8 Regulære flader i R 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "8 Regulære flader i R 3"

Transkript

1 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således en mængde af formen U = V S, hvor V er en åben omegn af p i R 3. Definition 8.1. En delmængde S R 3 kaldes en regulær flade, hvis der til ethvert p S findes en åben omegn p U S af p i S og en åben mængde U R 2 samt en bijektion x: U U som opfylder: (i) x er differentiabel (C ), (ii) x er en homeomorfi, (iii) for ethvert q U er differentialet dx q : R 2 R 3 en injektiv afbildning. Funktionen x: U U kaldes en lokal parametrisering af S, parret (U, x) kaldes et lokalt koordinatsystem og U = x(u) en koordinatomegn eller kortomegn på S. x 1 : U U kaldes et kort på S. Bemærkning 8.2. (1) Betingelsen (ii) betyder at en delmængde U 1 U er åben (i sportopologien), hvis og kun hvis U 1 = x 1 (U 1) er åben i R 2. En måde at sikre dette på er at forlange (som do Camo gør) at x 1 : U U kan udvides til en kontinuert afbildning defineret på den åbne mængde V i R 3. (2) Betingelsen (iii) er for ethvert q U ækvivalent med en af følgende betingelser (iii) (iii) Matricen har rang 2. Vektorerne u (iii) Vektorproduktet u u Dx q = y u z u y z, er lineært uafhængige. er forskellig fra nul. I disse formler er x(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) for (u, v) U R 2, og hhv. betegner tangenterne til de respektive kurver u x(u, v u 0) hhv. v x(u 0, v) gennem punktet x = x(u 0, v 0 ). (3) Af definition 8.1 følger at S er overdækket af koordinatomegne U α = x α (U α ), α A, S = α A x α (U α ) da ethvert punkt af S er indeholdt i en sådan. 43

2 44 8. Regulære flader i R 3 Lemma 8.3. Lad S R 3 være en regulær flade og W S en delmængde. Så er følgende ækvivalente: (i) W er åben i S (i sportopologien). (ii) For ethvert koordinatsystem (U, x) gælder at x 1 (W ) R 2 er åben. (iii) For ethvert p W findes et koordinatsystem (U, x) med p x(u) så x 1 (W ) R 2 er åben. Bevis. (i) (ii) er klar da x: U S er kontinuert. (ii) (iii) er klar. (iii) (i). Overdæk W med koordinatomegne {U α} α A med tilhørende parametriseringer x α : U α U α, således at x 1 α (W ) = x 1 α (U α W ) er åben. Så er iflg. Definition 8.1 (ii) U α W åben i S så W = α A U α W er åben i S. Eksempel 8.4 (Sfæren). S 2 = {(x, y, x) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Lad U R 2, U = {(u, v) u 2 + v 2 < 1} og sæt x(u, v) = (u, v, 1 u 2 v 2 ), (u, v) U. Så er x(u) = U = S 2 V, (u, v) U hvor V = {(x, y, z) z > 0} og x 1 : U U er restriktionen af projektionen π : V U givet ved π(x, y, z) = (x, y). Dvs. x er en homeomorfi. Endvidere er Jacobi-matricen 1 0 Dx = 0 1 klart af rang 2. På samme måde dækkes den nedre halvkugle og tilsvarende den østlige og vestlige halvkugle med lokale kortomegne. Heref ses at S 2 er en regulær flade. På sfæren er det ofte nyttigt at bruge de sfæriske koordinater konstrueret som følger: Lad (θ, ϕ) R 2 og sæt x(θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ). Her er x ikke injektiv; men restriktionen til f.eks. U = {(θ, ϕ) 0 < θ < π, 0 < ϕ < 2π} er injektiv og afbilder på U S 2 \ C, hvor C = {(x, y, z) x 0}.

