DOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1

Transkript

1 -facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret 9/6-03, men der kan stadig være fejl specielt i opgaverne fra i år!] 7(i ae t cos t + be t sin t, a, b R, t R.? 7(ii ae t cos t + be t sin t t2 + 3t + 5 2, a, b R, t R.? 7(iii 5 2 et cos t 1 2 et sin t t2 + 3t a, b R, t R.? 10 x 1 (t = ae t + be 5t, x 2 (t = ce 2t, x 3 (t = ae t + 3be 5t, a, b, c R, t R.? 11(1 Basis for de homogene: e 5t og e 2t, idet 10 i ligningen rettes til 10x. 11(2 C 1 e 5t + C 2 e 2t e 3t + t t (3 Da de to rødder 5 og 2 er negative [S, Sætning 5.6]. 13(2 x(t = e t 1 2 t2 + 5 e2 2 t 1? 14 x t = a3 t + bt3 t + t 2 + 2t a, b R, t N.? 15(1 x 1 (t = be 2t ae t 1 2 t + 1 4, x 2(t = ae t t 1, a, b R, t R.? 15(2 x 1 (t = 7 4 e2t e t 1 2 t + 1 4, x 2(t = e t t 1, t R.? 16 x(t = (ln(e + t ? 17 a (x 1 (t, x 2 (t = (t 2 + e 2t cos(3t, t 2 + e 2t cos(3t 3e 2t sin(3t.? 17 b Banen har linien x 1 = x 2 som assymptote.? 18 a (2, 2 et lokalt ass.stab.ligev. pkt.? 18 b I (1, 1 er hastighedsvektoren (3, 3. I (3, 1 er hastighedsvektoren ( 3, 1. I (3, 3 er hastighedsvektoren ( 9, 9. I (1, 3 er hastighedsvektoren (1, 3.? 18 c X-aksen er sammensat af baner y(t = 0 og x(t en løsning til x = 6x 2x 2. Y -aksen er sammensat af baner x(t = 0, y(t en løsning til y = 6y 2y 2. Da baner aldrig krydser hinanden, kan en bane ikke slippe ud af 1. kvadrant, hvis den starter der.? 19 a x t = 4( 1 2 t 4( 1 2 t + t b stabil. 20 a F/ x = 12t, F/ u = 2u 2. Eulerligning: 12t = d dt ( 2ẋ 2 = 2ẍ med løsning x = t 3 + Ct + D; randbetingelse x(0 = 0 og 2ẋ(1 2 = 0 giver D = 0 og C = b F er konkav i (x, u, jfr.... Derfor!, jfr a H = x u 2 + 2pu. (I ṗ = 1. (II u = p hvis 1 < p < 1, u = 1 hvis p > 1, u = 1 hvis p < 1. (III p(4 = b p = t + 4. For 0 t 3 er p 1, u = 1, og ẋ = 2, x(0 = 0 giver x = 2t. For 3 t 4 er p 1, u = 4 t, og ẋ = 8 2t, x(3 = 6 giver x = t 2 + 8t 9. Optimal, fordi H er konkav i (x, u, [S, Sætning 9.1, s. 355]. H er konkav, fordi.... c:\notes\h2\dok\answ.tex

2 -facitliste 2 22 (x dx = dt; 1 4 ln( x 2 / x + 2 = t + K; (1 4/(x + 2 = Ce4t. Med x(0 = 0 fås 1 4/2 = C, altså C = 1 og x = 4/(1 + e 4t 2 = 2(1 e 4t /(1 + e 4t. 24(a ÿ = ẋ + 4e t = ( 2x + y 2t 1 + 4e t = 2( ẏ + 4e t y + 2t e t, dvs ÿ + 2ẏ + y = 2t e t. Karakteristisk (dobbeltrod: λ = 1, så y = e t og y = te t er basis for løsningerne til den homogene ligning. Partikulær løsning: y = 2t 3 + 3e t. Altså x = 2 + e t + (C De t + Dte t, y = 2t 3 + 3e t + Ce t + Dte t. 24(b C = 0, D = x t = t ( 1 2 t cos(tπ/2 + 2( 1 2 t sin(tπ/2. 27(a H = ex u 2 + p(2u x. (I ṗ = p e. (II u = 1 hvis p > 1, u = p hvis 0 < p < 1, u = 0 hvis p < 0. (III p(1 = 0. 27(b p = Ce t + e og p(1 = 0 giver p = e e t (specielt p 0 for 0 t 1. Bestem t ved p( t = 1, altså e t = e 1 (og t = ln(e 1 og 0 < t < 1. For 0 t t er p 1, u = 1, og ẋ = 2 x, x(0 = 0 giver x = 2 2e t. For t t 1 er u = e e t, og ẋ = 2(e e t x, x( t = 2 2e t giver x = De t +2e e t med 2 2e t = De t +2e e t, hvoraf D = 2 2(e 1e t + (e t 2 = 2 (e 1 2 = e 2 + 2e /t 3 dt = 1/t 2, så x = e 1/t2 t 1 e 1/t2 4/t 3 dt = 2e 1/t2 [e 1/t2 ] t 1 = 2 2e 1+1/t2. 29 i ẍ 2 = 2ẋ 1 3 cos t = 2(5x 1 3x 2 5 sin t + 4 cos t 3 cos t = 5(ẋ sin t 6x 2 10 sin t + 5 cos t, så ẍ 2 5ẋ 2 + 6x 2 = 5 sin t + 5 cos t. Basis for de homogene løsninger er x 2 = e 2t og x 2 = e 3t og partikulær løsning er x 2 = cos t. Altså x 1 = sin t + Ce 2t + 3De 3t, x 2 = cos t + Ce 2t + 2De 3t. 29 ii Partikulær løsning: C = 1, D = i x t = C( 1 t + D5 t + t( 1 t + t ii C = 1, D = F/ x = 8x, F/ u = 2u. Euler: 8x = d/dt ( 2ẋ = 2ẍ. Løsning: x = Ce 2t + De 2t. Randbetingelser x(0 = 0 og x(1 = 1 giver C = 1/(e 2 e 2 og D = C. 33 i H = 2x 2 u + pu. (I ṗ = 4x. (II u = 1 hvis p > 1, u = 0 hvis p < 1. (III p(1 = ii x(t 1 fordi x(0 = 1 og ẋ = u iii Da ṗ = 4x 4, er p strengt voksende, og p vokser hurtigere end 4t. Af p(1 = 2 følger så, at p( iv Lad t, med 0 < t < 1, være tallet, hvor p( t = 1. For t < t, er p < 1, u = 0, og ẋ = 0, x(0 = 1 giver x = 1. For t > t, er p > 1, u = 1, og ẋ = 1, x( t = 1 giver x = t t + 1; videre: ṗ = 4x = 4t 4 t + 4, p( t = 1 giver p = 2t 2 + ( 4 t + 4t + 2 t 2 4 t + 1. Endelig: af p(1 = 2 fås 2 = 2 4 t t 2 4 t + 1, eller 2 t 2 8 t + 5 = 0 med rødderne (8 ± 24/4; det giver t = (4 6/2 = 2 3/2.

3 -facitliste 3 36(a z 2 az (a 1 = 0. 36(b Når a < (a 1 < 2, dvs når 3 5 < a < 1. 36(c x t = C( 2 1 t + D( 2 1 t t. Nærmer sig t for t idet x t t 0. 40(a (±2, 0 og (1, ± 3. Jacobi: J =. det J = 2x(x 1 2y 2 er negativ i ( 2x 2y y x 1 (1, ± 3, så disse to punkter er saddelpunkter. I (±2, 0 er det J > 0, men Tr J = 3x 1 er kun negativ i ( 2, 0. Altså er ( 2, 0 lokalt asymptotisk stabil, de tre andre ustabile. 40(c Fordi: x-aksen med x > 2 er selv en bane, og ligevægtspunkterne (2, 0 og (1, 3 er hver én bane. På resten af randen af M peger hastighedsvektoren ind i M. En løsning kan derfor ikke fra det indre af M krydse randen af M. 50(a Ligevægtspunkter: ( 3, ±4. 50(b ( 3, 4: ustabil; ( 3, 4: ingen konklusion. ( 50(d Jacobi: J = 2x 2y. det J = 6x 2 y. Negativ, når y > 0 og x 0, så ( 3, 4 er et 3x 2 0 saddelpunkt (ustabilt. I ( 3, 4 er det J > 0 og Tr J = 2( 3 < 0, så ( 3, 4 er lokalt asymptotisk stabil. [Faktisk er egenværdierne ikke-reelle, så ( 3, 4 er et spiralpunkt (ikke pensum!] 62 F = x 2 + 2t 2 x + ẋ 2 er konveks, fordi... 62(a 2x + 2t 2 = (d/dt(2ẋ = 2ẍ, så (EL er ẍ x = t 2. Den generelle løsning er x = t Ce t + De t og x(0 = 2 giver C + D = 0, dvs x = t C(e t e t. 62(b x(t = T 2 giver C(e T e T = 2 og T = ln 2, dvs C = 4/3. 62(c x(t fri giver ẋ(t = 0, altså 2T + C(e T + e T = 0, dvs C = (4/5 ln 2. 62(d C 4/3 og C (4/5 ln 2 og = et af stederne giver C = 4/3. 64(a x = 1 og x = 1 ± t/ 1 + Kt 2 64(b x = 1 t/ 1 + 3t 2 65(a (0, 2 og (1, 1. 65(d (0, 2 assymptotisk stabilt, (1, 1 saddelpunkt (ustabilt. 66(a C + D( 1 2 t. 66(b 1 4t( 1 2 t. 66(c Ikke stabil, da λ = 1 ikke opfylder, at λ < 1. 66(d Da C + D( 1 2 t 4t( 1 2 t C for t. 67(a 2x/t = d/dt(2tẋ = 2tẍ + 2ẋ, dvs ẍ + (1/tẋ (1/t 2 x = 0. Og (2tẋ(2 = 0, dvs ẋ(2 = 0. 67(b Ct + Dt 1. 67(c C + D = 1, C D/4 = 0; altså x = 1 5 t t 1. 68(a H = xu x 2 u 2 px. (I ṗ = H/ x = u + 2x + p; (II 0 = H/ u = x 2u + p; (III p(ln 2 = 0.

4 -facitliste 4 68(b u = (x + p/2, så ẋ = x + u = 1 2 x p, og ṗ = 3 2 x + 1 2p. Systemet løses: ẍ = 1 2ẋ + 2ṗ 1 = 2ẋ ( 3 2 x p = 2ẋ x + 2ẋ x = x, altså ẍ = x. Altså x = Ce t + De t, p = 2ẋ + x = 3Ce t De t, u = 2Ce t. C + D = 1, 6C D/2 = 0, hvoraf C = 1/13, D = 12/13. ( 1 1/2 68(c Hamiltonfunktionen er konkav, fx fordi er negativ definit, se bl.a. [S, s.172]. 1/2 1 69(a x = 0, x = 1, og x = ( C(1 + 1/t 1 1 for C 0. 69(b C = 2, dvs x = t/(t (d J = ( 2x 32y 2x 2y, det J = 68xy, Tr J = 2(x y. I (4, ±1 er Tr J > 0 (og det J 0, så ustabilt; i ( 4, 1 er det J > 0 og Tr J < 0, så stabilt; i ( 4, 1 er det J < 0, så ustabilt. 71(a Karakteristisk polynomium z 2 z + 1 med rødder ζ, ζ, hvor ζ = 1 2 ± 3 2 i. Rødderne har ρ = 1 og θ = ±2π/6 = ± π 3. Den generelle løsning: C 1 cos( π 3 t + C 2 sin( π 3 t (eller D 1 ζ t + D 2 ζ t. 71(b (* bestemmer: x 2 = 1 + x 1 x 0 = 1, x 3 = 1 + ( 1 ( 1 = 1, x 4 = ( 1 = 3; da 6θ = ±2π, er x t+6 = x t, så x 1000 = x 4 = 3. Alternativ: Løsning til (*: x t = 1 + C 1 cos( π 3 t + C 2 sin( π 3 t med 1 = x 0 = 1 + C 1, dvs C 1 = 0, og 1 = x 1 = 1 + C 2 sin π 3, dvs C 2 = 2/( 3/2 = 2 2 3, altså x t = sin( π 3 t = 1000 = fås x 1000 = x 4 = sin(4π/3 = = 3. 71(c Ikke stabil. 71(d x t = 1 + C 1 cos( π 3 t + C 2 sin( π 3 t 1 + C 1 + C 2 er begrænset. t. For 72(a t = d dt ( t + 2ẋ = 1 + 2ẍ, dvs ẍ = 1 2 t + 1 2, og ( t + 2ẋ t=1 0, dvs ẋ(1 1 2, med = hvis x(1 > 2. 72(b x = 1 12 t t2 + Ct + D. 72(c x(0 = 0 giver D = 0. Videre: 2 x(1 = C, dvs C 5 3, og 1 2 ẋ(1 = C, dvs C 1 4, og mindst ét =. Det giver C = (d F er konveks i (x, ẋ. 73(a (I ṗ = H/ x = 1. (II u maksimerer v (1 pv + x + 2t, dvs u = 1 hvis p < 1 og u = 0 hvis p > 1. (III p(2 = S/ x(2 = 1 2 x(2. 73(b (I giver p(t = t + t + 1 med passende t. (II giver u = 1 hvis t > t og u = 0 hvis t < t. Antag først, at t 0. For 0 < t < 1 er t > t, altså u = 1, og x = t 2 t + 1. Så er p(2 = t 1 og x(2 = 3, og (III giver t 1 = 1 2 3, dvs t = 1 2 : betingelserne er opfyldt, med u = 1, x = t 2 t + 1, og p = t Antag dernæst, at 0 < t < 1. For 0 < t < t er u = 0, og x = t 2 + 1; specielt x( t = t Videre: For t < t < 1 er u = 1, og x = t 2 t + t + 1. Så er x(2 = 3 + t, og (III giver t 1 = 1 2 (3 + t, dvs t = 1 3, og det er i modstrid med antagelsen. Tilsvarende giver antagelsen t 1 en modstrid.

5 -facitliste 5 73(c Fordi S(x = 1 4 x2 er konkav og Ĥ (t, x, p = x p( 1 + 2t er (lineær i x og dermed konkav i x. 74(a x = t sin t 1 3 cos 2t + C cos t + D sin t, 74(b x = t sin t 1 3 cos 2t cos t. 75(a (1, 2 og ( 3, 2. 75(d J = ( 1 1 2x 2 76(a x t = 1, y t = 0. 76(b Stabilt. 76(c lim x t = 1, lim y t = 0.. (1, 2: stabilt (spiralpunkt; ( 3, 2: ustabilt. 76(d x t = 1 + C( 1 3 t + D( 2 3 t, y t = 4 5 C( 1 3 t D( 2 3 t. 77(a 2tẋ + 2x = dt d (2tx + 8ẋ = 2tẋ + 2x + 8ẍ, altså ẍ = 0. Transversalitet: x(0 = 1 og (2tx + 8ẋ t=2 = 0, dvs x(2 + 2ẋ(2 = 0. 77(b x = Ct + D. 77(c x(0 = 1 giver D = 1, og x(2 + 2ẋ(2 = 0 giver så 2C C = 0, altså C = (d F (t, x, u = 2txu+x 2 +4u 2 er konveks i (x, u, da Hesse-matricen er positiv semidefinit: 2 > 0 og determinanten 16 4t 2 er 0, da t [0,2]. ( 2 2t 2t 8 78(a H = x e t u+p( x +u = (p e t u+x px. (I ṗ = H/ x, dvs ṗ = 1+p. (II u = 1 hvis p > e t, u = 0 hvis p < e t. (III p(ln 3 = 2. 78(b (I,(III giver p = 1 + Ce t og 1 + C 3 = 2, altså p = et. Punktet t, der skiller i (II, opfylder p(t = e t, altså et = e t, hvoraf 2 3 et = 1, dvs t = ln( 3 2. Altså u = 1 for t < t og u = 0, hvis t > t. For t t er u = 1 og altså ẋ = x + 1 og x(0 = 0, hvoraf x = 1 e t. Så er x(t = 1 e t = = 1 3. For t t er u = 0 og altså ẋ = x, hvoraf x = x(t e (t t = e t = 1 2 e t. 78(c H som funktion af (x, u, og skrotfunktionen S(x = 2x som funktion af x, er lineære, og derfor konkave. 79(a x = 0 og x = (C + ln(2 + sin t 1. 79(b x = Ce 3t + Dte 3t (a (0, ±1. 80(d J = ( 2x 2y 2 2y 81(a x t = C + D( 1 t + t t. 81(b C = 3/4, D = 5/8.. (0, 1: ustabilt (saddelpunkt; (0, 1: stabilt (spiralpunkt. 82(a eẋ x = d dt eẋ x = eẋ x (ẍ ẋ, altså ẍ ẋ = 1. 82(b ẋ = Ce t + 1, altså x = Ce t + t + D.

6 -facitliste 6 82(c C = D = 0, dvs x = t. er positiv semi- 82(d F (t, x, u = e u x er konveks i (x, u, da Hesse-matricen definit: F > 0 og determinanten er = 0. ( F F F F 83(a H = (2 te t u x + pu 2. (I ṗ = H/ x, dvs ṗ = 1. (II u = 1, hvis p (2 te t /2, og u = (2 te t /(2p ellers. (III p(2 = 0. 83(b (I,(III giver p = t 2. Specielt er p < 0 for 0 t < 2. Uligheden i (II, p (2 te t /2, giver t 2 (t 2e t /2, altså 1 e t /2, dvs t ln 2. For 0 t ln 2: u = e t /2, og ẋ = u 2 = e 2t /4 med x(0 = 1, dvs x = e 2t /8 (og specielt x(ln 2 = 1 2. Og for ln 2 t 2: u = 1, og ẋ = u 2 = 1 med x(ln 2 = 1/2 giver x = t ln (c H som funktion af (x, u, er sum af tre led: (2 te t u og x er lineære og pu 2 er konkav, da p 0. Derfor....