MAT1 A&D. Martin Raussen. Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark
|
|
- Gabriel Villadsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark Efterår 2007
2 Prædiken Introduktion 1. lektion 2. lektion 3. lektion 4. lektion Præsentation Mål med forelæsningen konkret abstrakt forhold til semester og studium Hvordan ser en kursusgang ud? Midler Forelæsning, opgaver, selvlæsning Kursusplan, hjemmeside Litteratur Eksamen Forudsætninger og forventninger Ingeniørmatematik Software: MAPLE, VIDIGEO
3 Trigonometriske funktioner Nyttige formler 1. lektion 2. lektion 3. lektion 4. lektion Additionsformler sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β Dobbelte vinkler sin 2θ = 2 sin θ cos θ cos 2θ = cos 2 θ sin 2 θ = 2 cos 2 θ 1 = 1 2 sin 2 θ Halve vinkler 1 cos θ = ± 2 (1 + cos 2θ) 1 sin θ = ± 2 (1 cos 2θ) Differentiation f(x) = sin x f (x) = cos x g(x) = cos x g (x) = sin x h(x) = tan x h (x) = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x
4 1. lektion 2. lektion 3. lektion 4. lektion Omvendte trigonometriske funktioner Definitioner sin 1 : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ], sin 1 y = x sin x = y cos 1 : [ 1, 1] [0, π], cos 1 y = x cos x = y tan 1 : R ( π 2, π 2 ), tan 1 y = x tan x = y Differentiation f(x) = sin 1 (x) f (x) = 1 1 x 2 g(x) = cos 1 (x) g (x) = 1 1 x 2 h(x) = tan 1 (x) h (x) = 1 1+x 2
5 Taylorpolynomier 1. lektion 2. lektion 3. lektion 4. lektion Givet en funktion f, som er n gange differentiabel i a. Polynomiet P n (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) f (n) (a) n! (x a) n = n f (k) (a) j=0 k! (x a) k har følgende egenskaber: 1. P (k) n (a) = f (k) (a), 0 k n: de samme afledede i a som den oprindelige funktion f ; 2. P n er tæt på a det bedst approksimerende polynomium af en grad som er højst n. Hvis f er n + 1 gange differentiabel: Restleddet ( fejlen ) R n (x) = f(x) P n (x) er på formen R n (x) = f n+1 (z) (n+1)! (x a)n+1 for et (ukendt) tal z mellem a og x. Anvendelse: Hvis man har brug for at R n (x) < ε på et interval [a δ, a + δ], så skal man sikre at (n+1) (n+1)!ε
6 Vektorfunktioner 1. lektion 2. lektion 3. lektion 4. lektion Vektorfunktion r(t) = (x(t), y(t), z(t)) beskriver kurve vha. OP t = r(t). Differentiation: r r(t+ t) r(t) (t) = lim t 0 t = (x (t), y (t), z (t)) koordinatvis. Betydning: Hastighedsvektor v(t) = r (t); længde r (t) = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 svarer til farten i P t. Accelerationsvektoren a(t) = v (t) = r (t); længde = skalar acceleration a(t) = a(t) = v (t)! Integration: b a r(t)dt = ( b a x(t)dt, b a y(t)dt, b a z(t)dt) koordinatvis. Anvendelse: Bestemmelse af parameterfremstilling r(t) med udgangspunkt i vandrende hastighedsvektor og begyndelsesposition, hhv.
7 1. lektion 2. lektion 3. lektion 4. lektion Differentiationsregler u(t), v(t) differentiable vektorfunktioner, h(t) en (almindelig) funktion 1. (u(t) + v(t)) = u (t) + v (t); 2. (h(t)u(t)) = h (t)u(t) + h(t)u (t); 3. (u(t) v(t)) = u (t) v(t) + u(t) v (t); 4. (u(t) v(t)) = u (t) v(t) + u(t) v (t).