3 8.1. Generelle konstruktioner af flader 45 Hvad angår betingelserne (i) (iii) i Definition 8.1 er (i) klar og for (iii) udregnes let at cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ Dx = cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ sin θ 0 så θ ϕ 2 = (cos 2 θ + sin 2 θ) sin 2 θ 0 = sin 2 θ 0 for 0 < θ < π, dvs. (iii) er opfyldt. At (ii) er opfyldt følger af en sætning som vises senere. 8.1 Generelle konstruktioner af flader Graf for en differentiabel (C ) funktion Proposition 8.5. Lad U R 2 være en åben mængde og f : U R en C funktion. Så er grafen for F en regulær flade. S = {(x, y, f(x, y)) (x, y) U} Bevis. Vi har ét koordinatsystem (U, x), med x: U S = U defineret ved x(u, v) = (u, v, f(u, v)), (u, v) U. Idet V = U R R 2 R = R 3 er V S = S og x 1 = π S, hvor π(x, y, z) = (x, y), for (x, y, z) V. Heraf ses at (i) og (ii) i Definition 8.1 er opfyldt. Endvidere er det klart at Jacobi-matricen 1 0 Dx = 0 1 har rang 2 i ethvert punkt af U. f u Løsningsmængden for en ligning Definition 8.6. Lad U R n åben, F : U R m en C funktion. 1. p U kaldet et kritisk punkt og F (p) en kritisk værdi for F hvis df p : R n R m ikke er surjektiv, dvs. hvis rang DF p < m. 2. p U kaldes et regulært punkt hvis det ikke er kritisk, dvs. hvis rang DF p = m. 3. a R m kaldes en regulær værdi hvis det ikke er en kritisk værdi, dvs. hvis ethvert p F 1 (a) er et regulært punkt, altså hvis f rang DF p = m, p F 1 (a).

4 46 8. Regulære flader i R 3 Vi skal særligt betragte f : U R, U R 3. I dette tilfælde (med variable (x, y, z) R 3 ) er Jacobi-matricen for f givet ved gradienten ( ) f f f Df p = (p), (p), y z (p) = ( f x (p), f y (p), f z (p) ), og der gælder p U er kritisk punkt f f f (p) = (p) = (p) = 0 (8.1) y z a R er regulær værdi Df p (0, 0, 0) p f 1 (a). (8.2) Proposition 8.7. Lad U R 3, f : U R en C funktion og lad a R være en regulær værdi. Så er S = f 1 (a) R 3 en regulær flade. Bevis. Bemærk at S = f 1 (a) = { (x, y, z) U f(x, y, z) = a } og lad p = (x 0, y 0, z 0 ) S. Så gælder ifølge antagelserne Df p (0, 0, 0). Antag uden indskrænkning f (p) 0 og definer F : U z R3 ved x F (x, y, z) = y. f(x, y, z) Jacobi-matricen for denne afbildning i p er DF p = f (p) f y (p) f z (p) så det DF p (p) 0. Ifølge Invers Funktionssætningen (Sætning Addendum 7.6) kan vi finde åbne omegne V af p = (x 0, y 0, z 0 ) og W af F (p) = z (x 0, y 0, a) så F : V W er en diffeomorfi. Uden indskrænkning kan vi antage W = N (a ɛ, a + ɛ), N R 2 en åben omegn af (x 0, y 0 ), ɛ > 0. Idet vi bruger de variable (u, v, t) W R 3 er = f F (x, y, z) = ( x, y, f(x, y, z) ) = (u, v, t), (u, v) N, a t < ɛ dvs. (x, y, z) = F 1 (u, v, t) = ( u, v, g(u, v, t) ). Specielt for t = a fås f(u, v, g(u, v, a)) = a (8.3) Sæt h(u, v) = g(u, v, a), for (u, v) N. Påstand. f 1 (a) V = grafen for h = {(u, v, h(u, v)) (u, v) N}.

