDE GIVET ET VÆSENTLIGT BIDRAG TIL I HVERT FALD DE FLESTE DELTAGERES UDVIKLING I FORHOLD TIL: MATEMATISK VIDEN: Viden om hvilke aspekter af de matematiske begreber, der kan understøttes med IKT, og om de faglige udfordringer, eleverne kan møde i IKT-baseret arbejdet i relation til de udvalgte faglige emner. DIDAKTISK VIDEN: Viden om tilrettelæggelse og gennemførelse af IKT-baseret matematikundervisning. Læreren må kunne forestille sig, hvordan eleverne vil arbejde med et program i den givne kontekst, hvilke udfordringer det vil medføre, samt hvordan man kan støtte og udfordre forskellige elever i undersøgende forløb. EN MULIG FAGOPFATTELSE: Matematik handler om at opdage og beskrive fænomener ved hjælp af matematiske begreber og metoder, samt at undersøge og forklare sådanne fænomener gennem ræsonnementer, beviser og modellering. EN MULIG LÆRINGSOPFATTELSE: En læreproces i matematik indebærer, at den lærende på grundlag af egen viden og erfaringer, og under indflydelse af interaktion med andre, konstruerer kognitive strukturer, der giver mening til, og som strukturerer den lærendes matematiske aktiviteter. Læring i matematik forudsætter altså, at den lærende er matematisk aktiv. OPFATTELSE AF OG HOLDNING TIL UNDERVISNING: Matematikundervisningens hovedopgaver er at tilrettelægge og organisere situationer, hvor eleverne gennem deres faglige aktiviteter og interaktive samspil med hinanden og med læreren kan konstruere relevant faglig viden. På grundlag heraf må læreren søge at støtte opbygningen af en fælles faglig læring i klassen. OPFATTELSE AF OG HOLDNING TIL IKT I MATEMATIK: Avancerede matematikprogrammer er stærke redskaber til at anvende, udforske og kommunikere om matematik. Brugen af sådanne redskaber påvirker såvel det faglige indhold som undervisnings- og læringsprocessen og må derfor overvejes nøje i forhold til undervisningens læringsmål. 36

37 UNDERSØGENDE MATEMATIKUNDERVISNING I PRAKSIS Hvordan kan man som lærer arbejde med undersøgende tilgange i matematikundervisningen i praksis? Til støtte herfor blev følgende tredelte grundstruktur for undersøgende formål præsenteret og diskuteret med lærerne: 1. ISCENESÆTTELSE AF FORLØBET OVER FOR ELEVERNE INDEHOLDER overdragelse af udfordringen/problemet til eleverne etablering af et fælles sprog med eleverne om udfordringen etablering af det didaktiske miljø for arbejdet formidling af de tidsmæssige og praktiske rammer klargøring af produktkrav, bedømmelsesformer og succeskriterier 2. ELEVERNES SELVSTÆNDIGE UNDERSØGENDE ARBEJDE KRÆVER tilstrækkelig tid, frihed og støtte til, at de kan arbejde selvstændigt med problemet støtte til etablering af samarbejde mellem elever støtte og udfordring gennem dialog forberedelse gennem konstruktion af eksemplariske dialoger 3. FÆLLES REFLEKSION OG FAGLIG LÆRING MEDFØRER at erfaringer og resultater systematiseres og gøres fælles udpegning af faglige pointer i elevernes arbejde opbygning af fælles faglig viden med fælles fagsprog forbindelser og sammenkædninger af denne viden med tidligere etableret viden udpegning af nye mulige spørgsmål og undersøgelser Denne tredelte struktur har vist sig at være hjælpsom for læreres tilrettelæggelse, gennemførsel og evaluering af undersøgende forløb. Det bliver blandt andet meget tydeligt, at der for læreren er forskellige didaktiske udfordringer knyttet til hver af de tre faser. Den samlede vurdering af Matematikprojektet er, at det i ovenstående betydning har ydet et væsentligt bidrag til integration af IKT og til udvikling af undersøgende tilgange i matematikundervisningen på de involverede skoler. 37

38 ANBEFALINGER TIL FREMTIDIGE UDVIKLINGSPROJEKTER I MATEMATIK Sæt fokus på udvikling af forpligtende fagligt og fagdidaktisk samarbejde i fagteams på de deltagende skoler. Sæt fokus på udvikling af den daglige undervisningspraksis evt. gennem anvendelse af lektionsstudier. Sæt fokus på sammenhængen mellem læringsmål, bedømmelses- og evalueringsformer og faglig feedback til de enkelte elever. Styrk samspillet mellem fagdidaktisk forskning og udvikling af undervisningspraksis. Hvis du vil vide mere så læs hele forsknings- og evalueringsrapporten på under Matematik På Tværs 38

