Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Transkript

1 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums metoder Potensrækker Differentialligninger Calculus Uge

2 Oversigt Matematik Alfa, Januar 2003 Opgaver. Find gradient og retningsafledt 2. Angiv egenvektorer 3. Beregn et dobbeltintegral 4. Beregn en ortogonal projektion 5. Løs en lineær differentialligning 6. Angiv en potensrække og find en grænseværdi 7. Bestem kritiske punkter og ekstrema Calculus Uge

3 Find gradient Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave Betragt funktionen f(x, y) = + y x + y for x > 0, y > 0. ) Angiv f (5, 2). x 2) Angiv f(5, 2). 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0. Calculus Uge

4 Find gradient Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave - løsning ) De partielle afledede beregnes 2) Gradienten angives f x = y (x + y) 2 f y = x (x + y) 2 f x (5, 2) = 3 49 f(5, 2) = (f x (5, 2), f y (5, 2)) = ( 3 49, 4 49 ) Calculus Uge

5 Find gradient Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave - løsning 7 f u (5,2) 3. I retning u = (u, u 2 ) er den retningsafledede D u f(5, 2) = f(5, 2) u 5 6 x = ( 3 49, 4 49 ) (u, u 2 ) = 49 ( 3u + 4u 2 ) Calculus Uge

6 Find gradient Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave - løsning Den retningsafledede for En løsning er D u f(5, 2) = 49 ( 3u + 4u 2 ) = 0 3u + 4u 2 = 0 u 2 + u 2 2 = u = ( 4 5, 3 5 ) Calculus Uge

7 Find gradient Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave - ekstra z x y Grafen z = +y x+y Calculus Uge

8 Find gradient Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave - figur y 0 Tangenter til niveaukurver for z = +y x+y. x Calculus Uge

9 Find gradient Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave - figur y 0 Skalerede gradienter 4 z for z = +y x+y. x Calculus Uge

10 Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 2 Betragt matricen A = ) Det oplyses, at vektoren (,, ) er en egenvektor for A. Angiv den tilhørende egenværdi. 2) Angiv endnu en egenvektor til dennne egenværdi; der ønskes en egenvektor, som ikke er af form t (,, ). Calculus Uge

11 Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 2 - løsning. Egenværdi hørende til egenvektoren (,, ): = = 8 giver egenværdi Egenvektorer hørende til egenværdien 8: A 8I = Calculus Uge

12 Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 2 - løsning giver det reducerede ligningssystem og dermed x + 4x 2 3x 3 = 0 x x 2 x 3 = x = 4x 2 + 3x 3 4x 2 + 3x 3 4 = x 2 x 2 x x hvor x 2, x 3 vælges frit. Som egenvektor ej på form t (,, ) kan vælges ( 4,, 0). Calculus Uge

13 Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 2 - gør prøve! = = = = Så prøven stemmer! Calculus Uge

14 Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 2 - figur z (,,) ( 4,,0) (3,0,) x y Egenvektorer Calculus Uge

15 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 3 Lad T betegne trekanten i xy-planen med hjørner (0, 0), (0, ), (2, ) (tegn!). ) Opskriv to itererede integraler til udregning af et dobbeltintegral af form f(x, y) da. 2) Udregn dobbeltintegralet T T x sin(y 3 ) da. Calculus Uge

16 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 3 - figur y (2,) 0 2 x T = {(x, y) 0 x 2, 2 x y } = {(x, y) 0 y, 0 x 2y} Calculus Uge

17 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 3 - løsning T = {(x, y) 0 x 2, x y } 2 = {(x, y) 0 y, 0 x 2y} Dobbeltintegralet er Type I: f(x, y) da = T 2 0 f(x, y) dy dx 2 x Dobbeltintegralet er Type II: T f(x, y) da = 0 2y 0 f(x, y) dx dy Calculus Uge

18 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 3 - løsning x sin(y 3 ) da = T = = = y 0 x sin(y 3 ) dx dy [ 2 x2 sin(y 3 ) 2y 2 sin(y 3 ) dy [ 2 3 cos(y3 ) ] 0 ] x=2y x=0 dy = 2 ( cos()) Calculus Uge

19 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 3 - figur z 0 x 2 E = {(x, y, z) (x, y) T, 0 z x sin(y 3 )} y Calculus Uge