8 1. lektion 2. lektion 3. lektion 4. lektion Krumning - plane kurver; definition T(s) = (cos ϕ(s), sin ϕ(s)) den vandrende enhedstangentvektor; retning givet ved vinklen ϕ(s) i forhold til X-aksen. N(s) =ˆT(s) = ( sin ϕ(s), cos ϕ(s)) den vandrende enhedsnormalvektor. T (s) måler vinkelhastigheden ϕ (s) og er vinkelret på T(s): T (s) = ϕ (s)( sin ϕ(s), cos ϕ(s)) = ϕ (s)n(s) Definition: Krumning κ(s) = ϕ (s) i r(s): T (s) = κ(s)n(s)
9 1. lektion 2. lektion 3. lektion 4. lektion Krumning - plane kurver; beregning v(t) = r (t) = v(t)t(t) T (t) = d dt T(t) = d ds ds T(t) dt = κ(t)v(t)n(t) a(t) = r (t) = v (t)t(t) + v(t)t (t) = v (t)t(t) + κ(t)v 2 (t)n(t) tangential og normal komponent af accelerationsvektoren Projektionen på normalvektoren ved prikprodukt med N(t): κ(t)v 2 1 (t) = a(t) N(t) = a(t) v(t)ˆr (t) κ(t) = 1 v 3 (t) r (t) ˆr (t) = 1 (x (t), y (t)) ( y (t), x (t)) = (x (t)+y (t)) 2 3 x (t)y (t) x (t)y (t) (x (t)+y (t)) 3 2
10 Grænseværdiregler 5. lektion 6. lektion Hvis lim (x,y) (a,b) f(x, y) = L og lim (x,y) (a,b) g(x, y) = M, så gælder: lim (x,y) (a,b) f(x, y) + g(x, y) = L + M; lim (x,y) (a,b) f(x, y)g(x, y) = LM; f(x,y) lim (x,y) (a,b) g(x,y) = L M Konsekvenser såfremt M = 0. Summer, differenser og kvotienter af kontinuerte funktioner er kontinuerte (for kvotienter: nævner = 0!) Polynomier i flere variable er kontinuerte Rationale funktioner (kvotienter af polynomier) er kontinuerte (undtagen i poler: nævner = 0)
11 Partielle afledede 5. lektion 6. lektion Definition f x (a, b) = f f(a+h,b) f(a,b) x(a, b) = lim h 0 h f y (a, b) = f f(a,b+k) f(a,b) y(a, b) = lim k 0 k Betydning f x (a, b) angiver hældningen af (tangenten til) x-kurven over y = b y holdes konstant! f y (a, b) angiver hældningen af (tangenten til) y-kurven over x = a x holdes konstant! Højere ordens partielle afledede: f xx, f xy, f yx, f yy osv. Hvis funktionerne er kontinuerte, så gælder: f xy = f yx.
12 5. lektion 6. lektion Tangentplan og normal Tangentplan til fladen givet ved z = f(x, y) i (a, b, f(a, b)): Ligning: z f(a, b) = f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b). Normal: n(a, b) = (f x (a, b), f y (a, b), 1) - eller et multiplum!
13 7. lektion 8. lektion 9. lektion 11. lektion 12. lektion Kritiske punkter Definition f: D R partielt differentiabel, D R 2. Et punkt (a, b) i Ds indre kaldes kritisk, hvis f x (a, b) = f y (a, b) = 0. Betydning: Grafen for f har i punktet (a, b) en horizontal tangentplan. Derfor har funktionen f muligvis et lokalt extremum i punktet. Men der kan også være tale om et sadelpunkt eller lignende. Metode: For at finde f s kritiske punkter skal man løse ligningssystemet bestående af de to ligninger f x (a, b) = 0 og f y (a, b) = 0.
14 7. lektion 8. lektion 9. lektion 11. lektion 12. lektion Optimering Opgave: Find globale extrema (maxima, minima) for en partielt diferentiabel funktion f: D R, D R 2. Metode: (når D er et lukket og begrænset område i R 2 ): 1. Find f s kritiske punkter i det indre af D: hvor de partielle afledede er Find punkter på Ds rand, hvor f har lokale extrema på randen. 3. Indsæt de fundne punkters koordinater og sammenlign værdierne. Hvilke(n) er størst/mindst?
15 Polære koordinater 7. lektion 8. lektion 9. lektion 11. lektion 12. lektion (r, θ) radius og argument(vinkel) bestemmer punkter i planen. Omregning polær XY : x = r cos θ, y = r sin θ. Omregning XY polær: r = x 2 + y 2,(cos θ, sin θ) = ( x r, y r ), r = 0. Vinkelbestemmelse: inverse trigonometriske funktioner. Check kvadranten!