39 39

40 MATEMATIK OG ÅBEN SKOLE ERFARINGER FRA CONTROL YOUR MONEY Hvad koster det at flytte hjemmefra? Hvordan opstiller jeg et budget, og hvad skal jeg betale i skat? 8.a og 8.b på Lindebjergskolen har sammen med deres matematiklærer Helle Birk Jensen deltaget i Control Your Money. Et samarbejde mellem Roskilde Kommune og Danske Bank. VICTOR FLYTTER HJEMMEFRA Victor er 18 år og går i gymnasiet. Han drømmer om at blive læge og har et fritidsjob i Just Eat. Victor bor på kollegium på Amager og kan cykle i skole på 10 min. Fordi han bor mere end 20 km. væk fra sine forældre, får han udeboende SU, der, i Victors tilfælde, svarer til 5017 kr. om måneden. I alt har Victor en indtægt på 8016 kr. om måneden før skat. Victor er skabt af en gruppe elever i 8.a og 8.b på Lindebjergskolen. Det er med udgangspunkt i Victor, at gruppen skal lære at anvende procent til beregning af rente, bruge et regneark til at arbejde med begrebet opsparing og oprette et årsbudget i Excel. Tre læringsmål med en række konkrete tegn på læring, som elever og lærer arbejder på i forløbet. HELLE BIRK JENSEN, LÆRER PÅ LINDEBJERGSKOLEN Eleverne var rigtig glade for forløbet - særligt det at lave et årsbudget, var der stort engagement omkring. Alle elever mente, at de fik en god indsigt i, hvad det fx vil koste, hvis de om nogle år flytter hjemmefra. Andre fik også syn for, hvad tingene koster hjemme i familien. At der er noget, der hedder skat (også for studerende), at man skal betale licens, at der også skal være råd til tandlægebesøg etc. Sideløbende arbejdede vi med økonomi som en del af samfundsfag. Her blev brugt materialer fra Samfundsfaget.dk. Forløbet skydes i gang med besøg af en bankrådgiver fra Danske Bank. Jane hedder hun, og hun besøger klasserne på skolen og taler om forløbet og om de problemstillinger, klasserne skal til at arbejde med. Eleverne stiller spørgsmål og er optaget af den verden, Jane repræsenterer. Når eleverne ser Jane igen, skal de fremlægge deres projekt for hende, og det er hende, der skal give dem feedback og stille spørgsmål. Selve fremlæggelsen foregår i Danske Bank. Det lykkes alle grupper at opstille årsbudgetter for deres fiktive personer i Excel. Victors årsbudget giver et overblik over et rådighedsbeløb på omkring 1200 kr. om måneden og med en månedlig opsparing på 1000 kr. Men så er det også inklusive Netflix-abonnement, transport og forsikringer. 40

41 TORBEN STEVOLD, OMRÅDEDIREKTØR, DANSKE BANK Få inspiration til Åben Skole-forløb på Roskilde Kommunes portal: Det er en stor fornøjelse for os i Danske Bank at deltage i dette samarbejde med Roskilde Kommune. Der er professionelt, og vi mærker tydeligt, at det skaber værdi, og at eleverne har stor interesse for emnet penge. De er super engagerede i vores møde med dem og arbejder godt med stoffet. Et ønske fra vores side er endnu mere økonomi som et reelt indhold i undervisningen. Der er et udækket behov. CONTROL YOUR MONEY er et digitalt læremiddel der består af otte missioner som eleverne arbejder med i grupper, mens den praktiske del, The Real Deal, lægger op til, at eleverne sammen med læreren gennemfører et projekt i klassen, som er virkelighedsnært fx at flytte hjemmefra, hvor eleverne bl.a. skal opstille et budget som opgaveløsning. I begge forløb guides eleverne til at foretage en række valg og vurderinger begrundet i matematik og deres finansielle forståelse. Finansiel forståelse er i denne sammenhæng et udtryk for, at eleverne igennem arbejdet med emner i økonomi og matematik vurderer, prioriterer og argumenterer for de valg og løsninger, de foretager. Eleverne stilles bl.a. i situationer, hvor de skal prioritere i forhold til, hvad og hvordan de vil bruge penge. Vurderingerne kan bygge på faktiske forhold, hvor matematikken tages i brug, eller på mere subjektive forhold. Se mere på CARSTEN WOLFGANG, UDVIKLINGSKONSULENT ROSKILDE KOMMUNE HELLE BIRK JENSEN, LÆRER PÅ LINDEBJERGSKOLEN Selve fremlæggelsen var bestemt en succes. Det var godt med en konkret feedback til de enkelte grupper fra bankrådgiveren fra Danske Bank. Det var især den del af forløbet, der gav noget, vi ikke selv som skole kan give. Andre rollemodeller fra det virkelige liv. Vi er glade for, at flere og flere skoler nu deltager i Control Your Money. Det har kørt i tre sæsoner nu, og der er gode tilbagemeldinger og synlige tegn i elevernes før- og eftertest, som er en del af forløbet. Det er klart, at vi skal sikre os, at de digitale læremidler, der skal understøtte hele forløbet, er opdaterede det er ligesom forudsætningen for meget af det men det er lige så meget Åben Skole-delen af forløbet, som virker positivt og motiverende på eleverne. De møder bankrådgiveren og bankdirektøren og får konkret respons fra dem. Det betyder noget. 41