20 Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 4 Betragt følgende vektorer i R 4, u = (, 0, 0, 0) u 2 = (0,,, 0) u 3 = (0,,, ) Det oplyses at disse vektorer er indbyrdes ortogonale. Lad U betegne det lineære underrum af R 4, som er udspændt af u, u 2 og u 3. Lad v betegne vektoren v = (0,, 0, 5). ) Angiv projektionen (= den ortogonale projektion) proj U (v) af v ind på U. 2) Angiv afstanden fra v til U. Calculus Uge

21 Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 4 - løsning ) Fra Sætning 7 fås projektionen af v = (0,, 0, 5) på u = (, 0, 0, 0), u 2 = (0,,, 0), u 3 = (0,,, ) proj U (v) = proj u (v) + proj u2 (v) + proj u3 (v) = v u u u u + v u 2 u 2 u 2 u 2 + v u 3 u 3 u 3 u 3 = 0 (, 0, 0, 0) + 2 (0,,, 0) (0,,, ) = (0, 5 2, 3 2, 2) Calculus Uge

22 Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 4 - løsning Restvektoren v proj U (v) = (0,, 0, 5) (0, 5 2, 3 2, 2) = (0, 3 2, 3 2, 3) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u = (0, 3 2, 3 2, 3) = 27 2 = Calculus Uge

23 Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 4 - figur v v u U u = proj U (v) Ortogonal projektion på underrum U Calculus Uge

24 Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 5 Angiv den fuldstændige løsning y(x) til differentialligningen (for x > 0) y + y x = 2x. Angiv endvidere den løsning, der opfylder betingelsen y(2) = 5. Calculus Uge

25 Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 5 - løsning y + y x = 2x a(x) = x, b(x) = 2x A(x) = B(x) = a(x) dx = x dx = ln x e A(x) b(x) dx = e ln x 2x dx = 2x Calculus Uge

26 Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 5 - løsning Som giver fuldstændig løsning y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) = Ce ln x + 2xe ln x = C x + 2 Calculus Uge

27 Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 5 - retningsfelt y 0 x I punktet (x, y) tegnes et kort linjestykke med hældning y (x) = y x + 2 x. Calculus Uge

28 Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 5 - løsning I den partikulære løsning bestemmes C ved y(2) = 5. I alt er løsningen y(2) = C = 5 y(x) = 6 x + 2 Calculus Uge

29 Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 5 - figur y 0 x Løsningskurve y(x) = 6 x + 2 Calculus Uge

30 Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 6 ) Angiv en potensrækkefremstilling for x sin x. 2) Angiv grænseværdien lim x 0 x sin x x 3 cos x. Løsning ) Benyt potensrækken sin x = n=0 ( ) n (2n + )! x2n+ Calculus Uge

31 Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 6 - løsning sin x =! x 3! x3 + 5! x5... til at få skrevet ud x sin x = n= ( ) n+ (2n + )! x2n+ x sin x = 3! x3 5! x Calculus Uge

32 Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 6 - løsning 2) Dermed er f(x) = x sin x x 3 = n= ( ) n+ (2n + )! x2n 2 = 3! 5! x2... Det følger, at lim x 0 x sin x x 3 cos x = lim x 0 f(x) cos x = f(0) cos 0 = 6 Calculus Uge

33 Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 6 - figur y 0 x Grafen for y = x sin x x 3 cos x Calculus Uge

34 Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 7 Minimer x 2 + xy + y 2 under bibetingelsen x 2 + y 2 = 8. Det kan frit benyttes at et sådant minimum eksisterer. Løsning Sæt f(x, y) = x 2 + xy + y 2 og g(x, y) = x 2 + y 2 = 8. De partielle afledede er f x = 2x + y, f y = x + 2y g x = 2x, g y = 2y Calculus Uge

35 Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 7 - fortsat Lagrange ligningssystem bliver 2x + y = λ2x x + 2y = λ2y x 2 + y 2 = 8 Løsningen giver x = ±y og videre fire punkter ( 3, 3), ( 3, 3), (3, 3), (3, 3) Indsættelse giver minimumspunkter/værdi (a, b) = ( 3, 3), (3, 3), f(a, b) = 9 Calculus Uge

36 Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 7 - figur z (3, 3,9) ( 3,3,9) x y Grafen for f Calculus Uge

37 Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 2003 Opgave 7 - alternativt Løs bibetingelsen, y = ± 8 x 2 og minimer funktionen Løsning Den afledede er h(x) = f(x, ± 8 x 2 ) = 8 ± x 8 x 2 h (x) = 36x 4x3 2 8x 2 x 4 De kritiske punkter a = ±3 giver minimumspunkter/værdi (a, b) = ( 3, 3), (3, 3), f(a, b) = 9 Calculus Uge