16 7. lektion 8. lektion 9. lektion 11. lektion 12. lektion Cylindriske og sfæriske koordinater Cylindriske koordinater (r, θ, z): polære koordinater i hver vandret plan. Sfæriske koordinater: (ρ, ϕ, θ): radius, breddevinkel 0 ϕ π, længdevinkel 0 θ 2π. Omregning sfærisk XYZ : x = ρ sin ϕ cos θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ cos ϕ. Omregning XYZ sfærisk: ρ = x 2 + y 2 + z 2, ϕ = cos 1 ( z ρ ),(ρ = 0), r = x 2 + y 2,(cos θ, sin θ) = ( x r, y r ), r = 0.
17 Lineær approksimatrion 7. lektion 8. lektion 9. lektion 11. lektion 12. lektion En lineær funktion z = A(x a) + B(y b) + C beskriver en plan gennem P: (a, b, C). Hvilket punkt i planen ligger over (a + x, b + y)? z = A(a + x a) + B(b + y b) + C) = (A x + B y) + C = dz + C. z vokser med dz når x vokser med x og y vokser med y. Funktionen z = f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) + f(a, b) beskriver tangentplanen til grafen for f i P: (a, b, f(a, b)). Dermed ligger punktet (a + x, b + y, f(a, b) + dz) over (a + x, b + y) med dz = f x (a, b) x + f y (a, b) y. z vokser på tangentplanen med dz når x vokser med x og y vokser med y.
18 Differentiabilitet 7. lektion 8. lektion 9. lektion 11. lektion 12. lektion Er den approksimerede værdi z = f(a, b) + dz tæt nok på den rigtige værdi z = f(a + x, b + y) = f(a, b) + f med f = f(a + x, b + y) f(a, b)? Ja, hvis differensen f(a + x, b + y) (f(a, b) + dz) er meget mindre end længden af vektoren ( x, y). Definition Funktionen f er differentiabel i punktet (a, b) (i det indre af definitionsområdet), hvis f(a + x, b + y) f(a, b) (f x (a, b) x + f y (a, b) y) lim = 0. ( x, y) (0,0) ( x) 2 + ( y) 2
19 7. lektion 8. lektion 9. lektion 11. lektion 12. lektion Kriterier for differentiabilitet Theorem 1. Hvis f har kontinuerte partielle afledede så er f differentiabel. 2. Hvis f er differentiabel så eksisterer de partielle afledede. 3. Hvis f er differentiabel så er f kontinuert. De omvendte påstande er forkerte.
20 Introduktion 7. lektion 8. lektion 9. lektion 11. lektion 12. lektion Kæderegel Differentiation af sammensatte funktioner z x y z(t) = f(x(t), y(t)) t z (t 0 ) = f x (x(t 0 ), y(t 0 ))x (t 0 ) + f y (x(t 0 ), y(t 0 ))y (t 0 ) z x y u v z(u, v) = F(x(u, v), y(u, v)) z u (u 0, v 0 ) = z x (x(u 0, v 0 ))x u (u 0, v 0 ) + z y (x(u 0, v 0 ))y u (u 0, v 0 ) z v (u 0, v 0 ) = z x (x(u 0, v 0 ))x v (u 0, v 0 ) +
21 Implicit differentiation Tangenter til implicit givne kurver og flader 7. lektion 8. lektion 9. lektion 11. lektion 12. lektion Givet: Implicit given kurve C ved ligning F(x, y) = 0 samt punkt (x 0, y 0 ) på kurven Ønskes: Hældning af tangenten gennem (x 0, y 0 ). Løsning: y (x 0 ) = F x(x 0,y 0 ) F y (x 0,y 0 ) Givet: Implicit given flade S ved ligning F(x, y, z) = 0 samt punkt (x 0, y 0, z 0 ) på kurven Ønskes: Hældning af tangenter til x kurve og y-kurve gennem (x 0, y 0, z 0 ). Løsning: z x (x 0, y 0, z 0 ) = F x(x 0,y 0,z 0 ) F z (x 0,y 0,z 0 ) z y (x 0, y 0, z 0 ) = F y(x 0,y 0,z 0 ) F z (x 0,y 0,z 0 )
22 Gradient og retningsafledede 7. lektion 8. lektion 9. lektion 11. lektion 12. lektion f(x, y) = (f x (x, y), f y (x, y)); g(x, y, z) = (g x (x, y, z), g y (x, y, z), g z (x, y, z)). Gradientvektor, gradientfelt f((a,b)+hu) f(a,b) D u f(a, b) = lim h 0 h : Den retningsafledede af f i retning u enhedsvektor. Hældning af kurve over linie med parameterfremstilling (a, b) + hu i punktet (a, b, f(a, b)). Beregning af retningsafledede vha. gradientvektoren: D u f(a, b) = f(a, b) u Interpretation: Gradientvektor f(a, b) har retning med størst retningsafledede i P: (a, b, f(a, b)). størrelse f(a, b) = den største retningsafledede i P.