5 8.1. Generelle konstruktioner af flader 47 Thi lad (u, v) N; så er q = (u, v, h(u, v)) f 1 (a) ifølge (8.3), og da F = (u, v, a) W er q V. Omvendt lad q = (x, y, z) f 1 (a) V. Så er F (x, y, z) = (x, y, a) N {a}, så (x, y) N og z = g(x, y, a) = h(x, y), så q grafen for h. Dette viser ovenstående påstand. Ifølge Proposition 8.5 er f 1 (a) V nu en regulær flade med lokalt kort x: N f 1 (a) V givet ved x(u, v) = (u, v, h(u, v)), hvilket dermed givet et lokalt koordinatsystem for S i en omegn af p. Eksempel 8.8 (Ellipsoiden). Lad a, b, c > 0 og betragt S R 3 : Sæt Så et S = f 1 (0) og S = {(x, y, z) R 3 x 2 } a + y2 2 b + z2 2 c = 1. 2 f(x, y, z) = x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1, (x, y, z) R3. Df (x,y,z) = ( 2x a, 2y 2 b, 2z ). 2 c 2 Denne vektor er kun nul for (x, y, z) = (0, 0, 0), så det eneste kritiske punkt for f er (0, 0, 0) som ikke ligger på S. Ifølge Proposition 8.7 er S derfor en regulær flade. Specielt for a = b = c = 1 fås at S = S 2 er en regulær flade. Eksempel 8.9 (Omdrejningshyperboloiden). Lad Så er S = f 1 (0) for funktionen S = { (x, y, z) R 3 x 2 y 2 + z 2 = 1 }. f(x, y, z) = x 2 y 2 + z 2 1, (x, y, z) R 3. Igen er kun (0, 0, 0) kritisk punkt for f og (0, 0, 0) / S så S er en regulær flade. Bemærk at S ikke er kurvesammenhængende. Thi antag γ : [0, 1] S kontinuert kurve så γ(0) = (0, 0, 1) og γ(1) = (0, 0, 1) og skriv γ på formen γ(t) = ( x(t), y(t), z(t) ). Så er z(t) en kontinuert funktion så z(t) 2 = 1 + x(t) 2 + y(t) 2 1 for alle t [0, 1]; dvs. enten z(t) 1 t [0, 1] eller z(t) 1 t [0, 1]. Men dette strider mod at z(0) = 1 og z(1) = 1.

6 48 8. Regulære flader i R 3 Eksempel 8.10 (Torus eller ringfladen). Vælg 0 < r < a og betragt cirklen i (y, z)-planen med centrum i (0, a, 0) og radius r. Denne roteres omkring z-aksen hvorved fladen S dannes S = { (x, y, z) R 3 ( x2 + y 2 a ) 2 + z 2 = r 2} Her er S V = { (x, y, z) R 3 (x, y) (0, 0) } og f : V R givet ved f(x, y, z) = ( x2 + y 2 a ) 2 + z 2 r 2 er C. Nu er S = f 1 (0) og ( ( 2x x2 + y 2 a ) Df (x,y,z) =, 2x( x 2 + y 2 a ) ), 2z x2 + y 2 x2 + y 2 så mængden C af kritiske punkter for f er C = {(x, y, z) R 3 z = 0 og enten x = y = 0 eller x 2 + y 2 = a 2 } Da C S = er S en regulær flade. Proposition Lad S R 3 være en regulær flade og lad p S. Så findes en åben omegn V S af p så V er grafen for en C funktion på formen z = f(x, y), y = g(x, z) eller x = h(y, z). Bevis. Lad (u, x) være et lokalt koordinatsystem med p = x, q U, og U = x(u). Så er og x(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ), (u, v) U R 2, u Dx q = y u z u y z har rang 2. Vi kan så uden indskrænkning antage ( u det ) y y 0. u Betragt π : R 3 R 2 givet ved π(x, y, z) = (x, y), så ( π x ) (u, v) = ( x(u, v), y(u, v) ) har invertibel Jacobi-matrix i q. Ifølge Invers Funktionssætningen (Sætning 7.4) findes åbne omegne V 1 U af q og V 2 = ( π x ) (V 1 ) R 2 så π x: V 1 V 2 er en diffeomorfi. Så er V = x(v 1 ) en åben omegn af p S, og x (π x) 1 : V 2 V R 3 er en C afbildning. Men π ( x ( π x ) 1 ) (x, y) = (x, y) så der findes en C funktion f : V 2 R så x ( π x ) 1 (x, y) = ( x, y, f(x, y) ), (x, y) V2. Dvs. V er grafen for f.

