Investerings- og finansieringsteori, F02, ugeseddel 3

Transkript

1 13. februar 2002 Rolf Poulsen ASOR Investerings- og finansieringsteori, F02, ugeseddel 3 Seneste forelæsninger Mandag 11/2: Afsnit 3.2 og 3.3 (pånær eksempel 4-6) i noterne. Onsdag 13/2: Resten af 3.3 samt 3.4. Kommende forelæsninger Mandag 18/2: Afsnit 3.5 om følsomhedsanalyse for betalingsrækker (eller: flere nøgletal for obligationer, hvis man er praktisk orienteret). Vi indfører varighed(er) og konveksitet & ser hvad de kan fortælle os. Onsdag 20/2: Afslutning på kapitel 3. Det viser sig, at varigheder ikke er et helt tilfredsstillende begreb til at beskrive/analysere usikkerhed. Så i kapitel 4 starter vi forfra med modeller med rigtig usikkerhed. Først den simplest tænkelige: Binomialmodellen. 1 tidsperiode, 2 fremtidige tilstande. Øvelserne 22/2 eller 25/2 Nedenfor anførte opgaver laves. Sørg specielt for at få arbejdet med opgave 1. Opgaverne 6-8 dækker ting, jeg sandsynligvis først når (at postulere) onsdag, og de er ikke vanvittiget vigtige, interessante eller svære. Så hvis man (af den ene eller anden grund) ikke når at lave dem, så skal den sag ikke forfølges videre. Vh, Rolf 1

2 Opgaver til øvelserne 22/2 eller 25/2 1. Vi antager stort set altid, at dagens nulkuponrentestruktur kan observeres direkte. Som så mange andre steder fejer vi her noget ind under gulvtæppet; i virkeligheden handles nulkuponobligationer slet ikke. (Om ikke af andre grunde så af skattemæssige; der findes en lovfastsat mindsterente (pt 3%) således at man bliver beskattet af kursgevinster på obligationer med kuponrente lavere end denne.) Så man skal estimere nulkuponrenterne. Og det er netop hvad denne opgave handler om. Den (omkring) 15. februar 2002 observerede man følgende på det danske statsobligationsmarked: Udløbsår Kuponrente Kurs Terminsdato ,63 15/ ,72 15/ ,50 15/ ,05 15/ ,86 15/ ,51 15/ ,83 15/ ,39 15/11 Alle obligationer er stående lån ( bullet bonds ) og har 1 årlig termin. Du skal ikke bekymre dig om de finere punkter omkring børs- og valørdage eller day count conventions. For alle obligationer er der således et heltalligt antal måneder til næste termin; brug bare det som brøkdele af år= 12 mdr. Husk dog, at den opgivne kurs ikke har inkluderet vedhængende rente. (I noterne står der noget om handel ex kupon ; det fænomen findes ikke længere.) Opstil betalingsmatricen for dette obligationsmarked. Hvilket ligningssystem skal man løse for at finde diskonteringsfaktorerne? Hvor mange løsninger mon det har? Nu skal man til at regne. For at spare (en del tastearbejde)*(et betydeligt antal studerende) har jeg lagt et regneark med betalingsrækkerne i på hjemmesiden. (De sku være rigtige, men er hjemmetastede, så jeg hører gerne om evt. unøjagtigheder.) Naturligt nok forsøger man at lægge en lav-dimensional, parametrisk struktur på tingene. Det er bare en avanceret måde at sige vi gætter på hvordan kurven ser ud. En populær måde at gøre det på er at antage, at nulkuponrentekuven idag ( =tid 0 ) er af den såkaldte Nelson-Siegel 1 form: y(0, t) = a 0 + (a 1 + a 2 ) 1 exp( t/a 3) t/a 3 a 2 exp( t/a 3 ), 1 Nelson, C. R. og A. F. Siegel, (1987), Parsimonious Modeling of Yield Curves, Journal of Business, vol. 60, no. 4, pp