23 7. lektion 8. lektion 9. lektion 11. lektion 12. lektion Gradient og implicit givne flader En flade S er implicit given ved ligningen F(x, y, z) = 0, dvs. den består af alle løsninger til denne ligning. (a, b, c) S F(a, b, c) = 0. Gradientvektoren F(a, b, c) er en normalvektor til fladen S i P: (a, b, c). Den er normal til tangentplanen til fladen S i P: (a, b, c). Ligning for tangentplanen i P: (a, b, c): F x (a, b, c)(x a) + F y (a, b, c)(y b) + F z (a, b, c)(z c) = 0
24 Riemann-sum. Planintegral 13. lektion 14. lektion 15. lektion 16. lektion 18. lektion z = f(x, y) en (kontinuert) funktion på en rektangel R = [a, b] [c, d]. Inddeling P = {R 1,..., R k } i delrektangler. R i har areal A i. Vælg punkter (xi, yi ) R i i hver delrektangel. Riemann-sum: k i=1 f(x i, yi ) A i beregner rumfang af et søjlediagram som approksimerer området over R og under grafen for funktionen f. Planintegral: R f(x, y)da = lim P 0 k i=1 f(x i, yi ) A i Grænseværdien giver rumfang for området over R og under grafen for funktionen f. P : inddelingens norm: største diameter i en af R i. Samme definition hvis R er et mere generelt område. Nu summeres over alle de delreltangler R i i et rektangulært gitter, som helt er indeholdtmartin i R. Raussen
25 Egenskaber af planintegralet 13. lektion 14. lektion 15. lektion 16. lektion 18. lektion 1. R cf(x, y)da = c f(x, y)da, c R R 2. R [f(x, y)+g(x, y)]da = R f(x, y)da+ g(x, y)da R 3. m a(r) R f(x, y)da M a(r) (a(r):rs areal; m = min R f(x, y); M = max R f(x, y)) 4. R f(x, y)da = R 1 f(x, y)da+ R 2 f(x, y)da (R = R 1 R 2 ; a(r 1 R 2 ) = 0) (1),(2): er en lineær afbildning. R (3): Nedre og øvre grænser for integralet ved minimum/maksimum for funktionen på R (4): Integralet er additiv på delområder uden indre overlap.
26 13. lektion 14. lektion 15. lektion 16. lektion 18. lektion Beregning: Planintegral dobbeltintegral Faste grænser: R = [a, b] [c, d]: R f(x, y)da = b d b y=c x=a x=a d y=c f(x, y)dydx = f(x, y)dxdy Variable grænser: R vertikalt simpel R = {(x, y) a x b, g 1 (x) y g 2 (x)}: R f(x, y)da = b g2 (x) x=a y=g 1 (x) f(x, y)dydx horizontalt simpel R = {(x, y) c y d, h 1 (y) x h 2 (y)}: R f(x, y)da = d h2 (y) y=c x=h 1 (y) f(x, y)dxdy Generelt: Inddel R i vertikalt eller horizontalt simple delområder (uden indre overlap). Beregn integraler over delområder og summer.
27 13. lektion 14. lektion 15. lektion 16. lektion 18. lektion Areal. Rumfang Areal af et område R i planen: a(r) = R 1dA Rumfang af et område T = {(x, y, z) (x, y) R, f 1 (x, y) z f 2 (x, y)} ( over R, mellem f 1 (x, y) og f 2 (x, y) ) V(T) = R (f 2 (x, y) f 1 (x, y))da
28 13. lektion 14. lektion 15. lektion 16. lektion 18. lektion Planintegraler i polære koordinater Definition og beregningsregel Inddeling i polære rektangler : R = {(r cos θ, r sin θ) 0 r 1 r r 2, θ 1 θ θ 2 } Areal A(R) = r 1+r 2 2 (r 2 r 1 )(θ 2 θ 1 ) = r r θ. Riemann-sum i f(p i )A(R i ) = i f(p i ) r i r θ = Riemann-sum for funktion f r over sædvanlige rektangler. Grænseovergang: R f(x, y)da = θ2 θ=θ 1 r2 r=r 1 f(r cos θ, r sin θ) rdrdθ Faktoren r sørger for at større polære rektangler ( r stor) vejer mere end små polære rektangler ( r lille).
