. Atunci. (a), deci consideraţiile referitoare la derivabilitatea după un vector se pot practic reduce la situaţia în care vectorul este un versor.

Transkript

1 t 0 Observaţie. Fie u R n, u 0 n, v f(a+tv u ) f t u u u dv u f(a+tu) f u. Atunci du, deci consideraţiile referitoare la derivabilitatea după un vector se pot practic reduce la situaţia în care vectorul este un versor. Exemplu. Fie f : R 3 R, f(x, y, z) sin x + y + z şi u (, 1, ). Atunci 5 cos 5. du f(a+tu) f f(t,4+t,3 t) f(0,4,3) sin (0, 4, 3) 4t +(4+t) +(3 t) sin 5 Propoziţie. Dacă e i (0, 0,...1, 0,..., 0), i 1, n sunt versorii bazei canonice, atunci f. de i Într-adevăr, de i f. f(a+te i) f f(a 1,a,...,a i 1,a i+t,a i+1,...,a n) f(a 1,a,...,a i 1,a i,a i+1,...,a n) Observaţie. Funcţiile derivabile într-un punct după orice versor nu sunt neapărat continue în punctul respectiv (vezi probleme propuse). Prezentăm în cele ce urmează următoarea formă în R n a teoremei lui Lagrange: Teoremă (de medie). Fie D R n o mulţime deschisă şi convexă şi fie f : D R, o funcţie derivabilă pe orice direcţie în orice punct din D. Atunci, a, b D, c (a, b) (segmentul deschis din R n de capete a, b) astfel încât f(b) f d(b a) (c). Demonstraţie. Definim, ca şi în precedent, funcţia ϕ : [0, 1] R, ϕ(t) f(a + t(b a)), t [0, 1]. Evident, deoarece mulţimea D este convexă, atunci t [0, 1], a + t(b a) [a, b] D, deci ϕ este bine definită. Observăm că ϕ este derivabilă în orice punct din [0, 1] : t 0 [0, 1], ϕ(t) ϕ(t 0 ) f(a + t(b a)) f(a + t 0 (b a)) t t 0 t t 0 t t0 t t 0 Mai mult, ϕ (t) t t0 f(a + t 0 (b a) + (t t 0 )(b a)) f(a + t 0 (b a)) t t 0 f(a + t 0 (b a) + s(b a)) f(a + t 0 (b a)) s 0 s d(b a) (a + t 0(b a)). d(b a) (a + t(b a)), t [0, 1]. 1

2 Aplicând teorema lui Lagrange funcţiei ϕ, θ (0, 1) astfel încât ϕ(1) ϕ(0) ϕ (θ). Notând c a + θ(b a) (a, b), rezultă că f(b) f d(b a) (c). Consecinţă. Dacă D R n este o mulţime deschisă şi convexă şi f : D R este o funcţie derivabilă cu derivata nulă pe orice direcţie, în orice punct din D, atunci f este constantă pe D. Demonstraţie. Din teorema de medie rezultă că f(b) f, a, b D, de unde concluzia. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. Să amintim pentru început următoarea noţiune din cazul funcţiilor reale de o variabilă reală: Fie f : (a, b) R R şi t 0 (a, b). Funcţia f este derivabilă în t 0 dacă există şi este finită ita, care se notează cu f (t 0 ) şi se numeşte f(t) f(t 0) t t0 t t 0 derivata funcţiei f în punctul t 0. De asemenea, se cunoaşte faptul că f este derivabilă în t 0 dacă şi numai dacă f este diferenţiabilă în t 0, adică există o aplicaţie liniară T (t 0 ) : R R (numită diferenţiala lui f în t 0 ), h R T (h) f (t 0 )h R, astfel încât f(t) f(t 0) T (t t 0) t t t t Fie D R n o mulţime deschisă, F : D R m, a D (deci S(a, r) D). Este natural să dăm următoarea definiţie: Definiţie. i) Funcţia F se numeşte diferenţiabilă în punctul a dacă există un operator liniar T : R n R m astfel încât F (x) F T (x a) (D) 0. x a ii) Funcţia F se numeşte diferenţiabilă pe D dacă este diferenţiabilă în orice punct din D. Observaţie. i) Notând x a h, (D) se poate scrie sub forma echivalentă (D F (a + h) F T (h) ) 0. h 0 h { F (x) F T (x a) ii) Notând α(x) x a, x D, x a 0, x a scrie sub forma echivalentă: x D,, atunci (D) se poate (D ) F (x) F + T (x a) + α(x) x a,

