OBLIGATIONSINVESTERING

Transkript

1 HD Finansiering Afhandling 8. semester OBLIGATIONSINVESTERING Med fokus på horisontafkast, porteføljesammensætning og afdækning af renterisiko Udarbejdet af: Mogens Helleman Pedersen Studie nr.: Vejleder: Claus Juhl AARHUS UNIVERSITET, 2014

2 Indhold 1. Executive summary Indledning Problemformulering Metodevalg Afgrænsning Strukturering af afhandlingen Kildekritik Etablering af benchmark og investeringsunivers Værdansættelse af obligationer Nulkuponobligationer Estimering af nulkuponkurve Nelson Siegel Svensson modellen Beregning af nulkuponrentekurve Test af nulkuponrentestrukturen Kritik af Nelson-Siegel-Svensson modellen Rentestruktur Forventningshypotesen Likviditetspræferencehypotesen Markedssegmenteringshypotesen /Preferred Habitats Risiko på obligationer Fisher-Weil varigheden som risikomål Base Point Value og Kronevarighed Fisher-Weil konveksiteten Beregninger af Fisher-Weil varighed og konveksitet Taylors 2-ordens approksimation Test af risikomål Horisontafkast Forudsætninger for horisontafkastet Følsomhed på horisontafkastet på obligationerne Side 1 af 77

3 13. Porteføljesammensætning Forudsætninger for beregning af den optimale portefølje Varighed og konveksitet på porteføljen Test af varighedsforudsætning i beregningen Rebalancering af porteføljen Afdækning af renterisiko på obligationsporteføljen Renterisiko Renteswap Risici ved anvendelse af renteswaps Prisfastsættelse af renteswap Prisfastsættelse af renteswappen med obligationsmetoden Værdiansættelse af det variable ben Værdiansættelse af det fastforrentede ben Forwardrentemetoden Værdiansættelse med FRA metoden Test af fowardrenten Fastsættelse af det faste ben med FRA metoden Sammenligning af obligationsmetoden og FRA metoden Afdækning af renterisikoen på obligationsporteføljen Etablering af optimalt hedge Konklusion Kildefortegnelse Bilag 1. Nulkuponrente beregning Bilag 2: Nulkuponrenter, test af obligationspris, beregning af risikomål Bilag 3: Beregninger test af risikomål Bilag 4: Nulkuponrente horisonttid + beregning vedhængende rente Bilag 5: Beregning af korrelation mellem obligationerne Bilag 6: Følsomhedsberegninger renteswap Bilag 7: Beregning af obligationskurser til følsomhed på swap Side 2 af 77

4 1. Executive summary Over the last couple of years the interest level has fell to a historically low level. For a bond investor, it has had a positive effect on the value on their bonds. But the historically low level on the interest rates raises some questions for the bond owners. Is the current interest level at the bottom. Will it stay there or are we looking into a future with a growing interest level. In this analysis there will be established a method to evaluate an expected yield on bonds, when the investment horizon is shorter than the maturity on the bonds and a portfolio of bonds. The results will be measured against a risk free benchmark. The investment horizon is 2,668 years and the benchmark is a Danish government bond with a 2,5% coupon and maturity The yield to maturity on this bond is 0,19% and will be the benchmark for this analysis. There will also be established a plain vanilla interest swap to eliminated the risk on the value of the portfolio of bonds that is created in the analysis. The investment universe for this analysis is tree Danish mortgaged bond, BRF 2% , NYK and NYK All results in this analysis have been tested in different sensitive scenarios, where worst case is a scenario where there is a parallel shift in the zero rates curve with +50 basis points. This sensitivity test is estimated to hold most of the possible scenarios in the future level of the interest rates. All assumptions in this analysis have been tested and the validity of the assumptions is found good enough. The first and also most important issue in this analysis is the estimating of the zero rates curve. This curve is used to estimate the current value of the bond and also the value on the maturity of the investment horizon. The zero rates curve is also used in pricing the interest rate swap. The estimated zero rates curve will be used as the fundament for all the sensitivity analyses in this thesis. The zero rates curve are estimated by using the Nelson-Siegel-Svensson formula. Six parameters is estimated by fitting the formula to a interest swap curve from the Side 3 af 77

5 To measure the risk on the bonds in this analysis the duration and convexity is used. Duration on a bond can be used as an expression of the average time before the bond owner will have received his investment amount back. It also gives an approximately value on the percentage change in the bond value, when the interest level is changing. Duration is also an expression for the time in years before the bond is independent from changes in the interest level. For this analysis the Fisher-Weil interpretation of the duration and convexity on bonds is used. That means that they are calculated with the rates from the zero rates curve. It means that there is an assumption on proportional shift in the curve. Therefore the expression is more exact then duration and convexity calculated on the bonds current yield. In this analysis all the bonds are bullet loans with only one annually payment. That means that the expected duration is close to the maturity on the bonds. The BRF 2017 bond have a duration on 2,7 with an convexity on 10,4. The NYK 2019 bond have a duration on 4,6 with an convexity on 26,3. And NYK 2021 bond have a duration on 6,4 with an convexity on 48,9. In a test of the convexity s meaning for the risk on the bonds was that meaning determinate to be of less importance and in the rest of the analysis only duration and the base point value (BPV) will be used. To have a foundation to compare the alternative investment possibilities to the benchmark there have been established a method to estimate the expected yield on the bonds on the The basic assumption is that we will buy the bonds on and sell them again on the The zero interest rates are used to estimate a present value on the bonds and a future value on the The future value is the value of all cash flows on the bonds that are discounted to present value and forward discounted to a future value using the zero interest rates curve. The accrued interest on both the and the is calculated and added to two values. The reinvestment of the coupons in the period between the and the is added to the future value. The reinvestment rates used in this analysis is the forward rates for the reinvestment periods. In an estimation of the horizontal yield on the bonds I this analysis, all bonds have a better yield then benchmark. BRF 2017 is 1,28%, NYK 2019 is 1,35% and NYK 2021 is 1,54%. In the sensitivity test, where there was made a parallel shift in the zero rates Side 4 af 77