7 8.1. Generelle konstruktioner af flader 49 Bemærkning. Her er x 1 = x ( π x ) 1 : V2 V altså et koordinatsystem ligesom i Proposition 8.5. Vi vil kalde et sådant for et graf-koordinatsystem. Proposition 8.11 udtrykker altså at ethvert punkt på en regulær flade har en koordinatomegn for et graf-koordinatsystem. Hvis en delmængde S R 3 vides at være en regulær flade er betingelse (ii) i Definition 8.1 for et koordinatsystem overflødig: Proposition Lad S R 3 være en regulær flade, lad U R 2 være åben og lad x: U S være en injektiv afbildning så (i) x: U S R 3 er C, (iii) for alle q U er dx q : R 2 R 3 injektiv Så er U = x(u) åben i S og (ii) x: U U er en homeomorfi. Bevis. Det er nok at vise at U = x(u) er åben; thi så gælder for enhver åben delmængde U 1 U også at x(u 1 ) S er åben da betingelserne i propositionen er opfyldt for x U1 : U 1 S. Heraf følger (ii). For at vise at U = x(u) er åben i S er det ifølge Lemma 8.3 nok at vise at der for et vilkårligt p U findes et passende koordinatsystem y : W S med p W = y(w ) så y 1 (U ) er åben i R 2. Hertil kan vi ifølge Proposition 8.11 vælge et graf-koordinatsystem y(x, y) = ( x, y, f(x, y) ), (x, y) W R 2, med invers afbildning π W : W W, hvor igen π er projektionen π(x, y, z) = (x, y) for (x, y, z) R 3. Så er N = x 1 (W ) U åben og h = π W x: N W er givet ved h(u, v) = ( x(u, v), y(u, v) ). Nu er x = y h, så ifølge kædereglen og forudsætning (iii) har h ikke-singulær Jacobi-matrix i ethvert punkt af N. Ifølge Invers Funktionssætningen (Sætning 7.4) er h så en lokal diffeomorfi og da den samtidig er injektiv er h(n) = y 1( x(n) ) = y 1 (W U ) = y 1 (U ) åben i W R 2, hvilket skulle vises. Sætning Lad S være en regulær flade og x: U U et koordinatsystem på S. Lad W R n være en åben mængde og f : W R 3 en C -afbildning, således at f(w ) U. Så er x 1 f : W U en C -afbildning. Bevis. Vi bruger samme teknik som ovenfor. Det er nok at vise at x 1 f er C i en omegn af et vilkårligt punkt p W. Lad f(p) = x, q U og antag som i beviset for Proposition 8.11 at Jacobi-matricen for π x(u, v) = ( x(u, v), y(u, v) ) er ikke-singulær i punktet q. (Igen er π : R 3 R 2 projektionen π(x, y, z) = (x, y), (x, y, z) R 3.) Igen følger det af Invers Funktionssætningen at der findes åbne

8 50 8. Regulære flader i R 3 omegne V 1 U af q så ( π x ) (V 1 ) = V 2 R 2 er åben og h = π x: V 1 V 2 er en diffeomorfi. Sæt V 1 = x(v 1 ) S som altså er en omegn af x = f(p); og igen er y = x h 1 : V 2 V 1 et graf-koordinatsystem med invers y 1 = h x 1 = π V 1. Da nu f : W S R 3 er kontinuert mht. sportopologien for S R 3 kan vi uden indskrænkning antage f(w ) V. Men så er x 1 f = x 1 y y 1 f = h 1 π f som er en sammensætning af C afbildninger og dermed C. Korollar Lad W R n være åben og f : W R 3 en kontinuert afbildning med f(w ) S, S R 3 en regulær flade. Så er flg. ækvivalente: (i) f : W R 3 er en C afbildning. (ii) For ethvert koordinatsystem (U, x) med koordinatomegn U S er x 1 ( f f 1 (U )) : f 1 (U) U en C afbildning. (iii) Der findes overdækning { } U α af S med koordinatonegne hørende til koordinatsystemer (U α, x α ) så x 1 α ( f f 1 (U α)) α A er C for alle α A. Bevis. Umiddelbart fra Sætning 8.13 og Lemma 8.3. Korollar 8.15 (Parameterskift-sætningen). Lad S R 3 være en regulær flade, lad p S og x: U U, y : V V to koordinatsystemer med p U V = W. Så er h = x 1 y : y 1 (W ) x 1 (W ) en diffeomorfi med C invers h 1 = y 1 x 1. Bevis. h er klart bijektiv. Nok at vise at h er C, thi så er h 1 = y 1 x også C ved symmetri. Men h er C ifølge Sætning 8.13 anvendt på koordinatsystemet (V, y). Korollar Lad S være en regulær flade, f : S R n en afbildning og lad p S. Lad endvidere x: U U, y : V V være to koordinatsystemer med p U V. Så gælder f x er C i en omegn af x 1 (p), hvis og kun hvis f y er C i en omegn af y 1 (p). Bevis. Lad W = U V. Så er h = y 1 x: x 1 (W ) y 1 (W ) en diffeomorfi. Så hvis f x er C i en omegn Ω af x 1 (p) er f y = f x x 1 y = f x h 1 C i omegnen h(ω) af h ( x 1 (p) ) = y 1 (p). Det omvendt følger ved symmetri.

