Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori

Transkript

1 9. januar 2005 Stat 2A / EH Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2A-noterne indtil nu. 9 1 Forkert: x C x ro alle x X. x C x for alle x X Forkert: Hvis vi tænker på en k m-matrix som en lineær afbilning, er der tale om en afbildning R m R m. Hvis vi tænker på en k m-matrix som en lineær afbilning, er der tale om en afbildning R m R k Forkert: vil de modificere tilvækster fra 2.1) opfylde at vil de modificerede tilvækster fra 2.1) opfylde at 1

2 28 9 Forkert: Dfx, y) u, v) = fx, v) + fy, u) for alle x, u X, y, v Y. Dfx, y) u, v) = fx, v) + fu, y) for alle x, u X, y, v Y. Opdaget af: Alexander Sokol Forkert: Hvis X har et indre produkt, er er en naturlig måde at identificere X med X selv. Hvis X har et indre produkt, er der en naturlig måde at identificere X med X selv Forkert: Konventionelt oversættes sådanne lineære afbildninger ind i rum af lineære afbildninger automatisk til bilienære afbildninger. Konventionelt oversættes sådanne lineære afbildninger ind i rum af lineære afbildninger automatisk til bilineære afbildninger. Opdaget af: Esben Meulengracht Flachs 35 3 Forkert: Dg f)x) = Dg)fx)) Dfx). Dg f)x) = Dg fx) ) Dfx). 2

3 41 7 Forkert: g t) = D 2 gt) 1, 1) = D 2 f γt) ) ) Dγt) 1, Dγ 1 g t) = D 2 gt) 1, 1) = D 2 f γt) ) ) Dγt) 1, Dγt) Forkert: kan disse begrebet formuleres i termer af A s egenværdier: kan disse begreber formuleres i termer af A s egenværdier: Forkert: Taylors formel med udviklingspunkt x 0 givet at for x U \ {x 0 } vil Taylors formel med udviklingspunkt x 0 giver at for x U \ {x 0 } vil 42 3 Forkert: Der finde et ɛ > 0 sådan at det for alle symmetriske bilinearformer G : X X R gælder at Der findes et ɛ > 0 sådan at det for alle symmetriske bilinearformer G : X X R gælder at 43 3 Forkert: Idet {x x = 1} er enkompakt mængde Idet {x x = 1} er en kompakt mængde 3

4 50 10 Forkert: altås ψ = ψθ ). altså ψ = ψθ ) Forkert: I denne sammenhæng er ψ blot et forstyrrende formalistisk lag oven på det egenelige problem. I denne sammenhæng er ψ blot et forstyrrende formalistisk lag oven på det egentlige problem. Opdaget af: Alexander Sokol Forkert: hvor første komponenten er et reel tal, hvor første komponenten er et reelt tal, 52 2 Forkert: så længde vi ikke forsøger at drage inferens om θ. så længe vi ikke forsøger at drage inferens om θ Forkert: n l y1,...,y n θ) = log f θ y i ),. i=1 n l y1,...,y n θ) = log f θ y i ), i=1 4

5 55 5 Forkert: I en abstrakt forstand bestemmer parametrene hvordan processen bevæger sig i disse store tidsintervaller, man ikke på nogen eksplicit måde I en abstrakt forstand bestemmer parametrene hvordan processen bevæger sig i disse store tidsintervaller, men ikke på nogen eksplicit måde Forkert: L y1,...,y n θ) = h θ y 1,..., y n z 1,..., z k ) g θ z 1,..., z k ) dz 1,..., z k ) L y1,...,y n θ) = h θ y 1,..., y n z 1,..., z k ) g θ z 1,..., z k ) dz 1,..., z k ), 57 6 Forkert: ɛ n+1 = ρ ɛ n + W n+1 for n = 1, 2,... ɛ n+1 = ρ ɛ n + W n+1 for n = 1, 2,..., 5

6 57 13 Forkert: h n y 1,..., y n, θ) = x A n θ 2 h n y 1,..., y n, θ) = x A n θ 2, Forkert: h n y 1,..., y n, θ) = n d y i a ij θ j i=1 j=1 h n y 1,..., y n, θ) = n d y i a ij θ j, i=1 j= Forkert: Dh n x, ψ) LinR d, R d ) for alle x, ψ. Dh n x, ψ) LinR d, R) for alle x, ψ. 6