6 curve at + 50 basis points, the yield on the BRF 2017 is 1,27%, NYK 2019 is 1,01% and NYK 2021 is 0,87%. The conclusion is that all bonds give a significant better yield then benchmark. The investment sum of DKK 10 m. can therefore be placed in any of the bond, and give a better yield. But by creating a portfolio of the bonds it was determined that a portfolio of 65,8% of BRF 2017 and 34,2% of NYK 2021, will give a yield on 1,37% when the maximum Fisher-Weil duration is set to be 4. The duration of the portfolio is roughly 1,4 year more than the maturity of benchmark. That I accepted because of the yield on the bonds is considered as strong compered to benchmark. The conclusion is that in the present interest marked an investment in the alternative bonds will give a significant better pay off then the benchmark, when the time period I set to approximately 2,6 years. The yield is considered so strong, that it is recommended to take a higher risk on the portfolio, measured as Fisher-Weil duration. But there is a risk that the value of the investment will be challenged if the interest rates rise to a higher level. To protect the value there will be established a method to eliminate that risk. By using a plain vanilla interest swap the value of the portfolio of bond can be neutralized. There are some operational and counterpart risks, that has to be taken in consideration before making a swap agreement. Swap are typically traded Over-The-Counter and therefore not a standardized product. The most important items are securities and an stop loss agreement if the negative value reach a definite level. The interest swap starts with a theoretical value at zero and because it can be compared to a bond it will also have a marked value of zero at maturity. But between these two time points, it will be exposed to changes in the interest level. The sensitivity on the swap will be lower as the swap gets closer to maturity and the payment on the swap mature. That means that a swap with a longer time to maturity and with more future payments will be more sensitive to changes. In this analysis the investor will pay a fix rate payment and receive a floating rate payment. The floating is set to be the Danish CIBOR 12 interest. The fixed rate is calculat- Side 5 af 77

7 ed by using 2 methods. The bond method and the FRA method is both used to calculate the fixed rate when the value on contract is zero at the agreement time. Both methods are using a zero rates curve estimated using the Nelson-Siegel-Svensson parameters. The result of both methods is a fixed rate on approximately 1,05%, which gives a market value at zero on the agreement time. The BPV on the portfolio is 0,0393 and the BPV on the interest swap is 0,0389. On that background the hedge ratio is estimated to be 1,009, which gives a principal on the swap of ,77 Dkr. The value of the interest swap is tested against the value of the portfolio of bonds established earlier. The value is tested in four different scenarios, where there is estimated a parallel shift in the zero rates curve with +- 1 basic point af basis point. The test result is that in all scenarios the value of the interest swap will have a positive value equal to the loss on the portfolio when the interest rates level is rising. When the interest level is falling the value will have a negative value equal to the gain on the portfolio. There is a tendency to a bigger difference in the values, when the change is 50 basis points. That s because the convexity on the swap and the portfolio is slightly different. It is a small difference compared to the investment sum and the conclusion is that the uses of an interest swap to eliminate the interest risk on a portfolio are good option. Side 6 af 77

8 2. Indledning Når man ser på det danske marked for obligationer, har det generelt været et godt marked for investorerne de senere år. Dette skyldes primært en periode med faldende renter og deraf følgende kursstigninger. 1 De danske renter er faldet til et meget lavt niveau og det er et spørgsmål om de ikke har nået bunden. Den store uro på finansmarkederne har siden starten af finanskrisen drevet mange investorer mod specielt danske statsobligationer og presset kurserne op og dermed renterne ned. 2 Da danske realkreditobligationer også kan betragtes som en relativ sikker investering er de også blevet påvirket af denne tendens. Generelt er danske stats- og realobligationer blevet betragtet som en sikker havn, hvilket har givet en stigende efterspørgsel efter disse obligationstyper. Med et historisk lavt renteniveau, hvor korte danske statsobligationer i perioder har været handlet på negativt rente, er det svært at forstille sig, at der fremadrettet vil kunne hentes flere kursgevinster på den konto. Rente på en 10-årige dansk statsobligation handles på et niveau omkring 1,5 %. 3 Derfor må det forventes, at det absolutte afkast på obligationer fremadrettet skal komme fra kuponbetalingerne. Kuponrenterne er meget lave og vil derfor ikke kunne generere et afkast, hvor der er plads til ret meget risiko. De meget lave afkast kan også have den konsekvens, at en del investorer vil søge væk fra danske obligationer. Dette vil medføre en faldende efterspørgsel i forhold til udbuddet. Konsekvensen vil være stigende renter og fald i kursværdierne. Denne risiko for stigende danske renter er noget som obligationsinvestorerne skal forholde sig til, hvis de af den ene eller anden grund bliver i obligationsmarkedet. 1 Kilde: Nordea: Værste obligationsafkast i dette årtusinde, Kilde: Børsen, 10-årig dansk rente i laveste niveau i ni måneder, Kilde: Renten satte årsbund, Side 7 af 77

9 3. Problemformulering. Med udgangspunkt i de udfordringer der blev skitseret i indledningen til denne analyse, er hovedområdet med analysen, at undersøge mulighederne for at skabe et afkast der overstiger det risikofrie afkast for en investeringshorisont på maksimalt 3 år. Derudover ønskes et bud på en afdækning af den renterisiko, på en portefølje af obligationer, i et marked hvor der er forventning om stigende renteniveau. I afhandlingen er følgende hovedproblemstillinger opstillet. Hvordan kan afkastet på en obligation eller portefølje af obligationer synliggøres ud fra en given investeringshorisont og risikovillighed, så det direkte kan sammenlignes med et benchmark. Hvordan kan renterisikoen på en portefølje af obligationer afdækkes ved brug af rentederivater. For at besvare overstående problemstillinger, er der opstillet nedenstående undersøgelsespunkter. Ud over at besvare problemstillingerne er undersøgelsespunkterne opstillet for at holde en god struktur på besvarelsen af problemstillingerne. Undersøgelsesspørgsmål: Hvordan udledes nulkuponrenterne til værdiansættelse af obligationer og rentederivater Dette spørgsmål er helt centralt i analysen, da nulkuponrentestrukturen danner grundlag for prissætning af både obligationerne og de anvendte rentederivater i analysen. Under dette punkt, vil teorierne omkring rentedannelse ligeledes blive belyst. Hvordan kan risikoen på en obligation og en portefølje af obligationer estimeres. Dette spørgsmål skal afdække den risiko, som investor påtager sig ved, at investere i obligationer, hvor strategien ikke er hold til udløb. Derudover anvendes risikomålene i forbindelse med risikoafdækningen. Her danner de grundlag for en afdæknings strategi. Hvordan beregnes den optimale portefølje af obligationer, med udgangspunkt i en given tid og given risiko. Side 8 af 77