29 13. lektion 14. lektion 15. lektion 16. lektion 18. lektion Planintegraler i polære koordinater Variable polære grænser R radialt simpel: R = {(r cos θ, r sin θ) θ 1 θ θ 2, 0 r 1 (θ) r r 2 (θ)} R f(x, y)da = θ2 θ=θ 1 r2 (θ) r=r 1 (θ) f(r cos θ, r sin θ) r drdθ R angulær simpel: R = {(r cos θ, r sin θ) 0 r 1 r r 2, θ 1 θ(r) θ 2 (r)} R f(x, y)da = r2 r=r 1 θ2 (r) θ=θ 1 (r) f(r cos θ, r sin θ) r dθdr
30 Anvendelser af planintegralet Densitet, masse, og tyngdepunkt af en plade 13. lektion 14. lektion 15. lektion 16. lektion 18. lektion Densitet: lille rektangel R:δ(R) = m(r) a(r). Punkt: δ(x, y) = lim R (x,y) δ(r). Densitet masse: m(r) = δ(x, y)da. R Tyngdepunkt ( x, ȳ) af plade R: x = ȳ = 1 m(r) 1 m(r) R R xδ(x, y)da yδ(x, y)da Symmetribetragtninger tillader somme tider at finde tyngdepunkt uden integralregning!
31 Anvendelser af planintegralet Inertimoment af en roterende plade 13. lektion 14. lektion 15. lektion 16. lektion 18. lektion En plade R drejes om en akse i rummet. Inertimomentet af pladen beskriver trægheden mod (drejnings)-acceleration. Et svinghjul med stort inertimoment kræver et større drejningsmoment for at accelerere lige så meget som et hjul med mindre inertimoment. Enhed: kg m 2. I = p(x, y) 2 δ(x, y)da 1 R I z = (x 2 + y 2 )δ(x, y)da R I x = y 2 δ(x, y)da R I y = x 2 δ(x, y)da R
32 Rumintegraler 13. lektion 14. lektion 15. lektion 16. lektion 18. lektion Riemann-sum over kasser i rummet i f(xi, yi, zi )Vol(T i ) approksimerer rumintegralet over legemet T T f(x, y, z)dv. Beregning ved hjælp af tripelintegral, f.eks. på formen T Anvendelser: Rumfang f(x, y, z)dv = b x=a y2 (x) y=y 1 (x) z2 (x,y) z=z 1 (x,y) f(x, y, z)dzdydx Densitet masse og massemidtpunktets koordinater for rumligt legeme Inertimoment for rumligt legeme
33 13. lektion 14. lektion 15. lektion 16. lektion 18. lektion Rumintegaler Cylindriske og sfæriske koordinater Cylindriske koordinater (x = r cos θ, y = r sin θ, z): T = {(r cos θ, r sin θ, z) α θ β, r 1 (θ) r r 2 (θ), Z 1 (r, θ) z Z 2 (r, θ)} with Z i (r, θ) = z i (r cos θ, r sin θ): β r2 (θ) z2 (r,θ) T f(x, y, z)dv = f(r cos θ, r sin θ, z)r dzdrdθ θ=α r=r 1 (θ) z=z 1 (r,θ) Sfæriske koordinater (x = ρ sin ϕ cos θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ cos ϕ): T = {(x, y, z) α θ β, ϕ 1 (θ) ϕ ϕ 2 (θ), ρ 1 (ϕ, θ) ρ ρ 2 (ϕ, θ)}: T f(x, y, z)dv = β θ=α ϕ2 (θ) ϕ=ϕ 1 (θ) ρ2 (ϕ,θ) ρ=ρ 1 (ϕ,θ) f(ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ)ρ 2 sin ϕdρd ϕ
34 Regning med komplekse tal 19. lektion 20. lektion 21. lektion (x, y) x + iy i i = 1( 1 = ±i) (x 1 + iy 1 )+(x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) De komplekse tal (C, +, ) danner et legeme: Additionen og multiplikationen er kommutativ og associativ. Den distributive lov gælder (gange ind i parenteser ok). 0 = 0 + i0 er neutralt element mht. addition; 1 = 1 + i0 er neutralt element mht. multiplikation. (x + iy) + ( x + i( y)) = 0 additiv invers. x y (x + iy) ( + i ) = 1 multiplikativ invers. x 2 +y 2 x 2 +y 2
35 Komplekse tal på polær form 19. lektion 20. lektion 21. lektion z = r θ z = x + iy = r cos θ + ir sin θ z = r = x 2 + y 2 0: modulus, numerisk værdi; θ: argument. Multiplikation: r θ r θ = (r r ) θ+θ. r Division: θ = ( r r θ r ) θ θ. Potenser: (r θ ) n = (r n ) n θ. n-te rødder: (s ϕ ) n = r θ s = n r, ϕ = 1 n (θ + 2kπ), 0 k < n. Komplekse tal z = 0 har n forskellige n-te rødder! s ϕ = n r(cos θ n + i sin θ 2kπ 2kπ n )(cos n + i sin n ), 0 k < n.