3 unde α(x) α 0, sau, echivalent, (D ) F (a + h) F + T (h) + α(a + h) h, h R n, cu a + h D şi h 0 α(a + h) α 0. Definiţie. Numim diferenţiala funcţiei F în punctul a, aplicaţia liniară T : R n R m, T not df, h R n df (h) R m (diferenţiala lui F în punctul a calculată în h). Observaţie. Dacă m 1, n 1, se obţine definiţia diferenţiabilităţii (care echivalează cu definiţia derivabilităţii) pentru funcţii reale de o variabilă reală. Teoremă. Dacă există, diferenţiala unei funcţii într-un punct este unică. Demonstraţie. Presupunem, prin reducere la absurd, că există doi operatori liniari diferiţi T, S : R n R m F (x) F T (x a) astfel încât x a 0 (T S)(x a) şi 0. Atunci x a 0, adică, echivalent, F (x) F S(x a) x a (T S)(h) h 0 ( ). h 0 Pe de altă parte, deoarece T S, există h 0 R n (h 0 0) aşa încât T (h 0 ) S(h 0 ). (T S)(th Din ( ) rezultă în particular că 0) (T S)(h t 0,t>0 th 0 0, deci 0) t 0,t>0 h 0 (T S)(h 0) h 0 0, de unde T (h 0 ) S(h 0 ), contradicţie. Condiţii necesare de diferenţiabilitate. Teoremă (legătura dintre diferenţiabilitate şi continuitate). Orice funcţie F : D R n R m diferenţiabilă într-un punct a D este continuă în a. (Prin urmare, dacă o funcţie nu este continuă într-un punct, nu este nici diferenţiabilă în acel punct). Demonstraţie. Deoarece F este diferenţiabilă în a, există un operator liniar T : R n R m şi o aplicaţie α : D R n R m, cu α(x) α 0, astfel încât x D, F (x) F + T (x a) + α(x) x a, de unde, întrucât operatorul liniar T este continuu, avem F (x) F, adică F este continuă în a. Observaţie. Reciproca teoremei anterioare nu este adevărată: există funcţii continue într-un punct, care nu sunt diferenţiabile în punctul respectiv, după cum se va vedea într-un exemplu următor. 3

4 Teoremă (legătura dintre diferenţiabilitate şi derivabilitatea după o direcţie). Dacă f : D R n R este diferenţiabilă în a D, atunci f este derivabilă în a după orice direcţie u 0 şi (u) du. Demonstraţie. Deoarece a D şi D este mulţime deschisă, S(a, r) D. u R n \{0}, δ r u astfel încât t R, cu t < δ, a + tu S(a, r) D. Prin urmare, deoarece f este diferenţiabilă în a D, f(a + tu) f T (tu) + α(a + tu) tu T (u) (u) (T (u) + t α(a + tu) u ) există şi este finită, deci f este derivabilă în a după u şi (u) du. Observaţie. Reciproca acestui rezultat nu este adevărată (aşa cum am văzut deja, există funcţii derivabile după orice vector nenul, dar care nu sunt continue, deci nici diferenţiabile într-un punct). Consecinţă (legătura dintre diferenţiabilitate şi derivabilitatea parţială). Dacă f : D R n R este diferenţiabilă în a D, atunci f este derivabilă parţial în raport cu orice variabilă în a şi (h) n f h i, h (h 1,..., h n ) R n. i1 Demonstraţie. Conform teoremei precedente, f este derivabilă în a după orice direcţie u 0, deci şi după versorii bazei canonice. Există aşadar f R, i 1, n şi (e i ) de i f. Atunci h (h 1,..., h n ) R n, (h) ( n h i e i ) i1 Observaţie. Prin urmare, n (e i )h i i1 T (x a) (x a) n f h i. i1 n f (x i a i ). Observaţie. Reciproca teoremei anterioare nu { este adevărată: xy Exemplu. Fie funcţia f : R R, f(x, y) x +y 0, (x, y) (0, 0). Vom arăta că deşi funcţia f este continuă şi admite derivate parţiale în (0, 0), nu este diferenţiabilă în (0, 0). Într-adevăr, dacă am presupune prin reducere la absurd că f este diferenţiabilă în (0, 0), aceasta ar însemna că (x,y) (0,0) xy (x,y) (0,0) x +y i1 f(x,y) f(0,0) [ f f x (0,0)(x 0)+ y (0,0)(y 0)] x +y 0, adică (x,y) (0,0) 0, contradicţie, deoarece ultima ită nu există. xy x +y x +y 4