10 Formålet med spørgsmålet er, at få etableret en portefølje der giver det bedst mulige afkast ud fra en given tidshorisont og med en given risiko. Hvordan kan et rentederivat anvendes til afdækning af renterisikoen på en portefølje af obligationer. Dette undersøgelsesspørgsmål skal afdække, hvordan det valgte afdæknings instrumenter prissættes og hvordan et optimalt hedge af renterisikoen kan etableres. Udgangspunktet vil være den portefølje af obligationer, som blev etableret tidligere i analysen. Hvilke konsekvenser har ændringer i rentestrukturen for en obligationsportefølje og en risikoafdækning af renterisikoen på porteføljen. Dette spørgsmål er også helt centralt for analysen. Der vil på alle ovenstående spørgsmål blive foretaget følsomhedsanalyser. Formålet er, at få belyst de risici der er ved investering i obligationer ud fra en horisont betragtning og ligeledes konsekvenserne ved en afdækning af renterisikoen på porteføljen af obligationer. 4. Metodevalg Afhandlingen har udgangspunkt i de undersøgelsesspørgsmål der er opstillet i problemformuleringen. Gennem analysen vil de anvendte teorier blive præsenteret og beskrevet. Der vil i analysen være fokus på udledning af en nulkuponrentestruktur, som kan anvendes til prissætning af obligationer og rentederivater. Med udgangspunkt i prissætningen af obligationerne, vil sammensætningen af den optimale portefølje blive etableret. Denne portefølje sammensætning vil blive etableret på baggrund af de forventede horisontafkast og varigheder på de enkelte obligationer. Der vil i analysen løbende blive foretaget følsomhedsanalyser på resultaterne. Opstillede forudsætninger testes, hvor dette vurderes relevant. Med baggrund i analysens omfang er det valgt, at begrænse antallet af metoder til risikoafdækning af obligationsporteføljen. Til beregning og vurdering af metoder til afdækning af risikoen på obligationsporteføljen er følgende tilgang/metode valgt. Side 9 af 77

11 Anvendelse af renteswap I analyse vil de væsentligste risici ved anvendelse af renteswaps blive belyst. Prissætningen af en renteswap vil også blive gennemgået i denne del af analysen. Ændringer i rentestrukturen vil blive analyseret for betydningen og konsekvens ved: Værdien, risikoen og afkastet på obligationsporteføljen og de enkelte obligationer analyseres ud fra den givne tidshorisont. Konsekvenser for værdien af kundens investeringsbeløb, ved en risikoafdækning af porteføljen, med den anvendte risikoafdækningsmetode 5. Afgrænsning Afhandlingen vil have sit omdrejningspunkt omkring muligheden for at synliggøre det forventede afkast på en obligationsportefølje, hvor strategien ikke er hold til udløb. Det vil sige, at der investeres i obligationer med en løbetid der overstiger benchmark obligationens løbetid. Der vil blive etableret et benchmark og et obligationsunivers, som vil være gennemgående i hele afhandlingen. Konklusionerne i analysen vil være på baggrund, af dette investeringsunivers. Der vil ikke være delkonklusioner i afhandlingen. Der vil i afhandlingen blive etableret en optimal portefølje på baggrund af forventet afkast og risiko. På baggrund af denne portefølje vil der blive etableret en plain vanilla renteswap, som metode til afdækning af renterisikoen på porteføljen. I analyserne vil de skattemæssige aspekter ikke blive behandlet. Transaktionsomkostninger i forbindelse med handel med obligationer og indgåelse af renteswapaftale, vil ikke blive medtaget. Gennem hele afhandlingen vil der kun blive regnet med rentekonventionen, faktisk/faktisk. Investor vil blive betragtet efter finanstilsynets fortolkning af en detailkunde og investeringsbeløbet er sat til DKK 10 mio. Side 10 af 77

12 Til udledning af nulkuponrentestruktur anvendes kun Nelson-Siegel-Svensson modellen. Der findes flere andre metoder til udledning af nulkuponrente struktur, men der vil ikke blive anvendt andre metoder til udledning af nulkuponrenter i denne afhandling. I forbindelse med følsomhedsanalyser på obligationerne i afhandlingen, vil der kun blive foretaget beregninger på et stigende renteniveau. Begrundelsen er, at faldende renteniveau vil give et øget afkast til investor set i forhold til det afkast som fremkommer i analyserne. Dette betragtes ikke som en risiko for investor i denne analyse. I følsomhedsberegningerne på risikoafdækningen, vil der blive foretaget analyser på både stigende og faldende renteniveau. Begrundelsen er, at alle tre senarier kan få negative økonomiske konsekvenser for investor. Analysen vil ikke forholde sig til de likviditetsmæssige konsekvenser, som etablering af en renteswap vil have for kunden og det forventede afkast på den samlede investering. Der vil løbende gennem afhandlingen blive opstillet forudsætninger og antagelser, hvor det vurderes relevant. Side 11 af 77

13 6. Strukturering af afhandlingen Værdiansættelse af obligationer generelt Nelson-Siegel-Svensson metoden Udledning/beregning af nulkupon rentestruktur Prissætning af obligationerne Fisher Weil Varighed og konveksitet Risikomål på obligationer Base Point Value Horisontafkast metoden Plain Vanilla Renteswap Etablering og risikomål på porteføljen Risikoafdækning af renterisiko Konklusion Risci ved anvendelse af renteswaps Beregning af risikomål og optimal hedge Afhandlingen indledes med etablering af benchmark og investeringsunivers for analysen. Herefter en generel betragtning af prissætning og afkast på obligationer. Dernæst beskrives Nelson Siegel Svensson metoden til udledning af nulkuponrenter. Med denne metode udledes en nulkuponstruktur, som anvendes gennem hele analysen. På baggrund af i prissætningen af obligationerne i analysen, beregnes risikomål og horisontafkastet på de enkelte obligationer. Disse risikomål og horisontafkast danner grundlag for etablering af den portefølje, der giver den bedste afkast ud fra en given horisont og en given risiko. Side 12 af 77