36 19. lektion 20. lektion 21. lektion Polynomier med komplekse koefficienter Algebraens fundamentalsætning, (Gauss) Ethvert komplekst polynomium P(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 af grad n 1 har mindst en (kompleks) rod z 0 C:P(z 0 ) = 0. Hvis z 0 er rod i P(z), så findes et polynomium Q(z), således at P(z) = (z z 0 )Q(z) (division giver rest 0). Ethvert komplekst polynomium P(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 af grad n 1 har inden for C netop n rødder (regnet med multiplicitet): P(z) = a n (z z 1 ) m 1 (z z 2 ) m2 (z z s ) m s, m i = n. Ethvert reelt polynomium kan skrives som produkt af en konstant samt lineære faktorer z z i og kvadratiske faktorer z 2 a i z + b i, z i, a i, b i R.
37 19. lektion 20. lektion 21. lektion Komplekse andengradsligninger Løsninger af ligningen z 2 = d: polær form: d = r θ z = ± r θ 2 rektangulær form: d = d 1 + id 2 (r = { d d 2 2 ) z = ± 2 d = 2 ( r + d 1 + i r d 1 ), d 2 0 ± 2 2 ( r + d 1 i r d 1 ), d 2 0. Ligningen az 2 + bz + c = 0: diskriminant D = b 2 4ac. to løsninger z = b± D 2a.
38 19. lektion 20. lektion 21. lektion Den komplekse eksponentialfunktion Definition e x+iy = (e x ) y = e x e iy = e x (cos y + i sin y). Theorem 1. e z 1+z 2 = e z 1 e z 2, z 1, z 2 C. 2. (Eulers formler) cos y = 1 2 (eiy + e iy ) sin y = 1 2i (eiy e iy ). Differentiation: Betragt funktionen f(t) = e zt = e xt (cos(yt) + i sin(yt)). Theorem f (t) = ze zt. (Check både realdel og imaginærdel!)
39 22. lektion 23. lektion 24. lektion Lineære differentialligninger af 1. orden x + p(t)x = q(t) x(t) =? Homogen dl: x (t) + p(t)x = 0 x x = p(t) for x(t) = 0. Stamfunktion P (t) = p(t): log x(t) = P(t) + c x(t) = Ce P(t). Theorem Løsningsmængde L H = {Ce P(t) C R}. Inhomogen dl: Konstanternes variation: Løsning på form C(t)e P(t) : Vælg C(t) som stamfunktion C (t) = e P(t) q(t). Theorem Løsningsmængde L I = {(C(t) + C)e P(t) C R}.
40 22. lektion 23. lektion 24. lektion Lineære differentialligninger af 2. orden Det homogene tilfælde 1 x (t) + bx (t) + cx(t) = 0, b, c R Gæt med eksponentialfunktion på typen x(t) = e Rt karakterligningen R 2 + br + c = 0 med diskriminant D = b 2 4c. Tre tilfælde: D > 0: Karakterligningen har to rødder R 1/2 = 1 2 ( b ± D). To fundamentalløsninger x 1 (t) = e R 1t, x 2 (t) = e R 2t. Løsningsmængde L H = {c 1 e R 1t + c 2 e R 2t c 1, c 2 R}. Væsentligt: Er R 1, R 2 positive/negative?