42 42

43 MATEMATIKVANSKELIGHEDER HVAD KAN VI GØRE? ERFARINGER FRA PROJEKTET MATEMATIK OG INKLUSION (MINK) Hvad vil faglig inklusion i matematik egentlig sige? Hvilke elever vedrører det og hvordan bør læreren og teamet forholde sig? Det er spørgsmål, som er blevet undersøgt i det to-årige projekt Matematik og Inklusion (MINK), som 10 matematiklærere fra fem af Roskilde Kommunes skoler har deltaget i. Lærerne udvalgte to-tre elever, som de mente kunne beskrives som elever i matematikvanskeligheder. Hvis en lærer opfattede en elev som værende i vanskeligheder var vedkommende i vanskeligheder af den ene eller den anden grund. Det betød en forskellighed i udvælgelsesprocedurer og i valg af kendetegn som var afgørende for at benævne en elev i matematikvanskeligheder. Det blev til samlet elever på 4. og senere 5. klassetrin. BENT LINDHARDT, UCSJ Det handlede om at finde veje i den kontekst, som den lærer, de elever, på det sted, i den tid havde. Projektet har således haft fokus på - gennem den enkelte lærer - at finde veje at gå for at forbedre netop disse elevers fagligt inkluderende status i klassen. Der var fra start af en tilkendegivelse af, at inkluderende undervisning var et princip, som kunne forløses i et utal af metodiske og indholdsmæssige tilgange. At finde den ene vej eller den ene metode, var således ikke projektets formål. Det handlede om at finde veje i den kontekst, som den lærer, de elever, på det sted, i den tid havde. Vi accepterede således de præmisser, som afgjorde, at klassen var sammensat, som den var, at eleverne havde de personlige, sociale og kulturelle forudsætninger, som de havde, at læreren var, som han var, at skolen havde de arbejdsvilkår og den økonomi, som den havde, at der var de politiske rammer og mål, som der var osv. 43

44 PROJEKTET BLEV LEDET I ET SAMARBEJDE MELLEM LEKTOR BENT LINDHARDT, UCSJ OG JANET MAJLUND RING, PPR ROSKILDE MATEMATIK OG INKLUSION MINK-Roskilde var et to-årigt projekt ( ) med fokus på matematik i fjerde klasse og de elever, som havde vanskeligheder i matematik. Det overordnede formål var at øge de faglige deltagelsesmuligheder i matematikundervisningen for denne gruppe af elever. FORMÅLET MED PROJEKTET HAR VÆRET TOSIDET: 1. Dels at identificere, beskrive og analysere elever som opfattedes værende i vanskeligheder i matematik samt beskrive og analysere deres deltagelse i matematikundervisningen. 2. I dialog med fagdidaktiker og lærerkollegaer beskrive og analysere egen undervisning for derudfra at videreudvikle en undervisning, som øger den faglige inklusion for elever i vanskeligheder i matematik Roskildeprojektet bestod af 10 lærere på 4. klassetrin. Alle udvalgt grundet deres tilhørsforhold på pågældende klassetrin på fem skoler i Roskilde kommune. De 10 lærere var således en blandet gruppe af unge og ældre lærere, af linjefagsuddannede og ikke-linjefagsuddannede lærere, af erfarne og mindre erfarne matematiklærere. Skolerne repræsenterede også forskellige socioøkonomiske grundlag samt en blanding mellem land- og byskole. TETRAMODELLEN -UDVIDELSE AF DEN DIDAKTISKE TREKANT Undervejs i projektet, og i deltagernes analyse og diskussion, opstod der ofte uklarhed om, hvorvidt samtalen vedrørte det matematikfaglige indhold eller om den vedrørte metodiske sammenhænge. Det resulterede i en videreudvikling af den didaktiske trekant og arbejdet med en tetramodel (se figur). Modellen er rumlig, så tegningen skal betragtes som en todimensionel gengivelse af et tetraeder. De enkelte hjørner repræsenterer centrale elementer i analyse af undervisningen, mens kanterne mellem den repræsenterer relationerne mellem disse. Modellen kan anvendes i såvel forberedelsen som i efterbehandlingen af matematikundervisningen og refleksion over dens effekt på elevernes læring. 44

45 TETRA-MODELLEN Elevens mulighed for deltagelse gennem motivation, overskuelighed, passende læringsstil, tid, hjælpemidler, tydelighed Omhandler videnskabsfagets arbejdsmåder til at skaffe ny viden fx gennem den induktive eller deduktive arbejdsmåde ELEVER Samværsformer, rollefordeling, kommunikation Elevens opfattelse af faget matematik fx stoffets udfordringsniveau, oplevet meningsfuldt, progression i begrebsopbygning, passende læremidler INDHOLD METODE Omhandler lærerens holdninger og kendskab til læring, rummelighed for deltagelse, traditioner, viden om hvad der virker Lærerens holdninger og kendskab til faget: Tolkning af læringsmål, normer for at arbejde med matematik, traditioner LÆRER 45

46 DE TI BUD Arbejdet med de relationelle linjer i tetramodellen blev et gennemgående træk i projektet. Både i arbejdet med eleverne og i de efterfølgende drøftelser og refleksioner. Det første års arbejde resulterede i, at deltagerne udpegede ti bud på, hvordan de relationelle linjer kan forbedres. De ti bud skal ikke betragtes som almengyldige, men sættes i relation til de deltagende lærere, deres elever og undervisningens rammebetingelser. Det er således et forsøg på at inddampe lærernes egenrefleksion og derigennem udpege muligheder for at øge den faglige inklusion for eleverne. De ti bud tager udgangspunkt i forslag til forbedring af en fagligt inkluderende undervisning, hvor alle elever oplever sig som deltagere i et fagligt fællesskab samt udvikler sig løbende fagligt i et demokratisk samspil med fællesskabet. BUD 1: DEN FAGLIGE KOMMUNIKATION MELLEM LÆRER OG ELEV KAN FORBEDRES Den indledende iscenesættelse i undervisningen kan være kortere (7-8 min) og holdt i et enklere sprog Klassesamtalen bør være mere dialog frem for forklaring Gestikulering og visualisering er en væsentlig del af kommunikationen Det er svært for den aktive lærer at se selv - der kan derfor være brug for kollegial observation Der er brug for mere tid til den løbende dialog med eleverne BUD 2: MAN KAN ØGE ELEVENS ERKENDELSE AF HVILKE FAGLIGE MÅL, DER ER INDTÆNKT I UNDERVISNINGEN For mange faglige elementer tydeliggørelse af need to know og nice to know Synliggørelse af mål nye veje, så det ikke bliver for tidskrævende at i talesætte Læringsmål skaber ro og tryghed BUD 3: MERE OG BEDRE LØBENDE FEEDBACK NYTTER NOGET FOR ELEVENS LÆRING Øget brug af opsamling ved et forløbs afslutning Faglige før og eftertest har en effekt Synliggørelse af elevpræstation fra hvad du kan til hvor godt du har arbejdet BUD 4: MAN KAN ØGE FOKUS PÅ KVALITETEN AF OPGAVER/AKTIVITETER FREM FOR KVANTITETEN AF OPGAVER Mere tid til fordybelse frem for gentagelser Nye emner skaber lighed i faglig deltagelse Spil giver muligheder for fagligt inkluderende aktiviteter Opmærksomhed på at der opleves et unødvendigt pensumpres 46

47 BUD 5: MAN KAN ÆNDRE RAMMERNE, SÅ ELEVEN FÅR BEDRE MULIGHED FOR AT ØGE KONCENTRATIONEN I EN ARBEJDSPROCES Tid til at lære langsomt og ro til ikke at lade sig aflede Velvalgt matematikmakker BUD 6: MAN KAN FORBEDRE ELEVERNES FAGLIGE SELVVÆRD Lærerforventninger vigtigt - man skal tro på eleven Øget direkte kontakt på 1-2 min. har tydelig effekt på elevens motivation og selvværdsfølelse Lille sejr stor effekt! BUD 7: MAN KAN ETABLERE MERE KLARE OVERSKUELIGE STRUKTURER Forudsigelighed øger trygheden Klarheden øger tilliden BUD 8: MAN KAN ØGE STILLADSERINGEN Bedre progression i form af flere trædesten og hints til eleven med vanskeligheder i matematik Differentierede informationer/hints i opgaver Øget brug af ikoniske overgange fra det konkrete til det abstrakte Fokus på ekstra lærertid i undervisningen til elever med vanskeligheder i matematik. BUD 9: MAN KAN ØGE INDDRAGELSE AF HJÆLPEMIDLER Digitale hjælpemidler øger muligheden for deltagelse for eleven i matematikvanskeligheder Mere fokus på læringspotentialet i brug af kompenserende hjælpemidler som digitale hjælpemidler og laborative materialer BUD 10: DER MANGLER BEDRE OG MERE MÅLRETTEDE LÆREMIDLER TIL MÅLGRUPPEN Enslydende oplevelse af mangel på aldersrelevante læremidler målrettet de faglige vanskeligheder 47

48 OVERGANGE I MATEMATIK FRA FOLKESKOLE TIL UNGDOMSUDDANNELSER ERFARINGER FRA DET FAGLIGE NETVÆRK OVERGANGE I MATEMATIK UNDER ROSKILDE CAMPUS Overgange i Matematik har til formål at skabe bedre faglige overgange for eleverne mellem uddannelsesniveauerne. Det er startet af Roskilde Campus, som er et netværk mellem alle uddannelsesinstitutioner i Roskilde. Målet er at skabe kendskab til og forståelse for progressionen i mål/krav, begreber og metoder i matematik på tværs af uddannelsesniveauer. Og samtidig at skabe gensidigt kendskab og netværk mellem undervisere på tværs af uddannelsesniveauerne. Undervisere i matematik på grundskoler og ungdomsuddannelser i Roskilde mødes på workshops med fælles oplæg om et matematisk emne og har efterfølgende gruppedrøftelser på tværs af uddannelsesniveauer om det konkrete emne. Mellem workshops besøger deltagerne hinandens undervisning i grupperne. Der arbejdes med at finde opmærksomhedspunkter, hvor overgangen kan være vanskelig for eleverne. Med udgangspunkt i disse punkter drøftes det, hvordan undervisningen kan tilrettelægges, så eleverne støttes bedre i overgangene. Overgangen fra grundskole til ungdomsuddannelse opleves svært for mange, hvilket kan virke demotiverende. Vi skal motivere og gøre matematikfaget relevant og overskueligt for de unge. Udvalg af netværkets udarbejdede opmærksomhedspunkter omkring faglig progression i overgangen fra folkeskole til ungdomsuddannelser: Arbejd med at lære eleverne at genkende funktionsbegrebet i forskellige sammenhænge. Sprogliggørelsen. Der er så mange forskellige måder at se på lineære funktioner: Geometrisk og algebraisk beskrivelse af en punktmængde, sum af ligefrem proportionalitet og en konstant, som model for statiske og dynamiske sammenhænge (lineær vækst) osv. Fokus på - og forståelse af - lighedstegn og af divisionstegn. Forskel på brøkstreg og : som divisionstegn. Stadig behov for basale regnefærdigheder uden hjælpemidler 48

49 NETVÆRKSGRUPPEN Det er af stor vigtighed, at eleverne i folkeskolen forstår elementerne i den rette linjes ligning (y = ax + b), og hvilken betydning de har for grafens udseende. Så længe der findes forskellige navne til begreber indenfor lineære funktioner, er det vigtigt at eleverne introduceres til dem alle (hældningstal, hældningskoefficient, stigningstal) og at de tilskrives mening gennem konkrete eksempler Eleverne skal kunne se, at funktioner kan bruges til noget. Eleverne skal lære at genkende de lineære sammenhænge i den virkelige verden og i de forskellige matematiske repræsentationer, fx når ligningen er angivet på forskellige former, og når de variable har andre navne end x og y. Matematisk sprog og prosa-sprog. Opmærksomhed på hverdagsord og formelt sprog. At kunne forklare tankegange og oversætte mellem almindeligt sprog og formelt sprog og læse (fortolke) mening ind i formelt sprog i konkrete sammenhænge. 49