5 Condiţii suficiente de diferenţiabilitate. După cum am remarcat, continuitatea unei funcţii, ca de altfel nici derivabilitatea sa parţială într-un punct nu garanteaza diferenţiabilitatea funcţiei în punctul respectiv. Totuşi, aşa cum vom demonstra în cele ce urmează, existenţa derivatelor parţiale pe o vecinătate a unui punct şi continuitatea acestora în punct antrenează diferenţiabilitatea funcţiei în punctul respectiv: Teoremă (criteriu de diferenţiabilitate). Fie f : D R n R, a D. Dacă f este parţial derivabilă în raport cu toate variabilele pe o vecinătate deschisă V V D şi dacă toate derivatele sale parţiale sunt continue în a, atunci f este diferenţiabilă în a. Demonstraţie. Pentru uşurinţa scrierii, vom presupune că n 3. Deci a (a 1, a, a 3 ). Fără a restrânge generalitatea, presupunem că V S(a, r) D. Considerăm x (x 1, x, x 3 ) S(a, r) oarecare. Avem: f(x 1, x, x 3 ) f(a 1, a, a 3 ) [f(x 1, x, x 3 ) f(a 1, x, x 3 )]+[f(a 1, x, x 3 ) f(a 1, a, x 3 )]+[f(a 1, a, x 3 ) f(a 1, a, a 3 )]. Observăm că (a 1, x, x 3 ), (a 1, a, x 3 ) S(a, r) D, deci scrierea de mai sus este corectă. Fie ϕ(t) f(t, x, x 3 ), t [a 1, x 1 ] (sau [x 1, a 1 ]). Deoarece f este parţial derivabilă în raport cu toate variabilele pe S(a, r), rezultă că funcţia de o variabilă ϕ este derivabilă, deci şi continuă pe [a 1, x 1 ] (sau [x 1, a 1 ]). Aplicând Teorema lui Lagrange funcţiei ϕ, ξ 1 (a 1, x 1 ) (sau (x 1, a 1 )) astfel încât f(x 1, x, x 3 ) f(a 1, x, x 3 ) ϕ(x 1 ) ϕ(a 1 ) ϕ (ξ 1 )(x 1 a 1 ) f (ξ 1, x, x 3 )(x 1 a 1 ). Similar, ξ (a, x ) (sau (x, a )), ξ 3 (a 3, x 3 ) (sau (x 3, a 3 )) astfel încât în final avem 5