7 58 3 Forkert: Dh n X n, ψ) og D 2 h n X n, ψ) Dh n X n, ψ) og D 2 h n X n, ψ), 58 2 Forkert: der bedst betragtes om stokastisk valgte afbildninger Ψ LinR d, R d ) der bedst betragtes om stokastisk valgte afbildninger Ψ LinR d, R) 60 9 Forkert: LMx) = {ψ ψ er et lokalt minimum for h n x, ψ)},. LMx) = {ψ ψ er et lokalt minimum for h n x, ψ)} Forkert: Den fundamentale ide i vores behandling af M- estimatorer er studere kombinanterne h n gennem en n-afhængig reparametrisering. Den fundamentale ide i vores behandling af M- estimatorer er at studere kombinanterne h n gennem en n-afhængig reparametrisering. 7

8 61 4 Forkert: A n ψ = n ψ for alle ψ R d. A n ψ = n ψ for alle ψ R d, 63 1 Forkert: Nuvel, det konvergerer sådan set ikke. Nuvel, denne størrelse konvergerer sådan set ikke Forkert: Her faldet det naturligt at bruge store tals lov, Her falder det naturligt at bruge store tals lov, 63 3 Forkert: er har vi udnyttet at i alle rimelige modeller er E θ l y 1 θ ) = 0, mens V θ l y 1 θ ) = i 1 θ ). er har vi udnyttet at i alle rimelige modeller er E θ l Y 1 θ ) = 0, mens V θ l Y 1 θ ) = i 1 θ ) Forkert: De reskalerede kombinant i ξ = 0 vil givetvis divergere for n. Den reskalerede kombinant i ξ = 0 vil givetvis divergere for n. 8

9 64 8 Forkert: ˆθ n = θ + ˆξ n θ Z n n i1 θ ), ˆθ n = θ + ˆξ n θ Z n n i1 θ ) Forkert: Beingelsen for asymptotisk ækvivalens ser en smule asymmetrisk ud Betingelsen for asymptotisk ækvivalens ser en smule asymmetrisk ud 75 9 Forkert: mem man overbeviser sig let om at hvis y n ) n N er en Y-følger, men man overbeviser sig let om at hvis y n ) n N er en Y-følge, Forkert: gx, t) = fy + tu), z. gx, t) = fx, y + tu), z. 9

10 77 3 Forkert: D 2 hn X n, 0) P F for n. D 2 hn X n, 0) P F for n, Forkert: P θ F n F > ɛ) 0 for n. P θ F n F > ɛ) 0 for n, Forkert: Hvad der til gengæld ikke må variere med θ er reskaleringsskemaet A n ) n N.... etc etc. Hele denne paragraf er ulykkeligvis det rene vrøvl. Reskaleringsskemaet må gerne variere med θ. I kapitel 10 er der adskillige eksempler med variabelt reskaleringsskema. Faktisk er det vanskeligt at komme i tanke om situationer, hvor man kan bruge et ikke-variabelt skema, medmindre dette skema er n-skalering. Betragtningen om at Regularitetsbetingelse B bliver svær at få opfyldt med variabelt reskaleringsskema står dog til troende - som det utvivlsomt fremgår af de knopskydende komplikationer i afsnit

11 78 4 Forkert: Store tals lov sikrer at denne størrelse under P konvergerer i sandsynlighed mod i 1 θ ), Store tals lov sikrer at denne størrelse under P θ konvergerer i sandsynlighed mod i 1 θ ), 80 4 Forkert: D 2 hn X n, 0) ξ 1, ξ 2 ) = D 2 hn X n, 0) C n ξ 1, C n ξ 2 ) D 2 hn X n, 0) ξ 1, ξ 2 ) = D 2 hn X n, 0) C n ξ 1, C n ξ 2 ) Forkert: + F C n C n C ξ 1 ξ 2 + F C C n C ξ 1 ξ 2 + F C n C n C ξ 1 ξ 2 + F C C n C ξ 1 ξ Forkert: For hvert fast ψ er D 2 hn X n, ψ) målelig ifølge lemma 6.5. For hvert fast ξ er D 2 hn X n, ξ) målelig ifølge lemma

12 82 7 Forkert: sup D 2 hn X n, ξ) D 2 hn X n, 0) P 0 for n. ξ: ξ <c sup D 2 hn X n, ξ) D 2 hn X n, 0) P 0 for n, ξ: ξ <c Forkert: hvor θ er de det er den samme parameter der indgår i konstruktionen af h n. hvor θ er den samme parameter der indgår i konstruktionen af h n Forkert: sup D 2 hn X n, ξ) D 2 hn X n, 0) ξ: ξ <c sup D 2 hn X n, ξ) D 2 hn X n, 0) ξ: ξ <c 82 3 Forkert: erfor se vi at hvis A-skemaet opfylder Regularitetsbetingelse B, erfor ser vi at hvis A-skemaet opfylder Regularitetsbetingelse B, 12