3 hvor a erne er (for os endnu) ukendte parametre. For givne a-værdier kan diskonteringsfaktorer bestemmes og man kan beregne teoretiske kurser for statsobligationerne. Det er naturligt at estimere a erne ved de værdier, der giver den mindste afvigelse mellem observerede (vektoren p obs ) og teoretiske (vektoren p teo ) kurser. Nu kan afstand jo måles på mange måder (fokus for en hel del kurser her i huset), men summerede kvadratafvigelser (dvs. (p obs p teo ) (p obs p teo ) i vektor/matrix-notation) er en fornuftig ting. Med din viden om formler og matrix-regning i Excel skulle du snildt kunne lave et regneark, der for givne a-værdier (tastet ind i 4 celler) beregner kvadratsumsafvigelsen (en formel i 1 celle). Og nu kan du få Excel til at estimere parametrene ved at gå ind under Funktioner, Problemløser, ( Tools og Solver i amerikanske udgaver). (Muligvis skal du selv lige installere Problemløser. Det gør du ved at klikke Funktioner, Tilføjelsesprogrammer og så følge anvisningerne.) Sæt kvadratafvigelsesformlen som Målcelle og angiv a-cellerne under Ved redigering af, vælg Min., and then let is works its magic. Lav på denne måde et estimat for den danske nulkuponrentekurve februar Læg mærke til, at de d t er man på denne måde finder faktisk ikke (med mindre man er enormt heldig) vil være rigtige diskonteringsfaktorer, men kun approximativt. (Hvorfor?) Er det ikke så n lidt inkonsistent? Tjoooh, men let at bruge i praksis. Vil man take the high road så ka man konsultere sidste ugeseddel. 2. (En opgave jeg har tyvstjålet fra faget Værdipapiranalyse på HHK) Betragt et lille obligationsmarked med nedenstående 4 obligationer (i en fuldt stiliseret verden dvs. nu er tid 0, betalinger falder på tid 1,2 og 3.) Type Kuponrente Løbetid Kurs A St. lån 4% 1 101,00 B St. lån 4% 2 100,00 C St. lån 4% 3 99,00 D Serielån 4% 3 100,50 Bestem effektiv rente og Macaulay varighed (dvs. varighed baseret på effektiv rente) og tilsvarende konveksitet for de 4 obligationer. Bestem effektiv rente og Macaulay varighed for en porteføjle bestående af 1 stk. af obligationerene A, B og C. Sammenlign varighed og effektiv rente for ovennævnte portefølje med varighed og effektiv rente for obligation C. Kan vi heraf konkludere, at der er arbitrage i markedet? Bestem nulkuponrentestrukturen i markedet ud fra obligation A, B og C. Er der arbitrage i markedet? Hvis ja, hvordan vil du så blive hurtigt rig? 3

4 Hvis kurser tilpasser sig til den nk-rentestruktur, du lige har fundet, hvad er så de forskellige obligationers Fisher-Weil varigheder (dvs. varigheder baseret på nk-renter) og tilsvarende konveksiteter? 3. Betragt følgende to projekter år projekt A projekt B Beregn NPV for hver af projekterne når r = 10%. Antag nu, at hvert projekt kan sættes igang igen umiddelbart efter, at det er færdigt, dvs. projekt A kan påbegyndes forfra i år 3, og projekt B kan påbegyndes igen i år 4. Giv et udtryk for nettonutidsværdien af hvert projekt gentaget i det uendelige, altså i tilfælde A af det uendelige cash flow ( 10, 6, 6, 10, 6, 6, 10,...). Udtryk NPV af det uendelige cash-flow ved hjælp af NPV for projektet gennemført 1 gang. Hvilket projekt gennemført i det uendelige giver den højeste nettonutidsværdi? 4. Vis den manglende implikation i beviset for Proposition 5 i afsnit 3.4 i noterne. Gør desuden nøje rede for hvorfor man, hvis man skal vælge mellem projekter der udelukker hinanden ( mutually exclusive projects ), altid vil/bør vælge det med størst NPV. 5. Lav en graf i Excel, som viser varigheden som funktion af tid til udløb T for et stående lån med kuponrente R = 7% og r = 10%. Sørg for at inddrage store værdier af T. Hvad sker der hvis du bytter om på de to størrelser R og r? Er der nogle overraskelser? 6. Check the third fact you need i afsnit i noterne. Gælder den formel også for folk der aldrig har hørt om rentestrukturen, men baserer alle beregninger på betalingsrækkers effektive rente? 7. Med samme notation som i afsnit 3.5 i noterne, lad M 2 = T t=1 (t D)2 w t og vis at D = M 2 r 1 + r K = D 2 + M 2 4

5 Hvad siger dette om varighedens reaktion på ændringer i r for forskellige betalingsrækker? 8. Følgende er en hjælp til forståelse af eksempel Betragt en finansiel institution, som har købt betalingsrækken a > 0 og solgt (altså forpligtet sig til at levere) betalingsrækken l > 0 (a for assets, l for liabilities). Antag P V (a, r) = P V (l, r). Vi siger at a l opfylder første-ordensbetingelsen for immunisering hvis D a = D l. Check, at den angivne sammensætning af aktiver og passiver i eksempel opfylder denne betingelse. Vis at anden-ordensbetingelsen for immunisering, 2 P V (a l; r) r 2 0 er opfyldt, når første ordens-betingelsen er opfyldt og Hvad siger dette om eksemplet 3.5.3? M 2 a M 2 l. 5