14 Herefter præsenteres en metode til afdækningen af renterisiko på porteføljen af obligationer. Herunder generelle risici, prissætning og beregning af risikomål på rentederivatet. Dernæst vil der blive beregnet et optimalt hedge, som scenarie testes. Struktureringen af analysen er opbygget med det formål, at skabe en tråd gennem afhandlingen. Denne tråd vil sikre, at der kan konkluderes på hovedproblemstillingen i afhandlingen. 7. Kildekritik Alt data i denne afhandling er indhentet fra offentlige kilder. Disse kilder tæller blandt andet NASDAQ OMX børsen, Finanstilsynet, Finansrådet, Danmarks National Bank og arbejdsgruppe under EU kommissionen. Disse kilder anses som værende troværdige kilder. Al litteratur som anvendes i afhandlingen er udarbejdet af anerkendte forfattere. En stor del af denne litteratur indgår som undervisningsmateriale på HD Finansiering studiet. Der vil løbende gennem afhandlingen blive refereret til kilderne i fodnoter eller direkte i teksten. Der vil blive påført kilde på alle tabeller og figurer i afhandlingen, der ikke er fremkommet ved egen tilvirkning. Det vil sige, at hvis der ikke er påført en kilde på en tabel eller figur er denne fremkommet ved egen tilvirkning. Beregningsmodellerne er vedlagt på USB stick. 8. Etablering af benchmark og investeringsunivers Som benchmark i analysen er der valgt en dansk statsobligation, med specifikationerne som er vist i tabel 8.1 Tabel 8.1 Specifikationer på benchmark obligation ISIN Udsteder Lukkekurs den Kuponrente Kupondato Udløbsdato Obligationstype Konverterbarhed Ammortisering Effektiv rente den DGB 2,5% DK Danmarks Nationalbank 105,94 2,500% 15-nov Nominal bond Inkonverterbar Stående 0,19% Side 13 af 77

15 Der er valgt en dansk statsobligation, da rente på disse generelt bliver betragtet som et udtryk for den risikofrie rente og dermed det risikofrie afkast. DGB 2,5% er valgt, idet løbetiden er på niveau med den horisont som er fastsat til analysen. Forudsætningen for anvendelsen er, at obligationen købes den og holdes til udløb. Dermed kan obligationens effektive rente anvendes som benchmark afkast i analysen. Tabel 8.2 Investeringsunivers for analysen ISIN Udsteder Lukkekurs den Kuponrente Kupondato Udløbsdato Obligationstype Konverterbarhed Ammortisering Effektiv rente den BRF 2% NYK 2% NYK 2% DK DK DK BRF Kredit A/S Nykredit Realkredit A/S Nykredit Realkredit A/S 103,70 103,90 102,40 2,000% 2,000% 2,000% 10-jan 04-jan 01-jan SDO SDO SDO Inkonverterbar Inkonverterbar Inkonverterbar Stående Stående Stående 0,73% 1,20% 1,61% Disse tre obligationer er valgt med baggrund i, at profilen ligner den profil der er på benchmark obligationen. Ligesom benchmark har de tre obligationer en stående amortisering, med en årlig kuponbetaling. Derudover vurderes en dansk realkreditobligation som værende tilnærmelsesvis risikofri. Dermed opfyldes en væsentlig forudsætning om, at de alternative investeringsmuligheder er tilnærmelsesvis sammenlignelige med benchmarket Værdiansættelse af obligationer Værdien af en obligation er et udtryk for den nutidsværdi, som af alle de fremtidige betalinger på obligationen har. Et meget anvendt mål for afkastet på en obligation er den effektive rente på obligationen. Den effektive rente udtrykker det afkast man som køber af en obligation får, såfremt man holder obligationen til udløb. Det vil sige en gennemsnitsrente for alle de betalinger som er på obligationen. 4 Michael Christensen, Obligations investering (2009: side 145) Side 14 af 77

16 En forudsætning for denne betragtning er, at den fremtidige rentestruktur er flad. Denne betragtning giver blandt andet nedenstående udfordringer, hvis den skal anvendes til sammenligning med andre obligationer. En betaling der modtages om 1 år har samme værdi som en betaling der modtages om 10 år. At den effektive rente kun gælder for betalingerne på den enkelte obligation og kan kun anvendes til sammenligning med andre obligationer med nøjagtig sammen løbetid og kuponbetaling. At alle betalinger på obligationen kan geninvesteres til samme rente. Da dette meget sjældent er tilfældet eller anvendeligt, er der behov for en anden mere realistisk måde, at anskue og beregne prisen på en obligation Nulkuponobligationer En nulkupon obligation er en finansiel fordring der kun har en enkelt betaling. Denne betaling forfalder ved udløb på obligationen og der er ingen kuponrente på obligationen. Afkastet består derfor udelukkende af den kursgevinst der måtte være på obligationen ved udløb. Derfor kan afkastet på nulkupon obligationen betragtes som en unik rente på netop det tidspunkt, hvor obligationen har udløb. Denne nulkuponrenten er ens for alle betalinger der forfalder på samme tidspunkt, uanset hvilket betaling der er tale om. 5 Nulkupon rente beregnes som: Formel 9.1 K 0 = y t * (1+n )^-t t => n t = (K 0 /y t ) -1/t -1 Hvor K 0 = Kursen på tidspunkt 0 n t = Nulkuponobligationens rente y t = Er betalinger der forfalder i tidspunkt t i obligationens løbetid t = Tidspunkt for betalinger på obligationen 5 Michael Christensen, Obligations investering (2009: side 61) Side 15 af 77

17 Nulkuponrentekurven er meget central, da den kan anvendes til prissætning af obligationer og en lang række finansielle instrumenter. Da der ikke handles ret mange nulkuponobligationer på det danske marked, kan der ikke aflæses nogen nulkuponrentestruktur direkte i markedet. De eneste nulkuponobligationer der handles er Skattekammerbeviser. Disse obligationer har typisk en løbetid der er mindre end 1 år. Da der til denne analyse er behov for nulkuponer med en løbetid udover 1 år, kan disse obligationer ikke anvendes i denne analyse. Det er derfor nødvendigt, at beregne nulkuponstrukturen, syntetisk ud fra kuponbærende obligationer der handles i markedet eller alternativt ud fra en swaprente kurve Estimering af nulkuponkurve En relativ nem måde, at beregne nulkuponrenter på er ved anvendelse af bootstrapping metoden. Ved denne metode findes en nulkuponrente, som passer præcist til et betalingstidspunkt. Der er dog visse udfordringer ved anvendelse af denne metode til udledning af en nulkuponrentestruktur. Det kræves, at der findes ligeså mange obligationer med udløb, som der er betalingstidspunkter. Da dette typisk ikke er tilfældet, er der til denne analyse valgt en anden tilgang til beregning af nulkuponstrukturen Nelson Siegel Svensson modellen Brugen af Nelson Sigel (1987) modellen, med en forlængelse af formlen af Svensson (1994), er udbredt blandt flere centralbanker og andre markedsdeltagere. 6 Nelson-Siegel-Svensson modellen bygger på, at en rentekurve kan beskrives som et funktionsudtryk. Til estimering af rentekurven ud fra Nelson-Siegel-Svensson skal værdien af 6 forskellige parametre beregnes. Disse parametre kan estimeres ud fra blandt andet observeret markedskurser, priser på kuponbærende obligationer eller swaprenter. Når de 6 parametre er beregnet, kan der findes en nulkuponrente til et hvert tidspunkt, blot ved at ændre tid til udløb (T) i funktionen. Det er vigtigt, at understrege at de beregnede parametre kun er gældende for det tidspunkt som de beregnes på. Sker der ændringer i de markedskurser eller priser der ligger 6 COMISEF, Calibrating the Nelson-Siegel.-Svensson model, (2010) Side 16 af 77