41 22. lektion 23. lektion 24. lektion Lineære differentialligninger af 2. orden Det homogene tilfælde 2 D = 0: Karakterligningen har en dobbeltrod R = b 2. To fundamentalløsninger x 1 (t) = e Rt, x 2 (t) = te Rt. Løsningsmængde L H = {c 1 e Rt + c 2 te Rt c 1, c 2 R}. D < 0: Karakterligningen har to konjugeret komplekse rødder R 1/2 = 1 2 ( b ± i D) = α + iβ. Fundamentalløsningerne x 1 (t) = e αt cos βt, x 2 (t) = e αt sin βt fås som realdel, hhv. imaginærdel af e R 1t. Løsningsmængde L H = {c 1 e αt cos βt + c 2 e αt sin βt c 1, c 2 R}. Igen: Er α positiv/negativ?
42 22. lektion 23. lektion 24. lektion Eksistens - og entydighedssætning Lineære differentialligninger 1. orden: x + p(t) x = q(t) (I 1 ) p(t), q(t) kontinuerte funktioner på åbent interval I. Theorem Givet t 0 I og x 0 R. Så har dl (I 1 ) netop en løsning som opfylder begyndelsesbetingelsen x(t 0 ) = x orden: x + bx + cx = q(t) (I 2 ) q(t) kontinuert funktion på åbent interval I. Theorem Givet t 0 I og x 0, v 0 R. Så har dl (I 2 ) netop en løsning som opfylder begyndelsesbetingelserne x(t 0 ) = x 0 og x (t 0 ) == v 0.
43 22. lektion 23. lektion 24. lektion Superposition Homogene og inhomogene lineære differentialigninger x + bx + cx = 0 (H) x + bx + cx = q(t) (I) y(t) løser (I), x(t) løser (H) y(t) + x(t) løser (I). y 1 (t), y 2 (t) løser (I) y 1 (t) y 2 (t) løser (H). y løser (I) L I = y + L H = {y + x x L H }. Hvis man kender en (partikulær) løsning y(t) til ligning (I), så er alle andre løsninger på formen y(t) + x(t) med x(t) en løsning til ligning (H).
44 22. lektion 23. lektion 24. lektion Superposition generel x + bx + cx = q 1 (t) (I 1 ) x + bx + cx = q 2 (t) (I 2 ) y 1 (t) løser (I 1 ),y 2 (t) løser (I 2 ) y 1 (t)+y 2 (t) løser x + bx + cx = q 1 (t)+q 2 (t). y 1 (t) løser (I 1 ),r R r y 1 (t) løser x + bx + cx = r q 1 (t). y 1 (t) løser (I 1 ),y 2 (t) løser (I 2 ),r,s R ry 1 (t) + sy 2 (t) løser x + bx + cx = rq 1 (t) + sq 2 (t). Årsag: x x + bx + cx er en lineær operator.
45 22. lektion 23. lektion 24. lektion Inhomogene lineære differentialligninger Gættemetode x + bx + cx = q(t) og q(t) et polynomium q(t) = a n t n + + a 1 t + a 0. Prøv y(t) = b n t n + + b 1 t + b 0 et polynomium af samme grad. lineært ligningssystem. en eksponentialfunktion q(t) = ke rt. Prøv y(t) = le rt en eksponentialfunktion med samme eksponent. lineær ligning. en trigonometisk funktion q(t) = k cos ωt eller q(t) = l sin ωt. Prøv y(t) = m cos ωt + n sin ωt. lineært ligningssystem.
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014
Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereReeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016
Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereBesvarelser til Calculus Reeksamen August 2017
Besvarelser til Calculus Reeksamen -. August 7 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereGeometriske grundbegreber 8. lektion
1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.4.2008 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015
Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereGeometriske grundbegreber 1. lektion
1 / 12 Geometriske grundbegreber 1. lektion Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark 7.2.08 2 / 12 Materialer Software Prædiken Præsentation Mål med forelæsningen konkret
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereMATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1
MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereReeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014
Reeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013
Eksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereOversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereKomplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereFormelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet
Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.0 1. februar 2012 Indhold 1 Funktioner af en variabel 4 1.1 Komplekse tal........................... 4 1.1.1
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereMASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n
3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereGrafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereReeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013
Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mere