9 8.1. Generelle konstruktioner af flader 51 Definition (i) En afbildning f : S R n kaldes C i en omegn af p S hvis der findes et koordinatsystem x: U U S så f x er C i en omegn af x 1 (p). (ii) f : S R n kaldes C hvis f er C i en omegn af p for alle p S. Bemærkning Det følger af Korollar 8.16 at hvis f : S R n er C så er f x: U R n C for ethvert koordinatsystem (U, x). Eksempel Lad S være en regulær flade, S V, V R 3 en åben delmængde og lad f : V R n være en C afbildning. Så er f S : S R n en C afbildning. Special tilfælde er følgende: (1) Højdefunktionen: Lad v R 3, v = 1, og definer h: S R ved h(p) = v p, p S, hvor betegner sædvanligt indre produkt i R 3. Her er h klart restriktionen af en C funktion på hele R 3. (2) Afstandsfunktionen i anden : Lad p 0 S og sæt f(p) = p p 0 2 = (p p 0 ) (p p 0 ), p S. Så er igen f restriktionen af en C funktion på hele R 3. Vi har altså set at en afbildning fra (en åben delmængde i) R n til en flade S eller fra fladen S til R n er C hvis og kun hvis sammensætningen med lokale parametriseringer giver C afbildninger. Vi vil definere differentiabilitet for afbildninger mellem flader på en analog måde: Lad S 1, S 2 R 3 være regulære flader og antag at ϕ: S 1 S 2 er en kontinuert afbildning mth. sportopologien på S 1 og S 2. For et punkt p S 1 kan vi finde koordinatsystemer x 1 : U 1 U 1 S 1 og x 2 : U 2 U 2 S 2 med p U 1 og ϕ(u 1) U 2 og vi definerer nu: Definition (i) En kontinuert afbildning ϕ: S 1 S 2 kaldes C i en omegn af p S 1 hvis der findes koordinatsystemer som ovenfor så afbildningen x 1 2 ϕ x 1 : U 1 U 2 er C i en omegn af x 1 1 (p). (ii) En kontinuert afbildning ϕ: S 1 S 2 kaldes C hvis den er C i en omegn af p for alle p S 1. (iii) En bijektion ϕ: S 1 afbildninger. S 2 kaldes en diffeomorfi hvis både ϕ og ϕ 1 er C

10 52 8. Regulære flader i R 3 Korollar Lad S 1, S 2 være regulære flader og ϕ: S 1 S 2 en kontinuert afbildning. Så er følgnde udsagn ækvivalente: (i) ϕ: S 1 S 2 er en C afbildning (iflg. Definition 8.20). (ii) ϕ: S 1 R 3 er en C afbildning (iflg. Definition 8.17). (iii) For et vilkårligt par af koordinatsystemer x 1 : U 1 U 1 S 1, x 2 : U 2 U 2 S 2, med ϕ(u 1) U 2 er afbildningen x 1 2 ϕ x 1 : U 1 U 2 en C afbildning. Bevis. Opgave. Eksempel Lad S 1, S 2 være regulære flader og antag S 1 V 1, S 2 V 2, V 1, V 2 R 3 åbne delmængder. Lad f : V 1 V 2 være en diffeomorfi med f(s 1 ) = S 2. Så er ϕ = f S1 : S 1 S 2 en diffeomorfi med invers f 1 S2. Thi både ϕ og ϕ 1 er C ifølge Eksempel 8.19 og Korollar Special tilfælde er følgende (1) Affin afbildning. Lad f : R 3 R 3 være en afbildning på formen f(p) = p 0 + Ap, hvor p 0 R 3 er fast og A er en given invertibel matrix. Antag at f(s 1 ) = S 2. Så er ϕ = f S1 : S 1 S 2 en diffeomorfi. (2) Spejling. Lad σ : R 3 R 3 være givet ved σ(x, y, z) = (x, y, z) og antag at en flade S tilfredsstiller p S σ(p) S. Så er σ : S S en diffeomorfi med invers σ da σ 2 = id. Et eksempel på S er omdrejningshyperboloiden (Eksempel 8.9). (3) Rotation. For θ R lad R θ : R 3 R 3 være den lineære afbildning givet ved matricen cos θ sin θ 0 sin θ cos θ Bemærk at R θ R θ = id, så hvis det for en flade S gælder at R θ (S) = S for alle θ R så er R θ : S S en diffeomorfi for alle θ. I så fald kaldes S rotationsinvariant. Et eksempel er torus (Eksempel 8.10). Mere generelle eksempler ses herunder.