18 til grund for beregningen, skal der foretages en ny beregning af de parametre der er gældende for den nye situation. Nelson-Siegel-Svensson metoden er valgt med baggrund i de ovenstående egenskaber og at den er anvendt af flere centralbanker. Derudover har obligationerne i analysen forskellige betalingsdatoer og det er derfor nødvendigt med en model, der relativt nemt kan beregnes nulkuponrenter til flere tidspunkter. Nelson- Siegel-Svensson funktionen skrives som: Formel 9.2 Kilde til formel: COMISEF, Calibrating the Nelson-Siegel.-Svensson model, (2010) Hvor y(t) er nulkuponrenten for udløbstidspunktet T. De 6 parametre der skal estimeres er: Β1, som er uafhængig af tiden og kan betragtes som renteniveauet på lang sigt. β2, som er en vægtet funktion af tid til udløb og går mod 0 når tiden øges. Derfor har den kun indflydelse i den korte ende af kurven. β3, som også er en vægtet funktion af tiden (T). Når T øges stiger beta 3 og falder derefter tilbage mod 0 og giver dermed et bump på kurven. β4, har samme egenskaber som beta 3. λ1, er den vægtede funktion af β2 og β3 og definere placeringen af bumpet λ2, er den vægtede funktion af β3 og β4 og definere også placering af bumpet De første 3 led i formel 9.2 er den oprindelige Nelson-Siegel model, mens det fjerde led er tillagt af Svensson. Dermed opnås en nulkuponrentestruktur der har et så glat og kontinuerligt forløb som muligt. Side 17 af 77

19 Jævnfør Computational Optimization Methods in Statistics, Econometics and Finance 7 (COMISEF) (2010), så er en kalibrering af modellen nødvendig for at den fungerer optimalt. I denne analyse er medtaget nedenstående tre begrænsninger, som er anbefalet i deres rapport. β1 > 0, β1+β2 > 0 og λ > 0 Som kuponbærende obligation anvendes statsobligationer ofte til beregning af nulkuponrentestruktur. Set i forhold til realkreditobligationer, handles statsobligationer med et mindre likviditets- og kreditrisiko tillæg 8. Hvis statsobligationerne anvendes til beregning af nulkuponrentekurven er det derfor nødvendigt, at beregne et likviditets- og kreditspænd mellem realkreditobligationerne og statsobligationerne. Dette spænd tillægges nulkuponrenterne, når de skal anvendes som diskonteringskurve, i forbindelsen med prissætning af realkreditobligationer. Da det er horisontafkast og risikoafdækning på realkredit obligationer der analyseres, vil nulkuponrentekurven blive udledt af en swaprentekurve. Swaprentekurven antages, at indeholde et likviditets- og kredittillæg, der er mere sammenligneligt med realkreditobligationer Beregning af nulkuponrentekurve Nelson-Sigel-Svensson parametrene estimeres i denne analyse på baggrund af en swap referencerentekurven fra den Data er indhentet på Finansrådets hjemmeside og er et gennemsnit af indberetningerne fra 6 forskellige pengeinstitutter 9. Valørdatoen er sat til den , da swaprenter typisk afregnes med 2 dages valør. Normalt anvendes rentekonventionen 30/360 i forbindelse med prissætning af renteswap. Til beregningerne i denne analyse anvendes dog rentekonventionen faktisk/faktisk. Begrundelsen er, at det er denne rentekonvention der anvendes på handel med obligationerne i analysen. 7 COMISEF er en arbejdsgruppe, finansieret af EU Kommissionen. 8 / Finansiel styring i Danmarks Nationalbank 9 Danske Bank, Jyske Bank, Nordea, Nykredit, Sydbank og SEB. Side 18 af 77

20 Tabel 9.1 Swapkurve til estimering af nulkuponrentekurve Tid i år Swaprentekurve 1,0 2,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 Kilde. /Tal og statistik Som tidligere beskrevet estimeres nulkuponrentekurven ved hjælp af Nelson-Siegel- Svensson modellen. Beregningen er foretaget ved, at indtaste tilfældige parametre i formlen. Herefter tilpasses kurven til swap rentekurven i tabel 9.1. Dette gøres ved at minimere kvadratroden af forskellen mellem swaprentekurven og nulkuponrentekurven, beregnet med Nelson-Siegel-Svensson formelen. Excel SOLVER er anvendt til beregningen, med de begrænsninger som er anbefalet af COMISEF. Følgende parametre er estimeret på baggrund af ovenstående metode: Tabel 9.2 Nelson-Siegel-Svensson parametre β1 0,02 β2-0,01 β3-0,10 β4 0,12 λ1 3,90 λ2 5,42 På baggrund af ovenstående parametre er nulkuponkurven beregnet, se figur 9.1 og bilag 1. Side 19 af 77

21 Figur 9.1: Estimeret rentekurver Som det ses af figur 9.1 er renten stigende gennem hele analyse perioden. Rentestrukturen er relativ flad frem til ca. år 3, hvorefter stigningstakten øges frem til ca. år 7. Herefter begynder den at flade ud igen. Forløbet ses tydeligere i forwardrentekurven Test af nulkuponrentestrukturen Testen af validiteten af nulkuponrentekurven laves med udgangspunkt i hypotesen om de effektive markeder. Markedsdeltagerne på det danske rente eller obligationsmarked antages, at have adgang til al historisk og offentlig tilgængelig information på markedet. Dermed opnås et marked med semi-stærk efficiens og dermed minimal mulighed for at opnå risikofri arbitragegevinster. 10 For at teste om nulkuponrentekurven er valid, beregnes de teoretiske kurser på de obligationer der er valgt i analysen. Der er nulkuponrenter til de forskellinge betalingstidspunkter, ud fra de parametre som er estimeret i afsnit Nulkuponrenterne til de enkelte betalingstidspunkter er omregnet til en diskonteringsfaktor, som ganges på de tilhørende cash flows. Nulkuponrenterne er omregnet med nedenstående formel. Se bilag 2 Formel 9.3. (d t ) = (1+n t ) -t Hvor d t = diskonteringsfaktoren, n t = Nulkuponrenten det tilhører tidspunkt t 10 Michael Christensen, Obligations investering (2009: side 37-38) Side 20 af 77

22 Tabel 9.3: Test af nulkuponrentekurven BRF 2% NYK 2% NYK 2% Tid (t) Ydelse (yt) dt yt*dt Tid (t) Ydelse (yt) dt yt*dt Tid (t) Ydelse (yt) dt yt*dt , ,9954 1, , ,9955 1, , , , , ,9880 1, , ,9881 1, , , , , , , , ,9772 1, , , ,955 Vedhængende rente 0, , ,9623 1, , , , , , , , , ,887 Vedhængende rente 0, , , , , , ,541 Vedhængende rente 0,427 K*+V 104,00 K*+V 104,496 K*+V 103,546 Markedskurs 103,70 K+V 104,08 Markedskurs 103,90 K+V 104,311 Markedskurs 102,40 K+V 102,827 Difference -0,077 Difference 0,185 Difference 0,719 K*+V er den teoretiske kurs på obligationerne, som er beregnet ved at tilbagediskontere alle de fremtidige betalinger til en nutidsværdi med de beregnede diskonteringsfaktorer + den vedhængende rente på obligationen. K+V er markedskursen som er observeret den den vedhængende rente på obligationen. Ud fra beregningerne i tabel 9.3 ses det, at de teoretiske kurser ikke afviger markant fra de observerede markedskurser. Dog bemærkes det, at den teoretiske kurs på obligationen med en længste løbetid, NYK 2% , afviger med 0,719 kurspoint fra markedskursen. Dette kunne tyde på, at der er en unøjagtighed i nulkuponrente beregningerne, i forhold til den kurve som markedet handler på. Afvigelserne bliver større, når løbetiden på obligationerne øges. Dette kan blandt andet skyldes, at referenceswaprenten i beregningerne er en gennemsnitsrente, som er indberettet om formiddagen den , mens markedskursen er den kurs som obligationerne lukkede på den Kvaliteten af den beregnede nulkuponrentekurve vurderes som tilfredsstillende og vil blive anvendt som nulkuponstruktur fremadrettet i analysen Kritik af Nelson-Siegel-Svensson modellen Modellen er relativ enkel at arbejde med. Dog har en rapport udarbejdet af COMISEF vist, at det er nødvendigt med en kalibrering af Nelson Siegel-Svensson modellen, før den kan anvendes optimalt. Derudover har modellen historisk haft udfordringer med Side 21 af 77

23 estimering af specielt nulkuponrenterne med kort løbetid. Modellen har haft en tendens til, at lave hægekøjer på de korte renter, som vist i figur 9.2 I 1999 gik Unibank væk fra brugen af Nelson-Siegel modellen, med baggrund i tendensen til, at lave hængekøjer på de korte renter 11. Figur 9.2 Hængekøje på rentekurven I samme analyse testede Unibank en Nelson-Siegel model med et ekstra led, hvor tendensen var den samme. Dog var tendensen ikke så udtalt som i den rene Nelson- Siegel model, når der blev tilføjet et ekstra led Rentestruktur Der findes flere forskellige teorier vedrørende rentestrukturens udseende og form. I denne analyse vil fire af de mest udbredte teorier vedrørende rentestrukturens udseende kort blive gennemgået Forventningshypotesen I forventningshypotesen er tilgangen, at den nuværende rentestruktur hænger sammen med markedets forventninger til den fremtidige rentestruktur. Hypotesen bygger på en antagelse om, at det forventede afkast på alle obligations investeringsstrategier er det samme. Det vil sige, at hvis en investor køber en nulkuponobligation med en løbetid på to år vil afkastet være det samme som hvis en anden investor køber en nulkuponobligation med en løbetid på et år og om et år geninvestere i en ny nulkuponobligation, med en løbetid på et år. Ud fra denne antagelse vil den forwardrente der er mellem nulkuponrenten i tidspunkt n t og n t+1, vil være lig med nulkuponrenten n t Finansiel Analyse, Morten Holm Pedersen, Unibank Markets 3 september Finansiel Analyse, Morten Holm Pedersen, Unibank Markets 3 september 1999 Side 22 af 77

24 Ifølge forventningshypotesen vil nulkuponrentestrukturen typisk være stigende og afspejle en forventning om, at de korte renter vil blive ved med at stige uendeligt. Figur 10.1 Udviklingen i den korte og lange realkreditrente Kilde: Denne antagelse holder dog ikke altid i virkeligheden, hvis man tager udgangspunkt i renteudviklingen i figur10.1. Når renterne på realkredit obligationerne falder, må det antages at renteniveauerne på nulkuponrentestrukturen også vil være faldende. Omvendt må det også antages, at nulkuponrentestrukturen er stigenden, når tendensen på realkreditrenterne er stigende. Derfor kan man ikke bare pr automatik antage, at nulkuponrenterne altid vil være stigende. En mere realistisk forklaring på forventningen om altid stigende renter er nok mere, at der geninvesteres til en ukendt rente. Derfor antages det i strukturen, at investor får tillagt en form for risikopræmie Likviditetspræferencehypotesen Hypotesen tager udgangspunkt i at priserne på obligationer med lang løbetid er mere påvirkelige over for ændringer i rente niveauerne end obligationer med kort løbetid. Derfor vil investorerne kræve en ekstra betaling, i form af en risikopræmie på obligationer med lang løbetid. Denne risikopræmie forventes, at være stigende i takt med at løbetiden på obligationen øges Claus Munk og Christian Riis Flor, Indledende obligations- og rentestruktur analyse (2007: side 56) 14 Claus Munk og Christian Riis Flor, Indledende obligations- og rentestruktur analyse (2007: side 57) Side 23 af 77

25 Hvis man igen tager udgangspunkt i figur 10.1 kan man se, at den ekstra risikopræmie, der er på de lange rente i forhold til de korte renter stiger og falder i gennem perioden. Hvis udviklingen i realkreditrenterne antages at være udtryk for den generelle udvikling på rentemarkederne, så ses der en tendens til at spændet mellem de korte og lange renter bliver mindre, når de korte renter stiger og spændet udvides, når de korte renter falder. I figur 10.1 ses det også, at de korte renter er mere følsomme, set i forhold til de lange renter. Ud fra denne betragtning er de lange renter mindre påvirket af ændringer i renteniveauet, hvilket modsiger hypotesen Markedssegmenteringshypotesen /Preferred Habitats Ifølge denne hypotese vil investorerne have præferencer for obligationer i et bestemt løbetidssegment. Denne præference hænger typisk sammen med, at de har forpligtelser med en bestemt løbetid. Pensionskasser har typisk meget lange forpligtelser og vil derfor købe obligationer med lange løbetider 15. Pengeinstitutter vil derimod typisk have kortere forpligtelse og vil gå efter obligationer med korte løbetider 16. Renterne i de forskellige segmenter udvikler sig derfor uafhængigt af hinanden. Afhængigt af hvor mange segmenter der er, må man derfor forvente en meget ujævn rentekurve ifølge markedssegmenteringshypotesen. En videreudvikling af denne hypotese, kaldet preferred habitats siger, at investorerne vil koncentrere sig om et bestemt løbetidssegment. De er dog villige til, at købe i et andet segment, såfremt præmien er tilpas høj. Derfor kan man i denne videre udvikling af hypotesen forvente en glat og kontinuert rentekurve 17. Dette er mere lig den kurve der ses i virkeligheden. Blandt andet en kurve estimeret ud fra Nelson-Siegel-Svensson metoden, som er anvendt i denne analyse. 11. Risiko på obligationer Som risikomål på obligationerne i denne analyse anvendes begreberne varighed og konveksitet. 15 Claus Munk og Christian Riis Flor, Indledende obligations- og rentestruktur analyse (2007: side 57) 16 Claus Munk og Christian Riis Flor, Indledende obligations- og rentestruktur analyse (2007: side 57) 17 Claus Munk og Christian Riis Flor, Indledende obligations- og rentestruktur analyse (2007: side 57) Side 24 af 77

26 Macaulay (1938) definerede et mål for renterisikoen, den såkaldte Macaulay varighed 18. Macaulay varigheden er beregnet med udgangspunkt i den effektive rente på en obligation. Som tidligere diskuteret i analysen, er den effektive rente ikke et godt mål når resultatet skal anvendes til sammenligning af obligationer. Ved at bruge den effektive rente som tilbagediskonteringsrente antages det, at rentestrukturen er flad og alle renter påvirkes ens ved en ændring i rentestrukturen. Det vil sige, at hele den flade rentekurve parallelforskydes op eller ned, hvilket meget sjældent er tilfældet. I denne analyse anvendes derfor Fisher-Weil (1971) varigheden og den deraf afledte konveksitet. Denne metode tager udgangspunkt i nulkuponrentestrukturen og dermed antagelsen om, at rentestrukturen kan tage en vilkårlig form og ændringer kan sker i form af proportionale skift, når tiden øges Fisher-Weil varigheden som risikomål Varigheden udtrykker den reelle løbetid der er på obligationen, når man tager hensyn til kuponbetalinger og eventuelle udtræk på obligationen. Hvis man blot anvender den faktiske restløbetid der er på obligationen, tages der ikke højde for, at kuponbetalinger og udtræk kan geninvesteres til en ændret rente. Ved anvendelse af varigheden, som udtryk for restløbetiden, tages der højde for gevinst/tab ved geninvestering af de betalinger der er på obligationen. Generelt gælder det, at varigheden på en obligation altid er mindre end eller lig med restløbetiden på en obligation. 20 Dog er varigheden på en nulkuponobligation altid lig med restløbetiden. Årsagen er, at der kun findes et betalingstidspunkt, som er ved udløb af obligationen. Varigheden er en punktobservation og gælder kun på beregningstidspunktet og vil hele tiden ændre sig. Generelt vil varigheden falde jo tættere den bagvedliggende kuponobligation kommer på udløbsdatoen og de enkelte kuponer forfalder. Varigheden kan også anvendes som udtryk for den forventede procentvise ændring i kursen på obligationen, hvis den bagvedliggende rentefaktor, udtrykt som (1+rentefaktoren), ændrer sig med 1%. Stiger rentefaktoren med 1%, vil investeringsbe- 18 Claus Munk og Christian Riis Flor, Indledende obligations- og rentestruktur analyse (2007: side 62) 19 Claus Munk og Christian Riis Flor, Indledende obligations- og rentestruktur analyse (2007: side 82) 20 Michael Christensen, Obligations investing (2009: side 92) Side 25 af 77

27 løbet falde med varigheden i procent. Omvendt vil investeringsbeløbet stige med varigheden i procent, såfremt rentefaktoren falder med 1%. Det betyder, at en høj varighed på en obligation er lig med en høj risiko for ændring i kursen, hvis det sker ændringer i den bagvedliggende rentefaktor. Varigheden på obligationen kan også anvendes som immuniseringsredskab ved investering i obligationer, da den tager højde for kursrisiko og geninvesteringsrente. Hvis renten stiger, så vil kursen falde på obligationen. Varigheden udtrykker ifølge denne fortolkning hvor langt tid der går, før dette tab er hentet hjem som følge af en højere geninvesteringsrente. Dermed kan varigheden anvendes til, at tilpasse en porteføljes immuniseringshorisont, hvis investor forventer ændringer i renteniveauerne. Forventes et stigende renteniveau, kan varigheden nedbringes ved køb af obligationer eller finansielle instrumenter, der nedbringer varigheden på porteføljen. Dermed vil investors kurstab hurtigere blive hentet tilbage via den højere geninvesteringsrente. Ved at beregne varigheden med udgangspunkt i nulkuponstrukturen, får man en varighed der kan sammenlignes med Macaulays modificeret varighed. Macaulays modificeret varighed er defineret ved, at den måler den relative kursfølsomhed, ved en ændring i renten på 1% point eller 100 basispunkter. 21 Dermed kan Fisher-Weil varigheden også anvendes til beregning af Base Point Value (BPV), som angiver ændring i kursen ved en ændring i rente på 1 basispunkt. Fisher-Weil varigheden beregnes med formel 11.1 Formel 11.1 V = t*w t Hvor t = tiden til betaling, wt = (Y t *(1+n )^-t t ) / (K*+V) I Fisher-Weil er det nulkuponstrukturen der anvendes og ikke den effektive rente, derfor anvendes n t = nulkuponrenten til tidspunkt t i formlen. Det er igen vigtigt, at understrege at varigheden er en punktobservation der kun er gældende på beregningstidspunktet. Derfor vil varigheden ændre sig efterhånden som tiden til udløb minimeres og de enkelte kuponbetalinger på obligationen forfalder. Hvis man 21 Michael Christensen, Obligations investing (2009: side 91) Side 26 af 77

28 har en portefølje af obligationer, hvor man som investor ønsker en given varighed på porteføljen, er det derfor nødvendigt løbende at rebalancere porteføljen. Dette bør, som minimum gøres umiddelbart efter der har været en kuponbetaling på obligationerne Base Point Value og Kronevarighed På samme måde som ved Macaulay varigheden kan Fisher-Weil varighed omregnes til Base Point Value (BPV) og Kronevarighed. BPV udtrykker den ændring i investeringsbeløbet (K+V) der er i kursen på obligationen, såfremt renteniveauet ændres med 0,01% 22, også kaldet 1 basispunkt. BPV beregnes som vist i formel 11.2 Formel 11.2 (K+V) = -V*0,001*(K+V) Hvor K+V = Investeringsbeløbet V = Fisher-Weil varigheden på obligationen Kronevarigheden er et udtryk for ændringen i investeringsbeløbet (K+V) ved en ændring i renteniveauet med 100 basispunkter. Det vil sige BPV* Fisher-Weil konveksiteten Ved små ændringer i rentestrukturen er varigheden en god indikator for ændringerne i investeringsbeløbet. I varigheden antages det, at der er en lineær sammenhæng mellem varigheden og rentestrukturen. Dette er typisk ikke tilfældet og derfor vil varigheden ved større ændringer i rentestrukturen være misvisende. Ved en stigning i renteniveauet (1+ rentefaktoren), vil varigheden overvurdere det fald dette vil medføre på obligationskursen. Hvis renteniveauet (1+ rentefaktoren) falder, vil varigheden undervurdere den forventede stigning i obligationskursen som illustreret i figur Michael Christensen, Obligations investering (2009: side 92) Side 27 af 77

29 Figur 11.1 Illustration af konveksitet Kilde: Michael Christensen, Obligations Investering (2009: side100) Derfor er der behov for et nøgletal der kan vise, hvor stor en procentvis fejl der er i varigheden. Ved at beregne konveksiteten får man et udtryk for den følsomhed som varigheden har over for ændringer i rentefaktoren. Fisher-Weil konveksiteten beregnes som: Formel 11.3 K = (t 2 +t)*wt Hvor, K = Fisher-Weil konveksiteten, t = tid til betaling, wt = (y t *(1+n )^-t t ) / (K*+V) Konveksiteten er et udtryk for den procentvise fejl der er i varigheden, ved en ændring i (1+rentefaktoren). Det betyder, at jo højere konveksitet jo større vil fejlen i beregningen være og dermed risikoen for, at over- eller undervurdere effekten af en ændring i renteniveauet Beregninger af Fisher-Weil varighed og konveksitet Med udgangspunkt i den nulkuponrentekurve, som blev estimeret tidligere i analysen er Fisher-Weil varigheden og konveksiteten beregnet på obligationerne. Se bilag 2. Side 28 af 77

30 Tabel 11.1 Beregning af Fisher-Weil varighed og konveksitet BRF 2% NYK 2% NYK 2% K+v 104,00 K+v 104,50 K*+v 103,546 t yt dt wt t*wt (t2+t)*wt t yt dt wt t*wt (t2+t)*wt t yt dt wt t*wt (t2+t)*wt 0,811 2,00 0,9954 0,02 0,02 0,03 0,795 2,00 0,9955 0,02 0,02 0,03 0,786 2,00 0,9955 0,02 0,02 0,03 1,811 2,00 0,9880 0,02 0,03 0,10 1,795 2,00 0,9881 0,02 0,03 0,09 1,786 2,00 0,9882 0,02 0,03 0,10 2, ,00 0,9770 0,96 2,70 10,28 2,797 2,00 0,9772 0,02 0,05 0,20 2,789 2,00 0,9773 0,02 0,05 0,20 sum 1,00 2,75 10,41 3,797 2,00 0,9623 0,02 0,07 0,34 3,789 2,00 0,9624 0,02 0,07 0,34 4, ,00 0,9435 0,92 4,42 25,61 4,789 2,00 0,9437 0,02 0,09 0,51 sum 1,00 4,59 26,27 5,789 2,00 0,9218 0,02 0,10 0,70 6, ,00 0,8975 0,88 6,00 46,78 sum 1,00 6,37 48,65 Output Output Output Fisher Weil Varigheden 2,746 Fisher Weil Varigheden 4,590 Fisher Weil Varigheden 6,367 Fisher Weil Konveksiteten 10,407 Fisher Weil Konveksiteten 26,270 Fisher Weil Konveksiteten 48,648 BPV 0,029 BPV 0,048 BPV 0,066 Kronevarigheden 2,856 Kronevarigheden 4,796 Kronevarigheden 6,593 Beregningerne i tabel 11.1 viser ikke overraskende, at jo længere løbetid der er på obligationen, jo højere er risikoen udtrykt som varighed. Kronevarigheden viser hvor stort et kursfald investor kan forvente, såfremt rente stiger med 100 basispunkter. Her har løbetiden en stor betydning for resultatet. Som det ses i tabel 11.1 er NYK 2021 obligationen meget mere følsom over for ændringer i renteniveauet end BRF 2017 obligationen, som har den korteste løbetid af obligationerne i denne analyse. Samtidig viser beregningerne, at den procentvise fejl man laver ved ændring af (1+rentefaktoren) også stiger med løbetiden. For at få et mere præcist udtryk for risikoen på obligationen er det derfor nødvendigt, at korrigere for den procentvise fejl der laves i beregningen Taylors 2-ordens approksimation For at få et mere præcist billede af kursrisikoen på obligationerne, ved en ændring i den bagvedliggende rentekurve, anvendes i denne analyse en 2-ordens Taylor approksimation til at korrigere for konveksiteten på varigheden. Taylors 2-ordens approksimation kan omskrives til nedenstående formel 23 Formel 11.4 (K*+V) = n*(k*+v)*v + 0,5* n 2 *(K*+V)*K 23 Claus Munk og Christian Riis Flor, Indledende obligations- og rentestruktur analyse (2007: side 84) Side 29 af 77