6 f(x 1, x, x 3 ) f(a 1, a, a 3 ) f (ξ 1, x, x 3 )(x 1 a 1 ) + f (a 1, ξ, x 3 )(x a ) + + f x 3 (a 1, a, ξ 3 )(x 3 a 3 ) f (a 1, a, a 3 )(x 1 a 1 ) + f (a 1, a, a 3 )(x a ) + + f (a 1, a, a 3 )(x 3 a 3 ) + x 3 +{[ f (ξ 1, x, x 3 ) f (a 1, a, a 3 )] x (x 1 a 1 ) + }{{ 1 } α 1(x) +[ f (a 1, ξ, x 3 ) f (a 1, a, a 3 )] x (x a ) + }{{ } α (x) +[ f (a 1, a, ξ 3 ) f (a 1, a, a 3 )] x 3 x (x 3 a 3 )}. }{{ 3 } α 3(x) Dacă x (x 1, x, x 3 ) a (a 1, a, a 3 ), atunci x 1 a 1, x a, x 3 a 3, de unde ξ 1 a 1, ξ a, ξ 3 a 3. Folosind continuitatea derivatelor parţiale în (a 1, a, a 3 ), rezultă că α i (x) 0, i 1, 3, şi, ţinând seama că xi ai este mărginit, i 1, 3, rezultă că 0. x a f(x 1,x,x 3) f(a 1,a,a 3) [ f x (a 1 1,a,a 3)(x 1 a 1)+ f x (a 1,a,a 3)(x a )+ f x (a 3 1,a,a 3)(x 3 a 3)] (x (x 1,x,x 3) (a 1,a,a 3) 1,x,x 3) (a 1,a,a 3) Prin urmare, f este diferenţiabilă în a. Definiţie. Fie f : D R n R. Spunem că f este de clasă C 1 pe D (şi notăm aceasta prin f C 1 (D)) dacă f este parţial derivabilă în raport cu toate variabilele pe D şi toate derivatele sale parţiale sunt continue pe D. Consecinţă. Dacă f C 1 (D), atunci f este diferenţiabilă pe D. Reciproca acestui rezultat nu este adevărată (vezi probleme propuse). Teoremă (de reducere la componente pentru funcţii vectoriale). O funcţie F (f 1, f,..., f m ) : D deschis R n R m este diferenţiabilă în a D dacă şi numai dacă toate funcţiile componente f 1, f,..., f m : D R n R sunt diferenţiabile în a. Mai mult, diferenţierea se face pe componente: df (h) ( 1 (h), (h),..., m (h)), h R n. Demonstraţie. F (f 1, f,..., f m ) este diferenţiabilă în a dacă şi numai dacă există un operator liniar T (t 1, t,..., t m ) : R n R m şi o aplicaţie 6

7 α (α 1, α,..., α m ) : D R n R m, cu α(x) α 0, astfel încât x D, F (x) F + T (x a) + α(x) x a, adică, echivalent, x D, f 1 (x) f 1 + t 1 (x a) + α 1 (x) x a f (x) f + t (x a) + α (x) x a... f m (x) f m + t m (x a) + α m (x) x a, unde aplicaţiile t 1, t,..., t m : R n R sunt liniare şi α i (x) α i 0, i 1, m. Aceasta înseamnă că, echivalent, i 1, m, f i este diferenţiabilă în a. În plus, T df (t 1, t,..., t m ) ( 1,,..., m ). Exemplu. Fie F : R R 3, F (x, y) (x y, xy + y, x 3 ). Să calculăm df (1, )(h 1, h ), unde (h 1, h ) R este oarecare. Fie f 1, f, f 3 : R R, f 1 (x, y) x y, f (x, y) xy + y, f 3 (x, y) x 3. Evident, f 1, f, f 3 C 1 (R ), deci sunt diferenţiabile pe R şi în consecinţă F este diferenţiabilă pe R. 1 (1, )(h 1, h ) f1 x (1, )h 1 + f1 y (1, )h 4h 1 + h, (1, )(h 1, h ) f x (1, )h 1 + f y (1, )h h 1 + 5h, 3 (1, )(h 1, h ) f3 x (1, )h 1 + f3 y (1, )h 3h 1, de unde df (1, )(h 1, h ) (4h 1 + h, h 1 + 5h, 3h 1 ). Operaţii cu funcţii diferenţiabile. Propoziţie. Fie D R n o mulţime deschisă. i) Dacă F, G : D R m sunt diferenţiabile în a D, atunci: a) F + G este diferenţiabilă în a şi d(f + G) df + dg; b) λ R, λf este diferenţiabilă în a şi d(λf ) λdf ; ii) Dacă F : D R, G : D R m sunt diferenţiabile în a D, atunci F G este diferenţiabilă în a şi d(f G) F dg + G df. h 0 Demonstraţie. i) a) Fie T df şi S dg. Avem: F (a+h) F T (h) h 0 h G(a+h) G S(h) 0 şi h 0 h 0, de unde (F +G)(a+h) (F +G) (T +S)(h) h 0, deci concluzia are loc, deoarece T + S : R n R m este de asemenea operator liniar. b) se raţionează asemănător. ii) Din ipoteză, există α : D R, cu α(x) α 0, astfel încât x D, F (x) F + df (x a) + α(x) x a şi există β : D R m, cu 7

8 β(x) β 0, astfel încât x D, G(x) G + dg(x a) + β(x) x a. T df şi S dg sunt operatori liniari, T : R n R, S : R n R m. Atunci x D\{a}, (F G)(x) F (x) G(x) (F + T (x a) + α(x) x a ) (G + S(x a) + β(x) x a ) (F G) + [F S + G T ](x a) + + x a γ(x), unde γ(x) G α(x) + α(x) S(x a) + x a α(x) β(x) + T (x a) S(x a) +F β(x) + β(x) T (x a) +. x a S T {}}{{}}{ Deoarece F dg+ df G este un operator liniar, rămâne să arătăm că γ(x) 0. Într-adevăr, deoarece orice operator liniar este continuu, avem + T (x a) S(x a) x a γ(x) G α(x) + F + [α(x) S(x a) + β(x) T (x a) + +α(x) β(x) x a ] + S(x a) T (x a) 0, x a deoarece T (x a) T (0) 0, iar S(x a) S(x a) x a x a operator liniar, deci funcţie lipschitziană). L (S fiind Matrice jacobiană Fie acum F (f 1, f,..., f m ) : D deschis R n R m diferenţiabilă în punctul a D. Atunci i 1, m, f i : D R n R este diferenţiabilă, deci derivabilă parţial în raport cu toate variabilele în a D. Introducem matricea asociată diferenţialei T df : R n R m (care este operator liniar) a funcţiei F în punctul a D : ( ) J F fi x j i1,m j1,n f 1 f1... f1 f... f... f m fm... fm 8 M m,n(r)

9 numită matricea jacobiană a funcţiei F în punctul a. (denumirea este dată în onoarea matematicianului german Carl Jacobi). Evident, dacă f : D R R, atunci J f f. În situaţia în care m n, J F este matrice pătratică, iar f 1 f1... f1 det J F D(f1,...fn) D(x 1,...x n) f... f... f n fn... fn se numeşte determinantul jacobian (jacobianul) (determinantul funcţional) al lui F în a. Exemple. 1) Coordonate polare. Fie funcţia vectorială F : R + [0, π) R, F (ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sin θ), (ρ, θ) R + [0, π). Observăm că F exprimă { legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele polare în plan: ρ > 0, θ [0, π). x ρ cos θ y ρ sin θ, F este diferenţiabilă pe D deschis R + [0, π) deoarece f 1, f : R + [0, π) R sunt diferenţiabile pe D (fiind de clasă C 1 ), unde f 1 (ρ, θ) ρ cos θ, f (ρ, θ) ρ sin θ. J F (ρ, θ) ( f1 f 1 ρ θ ρ θ det J F (ρ, θ) D(f1,f) D(ρ,θ) ) Coordonate cilindrice f 1 ρ f 1 θ f 1 z ρ f 3 ρ θ f 3 θ z f 3 z ) ( ) cos θ ρ sin θ, sin θ ρ cos θ cos θ ρ sin θ sin θ ρ cos θ ρ(cos θ + sin θ) ρ. Fie funcţia vectorială F : R + [0, π) R R 3, F (ρ, θ, z) (ρ cos θ, ρ sin θ, z). x ρ cos θ y ρ sin θ, ρ > 0, θ [0, π), z R. z z Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele cilindrice în spaţiu. F este diferenţiabilă pe D deschis R + [0, π) R deoarece f 1, f, f 3 : R + [0, π) R R sunt diferenţiabile pe D (fiind de clasă C 1 ), unde f 1 (ρ, θ, z) ρ cos θ, f (ρ, θ, z) ρ sin θ, f 3 (ρ, θ, z) z. cos θ ρ sin θ 0 J F (ρ, θ, z) sin θ ρ cos θ 0,

10 ρ. det J F (ρ, θ, z) D(f1,f,f3) D(ρ,θ,z) cos θ ρ sin θ 0 sin θ ρ cos θ ρ(cos θ + sin θ) Probleme propuse. { xy 1. Fie funcţia f : R R, f(x, y) x +y 0, (x, y) (0, 0). i) Arătaţi că funcţia f este continuă şi admite derivate parţiale în (0, 0), dar nu este diferenţiabilă în (0, 0). ii) Arătaţi că funcţia f este diferenţiabilă pe R \{(0, 0)}. { (x. Fie funcţia f : R + y 1 ) sin R, f(x, y) x +y 0, (x, y) (0, 0). Arătaţi că f este diferenţiabilă pe R, dar nu este de clasă C 1 pe R. 3. Studiaţi diferenţiabilitatea pe R a funcţiilor următoare f : R R: i) f(x, y) xy ; ii) f(x, y) 3 { xy; xy 3 iii) f(x, y) x4 +y4 0, (x, y) (0, 0); { x y iv) f(x, y) x 6 +y 0, (x, y) (0, 0); { x y x v) f(x, y) +y 0, (x, y) (0, 0). 4. Pornind de la definiţie, arătaţi ca funcţia f(x, y) x 3 + xy + y este diferenţiabilă în (1, 1). Cum se poate stabili altfel, mai simplu, acest rezultat? Este funcţia diferenţiabilă şi în rest? 5. Dacă a R n, iar F : R n R m este, pe rând: a) o funcţie constantă; b) un operator liniar, arătaţi că F este diferenţiabilă şi calculaţi df. 6. Fie F : R R 3, F (x, y) (x y, xy + y, x 3 ). Scrieţi J F (1, ). 7. Arătaţi că funcţia f : S((0, 0), r) R R îndeplinind condiţia f(x, y) x + y, (x, y) S((0, { 0), r), este diferenţiabilă în (0, 0). 8. Fie f : R x 3 y R, f(x, y) x 6 +y 0, (x, y) (0, 0). Studiaţi: i) diferenţiabilitatea lui f în (0, 0); ii) continuitatea în (0, 0) pentru funcţia g : R R, g(x, y) ( f x f (x, y), y (x, y)). 9. Fie f : R R, f(x, y) x+y x +y +1. Arătaţi că f este diferenţiabilă pe R. 10

11 10. Cercetaţi dacă f : R R, f(x, y) diferenţiabilă în (0, 0). { x 3 x +y 0, (x, y) (0, 0) 11. Studiaţi dacă derivatele { parţiale mixte de ordin în (0, 0) coincid pentru x 3 funcţia f : R (x y ) R, f(x, y) (x +y ) 0, (x, y) (0, 0). Cercetaţi dacă funcţia este diferenţiabilă pe R. 1. Scrieţi matricea jacobiană şi calculaţi determinantul (dacă este posibil) pentru următoarele funcţii vectoriale: i) F (x, y) (x + y, xy), (x, y) R ; ii) F (x, y) (x + cos y, y sin x), (x, y) R ; iii) F (x, y) (xe y, e xy, y ), (x, y) R ; iv) F (x, y, z) (x + z, y + z ), (x, y, z) R Fie f : R 3 R, f(x, y, z) x cos(y sin z). Motivaţi diferenţiabilitatea funcţiei f şi, în caz afirmativ, calculaţi (0, π, π). este 11