11 8.1. Generelle konstruktioner af flader 53 Eksempel 8.23 (Omdrejningsflade). I (x, z)-planen betragtes en regulær parametriseret kurve α: (a, b) R 3 α(v) = ( f(v), 0, g(v) ), v (a, b). Dvs. ( f (v), g (v) ) (0, 0) v (a, b). Lad C = α(a, b) og antag (i) α: (a, b) R 2 (= R {0} R) er injektiv, (ii) f(v) > 0 for alle v (a, b), (iii) α: (a, b) C er en homeomorfi. Sæt S = { (x, y, z) R 3 ( x2 + y 2, 0, z ) C }. Proposition S er en regulær flade som er rotations-invariant. Bevis. Det ses let at R θ (S) = S for alle θ R, så vi skal blot vise at S er en regulær flade. Lad os vise at U = S {(x, y, z) y > 0} er en regulær flade idet det er analogt for S {(x, y, z) y < 0}, S {(x, y, z) x > 0 } og S {(x, y, z) x < 0}. Sæt U = ( 1, 1) (a, b) R 2 og definer x: U U ved x(u, v) = ( uf(v), f(v) 1 u 2, g(v) ), (u, v) U. Så er x klart C og bijektiv med x 1 : U U givet ved x 1 (x, y, z) = (u, v), hvor v = α 1( x2 + y 2, 0, z) og u = x / ( v = x α 1( x2 + y 2, 0, z )) for (x, y, z) U. Da α 1 : C (a, b) er kontinuert er x 1 : U U kontinuert. Endelig er Jacobi-matricen for x: f(v) uf (v) Dx (u,v) = uf(v) 1 u 2 1 u2 f (v) 0 g (v) som let ses at have rang 2 ifølge forudsætningerne på α. Dvs. at (U, x) er et lokalt koordinatsystem så S er en regulær flade.

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Geom2-dispositioner (reeksamen)

Geom2-dispositioner (reeksamen) Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Implicit givne og inverse funktioner

Implicit givne og inverse funktioner Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås

5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås 5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Kurve- og plan-integraler

Kurve- og plan-integraler enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.

Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1 Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Den lineære normale model

Den lineære normale model Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af

Læs mere

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/26 PSfrag replacements Statistisk

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Punktgrupper. Klaus Thomsen

Punktgrupper. Klaus Thomsen Punktgrupper Klaus Thomsen 1. Forord Disse noter er skrevet med henblik på et efteruddannelses-kursus for gymnasielærere i matematik og/eller kemi. Formålet er at give en introduktion til matematikken

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/23 Statistisk hypotese PSfrag replacements

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Integration m.h.t. mål med tæthed

Integration m.h.t. mål med tæthed Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 6 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej

Læs mere

Minimalflader i R 3 : Weierstrassrepræsentation og Costas flade

Minimalflader i R 3 : Weierstrassrepræsentation og Costas flade Minimalflader i R 3 : Weierstrassrepræsentation og Costas flade 9. juni 0, Aarhus Bachelorprojekt af Mikkel Stouby Petersen, 009877 Vejleder: Lektor Andrew Swann AARHUS AU UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 8 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere