Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 Transverse motion, Lattices

Transkript

1 Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 Transverse motion, Lattices Optiske elementer: Styring og fokusering. Bevægelsesligningen og dens løsning. Stabilitet. Typiske latticekonfigurationer.

2 Koordinatsystem og notation z ρ centralbane s og z er altså afvigelse fra centralbanen i horisontalt og vertikalt plan. d/ds og z dz/ds er divergensvinklerne i forhold til centralbanen. Ofte ses y benyttet for den vertikale afvigelse, ligesom man af og til ser z anvendt i stedet for s.

3 Dipoler: Afbøjningsvinkel θ sin 2 l 2ρ lb 2( Bρ) For θ << π : 2 θ lb Bρ

4 Dipolmagneter: Fokusering i sektormagnet i i sinα i cosα f Δθ dvs : r g f i i / tanα cosα f f Δθ i cosα sinα / r i sinα / g r g Dvs. at en 90 dipol har f0, og at en 180 har f

5 Dipoler: Vertikal fokusering y B s (main orbit) s Ved at ændre vinklen mellem felt og bane kan en vertikal fokusering opnås som vist. Det ses at hvis β 0 er B 0, hvilket giver en vertikal kraft. Vinklen kan vælges således at stigmatisk fokusering opnås, dvs ens fokusering både vertikalt og horisontalt. Dette kaldes en fringing field lens eller randfeltlinse.

6 Dipoler: Dobbeltfokuserende magnet Fringing field lens

7 Kvadrupol (1) B F B F y samt samt B F y Horisontalt fokuserende for positive partikler på vej ind i tavlen y y

8 Alternating Gradient (AG) Fokusering Beamet er altid længere fra den optiske akse i de fokuserende elementer end i de defokuserende, derfor er nettoeffekten fokuserende.

9 Kvadrupol (2) kl f f Fokallængde lk B d db l B lb p B d db B k en kvadrupol Styrken af z z 1/ ' / : ) / ( ' ) ( 1 : Δ Δ ρ ρ θ ρ ρ

10 Quadrupol doublet fokusering Horizontal: Vertical:

11 Quadrupol triplet fokusering Horizontal: Vertical:

12 Strong focusing animation

13 Fokusering ' d ds v v

14 Faserum

15 Fokusering, beam envelope

16 Bevægelsesligningen (Hill s ligning) (1) 0 ) ( '' ) ( '' ' / ' ' ) ( : 1, 1 : + z s k z eller z s k z ds dz kz ds f z dz fokuserende vertikalt positiv k Vertikalt kl f d db B k pol Q z θ ρ 0 ) ( ) ( 1 '' ) : ( '.:, / ) tan( 2 /, ) tan( : : << s k s Q D og både alt I ds d ds f dvs ds f dipolfokusering fra Også bidrag Horisontalt D D ρ ρ ρ ρ α α π α α ρ

17 Bevægelsesligningen (Hill s ligning) (2) Vertikalt : z'' + k( s) z 0 I en constant-gradient maskine (f.e. Cosmotronen) er k konstant, og løsningen til Hill s ligning er derfor en harmonisk oscillator: z z sin( φ), hvor φ' o 2π λ I vort tilfælde ligner løsningen ovenstående, men amplituden og faseudviklingen er ikke længere konstante: Vi ser her, at mens ε er konstant, kan β betragtes som proportional med den lokale bølgelængde i bevægelsen, i.e. hvor hurtigt retningen ændres

18 Bevægelsesligningen (Hill s ligning) (3) Løsningen for og er har altså formen: Stor Med rigtigt valg af styrke og afstand af Q-polerne er β stor i F q-poler og lille i D q-poler β Lille

19 Beam envelope og β Beam envelope βε ε er konstant, men ββ(s) Ti omgange i ASTRID. I løbet af mange omgange udfyldes hele arealet indenfor beam envelope. Bemærk sammenhængen mellem β og λ.

20 Q-værdi Q-værdien er betratron-bølgetallet, dvs. hvor mange svingninger en partikel udfører pr. omgang i maskinen. Se igen på en konstant-gradient maskine: Faseudvikling på én omgang: Dvs, at antal svingninger er : og dermed β R/Q Dette er også en god approimation for den gennemsnitlige betafunktion i AG maskiner. Det er vigtigt at undgå, at Q er et heltal. Hvorfor? Hvordan undgås det?

21 Matribeskrivelse Følg en løsning til Hill s ligning fra punkt til punkt v. hj. af en transportmatri. På generel form: M 21 er en funktion af β(s) og φ(s), og vi har en transformationsmatri for hvert element i ringen, f.e. dipol, q-pol, driftspace etc. På denne måde kan vi komme fra ethvert punkt i ringen til ethvert andet, simpelthen ved at multiplicere et antal matricer der repræsenterer de elementer vi gennemløber. Spørgsmålet er nu, hvordan sammenhængen mellem M 21 og β(s) (og dermed φ(s)). Løsningen er Twiss-matricen.

22 Twiss matricen Vi vil her postulere Twiss-matricen, der er den basale transportmatri for periodiske lattices: hvor μ er faseudviklingen pr. celle, og vi har indført disse funktioner af β : (α, β og γ kaldes ogsåtwiss eller Courant-Snyder parametre)

23 Stabilitet For at strukturen er stabil kræves at matricen {M(s)} Nk ikke divergerer, da den jo beskriver transformationen efter k gennemløb af ringens N perioder. En egenværdi opfylder MYλY, hvor Y(y,y ). Løsning af determinantligningen det(m-λi)0 giver λ 2 -λ(a+d)+10 (benyt at det(m)1) Løsningen kan skrives: λ cosμ±isinμ e ±iμ, hvor cosμ½tr(m)½(a+d) For at have stabilitet kræves at μ er reel. hvilket medfører at ½Tr(M) <1 og λ 1 Disse betingelser er en test for stabilitet!

24 Udregning af Twiss-parametre Hvis vi kendte a, b, c og d kunne vi udregne Twiss-parametrene: Procedure: Vælg et punkt i ringen, multiplicér transportmatricerne én periode frem og find dermed a,b,c og d. Så kan Twiss-parametrene udregnes jvf. ovenfor.

25 Transportmatricer (1) Hvert element i ringen har sin egen transportmatri: Driftspace af længde l: Her transformeres (, ) til (+ l, ) (Hill), hvilket kan skrives således: Transportmatricen for driftspace er altså simpethen

26 Quadrupoler: Transportmatricer (2) Husk Hill s ligning: +k0, eller Δ -kl Dvs. at (, ) transformerer til (, -kl) Altså kan vi skrive transportmatricen: Ovenstående gælder dog kun for en tynd Q-pol (i forh. til fokallængden). For en generel Q-pol med længde l ser det sådan ud:

27 Transportmatricer (3) Dipoler: Nedenstående gælder for en sektormagnet med radius ρ og vinkel θ: Bemærk fokuseringen i M h. Vi regnede tidligere ud (Slide 5) at vinkelændringen som funktion af i en sektordipol er Δ θ sinα /, heraf fokuseringsleddet. i r g I vertikal retning er der blot tale om drift, idet ρθ jo er banelængden i dipolen

28 Latticeprogrammer Latticeprogrammer som f.eks. MAD (Iselin and Grote) og WINAgile (Bryant) benytter transportmatricer til at finde Twiss-parametrene. Eksempel: FODO lattice: CERN SPS: Vi vil nu prøve at lave en simpel FODO lattice i WINAgile.