13 85 14 Forkert: F ξ 1, ξ 2 ) = ξ 1 T Σ σ 2 for alle ξ 1, ξ 2 R d. F ξ 1, ξ 2 ) = ξ 1 T Σ ξ 2 for alle ξ 1, ξ 2 R d Forkert: er en overtællelig foreningsmænde af målelige mængder, er en overtællelig foreningsmængde af målelige mængder, 90 4 Forkert: G F < δ Gξ, ξ) λ ξ 2 for alle ξ. G F < δ Gξ, ξ) λ ξ 2 for alle ξ, 90 3 Forkert: Valget af c garanterer således at alle disse prikprodukter er negative, Valget af c garanterer således at alle disse prikprodukter er positive, 13

14 92 1 Forkert: Det er klart at hvis h n x, ξ) har et lokalt minimum i ξ, så har h n x, ψ) et lokalt minimum i ψ + A n 1 ξ. Det er klart at hvis ξ h n x, ξ) har et lokalt minimum i ξ 0, så har ψ h n x, ψ) et lokalt minimum i ψ + A n 1 ξ Forkert: LM n X n ) { ψ Ψ A n ψ ψ < c }. LM n X n ) { ψ Ψ A n ψ ψ ) < c } Forkert: For alle θ vil den lokale M-estimator ˆψ n være veldfineret med sandsynlighed gående mod 1, For alle θ vil den lokale M-estimator ˆψ n være veldefineret med sandsynlighed gående mod 1, 93 8 Forkert: og sådan at h n X, ξ) havde et entydigt minimum i B0, c) og sådan at h n X n, ξ) havde et entydigt minimum i B0, c) Forkert: er ˆψ n således veldefinret. er ˆψ n således veldefineret. 14

15 93 1 Forkert: P θ A n ˆψ ) n ψ < c > 1 ɛ P θ A n ˆψ ) n ψ ) < c > 1 ɛ, 94 6 Forkert: A n ˆψ n ψ ) + Q 1 h n X n, 0) P 0 for n, A n ˆψ n ψ ) + Q 1 h n X n, 0) P 0 for n, 94 3 Forkert: får for ethvert ξ at får vi for ethvert ξ at 95 1 Forkert: for et passende mellempunkt η indeholde i B0, c). for et passende mellempunkt η indeholdt i B0, c). 15

16 95 2 Forkert: til at forbinde den førsteafledede af gradienten af h n med den andenafledede af h n. til at forbinde den førsteafledede af gradienten af h n med den andenafledede af h n Forkert: h n X n, 0), ξ + F ˆξ n, ξ) sup D 2 hn X n, ξ) F ξ: ξ <c ) c ξ h n X n, 0), ξ + F ˆξ n, ξ) sup D 2 hn X n, ξ) F ξ: ξ <c ) c ξ 95 5 Forkert: sup D 2 hn X n, ξ) D 2 hn X n, 0) + D 2 hn X n, 0) F ξ: ξ <c ) c ξ. sup D 2 hn X n, ξ) D 2 hn X n, 0) + D 2 hn X n, 0) F ξ: ξ <c ) c ξ. 16

17 99 9 Forkert: hvis Ψ 0 restriktion til en omegn af ethvert punkt er en implicit givet glat hypotese. hvis Ψ 0 s restriktion til en omegn af ethvert punkt er en implicit givet glat hypotese Forkert: π γβ) = β, 0) for alle β U 0. π γβ) = β, 0) for alle β U Forkert: så er så er hypotesen lokalt på formen så er hypotesen lokalt på formen 101 tegning Forkert: U 0 U 17

18 102 6 Forkert: ψθ) = γ ψ 0 θ) for alleθ Θ 0. ψθ) = γ ψ 0 θ) for alle θ Θ Forkert: q n ζ) = A n γβ + B n 1 ζ) ψ ) for ζ q n ζ) = A n γβ + B n 1 ζ) ψ ) for alle ζ Forkert: Som sædvanlig må B-skemaet ikke variere med β, mens den lineære afbildning H gerne mål. Både B-skemaet og den lineære afbildning H må gerne variere med β. 18

19 104 9 Forkert: D g n X n, 0) β = D h n X n, 0) Dq n 0) ζ = D h n X n, 0)A n Dγβ )B n 1 ζ D g n X n, 0) β = D h n X n, 0) Dq n 0) ζ = D h n X n, 0)A n Dγβ )B n 1 ζ Forkert: D 2 g n ζ) ζ 1, ζ 2 ) = D 2 hn Xn, q n ζ) ) ) Dq n ζ) ζ 1, Dq n ζ) ζ 2 D 2 g n X n, ζ) ζ 1, ζ 2 ) = D 2 hn Xn, q n ζ) ) ) Dq n ζ) ζ 1, Dq n ζ) ζ Forkert: Ved at kombinere... etc. etc Ulykkeligvis forsøger dette bevis sig med en ulovlig brug af Taylors formel. Hvis hypotesen er 1-dimensional, så findes et mellempunkt η med den ønskede egenskab. Men hvis hypotesen er flerdimensional, så er man nødt til at prikke på en fast vektor før man kan fremtrylle η. Essentielt skal man have fat i formlen p fremfor Det kan sagtens lade sig gøre, men forfatteren har ikke indset nødvendigheden heraf. Iøvrigt er der et par regulære trykfejl i beviset: der mangler en faktor 1 på restleddet i linie 4 og 5, og et 2 par index-n er hoppet op og står som potenser i linie 8 og 9. 19

20 107 1 Forkert: følger resultat ved at kombinere lemma 8.6, lemma 7.6 og Regularitetsbetingelse C. følger resultat ved at kombinere lemma 8.10, lemma 7.6 og Regularitetsbetingelse C Forkert: I praktiske sammenhænge bruges størrelsen i??) ofte som teststørrelse for hypotesen. Man taler om at man udfører et Wald test. Det er en lidt løsagtig formulering, der er brugt her. Et rigtigt Wald test er noget man kan regne ud i praksis. Størrelsen i 8.8) kan kun regnes ud hvis man kender den sande parameter, for man har behov for at indsætte det rigtige F. Når man i den virkelige verden laver et Wald test, så bruger man det F der hører til den estimerede parameter ˆβ n. Om man så kan opretholde en asymptotisk χ 2 -fordeling, afhænger af hvor kraftigt F varierer med den sande parameter - og det er iøvrigt meget vanskeligt at få til at gå op overhovedet, hvis reskaleringsskemaerne varierer med den sande parameter Forkert: D n D W for n. D n D W for n, Forkert: De involverede de lokale M-estimatorer, De involverede lokale M-estimatorer, 20

21 114 3 Forkert: l n Y 1,..., Y n, ξ) l n Y 1,..., Y n, 0) l ny 1,..., Y n, ξ) l ny 1,..., Y n, 0) Forkert: sup l n Y 1,..., Y n, ξ) l n Y 1,..., Y n, 0) ξ: ξ <c P 0 for n. sup l n Y 1,..., Y n, ξ) l n Y 1,..., Y n, 0) ξ: ξ <c P 0 for n Forkert: θ n = 1 n θ n = 1 n n Y I, i=1 n Y i, i= Forkert: fordi likelihoodligningen kun eh én løsning. fordi likelihoodligningen kun én løsning. 21

22 120 2 Forkert: Vi vil nu arbejde os frem mod en genrel karakterisering af hvornår iidṁodeller er regulære nok til at teorien finder anvendelse. Vi vil nu arbejde os frem mod en generel karakterisering af hvornår iid. modeller er regulære nok til at teorien finder anvendelse Forkert: gx, θ) dx 1 P )θ) < for alle θ Θ, gx, θ) dx 1 P )x) < for alle θ Θ, Forkert: µθ) = gx, θ) dx 1 P )θ) for θ Θ. µθ) = gx, θ) dx 1 P )x) for θ Θ. 22

23 121 3 Forkert: at udfaldsfunktionen θ 1 n n i=1 gx i, θ) konvergerer punktvist mod µθ) med sandsynligehed 1. at udfaldsfunktionen θ 1 n n i=1 gx i, θ) konvergerer punktvist mod µθ) med sandsynlighed Forkert: P θ : 1 n P θ : 1 n ) n gx i, θ) µθ) = 1,. i=1 ) n gx i, θ) µθ) = 1. i= Forkert: De inderste funktioenr, hvor der kun indgår et enkelt θ, De inderste funktioner, hvor der kun indgår et enkelt θ, Forkert: og den lokale majorisering i en omegn af θ sikrer at denne konvergens er majoriseret af et integreabelt h, ig hvert fald når n er stor nok. og den lokale majorisering i en omegn af θ sikrer at denne konvergens er majoriseret af et integreabelt h, i hvert fald når n er stor nok. 23

24 123 1 Forkert: For θ K finde et j = 1,..., M så θ Bθ j, κ j ). For θ K findes et j = 1,..., M så θ Bθ j, κ j ) Forkert: Dφθ) v = Dφx, θ) v dµx) for alle θ Θ v R d. Dφθ) v = Dfx, θ) v dµx) for alle θ Θ, v R d Forkert: Eftersom højre side af 9.4 er lineær i v, Eftersom højre side af 9.4) er lineær i v, Forkert: v φθ + v) φθ) Dφx, θ) v dµx) v φθ + v) φθ) Dfx, θ) v dµx) 24

25 129 4 Forkert: 1 n D2 l n Y 1,..., Y n, θ ) = 1 n n log f θ Y i ) i=1 P i θ ) for n, 1 n D2 l n Y 1,..., Y n, θ ) = 1 n n log f θ Y i ) i=1 P i 1 θ ) for n, Forkert: fordi den integrable majorisering af D 2 log f θ Y i ) sikrer at θ i θ) er kontinuert. fordi den integrable majorisering af D 2 log f θ Y i ) sikrer at θ i 1 θ) er kontinuert Forkert: Vi vil i dette kapitel diskutere eksempler på mere kompliceret modeller, Vi vil i dette kapitel diskutere eksempler på mere komplicerede modeller, 25

26 136 2 Forkert: 1 l n θ ) = 1 n i=1 f i θ ) Y i f i θ ) ) a n σ 2 n i=1 f. i θ ) 2 1 l a nθ ) = 1 n i=1 f i θ ) Y i f i θ ) ) n σ 2 n i=1 f. i θ ) Forkert: sup a nθ θ ) <c n i=1 f i θ)2 f i θ ) 2 n i=1 fi θ) f i θ ) ) f i n i=1 f + θ) i θ ) 2 n i=1 f 0 i θ ) 2 n i=1 sup f i θ)2 f i θ ) 2 n i=1 fi θ) f i θ ) ) f i θ) n i=1 f + i θ ) 2 n i=1 f 0. i θ ) 2 a nθ θ ) <c Forkert: Dermed giver Cauchy-Schwars ulighed Dermed giver Cauchy-Schwarz ulighed 26

27 Forkert: n i=1 f i θ ) 2 ) 1/2 nb 2 ) 1/2 n i=1 f i θ ) 2 θ θ n b 2 n i=1 f i θ ) 2 θ θ ) 2,. n i=1 f iθ ) 2 ) 1/2 nb 2 ) 1/2 n i=1 f i θ ) 2 θ θ n b 2 n i=1 f i θ ) 2 θ θ ) Forkert: n sup i=1 fi θ) f i θ ) ) f i θ) n i=1 f a n n b i θ ) 2 a nθ θ <c a n 2 c + 1 n b 2 a n 2 a 2 n c 2 a n 2 0, n sup i=1 fi θ) f i θ ) ) f i θ) n i=1 f a n n b i θ ) 2 a nθ θ ) <c a n 2 c + 1 n b 2 a n 2 a 2 n c 2 a n 2 0, Forkert: sup a nθ θ <c sup a nθ θ ) <c n i=1 f iθ) 2 f iθ ) 2 n i=1 f 0, i θ ) 2 n i=1 f iθ) 2 f iθ ) 2 n i=1 f 0, i θ ) 2 27

28 141 9 Forkert: for denne normering vill medføre at for denne normering ville medføre at Forkert: l n α.β) = n i=1 Yi i Y i ) e α+β i i e α+β i ). l n α.β) = n i=1 Yi i Y i ) e α+β i i e α+β i ), Fejl på opgaveark: 1 Forkert: Find kompakte mænger K 1, K 2, 4 4 Find kompakte mængder K 1, K 2, Opdaget af: Alexander Sokol 2 Forkert: Antag at hvis der findes θ 1, θ 2 0 så 2 1 Antag at der findes θ 1, θ 2 0 så Opdaget af: Esben Meulengracht Flachs 28

29 3 Forkert: Lad X 1, X 2,... være uafhængige, identisk fordelte reelle 2 7 stokastiske variable med andet moment. Lad X 1, X 2,... være uafhængige, identisk fordelte reelle stokastiske variable med andet moment. Antag at E X n = 0 og at V X n > 0 for alle n. 29